Master en Investigacion MatematicaUniversidad Politecnica de Valencia y

Universidad de ValenciaConvexidad y Optimizacion

Vicente Montesinos

2009

Resumen

Este curso presenta aspectos de convexidad y optimizacion en es-pacios de Banach, con una introduccion a las cuestiones basicas deAnalisis Funcional en el contexto mas general de los espacios local-mente convexos. Se hace hincapie, por una parte, en cuestiones de ro-tundidad, estudiando puntos extremales de conjuntos convexos, y porotra, de suavidad, mediante derivadas de funciones convexas y, masparticularmente, de la norma, prestando especial atencion a la inci-dencia de estos conceptos en aspectos estructurales de los espacios deBanach (compacidad debil, reflexividad, propiedad de Asplund, etc.).Un instrumento esencial son los principios variacionales, de los que sediscuten los mas importantes.

El Curso esta dividido en cinco lecciones. Se formulan en ellaslos resultados que seran discutidos y probados en su desarrollo. Seincluyen algunos ejercicios que completan y precisan la teorıa.

Indice

1. Primera Leccion 31.1. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

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1.4. Funcionales de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Espacios vectoriales topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Consecuencias del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 7

1.7.1. Separacion sin topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7.2. Separacion y topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7.3. El caso de espacios normados . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8. Geometrıa de la norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9. Teoremas de la aplicacion abierta y de la grafica cerrada . . . 91.10. Dualidad. La topologıa debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.11. Una aplicacion. Resolucion de ecuaciones lineales . . . . . . . 101.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Segunda leccion 132.1. Conjuntos extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. El teorema de Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Puntos extremales en espacios de funciones continuas . . . . . 142.4. Funcionales que alcanzan la norma . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Tercera Leccion 173.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Diferenciabilidad y estructura de los espacios de Banach . . . 183.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Cuarta Leccion 214.1. Funciones semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Principio variacional de Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5. Quinta Leccion 235.1. Funciones meseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Principio Variacional de Deville, Godefroy y Zizler . . . . . . . 245.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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1. Primera Leccion

1.1. Conjuntos parcialmente ordenados

Definicion 1 Sea S un conjunto no vacıo. Un orden parcial ≤ en S es unarelacion binaria entre los elementos de S de forma que(i) a ≤ a para todo a ∈ S.(ii) a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c, para todo a, b, c en S.(iii) a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b para a, b en S.Un conjunto S con una relacion de orden parcial ≤ se denota como (S,≤).Se dice en ese caso que S es un conjunto parcialmente ordenado (mediantela relacion de orden parcial ≤).

Un orden parcial se dice que es total cuando dos elementos cualesquiera estanrelacionados. Una cadena es un subconjunto de S tal que, en el orden induci-do, es un conjunto totalmente ordenado. Dado S0 ⊂ S, una cota superior deS0 es un elemento s0 ∈ S tal que s ≤ s0 para todo s ∈ S0. Un elementomaximal para S es un elemento m ∈ S tal que si m ≤ s para algun s ∈ S,entonces m = s. Un conjunto S parcialmente ordenado se dice que es dirigidosuperiormente si dados x, y ∈ S existe z ∈ S tal que x ≤ z, y ≤ z. El ordende un conjunto parcialmente ordenado se dice que es un buen orden si todosubconjunto no vacıo tiene un primer elemento. Todo buen orden es un ordentotal, aunque el recıproco no es cierto.

El siguiente resultado muestra una serie de principios logicamente equiva-lentes.

Lema 2 Los siguientes enunciados con logicamente equivalentes.(i) Principio de buena ordenacion. Todo subconjunto no vacıo puede serequipado de un buen orden.(ii) Axioma de Eleccion. Dada una familia no vacıa F de conjuntos novacıos, existe un conjunto que tiene exactamente un elemento en cada unode los conjuntos de la familia.(iii) Lema de Zorn. Sea (S,≤) un conjunto parcialmente ordenado tal quetoda cadena tiene una cota superior. Entonces S tiene un elemento maximal.

Definicion 3 Sea X un conjunto no vacıo. Una red en X es una funcionr : I → X, donde I es un conjunto parcialmente ordenado y dirigido supe-riormente.

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Escribiremos una red como (ri)I o, simplemente, (ri) si el conjunto I sesobreentiende.

Definicion 4 Dada una red r : I → X, una subred es una aplicacion s :J → I, donde J es otro conjunto parcialmente ordenado y dirigido superior-mente, tal que si i0 ∈ I, entonces existe j0 ∈ J tal que j ≥ j0 ⇒ s(j) ≥ i0.

Si (X, T ) es un espacio topologico, se dice que una red (ri)I en X converge aun punto x ∈ X cuando dado cualquier entorno U de x existe i0 ∈ I tal queri ∈ U para todo i ≥ i0.

1.2. Espacios vectoriales

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto X (cuyos elementosse llaman vectores) y un cuerpo K (cuyos elementos se llaman escalares), yun par de operaciones

+ : X ×X → X,

. : K ×X → X

con las propiedades usuales. En este curso, K = R. Se define una combi-nacion lineal de elementos de un conjunto X0 ⊂ X un vector de la forma∑n

i=1 αiei, donde α1, . . . , αn son escalares y e1, . . . , en son vectores, n ∈ N. Elconjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X0 se denotaspan(X0). Es un subespacio vectorial de X. Dados vectores e1, . . . , en en X,una combinacion convexa es un vector de la forma

∑ni=1 aiei, donde a1, . . . , an

son escalares con ai ≥ 0 para i = 1, . . . , n y∑n

i=1 ai = 1. El conjunto de com-binaciones convexas de elementos de S0 se dice que es su envoltura convexa,y se denota conv (S0).

Definicion 5 Un conjunto C ⊂ X se dice que es convexo cuando C =conv (C).

Es sencillo probar que C es convexo si y solamente si αx+(1−α)y ∈ C paracualesquiera x, y ∈ C y para todo α ∈ [0, 1].

Definicion 6 Una funcion p : X → R es sublineal si es positivamente ho-mogenea (i.e., p(αx) = αp(x) para todo α ≥ 0 y para todo x ∈ X) y subaditiva(i.e., p(x, y) ≤ p(x) + p(y) para cualesquiera x, y ∈ X.

