MATEMATYKA - Portal Edukacyjny Szczecina · 2016. 8. 19. · Jeżeli kkl i lkm, to kkm. 1.2 Kąty B...

MATEMATYKA

II KLASA GIMNAZJUM

SZCZECIN 2016

Bogdańska BeataMaczan AleksandraStaniewska IwonaSzuman Michał

Spis treści

1 KĄTY I PROSTE 51.1 Proste, półproste, równoległość prostych . . . . . . . . . . . . 51.2 Kąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Proste prostopadłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Kąty odpowiadające i naprzemianległe . . . . . . . . . . . . . 9

2 SUMA KĄTÓW TRÓJKĄTA 152.1 Kąty (wewnętrzne) w trójkącie . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Kąty zewnętrzne w trójkącie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Twierdzenie o równoległości prostych . . . . . . . . . . . . . . 23

3 POLA FIGUR. 26

4 TRÓJKĄTY PRZYSTAJĄCE. 43

5 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE. 675.1 Wzory skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Zastosowania w obliczeniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki . . . . . . . . . . . . 715.4 Działania na sumach algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . 735.5 Zamiana różnicy kwadratów na iloczyn . . . . . . . . . . . . . 765.6 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki c.d. . . . . . . . . . . 775.7 Zastosowanie: rozwiązywanie równań . . . . . . . . . . . . . . 835.8 Zastosowanie: Podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 POTĘGI. 90

7 PIERWIASTKI. 101

8 TWIERDZENIE PITAGORASA. 119

9 SYMETRALNA ODCINKA. 149

10 ZADANIA TEKSTOWE 157

11 TRÓJKĄTY RÓWNORAMIENNE 167

12 KĄTY W OKRĘGU 178

13 CZWOROKĄT WPISANY W OKRĄG. 195

14 SYMETRIE. 202

WPROWADZENIE DOGEOMETRII

Ponieważ zasadniczym celem realizowanym na przedmiocie matematyka jestwykształcenie umiejętności logicznego myślenia, a nauką która umiejętnośćtę najbardziej rozwija, jest geometria, przeto rozpoczynamy od wprowadze-nia do geometrii.

Słowo geometria pochodzi od dwóch słów greckich geo – ziemia i metero– mierzę. Historycznie rzecz biorąc, początkowo była to pewnego rodzajuwiedza utylitarna służąca do robienia pomiarów ziemi. Stopniowo wiedza tarozwijała się i stała się nauką. Osobą, która zebrała wiedzę geometryczną wpewną całość, był żyjący na przełomie IV i III wieku pne. Euklides. Wiedzata została zebrana i uporządkowana w pewien sposób. Ten sposób porząd-kowania wiedzy matematycznej stał się wzorcem do dzisiaj praktykowanymw matematyce. Euklides zebrał tę wiedzę w XIII księgach, które nazwałElementami. „Elementy” były używane jako podręcznik geometrii jeszczena początku XX wieku. Obecnie również uczymy się geometrii opierając sięw pewnej mierze na „Elementach”. Nie naśladujemy jednak tego dokładnie.Bowiem przy uczeniu geometrii z jednej strony musimy zwracać uwagę nato aby ta nauka była poprawna merytorycznie, ale z drugiej strony żebybyła skuteczna, a zatem nie może być zbyt nudna.

W geometrii mamy pewne pojęcia pierwotne, czyli takie pojęcia, którychnie definiujemy, ale z którymi wiążemy pewne intuicje fizyczne. Na przy-kład pojęciem pierwotnym jest prosta, dla której wyobrażeniem fizycznymjest droga promienia świetlnego. Takim pojęciem jest również płaszczyzna,dla której wyobrażeniem fizycznym jest powierzchnia kałuży, tablicy czystołu. Oprócz pojęć pierwotnych, których nie definiujemy mamy równieżtakie pojęcia które definiujemy. Na przykład definiujemy pojęcie odcinka,półprostej, trójkąta.Pewne zdania geometrii przyjmujemy – z góry – za prawdziwe. Zdania te

nazywamy aksjomatami lub też pewnikami. Na aksjomaty wybieramy ta-kie fakty geometryczne, które są zgodne z naszą intuicją, czyli jak mówimysą dla nas rzeczami oczywistymi. Opierając się na aksjomatach uzasad-niamy, z użyciem całego aparatu logiki, prawdziwość innych zdań. Te innezdania nazywamy zazwyczaj twierdzeniami. Faktycznie w tym kursie geo-metrii słowo twierdzenie będziemy rezerwowali dla najważniejszych faktówgeometrycznych.

Istotą nauki geometrii jest przeprowadzanie dużej ilości rozumowań.Jednakowoż na to aby przeprowadzać rozumowania potrzebne jest dobrerozumienie tych pojęć, którymi operujemy. Tego lepszego rozumienia tychpojęć nabywamy przeprowadzając dużą ilość różnego rodzaju ćwiczeń. Pa-miętaj: nauka geometrii służy przede wszystkim rozwijaniu umie-jętności logicznego myślenia.

Uwaga: Na marginesie niektórych zadań umieszczony jest symbol, tak jak! ⇒tutaj. Oznacza on, że na zadanie przy którym ten znak jest umieszczonynależy zwrócić większą uwagę, bowiem na to o czym jest mowa w takimzadaniu będziemy się później częściej powoływać.

Rozdział 1

KĄTY I PROSTE

1.1 Proste, półproste, równoległość prostych

A

B

Jeden z aksjomatów geometrii mówi, że przez dwaróżne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Pro-stą przechodzącą przez punkty A i B będziemy ozna-czali zazwyczaj lAB i będziemy ją nazywali: prosta AB.Zbiór tych wszystkich punktów na prostej, które leżąpomiędzy punktami A i B (wraz z punktami A i B)

nazywamy odcinkiem o końcach A, B. Odcinek ten będziemy oznaczać AB,natomiast liczbę, która jest długością odcinka AB będziemy oznaczać |AB|.Czasami będziemy tylko pisać AB = 5 zamiast |AB| = 5.

Wybrany punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste. Półprostą o początkuw punkcie A przechodzącą przez punkt B będziemy oznaczać AB→.

B

CA

D

Można zwrócić uwagę na to, że po niemiecku półprosta nazywasię Strahl czyli promień światła, a po angielsku halfline lubray. Słowo ray znaczy promień światła. Właśnie takie okre-ślenie używane jest nie bez powodu. Spójrz na rysunek obokgdzie narysowane są trzy półproste wychodzące z punktu A.

k

lDEFINICJA Dwie proste nazywamy równole-

głymi, gdy nie mają żadnego punktu wspólnego(lub gdy są równe). To, że proste k i l są rów-noległe oznaczamy k ‖ l.

6 ROZDZIAŁ 1. KĄTY I PROSTE

Bardzo ważnym w naszej geometrii jest następujący

AKSJOMAT Jeżeli dany jest punkt P i prosta l(P /∈ l), to istnieje dokładnie jedna prosta przecho-dząca przez punkt P i równoległa do prostej l. l

P

Właśnie z tego aksjomatu wynika, że suma wszystkich trzech kątów trójkątajest kątem półpełnym.

k

l

m Własność prostych równoległych:

TWIERDZENIEJeżeli k ‖ l i l ‖ m, to k ‖ m.

1.2 Kąty

B

B

B

C

C

C

A

A

ADEFINICJA Dwie półprosteo wspólnym początku, wrazz jednym z dwóch obszarów,na które te półproste dzieląpłaszczyznę, nazywamy kątem.Kąt nazywamy półpełnym, gdyjego ramiona są dwiema pół-prostymi leżącymi na jednejprostej, mającymi tylko jedenpunkt wspólny.

Z każdym kątem, podobnie jak z każdym odcinkiem, związana jest liczbazwana miarą kąta. Kąt półpełny ma miarę 180◦. Jeżeli kąt półpełny po-dzielimy na dwa kąty o równej mierze czyli 90◦, to każdy taki kąt nazywamykątem prostym. Miarę kąta

ROZDZIAŁ 1. KĄTY I PROSTE 7

BO

A

C DEFINICJA Półprostą OC→ leżącą wewnątrzkąta


1.3 Proste prostopadłe

DEFINICJA Jeżeli którykolwiek z czterech kątów utworzonych przez prze-cinające się proste k, l ma miarę 90◦, to proste takie nazywamy prostopa-dłymi i piszemy k ⊥ l.

AKSJOMAT Jeżeli dany jest punkt P i prosta k, to istnieje dokładniejedna prosta l przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej k.

P

Q

k

l

DEFINICJA Niech dana będzie prosta k i punkt P .Oznaczmy przez Q punkt przecięcia prostej l prosto-padłej do k i przechodzącej przez punkt P . Punkt Qnazywamy spodkiem punktu P na prostej k lub rzu-tem prostopadłym punktu P na prostą k. W takiejsytuacji długość odcinka PQ nazywamy odległościąpunktu P od prostej k i oznaczamy d(P, k). Mamywięc PQ = d(P,Q) = d(P, k).

A oto inny aksjomat, który jest całkowicie zgodny z naszą intuicją geome-tryczną.

P R

k

m AKSJOMAT Jeżeli punkty P i R leżą na pro-stej m, a prosta k jest równoległa do m, tod(P, k) = d(R, k).Innymi słowy, jeżeli m ‖ k, to dowolne dwapunkty z prostej m są tak samo odległe od pro-stej k.

WNIOSEK : w prostokącie przeciwległe boki są równej długości.

5. Wyznacz w pamięciobwód obu wieloką-tów. Na drugimrysunku AB = 8,BC = 9.

8

5

7rys a)

A

B Crys b)


45

20

35

30

20

25

6. Na podstawie długości nie-których odcinków wyznaczw pamięci obwód narysowa-nego obok ośmiokąta.

7. Na podstawie długości nie-których odcinków wyznacz wpamięci obwód narysowanegoobok ośmiokąta.

43

8

14

1.4 Kąty odpowiadające i naprzemianległe

δ γα β

δ1 γ1

α1 β1

Jeżeli dwie równoległe proste przetniemy trzeciąprostą, to otrzymamy 8 kątów tak, jak na rysunkuobok. Wówczas każdą z par kątów (α, α1), (β, β1),(γ, γ1), (δ, δ1) nazywamy parą kątów odpowiadają-cych, a każdą z par (γ, α1), (δ, β1), (α, γ1), (β, δ1)nazywamy parą kątów naprzemianległych.

TWIERDZENIE Kąty odpowiadające mają równe miary. Kąty naprze-mianległe mają równe miary.

W kolejnych zadaniach tego rozdziału możesz tylko korzystać z twierdzenia okątach naprzemianległych i odpowiadających, z definicji kątów przyległychi własności kątów wierzchołkowych. Musisz dorysowywać proste równoległedo danych prostych. Na niektórych rysunkach takie proste równoległe sąjuż dorysowane przerywaną kreską. Nie możesz korzystać z sumy kątówtrójkąta.


8. Na poniższych rysunkach k ‖ l. Wyznacz x. Na niektórych rysunkachmasz już dorysowane kropkowaną linią proste równoległe do prostychk i l. Na pozostałych rysunkach musisz to sam zrobić.

a)

42◦

x

60◦

35◦

l

k

b)

x

60◦

75◦

30◦

l

k

c)

45◦

x

55◦

25◦

l

k

d)

20◦

50◦

77◦

x

k

l

e)

15◦

50◦

x

44◦

28◦

k

l

f)

x

48◦

80◦

75◦

20◦

k

l

g)

25◦

60◦

x

72◦

56◦

k

l

h)

35◦

45◦

x

65◦

40◦

k

l

9. Na poniższych rysunkach k ‖ l. Wyznacz x+ y.

a)

18◦

y

40◦

x

k

l

b)

28◦

y

45◦

xk

l

x

c)

40◦

y

38◦

20◦

k

l


x

d)30◦

36◦

80◦

y

k

l

x

e)60◦

70◦

45◦

y

k

l

f)

23◦

50◦

x

58◦

y

25◦

k

l

10. Wyznacz α na rysunku obok.

40◦70◦

α

11. Na poniższych rysunkach k ‖ l. Na podstawie podanych miar kątów wy-znacz x, względnie x i y. Na pierwszym rysunku zostały już narysowaneprzerywana kreską proste równoległe do prostych k i l.

k

l

38◦

a)

x+ 20◦

140◦

x

b)

k

l

28◦

2x

120◦

x


c)

k

l

20◦

x

110◦

x

d)

k

l

120◦

yx

55◦

x+ y = 105◦

a)

k

l γ

β

α

12. Wiedząc, że k ‖ l,uzasadnij, że

a) α+ β + γ = 360◦,

b) α+ β = γ. k

l

b)γ

β

α

k

l

a)

28◦

x

85◦

y

80◦

z

17◦

13. Na rysunkach obokk ‖ l. Wyznaczx+ y + z.

k

l

b)

x

41◦

y

23◦

z

50◦ y

x+ 15◦x

n m

k

l 14. Wiedząc, że k ‖ l,m ‖ n, wyznaczx i y.

y x+ 20◦

100◦

5xk

l

m

n


15. Wiedząc, że CL ‖ AB.Uzasadnij, że δ = α+ β.

A B

C L

α

β

δ

l α

20◦

150◦k 16. Na rysunku obok k ‖ l.

Wyznacz α.

17. Na poniższych rysunkach k ‖ l, dodatkowo na drugim rysunku p ‖ q.Wyznacz x+y+z na pierwszym rysunku oraz α i β na drugim rysunku.W celu ułatwienia sobie rozwiązania zadania sporządź rysunki w zeszy-cie powiększając je.

a)

k

l

x

y

z

110◦

130◦

b)

k

l

pq

2α β

3α

5α

k

l

70◦

30◦

α18. Wiedząc, że k ‖ l

wyznacz α.

