MATEMATYKA – I SEMESTR ALK (PwZ)

1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

1.1. OKREŚLENIE

Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste

– pierwszym n (ciąg skończony) , albo

– wszystkim (ciąg nieskończony)

liczbom naturalnym.

Będziemy oznaczać : an (bn , cn itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n),

(an)10n=1 , (bn)∞n=1 (lub krócej (an), (bn) ...) – cały ciąg.

(Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych

• Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np.

2, 5, 512,−3,−3, 21, 2π,−

√5, 6

(czyli: a1 = 2 , a2 = 5 , . . . , a8 = −√5 ).

• Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. an = n2 − 6więc w tym przypadku a1 = −5 , a2 = −2 , a3 = 3 , . . . a10 = 94 . . .

Suma wyrazów ciągu liczbowego:

Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z ¬ Z ,

Z∑n=z

an = az + az+1 + . . .+ aZ .

(suma Z − z + 1 składników)

W szczególności:m∑n=1

an = a1 + a2 + . . .+ am .

(suma m składników).

Proste przykłady:

8∑n=1

n = 1 + 2 + 3 + . . .+ 8 = 36 ;

10∑k=7

k = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 ;

8∑i=4(i− 3) = (4− 3) + (5− 3) + (6− 3) + (7− 3) + (8− 3) = 15 ;

5∑j=−5

j2 = (−5)2 + (−4)2 + . . .+ 42 + 52 = 110 ;

5∑n=02n = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 .

1.2. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI

(a)Z∑n=z(an + bn) =

Z∑n=z

an +Z∑n=z

bn

(b)z∑n=z

an = az np.5∑n=5

1n=15

(c)Z∑n=z(c · an) = c ·

Z∑n=z

an np.8∑n=0(7 · n2) = 7 ·

8∑n=1

n2

(d) dla z ¬ w ¬ Zw∑n=z

an +Z∑

n=w+1an =

Z∑n=z

an

(np.7∑n=1(2n− 1) +

19∑n=8(2n− 1) =

19∑n=1(2n− 1) )

(e)Z∑n=z

c = (Z − z + 1) · c np9∑n=35 = 5 + 5 + . . .+ 5 = 7 · 5 = 35 .

1.3. OBLICZANIE

9∑j=13 = 27 i podobnie

14∑j=63 = 27;

3∑n=−2(2n+ 1) = 2 · (−2) + 1 + 2 · (−1) + 1 + 2 · 0 + 1 + . . . 2 · 3 + 1

a prościej: =3∑n=−22n+

3∑n=−21 = 2

3∑n=−2

n+ 6 = 12 ;

6∑k=3

k2 = 32 + 42 + 52 + 62 = 8610∑i=−10

i = 0 (dlaczego?)4∑j=0(2 · 3j) = 2

4∑j=03j = 242

1.4. ZAPISYWANIE

Zapisać z użyciem znaku sumy:

3 + 4 + 5 + . . .+ 15 ; x+ x2 + x3 + x4 ; x2 + x4 + . . .+ x50

15∑k=3

k4∑n=1

xn25∑k=1

x2k

oraz

5 + 6 + . . .+ 29 ; 5x2 + 6x4 + 7x6 + . . .+ 29x50

29∑n=5

n (lub25∑n=1(n+ 4))

25∑n=1(n+ 4)x2n

1.5. INTERPRETACJA

Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D) ,

w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż).

Oznaczamy przez xij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas:

liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to

5∑j=1

x3j

a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to

4∑i=1

xi5 .

Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie pij , a sprzedaje po zij za litr, to jego dzisiejszyutarg na piwie wynosi

5∑j=1(zij · xij) ,

a zysk5∑j=1((zij − pij) · xij) .

A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci?

Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (si) dostaniemy4∑i=1

si =4∑i=1

5∑j=1

xij

.

Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (rj)dostaniemy

5∑j=1

rj =5∑j=1

4∑i=1

xij

.

Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną:4∑i=1

5∑j=1

xij =5∑j=1

4∑i=1

xij .