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Definicion 7 Sean X, Y dos espacios vectoriales. Una funcion f : X → Yes lineal si f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), para α, β ∈ R, para x, y ∈ X. Seutiliza, equivalentemente, el termino operador lineal, y se reserva el nombrede forma lineal al caso en que la aplicacion lineal toma valores en R. Elconjunto de aplicaciones lineales de X en Y se denota L(X, Y ). El conjuntoL(X,R) se denota X ′ y se llama dual (algebraico) de X.

Un hiperplano H es el nucleo Kerf de una forma lineal f : X → R talque f 6= 0. Es un subespacio vectorial de X. Si H es un hiperplano en X,entonces X = H

⊕spanx0, donde x0 es cualquier vector que no este en H.

Recıprocamente, si H es un subespacio de X tal que, para algun 0 6= x0 ∈ X,se tiene X = H

⊕span{x0}, entonces H es un hiperplano.

Proposicion 8 Dados dos elementos f, g ∈ X ′, entonces Kerf = Kerg ⇔∃0 6= λ ∈ R tal que f = λg.

Proposicion 9 Sean f, f1, . . . , fn ∈ X ′. Entonces

n⋂i=1

Kerfi ⊂ Kerf ⇔ f = λ1f1 + . . . + λnfn, para ciertos λ1, . . . λn ∈ R.

1.3. Teorema de Hahn-Banach

Teorema 10 (Hahn-Banach) Sea X un espacio vectorial sobre R. Sea Yun subespacio. Sea p : X → R una funcion no negativa y sublineal. Seaf : Y → R lineal tal que f(x) ≤ p(y) en Y . Entonces existe una extensionde f a X tal que f(x) ≤ p(x) en X.

1.4. Funcionales de Minkowski

Sea ∅ 6= S ⊂ X, donde X es un espacio vectorial. Un punto s0 ∈ S espunto interior algebraico de S si ∀x 6= 0 en X, existe ε(x) > 0 tal que]s0 − ε(x)x, s0 + ε(x)x[⊂ S. El conjunto de puntos interiores algebraicos deS se denota Si. Un punto s1 ∈ X se dice que es punto clausura algebraica deS cuando existe s0 ∈ S tal que [s0, s1[⊂ S. El conjunto de todos los puntosclausura algebraicos de S se denota Sc. S es algebraicamente abierto (resp.algebraicamente cerrado) si S = Si (resp. S = Sc).

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Definicion 11 Sea ∅ 6= S ⊂ X, donde X es un espacio vectorial. Si 0 ∈ Si,se define el funcional de Minkowski de S a la funcion

pS(x) := ınf{λ > 0; x ∈ λS}.Se tiene que, si S es convexo y 0 ∈ Si,

Si = {x ∈ X; pS(x) < 1} ⊂ S ⊂ Sc = {x ∈ X; pS(x) ≤ 1}.Ademas, pS = pSi = pSc . La funcion pS es sublineal y ≥ 0. Recıprocamente,si p es ≥ 0 y sublineal, S := {x; p(x) ≤ 1} es convexo, 0 ∈ Si, pS = p.

1.5. Espacios vectoriales topologicos

Un espacio vectorial topologico (e.v.t.)1 es un espacio vectorial X con unatopologıa Hausdorff T tal que las aplicaciones (x, y) → x + y de X ×X enX, y (t, x) → tx de R×X en X son continuas. Denotamos U(0) la familia delos entornos de 0. La familia de los entornos de cualquier otro punto se obtienetrasladando U(0) a ese punto. El espacio dual topologico X∗ es el espacio detodos los funcionales lineales continuos definidos en X. Un subconjunto A deX es acotado cuando, dado cualquier entorno V de 0, existe r > 0 tal queA ⊂ rV .

Proposicion 12 Sea (X, T ) un e.v.t. Sea p : X → R una funcion sublineal.Las siguientes afirmaciones son equivalentes.(i) p es continua.(ii) p es continua en 0.

Proposicion 13 Sean (X, T ) y (Y,S) dos e.v.t. Dado un operador linealT : X → Y , las siguientes afirmaciones son equivalentes.(i) T es uniformemente continuo.(ii) T es continuo.(iii) T es continuo en 0.

Proposicion 14 Sea C un subconjunto convexo con 0 ∈ Ci, en un e.v.t.Entonces, 0 ∈ C◦ si y solamente si pC es continuo.

Proposicion 15 Sea p una funcion sublineal continua en un e.v.t. X. Seaf una formal lineal en X tal que f ≤ p. Entonces f es continua en 0.

1En este curso supondremos que el cuerpo de escalares es R.

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Proposicion 16 Sea X un e.v.t. Sea f : X → R una forma lineal. Entonces,las siguientes afirmaciones son equivalentes.(i) f es continua.(ii) f es continua en 0.(iii) Kerf es cerrado.(iv) Kerf no es denso.

Corolario 17 Un hiperplano de un e.v.t. X es cerrado o denso.

1.6. Espacios normados

Un e.v.t. X donde su topologıa esta definida por una norma, es decir, unaaplicacion ‖·‖ : X → R tal que ‖x‖ ≥ 0, ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖, ‖tx‖ = |t|.‖x‖,‖x‖ = 0 si y solo si x = 0, se llama un espacio normado. Si es completo (esdecir, si toda sucesion de Cauchy converge) se llama espacio de Banach.La bola cerrada (resp. abierta) unidad es BX := {x ∈ X; ‖x‖ ≤ 1} (resp.intBX := {x ∈ X; ‖x‖ < 1}), y la esfera unidad es SX := {x ∈ X; ‖x‖ = 1}.Una bola cerrada (resp. abierta) es el trasladado de un multiplo positivo dela bola cerrada unidad (resp. bola abierta unidad). Un operador lineal T :X → Y , donde X e Y son espacios normados, es continuo si y solamente si esacotado, es decir, cuando la imagen de la bola cerrada unidad es un conjuntoacotado o, lo que es lo mismo, cuando existe C > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ C‖x‖,∀x ∈ X. El mınimo C con esa propiedad se llama la norma del operador. Elespacio X∗ es un espacio de Banach con esa norma.

1.7. Consecuencias del Teorema de Hahn-Banach

1.7.1. Separacion sin topologıa

Teorema 18 (Teorema de separacion) Sean A y B dos conjuntos dis-juntos, convexos, no vacıos de un espacio vectorial real X. Si Ai 6= ∅, en-tonces existe una forma lineal f sobre X tal que

f(ai) < inff(B), para todo ai ∈ Ai.