19. Wiedząc, żek ‖ l ‖ m,wyznacz x i y.

k

m

l

xy 125◦

70◦

130◦


DEFINICJA Czworokąt, w którym boki są parami równoległe, nazywamyrównoległobokiem.

20. Uzasadnij, że w równoległoboku kąty leżące na przeciwko siebie mają! ⇒równe miary.

Wskazówki i odpowiedzi.

1. 180◦

2.wsk. zobacz definicję kąta półpeł-

nego oraz kątów wierzchołkowych

3.wsk. zobacz definicję kąta półpeł-

nego oraz kątów wierzchołkowych

4.α = 150◦, β = 30◦

5. a) 30, b) 34

6. 280

7. 52

8. a) 67◦, b) 15◦, c) 75◦, d) 47◦,

e) 51◦, f) 23◦, g) 51◦, h) 35◦

9. a) 58◦, b) 73◦, c) 58◦, d) 74◦,

e) 35◦, f) 110◦

10.α = 110◦.

11. a) 29◦, b) 2913◦, c) 45◦,

d) x = 50◦, y = 55◦

13. a) x+ y + z = 210◦,

b) x+ y + z = 64◦

14. a) x = 50◦, y = 115◦,

b) x = 25◦, y = 55◦

15.wsk. przedłuż prostą CL

16.α = 130◦

17. a) x+ y + z = 480◦,

b) α = 30◦, β = 120◦

18.α = 40◦ wsk. poprowadź odpo-

wiednią prostą równoległą

19.x = 55◦, y = 20◦ wsk. przedłuż

jedną z trzech prostych równoległych

i dorysuj jeszcze jedną prostą równo-

ległą

Rozdział 2

SUMA KĄTÓWTRÓJKĄTA

2.1 Kąty (wewnętrzne) w trójkącie

Wpierw udowodnimy twierdzenie o sumie kątów dowolnego trójkąta.

TWIERDZENIE Suma miar kątów dowolnegotrójkąta wynosi 180◦.Dowód:Niech dany będzie dowolny trójkąt ABC. Przezpunkt C prowadzimy prostą k równoległą dopodstawy AB. Taka prosta jest dokładnie jedna.Teraz już wystarczy tylko spojrzeć na rysunek,zobaczyć pary kątów naprzemianległych i widać,że suma wszystkich trzech kątów trójkąta jestrówna kątowi półpełnemu.

A B

Ck

α β

γα β

WNIOSEK Suma kątów czworokąta jest równa 360◦. Wynika to z tego,że czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty.

DEFINICJA Trójkąt w którym wszystkie kąty są ostre nazywamy trój-kątem ostrokątnym. Trójkąt, w którym jeden kąt jest rozwarty nazywamytrójkątem rozwartokątnym. Trójkąt, w którym jeden z kątów jest prostynazywamy trójkątem prostokątnym. Boki wychodzące z wierzchołka kątaprostego nazywamy przyprostokątnymi, zaś bok leżący na przeciwko kątaprostego nazywamy przeciwprostokątną.

16 ROZDZIAŁ 2. SUMA KĄTÓW TRÓJKĄTA

PRZYKŁADOblicz kąty ostre trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrychjest o 26◦ większy od drugiego kąta ostrego.

•

α

α+ 26◦Przy oznaczeniach jak na rysunku obokmamy

α+ α+ 26◦ = 90◦

2α = 64◦

α = 32◦

Zatem kąty ostre trójkąta mają 32◦ i 58◦.

1. Jeden z kątów trójkąta jest równy 25◦, a różnica pozostałych wynosi 15◦.Wyznacz te kąty.

2. Jeden z kątów trójkąta równa się różnicy dwóch pozostałych kątów. Wy-znacz miarę największego kąta w tym trójkącie.

3. Oblicz kąty trójkąta, w którym jeden kąt jest dwa razy większy od dru-giego, a trzeci kąt jest równy sumie dwóch pozostałych.

4. Stosunek miar dwóch kątów w trójkącie α i β wynosi 4 : 5 co oznacza, żeα : β = 4 : 5, zaś trzeci, największy kąt, jest większy od najmniejszegoo 37◦. Wyznacz kąty tego trójkąta.

5. Wyznacz kąty w trójkącie, jeżeli stosunek ich miar wynosi 5 : 3 : 1.

A B

C

α

α

α

110◦ 100◦6. Na podstawie podanych

miar dwóch kątów, wiedzącże trzy kąty mają miarę α,wyznacz α oraz miary ką-tów w trójkącie ABC.

7. W trójkącie ostrokątnym ABC opuszczono z wierzchołka C wysokośćCC ′. Wyznacz miary kątów ACC ′ i BCC ′, jeżeli

ROZDZIAŁ 2. SUMA KĄTÓW TRÓJKĄTA 17

B

E

C

A

DP

130◦

?

8. Na rysunku obok BD i AE są dwu-siecznymi kątów. Miara kąta APBjest równa 130◦. Wyznacz miarękąta ACB. Wsk. oznacz


14. Uzasadnij, że dwa kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych mają! ⇒równe miary

30◦

α30◦

80◦

k

l

a)

15. Na obu rysunkachk ‖ l. Wyznacz α.

45◦

27◦

α

α

k

l

b)

16. Na rysunku obok l1||l2, XY ⊥ l1, zaśAB ⊥ l2. Uzasadnij, że α = β.

17. Uzasadnij, że dwusieczne kątów przyle-głych tworzą kąt prosty. Pamiętaj, żekąty przyległe mają jedno ramię wspólne,a kąty te tworzą razem kąt półpełny.

A

B

X

Yl2

l1

α

β

18. W równoległoboku ABCD kąt przy wierzchołku D jest rozwarty. ZpunktuD poprowadzono dwie wysokości równoległoboku, tworzące kąt α.Uzasadnij, że kąt ostry równoległoboku jest równy α. Przypomnijmy, żewysokość w równoległoboku jest to odcinek łączący parę prostych rów-noległych przechodzących przez boki równoległoboku i prostopadły dotych prostych.


19. Na rysunku obok a ‖ b. Półproste MO→ iEO→ są dwusiecznymi wskazanych kątów.Uzasadnij, że


Ma miejsce przy tym następująceTWIERDZENIE Kąt zewnętrzny wtrójkącie równy jest sumie tych dwóchkątów wewnętrznych trójkąta, które doniego nie przylegają, czyli, że przy ozna-czeniach jak na rysunku obok

α∗ = β + γ A B

C

α

γ

ββγ

α∗

Dowód:Rozważmy kąt zewnętrzny α∗ trójkąta ABC, w którym kąty wewnętrznemają miary α, β i γ. Przez punkt A poprowadziliśmy prostą równoległądo prostej BC. Taka prosta jest tylko jedna, co wynika z przytoczonego napoczątku kursu aksjomatu. Z tego, że te proste są równoległe wynika rów-ność odpowiednich kątów naprzemianległych i odpowiadających, co zostałozaznaczone na rysunku. Ponieważ w każdym trójkącie α+ β + γ = 180◦, aprzy tym α+ α∗ = 180◦ – jako kąty przyległe, wobec tego α∗ = β + γ.Zauważmy dodatkowo, że ponieważ β i γ są liczbami dodatnimi, to z po-wyższej równości wynika, że

α∗ > β i α∗ > γ.

Co możemy sformułować jako

WNIOSEK (z którego nie raz będziemy korzystać) Kąt zewnętrzny w trój-kącie jest większy od każdego z tych kątów wewnętrznych trójkąta, które! ⇒do niego nie przylegają.

23. Cztery kąty zewnętrzne w trójkącie mają po 150◦. Po ile stopni mająpozostałe dwa kąty zewnętrzne?

24. Uzasadnij, że suma wszystkich sześciu kątów zewnętrznych trójkąta wy-nosi 720◦.

25. W trójkącie ABC kąt zewnętrzny przy wierzchołku A ma 40◦. Z wierz-chołków B i C poprowadzono wysokości tego trójkąta. Wyznacz miarękąta ostrego pomiędzy prostymi zawierającymi te dwie wysokości.

26. W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C dwusieczne kątów: we-wnętrznego i zewnętrznego. Dwusieczna CD kąta wewnętrznego tworzyz bokiem AB kąt 126◦. Dwusieczna kąta zewnętrznego przecina prostą


AB w punkcie E. Wyznacz miarę kąta CEB. Wsk. por. zad. 17

A BD E

C

126◦

αα

β

β

PRZYKŁADW trójkącie suma kątów α i β równa jest kątowi γ. Wyznacz miarę kąta γ.

B

C

Aα β

γRozwiązanie

Suma kątów trójkąta jest równa 180◦, wo-bec tego mamy

α+ β + γ = 180◦

Ponieważα+ β = γ,

wobec tego mamy

α+ β + γ = α+ β + α+ β︸︷︷︸=γ

= 180◦

czyli2α+ 2β = 180◦ zaś α+ β = 90◦

Zatem γ = 90◦

27. Postępując w podobny sposób wyznacz miarę kąta γ gdy w trójkącie okątach α, β, γ suma kątów α i β jest

a) równa połowie kąta γb) równa jednej trzeciej kąta γc) dwa razy większa od kąta γd) pięć razy większa od kąta γe) o 60◦ większa od kąta γf) o 30◦ mniejsza od kąta γ


28. W trójkącie prostokątnym ABC dwusieczna kąta prostego tworzy z wy-sokością poprowadzoną z tego samego wierzchołka kąt o mierze 12◦. Wy-znacz miary kątów ostrych w trójkącie ABC.

29. Największy kąt w trójkącie ma 82◦, a najmniejszy 45◦. Z wierzchołkówdwóch mniejszych kątów poprowadzono wysokości trójkąta. Wyznaczmiarę kąta ostrego pomiędzy tymi wysokościami.

PRZYKŁADW trójkącie ostrokątnym ABC dane są miary kątów:


30. Niech w trójkącie ostrokątnym ABC dane będą miary kątów:


k α

A

p

l B βTWIERDZENIE Niech k i l będądwiema różnymi prostymi i niech prostap przecina prostą k w punkcie A, a pro-stą l w punkcie B. Załóżmy ponadto,że miary odpowiadających sobie kątówα i β są równe. Wtedy proste k i l sąrównoległe.

34. Wyznacz α i β. Rozstrzygnij czyAB ‖ CD.

A

D

B

C

33◦

69◦

αβ

62◦35◦

A

B

D

C

35. Na rysunku obok zaznaczono pary równych kątów.Uzasadnij, że lAB ‖ lCD.

36. W czworokącie ABCD mamy:


20. Rozpatrz poniższe dwa przypadki

A

C

B

D

αα

A

C

B

D

αα

W pierwszym przypadku mamy 80◦, 80◦, 20◦, a w drugim 40◦, 40◦, 100◦.

21. Spójrz na rysunek

D

C

A C ′ B

α β

x

γ2

i zauważ, że suma kątów ostrychw trójkącie AC ′C jest równa su-mie kątów ostrych w trójkącieCC ′D. To ci da równanie ozmiennej x. Równie dobrze mo-żesz skorzystać z faktu, że sumakątów ostrych w trójkącie ACC ′

jest równa sumie kątów ostrych wtrójkącie BCC ′.

22.α = 25◦, β = 83◦

23. 60◦

25. 40◦ wsk. Co to jest wysokość wtrójkącie?26. 36◦

27. a) γ = 120◦ b) γ = 135◦

c) γ = 60◦ d) γ = 30◦ e) γ = 60◦

f) γ = 105◦

28. 33◦, 57◦

29. 82◦

30. a) 12(α+ β)b) 90◦ − 12α−

12β

c) 90◦ + 12α d) α+ β e)12α

32.α = 115◦, β = 65◦

33. 108◦ i 72◦

34.α = 36◦, β = 49◦, nie są równole-głe.

Rozdział 3

POLA FIGUR.

a a

b

bObecnie uporządkujemy naszą wiedzę geo-metryczną związaną z polem prostokąta,trójkąta, trapezu i równoległoboku. Przy-pomnijmy wpierw, że prostokąt jest to rów-noległobok, w którym wszystkie kąty sąproste.

Prostokąt, w którym wszystkie boki są równej długości nazywamy kwadra-tem. Ponieważ prostokąt jest równoległobokiem więc jego równoległe bokisą równej długości.

Teraz sformułujemy dobrze nam znany fakt geometryczny w postaci:

AKSJOMAT Pole prostokąta o bokach długości a, b równe jest ab, czylijest równe iloczynowi długości jego boków.

WNIOSEK Pole kwadratu o boku długości a jest równe a2.

UWAGA Przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty.Z dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a, bmożna „złożyć” prostokąt o bokach długości a, b.

Z tego co powiedzieliśmy dotychczas wynika następujące:

ROZDZIAŁ 3. POLA FIGUR. 27

a a

b

b

P = 12ab

P = 12ab

TWIERDZENIEPole trójkąta prostokątnego o przy-prostokątnych długości a i b jestrówne połowie pola prostokąta o bo-kach długości a i b, czyli jest równe12ab.

W poniższych zadaniach od 1 do 4 należy korzystać tylko z wzoru na poleprostokąta oraz wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

5 4 3

1. Figura na rysunku obokskłada się z 3 kwadratów opodanych długościach boków.Wyznacz pole zacieniowanegoobszaru.

2. Figura na rysunku poniżej składa się z 4 kwadratów o podanych długo-ściach boków. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru.

