MATEMATYKApw.matematyka24.com/pliki/2017_2018/indexMAT_MBIM_TCH.pdf · MATEMATYKA materiały...

MATEMATYKAmateriały dydaktyczne – ćwiczenia

Cezary Obczyński, Andrzej Pankowski

data aktualizacji: 29 listopada 2017

Płock, 2017 r.

Spis treści Matematyka I, rok I, MiBM + Bud + TCh + IŚ

Spis treści

1 Liczby zespolone 3

2 Wyznaczanie granic ciągów. Badanie monotoniczności i ograniczoności ciągów liczbowych. 4

3 Obliczanie sum szeregów liczbowych dla wybranych zagadnień technicznych. Badanie zbież-ności szeregów liczbowych. 6

4 Obliczanie granic i badanie ciągłości funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, wyznaczanieasymptot. Zastosowanie tw. Weierstrassa i Darboux. 7

5 Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej rzędu pierwszego oraz wyż-szych. 9

6 Obliczanie pochodnych funkcji złożonych. Wyznaczanie różniczki zupełnej. Obliczanie gra-nic funkcji z zastosowaniem reguły de l’Hospitala. 10

7 Obliczanie pochodnej funkcji złożonej oraz odwrotnej. Wyznaczanie przedziałów monoto-niczności oraz wypukłości funkcji. Wyznaczanie ekstremów lokalnych oraz punktów prze-gięcia wykresu funkcji. 11

2

Matematyka I, rok I, MiBM + Bud + TCh + IŚ

1. Liczby zespolone

Zadanie 1.1. Wiedząc, że z1 = −1 + 2i, z2 = 2 + 4i oblicz:

z1 − 2z2a) 5z2 + 4z1b)

z1 + z1 · z2c)z1z2

d)

z1z2

e) z1 · z2f)

(z1 + 1)2 + |z1| · z2g)

Zadanie 1.2. Przestawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej następujące liczby zespolone:

z = 12 + 1

2 ia) z = 1b)

z = −1− ic) z = 2id)

z = −√

2 +√

2ie)

Zadanie 1.3. Obliczyć:

i3a) i2049b)

(1 +√

3i)12c)(1 + i)12

1−√

3id)

Zadanie 1.4. Znaleźć następujące pierwiastki liczb zespolonych i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej:3√ia) 4

√−1b)

3√−27ic) 6

√1d)

8√

1e)

Zadanie 1.5. Rozwiązać równania:

x4 − 1 = 0a) x2 + 4 = 0b)

x3 + i = 0c) x2 + 2x+ 5 = 0d)

x2 − x+ 1e) x2 − 5ixx− 6 = 0f)

3


2. Wyznaczanie granic ciągów. Badanie monotoniczności i ograni-czoności ciągów liczbowych.

Zadanie 2.1. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać, że:

limn→∞

5n

= 0a) limn→∞

n+ 1n+ 2

= 1b)

limn→∞

1− 3nn

= −3c) limn→∞

2n+ 13 + 10n

=15

d)

Zadanie 2.2. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągów:

an =n

n+ 1a) an =

11− 3n

b) an =3

2n+ 3c)

an = n2 − 5nd) an =2n

n2e) an =

nn

n!f)

Zadanie 2.3. Obliczyć, o ile istnieją, następujące granice:

limn→∞

n2 − 13− n3

a) limn→∞

4n− 36− 5n

b)

limn→∞

(1− 2n)3

(2n+ 3)2(1− 7n)c) lim

n→∞

(2n− 1)2

(4n− 1)(3n+ 2)d)

limn→∞

√n− 2

3n+ 5e) lim

n→∞

(2n+ 3n+ 1

)3f)

limn→∞

√9n2 + 4nn2 + 3

g) limn→∞

1 + 2 + 3 + . . .+ n

(3n− 1)2h)

limn→∞

1 + 4 + 7 + . . .+ (3n− 2)n2

i)