1.7.2. Separacion y topologıa

Nota 19 Si X es un espacio localmente convexo no reducido a un punto,entonces X ′ 6= {0}.

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Teorema 20 (Teorema de separacion) Sea (X, T ) un e.v.t. Sean A,Bsubconjuntos convexos no vacıos de X tales que A◦ 6= ∅, A◦∩B = ∅. Entoncesexiste un funcional lineal y continuo f definido en X tal que f(a◦) < ınf f(B)para todo a◦ ∈ A◦.

La existencia en un e.v.t. X de al menos una forma lineal continua es equiv-alente a la existencia de un subconjunto convexo, no vacıo, abierto y distintode X. Para asegurar la existencia de formas lineales y continuas no trivialesse introduce la siguiente definicion.

Definicion 21 Un e.v.t. se dice que es un espacio localmente convexo (e.l.c.)cuando tiene una base de entornos de 0 convexos.

Proposicion 22 Sea X un e.l.c. Sea B un subconjunto convexo cerrado yno vacıo de X y x0 un punto de X \ B. Entonces existe un f ∈ X∗ tal quef(x0) < ınf f(B).

Proposicion 23 Si X es un e.l.c., A y B son subconjuntos convexos cerra-dos disjuntos, y A es compacto, entonces existe un funcional lineal y continuof tal que sup f(A) < ınf f(B).

1.7.3. El caso de espacios normados

Proposicion 24 Si X es un espacio normado, Y un subespacio, entoncestodo funcional lineal f : Y → R continuo se puede extender a X manteniendola norma.

Proposicion 25 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. Sea f ∈ X∗. Entonces,para todo x ∈ X,

|f(x)| = ‖f‖.dist(x, Kerf).

Proposicion 26 Sea X un espacio normado, Y un subespacio cerrado, x0 ∈X \ Y , d := dist(x0, Y ). Entonces existe f ∈ X∗, ‖f‖ = 1, f(x0) = d,f ¹ Y ≡ 0.

Corolario 27 Sea (X, ‖·‖) un espacio normado. Entonces, para todo x ∈ Xexiste f ∈ SX∗ tal que f(x) = ‖x‖.

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1.8. Geometrıa de la norma

En un espacio normado (X, ‖ · ‖), toda bola, todo segmento, todo subespacioy todo semiespacio son conjuntos convexos. Dos normas ‖ · ‖ y |‖ · |‖ enX son equivalentes si definen la misma topologıa, o, lo que es lo mismo, sir.B(X,‖·‖) ⊂ B(X,|‖·|‖) ⊂ s.B(X,‖·‖) para dos ciertos numeros reales positivos ry s.

1.9. Teoremas de la aplicacion abierta y de la graficacerrada

Teorema 28 (de la aplicacion abierta) Sean X e Y dos espacios de Ba-nach. Sea T : X → Y un operador continuo tal que T (BX) contiene una bolaabierta. Entonces TX = Y y existe r > 0 tal que TBX ⊃ rBY .

Teorema 29 (de la grafica cerrada) Sea T : X → Y un operador congrafica cerrada entre dos espacios de Banach. Entonces T es continuo.

1.10. Dualidad. La topologıa debil

Definicion 30 Dados dos espacios vectoriales X, Y , se dice que forman unpar dual si existe una forma bilineal 〈·, ·〉 : X × Y → R tal que(i) 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ Y , entonces x = 0.(ii) 〈x, y〉 = 0 para todo x ∈ X, entonces y = 0.Si ese es el caso escribiremos 〈X, Y 〉.

Definicion 31 Sea 〈X, Y 〉 un par dual. Se define la topologıa debil w(X, Y )en X asociada al par dual de alguna de las distintas formas equivalentes.

(i) xiw(X,Y )−→ x cuando 〈xi, y〉 → 〈x, y〉 para todo y ∈ Y .

(ii) Una base de entornos de 0 en w(X, Y ) esta dada por los conjuntos {x ∈X; |〈x, yi〉| < ε, i = 1, 2, . . . , n}, donde ε > 0, y1, y2, . . . , yn ∈ Y , n ∈ N.

La topologıa w(X, Y ) es Hausdorff y localmente convexa. Es la topologıade la convergencia puntual sobre los puntos de Y . El dual topologico de(X, w(X,Y )) es Y . Si (X, T ) es un e.l.c., la topologıa w(X, X∗) se llama latopologıa debil de X. La topologıa w(X, X∗) es la menos fina que hace queX sea localmente convexo y tenga como dual X∗.

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Proposicion 32 Sea (X, T ) un e.l.c. Sea C ⊂ X cerrado, convexo y novacıo. Entonces C es la interseccion de todos los semiespacios cerrados quelo contienen.

Corolario 33 Sea (X, T ) un e.l.c. Sea C ⊂ X convexo y no vacıo. Entonces,C es T -cerrado si y solamente si es w(X, X∗)-cerrado.

Teorema 34 [Alaoglu-Bourbaki] Sea X un espacio de Banach. Entonces,(BX∗ , w(X∗, X)) es compacto.

Todo espacio de Banach es un subespacio de su bidual (es decir, del dualdel dual) de forma canonica. Precisamente, sea J : X → X∗∗ el operadorque a x ∈ X le hace corresponder la aplicacion Jx : X∗ → R dada porJx(x∗) := 〈x, x∗〉, ∀x∗ ∈ X∗. Es una inyeccion lineal y continua de X en X∗∗

(de hecho es una isometrıa), y JX se identifica con X, Un espacio de BanachX es reflexivo si JX = X∗∗.

Teorema 35 Un espacio de Banach (X, ‖ · ‖) es reflexivo si, y solamente si,(BX , w(X,X∗)) es compacto.

1.11. Una aplicacion. Resolucion de ecuaciones lineales

Un sistema de n ecuaciones lineales con m incognitas es una expresion

M

xi...

xm

=

α1...

αn

, (1)

donde M := (mi,j)i=1,...,n,j=1,...,m es una matriz n × m. Resolverlo es en-contrar x1, . . . , xm que satisfaga (1). Con otras palabras, encontrar x =(x1, . . . , xm) ∈ Rm tal que 〈mi,x〉 = αi, mi := (mi,1, . . . , mi,m), i = 1, . . . , n,donde la forma bilineal en Rm × Rm esta dada por 〈x,y〉 :=

∑mi=1 xiyi, si

x := (xi)mi=1, y := (yi)

mi=1. Se formula el problema de modo mas general.