8 4 6 5

3. Figura na rysunku obokskłada się z 3 kwadratówo bokach długości 6, 4, 3.Wyznacz pole zacieniowa-nego obszaru.

6 4 3

2

28 ROZDZIAŁ 3. POLA FIGUR.

4. Figura na rysunku poniżej składa się z 4 kwadratów o bokach długości7, 8, 5 i 10. Wyznacz pole zacieniowanego obszaru.

7 8 5 10

l

A

DEFINICJA Rzutem prostopadłym punktuA na prostą l jest punkt przecięcia prostej l zprostą, która przechodzi przez punkt A i jestprzy tym prostopadła do l.

DEFINICJA W trójkącieABC przezA′ oznaczmy rzut prostopadły punktuA na prostą BC. Wtedy odcinek AA′ nazywamy wysokością trójkąta (wy-chodzącą z wierzchołka A), zaś punkt A′ nazywamy spodkiem (podstawą)wysokości.

BC A′

A

h

a A′ = C B

A

h

a BC A′

A

aC B A′

h

Zauważmy, że długość tego odcinka, który jest wysokością trójkąta, jest od-ległością wierzchołka A od prostej BC, czyli krótko mówiąc ha = d(A, lBC).W dalszym ciągu mówiąc ogólnie o trójkącie, używać będziemy następują-cych oznaczeń:

γ

C

β

B

α

A

ab

c

hc

hbha

• A, B, C – wierzchołki trójkąta• a, b, c – długości boków leżących od-

powiednio naprzeciwko tych wierz-chołków

• α,β, γ – odpowiednie miary kątów• ha, hb, hc – odpowiednie wysokości

w trójkącie


Nazywamy je oznaczeniami standardowymi. Ich konsekwentne używa-nie ułatwia nam komunikację i (co za tym idzie) rozumienie (materiału).Zauważ, że na rysunku powyżej wszystkie trzy wysokości przecinają się wjednym punkcie. W rzeczywistości w każdym trójkącie ostrokątnym wyso-kości przecinają się w jednym punkcie. W trójkącie rozwartokątnym, trzyproste na których leżą te trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie.Fakt ten zostanie udowodniony w dalszej części kursu. Oczywistą rzecząjest, że wspólnym punktem wszystkich trzech wysokości trójkąta prostokąt-nego jest wierzchołek kąta prostego.Obecnie udowodnimy twierdzenie o polu dowolnego trójkąta.

TWIERDZENIE Pole trójkąta równe jest połowie iloczynu długości bokui opuszczonej na ten bok wysokości. Czyli

P =1

2aha =

1

2bhb =

1

2chc.

DowódWiemy już, że pole trójkąta prostokątnego równe jest 12ah. Pokażemy,że podobnie jest w przypadku trójkąta ostrokątnego i rozwartokątnego.Oznaczmy w obu poniższych przypadkach na użytek tego dowodu pole pro-stokąta, w który wpisany jest trójkąt przez P�, a pole trójkąta przez P4.Przypadek 1 – trójkąt ostrokątny.

P1

P1 P2

P2

h h

a

P4

Zauważmy, że w tym przypadku wyso-kość h podzieliła opisany na trójkącieprostokąt na dwa prostokąty. Każdyz tych dwóch mniejszych prostokątówpodzielony jest przez odpowiedni boktrójkąta na dwa przystające trójkątyprostokątne. Wobec tego z jednej stronymamy

P� = a · ha z drugiej strony pole prostokąta jest sumą czterech trójkątów prostokąt-nych, czyli

P� = P1 + P1 + P2 + P2 = 2P1 + 2P2 = 2(P1 + P2).

Widać, że P4 = P1 + P2 = 12P�, a ponieważ P� = a · h czyli12P� =

12a · h

więc P4 = 12ah.


Przypadek 2 – trójkąt rozwartokątny.

P4 Px

a x

h

Zauważmy, że w tym przypadku P4+Px jestpołową pola prostokąta opisanego na naszymtrójkącie, czyli

P4 + Px =1

2(a+ x)h =

1

2ah+

1

2xh,

a ponieważ1

2xh = Px

więc wobec tego

P4 + Px =1

2ah+ Px,

a stąd mamy

P4 =1

2ah.

5. Dwa boki trójkąta sa równe 8 i 10. Wysokość poprowadzona do krót-szego z nich jest równa 5. Jaką długość ma wysokość poprowadzona do! ⇒drugiego boku?

A BE

C

Dhc

hd

6. Oblicz pole trójkąta ACD na ry-sunku obok, jeżeli w trójkącieABC mamy hc = 10, w trój-kącie AED mamy hd = 5, polatrójkątów AED i BCE są równe,czyli krótko PAED = PBCE oraz|EB| = 4.

7. Na rysunku obok PABC = 63,|AD| = 6, |DB| = 8, |BE| = 5,|EC| = 7. Wyznacz PDEC .

A B

C

D

E

8. Dany jest kwadrat ABCD o polu równym 64. Punkt O leży wewnątrztego kwadratu, a przy tym PABO = 6. Wyznacz PCDO.

9. Punkt E leży wewnątrz kwadratu ABCD o polu 81 cm, PABE =15 cm2,PBCE =12 cm2. Wyznacz wysokości trójkątów CDE i DAE wychodzącez wierzchołka E.


10. Punkt X leży wewnątrz prostokąta ABCD, w którym |AB| = a,|BC| = b. Wyznacz PABX + PCDX .

A

DF

B

E

C

X

11. Punkt X, na rysunku obok, leży wewnątrz pro-stokąta ABCD. Punkty E i F leżą na jego bo-kach, przy czym |AB| = 7, |AD| = 9, |FC| = 2,|EC| = 3, d(X, lAB) = 4, d(X, lAD) = 1. Wy-znacz PABXD, PBDX , PBEX , PECFX , PBFX .

PRZYKŁADStosunek długości dwóch odcinków jest równy 212 . Jeden z tych odcinkówjest o 8 dłuższy od drugiego. Wyznacz długości obu odcinków.

RozwiązanieOznaczmyx – długość dłuższego odcinkay – długość krótszego odcinkaMamy wówczas {

xy = 2

12 (1)

x = y + 8 (2)Przekształcając pierwszy warunek mamyxy =

52 , czyli 5y = 2x, czyli y =

25x. (3)

Wstawiając to do (2) mamyx = 25x+ 835x = 8x = 403 = 13

13 .

Wstawiając to do (3) mamyy = 25 ·

403 =

163 = 5

13 .

Odpowiedź: długość dłuższego odcinka to 1313 , a krótszego 513 .

12. Stosunek długości dwóch odcinków, czyli iloraz ich długości, równy jest113 . Oblicz długości tych odcinków, jeżeli jeden z nich jest o 2 dłuższyod drugiego.

13. Różnica długości dwóch odcinków równa jest 12, a ich stosunek długościrówny jest 213 . Wyznacz długości tych odcinków.

14. Stosunek długości dwóch odcinków równy jest 0,5, a stosunek długościodcinków o 3 dłuższych od nich wynosi 0,6. Wyznacz długości tych od-cinków.


A B D

C

15. Na rysunku obok PADC = 1212 , PABC = 5,|AB| = 2. Wyznacz |BD|.

16. W czworokącie ABCD na rysunku obok prze-kątne AC i BD przecinają się w punkcie O,przy czym |AO| = 2, |OC| = 5, PAOB = 3,PCDO = 6. Wyznacz PBCO oraz wysokość hdw trójkącie AOD (czyli wysokość opuszczonąna prostą AC).

A B

D

O

C

2

4

Zauważmy teraz, że ma miejsce następujące:

TWIERDZENIEJeżeli dwa trójkąty mają podstawy le-żące na jednej prostej i wspólny wierz-chołek poza tą prostą, to stosunek póltych trójkątów równy jest stosunkowidługości tych podstaw.

A B C D

E

a b

h

Dowód: Dla dowodu spójrz na rysunek i zauważ przy tym, że

PABE =1

2ah, PCDE =

1

2bh, stąd

PABEPCDE

=12ah12bh

=a

b.

A B C D

E

17. Podstawy AB i CD trójkątów ABE iCDE na rysunku obok leżą na jednejprostej, przy czym |AB| = 5, |CD| = 3,PCDE = 2. Wyznacz PABE


18. Wierzchołki P,Q,R, S trójkątów PQTi RST leżą na jednej prostej, przy czym|PQ| = 6, |RS| = 7, PPQT = 9. Wy-znacz PRST .

P QR S

T

19. W trójkącie ABC punkt D leży na boku AB, przy czym |AD| = 4,|DB| = 5, PABC = 40. Wyznacz wysokość hc trójkąta DBC, wycho-dzącą z wierzchołka C.

A CB D

E

20. Punkty A,B,C,D, na rysunku obok, leżąna jednej prostej, przy czym |AB| = 2,|BC| = 3, |CD| = 5, PCDE = 8. WyznaczPABE , PBCE .

21. Na przekątnej AC czworokąta ABCD obrano punkt E tak, że PABE = 6,

PBCE = 7, PADE = 5. Wyznacz a)AE

EC, b) PCDE .

22. Punkty A,B,D,E leżą na jednej prostej.Wiedząc, że PABC = 4, PDEC = 14,PDEF = 6, wyznacz

a)AB

DE, b) PABF .

A D

C

B

F

E

A

D C

B

F

M

K

E

N

L

hf

23. Na bokach prostokąta ABCD zbudowanotrójkąty DNE, MCE oraz AKF i LBF ,przy czym KN ⊥ AB, LM ⊥ AB.Wiedząc, że PMCE = 4, PDNE = 7,PAKF = 3, wyznacz PBLF . Wiedząc do-datkowo, że |MC| = 3 wyznacz |DN |oraz wysokość hf trójkąta KLF wycho-dzącą z wierzchołka F .


24. Czworokąt ABCD na rysunku obok prze-kątne AC i BD podzieliły na cztery trój-kąty. Na podstawie podanych pól trzechtrójkątów wyznacz pole x czwartego trój-kąta.

2 x

95A

B

C

D

25. Na poniższych trzech rysunkach trójkąt ABC został podzielony trzemaodcinkami na pięć trójkątów. Na podstawie informacji o polach trzechtrójkątów, wyznacz pola pozostałych dwóch trójkątów.

x

12

y3

9

2

x

y1

2

8

12

yx

3

x

12

y3

x

26. Trójkąt na rysunku obok został podzielony trzemaodcinkami na pięć trójkątów. Pola dwóch z tychpięciu trójkątów są takie same. Na podstawie in-formacji o polach dwóch trójkątów wyznacz polapozostałych trójkątów.

DEFINICJA Trapezem nazywamy czworokąt wypukły o co najmniej jed-nej parze boków równoległych. Te dwa równoległe boki nazywamy podsta-wami trapezu. Pozostałe dwa boki nazywamy ramionami trapezu. Od-cinek prostopadły do obu podstaw łączący te podstawy, względnie prostezawierające podstawy, nazywamy wysokością trapezu. Trapez, w którymco najmniej jeden kąt jest prosty, nazywamy trapezem prostokątnym.

UWAGA Z tej definicji wynika, że równoległobok jest trapezem.

TWIERDZENIE Pole trapezu o podstawach długości a, b oraz wysokościh równe jest (a+b)h2

a

b

h h

a

b

hh

a

b

hh


Dowód Zauważ, że w każdym z powyższych trzech przypadków przekątnatrapezu dzieli go na dwa trójkąty o równoległych podstawach. A zatemwysokości obu trójkątów opuszczone na te równoległe podstawy są tej samejdługości. Przeto w każdym przypadku mamy:

P =1

2ah+

1

2bh.

Wyłączając 12h przed nawias mamy:

P =1

2h(a+ b) =

(a+ b)h

2.

WNIOSEK Ponieważ równoległobok jest trapezem, wobec tego pole rów-noległoboku jest równe iloczynowi długości boku i wysokości opuszczonejna ten bok, bo obie podstawy są w nim równej długości. Mamy zatem

P = 12(a+ a)h =12 · 2ah = ah.

A B

D C F E27. W kwadracie ABCD na rysunku

obok długość boku jest równa 4.Punkty D,C,E, F leżą na jednejprostej. Wyznacz pole równoległo-boku ABEF

28. Pole równoległoboku ABEF na ry-sunku obok równe jest 25. Wyznaczdługość boku x kwadratu ABCD.

A B

D CF E

A B

D CF E

29. Pole równoległoboku ABCD równejest 100. Wyznacz pole kwadratuABEF

30. W trapezie o podstawach b i c oraz wysokości h podstawa c jest trzy razydłuższa niż b, a wysokość h jest równa połowie długości c. Oblicz b, c ih wiedząc, że pole trapezu równe jest polu prostokąta o bokach długości3 i 36.


31. Pole trapezu ABCD równe jest 900 cm2. Długości podstaw trapezurówne są |AB| = 25cm, |CD| = 20cm. Wyznacz PABC .

32. Punkt E, na rysunku obok, leży wewnątrztrapezu prostokątnego ABCD, przy czym|AB| = 18, |CD| = 10, |AD| = 9,d(E, lAB) = 2, d(E, lAD) = 6. WyznaczPBCE , PAEC .

A

D

F

B

C

E

G

A

B

G

D

C

E

F

10

3 5

4

4

33. Punkt G, na rysunku obok, leży wewnątrzprostokąta ABCD, zaś punkty E i F leżą najego bokach. Na podstawie podanych dłu-gości niektórych odcinków wyznacz PFGE ,PBEF , PBCEG, PBDG.

34. W trapezie ABCD, na rysunku obok,|DC| = 6, |AB| = 18, wysokość hetrójkąta CDE równa jest 4. ObliczPBCE , jeżeli PABCD = 84.

