LOGIKA Dedukcja Naturalna - Trypuztrypuz.pl/slajdy/krznd.pdf · 2014. 1. 7. · LOGIKA Dedukcja...

LOGIKADedukcja Naturalna

Robert Trypuz

Katedra Logiki KUL

7 stycznia 2014

Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42

PLAN WYKŁADU

1 Przykład dowodów założeniowychPrzykład dowodów założeniowego wprostPrzykład dowodów założeniowego niewprostNajogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego

2 Definicja założeniowego dowodu wprost

3 Reguły dołączania nowych wierszy do dowoduPrzykład założeniowego dowodu

4 Definicja założeniowego dowodu niewprostSprzeczność syntaktycznaPrzykłady założeniowego dowodu niewprost


PLAN WYKŁADU

5 Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowoduReguła opuszczania podwójnej negacjiRoszerzona reguła opuszczania alternatywyReguła modus tollendo tollensReguła negowania alternatywyReguła dołączania implikacji do dowoduReguła obalania dodatkowych założeńReguła rozgałęzionego dowodu wprostReguła rozgałęzionego dowodu niewprost

6 Pojęcie „tezy”

7 Metoda zerojedynkowa vs. dowód

8 Udowodnij!

9 Źródła


Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego wprost

Przykład dowodu założeniowego wprost

Każda liczba podzielna przez 231 jest podzielna przez 77.1 Weźmy dowolną liczbę n i załóżmy, że 231|n.2 Z założenia, że 231|n i

3|231, bo 2 + 3 + 1 jest podzielna przez 37|231, bo 1 ∗ 1 + 3 ∗ 3 + 9 ∗ 2 = 28 jest podzielna przez 711|231, bo różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach(licząc od prawej strony!) i sumą cyfr stojących na parzystych miejscach równasię 0

wynika, że: 3|n i 7|n i 11|n.3 7|n i 11|n.4 Zatem 77|n.


Przykład dowodów założeniowych Przykład dowodów założeniowego niewprost

Przykład dowodu założeniowego niewprost

√2 nie jest liczbą wymierną.1 Zakładamy przeciwnie:

√2 jest liczbą wymierną.

2 Z definicji liczby wymiernej wynika, że istnieją takie liczby naturalne m i n(n 6= 0), że

√2 = m

n, przy czym m

njest ułamkiem nieskracalnym.

3 Zatem, m2 = 2n2.4 Stąd, m2 jest liczbą parzystą.5 m jest parzyste, tj. m = 2k.6 Więc, 4k2 = 2n2.7 Stąd, n2 jest liczbą parzystą.8 n jest parzyste.9 Podsumowując: m i n są liczbami parzystymi, a zatem m

njest ułamkiem

skracalnym, co jest sprzeczne z wierszem 2.


Przykład dowodów założeniowych Najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego

Jaka jest najogólniejsza postać wyrażenia dowodzonego?

ϕ1 → ϕ2 (1)

ϕ1 → (ϕ2 → ϕ3) (2)

ϕ1 → (ϕ2 → (ϕ3 → ϕ4)) (3)

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · → (ϕn−1 → ϕn) . . . ) (4)


Definicja założeniowego dowodu wprost

Założeniowe dowody wprost

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · → (ϕn−1 → ϕn) . . . ) (5)

Definicja

Założeniowy dowód wprost wyrażenia o postaci (5) tworzymy w sposóbnastępujący:

1 W n − 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażeniaϕ1, ϕ2, . . . , ϕn−1 jako założenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamyliterą ”z.” w części opisowej wiersza.

2 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze:

1 tezy uprzednio udowodnione,2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy wedługpierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu.

3 Dowód jest zakończony, jeśli w ostatnim jego wierszu występuje wyrażenieϕn. Zakończenie dowodu sygnalizujemy nie numerując ostatniego wiersza.


Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu

Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu I

Reguła odrywaniaRO ϕ→ ψ

ϕψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu II

Reguła dołączania koniunkcjiDK ϕ

ψϕ ∧ ψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu III

Reguła opuszczania koniunkcji(ta reguła ma dwa schematy)OK ϕ ∧ ψ ϕ ∧ ψ

ϕ ψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu IV

Reguła dołączania alternatywy(ta reguła ma dwa schematy)DA ϕ ψ

ϕ ∨ ψ ϕ ∨ ψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu V

Reguła opuszczania alternatywyOA ϕ ∨ ψ

¬ϕψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VI

Reguła dołączania równoważnościDE ϕ→ ψ

ψ → ϕϕ ≡ ψ



Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu VII

Reguła opuszczania równoważności(ta reguła ma dwa schematy)OE ϕ ≡ ψ ϕ ≡ ψ

ϕ→ ψ ψ → ϕ


Reguły dołączania nowych wierszy do dowodu Przykład założeniowego dowodu

Założeniowe dowody wprost – przykłady

(p → q) ∧ (q → r)→ (p → r). (6)

1. (p → q) ∧ (q → r) z .2. p z .3. p → q OK : 14. q → r OK : 15. q RO : 3, 2

r RO : 4, 5


Definicja założeniowego dowodu niewprost

Założeniowe dowody niewprost

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · → (ϕn−1 → ϕn) . . . ). (7)

DefinicjaZałożeniowy dowód niewprost wyrażenia powyższej postaci tworzymy w sposób następujący:

1 W n − 1 pierwszych wierszach dowodu wypisujemy wyrażenia ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn−1 jakozałożenia twierdzenia. Każde założenie oznaczamy literą ”z.” w części opisowej wiersza.

2 W n-tym wierszu dowodu wpisujemy wyrażenie ¬ϕn jako założenie dowodu niewprost.Założenie to oznaczamy ”z.d.n.” w części opisowej wiersza.

3 Do dowodu można dołączać jako nowe wiersze:

1 tezy uprzednio udowodnione,2 wyrażenia uzyskane na podstawie dotychczasowych wierszy wedługpierwotnych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu.

4 Dowód jest zakończony gdy uzyskaliśmy w nim dwa wiersze sprzeczne. Zakończeniedowodu sygnalizujemy pisząc ”sprz.” i podając numery wierszy sprzecznych.


Definicja założeniowego dowodu niewprost Sprzeczność syntaktyczna

Sprzeczność syntaktyczna

Wiersze sprzeczne są to wiersze o postaci ψ i ¬ψ.Wyrażenie „p → q” jest sprzeczne z wyrażeniem „¬(p → q)”.Wyrażenie „p → q” nie jest sprzeczne z wyrażeniem „¬p → q”.Wyrażenie „p → q” nie jest sprzeczne z wyrażeniem „¬(p ∧ ¬q)”.


Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost

Założeniowe dowody niewprost – przykłady I

Udowodnimy jedno z praw reductio ad absurdum.

(¬p → p)→ p. (8)

1. ¬p → p z .2. ¬p z .d .n.3. p RO : 1, 2sprz. : 2, 3


Definicja założeniowego dowodu niewprost Przykłady założeniowego dowodu niewprost

Założeniowe dowody niewprost – przykłady II

(¬p → q) ∧ ¬q → p. (9)

1. (¬p → q) ∧ ¬q z .2. ¬p z .d .n.3. ¬p → q OK : 14. ¬q OK : 15. q RO : 3, 2sprz. : 4, 5


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu

Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu

Reguła wtórna jest to reguła, której wniosek można wyprowadzić z przesłanek używająctylko reguł pierwotnych i tez systemu założeniowego.

Wprowadzenie każdej reguły wtórnej powinien poprzedzić odpowiedni dowód.

Definicja

Reguła wnioskowania R:R ϕ1

. . .ϕnψ

jest regułą wtórną jeżeli istnieje założeniowy dowód niewprost implikacji „ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ”, wktórym posługujemy się tylko regułami pierwotnymi dołączania nowych wierszy do dowodu.

