MATEMATYKAMATEMATYKA

Wpisz swoje imięWpisz swoje imię

„Pewnego razu znany matematyk polskiego pochodzenia Mark Kac wygłaszał referat w Kalifornijskim Instytucie Technologii. Wśród słuchaczy był sławny fizyk, Richard Feynman, który lubił podkpiwać z przesadnej dbałości o ścisłość matematyków. -Gdyby matematyka nie istniała - rzekł w pewnej chwili do Kaca – to świat cofnąłby się tylko o tydzień. - Ależ tak - bez namysłu odpowiedział Kac - właśnie o ten tydzień, w którym Pan Bóg stworzył świat.”

ANEGDOTA MATEMATYCZNA

LiteraturaLiteratura1. Matołka M., Wojcieszyn B., Matematyka z elementami

zastosowań w ekonomii, Wyd. Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań, 2000;

2. Matołka M., Matematyka dla ekonomistów, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań,2003;

3. Włodarski W., Krysicki L.: Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2006;

Ebook:http://rapidshare.com/files/141812798/Krysicki.Wlodarski.1.Analiza.Matematyczna.W.Zadaniach.rar

4. Piszczała J., Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, 2000.

Definicja 1. Macierzą m×n nazywa się prostokątną tablicę liczb:

Jeśli m=n, to macierz nazywa się macierzą kwadratową.

Macierz zerowa – macierz, której wszystkie elementy równe są zero.

Macierz trójkątna dolnaMacierz trójkątna dolna

główna przekątna

Macierz trójkątna górnaMacierz trójkątna górna

Macierz diagonalnaMacierz diagonalna

Macierz jednostkowaMacierz jednostkowa

Macierz symetrycznaMacierz symetryczna – – macierz kwadratowa, w którejmacierz kwadratowa, w której

jiijaa

0864

8513

6121

4311

Przykład:

Działania na macierzachDziałania na macierzach

Transponowanie macierzy – operacja zamiany wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności.

Oznaczenie: ', AAT

319

084

632

751

A

3067

1835

9421TA

Macierze równeMacierze równe

Dwie macierze i nazywa się równymi, jeśli

i=1,2,…,m, j=1,2,…,n

][ijmxnaA ][

ijmxnbB

Dodawanie macierzyDodawanie macierzy

Sumą macierz A i B nazywa się macierz C, której elementy spełniają zależność:

njmi

bacijijij

,...,2,1,,...,2,1

,

Iloczyn liczby przez macierzIloczyn liczby przez macierz

Iloczynem liczby k przez macierz A nazywa się macierz C, której elementy są postaci:

njmi

kacijij

,...,2,1,,...,2,1

,

Iloczyn macierzyIloczyn macierzy

Iloczynem (A·B) macierz A i B nazywa się macierz C, której elementy spełniają zależność:

p

kkjikijbac

1

nmnppmCBA

,,

Przykład:Przykład:

41

53

21

A

1431

0257B

41873

5143026

26119

BAC

Własności działań na Własności działań na macierzachmacierzach

1. A+B=B+A2. (A+B)+C=A+(B+C)3. A+0=A4. A-A=05. k(A+B)=kA+kB6. (A·B)·C=A·(B·C)7. A·(B+C)=A·B+A·C8. (A+B)·C=A·C+B·C9. A·0=0·A=010.A·I=I·A=A

Wyznacznik macierzyWyznacznik macierzy

Wyznacznikiem macierzy Anxn nazywa się wyrażenie

Jeżeli w permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w porządku naturalnym, to permutacja zawiera inwersję.

nniik

ik aaaA ...)1(det

21 21

gdzie k oznacza liczbę inwersji permutacji liczb 1,2,…n, a jest permutacją liczb 1,2,…,n

niii ,...,,

21

Wyznacznik macierzyWyznacznik macierzy

Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy 0 nazywa się macierzą osobliwą.

Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0 nazywa się macierzą nieosobliwą.