A

E

B

CD

he

BA

D E Cx+ 4 x35. W trapezie prostokątnym ABCD, na rysunku

obok, wysokość BE wychodząca z wierzchołkakąta rozwartego


36. Na poniższym rysunku w prostokącie ABCD punkt E leży na boku AB,zaś punkt F na boku AD. Wiedząc, że

D F A

E

BC (a) |BC| = 6, |AB| = 10, |DF | = 4, PAEF = 9.Wyznacz |EB|.

(b) |CD| = 8, |BC| = 5, |AE| = 6, PCDF jest o 6większe od PAEF . Wyznacz PCEF .

(c) |AF | = 2, |CD| = 10, |BC| = 6, PEBC jest o 10większe od PAEF . Wyznacz PFEC .

(d) |AB| = 10, |BC| = 7, |DF | = 3, PCEF =PAFE + PFCD + PBCE − 5. Wyznacz PAFE .

(e) |AB| = 10, |BC| = 7, |DF | = 2, PBCE = 3 ·PFAE . Wyznacz |AE|.

37. W prostokącie ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Nabokach prostokąta obrano punkty P,Q,R, S, przy czym P ∈ AB (cooznacza, że punkt P leży na boku AB), Q ∈ BC, R ∈ CD i S ∈ DA.Dane są również pewne odległości, a mianowicie: |AP | = 6, |BP | = 4,|CQ| = 1, |DR| = 4, |AS| = 3. Wyznacz PPQRS .

38. W prostokącie ABCD na rysunkuobok mamy: |AB| = 10, |AF | = 4,|AE| = 2, PABCD = 50, PEFG = 13.Wyznacz |CG|.

B

C

A

E

D

F

G x

A

E

B

CD

he39. W trapezie ABCD na rysunku obok|AB| = 16, |CD| = 6, PABE = 40,PCDE = 3. Wyznacz PABCD, PBCE .


40. Dany jest trapezABCD o podstawach różnej długości |AB| = a, |CD| = bi wysokości h. Na odcinku będącym wysokością trapezu obieramy punktE tak, aby PABE + PCDE było równe połowie pola trapezu. Policz najakiej długości odcinki punkt E dzieli wysokość h.

A

D

B

E

C

he

41. W trapezie ABCD na rysunku obokPABE = 33, PCDE = 6. W trójkącie ABEwysokość he wychodząca z wierzchołka Ema długość 6, zaś suma (różnych) długościpodstaw trapezu jest równa 17. Wyznaczwysokość h trapezu ABCD oraz PADE .

42. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz kreską odcinek AB, wktórym A = (−1, 2), B = (2, 2). Następnie zaznacz

(a) trzy takie punkty C leżące na jednej prostej, dla których PABC = 3,

(b) pięć takich punktów C nie leżących na jednej prostej, dla którychPABC = 3,

(c) zbiór tych wszystkich punktów C, dla których PABC = 3.

Obecnie sformułujemy kolejne twierdzenie o polach trójkątów.

TWIERDZENIE Jeżeli dwa trójkąty mają wspólną podstawę, a pozostałewierzchołki leżą na prostej równoległej do tej podstawy, to trójkąty te mająrówne pola.Dowód:

A BC ′1

C1

C ′2

C2

h h

Rozpatrzmy trójkąty ABC1 i ABC2 owspólnej podstawie AB, przy czymC1C2 ‖ AB. Zauważmy, że wobec tego wy-sokości C1C ′1 i C2C

′2 opuszczone na pro-

stą AB mają taką samą długość, którąoznaczmy h, zaś długość podstawy ABoznaczmy a. Wobec tego mamy

PABC1 =1

2ah, jak również PABC2 =

1

2ah.

43. Niech dany będzie trapez ABCD o podstawach AB i CD. Niech jego! ⇒przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że PBCO = PDAO.


A B

D C

3010

O

44. Przekątne trapezu o polu 160 dzielą go nacztery trójkąty tak jak na rysunku obok. Po-dane są pola dwóch trójkątów. Wyznacz poletrójkąta ABO.

45. Przekątne AC i BD trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinająsię w punkcie O i podzieliły trapez na cztery trójkąty, przy czyma) PABO = 12, PBCO = 7; b) PABO = 16, PCDO = 9. Wyznacz poletrapezu.

46. W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC i BD prze-cinają się w punkcie O, przy czym |AB| = 3, PABO = 3, PAOD = 12.Wyznacz(a) PABC ,

(b) wysokość hc w trójkącie ABC,

(c) PCDO,

(d) wysokość ho w trójkącie COD.

47. W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC i BD przeci-nają się w punkcie O, przy czym PBCO = 3 ·PABO, |AB| = 2. Wysokośćtrapezu jest równa 4. Wyznacz PABO, |CD| oraz wysokość ho trójkątaCDO opuszczoną na podstawę CD. Wsk. w trójkątach ABO i CBOpodstawy AO i CO leżą na jednej prostej, a wierzchołek B jest wspólnydla obu trójkątów. Podobnie rzecz się ma w trójkątach AOD i OCD.

48. Na rysunku obok k ‖ l.Wyznacz pole czworo-kąta BHEG wiedząc, żePAGD = 7, zaś PCFH = 9.

D E F

k

l

A B C

GH

7 9

49. Pole prostokąta jest równe polu pewnego kwadratu. Długość jednego zboków prostokąta jest o 20 większa od długości boku tego kwadratu, zaśdługość drugiego boku prostokąta jest o 10 mniejsza od długości bokukwadratu. Wyznacz długość x boku kwadratu.

50. Kwadrat i trójkąt mają takie samo pole. Bok kwadratu i podstawatrójkąta mają taką samą długość. Wysokość trójkąta opuszczona na tępodstawę jest równa 12. Wyznacz pole trójkąta.


51. Uzasadnij, że jeżeli z punktu położonego wewnątrz trójkąta równobocz-nego poprowadzimy odcinki prostopadłe do boków trójkąta, to suma! ⇒długości tych odcinków jest równa wysokości trójkąta równobocznego.

A

D

B

CE F G 52. Uzasadnij, że pole zacieniowanego obszaru

prostokąta ABCD równe jest połowie polaprostokąta.

53. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennymwysokości wychodzące z wierzchołków przypodstawie mają równą długość.

A B C

DEFG

54. Pole równoległoboku ABDE jest 3razy mniejsze od pola prostokątaACDG. Pole kwadratu ABFGrówne jest 16. Wyznacz |AC|.

55.* Punkt E leży na zewnątrz kwadratu ABCD. Dłu-gość boku kwadratu jest równa a. Oblicz pole za-cieniowanego obszaru.

A B

CD

E

56.* Pole kwadratu ABCD jest równe c. Punkt O leży wewnątrz kwadratu,a przy tym PABO = a, PBCO = b. Wyznacz: a) PCDO, b) pole Pprostokąta, w którym BO jest przekątną, a pozostałe dwa wierzchołkileżą na bokach AB i BC kwadratu ABCD.

57.*W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, |BC| = 15,|AC| = 20, |AB| = 25. Punkt D leży na boku AB i jest tak samooddalony od prostej AC jak od prostej BC. Wyznacz tę odległość d.

58.*W trapezie ABCD o podstawach AB i CD: |AB| = a, |CD| = b,wysokość ma długość h. Punkt E leży wewnątrz trapezu. Wyznaczodległość d punktu E od podstawy AB tak, abyPABE + PCDE = PBCE + PADE .

59. W trójkącie prostokątnym ABC kąt C jest prosty, |AC| = 6, |BC| = 8.Dwusieczna kąta prostego przecina bok AB w punkcie D. WyznaczPADC i PDCB.


60. Na rysunku obok punkty P ,Q,R,Ssą środkami boków czworokątaABCD. Uzasadnij, że zacieniowanepole jest połową pola czworokątaABCD.

A P B

CRD

QS

A′

A

C

BB′

61. Trójkąt ABC na rysunku obok mapole równe 7. Odcinek AB′ jestdwukrotnie dłuższy od odcinka AB,zaś odcinek CA′ jest dwukrotniedłuższy od odcinka CA. Wyznaczpole trójkąta AB′C oraz trójkątaA′B′C.

Wskazówki i odpowiedzi.

1.P = 20

2.P = 83123.P = 42

4.P = 92

5.h = 4

6.PACD = 20

7.PDEC = 21

8.PCDO = 26

9. w trójkącie CDE h = 523 , w trój-

kącie DAE h = 61310.PABX + PCDX = 12ab

11.PABXD = 1812 , PBDX = 13,

PBEX = 18, PECFX = 14,

PBFX = 23

12. 6 i 8

13. 21 i 9

14. 6 i 12

15. |BD| = 316.PBCO = 712 , h = 2

25

17.PABE = 31318.PRST = 101219.hc = 88920.PBCE = 445 , PABE = 3

15

21. AEEC =67 , PCDE = 5

56

22. ABDE =27 , PABF =

127

23.PBLF = 157 , DN = 514 , hf = 1

17


24. 33525. a) x = 4, y = 913 , b) x = 4, y = 3,

c) x = 2, y = 5

26.x = 6, y = 9

27.PABEF = 16

28.x = 5

29.PABEF = 100

30. b = 6, c = 18, h = 9

31.PABC = 500 cm2

32.Wsk. Wpierw zrób staranny ry-

sunek, a następnie wyznacz kolejno

PFECD, PGBE , itd.

odp. PBCE = 46, PAEC = 17

33.PFGE = 10, PBEF = 34,

PBCEG = 34, PBDG = 9

34.PBCE = 45

35. a) |EB| = 1, b) PCEF = 17,c) PFEC = 20, d) PAFE = 1623 ,

e) |AE| = 3 31136.PPQRS = 26

37. |AB| = 12, |CD| = 2038. |CG| = 339.PABCD = 66, PBCE = 23

40. Odcinki równej długości czyli h241.h = 8, PADE = 29

43.wsk.skorzystaj z odpowiedniego

twierdzenia o polach trójkątów

44.PABO = 90

45. a) PABCD = 30 112 ,

b)PABCD = 49

46.PABC = 15, hc = 10,

PCDO = 48, ho = 8

47.PABO = 1, CD = 6, ho = 3

48.PBHEG = 16

49.x = 20

50.P = 36

51.wsk. zauważ, że ten punkt dzieli

nasz trójkąt równoboczny na trzy

trójkąty

54. |AC| = 1255. 12a

2

56.PCDO = 12c− a, P =4abc

57. d = 84758. d = 12h

59.PADC = 1027 , PBCD = 1357

61.PAB′C = 14, PA′B′C = 28

Rozdział 4

TRÓJKĄTY PRZYSTAJĄCE.

A

A′

B′

B

C

C ′DEFINICJA Dwa trójkąty nazy-wamy przystającymi, jeżeli mają od-powiadające sobie boki i odpowiada-jące sobie kąty równe.

To, że trójkąt ABC przystaje do trójkąta A′B′C ′ będziemy oznaczać4ABC ≡ 4A′B′C ′.

Zapis 4ABC ≡ 4A′B′C ′ oznacza, że|AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C ′|, |AC| = |A′C ′|,

oraz

44 ROZDZIAŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTAJĄCE.

PRZYKŁADDany jest czworokąt ABCD, w którym |AB| = |CD| oraz |AD| = |BC|.Uzasadnij, że 4ADB ≡ 4CBD.

UzasadnienieW trójkątach ABD i CDB z założenia mamy:

|AB| = |CD|,|AD| = |BC|.

Odcinek BD jest wspólny dla obu trójkątów.Wobec tego na mocy cechy BBB przystawaniatrójkątów 4ADB ≡ 4CBD.Podobnie uzasadniamy, że 4ABC ≡ 4CDA. A

D

B

C

Cecha BKB (bok, kąt, bok):Jeżeli dla trójkątów ABC i A′B′C ′ zachodząrówności:|BA| = |B′A′|,

ROZDZIAŁ 4. TRÓJKĄTY PRZYSTAJĄCE. 45

PRZYKŁADPrzekątna BD podzieliła czworokąt ABCD na dwa trójkąty, przy czym|AB| = |CD| oraz


PRZYKŁADOdcinek BD podzielił czworokąt ABCD na dwa trójkąty, przy czym


8. Uzasadnij, że punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli każdą! ⇒z nich na połowy.

Wyniki ostatnich dwóch zadań oraz zadanie 20 z rozdziału 1 można krótkosformułować następująco:

W równoległoboku:

• kąty przeciwległe są równe,

• odcinki przeciwległe są równej długości,

• punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na połowy.

9. Odcinki AB i CD przecinają się w punkcie O, przy czym |AO| = |OB|i |CO| = |OD|. Uzasadnij, że |AC| = |BD|.

10. Odcinki AD i BC przecinają się w punkcie O, przy czym |BO| = |CO|oraz


D

F

CB

A

E

a ba

16. Punkty A, B, C, D leżą w tej właśnie kolej-ności na jednej prostej, przy czymAB = CD. Punkty E i F leżą po przeciw-nych stronach tej prostej, przy czym


23. W sześciokącie KLMNOP na rysunkuobok |KP | = |KL|, |PO| = |LM |,|ON | = |MN | oraz


29. W trójkącie prostokątnym ABC kąt C jest prosty, |AB| = c,|BC| = a, |AC| = b. Dwusieczne kątów ostrych przecinają się w punk-cie D. Wyznacz odległość punktu D od boków tego trójkąta. Wsk.skorzystaj z odpowiedniego zadania o przystawaniu trójkątów.

A E H B

D G F C

O

4 2

6

30. W prostokącie ABCD, na rysunkuobok, poprowadzono przekątne ACi BD, które przecinają się w punk-cieO. Przez punktO poprowadzonoodcinki EF i GH łączące przeciwle-głe boki prostokąta.