Problema. Sea X un espacio de Banach. Sea x∗1, . . . , x∗n ∈ X∗, α1, . . . , αn ∈

R. Encontrar un vector x ∈ X tal que 〈x, x∗i 〉 = αi, i = 1, . . . , n. Si es posible,estimar el tamano de la solucion.

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Teorema 36 (Helly) Sea X un espacio de Banach. Sea x∗1, . . . , x∗n ∈ X∗,

α1, . . . , αn ∈ R. Entonces,(i) Si existe x ∈ X tal que 〈x, x∗i 〉 = αi, i = 1, . . . , n, entonces |∑n

i=1 αiβi| ≤‖x‖.‖∑n

i=1 βix∗i ‖, para todo β ∈ Rn.

(ii) Si x∗1, . . . , x∗n son linealmente independientes, si |∑n

i=1 αiβi| ≤ K.‖∑ni=1 βix

∗i ‖

para todo β ∈ Rn y si ε > 0, entonces existe x ∈ (K + ε)BX tal que〈x, x∗i 〉 = αi, i = 1, . . . , n.

1.12. Ejercicios

1. Probar que la familia de todos los subconjuntos de un conjunto novacıo, con el orden de inclusion, en un conjunto parcialmente ordenadodirigido superiormente. Describir una cota superior y una cota inferiorde un subconjunto. Describir un elemento maximal. Probar que es unconjunto dirigido superiormente. ¿Es un orden total?

2. Describir el orden de los numeros naturales, de los racionales, de losreales.

3. Probar que la familia de todos los entornos de un punto en un espaciotopologico, ordenada de la forma U ≤ V ⇔ U ⊃ V , es un conjuntoparcialmente ordenado dirigido superiormente. Construir de forma na-tural una red en un espacio topologico que converja a un punto, usandocomo conjunto dirigido la familia de todos los entornos de ese punto.

4. Probar que una topologıa en un conjunto S viene determinada por elconjunto de redes que convergen, junto con sus lımites.

5. Probar que la envoltura convexa de un subconjunto de un espacio vec-torial es el menor conjunto convexo que lo contiene.

6. Probar que C es convexo si y solamente si αx + (1 − α)y ∈ C paracualesquiera x, y ∈ C y para todo α ∈ [0, 1].

7. Un hiperplano es exactamente un subespacio de codimension 1 de unespacio vectorial.

8. Probar todas las afirmaciones relativas a funcionales de Minkowski quese hacen en las notas.

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9. Un funcional subaditivo en un e.v.t. es continuo si y solamente si escontinuo en 0.

10. Sean X e Y dos espacios normados y T : X → Y un operador lineal.Probar que T es continua si y solo si existe C > 0 tal que ‖T (x)‖ ≤C‖x‖ para todo x ∈ X, si y solo si la imagen de BX es acotada.Sugerencias y complementos. Use las definiciones. Obtenga otras car-acterizaciones de continuidad en terminos de ε y δ. Observe que esequivalente a que T sea continua en 0, o que T sea Lipschitz. Formuleuna condicion equivalente a que T sea un isomorfismo.

11. Probar la Proposicion 14. Sugerencia. Usar el ejercicio 9.

12. Probar la Proposicion 15.

13. Probar que, si X es un espacio normado, si Y es un subespacio cerradode X y F es un subespacio de dimension finita de X, entonces Y + Fes cerrado. Sugerencia. Probarlo primero para un subespacio cerrado decodimension 1 en otro subespacio. Usar luego induccion finita.

14. Un espacio cociente Y de un espacio normado es un espacio normadocon la norma ‖q(x)‖ := ınfx∈q(x) ‖x‖, donde q : X → Y es la aplicacioncanonica.

Sugerencias y complementos. Observe la relacion entre la norma delcociente y la distancia de puntos a subespacios. Pruebe que todo cocientede un espacio de Banach es de Banach. Pruebe que si T : X → Y esun operador lineal, se puede factorizar a traves de un cociente para quesea inyectivo.

15. Probar que todas las normas en Rn son equivalentes. Sugerencia. Probarque todas son equivalentes a la norma ‖ · ‖1.

16. Los espacios c0(N), `p(N) (p ∈ [1,∞]), C(K) (K un espacio compacto),son espacios de Banach cuando se equipan de normas naturales. Intro-ducirlas y probar que, efectivamente, son espacios de Banach. Probarque el espacio `2(N) es un espacio de Hilbert separable. Probar quetodo espacio de Hilbert es isometrico a un espacio `2(Γ) para ciertoconjunto Γ.

17. Probar que, si 〈X,Y 〉 es un par dual, la topologıa w(X,Y ) es Hausdorff.

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2. Segunda leccion

2.1. Conjuntos extremales

Definicion 37 Dado un conjunto convexo no vacıo C en un espacio vec-torial X, un subconjunto no vacıo E ⊂ C se dice que es extremal de Ccuando, dados dos puntos x, y ∈ C tales que el segmento abierto ]x, y[ veri-fique ]x, y[∩E 6= ∅, entonces x, y ∈ E. Un conjunto extremal de C reducidoa un punto se dice que es un punto extremal de C. El conjunto de puntosextremales de C se denota ExtC.

Proposicion 38 Sea C un conjunto convexo no vacıo en un espacio vectorialX. Sea E ⊂ C un subconjunto extremal de C. Sea F ⊂ E un conjuntoextremal de E. Entonces F es extremal de C.

Proposicion 39 La interseccion de una familia arbitraria de conjuntos ex-tremales de un conjunto convexo C de un espacio vectorial X, si no es vacıa,es un conjunto extremal de C.

Proposicion 40 Sea X un espacio vectorial. Sea C ⊂ X un conjunto con-vexo y no vacıo. Sea f ∈ X ′ acotada superiormente en C y que alcanza en Csu maximo M . Entonces {e ∈ C; f(e) = M} es un conjunto extremal de C.

Definicion 41 La norma ‖ · ‖ de un espacio de Banach X se dice que es ro-tunda (R) (tambien llamada estrictamente convexa) cuando SX no contienesegmentos no triviales. Equivalentemente, cuando SX = ExtBX .

2.2. El teorema de Krein-Milman

Teorema 42 (Krein-Milman) Sea C un subconjunto convexo, compactoy no vacıo un e.v.t. (X, T ). Entonces ExtC no es vacıo. Mas precisamente,C = conv ExtC.