W praktyce dowodząc reguł wtórnych posługujemy się regułami pierwotnymi orazwszystkimi udowodnionymi do tej pory regułami wtórnymi.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła opuszczania podwójnej negacji

Reguły wtórne – przykłady I

Reguła opuszczania podwójnej negacji

ON ¬¬ϕϕ

Dowód tezy na której „oparta” jest powyższa reguła ma postać:1. ¬¬p z .2. ¬p z .d .n.sprz. : 1, 2


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Roszerzona reguła opuszczania alternatywy

Reguły wtórne – przykłady II

Roszerzona reguła opuszczania alternatywy(ta reguła ma cztery schematy)

OA ϕ ∨ ψ ϕ ∨ ψ ¬ϕ ∨ ψ ϕ ∨ ¬ψ¬ϕ ¬ψ ϕ ψψ ϕ ψ ϕ

Rozszerzona reguła OA głosi, że z alternatywy i negacji jednego z jej składnikówmożemy wyprowadzić drugi składnik.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła modus tollendo tollens

Reguły wtórne – przykłady III

Reguła modus tollendo tollens(ta reguła ma cztery schematy)

TOLL ϕ→ ψ ϕ→ ¬ψ ¬ϕ→ ψ ¬ϕ→ ¬ψ¬ψ ψ ¬ψ ψ¬ϕ ¬ϕ ϕ ϕ

Reguła modus tollendo tollens głosi, że z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jejnastępnikiem możemy wyprowadzić wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła negowania alternatywy

Reguły wtórne – przykłady IV

Reguła negowania alternatywy(ta reguła ma dwa schematy)

NA ¬(ϕ ∨ ψ) ¬(ϕ ∨ ψ)¬ϕ ¬ψ

Reguła negowania alternatywy głosi, że z negacji alternatywy można wyprowadzićnegację każdego ze składników alternatywy.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła dołączania implikacji do dowodu

Reguły wtórne – przykłady V

Definicja

Reguła dołączania implikacji do dowodu głosi, że jeśli w dowodzie na podstawiezałożenia dodatkowego ϕ w wierszu o numerze podwójnym k.1 uzyskaliśmywyrażenie ψ w wierszu o numerze k .n, to wolno nam dołączyć do dowodu jakowiersz o kolejnym numerze pojedynczym implikację ϕ→ ψ.W części opisowej tego wiersza piszemy k .1→ k .n.



(p ∨ q → r)→ (p → r) ∧ (q → r). (10)

1. p ∨ q → r z .1.1. p z .d .1.2. p ∨ q DA : 1.11.3. r RO : 1, 1.2

2. p → r 1.1→ 1.32.1. q z .d .2.2. p ∨ q DA : 2.12.3. r RO : 1, 2.1

3. q → r 2.1→ 2.3(p → r) ∧ (q → r) DK : 2, 3



Reguła dołączania implikacji do dowodu

Wiersze o numerze podwójnym nie mogą kończyć dowodu założeniowego,gdyż zostały uzyskane na podstawie dowolnie wybranego założeniadodatkowego.

Wyprowadzając nowe wiersze (o podwójnych numerach) na podstawiezałożenia k .1 możemy odwoływać się do wszystkich dotychczasowych wierszyo numerach pojedynczych oraz do wierszy o numerach podwójnychuzyskanych na podstawie k .1.

Dowód reguły dołączania implikacji do dowodu jest bardziej skomplikowanyod dowodów innych reguły ponieważ wymaga dowiedzenia tzw. twierdzenia odedukcji.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń

Reguła obalania dodatkowych założeń

Jeżeli założenie dodatkowe prowadzi do sprzeczności, to można do dowodudołączyć wyrażenie z nim sprzeczne jako wiersz dowodu o pojedynczymnumerze.

Reguła ta jest regułą wtórną.

Jeżeli z założenia dodatkowego ψ wyprowadzimy wyrażenia sprzeczne χ i ¬χ,to na mocy reguły DK oraz reguły dołączania implikacji do dowodu, nowymwierszem dowodu będzie wyrażenie ψ → χ ∧ ¬χA następnie, na mocy prawa redukcji do absurdu: (ψ → χ ∧ ¬χ)→ ¬ψ orazRO otrzymamy jako wiersz dowodu ¬ψ.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła obalania dodatkowych założeń

¬(p ∨ q)→ ¬p ∧ ¬q (11)

1. ¬(p ∨ q) z .1.1. p z .d .1.2. p ∨ q DA : 1.1

2. ¬p 1.1→ sprz .(1, 1.2)2.1. q z .d .2.2. p ∨ q DA : 2.1

3. ¬q 2.1→ sprz .(1, 2.2)¬p ∧ ¬q DK : 2, 3


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost

Reguła rozgałęzionego dowodu wprost

Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu wprost dowód wyrażenia:

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · → (ϕn−1 → ϕn) . . . )

jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim wyrażenie ϕn na podstawie każdegoz dodatkowych założeń ψ1, . . . , ψk , których alternatywa należy do dowodulub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej.