(a) Uzasadnij, że 4OCF ≡ 4OAE, 4GOF ≡ 4HOE.(b) Uzasadnij, że wysokość trójkąta CFO opuszczona na prostą FC

ma długość 4, wiedząc, że długość boku BC jest równa 8.(c) Wyznacz pole zacieniowanego obszaru na podstawie podanych dłu-

gości odcinków.

A B C

DE

αα

31. Punkty A,B,C na rysunku obokleżą na jednej prostej, przy czym|AB| = 7, |AC| = 12, |CD| = 4.Korzystając tylko z cech przysta-wania trójkątów oraz poznanychwzorów na pole trójkąta czy teżtrapezu wyznacz |AE|.

32. Przekątne prostokąta ABCD na rysunkuobok przecinają się w punkcie O. Uzasad-nij, że PECO = PFAO. O

A

D

F

B

C

E

O

3 3 4

2

2

2 33. Wiedząc, że O jest punktem przecięcia prze-kątnych w prostokącie na rysunku obok ko-rzystając z wyniku poprzedniego zadania,wyznacz pole P zacieniowanego obszaru.

34. W równoległoboku ABCD poprowadzono przekątną AC. Wykaż, żed(D, lAC) = d(B, lAC).


DEFINICJA Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący środekboku trójkąta z przeciwległym mu wierzchołkiem trójkąta.

35. Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie ABC boki AC i BC są równej długości, ! ⇐to


43. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Pokaż, że wierzchołkiB i C są jednakowo odległe od prostej AD. Rozpatrz trójkąt, w którymżadne dwa boki nie są równej długości. Wsk. co to jest odległość punktuod prostej?

44. Uzasadnij, że jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jest on tak samo! ⇒odległy od obu ramion kąta.

45. Uzasadnij, że jeżeli trójkąt jest równoramienny, to wysokości opuszczonena równe boki są równej długości. Rozpatrz zarówno trójkąt rozwarto-kątny jak i ostrokątny.

46. Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie dwie wysokości są równej długości, toboki na które są one opuszczone są równej długości czyli ten trójkąt jestrównoramienny.

47. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym dwusieczne kątów przy pod-stawie są równej długości.

48. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym środkowe wychodzące z wierz-chołków przy podstawie są równej długości.

49. Dany jest kąt o wierzchołku O. Niech półprosta OS będzie jego dwu-sieczną. Prowadzimy prostą prostopadłą do tej dwusiecznej. Ta prostaprzecina ramiona kąta w punktach A i B. Uzasadnij, że trójkąt AOBjest równoramienny.

A B

D

E

C 50. (matura 2010) Trójkąty równoramienneABC i DEC na rysunku obok mająwspólny wierzchołek C, a przy tym


A B

H

C

45◦PRZYKŁADDany jest trójkąt ostrokątny ABC, przy czym


C

A BM

L

P

51. Dany jest trójkąt ABC, w którym


A

D

B

P

CQ

45◦

52. Punkty P i Q leżą odpowiednio na bokach BC iCD kwadratu ABCD, przy czym


PRZYKŁADOWE UZASADNIENIA

A

B

D

C

1. W trójkątach BDC i BDA z założeniamamy:


4. W trójkątach ADF i ABE

|AD| = |AB|,bowiem są to długości boków kwadratu.

|DF | = |BE|,bowiem są to połowy długości boków kwadratu,


8. Rozważmy dowolny równoległobokABCD, w którym przekątne AC i BD przeci-nają się w punkcie O.W trójkątach ABO i CDO mamy

|AB| = |CD|,bo są to równoległe boki równoległoboku.

O

D C

A B

Dodatkowo


C

BA

A1 B1

11. W trójkątach CBA1 i CAB1 mamy

|CB| = |CA|,bo to są ramiona trójkąta równoramiennego ABC.Z założenia wiemy, że

|CA1| = |CB1|.Kąt


więc


D

F

CB

A

E

a ba

16. Oznaczmy

|AB| = |CD| = a,|BC| = b.

Z tego wynika, że

|AC| = a+ b = |BD|.

Wobec tego w trójkątach AFC i DEB

|AC| = |BD| = a+ b.Z założenia wiemy, że


c) W trójkątach ADF i ADE mamy

|AF | = |ED| i |AE| = |FD| – jako długości odpowiadającychsobie boków w trójkątach przystających.Odcinek AD jest wspólnym bokiem obu trójkątów. Wobec tego na mocycechy BBB przystawania trójkątów 4AED ≡ 4DAF .

A

C

B

DP

18. Ponieważ odcinek AB jest wspólnym bo-kiem trójkątów ABC i ABD, zaś z założenia


A

F

C E

D

B

20. Ponieważ


E

B

D

G

A

C

F

24. Ponieważ


28. Rozpatrzmy trójkąty przy-stające ABC i PQR tak jak narysunku obok. Mamy wówczas


A

BC D

E

F

43. W trójkącie ABC punkt D jest środkiemboku BC, co oznacza, że |CD| = |DB|.Poprowadźmy odcinki BE i CF prostopadłe doprostej AD. Ich długości to są właśnie odległościtych punktów od prostej AD. Punkty E i F leżąna tej prostej.Rozważmy trójkąty CFD i BED. W trójkątachtych

Rozdział 5

WYRAŻENIAALGEBRAICZNE.

5.1 Wzory skróconego mnożenia

Pewne szczególne wzory algebraiczne nazywamy wzorami skróconego mno-żenia. Niech 4 i � oznaczają dowolne wielkości, wówczas

(4+�)2 = (4+�)(4+�)= 4(4+�) +�(4+�)= 42 +4�+4�+�2

= 42 + 24�+�24 �

4

�

42

4� �2

4�

Na rysunku widać, że kwadrat o boku długości 4+�, został podzielony nacztery prostokąty o polach 42, 4�, 4�, �2 czyli jego pole(4+�)2 = 42 + 24�+�2. Mamy zatem, dla dowolnych 4,�

(4+�)2 = 42 + 24�+�2

PRZYKŁADY

W wyrażeniu (2x+7)2 mamy: 4 = 2x,zaś � = 7, wobec tego

(2x+ 7)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 7 + 72

= 4x2 + 28x+ 49 4 = 2x

� = 7

4x2

14x 72 = 49

14x

2x 7

68 ROZDZIAŁ 5. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE.

Podobnie dla (x + 2y)2 mamy 4 = x,zaś � = 2y, wobec tego

(x+ 2y)2 = (x)2 + 2 · x · 2y + (2y)2

= x2 + 4xy + 4y2 x2

2xy 4y2

2xy

x 2y

x

2y

Podobnie możemy pokazać, że

(4−�)2 = (4−�)(4−�)= 4(4−�)−�(4−�)= 42 −4�−4�+�2

= 42 − 24�+�2

czyli krótko

(4−�)2 = 42 − 24�+�2

PRZYKŁADYW wyrażeniu (2a− 5)2 mamy 4 = 2a, zaś � = 5, wobec tego

(2a− 5)2 = (2a)2 − 2 · 2a · 5 + 52

= 4a2 − 20a+ 25

Podobnie w wyrażeniu (3x − 2y2)2 mamy 4 = 3x, � = 2y2, wobec tegomamy

(3x− 2y2)2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2y2 + (2y2)2

= 9x2 − 12xy2 + 4y4

Zauważmy, że ma miejsce również wzór: (4 + �)(4 − �) = 42 − �2.Faktycznie

(4+�)(4−�) = 4(4−�) +�(4−�)= 42 −4�+�4−�2

= 42 −�2

ROZDZIAŁ 5. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE. 69

czyli krótko

(4+�)(4−�) = 42 −�2

PRZYKŁADY zamiany iloczynu na sumę algebraiczną.

(4a− 3b)(4a+ 3b) = (4a)2 − (3b)2

= 16a2 − 9b2

(x− 2y2)(x+ 2y2) = x2 − (2y2)2

= x2 − 4y4

PRZYKŁADY zamiany sumy algebraicznej na iloczyn.

9a2 − 16b2 = (3a)2 − (4b)2

= (3a− 4b)(3a+ 4b)1− 25x4 = 12 − (5x2)2

= (1− 5x2)(1 + 5x2)

1. Korzystając z wzorów skróconego mnożenia zapisz w postaci sumy alge-braicznej następujące wyrażenia

a) (a+ 1)2 b) (2a− 1)2 c) (a− 3)2 d) (a+ 5)2

e) (3x− 1)2 f) (2− x)2 g) (3− 2x)2 h) (5 + 2x)2

i) (a2 + 1)2 j) (1− 2a2)2 k) (a2 − 4)2 l) (a3 + 7)2

m) (3x2 − 1)2 n) (4− 3x2)2 o) (5 + 2x2)2 p) (x2 − 9)2

q) (4x+ 9y)2 r) (xy + 2)2 s) (9− 2b2)2 t) (7b3 − 1)2

u) (a+ 12)2 v) (2y2 − 12)

2 w) (7b3 − 1)2 x) (x2 + y3)2

y)(2x− 23

)2 z) (12ab− 1)22. Korzystając z wzorów skróconego mnożenia zapisz poniższe sumy alge-

braiczne w postaci iloczynowej.

a) x2 − 2xy + y2 b) a2 + 6ab+ 9b2 c) x2 + 8xy + 16y2

d) 16a2 + 72ab+ 81b2 e) 16a2 + 40ax+ 25x2 f) a2b2 + 4ab+ 4g) 9− 6bc+ b2c2 h) a2b2 + 4abxy + 4x2y2 i) 81− 72t+ 16t2

j) 49a2 − 14a+ 1 k) 94b2 − 3b+ 1 l) 9x2 − 3x+ 14


3. Korzystając z wzoru a2 − b2 = (a − b)(a + b) zamień poniższe sumy al-gebraiczne na iloczynya) x2 − 19 b) x

2 − 949 c)916 − y

2

d) 81y2 − 4981x2z2 e) 14 −

19y

2 f) 1625 −481x

2

g) 116x2y2 − 19a

2b2 h) 449x2y2 − 9a2 i) 144169x

2y2 − 916z2v2

4. Korzystając z wzorów skróconego mnożenia zapisz poniższe sumy alge-braiczne w postaci iloczynowej.

a) 4a2 + 8ab+ 4b2 b) x2 − 49 c) 4x2 − 12xy + 9y2

d) 2564 −3681x

2 e) 100y2 + 60ay + 9a2 f) 2564x2y2 − 4916b

2

g) x2 − 32x+916 h)

49a

2 − 113a+ 1 i)916a

2 + 34ab+14b

2

Niech a, b, c oznaczają dowolne wielkości, wówczas

(a+ b+ c)2 = (a+ b+ c)(a+ b+ c)

= a(a+ b+ c) + b(a+ b+ c) + c(a+ b+ c)

= a2 + ab+ ac+ ab+ b2 + bc+ ac+ bc+ c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

To co jest powyżej napisane w postacialgebraicznej można zilustrować geo-metrycznie. Wtedy „wzór” staje sięoczywisty. Na rysunku widać, że polekwadratu o boku długości a + b + crówne jest sumie dziewięciu pól dzie-więciu czworokątów o polach a2, b2, c2,ab, ab, ac, ac, bc, bc.

a b c

a

b

c

a2

b2

c2

ab

ac

ab

bc

ac

bc

Czyli krótko

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc


5. Wykonaj poniższe potęgowaniaa) (a+ b+ 3c)2 b) (2a+ b+ 3c)2 c) (a− b+ c)2

d) (2a− b− c)2 e) (x+ 2y + 3)2 f) (x− y + 1)2

g) (4x+ 2y + 1)2 h) (2x− 3y − 2)2 i) (x+ 3y − 4)2

6. Korzystając z poznanych tożsamości wszystkie poniższe sumy algebra-iczne przedstaw w postaci iloczynu, natomiast wszystkie iloczyny zapiszw postaci sumy algebraicznej.

a)(34 − y

) (34 + y

)b)

(y2 − 13

)2 c) x2 − x+ 14d)

(13 − a

)2 e) (12a+ 2)2 f) 100a2 − 180ab+ 81b2g)

(15 − x

) (15 + x

)h) 25− 103 a+

19a

2 i) 4x2 − 2581j) x2 − 23x+

19 k)

49144a

2 − 925 l)(19ab− 6x

) (19ab+ 6x

)m) 1− 64121x

2 n)(3x+ 13

)2 o) (b+ a)(a− b)5.2 Zastosowania w obliczeniach

Przypomniane równości często mogą pomóc w sprawnym wykonywaniu ra-chunków nawet w pamięci. Poniższe przykłady prezentują te zastosowania:PRZYKŁADY

312 = (30 + 1)2 = 302 + 2 · 30 · 1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961492 = (50− 1)2 = 2500− 100 + 1 = 2401

29 · 31 = (30− 1)(30 + 1) = 302 − 12 = 900− 1 = 899

7. Postępując dokładnie tak, jak w powyższych przykładach (bez używaniakalkulatora), oblicz:

a) 612 b) 392 c) 222 d) 592 e) 282 f) 372

g) 59 · 61 h) 105 · 95 i) 28 · 32 j) 58 · 62 k) 7, 1 · 6, 9 l) 205 · 195

5.3 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias powoduje zamianę sumy nailoczyn. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias polega na podzieleniukażdego składnika w tej sumie przez ten wspólny czynnik.


PRZYKŁADY

175 + 225 = 25(7 + 9)

12ab+ 16bc = 4b(3a+ 4c)

8ab2 − 28abc = 4ab(2b− 7c)x3 + x = x(x2 + 1)

−3x2 + 6x = −3x(x− 2)w szczególności, gdy wyłączamy przed nawias czynnik −1, co nazywamy za-zwyczaj w żargonie matematycznym, wyłączaniem minusa przed nawias, towówczas dzielenie każdego składnika w sumie przez −1 oznacza, że przed na-wiasem umieszczamy znak minus, a w każdym składniku sumy zamieniamyznak na przeciwny.

