Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

KULA

Kula to bryła

obrotowa powstała

przez obrót koła

wokół prostej

zawierającej jego

średnicę.

Kula to figura

przestrzenna,

złożona

z punktów, których

odległość od środka

O jest mniejsza lub

równa promieniowi

R.

promień kuli

koło wielkie kuli

R

O. R

Powierzchnią kuli jest sfera.

Na oznaczenie kuli przyjmujemy zapis:

K(O,R) gdzie O jest środkiem kuli, R jej

promieniem.

Do rozwiązywania zadań potrzebne będą

wzory

na pole powierzchni (P) i objętość (V) kuli.

R - promień kuli

R

O.

Przykład 1.Oblicz pole i objętość kuli, jeżeli promień ma długość 2,5cm.

Dane: R=2,5cmSzukane: V, P.

Odp: Pole powierzchni kuli równa się 25π cm2, jej objętość wynosi 20,8π cm3.

R

O. R

Przykład 2.Pole powierzchni koła wielkiego kuli równa się 25π m2. Oblicz polei objętość kuli.

Dane: Pkoła=25π m2

Szukane: Vkuli, Pkuli.

lub -odpada

Odp: Pole powierzchni kuli równa się 100π m2, jej objętość 166,7π m3.

R

Przykład 3.W sześcian o krawędzi 2cm wpisano kulę.Oblicz pole i objętość kuli. Porównaj pole sześcianu i pole powierzchni kuli.

Dane: a=2cmSzukane: Vkuli, Psześcianu, Pkuli.

aa

a

Odp: Pole powierzchni sześcianu jest większe od pola powierzchni kuli.

R

Przykład 4.W walec o wysokości 8cm wpisano kulę.Oblicz o ile objętość kuli jest mniejsza od objętości walca.

Dane: H=8cmSzukane: Vkuli, Vwalca

H

- długość promienia kuli i jednocześnie długość promienia podstawy walca

Odp: Objętość kuli jest mniejsza o od objętości walca.

Caa

a

Przykład 5.Dany jest sześcian o krawędzi 6cm. Oblicz pole i objętość kuli wpisanej i opisanej na sześcianie.

Dane: a=6cmSzukane: Vkul, Pkul.

B

A

r

R

Długość krawędzi sześcianu jest równa dwukrotnej długości promienia kuli wpisanej w sześcian.

- długość promienia kuli wpisanej w sześcian

Obliczymy objętość i pole powierzchni kuli wpisanej w sześcian.

Każda ściana w sześcianie jest kwadratem.

Przekątna kwadratu o boku a ma długość .

Ca√2a

B

A

2R

Trójkąt ABC jest prostokątny. Odcinek AB to krawędź sześcianu, odcinek BC to przekątna kwadratu, odcinek AC jest przekątną sześcianu o długości dwukrotnie większej niż promień kuli opisanej na sześcianie.Stosując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość odcinka AC.

lub -odpada

R - długość promienia kuli opisanej na sześcianie

Odp: Objętość kuli wpisanej równa się , jej pole

wynosi . Objętość kuli opisanej na sześcianie

równa się jej pole wynosi .

Obliczymy objętość i pole powierzchni kuli opisanej na sześcianie.