Corolario 43 Sea X un e.v.t. Sea C ⊂ X un conjunto convexo, compactoy no vacıo. Entonces, todo f ∈ X∗ alcanza el supremo en C en un puntoextremal de C.

Teorema 44 (Caratheodory) Sea (X, ‖·‖) un espacio normado de dimen-sion finita n. Sea C un conjunto convexo cerrado acotado y no vacıo. En-tonces, dado x ∈ C, existen n+1 puntos extremales e1, . . . , en+1 de C tales quex es una combinacion convexa de e1, . . . , en+1. En particular, C = conv ExtC.

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Lema 45 (Choquet) Sea X un e.l.c., sea C ⊂ X convexo compacto. Seax0 ∈ ExtC. Entonces, una base de entornos de x0 en (C, w(X, X∗)) esta dadapor las secciones de C que contienen a x0 y estan determinadas por elementosde X∗.

Teorema 46 (Milman) Sea C un conjunto convexo y compacto en un e.l.c.(X, T ). Si para cierto conjunto S ⊂ C se verifica C = conv S, entoncesExtC ⊂ S

w.

Definicion 47 Dado un subconjunto acotado y no vacıo C del dual X∗ deun espacio de Banach X, se llama Frontera de James de C a un subconjuntoJB ⊂ C tal que todo x ∈ X alcanza su supremo en C en un punto de JB.Un conjunto JB ⊂ BX∗ que sea una frontera de James de BX∗ se llama,simplemente, una frontera de James de X.

2.3. Puntos extremales en espacios de funciones con-tinuas

Proposicion 48 Sea K un espacio topologico compacto, conexo y no vacıo.Entonces, ExtBC(K) = {1,−1}, donde 1 (−1) denota la funcion constanteidenticamente igual a 1 (a −1).

Teorema 49 Sea K un conjunto compacto. Entonces ExtB(C(K))∗ = {±δk; k ∈K}, donde δk es la delta de Dirac correspondiente a k ∈ K.

Teorema 50 (Banach-Stone) Dos espacios topologicos compactos K y Mson homeomorfos si, y solamente si, C(K) y C(M) son isometricos.

2.4. Funcionales que alcanzan la norma

Dado un subconjunto acotado B de un espacio de Banach X, se llamaenvoltura superconvexa de B al conjunto sconv(B) := {∑∞

n=1 λnbn; λn ≥0,

∑∞n=1 λn = 1}. Un conjunto B es superconvexo si coincide con su envoltura

superconvexa. Todo conjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio deBanach es superconvexo.

Teorema 51 (Desigualdad de Simons) Sea B un conjunto no vacıo. Sea(`∞(B), ‖ · ‖∞) el espacio de Banach de todas las funciones reales acotadas

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definidas en el conjunto B, equipado de la norma supremo. Sea (xn) unasucesion acotada en `∞(B). Sea u := lım supn xn. Si se verifica la condicion

∀x ∈ sconv{xn; n ∈ N}, x alcanza el supremo en B, (2)

entonces se tiene

sup u(B) ≥ ınfx∈conv {xn;n∈N}

sup{x(B)}. (3)

Proposicion 52 Sea X un espacio de Banach. Sea C ⊂ X∗ convexo y acota-do. Sea JB ⊂ C una frontera de James de C. Sea (xn) una sucesion acotadaen X. Sea u := lım sup xn. Entonces, sup u(C) = sup u(JB).

Teorema 53 (Godefroy) Sea X un espacio de Banach. Sea JB ⊂ BX∗

una frontera de James de BX∗. Si JB es ‖ · ‖-separable, entonces BX∗ =conv ‖·‖(JB). En particular, X∗ es un espacio separable.

Teorema 54 (Godefroy) Sea X un espacio de Banach. Supongamos que,

para todo x∗∗ ∈ SX∗∗ existe una sucesion (xn) en BX tal que xnw∗−→ x∗∗. Sea

C ⊂ X∗ convexo y acotado. Sea JB ⊂ C una frontera de James. Entoncesconv ‖·‖(JB) = C.

Corolario 55 Sea X un espacio de Banach con dual separable. Sea C ⊂ X∗

convexo y acotado. Sea JB ⊂ C una frontera de James. Entonces conv ‖·‖(JB) =C.

Teorema 56 (James) Sea X un espacio de Banach y sea C un conjuntoconvexo cerrado y acotado. Entonces, C es w-compacto si y solamente si todoelemento x∗ ∈ X∗ alcanza el supremo sobre C.

Corolario 57 (Rainwater) Sea X un espacio de Banach. Sea JB ⊂ BX∗

una frontera de James. Sea (xn) una sucesion acotada en X tal que xnw(X,JB)−→

x0 ∈ X. Entonces xnw−→ x0.

Corolario 58 Sea K un espacio topologico compacto. Sea (fn) una suce-sion acotada en C(K) que converge puntualmente a una funcion f ∈ C(K).Entonces (fn) converge a f debilmente.

Teorema 59 (Krein) Sea S un subconjunto no vacıo de un espacio de Ba-nach X. Entonces, si S es w-compacto, ası lo es el conjunto conv (S).

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2.5. Ejercicios

1. Justificar los siguientes pasos en la prueba del Teorema de Caratheodory(Teorema 44); la notacion es la usada allı.

(i) Se asegura que el punto w esta en la frontera de C. Dar un argumentopreciso para verificarlo.

(ii) A continuacion se dice que hay un conjunto extremal de C, denotadoE, de modo que w ∈ E, y se dice que E se obtiene como interseccionde un hiperplano soporte de C con el conjunto C. Justificar ambasafirmaciones.

(iii) Se dice que un punto extremal de E es un punto extremal de C.Justificarlo.

2. Sea C un conjunto convexo, cerrado y no vacıo de un e.l.c. X. Seax∗ ∈ X∗. Probar que si x∗ alcanza el supremo M en C, el conjunto {x ∈C; 〈x, x∗〉 = M} es un conjunto extremal de C. Como consecuencia,si ese conjunto es un solo punto, es un punto extremal de C. Otraconsecuencia es que si C es compacto, x∗ alcanza su supremo en C enun punto extremal.

3. Estudiar los puntos extremales de las bolas unidad cerradas de losespacios mencionados en el Ejercicio 16 de la Seccion 1.

4. Probar que c0(N) es un espacio de Banach que no es isomorfo a ningunespacio dual. Sugerencia: usar el ejercicio 3 y el Teorema 42.