−7x2 − 13y2 + 5 = (−1)(7x2 + 13y2 − 5) = −(7x2 + 13y2 − 5)−a+ b = −(a− b)

W kolejnym ćwiczeniu będziemy dokonywali zamiany sumy algebraicznejna iloczyn możliwie największej liczby czynników. Mówimy wówczas, żedokonujemy rozkładu sumy na czynniki. Odpowiednikiem tego pojęcia dlaliczb naturalnych jest dokonywanie rozkładu liczby na czynniki pierwsze.PRZYKŁADYPoniżej dokonujemy rozkładu sumy algebraicznej na czynniki w dwóch kro-kach. W pierwszym kroku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a wdrugim kroku korzystamy ze wzoru: a2 − b2 = (a− b)(a+ b).

5a2 − 20b2 = 5(a2 − 4b2)= 5(a− 2b)(a+ 2b)

x3 − x = x(x2 − 1)= x(x− 1)(x+ 1)

8. Zamień podobnie poniższe sumy alg. na iloczyn trzech czynników

a) 7a2 − 7 b) 8x2 − 2x2y2 c) 2a2 − 12a+ 18

d) 3a2b2 − 34 e)89x

2 − 72 f) 9x2y + y − 6xy

g) 45a2b2 − 5 h) −3c+ 48a2c i) 79x

2 − 73

j) 3x2y2z − 27z k) 12a2 − 12ab+ 3b2 l) 8x2 − 12


5.4 Działania na sumach algebraicznych

PRZYKŁAD 1

4x2 − 13x− 2− 2x(x− 7) = 4x2 − 13x− 2− [2x(x− 7)] dopisujemy nawias= 4x2 − 13x− 2− [2x2 − 14x] mnożenie= 4x2 − 13x− 2− 2x2 + 14x odejmowanie= 2x2 + x− 2 redukcja

9. Postępując podobnie wykonaj poniższe działania

a) x2 + 6x+ 8− 4(x− 3) b) x2 − 2x+ 5− 3x(2x− 1)c) 4x+ 7− 2x(3− x) d) (x− 2)2 − 2x(x+ 5)e) 2x+ 3− 5x(3x− 1) f) (1 + 2x)2 − 4x(x− 1)

PRZYKŁADY 22x− 1− (2x− 3)(x+ 2) = 2x− 1− [(2x− 3)(x+ 2)] dopisujemy nawiasy

= 2x− 1− [2x(x+ 2)− 3(x+ 2)] wpierw mnożenie= 2x− 1− [2x2 + 4x− (3x+ 6)] dalsze mnożenie= 2x− 1− [2x2 + 4x− 3x− 6] odejmowanie= 2x− 1− [2x2 + x− 6] redukcja= 2x− 1− 2x2 − x+ 6 odejmowanie= −2x2 + x+ 5 redukcja

4x2 + 5x− 9− (x− 2)(x+ 3) = 4x2 + 5x− 9− [(x− 2)(x+ 3)]= 4x2 + 5x− 9− [x(x+ 3)− 2(x+ 3)]= 4x2 + 5x− 9− [x2 + 3x− 2x− 6]= 4x2 + 5x− 9− x2 − 3x+ 2x+ 6= 3x2 + 4x− 3


a) −3x2 − 4x+ 5− (x+ 3)(x+ 4) b) 2x2 + x− (2x+ 3)(x− 2)c) 5x2 − 3− (x− 5)(x− 2) d) (2x− 1)2 − (x− 2)(5− x)e) 2x2 + 7x− 12− (x+ 1)(x− 6) f) 3x+ 7− (2x+ 5)(x− 4)g) 12x− 7− (6x+ 1)(2x− 3) h) 2x2 + 5x− 1− (x+ 2)(2x+ 3)i) x2 − 3− (2x+ 5)(3x+ 2) j) 3x3 − x2 + x− 2− (2x2 − 1)(x+ 3)

k) 2x2 − 3x+ (2x+ 1)(3x− 2)


PRZYKŁAD 3

2x2 + 9x+ 3− (x+ 3)2 = 2x2 + 9x+ 3− [(x+ 3)2] dopisujemy nawias= 2x2 + 9x+ 3− [x2 + 6x+ 9] wz. skr. mnożenia= 2x2 + 9x+ 3− x2 − 6x− 9 odejmowanie= x2 + 3x− 6 redukcja


a) x2 − 7x+ 5− (x− 2)2 b) 2x2 + 3x+ 2− (x+ 1)2

c) 5x2 − 9x+ 8− (2x− 3)2 d) (3x+ 1)2 − (2x+ 3)2

e) 3x2 − x− 2− (x+ 5)2 f) 2x− 7− (3− x)2

PRZYKŁAD 4

3x3 − 7x+ 1− 3x(x− 2)2 = 3x3 − 7x+ 1− [3x(x− 2)2]= 3x3 − 7x+ 1− [3x(x2 − 4x+ 4)]= 3x3 − 7x+ 1− [3x2 − 12x2 + 12x]= 3x3 − 7x+ 1− 3x2 + 12x2 − 12x= 3x3 + 15x2 − 7x− 11


a) 7x− 2− 3(2x+ 1)2 b) 3x2 + 7x− 2(2− 3x)2

c) 5x2 − x+ 7− 2(x− 2)2 d) x3 − 6x2 − 8x+ 9− 3x(x+ 2)2

e) 4x2 − 5x− 2− 2x(x+ 1)2 f) 5x3 + 7x2 − 3x− 4− 5x(x− 3)2

g) 2x3 − 3x2 + 2x+ 1− x(2x− 3)2

PRZYKŁADY 5

2x3 − 2− x(x+ 1)(x+ 2) = 2x3 − 2− [x(x+ 1)(x+ 2)]= 2x3 − 2− [(x2 + x)(x+ 2)]= 2x3 − 2− [x2(x+ 2) + x(x+ 2)]= 2x3 − 2− [x3 + 2x2 + x2 + 2x]= 2x3 − 2− x3 − 2x2 − x2 − 2x= x3 − 3x2 − 2x− 2



a) 3x3 + 2x− 4− 2x(x+ 1)(x− 3) b) 5x3 − x2 + 3− 3x(x− 2)(x+ 1)c) 4x3 − 2x2 + 9− 4x(2x− 1)(x+ 1) d) x3 − 3x− 2− 5x(2− x)(3x+ 1)e) 5x+ 4− 3(2x− 1)(x+ 3) f) 2x2 − 4− 2x(x− 3)(2x− 2)g) x2 + 3x− 2− 3x(x− 2)(x+ 1)

PRZYKŁADY 6 (różnicy dwóch iloczynów)

x · (3x− 2)− 2x2 · (2− 7x) = x · (3x− 2)− [2x2 · (2− 7x)] dopisanie nawiasu= 3x2 − 2x− [4x2 − 14x3] wykonanie mnożenia= 3x2 − 2x− 4x2 + 14x3 odejmowanie= 14x3 − x2 − 2x redukcja

2x(x− 3y)− 3y(x− y) = 2x · x− 2x · 3y − (3y · x− 3y · y)= 2x2 − 6xy − (3xy − 3y2)= 2x2 − 6xy − 3xy + 3y2

= 2x2 − 9xy + 3y2

2x2(2x3 − y)− 2x(y − 3)2 = 2x2(2x3 − y)− 2x(y2 − 6y + 9)= 6x5 − 2x2y − (2xy2 − 12xy + 18x)= 6x5 − 2x2y − 2xy2 + 12xy − 18x= 6x5 + 18x2 + 10x2y − 2xy2

14. Postępując podobnie zapisz w najprostszej postaci

a) 2x(x− 5)− 3(x2 − 2x) + (x− 2)xb) 3x(17x− 11y)− 2x(9x− 14y)c) 5p2(3p− 2)− 4p(2p2 + 3p)d) a(a+ b+ c)− b(a− b+ c)− c(a− b− c)e) x2yz − (xy2z − (xyz2 − (x2yz − xy2z)))


5.5 Zamiana różnicy kwadratów na iloczyn

Korzystając ze wzoru 42 −�2 = (4+�)(4−�) rozkładamy poniżej róż-nice kwadratów na czynniki.PRZYKŁAD 1

(2x+ 3y)2 − 25x2 = (2x+ 3y)2 − (5x)2

= (2x+ 3y − 5x)(2x+ 3y + 5x)= (3y − 3x)(3y + 7x)= 3(y − x)(3y + 7x)

PRZYKŁAD 2

4− (2a− b)2 = 22 − (2a− b)2

= [2− (2a− b)][2 + (2a− b)]= (2− 2a+ b)(2 + 2a− b)

PRZYKŁAD 3

−49x2 + (2x+ y)2 = (2x+ y)2 − 49x2

= (2x+ y)2 − (7x)2

= (2x+ y − 7x)(2x+ y + 7x)= (y − 5x)(9x+ y)

15. Postępując podobnie jak w przykładach 1 i 2 zamień poniższe sumy al-gebraiczne na iloczyny

a) 25− (3x+ y)2 b) 36− (4x− y)2 c) (2x− 7)2 − 25d) (a+ b)2 − 4b2 e) 9y2 − (5x− 2y)2 f) −25x2 + (b− x)2

g) (2a− 3b)2 − 4b2 h) 9b2 − (2a− 5b)2 i) (a+ b)2 − 16a2b2

PRZYKŁAD 4

(2x+ y)2 − (3x+ 1)2 = [(2x+ y)− (3x+ 1)][(2x+ y) + (3x+ 1)]= (2x+ y − 3x− 1)(2x+ y + 3x+ 1)= (−x+ y − 1)(5x+ y + 1)


16. Postępując podobnie zamień poniższe sumy algebraiczne na iloczyny

a) (2a− 3b)2 − (4b+ 5a)2 b) (6a+ 5)2 − (2a− 5b)2

c) (5a− 2b)2 − (a− 4b)2 d) (4x− y)2 − (2x+ y)2

e) (4x+ 3y)2 − (x+ y − 1)2 f) (3x− y)2 − (2x+ y)2

g) (3b+ 5a)2 − (b− 2a)2 h) (1− 3b)2 − (a+ 2b)2

5.6 Rozkład sumy algebraicznej na czynniki c.d.

W kolejnych dwóch ćwiczeniach będziemy wyłączali przed nawias wspólnyczynnik będący nie jednomianem lecz sumą algebraiczną.

PRZYKŁADY

(2a+ b)4x+ (2a+ b)7y = (2a+ b)(4x+ 7y)

(a− 3b)5x+ (a− 3b)(2y + z) = (a− 3b)[5x+ (2y + z)]= (a− 3b)(5x+ 2y + z)

5b(x− y)− (x− y)(7a+ 2b) = (x− y)([5b− (7a+ 2b)]= (x− y)(5b− 7a− 2b)= (x− y)(3b− 7a)

(3x+ y)(a+ 2b)− (3a− b)(y + 3x) = (3x+ y)[(a+ 2b)− (3a− b)]= (3x+ y)(a+ 2b− 3a+ b)= (3x+ y)(3b− 2a)

17. Zamień poniższe sumy algebraiczne na iloczyny

a) a(x− 3) + b(x− 3) b) 45(a+ 4)− 9a(a+ 4) + 12b(a+ 4)

c) x(3− x)− 2(3− x) d) 3a(x− 1)− 2b(x− 1) + c(x− 1)

e) 7x(p− 2) + 4y(p− 2) f) (a− 2b)x+ (a− 2b)(2x+ y)

g) a(x+ y) + b(x+ y) h) (a2 + 1)x+ (a2 + 1)y + (a2 + 1)z

W kolejnym ćwiczeniu w niektórych podpunktach należy zauważyć, że wpierwszym ruchu należy wyłączyć przed nawias −1 (w takiej sytuacji mó-wimy krócej: wyłączamy minus przed nawias) względnie jakąś inną wielkość.


PRZYKŁADY

x(a− 3b)− a+ 3b = x(a− 3b)− (a− 3b) = (a− 3b)(x− 1)(2a− b)2x+ (b− 2a)3y = (2a− b)2x− (2a− b)3y = (2a− b)(2x− 3y)

(3x− y)(2a+ b) + y − 3x = (3x− y)(2a+ b)− (3x− y)= (3x− y)(2a+ b− 1)

(2a− 3b)xy + 6b− 4a = (2a− 3b)xy − 2(2a− 3b) = (2a− 3b)(xy − 2)

18. Zamień poniższe sumy algebraiczne na iloczyny wyłączając wspólny czyn-nik przed nawias

a) x(a+ b) + (a+ b) b) 2a(x+ y)− (x+ y)c) a(b+ c)− b(−b− c) d) 3(x+ y) + 2(x+ y)2

e) (3a+ b)x− (b+ 3a)(4x− y) f) 2x(a− 5b) + 4y(5b− a)g) (a+ 2b)2x+ (2a+ 4b)(3x+ y) h) (a− b)x− b+ ai) a(x− 2y) + b(2y − x) j) (2b− a)x+ (a− 2b)(2x− y)k) x+ y − (x+ y)2 l) (p− q)− 2a(q − p)

m) (a+ b)3 − a(a+ b)2 n) 2a(6x− 4)− 5b(3x− 2)o) (2x− y)(a+ 3b)− (7b− 4a)(2x− y)p) (2a− 9b)(x+ 3y) + (x+ 3y)(6b− 3a)

19. Korzystając ze sposobów przedstawionych we wszystkich wcześniejszychprzykładach, zamień poniższe sumy algebraiczne na iloczyn.

a) a2(x− 1)− b(1− x) b) a2 + 6a+ 9c) 964 − 81x

2 d) p(p− 1)− 4(1− p)e) (2x+ y)2 − (3x+ y)2 f) x(p− a)− y(p− a)− z(a− p)g) y2 − 16y + 64 h) 50− 8a2

i) 32a2x− 18b2x j) 2x(a2 − b) + 3y(b− a2)k) (2a+ b)2 − (a+ 4b)2 l) a2 − 4ay + 4y2

m) −12x2 + 27 n) (3x+ 4y)2 − (2y + x)2

o) a(b− 5) + 2(5− b) p) 1681x2 − 169u2

W kolejnych dwóch ćwiczeniach zamiana sum algebraicznych na iloczynbędzie się odbywała w dwóch krokach.