1.6. SUMA PODWÓJNA

Definicja jak wyżej:Y∑i=y

Z∑j=z

xij =Z∑j=z

Y∑i=y

xij =

=Y∑i=y

Z∑j=z

xij

= Z∑j=z

Y∑i=y

xij

.

Podstawowe właściwości:

Y∑i=y

Z∑j=z(aij + bij) =

Y∑i=y

Z∑j=z

aij +Y∑i=y

Z∑j=z

bij ;

Y∑i=y

Z∑j=z(ai · bj) =

Y∑i=y

ai ·Z∑j=z

bj .

Przykład:4∑m=0

3∑n=1

m+ 1n

=(11+12+13

)+(21+22+23

)+

+ . . . +(51+52+53

)=116+226+ . . .

556=1656

ale prościej:4∑m=0

3∑n=1

m+ 1n

=4∑m=0

3∑n=1

((m+ 1) · 1

n

)=

= 4∑m=0(m+ 1)

· 3∑n=1

1n

= 15 · (11+12+13

)= 15 · 11

6=1656=552.

1.7. ŚREDNIA

Średnia z liczb a1, a2, . . . an to∑ni=1 ain

.

Na przykład średnia z liczb 1, 2, ... , 21 to∑21i=1 i

21= 11 .

Zazwyczaj średnią z liczb x1, x2, . . . xn oznacza się przez x.

Właściwości:

1. min(x1, x2, . . . xn) ¬ x ¬ max(x1, x2, . . . xn)i jeżeli liczby x1, x2, . . . xn nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre;

2.∑ni=1(xi − x) = 0

(suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0).

1.8. ILOCZYN

Z∏n=z

an = az · az+1 · . . . · aZ .

Na przykład:

5∏j=1

j = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 5! ;n∏k=1

k = n! ;

9∏j=−1

j = 0 ;n∏j=1

a = an ;

4∏i=02i = 2

∑4i=0 i = 210 = 1024 ;

2∏n=−25n = 1 .

2. Algebra liniowa

2.1. WEKTORY – DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ

Wektor n-wymiarowy x – układ n liczb rzeczywistych:

x = (x1, x2, . . . , xn) .

Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej Rn (a w fizyce – ze”strzałkami” prowadzącymi od początku układu do danego punktu).

Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x =

x1x2. . .

xn

lub jako wektory wierszowe: x = [x1 x2 . . . xn] .

Działania na wektorach

Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) :

Dla x = [x1 x2 . . . xn] , y = [y1 y2 . . . yn] ∈ Rn

x+ y = [x1 + y1 x2 + y2 . . . xn + yn]

np. [2 3 5] + [3 0 –1] = [5 3 4].

Mnożenie wektora przez liczbę

Dla x = [x1 x2 . . . xn] ∈ Rn i liczby c ∈ R

cx = [cx1 cx2 . . . cxn]

np. 3 · [2 3 5] = [6 9 15].

Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru)

Dla x = [x1 x2 . . . xn] , y = [y1 y2 . . . yn] ∈ Rn

x · y = x1 · y1 + x2 · y2 . . .+ xn · yn =n∑j=1

xjyj (liczba) ,

np. [2 3 5] · [3 0 –1] = 6 + 0 + (–5) = 1.

Uwaga (geometryczna)

1. x · y = 0 ⇔ wektory x i y są prostopadłe

2. x · x = kwadrat długości wektora x.

Wektor d ∈ Rn jest kombinacją liniową wektorów a1, a2, . . . , ak ∈ Rn jeżeli istnieją liczbyz1, z2, . . . , zk (współczynniki kombinacji) takie że

d = z1a1 + z2a2 + . . .+ zkak .

Jeśli z1, z2, . . . , zk ­ 0 ik∑j=1

zj = 1, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą.

Np. wektor d =

318

jest kombinacją liniową wektorów a1 =

113

i a2 =

021

(bo d = 3a1 − a2), a wektor e =

033

nie jest;

wektor

25

jest kombinacją wypukłą wektorów

63

i

06

,

a wektor

1212

jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą.

Wektory a1, a2, . . . , ak ∈ Rn są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacjąliniową pozostałych.