Na podstawie reguły dołączania implikacji do dowodu otrzymujemy implikacje:ψ1 → ϕn, . . . , ψk → ϕn.Z implikacji tych oraz alternatywy ψ1 ∨ · · · ∨ ψk na mocy tezy:(ψ1 → ϕn) ∧ · · · ∧ (ψk → ϕn) ∧ (ψ1 ∨ · · · ∨ ψk)→ ϕn, wyprowadzamy ϕn.


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu wprost

(p → q) ∧ (r → s)→ (p ∨ r → q ∨ s) (12)

1. p → q z .2. r → s z .3. p ∨ r z .

1.1. p z .d .1.2. q RO : 1, 1.11.3. q ∨ s DA : 1.22.1. r z .d .2.2. s RO : 2, 2.12.3. q ∨ s DA : 2.2

q ∨ s 1.1→ 1.3, 2.1→ 2.3, 3


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost

Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost

Zgodnie z regułą rozgałęzionego dowodu nie wprost dowód wyrażenia:

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · → (ϕn−1 → ϕn) . . . )

jest zakończony, jeżeli otrzymamy w nim sprzeczności na podstawie każdegoz dodatkowych założeń ψ1, . . . , ψk , których alternatywa należy do dowodulub może być do niego dołączona jako podstawienie tezy logicznej.


Na podstawie reguły obalania dodatkowych założeń można dołączyć dodowodu wyrażenia: ¬ψ1, . . . , ¬ψk .Z alternatywy ψ1 ∨ · · · ∨ ψk i wyrażeń ¬ψ1, . . . , ¬ψk−1 wyprowadzamy zapomocą reguły OA wyrażenie ψk , sprzeczne z wyprowadzonym uprzedniowyrażeniem ¬ψk .


Reguły wtórne dołączania nowych wierszy do dowodu Reguła rozgałęzionego dowodu niewprost

(p → q) ∧ (r → s)→ (¬(q ∨ s)→ ¬(p ∨ r)) (13)

1. p → q z .2. r → s z .3. ¬(q ∨ s) z .4. ¬¬(p ∨ r) z .d .n.5. p ∨ r ON : 4

1.1. p z .d .1.2. q RO : 1, 1.11.3. q ∨ s DA : 1.22.1. r z .d .2.2. s RO : 2, 2.12.3. q ∨ s DA : 2.2

sprz .1.1→ sprz .(3, 1.3), 2.1→ sprz .(3, 2.3)


Pojęcie „tezy”

Pojęcie „tezy”

Teza

Tezą (danego systemu) jest każde wyrażenie dla którego istnieje dowód (nagruncie tego systemu).

Ponieważ pojęcie „dowodu” jest relatywne względem teorii logicznej, pojęcie„tezy” jest również relatywne względem teorii logicznej.

Mamy zatem tezy KRZ, tezy WRP, tezy algebry zbiorów, tezy logikimodalnej S5, itd.

Teza KRZ

Tezą KRZ jest każde wyrażenie sensowne KRZ dla którego istnieje założeniowydowód niewprost.


Pojęcie „tezy”

Pojęcie „tezy” w KRZ

To, że ϕ jest tezą zapisujemy symbolicznie jako „` ϕ”.


Pojęcie „tezy”

Indukcyjny charakter definicji tezy KRZ

Definicja tezy KRZ ma charakter indukcyjny ze względu na budowę dowoduzałożeniowego niewprost:

najpierw mówimy o tezach, dla których istnieją „proste” dowody, tj. dowody,które nie zakładają istnienia żadnych innych dowodów – są to tezy pierwszegorzędu,potem mówimy o pozostałych tezach, dla których nie istnieją „proste” dowody– są to tezy wyższych rzędów.Przysłówki „najpierw” i „potem” oznaczają w tym kontekście porządekdefiniowania:

rozumienie tego, czym są tezy pierwszego rzędu, nie zakłada rozumienia tego,czym są tezy wyższych rzędów,rozumienie tego, czym są tezy jakiegoś wyższego rzędu, zakłada rozumienietego, czym są tezy niższych rzędów.