5. Probar que si K es un espacio topologico compacto y conexo, entoncesC(K) no es isomorfo al dual de un espacio de Banach. Sugerencia.Estudiar los puntos extremales de la bola cerrada unidad.

6. Probar que, si K es un espacio topologico compacto, el espacio topologi-co ({δk; k ∈ K}, w∗), subespacio de (C(K)∗, w∗), es homeomorfo alespacio K.

7. Probar que, dado un espacio de Banach X, el conjunto ExtC, donde Ces un subconjunto convexo, cerrado y acotado de X∗, es una fronterade James de C. Sugerencia. Usar el ejercicio 2 y el Teorema 34.

8. Probar que todo conjunto convexo, cerrado y acotado en un espacio deBanach es superconvexo.

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9. Dar un ejemplo de un conjunto no vacıo B y una sucesion acotada (xn)en (`∞(B), ‖·‖∞) tal que no todo elemento de sconv{xn; n ∈ N} alcanceel supremo en B y de modo que no se verifique la desigualdad (3).

10. Sea X un espacio de Banach. Probar que si C ⊂ X∗ es convexo, cer-rado y acotado y JB ⊂ C es una frontera de James de C, entonces

es una frontera de James de Cw∗ ⊂ X∗∗. Probar que conv w∗(JB) =

conv w∗(C).

11. Dar un ejemplo de un espacio de Banach X y un subconjunto C ⊂ X∗

convexo, acotado y w∗-cerrado, y una frontera de James JB de C demodo que JB ∩ ExtC = ∅. Sugerencia. Utilizar el espacio X := `1(Γ),donde Γ es un conjunto no numerable.

12. Probar que existen puntos de (C[0, 1])∗ que no son el w∗-lımite de unasucesion en C[0, 1]. Sugerencia. Usar el Teorema 54.

3. Tercera Leccion

3.1. Diferenciabilidad

Definicion 60 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Sea D un subconjuntoabierto de X y sea f : D → R una funcion definida en D. Sea x, h ∈ X. Sellama derivada direccional de f a la derecha en x en la direccion h a

d+fx(h) := lımt→0+

f(x + th)− f(x)

t. (4)

en el caso de que el resultado sea una funcion sublineal en h.Analogamente se define,

d−fx(h) := lımt→0−

f(x + th)− f(x)

t. (5)

Considerando el lımite bilateral

lımt→0

f(x + th)− f(x)

t(6)

se dice que f es(i) Gateaux diferenciable en x ∈ X si, para todo h ∈ X, existe (6).

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(ii) Frechet diferenciable en x ∈ X si existe (6) uniformemente en h ∈ SX .(iii) Uniformemente Gateaux diferenciable si, para todo h ∈ X, existe (6)uniformemente en x ∈ SX .(ii) Uniformemente Frechet diferenciable si existe (6) uniformemente en x ∈SX y en h ∈ SX .

Dado 0 6= x ∈ X, y dado δ > 0, S(x, δ) denota una seccion definida por x enBX∗ , precisamente S(x, δ) := {x∗ ∈ BX∗ ; 〈x, x∗〉 ≥ ‖x‖ − δ}.Lema 61 (Lema de Smulyan) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Lanorma ‖ · ‖ es Frechet diferenciable en un punto 0 6= x ∈ X si, y solamentesi, diam S(x, δ) → 0 cuando δ ↓ 0. La norma ‖ · ‖ es Gateaux diferenciableen x si, y solamente si, {x∗ ∈ BX∗ ; 〈x, x∗〉 = ‖x‖} se reduce a un punto, si, ysolamente si, dadas dos sucesiones (x∗n), (y∗n) en BX∗ tal que 〈x, x∗n〉 → ‖x‖,〈x, y∗n〉 → ‖x‖, entonces (x∗n − y∗n)

w∗−→ 0.

Corolario 62 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach tal que ‖ · ‖ en X∗ esFrechet diferenciable. Entonces X es reflexivo.

Proposicion 63 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Si la norma ‖ · ‖ esFrechet diferenciable, entonces es C1 fuera del origen, es decir, la aplicacion‖ · ‖′ de X \ {0} en X∗ es continua.

3.2. Diferenciabilidad y estructura de los espacios deBanach

Teorema 64 (Kadec, Restrepo) Sea X un espacio de Banach separableque admite una norma equivalente Frechet diferenciable. Entonces, X∗ esseparable.

Teorema 65 (Leach, Whitfield) Sea X un espacio de Banach separable.Si X∗ no es separable, entonces X admite una norma equivalente que no esFrechet diferenciable en ningun punto.

Teorema 66 Sea (X, ‖·‖) un espacio de Banach separable. Entonces admiteuna norma equivalente Gateaux diferenciable.

Definicion 67 Una funcion f : X → R, donde X es un espacio vectorialsobre el cuerpo R, se dice que es convexa cuando se verifica

f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]. (7)

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Teorema 68 Toda funcion convexa definida en un subconjunto abierto U deun espacio localmente convexo finito-dimensional, es necesariamente contin-ua.

Proposicion 69 Sea f : D → R una funcion convexa definida en un sub-conjunto abierto D de un espacio de Banach X. Sea x0 ∈ D. Las siguientescondiciones son equivalentes.

1. f es continua en x0.

2. f es localmente acotada en x0.

3. f es localmente Lipschitz en x0.

Teorema 70 (Mazur) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach separable. En-tonces, para cualquier funcion convexa definida en X, el conjunto de puntosdonde es Gateaux diferenciable es denso y Gδ.

Definicion 71 Se dice que la norma ‖ · ‖ de un espacio de Banach X eslocalmente uniformemente rotunda (LUR) cuando para todo x0 ∈ SX y paratodo ε > 0 existe δ = δ(x0, ε) > 0 tal que si x ∈ SX verifica ‖x − x0‖ ≥ ε,entonces ‖x+x0

2‖ ≤ 1− δ.

Teorema 72 (Kadec) Todo espacio de Banach separable admite una nor-ma equivalente LUR. Todo espacio de Banach con dual separable admite unanorma equivalente Frechet diferenciable.

Teorema 73 (Kadec) Todo espacio de Banach separable admite una nor-ma equivalente simultaneamente LUR y Gateaux diferenciable. Todo espaciode Banach con dual separable admite una norma equivalente simultaneamenteLUR y Frechet diferenciable.