Np. wektory a1 =

113

, a2 =

021

i a3 =

033

są liniowo niezależne, a wektory

a1 , a2 i a4 =

1−31

nie są (bo a4 = a1 − 2a2), czyli są liniowo zależne.

Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w Rn może składać się z co najwyżej n wekto-rów.

Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w Rn :

[1 0 . . . 0] , [0 1 0 . . . 0] , . . . , [0 0 . . . 0 1]

(baza kanoniczna – układ wszystkich wersorów).

2.2. MACIERZE – OKREŚLENIE

Macierz wymiaru m× n =

Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach .

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

Macierz wymiaru 1× n – wektor wierszowy długości n

Macierz wymiaru m× 1 – wektor kolumnowy długości m .

2.3. DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Transpozycja

AT =

a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2. . . . . . . . .a1n a2n . . . ann

(” A transponowana”, wymiaru n×m).

Np. gdy A = 3 0 −1−2 1 4

, to AT =

3 −20 1−1 4

.

(AT)T = A .

Mnożenie przez liczbę

Gdy c ∈ R , A macierz wymiaru m× n

to c ·A – taka macierz C wymiaru m× n że dla każdego i, j cij = c · aij.

Np. gdy A = 3 −3 02 −1 4

, to 4 ·A = 12 −12 08 −4 16

.

Dodawanie macierzy – TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU !

Gdy A , B – macierze wymiaru m× n

to A + B – taka macierz C wymiaru m× n że dla każdego i, j cij = aij + bij.

Np. gdy A jak wyżej, B = 1 2 32 0 −5

, to

A + B =

4 −1 34 −1 −1

, A + 2 ·B = 5 1 66 −1 −6

.

Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.

Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy

Gdy A macierz wymiaru m× n , x wektor kolumnowy długości n,

to y = A · x – wektor kolumnowy długości m otrzymany tak:

yk =n∑j=1(akjxj) dla k = 1, 2, . . .m

(iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x).

Np.

3 1 00 4 2

·−201

= 3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 10 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1

= −62

.

Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy

X – macierz (4 × 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnychbarach ,

q – wektor kolumnowy długości 5, gdzie xj – cena sprzedaży litra piwa typu j

to z = X · q jest wektorem długości 4 ; zk = utarg baru nr k na piwie

Mnożenie macierzy

Gdy A macierz wymiaru m× n , B macierz wymiaru n× p

(TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ !)

to C = A · B – macierz wymiaru m× p otrzymana tak:

ckl =n∑j=1(akjbjl) dla k = 1, 2, . . .m , l = 1, 2, . . . p .

”ckl = k-ty wiersz A · l-ta kolumna B”. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożeniaA przez odpowiednie kolumny macierzy B.

Na przykład:

3 1 00 4 2

·1 −24 03 1

= 3 · 1 + 1 · 4 + 0 · 3 3 · (−2) + 1 · 0 + 0 · 10 · 1 + 4 · 4 + 2 · 3 0 · (−2) + 4 · 0 + 2 · 1

= 7 −622 2

.Innymi słowy :

A · B istnieje

⇔ A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy

⇔ wiersze A są tej samej długości co kolumny B.

Macierz kwadratowa A (n× n) jest :

symetryczna ⇔ A = AT ⇔ ∧i,j aij = aji np.

1 2 32 5 43 4 0

;

trójkątna górna ⇔ (i > j ⇒ aij = 0) np.

1 2 30 5 40 0 6

;

trójkątna dolna ⇔ (i < j ⇒ aij = 0) np.

1 0 02 5 03 4 6

;

diagonalna ⇔ (i 6= j ⇒ aij = 0) np.

1 0 00 5 00 0 4

;

jednostkowa ⇔ aij =

1 gdy i = j ,0 gdy i 6= j

1 0 00 1 00 0 1

.

Macierz jednostkową wymiaru n× n oznaczamy przez In .

