Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

SYMBOL NEWTONA

PERMUTACJE

SILNIADla n>1 symbol n! (czyt: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.

n!=1·2·3·4·……·n

Przyjmujemy, że: 0!=1 1!=1

2!=23!=1·2·3=64!=1·2·3·4=245!=1·2·3·4·5=1206!=1·2·3·4·5·6=7207!=1·2·3·4·5·6·7=50408!=1·2·3·4·5·6·7·8=403209!=1·2·3·4·5·6·7·8·9=36288010!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800

4!=1·2·3·4=24

4!=3! ·4=24

5!=1·2·3·4·5=120

5!=3!·4·5=120

5!=4!·5=120

6!=5!·6=720

6!=4!·5·6=720

6!=3!·4·5·6=720

8!=4!·5·6·7·8=40320

8!=5!·6·7·8=40320

8!=6!·7·8=40320

8!=7!·8=40320

PRZYKŁADY:

SYMBOL NEWTONA

Jeżeli k≤n to wyrażenie (czytamy: n nad k)

nazywamy symbolem Newtona.

PRZYKŁADY:

PERMUTACJE

Permutacją n-elementową zbioru n-

elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy

ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego

zbioru.

Permutacje n-elementowe oznaczamy: Pn

Pn=n!

Ćw.1. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce?

P6=6!=1·2·3·4·5·6=720

Odp.: Sześć osób można ustawić na 720 sposoby.

Ćw.2. Na ile sposobów można ustawić liczby: 1,2,3,4, aby

stworzyć liczby czterocyfrowe?

P4=4!=1·2·3·4=24

Odp.: Można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe.

Ćw.3. W gonitwie bierze udział 11 koni. Ile jest wyników

zakończenia gonitwy? (zakładamy, że każdy koń

dobiegnie

do mety i żadne dwa nie przebiegną razem).

P11=11!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11= 39916800

Odp.: Jest 39916800 wyników zakończenia gonitwy.

Ćw.4. Na ile sposobów może usiąść 5 osób na ławce tak, aby KASIA i BASIA będące w tej grupie siedziały obok siebie:a)w dowolnej kolejnościb)w kolejności BASIA-KASIA

Ad.a)Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: K B _ _ _ _ K B _ _ _ _ K B _ _ _ _ K B

4·2! ·3!=4·2·6=48Ad.b)Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: B K _ _ _ _ B K _ _ _ _ B K _ _ _ _ B K

4·3!=4·6=24Odp.: Pięć osób może usiąść na 48 w pierwszym i 24 sposoby w drugim przypadku.

Kasia i Basia mogą się między sobą zmieniać na 2! sposoby; pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób.

Basia i Kasia nie mogą się zmieniać między sobą, pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób.

Ćw.5. Cyfry 5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość możliwych ustawień cyfr w liczbie jeżeli:

a)liczby stoją na dowolnym miejscu

P4=4!=1·2·3·4=24

b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8

P3=3!=1∙2∙3=6

c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra 5

P2=2!=2

d) na początku są liczby parzyste

2!∙2!=4

Ćw.6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest:

a)dowolna pięciocyfrowa

P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120 b)parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4 lub 6)

3∙4!=3∙24=72

c)nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub 5)

2∙4!=2∙24=48

d)podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 5)

P4=4!=1∙2∙3∙4=24