PRZYKŁADY

2ax− 3bx+ 4ay − 6by = x(2a− 3b) + 2y(2a− 3b) = (2a− 3b)(x+ 2y)x3 − 4x2 + x− 4 = x2(x− 4) + (x− 4) = (x− 4)(x2 + 1)

7a2 − 3ay − 7a+ 3y = a(7a− 3y)− (7a− 3y) = (7a− 3y)(a− 1)

20. Rozłóż poniższe sumy algebraiczne na czynniki

a) ax+ bx+ ay + by b) 3xy − 7y + 9x2 − 21x c) x2 + xy + ax+ ayd) x3 + 3x2 + 3x+ 9 e) 5a2 − 5ax− 7a+ 7x f) x2 + xy − 5x− 5yg) a2 − ab− 3a+ 3b h) 10ay − 5by + 2ax− bx i) a2 − ab− 5a+ 5b

21. Rozłóż poniższe sumy algebraiczne na czynniki

a) x3 + x− 1− x2 b) x2 + ay + xy + axc) 2ax+ 3by + 3ay + 2bx d) 10a2 + 21bc− 14ab− 15ace) 6ax+ 9bx− 4ay − 6by f) 1 + a+ a2 + b+ ab+ a2bg) 6ax− 8bx− 4by + 3ay h) 6ax− 3ay − by + 2bx− 2cx+ cyi) xy − 1 + x− y j) ax2 + bx2 + ax− cx2 + bx− cxk) 16ap2 + 32bp2 − 8ap− 16bp+ a+ 2bl) 4y2x2 − 16y2 − 4x2y + 16y + x2 − 4

W kolejnym ćwiczeniu, w każdym przykładzie, będziemy korzystać z wzorówna kwadrat sumy lub różnicy oraz wzoru na różnicę kwadratów.PRZYKŁADYZamień na iloczyn poniższe sumy algebraiczne.

x2 − 4x+ 4− y2 = (x− 2)2 − y2

= (x− 2− y)(x− 2 + y)9− 4a2 + 4ab− b2 = 32 − (4a2 − 4ab+ b2) = 32 − (2a− b)2

= [3− (2a− b)][3 + (2a− b)]= (3− 2a+ b)(3 + 2a− b)

22. Zamień na iloczyna) a2 − 2ab+ b2 − 25 b) 1− a2 − 2ab− b2

c) 49x2 − 9a2 + 30ab− 25b2 d) a2 + 2ab+ b2 − 4e) 4x2 − 20xy + 25y2 − 36 f) 25a2 − x2 + 2x− 1g) 16y2 − x2 − 4x− 4 h) x2 + 8x+ 16− 9b2

i) b2 − x2 + 2x− 1 j) 4y2 − x2 − 4x− 4


23. Korzystając ze sposobów przedstawionych we wcześniejszych przykła-dach, zamień każdą z sum algebraicznych na iloczyn.a) xy + xz + y + z b) 6ax+ 2ay − 10a+ 3bx+ by − 5bc) 16a2 − 8ab+ b2 − 49 d) x2 + 4x+ 4− 4y2

e) a2 + ab+ ac+ bc f) 4x2 − 4x+ 1− y2

g) ac+ bc+ a+ b h) x2 + 2x+ 1− b2

i) x2 + xy + 2x+ 2y j) ax2 − bx2 − bx+ ax− a+ bk) a2 − ab− 5a+ 5b l) x3 + x2y − x2z − xyz

PRZYKŁAD uzupełniania sumy do pełnego kwadratuW wyrażeniu 4x2+12x+ . . . w miejsce kropek należy wstawić 9, uzyskując4x2 + 12x+ 9, co można zapisać w postaci kwadratu sumy (2x+ 3)2.

24. Uzupełnij podobnie tak, aby uzyskać kwadrat sumy lub różnicy:

a) x2 + 2x+ . . . b) x2 + 6x+ . . . c) x2 + 10x+ . . .

d) x2 − 4x+ . . . e) x2 + 20x+ . . . f) 4x2 − 12x+ . . .g) 25x2 + 10x+ . . . h) 16x2 − 8x+ . . . i) 16x2 + 24x+ . . .j) 9x2 + 12x+ . . . k) 25x2 + 20x+ . . . l) x2 + 14x+ . . .

m) x2 + x+ . . . n) x2 + 3x+ . . . o) x2 + 7x+ . . .

p) x2 + 43x+ . . . q) x2 + 143 x+ . . . r) x

2 + 27x+ . . .

s) x2 + 45x+ . . . t) 4x2 − 2x+ . . . u) 16x2 + 4x+ . . .

v) 9x2 + 3x+ . . . w) 14x2 + x+ . . . x) 425x

2 + 125 x+ . . .

PRZYKŁADY zamiany sumy algebraicznej na iloczyn

y2 − 8y + 16− 9 = (y − 4)2 − 32

= (y − 4− 3)(y − 4 + 3)= (y − 7)(y − 1)

x2 − 12x+ 27 = x2 − 12x+ 36− 36 + 27= (x− 6)2 − 9= (x− 6− 3)(x− 6 + 3)= (x− 9)(x− 3)


25. Rozłóż na czynniki podobnie jak w poprzedzających dwóch przykładach.Począwszy od punktu d) musisz postępować tak jak w powyższych dwóchprzykładach.

a) x2 + 6x+ 9− 1 b) a2 + 4a+ 4− 9 c) 4a2 + 4a+ 1− 16d) 4a2 + 12a− 27 e) y2 + 4y − 5 f) x2 + 4x+ 3g) x2 + 18x+ 32 h) 4a2 + 12a− 7 i) 9y2 + 12y − 21

PRZYKŁADY zamiany sumy alg. na iloczyn

x2 − 4x+ 4− y2 − 2y − 1 = (x− 2)2 − (y2 + 2y + 1)= (x− 2)2 − (y + 1)2

= [(x− 2)− (y + 1)] · [(x− 2) + (y + 1)]= (x− 2− y − 1)(x− 2 + y + 1)= (x− y − 3)(x+ y − 1)

x2 − 6x− 4y2 − 4y + 8 = x2 − 6x+ 9− 9− (4y2 + 4y + 1− 1) + 8= (x− 3)2 − 9− [(2y + 1)2 − 1] + 8= (x− 3)2 − 9− (2y + 1)2 + 1 + 8= (x− 3)2 − (2y + 1)2

= [x− 3− (2y + 1)][x− 3 + (2y + 1)]= (x− 2y − 4)(x+ 2y − 2)

26. Rozłóż na czynniki. Począwszy od punktu d) musisz postępować tak jakw powyższym przykładzie.

a) a2 − 6a+ 9− b2 − 2b− 1 b) b2 − 4b+ 4− 4x2 − 4x− 1c) 4a2b2 + 12ab+ 9− x2 − 2x− 1 d) x2 − 8x− y2 − 6y + 7e) a2 + 6a− b2 + 4b+ 5 f) 4a2 + 4a− b2 − 8b− 15g) 4a2 + 12a− b2 − 2b+ 8 h) 4a2 − 4a− x2 + 6x− 8i) 9y2 + 12y − x2 + 2x+ 3


27. Korzystając ze sposobów przedstawionych we wszystkich wcześniejszychprzykładach, zamień sumy algebraiczne na iloczyny. Postaraj się, bykażdy z nich miał jak najwięcej czynników.

a) a2 + 4b2 − 4ab b) x4 + 2x2 + 1c) a2 − b2 + 2a2 + 4ab+ 2b2 d) x6 − x2

e) 4b2 − 4b+ 1− x2 − 2xy − y2 f) x3 + x2y − xy2 − y3

g) ac− bc− a2 + 2ab− b2 h) m8 −m4

i) xy − ky − x2 + 2kx− k2 j) a6 + 2a3 + 1k) x(a2 − b2) + n(b2 − a2) l) x3 − 2x2 + 4x− 8

m) (2a− b)(3x− 2y)2 − (2a− b)(4x+ 5y)2 n) x4 − 2x2 + 1o) a2(t+ 1) + 2a(t+ 1) + 1(t+ 1) p) a2(s+ t)− b2(s+ t)q) 2(a− b)2 − (a2 − b2) r) 49− (x− 2y)2

s) a2(a2 − b2) + b2(b2 − a2) t) 8q(p− a)− 3p(p− a)u) (6a+ 5)2 − (2a− 5b)2 v) 49(k + 1)−

494 b

2(k + 1)

w) m6 −m4 −m2 + 1 x) 2ab+ a2 − 9 + b2

28. Rozłóż na czynniki. Postaraj się, by każdy z iloczynów miał jak naj-więcej czynników. To zadanie pozwoli Tobie sprawdzić, w jakim stopniuopanowałeś metody rozkładu sum algebraicznych na czynniki.

a) x3 + 2x2 − x− 2 b) x− x2 + x3 − x4

c) a− 9ay2 + 2b− 18by2 d) (x+ 3y)2 − 169z2

e) 49a2(p− 1)− 14a(p− 1) + p− 1 f) (a+ b)x− (a+ b)yg) 9b2 − (2a− 5b)2 h) x2 + 4x+ 4− 4y2

i) x2 + 8x+ 16− 9b2 j) xy − 1 + x− yk) 6ax− 3ay − by + 2bx− 2cx+ cy l) 25− a2 + 2ab− b2

m) 4x2 − 20xy + 25y2 − 36 n) 4a2 + 12a− 7o) y2 − 10ay + 25a2 − 94y

2 − 6y − 4 p) a2 + 12a− y2 − 8y + 20q) (a+ 2b)3x− (3a+ 6b)(3x+ y) r) (a− b)x− b+ as) x5 + x4 − x3 − x2 + x+ 1 t) 1−m2 − 2nm− n2


29.* Znajdź liczby, które należy wpisać w puste miejsca, a następnie zapiszsumę algebraiczną w postaci iloczynowej.

a) 5x4 − 9x3 + x2 + 3x = 5x4 − 4x3 − 3x2 − . . . x3 + . . . x2 + 3xb) −7x5 + 9x4 + x3 − 3x2 = −7x5 + . . . x4 + 3x3 + 7x4 − . . . x3 − 3x2

c) 6x3 + 5x2 + 16x+ 5 = 6x3 + 2x2 + . . . x2 + . . . x+ x+ 5

30.* Rozłóż na czynniki.

a) x5 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + x b) 3x4 − 5x3 + 5x2 − 5x+ 2c) 7x4 + 3x3 + 2x2 + 3x− 5 d) x5 − 2x4 + x2 + x3 + 3e) x3 − 6x− 4 f) 2x3 − 3x2 + 1

31.* Rozłóż na czynniki wyrażenie:a) x3 + 5x2 + 3x + 15, a następnie uzasadnij, że wyrażenie przyjmuje

wartości dodatnie tylko dla x > −5.b) 4x3−8x2+3x−6, a następnie określ, dla jakich wartości x wyrażenie

przyjmuje wartości ujemne.

c) −12x5+6x4−2x+1, a następnie uzasadnij, że dla ujemnych wartościx wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie.

32.*Wykaż, że dla każdej liczby a prawdziwa jest równośća4 + 4 = (a2 + 2)2 − 4a2. Korzystając z tej równości rozłóż sumę a4 + 4na czynniki.

5.7 Zastosowanie: rozwiązywanie równańRozkład sum algebraicznych na czynniki ma zastosowanie w rozwiązywaniupewnego typu równań. Do tej pory umieliśmy znajdować rozwiązania rów-nania liniowego z jedną niewiadomą. Dosyć łatwo rozwiązuje się równania,które możemy przedstawić w postaci iloczynowej. Wystarczy skorzystać zfaktu, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy którykolowiek z czynników jestrówny zero lub precyzyjniej:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i ba · b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0.


PRZYKŁADAby rozwiązać równanie 4x3−14x2−16x = −56 wystarczy przekształcić jetak, by prawa strona równania wynosiła 0. Następnie lewą stronę równaniazapisujemy w postaci iloczynowej i korzystamy z przytoczonego wyżej faktu.