Własności mnożenia macierzy:

– jest łączne (tj. A · (B ·C) = (A ·B) ·C ) ,

– nie jest przemienne – może zachodzić A ·B 6= B ·Anawet gdy oba iloczyny istnieją ,

– iloczyn A ·AT zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną,

– (A ·B)T = BT ·AT ,

– dla dowolnej macierzy A wymiaru m · n A · In = Im ·A = A .

2.4. DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK

tylko macierzy kwadratowych !

Gdy A jest macierzą (n× n), oznaczamy:

A−ij – macierz wymiaru n− 1× n− 1 utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tejkolumny;

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣wyznacznik macierzy A ;

aDij – dopełnienie algebraiczne elementu aij

i określamy je tak:

dla n = 1 : aD11 nie istnieje , det [a11] = a11 ;

dla n > 1

aDij = (−1)i+j · detA−ij ,

detA =n∑k=1(a1k · aD1k) .

Przykład dla n = 2 : B = 2 41 −3

bD11 = (−1)1+1 · detB−11 = 1 · det[−3] = −3 ,bD12 = (−1)1+2 · detB−12 = −1 · det[1] = −1 ,bD21 = (−1)2+1 · detB−21 = −1 · det[4] = −4 ,bD22 = (−1)2+2 · detB−22 = 1 · det[2] = 2 .

Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : BD = −3 −1−4 2

i wyznacznik: detB = b11 · bD11 + b12 · bD12 = 2 · (−3) + 4 · (−1) = −10 .

Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2× 2 : det a11 a12a21 a22

= a11a22 − a12a21 .

Przykład dla n = 3 : E =

2 −1 00 2 −1−1 −1 1

. Mamy:

eD11 = (−1)1+1 · detE−11 = 1 · det 2 −1−1 1

= 2 · 1− (−1) · (−1) = 1 ,

eD12 = (−1)1+2 · detE−12 = −1 · det 0 −1−1 1

= −(0 · 1− (−1) · (−1)) = 1 ,eD13 = (−1)1+3 · detE−13 = 1 · det

0 2−1 −1

= 0 · (−1)− 2 · (−1) = 2. . . (uzupelnić !) i wyznacznik:

detE =3∑k=1(e1k · eD1k) = 2 · 1 + (−1) · 1 + 0 · 2 = 1 .

Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3× 3 –

schemat Sarrusa .

Właściwości wyznacznika:

– jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to detA = 0 ,

– jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to detA = 0 ,

– jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa)

– dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą niezmienia wyznacznika macierzy,

– zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika,

– det(c ·A) = cn · detA , det(A ·B) = detA · detB .

Ponadto:detA =

n∑k=1(a1k · aD1k) =

n∑k=1(amk · aDmk)

dla dowolnego m = 1, 2, . . . n , tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecz-nie pierwszego) wiersza macierzy.

(Także dla dowolnej kolumny: detA =n∑k=1(akm · aDkm))

– rozwinięcie Laplace’a według dowolnego wiersza lub kolumny.

Jeszcze inne własności:

– detAT = detA ,

– jeżeli A jest wymiaru m× n i m > n, to det(A ·AT) = 0 .

Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli detB = 0 ;

w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.

Interpretacja geometryczna wyznacznika

| detA| =

(gdy A jest macierzą 2× 2) = pole równoległoboku

(gdy A jest macierzą 3× 3) = objętość równoległościanu

którego bokami są wektory w R2 (R3) równe kolumnom macierzy A .

Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to

największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A

= największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A

= liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z Aprzez operacje elementarne

(o których dalej).

Uwaga.

1. Gdy macierz A jest wymiaru m× n , to rz A ¬ min(m,n).

2. Gdy macierz A jest wymiaru n× n , to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy detA 6= 0.

2.5. MACIERZ ODWROTNA

tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej !

Gdy A jest macierzą wymiaru n× n i detA 6= 0, określamy:

A−1 = macierz X taka, że A ·X = In .

Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n× n

1. A−1 istnieje ⇔ A jest nieosobliwa ⇔ rz A = n ;

2. A−1 ·A = In ( i wobec tego (A−1)−1 = A );

3. jeżeli A−1 istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.

Wzór:

A−1 =1detA

· (AD)T .