limn→∞

(3n−√

9n2 + 1)a) limn→∞

(√n+ 2−

√n)b)

limn→∞

(3n−√

9n2 + 6n− 15)c) limn→∞

1√4n2 + 7n− 2n

d)

limn→∞

(√n2 + n− n)e) lim

n→∞

√n2 + 5− n√n2 + 2− n

f)


limn→∞

4n−1 − 522n − 7

a) limn→∞

2n+1 − 3n+2

3n+2b)

limn→∞

−8n−1

7n+1c) lim

n→∞

3 · 22n+2 − 105 · 4n−1 + 3

d)

limn→∞

5 · 32n − 14 · 9n + 7

e) limn→∞

4 · 3n+1 + 2 · 4n

5 · 2n + 4n+2f)


limn→∞

n√

2n + 3na) limn→∞

n√

10n + 9n + 8nb)

limn→∞

n√

4n2 + n+ 5c) limn→∞

n

√(12

)n+(

34

)nd)

limn→∞

sinnn+ 1

e) limn→∞

3√n2 · sinnn+ 1

f)

limn→∞

n

n2 + 1sin(3n+ 1)g) lim

n→∞

2n2n2 − 1

cosn+ 12n− 1

h)

4



limn→∞

(n+ 4n

)2na) lim

n→∞

(n2 + 9n2

)n2b)

limn→∞

(1− 1

n2

)nc) lim

n→∞

(1 +

2n

)nd)

limn→∞

(1− 3

n

)ne) lim

n→∞

(1− 4

n

)−n+3f)

limn→∞

(n− 1n+ 2

)ng) lim

n→∞

(n+ 2n+ 3

)nh)

limn→∞

( n2 + 22n2 + 1

)n2i) lim

n→∞

(3n− 13n+ 1

)n+4,j)

limn→∞

(n2 + 3n2 + 1

)2n2+5k) lim

n→∞

(n2 + 6n2

)n2l)


limn→∞

(1√

n2 + 1+

1√n2 + 2

+1√

n2 + 3+ . . .+

1√n2 + n

)a)

limn→∞

√1 + 2 + 3 + . . .+ n

nb)

limn→∞

(1− 1

22

)(1− 1

32

)(1− 1

42

). . .

(1− 1

n2

)c)


limn→∞

(n5 − 6n7)a) limn→∞

(n3 − 2n2 + 1)b)

limn→∞

2n2 − 1010 + n

c) limn→∞

n3 − 2n2 + 13n2 + 2n+ 5

d)

limn→∞

(√2n2 + 1− n

)e) lim

n→∞

4n + 1 + 3n+1

2n+1 + 3nf)

5


3. Obliczanie sum szeregów liczbowych dla wybranych zagadnieńtechnicznych. Badanie zbieżności szeregów liczbowych.

Zadanie 3.1. Obliczyć:

5∑k=1

ka)4∑k=0

k − 1k + 1

b)100∑i=1

50ic)5∑i=2

2∑j=0

j

i

d)

Zadanie 3.2. Zapisać bez znaku sumy3∑i=1

(2∑k=1

aik

)a)

2∑i=1

(2∑k=1

aik · xi · xk

)b)

Zadanie 3.3. Obliczyć sumy następujących szeregów∞∑n=1

1n(n+ 1)

a)∞∑n=1

1 + 3n

4nb)

∞∑n=1

(1

2n− 1− 1

2n+ 1

)c)

Zadanie 3.4. Stosując kryterium d’ Alamberta zbadać zbieżność szeregów∞∑n=1

nn

(n!)2a)

∞∑n=1

2n · n!nn

b)∞∑n=1

en · n!2nn

c)∞∑n=1

(n!)2

(2n)!d)

Zadanie 3.5. Stosując kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów∞∑n=1

4n2

3na)

∞∑n=1

[(1 +

2n

)n]2b)

∞∑n=1

(2n− 13n+ 1

)nc)