4x3 − 14x2 − 16x+ 56 = 02x2(2x− 7)− 8(2x− 7) = 0

(2x2 − 8)(2x− 7) = 0

Z powyższej równości wynika, że

2x2 − 8 = 0 lub 2x− 7 = 02x2 = 8 lub 2x = 7

x2 = 4 lub x =7

2

x = −2 lub x = 2 lub x = 72

Zbiór rozwiązań równania jest zatem równy ZR = {−2, 2, 72}

33. Znajdź liczby spełniające równanie i zapisz zbiór jego rozwiązań.

a) (x− 1) (x+ 1) (x+ 2) = 0 b) x (1− x)(1 + x2

)= 0

c) (1− 3a) (1 + 3a) (a+ 2)2 = 0 d)(4x2 − 1

)(2x+ 1) = 0

34. Które z podanych równań nie mają rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie,nie rozwiązując równań.

a) x4 + 1 = 0 b) x2 − 1 = 0 c) 3x2 + x4 = 0d) (3x− 4)6 = 0 e) 3x2 + 4x8 + 2 = 0 f) (x4 + 2)3 = −8g) 2(x2 + 7) = −4 h) (x− 1)2 = (x− 1)4

35. Rozwiąż równania:

a) x2 − 2x = 0 b) 2x2 − 5x = 0c) 12x

2 + 25x = 0 d) (x+ 1)(x− 1)− (x− 1)(3− x) = 0e) x2 − (x− 2)x = 0 f) (x− 4)2 − (x− 4)(2x− 1) = 0g) x(x− 2)− 3(x− 2) = 0 h) 4x2 − 9 = 0i) 16m2 − 49 = 0 j) 2x2 − 4x = −2


5.8 Zastosowanie: Podzielność

36. a) Rozłóż na czynniki wyrażenie n3 − n, a następnie uzasadnij, że dlakażdej liczby całkowitej n wartość tego wyrażenia jest podzielna przez3, a także przez 6.

b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wyrażenian4 − 2n3 + n2 jest liczbą podzielną przez 4.

c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wyrażenian5 − n jest liczbą podzielną przez 6 (a nawet przez 30).

37. Uzasadnij, żea) jeśli jedna z dwóch liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 9 resztę

7, a druga resztę 5, to iloczyn tych liczb daje przy dzieleniu przez 9resztę 8;

b) jeśli jedna z dwóch liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 12resztę 9, a druga resztę 4, to iloczyn tych liczb jest podzielny przez 12.

38. Uzasadnij, żea) różnica 512 − 516 jest podzielna przez: 50, 150 i 17b) suma 268 + 267 jest podzielna przez 27, 54 i 13c) liczba 77 − 76 + 75 jest podzielna przez 43d) liczba 49 + 48 + 46 jest podzielna przez 81.e) liczba 312 − 212 jest podzielna przez 35 oraz przez 19.f) liczba 138−78 jest podzielna przez 12 i cyfrą jedności tej liczby jest 0.

39. Rozłóż sumę algebraiczną n12 − n8 − n4 + 1 na czynniki, a następniewykaż, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to n12 − n8 − n4 + 1 jest liczbąpodzielną przez 64.

40. Uzasadnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystychjest podzielna przez 8.

Odpowiedzi.

1. a) a2 + 2a+ 1 b) 4a2 − 4a+ 1 c) a2 − 6a+ 9 d) a2 + 10a+ 25e) 9x2 − 6x+ 1 f) 4− 4x+ x2 g) 9− 12x+ 4x2 h) 25 + 20x+ 4x2

i) a4 + 2a2 + 1 j) 1− 4a2 + 4a4 k) a4 − 8a2 + 16 l) a6 + 14a3 + 49m) 9x4−6x2+1 n) 16−24x2+9x4 o) 25+20x2+4x4 p) x2−18x2+81q) 16x2+72xy+81y2 r) x2y2+4xy+4 s) 81−36b2+4b4 t) 49b6−14b3+1u) a2 + a+ 14 v) 4y

4 − 2y2 + 14 w) 49b6 − 14b3 + 1 x) x4 + 2x2y3 + y6


y) 4x2 − 83x+49 z)

14a

2b2 − ab+ 12. a) (x− y)2 b) (a+ 3b)2 c) (x+ 4y)2 d) (4a+ 9b)2 e) (4a+ 5x)2

f) (ab+ 2)2 g) (3− bc)2 h) (ab+ 2xy)2 i) (9− 4t)2 j) (7a− 1)2

k)(32b− 1

)2 l) (3x− 12)23. a)

(x− 13

) (x+ 13

)b)

(x− 37

) (x+ 37

)c)(34 − y

) (34 + y

)d)

(9y − 79xz

) (9y + 79xz

)e)(12 −

13y) (

12 +

13y)

f)(45 −

29x) (

45 +

29x)

g)(14xy −

13ab) (

14xy +

13ab)

h)(27xy − 3a

) (27xy + 3a

)i)(1213xy −

34zv) (

1213xy +

34zv)

4. a) (2a+ 2b)2 b)(x− 23

) (x+ 23

)c) (2x− 3y)2 d)

(58 −

69x) (

58 +

69x)

e) (10y + 3a)2 f)(58xy −

74b) (

58xy +

74b)

g)(x− 34

)2 h) (23a− 1)2i)(34a+

12b)2

5. a) a2 + b2 + 9c2 + 2ab+ 6bc+ 6ac b) 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab+ 6bc+ 12ac

c) a2 + b2 + c2 − 2ab− 2bc+ 2ac d) 4a2 + b2 + c2 − 4ab+ 2bc− 4ace) x2 + 4y2 + 9 + 4xy + 12y + 6x f) x2 + y2 + 1− 2xy + 2x− 2yg) 16x2 + 4y2 + 1 + 16xy + 4y + 8x h) 4x2 + 9y2 + 4− 8x+ 12y − 12xyi) x2 + 9y2 + 16 + 6xy − 24y − 8x6. a) 916 − y

2 b) y4− 23y2+ 19 c)

(x− 12

)2 d) 19 − 23a+a2 e) 14a2+2a+4f) (10a− 9b)2 g) 125 − x

2 h)(5− 13a

)2 i) (2x− 59) (2x+ 59) j) (x− 13)2k) ( 712a−

35)(

712a+

35) l)

181a

2b2 − 36x2 m)(1− 811x

) (1 + 811x

)n) 9x2 + 2x+ 19 o) a

2 − b2

7. a) 3721 b) 1521 c) 484 d) 3481 e) 784 f) 1369 g) 3599 h) 9975 i)

896 j) 3596 k) 48,99 l) 39975

8. a) 7 (a− 1) (a+ 1) b) 2x2 (2− y) (2 + y) c) 2 (a− 3)2

d) 3(ab− 12

) (ab+ 12

)e) 89 (x− 9) (x+ 9) f) y (3x− 1)

2

g) 15 (2ab− 5) (2ab+ 5) h) 3c (4a− 1) (4a+ 1) i)79 (x− 21) (x+ 21)

j) 3z (xy − 3) (xy + 3) k) 3 (2a− b)2 l) 8(x− 14

) (x+ 14

)9. a) x2 + 2x+ 20 b) −5x2 + x+ 5 c) 2x2 − 2x+ 7 d) −x2 − 14x+ 4e) −15x2 + 7x+ 3 f) 8x+ 110. a) −4x2 − 11x− 7 b) 2x+ 6 c) 4x2 + 7x− 13 d) 5x2 − 11x+ 11e) x2 + 12x− 6 f) −2x2 + 6x+ 27 g) −12x2 + 28x− 4 h) −2x− 711. a) −3x+ 1 b) x2 + x+ 1x2 + 3x+ 1 c) x2 + 3x− 1 d) 5x2 − 6x− 8e) 2x2 − 11x− 27 f) −x2 + 8x− 16


12. a) −12x2 − 5x− 5 b) −15x2 + 31x− 8 c) 3x2 + 7x− 1d) −2x3 − 18x2 − 20x+ 9 e) −2x3 − 7x− 2 f) 37x2 − 48x− 4g) −2x3 + 9x2 − 7x+ 113. a) x3 + 4x2 + 8x− 4 b) 2x3 + 2x2 + 6x− 3 c) −4x3 − 6x2 + 4x+ 9d) 16x3 − 25x2 − 13x− 2 e) −6x2 − 10x+ 13 f) −4x3 + 18x2 − 12x− 4g) −3x3 + 4x2 + 9x− 214. a) −6x b) 33x2 − 5xy c) 7p3 − 22p2 d) a2 + b2 + c2 e) xyz2

15. a) (5−3x−y)(5+3x+y) b) (6−4x+y)(6+4x−y) c) (2x−12)(2x−2)d) (a−b)(a+3b) e) (5y−5x)(y+5x) f) (b−6x)(b+4x) g) (2a−5b)(2a−b)h) (8b− 2a)(2a− 2b) i) (a+ b− 4ab)(a+ b+ 4ab)16. a) (−3a−7b)(7a+b) b) (4a+5b+5)(8a−5b+5) c) (4a+2b)(6a−6b)d) (2x−2y)6x e) (3x+2y+1)(5x+4y−1) f) (x−2y)5x g) (2b+7a)(4b+3a)h) (1− a− 5b)(1 + a− b)17. a) (x− 3) (a+ b) b) (a+ 4) (45− 9a+ 12b) c) (3− x) (x− 2)d) (x− 1) (3a− 2b+ c) e) (7x+ 4y) (p− 2) f) (a− 2b) (3x+ y)g) (x+ y) (a+ b) h)

(a2 + 1

)(x+ y + z)

18. a) (a+ b) (x+ 1) b) (x+ y) (2a− 1) c) (b+ c) (a+ b)d) (x+ y) (3 + 2x+ 2y) e) (3a+ b) (y − 3x) f) (a− 5b) (2x− 4y)g) 2 (a+ 2b) (4x+ y) h) (a− b) (x+ 1) i) (x− 2y) (a− b) j) (a− 2b) (x− y)k) (x+ y) (1− x− y) l) (p− q) (1 + 2a) m) b (a+ b)2 n) (4a−5b)(3x−2)o) (2x− y) (5a− 4b) p) − (x+ 3y) (a+ 3b)19. a) (x− 1)

(a2 + b

)b) (a+ 3)2 c)

(38 − 9x

) (38 + 9x

)d) (p− 1) (p+ 4)

e) (−x) (5x+ 2y) f) (p− a) (x− y + z) g) (y − 8)2 h) 2 (5− 2a) (5 + 2a)i) 2x (4a− 3b) (4a+ 3b) j)

(a2 − b

)(2x− 3y) k) (a− 3b) (3a+ 5b)

l) (a− 2y)2 m) −3 (2x− 3) (2x+ 3) n) 4 (x+ y) (2x+ 3y) o) (b− 5) (a− 2)p)

(49x− 13u

) (49x+ 13u

)20. a) (a+ b) (x+ y) b) (3x− 7) (3x+ y) c) (x+ y) (x+ a)d) (x+ 3)

(x2 + 3

)e) (a− x) (5a− 7) f) (x+ y) (x− 5) g) (a− b) (a− 3)

h) (2a− b) (5y + x) i) (a− b) (a− 5)21. a)

(x2 + 1

)(x− 1) b) (x+ y) (x+ a) c) (a+ b) (2x+ 3y)

d) (2a− 3c) (5a− 7b) e) (2a+ 3b) (3x− 2y) f)(1 + a+ a2

)(1 + b)

g) (2x+ y) (3a− 4b) h) (2x− y) (3a+ b− c) i) (x− 1) (y + 1)j) x (x+ 1) (a+ b− c) k) (a+ 2b)(4p− 1)2 l) (x+ 2) (x− 2) (2y − 1)2


22. a) (a− b− 5) (a− b+ 5) b) (1− a− b) (1 + a+ b)c) (7x− 3a+ 5b) (7x+ 3a− 5b) d) (a+ b− 2) (a+ b+ 2)e) (2x− 5y − 6) (2x− 5y + 6) f) (5a− x+ 1) (5a+ x− 1)g) (4y − x− 2) (4y + x+ 2) h) (x+ 4− 3b) (x+ 4 + 3b)i) (b− x+ 1) (b+ x− 1) j) (2y − x− 2) (2y + x+ 2)23. a) (x+ 1) (y + z) b) (3x+ y − 5) (2a+ b) c) (4a− b− 7) (4a− b+ 7)d) (x+ 2− 2y) (x+ 2 + 2y) e) (a+ b) (a+ c) f) (2x− 1− y) (2x− 1 + y)g) (a+ b) (c+ 1) h) (x+ 1− b) (x+ 1 + b) i) (x+ y) (x+ 2)j) (a− b)

(x2 + x− 1

)k) (a− b) (a− 5) l) x (x+ y) (x− z)

24. a) x2 + 2x+ 1 b) x2 + 6x+ 9 c) x2 + 10x+ 25 d) x2 − 4x+ 4e) x2 + 20x+ 100 f) 4x2 − 12x+ 9 g) 25x2 + 10x+ 1 h) 16x2 − 8x+ 1i) 16x2 + 24x+ 9 j) 9x2 + 12x+ 4 k) 25x2 + 20x+ 4 l) x2 + 14x+ 49

m) x2+x+ 14 n) x2+3x+ 94 o) x

2+7x+ 494 p) x2+ 43x+

49 q) x

2+ 143 x+499

r) x2 + 27x +149 s) x

2 + 45x +425 t) 4x

2 − 2x + 14 u) 16x2 + 4x + 14 v)

9x2 + 3x+ 14 w)14x

2 + x+ 1 x) 425x2 + 125 x+ 9

25. a) (x+ 4) (x+ 2) b) (a+ 5) (a− 1) c) (2a+ 5) (2a− 3)d) (2a+ 9) (2a− 3) e) (y + 5) (y − 1) f) (x+ 3) (x+ 1) g) (x+ 16) (x+ 2)h) (2a+ 7) (2a− 1) i) (3y − 3) (3y + 7)26. a) (a+ b− 2) (a− b− 4) b) (b+ 2x− 1) (b− 2x− 3)c) (2ab+ x+ 4) (2ab− x+ 2

MATEMATYKA - Portal Edukacyjny Szczecina · 2016. 8. 19. · Jeżeli kkl i lkm, to kkm. 1.2 Kąty B...

Documents

Transcript of MATEMATYKA - Portal Edukacyjny Szczecina · 2016. 8. 19. · Jeżeli kkl i lkm, to kkm. 1.2 Kąty B...