Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Co to jest geniusz? Gen i już.”

Hugo Steinhaus

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.

Układy współrzędnych zostały stworzone po to, by móc w dokładny sposób określić położenie ciała fizycznego czy po prostu punktu. Oprócz układów współrzędnych kojarzonych bezpośrednio z matematyką takich jak oś liczbowa, kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni istnieje wiele innych układów, np. szerokość i długość geograficzna, numerowane pola na planszy do gry w szachy czy nawet w popularne „statki” itp.

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.KARTEZJAŃSKICH.

Prostokątny układ współrzędnych to dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe o wspólnym

punkcie (0, 0) zwanym początkiem układu współrzędnych

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.KARTEZJAŃSKICH.

Oś poziomą (OX) nazywamy osią odciętych, natomiast oś pionową (OY) – osią rzędnych.Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części –ćwiartki układu.

WSPÓŁRZĘDNE.Położenie każdego punktu w układzie współrzędnych można określi za pomocą współrzędnych.Zawszę jako pierwszą podajemy współrzędną odczytywaną na osi X, a jako drugą tę, którą odczytujemy na osi Y.

P = (x, y)

WSPÓŁRZĘDNE. Na układzie zamieszczonym obok zaznaczono punkty o następujących współrzędnych:A = (3, 4)B = (0, 3)C = (1, 0)D = (-4, 2)E = (-3, 0)F = (-2, -5)G = (0, -2)H = (5, -3)

WSPÓŁRZĘDNE.Znak współrzędnych pozwala określić w której ćwiarce układu znajduje się punkt:

(+, +) I ćwiartka(-, +) II ćwiartka(-, -) III ćwiartka(+, -) IV ćwiartka

WSPÓŁRZĘDNE.Punkty, których pierwsza współrzędna jest równa zero, leżą na osi OY.

Np.: (0, 5)(0, 2)(0, -1)(0, -7)

WSPÓŁRZĘDNE.Punkty, których druga współrzędna jest równa zero, leżą na osi OX.

Np.:(-5, 0)(-4, 0)(2, 0)(5, 0)

WSPÓŁRZĘDNE.Punkty, których pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi a drugie są takie same leżą w takiej samej odległości od osi OY po przeciwnych jej stronach (są do siebie symetryczne względem osi OY)

Np.: (-3, 2) i (3, 2)

WSPÓŁRZĘDNE.Punkty, których drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi a pierwsze są takie same leżą w takiej samej odległości od osi OX po przeciwnych jej stronach (są do siebie symetryczne względem osi OX)

Np.: (1, 3) i (1, -3)

WSPÓŁRZĘDNE.Odcinki, których końce mają takie same pierwsze współrzędne są równoległe do osi OY. Aby policzyć ich długość wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy drugich współrzędnych.

Np.: A = (3, 4) i B = (3, -2)|AB| = |4 – (-2)| = |6| = 6

WSPÓŁRZĘDNE.Odcinki, których końce mają takie same drugie współrzędne są równoległe do osi OX. Aby policzyć ich długość wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy pierwszych współrzędnych.

Np.: A = (-3, -2) i B = (2, -2)|AB| = |-3 – 2| = |-5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 1.Odczytaj z rysunku współrzędne punktów.

Przy punkcie A zaznaczyliśmy sposób odczytywania współrzędnych. Mamy więc:A = (-3, 1)B = (-2, 4)C = (-2, -2)D = (1, 1)E = (4, -3)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 2.Narysuj układ współrzędnych, dobierz odpowiednią jednostkę i zaznacz punkty:

Żeby w łatwy sposób zaznaczyć podane punkty, należy obrać jednostkę, która będzie się składała z 6 mniejszych części, np. 1 na układzie to 6 kratek w zeszycie. Współrzędne punktu B łatwo sprowadzić do postaci z mianownikiem 6:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 2 – ciąg dalszy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 3.Punkty A, B i C są wierzchołkami prostokąta. Podaj współrzędne czwartego wierzchołka.

A = (-3, -1), B = (2, -1), C = (2, 4)

Najłatwiej jest zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych, dorysować brakujący punkt i odczytać jego współrzędne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 3 – ciąg dalszy.

Z rysunku wynika, że współrzędne czwartego wierzchołka D = (-3, 4).

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 4.Określ, w której ćwiartce układu leżą punkty:A = (45, 78) ; B = (-257, 1209) ; C = (123, -4) ; D = (- 26; -65) ; E = (345; -243) ; F = (500; 321) ; G = (-43; 56) ; H = (23; 89)

Wystarczy spojrzeć na znaki współrzędnych i skorzystać z tabeli z planszy 7.

(+, +) I ćwiartka A; F; H(-, +) II ćwiartka B; G(-, -) III ćwiartka D(+, -) IV ćwiartka C; E

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 5.Oblicz obwód narysowanego wielokąta.

Jedna kratka na rysunku odpowiada odcinkowi jednostkowemu (o długości 1), wystarczy więc policzyć ile kratek zajmuje każdy z boków wielokąta a następnie dodać je do siebie.Ob = 28.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 5.Oblicz długość odcinków o podanych końcach bez rysowania ich.

a)A = (-6, 3) ; B = (10, 3)Drugie współrzędne tych punktów są takie same, więc aby obliczyć długość tego odcinka wystarczy podać odległość między pierwszymi współrzędnymi:|AB| = |-6 – 10| = |-16| = 16

b) C = (2, -9) ; D = (2, 8)|CD| = |-9 – 8| = |-17| = 17