Definicion 74 Un espacio de Banach (X, ‖ · ‖) se dice que es de Asplundcuando cualquier funcion convexa definida en el es Frechet diferenciable enun subconjunto Gδ denso.

Teorema 75 (Asplund, Lindenstrauss) Un espacio de Banach (X, ‖ · ‖)con dual separable es Asplund.

Podemos resumir los resultados de esta leccion en dos teoremas

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Teorema 76 Sea X un espacio de Banach separable. Son equivalentes(i) X∗ es separable.(ii) X tiene una norma equivalente Frechet diferenciable.(iii) X tiene una norma equivalente simultaneamente LUR y Frechet difer-enciable.(iv) Dada cualquier funcion convexa y continua en X, el conjunto de puntosdonde es Frechet diferenciable es denso y Gδ.

Teorema 77 Sea X un espacio de Banach. Son equivalentes(i) X∗ es Asplund.(ii)Toda norma equivalente en X es Frechet diferenciable en algun punto.(iii) Todo subespacio separable de X tiene un dual separable.(iv) Dada cualquier funcion convexa y continua definida en un subconjuntoconvexo y abierto C de X, el conjunto de puntos de C donde es Frechetdiferenciable es denso y Gδ.

3.3. Ejercicios

1. Probar que si f : X → R es una funcion convexa, la funcion de tdefinida como el cociente incremental que aparece en (6) es creciente.

2. Sea f una funcion convexa definida en un intervalo abierto de R. Pro-bar que la funcion es diferenciable en todos los puntos del intervaloexcepto, quizas, en una cantidad numerable de ellos. Sugerencia. Ob-servar que el cociente incremental es una funcion creciente, y recordarque una funcion creciente puede tener solo un numero numerable dediscontinuidades.

3. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach, f una funcion K-Lipschitz en unentorno de un cierto x ∈ X. Entonces, si p es una subdiferencial de fen x, se tiene ‖p‖ ≤ K.

4. Probar que toda funcion sublineal de un espacio normado en R es con-vexa.

5. Dar un ejemplo de una funcion convexa definida en un e.l.c. que no seacontinua en ningun punto.

6. Probar que toda norma LUR es R.

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7. Probar que si la norma dual de un espacio de Banach es LUR, entoncesla norma del espacio es Frechet diferenciable.

8. Probar que los siguientes espacios son de Asplund: c0(Γ) para cualquierconjunto Γ, los espacios reflexivos, los espacios C(K) exactamente cuan-do K es un compacto disperso. sugerencia. El ultimo ejemplo es difıcil.Se recomienda buscar en la literatura las referencias adecuadas, porejemplo en [FHHMPZ01, Thm. 12.29].

9. Probar que la norma de un espacio de Banach no es Gateaux diferen-ciable en 0.

4. Cuarta Leccion

4.1. Funciones semicontinuas

Sea X un conjunto. Dada una funcion f : X → R∪{+∞}, se llama dominioefectivo de f al conjunto domf := {x ∈ X; f(x) < +∞}. Se dice que f espropia cuando su dominio efectivo no es vacıo.

Definicion 78 Sea X un espacio topologico. Una funcion f : X → R ∪{+∞} se dice que es semicontinua inferiormente, (s.c.i.) cuando dado x ∈ Xy una red (xi) en X tal que xi → x, se tiene f(x) ≤ lım infi f(xi).

Proposicion 79 Sea X un espacio topologico. Sea f : X → R∪ {+∞} unafuncion. Son equivalentes(i) f es s.c.i.(ii) Para todo r ∈ R, {x ∈ X; f(x) ≤ r} es cerrado.(iii) El epigrafo de f , denotado epi (f), es cerrado.

Teorema 80 (Bauer) Sea K un espacio topologico compacto, no vacıo. seaf : K → R∪{+∞} una funcion s.c.i., propia. Entonces f alcanza el mınimoen K.

4.2. Principio variacional de Ekeland

Dado un espacio de Banach X, dado λ ∈ R, se define el conjunto Kλ :={(x, r) ∈ X × R; r ≤ −λ‖x‖}. Es un cono, y es el subgrafo de la funcionf(x) := −λ‖x‖. Una funcion real f definida en X se dice que es acotadainferiormente (a.i.) cuando existe m ∈ R tal que f(x) ≥ m para todo x ∈ X.

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Lema 81 Sea (X, ‖·‖) un espacio de Banach. Sea A ⊂ X×R un subconjuntocerrado tal que ınf{r; (x, r) ∈ A} > −∞. Entonces, para todo (x0, r0) ∈ A ypara todo λ > 0, existe (x, r) ∈ A tal que(i) (x, r) ∈ A ∩ [(x0, r0) + Kλ].(ii) {(x, r)} = A ∩ [(x, r) + Kλ].

Teorema 82 (Principio Variacional de Ekeland) Sea (X, ‖ · ‖) un es-pacio de Banach. Sea f : X → R una funcion s.c.i.a.i. y sean λ > 0, ε > 0.Sea x0 ∈ X tal que f(x0) ≤ ınf f(X)+ε. Entonces existe un punto x ∈ domftal que(i) f(x) < f(x) + ε‖x − x‖, para todo x ∈ X, x 6= x. Equivalentemente,[(x, f(x)) + Kλ] ∩ epi f = {(x, f(x))}.(ii) ‖x0 − x‖ ≤ ε/λ.(iii) (x, f(x)) ∈ (x0, f(x0)) + Kλ.

4.3. Aplicaciones

Teorema 83 (Bishop-Phelps) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Sea Cun subconjunto cerrado convexo y no vacıo. Entonces(i) Los puntos de soporte de C forman un conjunto denso en su frontera.(ii) Los funcionales soporte de C forman un subconjunto ‖ · ‖-denso del con-junto de todos los funcionales que estan acotados superiormente en C.

Corolario 84 (Bishop-Phelps) Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. En-tonces, el conjunto de funcionales que alcanzan el supremo sobre BX es densoen (X∗, ‖ · ‖).Proposicion 85 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Sea φ una funcionmeseta en X, continua y Gateaux diferenciable. Entonces, el subconjunto{φ′(x); x ∈ X} es linealmente denso en (X∗, ‖ · ‖).Definicion 86 Se dice que una funcion real φ definida en un espacio deBanach (X, ‖ · ‖) depende localmente de un numero finito de coordenadas(d.l.n.f.c.) cuando, para cada x0 ∈ X, existe un entorno U(x0) de x0, unconjunto finito {f1, . . . , fn} de elementos de X∗ y una funcion continua ψ :Rn → R de modo que φ(x) = ψ(f1(x), . . . , fn(x)) para cada x ∈ U(x0).

