Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka to gra rozgrywana według pewnych prostych reguł z

nic nie znaczącymi znakami na papierze.”

David Hilbert

WZÓR FUNKCJI A WYKRES.

Funkcję można przedstawiać na wiele sposobów jednak wszystkie te sposoby są ze sobą ściśle powiązane. Kiedy weźmiemy do ręki przepis na ciasto, nie widzimy co nam z niego wyjdzie, ale jeśli będziemy postępowali zgodnie z podaną procedurą, upieczemy smakowity deser. Wzór funkcji możemy traktować jako przepis na jej wykres, jeśli będziemy się go trzymać zobaczymy jak wygląda nasza funkcja.

JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?Przyjrzyjmy się funkcji określonej wzorem:

y = 2x - 2Zauważmy, że nie podano dziedziny tej funkcji, przyjmujemy więc, że do jej dziedziny należą wszystkie liczby, dla których da się obliczyć wartość tej funkcji – czyli w tym przypadku są to wszystkie liczby rzeczywiste.Korzystając ze wzoru funkcji możemy obliczać jej wartość dla różnych argumentów (wyliczać y dla różnych x). Argumenty wybieramy my, wstawiamy do wzoru i obliczamy wartość funkcji, np.:dla argumentu x = 0 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 0 – 2 = -2dla argumentu x = 1 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 1 – 2 = 0dla argumentu x = -1 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· (-1) – 2 = -4itd.

JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?Po obliczeniu kilku, jeśli trzeba nawet kilkunastu wartości dla wybranych przez nas argumentów, możemy sporządzić tabelkę, która ułatwi zaznaczanie punktów na wykresie:

Współrzędne odczytujemy parami góra – dół, w tej tabelce mamy punkty o współrzędnych: (-2, -6); (-1, -4); (0, -2); (1, 0); (2, 2); (3, 4); (4, 6)

y = 2x - 2

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -6 -4 -2 0 2 4 6

UWAGAArgumenty należy dobierać tak, aby punkty zmieściły się na wykresie i aby łatwo było je

zaznaczyć.

JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?Punkty z tabeli zaznaczamy w układzie współrzędnych

Zauważmy, że zaznaczone punkty układają się w linie prostą. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, możemy więc połączyć nasze punkty.

y = 2x - 2

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -6 -4 -2 0 2 4 6

JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?A oto wykres naszej funkcji:

y = 2x - 2

FUNKCJE LINIOWE. Funkcje których wykresem jest linia prosta nazywamy funkcjami liniowymi, do ich narysowania wystarczą nam dwa punkty. Funkcję liniową można rozpoznać po wzorze, ma on zawszę postać:

y = ax + bgdzie a i b to liczby rzeczywiste. Oto przykłady innych funkcji liniowych i ich wykresów:

FUNKCJE KWADRATOWE.

Nie, wykresem takich funkcji nie jest kwadrat, ale jeśli spotasz wzór funkcji w którym najwyższa potęga argumentu to dwa (czyli kwadrat) np. y = 2x2 + 2, to możesz się spodziewać, że wykresem tej funkcji będzie parabola.

Najprostsza parabola to wykres funkcji y = x2

FUNKCJE KWADRATOWE.Oto przykłady funkcji kwadratowych i ich wykresów:

PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA

Proporcjonalność odwrotna to każda funkcja opisana

równaniem , gdzie a jest ustaloną liczbą różną od 0

i oczywiście x ≠ 0 – pamiętajmy, nie można dzielić przez 0. Jeśli nie ma podanej dziedziny tej funkcji to przyjmujemy, że jest ona określona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, wtedy wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola.

HIPERBOLA.Oto przykład wykresu proporcjonalności odwrotnej dla a = 1:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.Jaką wartość przyjmuje dana funkcja dla argumentu x = 0, oraz dla argumentu x = 1.

Zamiast zapisywać ciągle „dla argumentu x = … fukcja przyjmuje wartość y = …” łatwiej jest używać zapisu f(x), który oznacza „wartość funkcji f dla argumentu x”.

a)f(x) = x3

b)

c)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1 – ciąg dalszy.a) f(x) = x3

f(0) = 03 = 0f(1) = 13 = 1

b)

c)

,

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Punkty A, B i C należą do wykresu podanej funkcji. Jakie są drugie współrzędne tych punktów?

f(x) = 4x(x – 2) A = (-2, _), B = (0, _), C = (-1, _)

Pierwsza współrzędna każdego punktu to x czyli nasz argument, aby znaleźć drugą współrzędną wystarczy obliczyć wartość funkcji dla podanych argumentów.

f(-2) = 4 · (-2) · (-2 – 2) = -8 · (-4) = 32f(0) = 4 · 0 · (0 – 2) = 0f(-1) = 4 · (-1) · (-1 – 2) = -4 · (-3) = 12

Nasze punkty to: A = (-2, 32), B = (0, 0), C = (-1, 12)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3.Sprawdź, które z podanych w nawiasie są miejscem zerowym funkcji określonej wzorem f(x) = 1 – x3 (1, -1, 0).

Wystarczy sprawdzić dla której z tych liczb funkcja przyjmuje wartość 0:f(1) = 1 – 13 = 1 – 1 = 0f(-1) = 1 – (-1)3 = 1 – (-1) = 2f(0) = 1 – 03 = 1 – 0 = 1

Miejscem zerowym tej funkcji jest 1.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4.Uzupełnij tabelkę:

W pierwszych dwóch kolumnach wystarczy podstawić podane argumenty do wzoru funkcji:

f(2) = 8 – 2 · 2 = 8 – 4 = 4f(3) = 8 – 2 · 3 = 8 – 6 = 2

y = 8 – 2x

x 2 3

y 5 0

PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.W dwóch ostatnich kolumnach mamy podaną wartość funkcji, musimy więc wpisać ją do wzoru zamiast y i rozwiązać równanie:

Nasza tabelka po uzupełnieniu powinna wyglądać tak:

5 = 8 – 2x5 – 8 = - 2x-3 = -2x /: (-2)1,5 = x

0 = 8 – 2x-8 = -2x / : (-2)4 = x

y = 8 – 2x

x 2 3 1,5 4

y 4 2 5 0

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 5.Dla jakiego argumentu funkcja o podanym wzorze przyjmuje wartość 5? y = 0,2x – 1

Wystarczy wpisać 5 zamiast y we wzorze i rozwiązać równanie:5 = 0,2x – 15 + 1 = 0,2x6 = 0,2x / : 0,230 = x

PRZYKŁADOWE ZADANIA.Zadanie 6.Znajdź miejsce zerowe funkcji y = 0,5x + 5.

Zamiast y we wzorze wstawiamy 0 i rozwiązujemy równanie:0 = 0,5x + 5-5 = 0,5x / : 0,5-10 = x

Miejscem zerowym funkcji y = 0,5x + 5 jest x = -10