Magdalena Skrzypiec - Lublinhektor.umcs.lublin.pl/~mskrzypiec/Magda_S_obrona_it.pdf · Ewolutoidą...

Sekantooptyki owali i ich własności

Magdalena Skrzypiec

Wydział Matematyki, Fizyki i InformatykiUniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej

19 października 2009r.

Informacje wstępne

Definicja

Owalem nazywamy krzywą zamkniętą, daną równaniem

z(t) = p(t)eit + p(t)ieit dla t ∈ [0, 2π),

gdzie p(t), nazywana funkcją podparcia owalu, jest klasy C3 oraz promieńkrzywizny R(t) = p(t) + p(t) jest dodatni dla każdego t ∈ [0, 2π).

Informacje wstępne

Definicja [Philippe de La Hire]

Izooptyką Cα danej krzywej C nazywamy zbiór punktów, z których krzywaC jest widziana pod ustalonym kątem α.

Niech C będzie zamkniętą, ściśle wypukłą krzywą sparametryzowaną zapomocą funkcji p(t), zaś α ∈ (0, π) ustalonym kątem. Wówczas równanieizooptyki Cα krzywej C zapiszemy wzorem

zα(t) = p(t)eit + −p(t) ctgα+1

sinαp(t+ α)ieit, t ∈ [0, 2π).

Konstrukcja sekantooptyki owalu

Niech C będzie owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)ustalonymi kątami.

Definicja

Zbiór punktów zα,β,γ(t) przecięcia się siecznych s1(t) i s2(t) do owalu C dlat ∈ [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamy sekantooptyką Cα,β,γ owalu C.

Konstrukcja sekantooptyki owalu

Przyjmijmy następujące oznaczenia

q(t) = z(t)− z(t+ α− β − γ),

b(t) = [q(t), eit],

B(t) = [q(t), ieit],

q(t) = (B(t)− ib(t))eit,λ(t) =

b(t) sin(α− β)−B(t) cos(α− β)sinα

,

µ(t) = − b(t) sinβ +B(t) cosβsinα

,

gdzie [v, w] = ad− bcdla v = a+ bi i w = c+ di.

Parametryzacja sekantooptyki owalu

Niech C będzie owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)ustalonymi kątami. Wówczas parametryzacja sekantooptyki Cα,β,γ owalu Cdana jest wzorem

zα,β,γ(t) = (p(t) + λ(t) sinβ + i(p(t) + λ(t) cosβ))eit dla t ∈ [0, 2π).

Równanie sekantooptyki w zależności od funkcji podparcia owalu C

zα,β,γ(t) =(

sin(α− β)(p(t) cosβ − p(t) sinβ) +

+ sinβ(p(t+ α− β − γ) cos γ + p(t+ α− β − γ) sin γ) +

+ i(− cos(α− β)(p(t) cosβ − p(t) sinβ) +

+ cosβ(p(t+ α− β − γ) cos γ + p(t+ α− β − γ) sin γ))) eit

sinα.

Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami

Niech C będzie ustalonym owalem. Przez e(C) oznaczmy zewnętrze owaluC, zaś przez ζ półprostą o kierunku ie−iβ i początku w punkcie z(0).Zdefiniujmy odwzorowanie

Fβ,γ : (β + γ, π)× (0, 2π) 7→ e(C) \ ζwzorem

Fβ,γ(α, t) = zα,β,γ(t).

Jakobian J(Fβ,γ) odwzorowania Fβ,γ w punkcie (α, t) wyraża się wzorem

J(Fβ,γ) =1

sinα(R(t+ α− β − γ) sin γ − µ(t))(R(t) sinβ + λ(t)) > 0.

Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami

J(Fβ,γ) =1

sinα(R(t+ α− β − γ) sin γ − µ(t))(R(t) sinβ + λ(t)) > 0

Q(t) = (B(t) +R(t+ α− β − γ) sin γ sin(α− β)−R(t) sin2 β +

+ i(−b(t)−R(t+ α− β − γ) sin γ cos(α− β)−R(t) sinβ cosβ))eit

Informacje dodatkowe

Definicja[*]

Niech Sβ oznacza rodzinę prostych danych równaniem

x cos θ + y sin θ = ψβ(θ),

gdzie kąt θ = t+ β, zaś (x, y) = z(t) ∈ C. Sβ nazywamy rodziną prostychsiecznych do owalu C, przecinających go pod kątem β.

Definicja[*]

Obwiednią rodziny krzywych F (x, y, λ) = 0, zależną od paramertu λ,nazywamy taką krzywą, której każdy punkt jest styczny do pewnej krzywejz tej rodziny.