Zadanie 3.6. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów∞∑n=1

1√n

a)∞∑n=1

1√n(n+ 1)

b)∞∑n=1

1lnn

c)∞∑n=1

1(n+ 1)3n

d)

Zadanie 3.7. Stosując kryterium Leibniza zbadać zbieżność szeregów∞∑n=1

(−1)n

n2a)

∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1b)

∞∑n=1

(−1)n3√n2

c)∞∑n=1

(−1)n+1

2nd)

6


4. Obliczanie granic i badanie ciągłości funkcji jednej zmiennej rze-czywistej, wyznaczanie asymptot. Zastosowanie tw. Weierstrassai Darboux.

Zadanie 4.1. Wyznaczyć granice funkcji:

limx→2

√x2 − 4

2x+ 1a) lim

x→2

x− 2x2 − 4

b) limx→2

x2 − 3x+ 2x2 − 4

c)

limx→5

2x2 − 11x+ 53x2 − 14x− 5

d) limx→3

2x2 − 10x+ 12x3 − 2x2 − 3x

e) limx→3

x2 − 6x+ 9x2 − 9

f)

limx→π

4

cos 2xsinx− cosx

g) limx→0

1−√x+ 1x

h) limx→0

x

2−√x+ 4

i)

limx→0

√x2 + 1− 1√x2 + 4− 2

j)


limx→∞

(4x3 − 2x2 + 3x+ 6)a) limx→∞

3x2 − 14x2 + 2x

b) limx→∞

2x3 − 2x2 − 1x2 + 1

c)

limx→−∞

x5 − 2x4 + 1x3 + 2x2 + 1

d) limx→−∞

4x5 − 2x3 − x− 2−x3 + 4x2 − 4

e) limx→∞

√4x2 + 1x− 1

f)

limx→∞

2x2 − 1√16 + 4x4

g) limx→−∞

1 +√

2x2 − 1x

h) limx→∞

√x2 + 15− 6x+ 3

i)

limx→∞

(√x+ 5−

√x− 5)j) lim

x→∞(4−x − 5)k) lim

x→∞23x+3x+1l)


limx→0

x

sinxa) lim

x→0

sin 2xx

b) limx→0

sin 5x4x

c)

limx→0

sin2 x3x2

d) limx→0

tg xx

e) limx→0

x ctg xf)


limx→∞

(1− 1

x

)xa) lim

x→∞

(1 +

5x

)3x+3b) lim

x→∞

(1− 4

x

)x+3c)

limx→∞

(2x− 52x+ 1

)x−1d) lim

x→∞

(x2 − 2x2 + 1

)x2−1e)

Zadanie 4.5. Obliczyć granice jednostronne funkcji.

limx→0−

|x|x

a) limx→0+

|x|x

b) limx→1+

2x− 1

c)

limx→1−

2x− 1

d) limx→2−

4x(x− 2)2

e) limx→2+

4x(x− 2)2

f)

limx→−3−

−3x(x+ 3)3

g) limx→−3+

−3x(x+ 3)3

h) limx→2+

(35

) 1x−2

i)

limx→2−

(35

) 1x−2

j) limx→0+

1

1 + e1x

k) limx→0−

1

1 + e1x

l)

Zadanie 4.6. Sprawdź czy podana funkcja jest ciągła, a następnie narysuj jej wykres.

7


f(x) =

{x+ 1 dla x < 0,

x2 + 1 dla x > 0.a)

f(x) =

x2 − 2x2x− 4

dla x 6= 2,

x2 + 1 dla x = 2.

b)

Zadanie 4.7. Określić wartość parametru a, dla którego podane funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach.

f(x) =

{ax dla x > −1,

x3 − 1 dla x < −1.a)

f(x) =

x2 − 3x+ 2

x− 1dla x 6= 1,

a dla x = 1.b)

Zadanie 4.8. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (jeśli istnieją), gdzie:

f(x) =x2

x2 + 1a) f(x) =

4x+ 1

b) f(x) =3x

9− x2c)

f(x) =x3

2(4− x2)d) f(x) = x+ arc tg xe) f(x) =

x2 + 2xx+ 1

f)

8


5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej rzę-du pierwszego oraz wyższych.