Przykład: Dla macierzy A = 1 7−2 −4

mamy |A| = 10 oraz AD = −4 2−7 1

,

więc A−1 =1detA

· (AD)T = 110· −4 2−7 1

T = −0, 4 −0, 70, 2 0, 1

.

Przykład: Dla macierzy

F =

3 2 32 1 22 5 4

mamy:

FD =

−6 −4 87 6 −111 0 −1

oraz detF = [3 2 3] · [−6 − 4 8] = −2 ,

więc

F−1 =1detF

· (FD)T = −12·

−6 7 1−4 6 08 −11 −1

=3 −72 −

12

2 −3 0−4 11

212

.

Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).

2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH

Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

można zapisać w postaci wektorowej :

x1 ·

a11a21. . .am1

+ x2 ·a12a22. . .am2

+ . . .+ xn ·a1na2n. . .amn

=b1b2. . .bm

lub w postaci macierzowej :

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

·

x1x2. . .

xn

=

b1b2. . .

bm

(czyli A · x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m× n ,

x =

x1x2. . .

xn

jest wektorem z Rn , b =

b1b2. . .bm

wektorem z Rm) .

Szczególny przypadek:

Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równańo takiej macierzy nazywamy cramerowskim.

Np. układ równań

5x1 − 3x2 = 72x1 + x2 = 6jest cramerowski,

a układ x1 + 3x2 + x3 = 82x1 + 4x2 + x3 = 11

– nie.

ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań:

Twierdzenie :

Jeśli układ równań o postaci macierzowej A · x = b jest cramerowski,

to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A−1 · b .

Dowód: Skoro A · x = b , toA−1 · (A · x) = A−1b

(A−1 istnieje bo układ jest cramerowski, a więc detA 6= 0),

czyliIn · x = x = A−1b .

Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów:

Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A−1 przez prawą stronę, b.

Inna metoda: Wzory Cramera :

Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A · x = b jest postaci

xj =detA[j/b]detA

j = 1, 2, . . . n

gdzie A[j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b .

Przykład : Układ równań 2x1 − x2 = 4

2x2 − x3 = −6−x1 − x2 + x3 = 3

ma postać macierzową

2 −1 00 2 −1−1 −1 1

·x1x2x3

=4−63

i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo detE = 1. Nadto

E−1 =

1 1 11 2 22 3 4

(sprawdzić!) , a więc

x = E−1 ·

4−63

=1 1 11 2 22 3 4

·4−63

=1−22

;x1 = 1 , x2 = −2 , x3 = 2 .

Lub z wzorów Cramera:

E[1b] =

4 −1 0−6 2 −13 −1 1

, E[2b] =

2 4 00 −6 −1−1 3 1

, E[3b] =

2 −1 40 2 −6−1 −1 3

i

detE[1b] = 1 , detE[2b] = −2 , detE[3b] = 2a więc x1 = 1/1 = 1 , x2 = −2/1 = −2 , x3 = 2/1 = 2 .

Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich)

przez operacje elementarne.

Operacje elementarne na macierzy:

– zamiana wierszy : wi/wj

– pomnożenie wiersza przez stałą : c · wi

– dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : wi + c · wj .

Mają one zastosowanie do:

– wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej,

– wyliczania rzędu macierzy,

– rozwiązywania układów równań liniowych.

Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej):

wi/wj zmienia znak det , wi + c · wj nie zmienia wyznacznika ,

c · wi mnoży det przez c .

Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:

1. Zapisać układ w postaci macierzowej

2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych)

3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewejstronie macierzy jednostkowej

4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układurównań.

Przykład : Rozwiązać układ równań5x1 − 3x2 + 6x3 = 7−3x1 + 2x2 − 4x3 = −42x1 − x2 + 3x3 = 6

.