Definicja[*]

Ewolutoidą krzywej f(s) dla kąta δ nazywamy obwiednię rodziny prostychtworzących ustalony kąt δ z wektorem normalnym do krzywej f w punkcief(s).

Obwiednię Γβ rodziny prostych Sβ możemy sparametryzować wzorem

zβ(t) = ψβ(t)eit + ψβ(t)ieit,

gdzieψβ(θ) = p(θ − β) cosβ + p(θ − β) sinβ, θ ∈ [0, 2π).


Elipsa i jej ewoluta.


Definicja[R. Langevin, G. Levitt, H. Rosenberg, Y. Martinez-Maure ]

Jeżem nazywamy krzywą Γ, którą można sparametryzować za pomocąrównania

z(t) = ψ(t)eit + ψ(t)ieit,

gdzie h(cos t, sin t) = ψ(t) oraz h ∈ C2(S1,R). Funkcja h(cos t, sin t) = ψ(t)jest nazywana funkcją podparcia jeża Γ.

Skoro funkcja ψβ(t) ∈ C2, to krzywa Γβ jest jeżem.

Wniosek

Każda ewolutoida owalu jest jeżem.

Izooptyki dla pary jeży

Definicja

NiechΓ1 : z1(t) = ψ1(t)eit + ψ1(t)ieit,

Γ2 : z2(t) = ψ2(t)eit + ψ2(t)ieit.

będą dwoma jeżami. Ustalmy α ∈ (0, π). Zbiór punktów zΓ1Γ2α (t) przecięcia

się prostych l(t) i m(t+ α) dla t ∈ [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamyα-izooptyką CΓ1Γ2

α dla pary jeży Γ1 i Γ2.


Niechq1(t) = M(t)iei(t+α) − L(t)ieit,

gdzie

L(t) = −ψ1(t)− ψ1(t) ctgα+ ψ2(t+ α)1

sinα,

M(t) = −ψ1(t)1

sinα− ψ2(t+ α) + ψ2(t+ α) ctgα.


NiechΓ1 : z1(t) = ψ1(t)eit + ψ1(t)ieit,

Γ2 : z2(t) = ψ2(t)eit + ψ2(t)ieit.

będą dwoma jeżami, zaś α ∈ (0, π) ustalonym kątem. Wtedyparametryzacja izooptyki CΓ1Γ2

α dana jest wzorem

zΓ1Γ2α (t) = ψ1(t)eit + (ψ2(t+ α)

1sinα

− ψ1(t) ctgα)ieit,

gdzie t ∈ [0, 2π).

Niechρ1(t) = ψ1(t) + ψ2(t+ α)

1sinα

− ψ1(t) ctgα,

WówczaszΓ1Γ2α (t) = −L(t)eit + ρ1(t)ieit.


Uwaga

Zauważmy, że ∣∣zΓ1Γ2α (t)

∣∣2 =1

sin2 α|q1(t)|2,

i CΓ1Γ2α może nie być krzywą regularną, jeśli z1(t) = z2(t+ α) dla pewnego

t ∈ [0, 2π).

Niech

Γ1 :x2

92 +y2

32 = 1, Γ2 :x2

32 +y2

92 = 1, α = 1.3494818844471053.

Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid

Rozważmy dwie ewolutoidy owalu C

Γ−β : ψ−β(t) = p(t+ β) cosβ − p(t+ β) sinβ,

Γγ : ψγ(t) = p(t− γ) cos γ + p(t− γ) sin γ.

Równanie izooptyki CΓ−βΓγα , gdzie β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)

zΓ−βΓγα (t) = ψ−β(t)eit +

(ψγ(t+ α)

1sinα

− ψ−β(t) ctgα)ieit.

-100 -75 -50 -25 25 50

-100

-50

50


Twierdzenie

Niech C będzie ustalonym owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) iα ∈ (β + γ, π) ustalonymi kątami. Jeśli Cα,β,γ jest sekantooptyką owalu C,zaś C

Γ−βΓγα izooptyką pary jego ewolutoid Γ−β i Γγ , to

zΓ−βΓγα (t− β) = zα,β,γ(t),

czyli sekantooptyka owalu jest izooptyką pary jego odpowiednich ewolutoid.


Twierdzenie

Jeśli Cα,β,γ jest sekantooptyką owalu C, to

L(t) = R(t) sinβ + λ(t),

M(t) = µ(t)−R(t+ α− β − γ) sin γ,

Q(t) = M(t)iei(t+α−β) − L(t)iei(t−β) = q1(t).