Wyznaczniki macierzyWyznaczniki macierzy

1111]det[ aa

211222112221

1211det aaaaaa

aa

Wyznaczniki macierzyWyznaczniki macierzy

332112322311312213

312312322113332211

333231

232221

131211

det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Schemat SarrusaSchemat Sarrusa

Minorem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywa się wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A po usunięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny.

ijM

Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywa się iloczyn:

ij

ji

ijMD )1(

Twierdzenie Laplace’aTwierdzenie Laplace’a

Wyznacznik macierzy równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (lub kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego.

ininiiiiDaDaDaA ...det

2211

njnjjjjjDaDaDaA ...det

2211

Przykład:Przykład:

187

625

431

A

17

65det

12D

17

41det

22D

65

41det

32D

detA=-3(-37)+2(-27)-8(-14)=169

Własności wyznacznikówWłasności wyznaczników

1. Jeżeli któryś wiersz (lub kolumna) składa się z samych zer to wyznacznik takiej macierzy wynosi 0.

2. Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej.

3. Zamiana dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami powoduje zmianę znaku wyznacznika.

Własności wyznacznikówWłasności wyznaczników

4. Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy 0.

5. Wspólny czynnik danego wiersz (kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.

6. Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) wynosi 0.

Własności wyznacznikówWłasności wyznaczników

7. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiadające elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

8. Wyznacznik macierzy dolno- (górno-) trójkątnej równy jest iloczynowi elementów na przekątnej.

Twierdzenie Couchy’egoTwierdzenie Couchy’ego

Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy.

BABA detdet)det(

Macierz odwrotnaMacierz odwrotna

Macierz kwadratową stopnia n spełniającą warunek:

1A

nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A.

IAAAA 11

Jeśli macierz odwrotna istnieje to jest ona wyznaczona jednoznacznie.

PrzykładPrzykładWyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

43

21A IAA 1

10

01

43

21

2221

1211

aa

aa

5,05,1

11

2221

12111

aa

aaA

Macierz dołączonaMacierz dołączona

Transponowana macierz dopełnień algebraicznych:

nnnn

n

n

T

DDD

DDD

DDD

D

...

...

...

21

22212

12111

Metody wyznaczania Metody wyznaczania macierzy odwrotnejmacierzy odwrotnej

• Metoda wyznacznikowaTw. Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz odwrotna, która wynosi

TDA

Adet

11

PrzykładPrzykładWyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

123

312

231

A

7111

777

715

28

11A

Jeżeli macierz A powstaje z macierzy B przez zastosowanie operacji elementarnych to macierze A i B są macierzami równoważnymi.

Tw. Jeżeli macierz blokowa C=[I|D] powstała w wyniku stosowanie operacji elementarnych na wierszach macierzy B=[A|I], to . 1AD

WłasnościWłasności• Jeżeli macierze A i B są macierzami

nieosobliwymi tego samego stopnia wówczas

• Wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy

111)( ABBA

11 )(detdet AA

WłasnościWłasności• Macierz odwrotna do macierzy

odwrotnej jest identyczna z daną macierzą

• Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy transponowanej

AA 11)(

11 )()( TT AA

RZĄD MACIERZYRZĄD MACIERZY

Niech dane będą wektory:

],...,[112,111 nxxxx

],...,[222,212 nxxxx

],...,[2,1 mnmmm xxxx

.

.

.

Def.: Kombinacją liniową wektorów nazywa się wektor mxxx ,...,, 21

mm

m

iii

xxxxx ...22111

]...

...,

,...

,...[

2211

2222121

1212111

mnmnn

mm

mm

xxx

xxx

xxx

Def.: Wektory nazywa się liniowo zależnymi, jeśli

istnieją takie liczby nie wszystkie równe zero, dla

których zachodzi równość:

mxxx ,...,, 21

m ,...,,

21

01

m

iiix

Def.: Wektory, które nie są liniowo zależnymi nazywa się wektorami liniowo niezależnymi.

Przykład: Zbadać liniową Przykład: Zbadać liniową zależność wektorów.zależność wektorów.

]1,0,0,0[4 x]2,1,0,0[3 x

]3,2,1,0[2 x]4,3,2,1[1 x

0]234,23,2,[4321321211

0,0,0,04321

Przykład: Zbadać liniową Przykład: Zbadać liniową zależność wektorów.zależność wektorów.