5 −3 6 | 7−3 2 −4 | −42 −1 3 | 6

w1 + w2

2 −1 2 | 3−3 2 −4 | −42 −1 3 | 6

w3 − w1

2 −1 2 | 3−3 2 −4 | −40 0 1 | 3

w2 + 2w1

2 −1 2 | 31 0 0 | 20 0 1 | 3

w1 − 2w2

0 −1 2 | −11 0 0 | 20 0 1 | 3

w1 − 2w3

0 −1 0 | −71 0 0 | 20 0 1 | 3

−w1

0 1 0 | 71 0 0 | 20 0 1 | 3

w1/w2

1 0 0 | 20 1 0 | 70 0 1 | 3

rozwiązanie: x1 = 2 , x2 = 7 , x3 = 3 .

Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:

1. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru.

2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewejstronie macierzy jednostkowej

3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej.

Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu:

5 −3 6 | 1 0 0−3 2 −4 | 0 1 02 −1 3 | 0 0 1

w1 + w2

2 −1 2 | 1 1 0−3 2 −4 | 0 1 02 −1 3 | 0 0 1

w3 − w1

2 −1 2 | 1 1 0−3 2 −4 | 0 1 00 0 1 | −1 −1 1

w2 + 2w1 . . .

. . . w1/w2

1 0 0 | 2 3 00 1 0 | 1 3 20 0 1 | −1 −1 1

– macierz odwrotna po prawej stronie.

2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE

Uwaga. Układ równań A · x = b – czyli

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

−

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor

b1b2. . .

bm

jest kombinacją liniową wektorów

a11a21. . .

am1

,

a12a22. . .

am2

, . . . ,

a1na2n. . .

amn

.

Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaciwektorowej układu; rozwiązania x1, . . . xn = współczynniki tej kombinacji).

Dla takiego układu równań oznaczamy: A|b – macierz m× (n+ 1) powstała przez dodaniedo macierzy A kolumny wyrazów wolnych b .

TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A · x = b (jak wyżej) :

ma jedno rozwiązanie ⇔ rz A = rz A|b = n(tak jest w szczególności dla układów cramerowskich);

ma nieskończenie wiele rozwiązań ⇔ rz A = rz A|b < n ;

nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) ⇔ rz A < rz A|b .

Praktyczne rozwiązywanie – przez operacje elementarne.

Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na

• bazowe – te w których kolumnach występują różne wersory

• swobodne – wszystkie pozostałe

po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne.

Przykład 1. Układ równań x1 + x2 + x3 = 52x1 + 3x2 + x3 = 7

sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolum-nach

[1 1 1 | 52 3 1 | 7

]w2 − 2w1

[1 1 1 | 50 1 −1 | −3

]w1 − w2

[1 0 2 | 80 1 −1 | −3

];

zmienne x1 i x2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe,

za zmienną swobodną x3 wstawiamy parametr: x3 = s i przepisujemy układ w postacix1 + 2s = 8 , x2 + s = −3 , czyli

x1 = 8− 2s , x2 = s− 3 , x3 = s ;

– rozwiązanie ogólne – rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s.Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np.x1 = −6 , x2 = 4 , x3 = 7).

Szczególny przypadek – rozwiązania bazowe

w zmiennych bazowych x2, x3 (x1 = 0) : s = 4 ; x1 = 0 , x2 = −1 , x3 = 4

w zmiennych bazowych x1, x3 (x2 = 0) : s = 3 ; x1 = 2 , x2 = 0 , x3 = 3

w zmiennych bazowych x1, x2 (x3 = 0) : s = 0 ; x1 = 8 , x2 = −3 , x3 = 0 .

Rozwiązania nieujemne – czyli takie, że x1, x2, x3 ­ 0 – muszą spełniać

8− 2s ­ 0 , s− 3 ­ 0 , s ­ 0

czyli występują dla takich s że 3 ¬ s ¬ 4 .

Przykład 2. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −23x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Operacje elementarne:[1 −2 1 −1 | −23 2 3 −1 | 4

]w2 − 3w1 ; w2 ·

12; w1 + w2

[1 2 1 0 | 30 4 0 1 | 5

]

Zmienne bazowe: x3 , x4 (można zamiast tego wziąć x1 i x4),dwa parametry x1 = s i x2 = t,

rozwiązanie ogólne: x1 = s , x2 = t , x3 = 3− s− 2t , , x4 = 5− 4t .