Krzywizna sekantooptyki owalu

Twierdzenie

Niech C będzie owalem o funkcji podparcia p(t) ∈ C3 a Cα,β,γ jejsekantooptyką dla α ∈ (0, π − β − γ), gdzie β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β).Krzywizna sekantooptyki Cα,β,γ dana jest wzorem

κ(t) =sinα|Q(t)|3 (2|Q(t)|2 − [Q(t), Q(t)]).

gdzie t ∈ [0, 2π).

Twierdzenie

Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy

[Q(t), Q(t)] < 2|Q(t)|2 dla t ∈ [0, 2π).

Wzory całkowe typu Croftona

Wzór całkowy Croftona (1868)

Niech Ω oznacza zewnętrze zamkniętej, wypukłej krzywej C, wówczas∫∫

Ω

sinωt1t2

dxdy = 2π2.


Twierdzenie

Ustalmy β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i rozważmy sekantooptyki Cα,β,γ owalu C,dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech Ω oznaczazewnętrze owalu C i niech

ω = π − α,τ1 = L(t),

τ2 = −M(t).

Wówczas ∫∫

Ω

sinωτ1τ2

dxdy = 2π2 − 2π(β + γ).

Niech Ω1 oznacza pierścień ograniczony owalem C i jego izooptyką Cπ−β−γowalu C. Niech t1 = |za(t)− z(t)|, t2 = |za(t)− z(t+ a)| oraz ω = π − a,gdzie a ∈ (0, π − β − γ). Wówczas

∫∫

Ω1

sinωt1t2

dxdy = 2π2 − 2π(β + γ).


Jeżeli C jest krzywą wypukłą, sparametryzowaną za pomocą funkcji

podparcia, to jej długość LC =2π∫0

p(t)dt, gdzie t ∈ [0, 2π).

Definicja [Y. Martinez-Maure]

Algebraiczną długością jeża Γ nazywamy liczbę

LΓ =

2π∫

0

ψ(t)dt,

gdzie ψ(t) jest funkcją podparcia krzywej Γ.

Zatem dla ewolutoid owalu C otrzymujemy

LΓ−β = LC cosβ i LΓγ = LC cos γ.


Twierdzenie

Ustalmy β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i rozważmy sekantooptyki Cα,β,γ owalu C,dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech

ω = π − α,τ1 = L(t),

τ2 = −M(t).

Wówczas∫∫

Ω

sin2 ω

τ1dxdy = LΓ−β (π − (β + γ)) + LΓγ sin(β + γ)

i∫∫

Ω

sin2 ω

τ2dxdy = LΓγ (π − (β + γ)) + LΓ−β sin(β + γ).


Twierdzenie

Niech CCa,β,γ oznacza pierścień ograniczony owalem C i jegosekantooptyką Ca,β,γ , gdzie a ∈ (β + γ, π). Niech τ1 = L(t). Wówczas

∫∫

CCa,β,γ

dxdy

τ1= LC

(cos γ − cosβ cos asin a

− sinβ).

Jeśli β = γ, to wzór ten uprości się do postaci∫∫

CCa,β,β

dxdy

τ1= LC

(tga

2cosβ − sinβ

)= LΓ−β

(tga

2− tg β

).

Natomiast dla β = γ = 0 otrzymujemy wzór∫∫

CCa

dxdy

τ1= LC tg

a

2

znany dla izooptyk krzywych ściśle wypukłych.

Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką

Twierdzenie

Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką Cα,β,γ owalu C, dla ustalonychβ ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π),możemy opisać wzorem

Aβ,γ(α) =1

2 sin2 α

2π∫

0

(Ψ2−β(t− β) + Ψ2

γ(t+ α− β)−

− 2Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ α− β) cosα−− Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ α− β) sinα+

+ Ψγ(t+ α− β)Ψ−β(t− β) sinα)dt.

Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką

Twierdzenie

Funkcja Aβ,γ(α) dana wzorem (1) dla β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) iα ∈ (β + γ, π), spełnia następujące równanie różniczkowe

A′β,γ(α) sinα+ 2Aβ,γ(α) cosα = G(α),

gdzie

G(τ) =

2π∫

0

(Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ τ − β)− Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ τ − β))dt

dla τ ∈ [β + γ, π].Ponadto, jeśli β 6= 0 lub γ 6= 0, to

0 ¬ A′β,γ((β + γ)+) ¬ LC maxt∈[0,2π]

R(t)sinβ sin γsin(β + γ)

.

Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk

Twierdzenie

Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C w punkcie zα,β,γ(t) ma następującą własność

|Q(t)|sinα

=L(t)

sinα1=−M(t)sinα2

.

Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk

Wniosek

Jeśli α1 i α2 są kątami jakie styczna do sekantooptyki Cα,β,γ owalu C wpunkcie zα,β,γ(t) tworzy, odpowiednio, z prostymi s1 i s2 , zaś σ1 i σ2 sąkątami jakie wektor Q(t) tworzy z prostymi s1(t) i s2(t), to α1 = σ1 iα2 = σ2.

Sekantooptyki krzywych o stałej szerokości

Twierdzenie

Jeśli owal C jest krzywą o stałej szerokości, tzn.∆ = p(t) + p(t+ π) = const, to odległość między punktami zα,β,γ(t) izα,β,γ(t+ π) na jego sekantooptyce Cα,β,γ jest stała i równa

∆sinα

√cos2 β + cos2 γ − 2 cosα cosβ cos γ.

Wniosek

Jeśli założymy, że β = γ, to otrzymamy

|zα,β,β(t)− zα,β,β(t+ π)| = ∆ cosβcos α2

.

Twierdzenie

Niech C będzie owalem i niech α− 2β będzie liczbą liniowo niezależną od πnad ciałem Q. Jeśli odległość między punktami zα,β,β(t) i zα,β,β(t+ π) najego sekantooptyce Cα,β,β jest stała, to dla krzywej C prawdą jest, że|z(t)− z(t+ π)| = const.

Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu

Zdefiniujmy funkcję

RΓβ (t) = R(t− β) cosβ + R(t− β) sinβ,

gdzie R(t) jest promieniem krzywizny owalu C. Tak określona funkcjaprzyjmuje wartości w zbiorze liczb rzeczywistych.

Twierdzenie

Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy wkażdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jest nierówność

2|Q(t)|2 > sinα(RΓγ (t+ α− β)L(t)−RΓ−β (t− β)M(t)

).

Twierdzenie

Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jestnierówność

2|Q(t)|2 > sinα

(L(t)

κΓγ (t+ α− β)− M(t)κΓ−β (t− β)

).


Twierdzenie

Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jestnierówność

2|Q(t)| > sinα

(sinα1

kΓγ (t+ α− β)+

sinα2

kΓ−β (t− β)

),

gdzie kąty α1 i α2 są określone tak jak w twierdzeniu sinusów dlasekantooptyk owali.

Twierdzenie

Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości rzutów wektorów krzywiznykrzywej Γ−β w punkcie z−β(t− β) i krzywej Γγ w punkcie zγ(t+ α− β) nakierunek wektora Q(t) jest mniejsza niż 2|Q(t)|.


Dla każdego punktu z−β(t), gdzie t ∈ [0, 2π] możemy wybrać punktzγ(t+ α), gdzie α ∈ (β + γ, π). Wektor z−β(t)zγ(t+ α) łączący rozważanepunkty na ewolutoidach oznaczmy przez q(t, t+ α).

Twierdzenie

Załóżmy, że ewolutoidy Γ−β i Γγ owalu C są owalami o funkcjach podparciaklasy C2. Jeśli suma długości rzutów wektorów krzywizny ewolutoidy Γ−βowalu C w punkcie z−β(t) oraz ewolutoidy Γγ owalu C w punkcie zγ(t+ α)na kierunek wektora q(t, t+ α) jest mniejsza niż 2|q(t, t+ α)| dla wszystkicht ∈ [0, 2π) oraz dla wszystkich α ∈ (β + γ, π), to wszystkie sekantooptykiCα,β,γ owalu C są wypukłe.


Wiadomo, że wszystkie izooptyki elipsy

x2

a2 +y2

b2= 1, a > b

są wypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy 1 < ab<√

2.

Przykład

Wszystkie sekantooptyki Cα,β,β elipsy

x2

a2 +y2

b2= 1, a > b

są wypukłe jeśli parametry a i b są związane warunkiem

b2 cosβ[sin2 β(2a4(1 + cos2 β)− a2b2(− cos4 β + 3 cos2 β + 3)

−2b4 cos2 β) + cos6 β(a2b2 − 2b4)] = 0.


-15 -10 -5 5 10 15

-40

-20

20

40

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

-60

-40

-20

20

40

60

Sekantooptyki Cα, 2π5 , 2π5elipsy x2

92 + y2

32 = 1

oraz elipsy x2

12 + y2

1,225372 = 1.

Dziękuję za uwagę.

Magdalena Skrzypiec - Lublinhektor.umcs.lublin.pl/~mskrzypiec/Magda_S_obrona_it.pdf · Ewolutoidą...

Documents

Transcript of Magdalena Skrzypiec - Lublinhektor.umcs.lublin.pl/~mskrzypiec/Magda_S_obrona_it.pdf · Ewolutoidą...