]1,0,1[4 x

]1,1,0[2 x]0,1,1[1 x

0

0

0

432

321

431

]1,1,1[3 x

Def.: Rzędem macierzy A (ozn. rzA) nazywa się maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn (wierszy) tej macierzy.

Przykład 1:

1110

0111

1101

A 3rzA

Przykład 2:

532

110

321

B 2rzB

Twierdzenie:

Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy:

1)Kolumny (wiersze) pomnoży się przez liczby różne od 0;

2)Przestawi się kolumny (wiersze) miejscami;

3)Do jednej kolumny (wiersza) doda się kombinację liniową innych kolumn (wierszy).

Przykład: Znaleźć rząd Przykład: Znaleźć rząd macierzymacierzy

10514

4213

6321

A

Metody wyznaczania rzędu Metody wyznaczania rzędu macierzymacierzy

• TW. Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwej podmacierzy.

• Wniosek: rzA≤min(m,n)

PrzykładPrzykład

742

513A

Podmacierze:

42

13

72

53

74

51

2rzA

Def.: Podmacierzą główną macierzy A st. n nazywa się tę samą macierz A oraz każdą inną macierz stopnia mniejszego niż n, która powstała z macierzy A przez usunięcia wiersza i kolumny i tym samym numerze.

Przykład:

870

252

431

A

Podmacierze główne:

87

25

80

41

52

31A

Twierdzenie:

Rząd macierzy symetrycznej równy jest najwyższemu ze stopni podmacierzy nieosobliwych.

Przykład 1:

Przykład 2:

542

431

212

A

824

221

412

B

Układ równań liniowychUkład równań liniowych

Def. Układem m równań liniowych o n niewiadomych

nazywa się układ postacinxxx ...,,, 21

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Zapis macierzowy: bx AMacierz układu równań liniowych (macierz współczynników przy niewiadomych):

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

Wektor niewiadomych:

,2

1

nx

x

x

x

Wektor wyrazów wolnych:

,2

1

nb

b

b

b

Def. Jeżeli m=n, to detA nazywa się wyznacznikiem układu równań liniowych.

Klasyfikacja układów równań liniowych

0b 1) , to układ nazywa się układem równań linowych jednorodnych,

0 iib2) , to układ nazywa się

układem równań linowych niejednorodnych.

DEF.: Wektor x , którego wszystkie współrzędne spełniają równania układu równań liniowych nazywa się rozwiązaniem tego układu.

DEF.:Zbiór wszystkich takich wektorów nazywa się zbiorem rozwiązań układu równań liniowych.

• Układ sprzeczny - zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym.

• Układ oznaczony - zbiór rozwiązań zawiera dokładnie jeden element.

• Układ nieoznaczony - zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele elementów.

Def. Układy równań liniowych nazywa się układami równoważnymi, jeśli każde rozwiązanie jednego układu jest jednocześnie rozwiązaniem drugiego układu.

Def. Układ n równań liniowych o n niewiadomych nazywa się układem Cramera równań liniowych, jeśli wyznacznik układu jest różny od zera.

Rozwiązanie: bx 1A

Przykład. Rozwiązać układ równań:

243

12

21

21

xx

xx

CRAMER Gabriel CRAMER Gabriel (1702-1752)(1702-1752)

WZORY CRAMERAWZORY CRAMERATwierdzenieJeżeli wyznacznik detA układu Cramera równań liniowych jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n det

det,,

det

det,

det

det 22

11

nnnjnnjn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

A

111

21221221

11111111

Przykład

122

0232

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Def. Macierz uzupełnioną układu równań linowych nazywa się macierz: bAU

.

Tw. Kroneckera-CapelliegoUkład równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA=rzU.Jeżeli rzA=rzU=n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.Jeżeli r=rzA=rzU<n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów.

Wn. Jeżeli rzA<rzU, to układ jest układem sprzecznym.

Przykład

32

1

4321

4321

xxxx

xxxx