Metoda zerojedynkowa vs. dowód

Metoda zerojedynkowa vs. dowód

Metoda zerojedynkowa1 Jeżeli wyrażenie KRZ jest tautologią, to metoda zerojedynkowa pozwala w

skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że jest to tautologia.2 Jeżeli dowodzone wyrażenie nie jest tautologią, to metoda zerojedynkowa

pozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jestto tautologia.

Dowód1 Jeżeli dowodzone wyrażenie jest tezą, to metoda założeniowa pozwala w

skończonej liczbie ściśle określonych kroków skonstruować dowód założeniowytego wyrażenia, czyli stwierdzić, że jest to teza.

2 Jeżeli jednak dowodzone wyrażenie nie jest tezą, to metoda założeniowa niepozwala w skończonej liczbie ściśle określonych kroków stwierdzić, że nie jestto teza.


Udowodnij!

Udowodnij, że poniższe formuły są tezami KRZ (1)

1 p → p2 p ≡ p3 p ∧ p → p4 p ∨ p → p5 p ∨ ¬p6 ¬(p ∧ ¬p)7 (p → q)→ ((q → r)→ (p → r))8 (p ∨ q)→ (¬q → p)9 (¬¬p → p)

10 (p → ¬¬p)11 (p ≡ ¬¬p)12 (p → q) ∧ (r → s)→ (p ∧ r → q ∧ s)


Udowodnij!


1 (p → q ∧ r)→ (p → q) ∧ (p → r)2 (p ∨ q → r)→ (p → r) ∧ (q → r)3 (p → ¬p)→ ¬p4 (p → q ∧ ¬q)→ ¬p5 ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q6 p ∧ ¬p → q7 ¬(p ∧ q) ≡ p → ¬q8 (p → q) ∧ (r → s)→ (p ∨ r → q ∨ s)9 (p → r) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q)→ r

10 (p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)→ (q ∨ s)11 (p → q) ∧ (r → s) ∧ ¬(q ∨ s)→ ¬(p ∨ r)12 (p ≡ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)


Udowodnij!


1 q → (p → q)2 p ∧ q → r ≡ p ∧ ¬r → ¬q3 (p → q) ∧ ¬q → ¬p4 (p → q) ≡ (¬q → ¬p)5 ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q6 p → q ≡ ¬p ∨ q7 p ∧ q → r ≡ p → (q → r)8 ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q9 p → q ≡ ¬p ∨ q

10 p ∧ q → r ≡ p → (q → r)11 (p → q) ∧ (q → r)→ (p → r)


Źródła

Źródła


Źródła

Źródła

1 Ludwik Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Lublin 1991.


1Przykład dowodów załozeniowychPrzykład dowodów załozeniowego wprostPrzykład dowodów załozeniowego niewprostNajogólniejsza postac wyrazenia dowodzonego

Definicja załozeniowego dowodu wprostReguły dołaczania nowych wierszy do dowoduPrzykład załozeniowego dowodu

Definicja załozeniowego dowodu niewprostSprzecznosc syntaktycznaPrzykłady załozeniowego dowodu niewprost

2Reguły wtórne dołaczania nowych wierszy do dowoduReguła opuszczania podwójnej negacjiRoszerzona reguła opuszczania alternatywyReguła modus tollendo tollensReguła negowania alternatywyReguła dołaczania implikacji do dowoduReguła obalania dodatkowych załozenReguła rozgałezionego dowodu wprostReguła rozgałezionego dowodu niewprost

Pojecie ,,tezy''Metoda zerojedynkowa vs. dowódUdowodnij!Zródła

LOGIKA Dedukcja Naturalna - Trypuztrypuz.pl/slajdy/krznd.pdf · 2014. 1. 7. · LOGIKA Dedukcja...

Documents

Transcript of LOGIKA Dedukcja Naturalna - Trypuztrypuz.pl/slajdy/krznd.pdf · 2014. 1. 7. · LOGIKA Dedukcja...