Teorema 87 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach separable con una funcionmeseta φ que d.l.n.f.c. en todo punto x 6= 0 de X. Entonces X∗ es separable,y el espacio X esta saturado con copias isomorfas de c0.

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4.4. Ejercicios

1. Probar la equivalencia de las afirmaciones de la Proposicion 79.

2. Se define la funcion indicatriz IA de un subconjunto A de un espaciotopologico X de la forma IA(x) = 0 para todo x ∈ A, IA(x) = +∞ encaso contrario. Probar que IA es s.c.i. si y solamente si A es cerrado.

3. Probar que la norma dual es una funcion w∗-s.c.i. en X∗. Sugerencia.Usar la caracterizacion dada en la Proposicion 79.

4. Probar la equivalencia de las distintas formulaciones que aparecen enel Teorema 82.

5. Dar una interpretacion del Principio Variacional de Ekeland (Teorema82) en terminos de una perturbacion de la funcion dada, perturbacionque alcanza un mınimo estricto.

6. Probar que, mediante una seleccion adecuada de las constantes ε y λen el Teorema 82, es posible obtener una funcion perturbada f(x) +λ‖x − x‖ que alcanza un mınimo estricto, que esta muy proxima a f ,y, al mismo tiempo, x esta muy proximo a x0.

7. Probar que la norma ‖ · ‖∞ en c0, en todo punto x 6= 0 de c0, d.l.n.f.c.

5. Quinta Leccion

5.1. Funciones meseta

Definicion 88 Sea X un espacio de Banach. Una funcion ϕ : X → R sellama meseta cuando tiene soporte no vacıo y acotado.

Una funcion real definida en un espacio de Banach es continuamente Frechetdiferenciable si es Frechet diferenciable y su derivada es una funcion continua.

Proposicion 89 Si X es un espacio de Banach con una norma Frechetdiferenciable, entonces existe una funcion meseta Lipschitz y continuamenteFrechet diferenciable.

Es posible formular variantes de este resultado. Por ejemplo, si X tiene unanorma Gateaux diferenciable, entonces existe una funcion meseta Lipschitzy Gateaux diferenciable tal que su derivada es ‖ · ‖-w∗-continua.

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5.2. Principio Variacional de Deville, Godefroy y Zi-zler

Definicion 90 Sea f : X → R ∪ {+∞} una funcion definida en un espaciode Banach X. Se dice que un punto x0 ∈ X es un mınimo fuerte de f sif(x0) = ınf{f(x); x ∈ X} y, dada cualquier sucesion (xn) en X tal quef(xn) → f(x0), entonces ‖xn − x0‖ → 0.

Lema 91 Sea (X, ‖ · ‖) un espacio de Banach. Sea (Y, ‖ · ‖Y ) un espacio deBanach de funciones reales y continuas definidas en X tales que(i) Para todo g ∈ Y , ‖g‖Y ≥ ‖g‖∞.(ii) Para todo g ∈ Y , para todo u ∈ X, se tiene ‖τug‖Y = ‖g‖Y , donde(τug)(x) := g(x + u), para todo x ∈ X.(iii) Para todo g ∈ Y , para todo α > 0, se tiene h ∈ Y , donde h(x) := g(αx),para todo x ∈ X.(iv) Existe una funcion meseta en Y .Ademas, dado ε > 0 existe aε > 0 tal que, si y0 ∈ X satisface f(y0) <ınfX f + aε, existe g ∈ Y , x0 ∈ X tales que(v) f + g alcanza un mınimo fuerte en x0.(vi) ‖g‖Y ≤ ε, ‖x0 − y0‖ ≤ ε.

Teorema 92 (Teorema Variacional suave, [DGZ93]) Sea X un espa-cio de Banach con una funcion meseta Lipschitz y Frechet diferenciable (resp.Gateaux diferenciable). Entonces, si f es una funcion semicontinua inferior-mente, acotada inferiormente y propia definida en X, se tiene que, para todoε > 0 existe una funcion g Lipschitz y Frechet diferenciable (resp. Gateauxdiferenciable) en X tal que f +g alcanza un mınimo fuerte en X y se verifica‖g‖∞ ≤ ε, ‖g′‖∞ ≤ ε.

Corolario 93 Si un espacio de Banach X admite una funcion meseta Lip-schitz y Frechet diferenciable (resp. Gateaux diferenciable), entonces, dadacualquier funcion convexa f en X, el conjunto de puntos de Frechet (resp.Gateaux) diferenciabilidad de f es denso en X. En particular, si un espa-cio de Banach admite una funcion meseta Lipschitz y Frechet diferenciable,entonces X es un espacio de Asplund.

5.3. Ejercicios

1. Probar la afirmacion que sigue a la Proposicion 89.

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2. Probar que un mınimo fuerte de una funcion es un mınimo estricto.

3. Probar que el Principio Variacional de Ekeland (Teorema 82) es unaconsecuencia inmediata del Teorema 92. Sugerencia. Usar el espacioY de todas las funciones acotadas Lipschitz equipado con la norma‖g‖Y := ‖g‖∞ + sup{g(x)−g(y)

‖x−y‖ ; x, y ∈ X, x 6= y}.

Referencias

[DGZ93] R. Deville, G. Godefroy and V. Zizler, “Smoothness andRenormings in Banach Spaces”, Pitman Monographs No. 64,Longman, 1993.

[FHHMPZ01] M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, J. Pelant,and V. Zizler, “Functional Analysis and Infinite Dimension-al Geometry”, Canad. Math. Soc. Books in Mathematics 8,Springer-Verlag, New York, 2001.

[Jam74] G.J.O. Jameson, Topology and normed spaces, Chapman andHall, London, 1974.

[Kot69] G. Kothe, Topological vector spaces I, Springer Verlag, 1969.

[Phe93] R.R. Phelps, Convex functions, monotone operators and dif-ferentiability, 2nd. Edition. Lecture Notes in Math. 1364,Springer-Verlag, 1993.

Vicente Montesinos SantalucıaDepartamento de Matematica AplicadaInstituto de Matematica Pura y AplicadaUniversidad Politecnica de ValenciaCamino de Vera, s/n46022 ValenciaEspanavmontesinos@mat.upv.es

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