Zadanie 5.1. Znaleźć pochodne funkcji:

f(x) = x2 − 6x+ 4a) f(x) = 5x3 − 4x2 + 7b) f(x) = (5 + 6x)(4− 3x)c)

f(x) = 2x2 − 2 sinx+ 4ex − 2d) f(x) = 2 3√x+

1x

e) f(x) =34x 3√xf)

f(x) = x3(

3− x

5+ 4x3

)g) f(x) =

√x+

43√x− 1x2

+2

3x5h) f(x) = x− 2

√xi)

f(x) = 4 3√x− 2

√x5 + 6j) f(x) = x4− 1

3x3+ 2x2− 3x+ 3k) f(x) = 2 tg x− 1

2ctg xl)

f(x) = 2√x− 3 lnx+ 1m) f(x) =

√x(x2 + 1)n) f(x) =

2x

+x

2o)


f(x) = x lnxa) f(x) = x2 cosxb) f(x) = x2 sinxc)

f(x) = x3 · 5xd) f(x) = x2exe) f(x) =x2 lnx3 + ln 2

f)

f(x) = 6x2 lnxg) f(x) = ex cosxh) f(x) = (x2 − 2x+ 4)ex +√x3i)

f(x) = ex tg x+ 4x3j) f(x) =√x lnx− 1

xexk) f(x) = sinx lnx+ x

√x cosxl)


f(x) =x2 + 2x+ 1x3 − 1

a) f(x) =1

1− x2b) f(x) =

5x− 13− 2x

c)

f(x) = − 12x+ 3

d) f(x) =x

1− cosxe) f(x) =

x

lnxf)

f(x) =x3

x2 + 1g) f(x) =

(1−√x)2

xh) f(x) =

cosx1− sinx

i)

f(x) =x3

1− xj) f(x) =

arc tg xx2

k) f(x) =4xex

3 + xl)

Zadanie 5.4. Znaleźć pochodne funkcji złożonych:

f(x) = e5xa) f(x) = sin 6xb) f(x) = sinx7c)

f(x) = 5 cos 4xd) f(x) = sin(3x2 − 2x)e) f(x) = ln cosxf)

f(x) = ln(x2 + 5)g) f(x) = ln lnxh) f(x) = (2 + 3x)5i)

f(x) = (3x2 + 3x)3j) f(x) = (2x3 − 1)4k) f(x) = cos3 xl)

f(x) =√

1 + x2m) f(x) = 3√x2 + 1n) f(x) = arc tg x2o)

f(x) = arc sin√xp) f(x) = ln

x2

1− x2q) f(x) =

23x3√x− 3

5sin5 xr)

f(x) =cos(2x+ 1)x2 sin(2x)

s) f(x) = e3x sin 3xt) f(x) = ln2 x sin3 xu)

Zadanie 5.5. Znaleźć pochodne funkcji złożonych:

f(x) = ln4 5xa) f(x) = sin5(2x2 − 3)b) f(x) = e4x2−1 sin4 2xc)


f(x) = xxa) f(x) = (lnx)xb) f(x) = xln xc)

f(x) = xsin xd) f(x) = x1xe) f(x) = (lnx)sin xf)

9


6. Obliczanie pochodnych funkcji złożonych. Wyznaczanie różniczkizupełnej. Obliczanie granic funkcji z zastosowaniem reguły del’Hospitala.

Zadanie 6.1. Znaleźć równanie stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie o odciętej x0, jeżeli:

f(x) = 3x4 − x3 + x2 − 6x+ 1, x0 = 2a)

f(x) = sinx, x0 = 0b)

f(x) = xex, x0 = 0c)

f(x) =lnxx

, x0 = ed)

Zadanie 6.2. Stosując twierdzenie de l’Hospitala wyznaczyć następujące granice:

limx→∞

ex

xa) lim

x→∞

ex

x2b) lim

x→∞

lnxx

c)

limx→0

1− cosxx2

d) limx→0

x− x cosxx− sinx

e) limx→0

lnxctg x

f)

limx→0

sinx− xx− tg x

g) limx→0

ln(x+ 1)x

h) limx→0

ln cosxx

i)

limx→0+

x2 lnxj) limx→1

(x

x− 1− 1

lnx

)k) lim

x→1

(2

x2 − 1− 1x− 1

)l)

limx→0

x− arc tg xx3

m) limx→∞

lnx√x2 − 1

n) limx→∞

sinx− x cosxx3

o)

Zadanie 6.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:

f(x) = x3 − 6x2 − 15x+ 2a) f(x) = 14x3 − 3x+ eb)

f(x) = 3x3 + 4, 5x2 − 4x− 5c) f(x) = x3 − 3x+ 5d)

f(x) =x3

x2 − 1e) f(x) =

x2 − 1x

f)

f(x) =lnxx

g) f(x) =ex

xh)

f(x) = xexi) f(x) =1

ex − 1j)

Zadanie 6.4. Znaleźć ekstrema następujących funkcji:

f(x) = x3 + 12x2 + 36x− 2a) f(x) = 14x3 − 3x+ 4b)

f(x) = x(3− x)2c) f(x) = x+4x

d)

f(x) =2x

1 + x2e) f(x) =

2x+ 1x− 4

f)

f(x) =x3 − 2x2

x2 + 1g) f(x) = x lnxh)

f(x) = x− ln(x+ 1)i) f(x) = ex + e−x − x2j)

10


7. Obliczanie pochodnej funkcji złożonej oraz odwrotnej. Wyzna-czanie przedziałów monotoniczności oraz wypukłości funkcji. Wy-znaczanie ekstremów lokalnych oraz punktów przegięcia wykresufunkcji.

Zadanie 7.1. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości następujących funkcji:

f(x) = x2a) f(x) = x3 + 12x2 + 36x− eb)

f(x) = 14x3 − 3x+ ec) f(x) = x2 +

1x2

d)

f(x) = lnxe) f(x) = x lnxf)

f(x) =1

1 + x2g) f(x) =

x

x2 − 1h)

f(x) =x2

x2 − 1i) f(x) =

x2 − 5x+ 6x2 + 1

j)

Zadanie 7.2. Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji:

f(x) = x2 + 6xa) f(x) = x3 + 3x2 − 9x+ 9b)

f(x) = x3 − 6x2 − 5x+ 12c) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2d)

f(x) = x4 − 12x3 + 48x2 + 2e) f(x) = sinx, x ∈ [0, 2π]f)

f(x) =x

x2 − 1g) f(x) = x lnxh)

f(x) = e1xi) f(x) = xe−xj)

Zadanie 7.3. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:

f(x) = 2x2 − 5x+ 3a) f(x) = x3 − 2xb)

f(x) = x3 + 12x2 + 36x− 10c) f(x) = x(x− 1)2d)

f(x) = − 16x3 + 2x2e) f(x) = 2x3 − x2f)

f(x) =2x+ 1x− 2

g) f(x) =1

1 + x2h)

f(x) =1

1− x2i) f(x) =

x2 + 1x

j)

f(x) = xexk) f(x) = x lnxl)

f(x) =x

exm) f(x) =

ex

xn)

f(x) =lnxx

o) f(x) =x

lnxp)

f(x) = e−x2

q)

11

MATEMATYKApw.matematyka24.com/pliki/2017_2018/indexMAT_MBIM_TCH.pdf · MATEMATYKA materiały...

Documents

Transcript of MATEMATYKApw.matematyka24.com/pliki/2017_2018/indexMAT_MBIM_TCH.pdf · MATEMATYKA materiały...