Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia...
Transcript of Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia...
Lista ��
� Zadanie ���
Zaznaczy� na prostej zbiory tych punkt�w x� kt�re spe�niaj� poni�sze warunki�
a� jx�j�� b� jx j�� c� jx��j � �� d� jx �j � �
e� jx��j � �� f� j�x j � �� g� j�x �j � �� h� j���xj � �
� Zadanie ���
Korzystaj�c z geometrycznej interpretacji warto�ci bezwzgl�dnej� rozwi�za� nie�r�wno�ci�
a� jx��j � �� b� j�x �j � �� c� jx��j � jx �j� d� jx�j � jx �j�
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� jx��j jxj j�x��j� b� jx�j��jxj x ��� c� �jx�j�j�x�j �
d�
jxj � �� e� x �jxj � � f�jxj
jx��j � �
� Zadanie ���
Napisa� wz�r funkcji liniowej� kt�rej wykres�
�a� przechodzi przez punkty A��� �� B������b� przechodzi przez punkt A�� �� i tworzy z osi� Ox k�t �����c� przechodzi przez punkt A�� �� i tworzy z osi� Oy k�t ����
� Zadanie ���
Narysowa� wykresy funkcji�
a� f�x� ���x� b� f�x� j���xj� c� f�x� ���jxj�d� f�x� jx��j jx �j� e� f�x� �� �jx��j� f� f�x� jj�x j � �j�g� f�x�
px� �x �� h� f�x� �x�px���x �� i� f�x� jx��j�px���x ��
� Zadanie ���
Sprowadzi� nast�puj�ce wyra�enia do prostszej postaci� zak�adaj�c� �e x� y przyj�muj� warto�ci� dla kt�rych dane wyra�enie jest okre�lone�
a�x�y
�px� �
py� b�
�x�px � c�
x��px��
�
� Zadanie ���
Wykona� dzia�ania�
a��x
x��x�
�x
x �x�� ���x
���x��� b�
��p x
p�x
��
��p
�x�
��
� Zadanie ��
Znale�� ten wyraz rozwini�cia dwumianu
��px
�
x
���
� w kt�rym nie wyst�puje x�
�
� Zadanie ��
Znale�� wyrazy rozwini�cia dwumianu�
�p�
�p����
� kt�re s� liczbami natural�
nymi�
� Zadanie ����
Wykorzystuj�c wz�r Newtona obliczy��
a�
�n
�
�
�n
�
�n
�
� � � �
�n
n�
�
�n
n
��
b�
�n
�
��n
�n
��n��
�n
�
��n�� � � �
�n
n�
��
�n
n
��
c�
�n
�
���n
�
�n
�
��� � �
�n
n�
� ���n
�n
n
��
d�
�n
�
��n�
�n
��n��
�n
�
��n���� � � ���n��
�n
n�
�� ���n
�n
n
��
� Zadanie ����
Znale�� tr�jmian kwadratowy y ax� bx c � wiedz�c� �e do jego wykresu nale�ypunkt A��� �� i �e dla x przyjmuje on warto�� maksymaln� r�wn� ��
� Zadanie ����
Dla jakiej warto�ci parametru m ka�de z r�wna���i� mx���x m � ��ii� ��m �x����m��x m� � ��iii� x� mx�m��m�� �ma�a� tylko jedno rozwi�zanie�b� dwa rozwi�zania r��nych znak�w�c� dwa rozwi�zania dodatnie�d� dwa rozwi�zania� kt�re s� sinusem i kosinusem tego samego k�ta�
� Zadanie ����
Okre�li� ilo�� rozwi�za� r�wnania w zale�no�ci od parametru m�
a� jx��x��j m� b� j�x��j �x�m �� c� jx� �x��jm �
Lista ��
� Zadanie ���
a� Wyznaczy� wsp��czynniki a i b wielomianu W �x� x���x� x� ax b
tak� aby przy dzieleniu go przez wielomian Q�x� x���x � reszta by�ar�wna� �� � x�
b� Nie wykonuj�c dzielenia� wyznaczy� reszt� z dzielenia��i� wielomianuW �x� �x������x��� �x � przez wielomian Q�x� x����ii� wielomianuW �x� �x�����x����x�� przez wielomian Q�x� x��x���
�
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� x���� b� x���x� �x��� c� �x���x� ��
d� x���x� �� � �� e� x���x� �� � �� f� jx��j � �x� ��
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� x p�x ��� b�
p�x
px���
px� c�
�
x px��x
x�
d� x �
x� e�
px���p��x � � f� x �
px� x���
� Zadanie ���
Naszkicowa� wykresy funkcji�
a� f�x����x� b� f�x����jxj� c� f�x� j���xj� d� f�x����x���
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� x��
�
�� b� x�
�
�
p�
�� e� x�� � x��� f� x� � x���
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� ��x � �x�� �x��� b� �x �x�� � ��x �� c� �
q��p��x �
q�
p��x ��
d� ��x����x � �� e� � � �x��x�� � � f�
�x��
��x���
� Zadanie ���
Obliczy��
a� log�p�
�� b� log tg
�
�� c� log� � � log� � � � � � � log��� ��� d� �� log
p���
� Zadanie ��
Nie korzystaj�c z tablic logarytm�w� uporz�dkowa� wed�ug wielko�ci podane liczby�
log� �� log� �� log� ��
� Zadanie ��
Sporz�dzi� wykresy funkcji�
a� f�x� log �x� ��� b� f�x� �� log �x� ��� c� f�x� j log �x� ��� �j�
� Zadanie ����
Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�
a� logpx�� log
p�x � log��� b� log� �log� x� log� �log� x� ��
c� log�
�
jx�j � �� d� log �
�
�log� �x����� � ��
�
Lista ��
� Zadanie ���
Wyznaczy� okres podstawowy funkcji�f�x� sin x
�� f�x� sin x
�� f�x� cos �x
�� f�x� tg x
�� f�x� sin�x� f�x�
ctg x��
� Zadanie ���
Narysowa� wykresy i okre�li� zbi�r warto�ci funkcji�
a� f�x� cos �x �
��� b� f�x� sin �x� c� f�x� � sin
x
���
d� f�x�sin jxj� e� f�x� j sinx cos xj� f� f�x� j sinxj j cosxj�g� f�x�sinx�j sinxj�
� Zadanie ���
Obliczy� bez u�ycia tablic�
a� sin �� cos �� sin �� cos ��� b� �sin �� sin �����cos ����cos ����
� Zadanie ���
Udowodni� to�samo�ci�a� sin �x�tg xcos�x tgx� b� � sin� x sin� �x� sin� x�
c�cosx ctg x
ctg x sinx� d�
tg x tg �xcos �x�
� Zadanie ���
Rozwi�za� r�wnania�
a� � cos��x�� cos�x� �� b� ctg��x�ctg�x�� c� �p� sin��x�cosx�
d� sin�x� p� cos�x�
p�� e� sin�x�
p� cos�x��� f�
p� sin�x��cos�x���
� Zadanie ���
Rozwi�za� nier�wno�ci�
a�p� tg x� � �� b� j cosx� �
�j � � c� sinx�p� cosx � �
d� j sinxj �p�
�� e� � tg� x
�� �� f� sinxj sinxj �
��
� Zadanie ���
Obliczy��
a� arcsin
��
�
�� b� arcsin
p�
�� c� arccos
��p�
�
�� d� arccos sin
��
��
e� arc tg� p�� f� arc tg�
p�� g� sin�arcsin �� h� sin�arccos ��
i� sin�arccos ��� j� arcsin�sin
�
�
�� k� arccos
�sin
��
�
�� l� arc tg
�ctg
�
�
��
�
� Zadanie ��
Okre�li� dziedziny naturalne i zbiory warto�ci podanych funkcji�
a� f�x� psinx� b� g�x�
cosx� c� h�x�
p cosx�
d� f�x� x� �
x� � e� q�x� �log� � jxj��� f� q�x� �log�� � x��
���
Lista ��
� Zadanie ���
Uzasadni�� �e��i� �rodki bok�w dowolnego czworok�ta s� wierzcho�kami r�wnolegoboku��ii� ze �rodkowych tr�jk�ta mo�na utworzy� tr�jk�t�
� Zadanie ���
Sprawdzi�� �e punkty A������B�������C������D���� s� wierzcho�kami r�wnole�g�oboku� Znale�� wsp��rz�dne punktu przeci�cia przek�tnych�
� Zadanie ���
Wektory ��a ���b ���c o d�ugo�ci spe�niaj� warunek ��a ��b ��c
��� � Obliczy�
��a � ��b ��b � ��c ��a � ��c �
� Zadanie ���
Wektory��a ���b tworz� k�t ��� oraz j��b j j���a j� Dla jakiej sta�ej c wektory ��a c
��b
oraz ��a � ��b s prostopad�e�
� Zadanie ���
Wektory ��a ���b s� prostopad�e i maj� d�ugo�� � Znale�� k�t mi�dzy wektorami��u ���a �
��b i��w ���a �
��b �
� Zadanie ���
Znale�� k�t mi�dzy wektorami�
�i���a ������ oraz��b ��� ��
�ii���a ���� �� oraz ��b �� ��
�iii���c ���a ��b oraz
��d �������a ����
��b � gdzie ��a ���� ��� ��b ��� ��
� Zadanie ���
Dane s� wektory ��a �� �� oraz��b ���� ��Znale�� wektor ��u prostopad�y do
��a i taki� �e��b � ��u ��
�
� Zadanie� ��
Znale�� rzut prostopad�y �
�i� wektora ��a ��� �� na wektor��b ��� ���
�ii�wektora��b na wektor ��a �
� Zadanie ��
Obliczy� pole r�wnoleg�oboku wyznaczonego przez wektory ��a �p�� ��
��b
��p�� ��
� Zadanie� ����
Uzasadni�� �e r�wnanie prostej prostopad�ej do wektora �A �B�� gdzie A� B� � �ma posta� Ax By c ��
� Zadanie� ����
Napisa� r�wnanie symetralnej odcinka AB� gdzie A����� B�����oraz prostopad�ej do tej symetralnej przechodz�cej przez punkt M�����
� Zadanie� ����
Dla jakich warto�ci parametru a proste ��a ��x �� �a�y � � i ��a� ��x �a ��y � � � s�i� r�wnoleg�e��ii� prostopad�e�
� Zadanie� ����
Wyznaczy� k�t midzy prostymi�x �y � � � oraz ��x �y � ��Napisa r�wnanie dwusiecznej k�ta mi�dzy prostymi�
� Zadanie ����
Obliczy� odleg�o�� punktu A������ od prostej �x� �y � ��
� Zadanie� ����
Wyznaczy� r�wnanie stycznej do okr�gu x���x y� �y � przechodz�cej przezpunkt M������
� Zadanie� ����
Okr�g o promieniu �p� jest styczny do prostych x � y � oraz x y �� Wy�
znaczy� wsp��rz�dne �rodka tego okr�gu� Ile rozwi�za� ma zadanie ��
�
� Zadanie� ����
Okr�g przechodzi przez punkt M����� i jest styczny do obu osi uk�adu wsp��rz�d�nych� Znale�� r�wnanie okr�gu�
Lista ��
� Zadanie ���
Obliczy� d�ugo�ci podanych wektor�w�
a� �a ������ ��� b� �b �p
���p�� �p���
c� �c �� cos�� � sin�� h�� gdzie � � � oraz �� h � R�
d� �d �� cos� cos�� � sin� cos�� � sin��� gdzie � � � oraz �� � � R�
� Zadanie ���
Wektory �a� �b tworz� dwa s�siednie boki tr�jk�ta� Wyrazi� �rodkowe tego tr�jk�taprzez wektory �a� �b�
� Zadanie ���
Znale�� wersor �u� kt�ry�
a� le�y w p�aszczy�nie xOy i tworzy k�t z dodatni� cz��ci� osi Ox�
b� tworzy z dodatnimi cz��ciami osi Ox� Oy� Oz odpowiednio k�ty � � ��
c� tworzy jednakowe k�ty z wektorami �a ��� ������ �b ��� �� �� i jest po�o�onyw p�aszczy�nie wyznaczonej przez te wektory�
� Zadanie ���
Obliczy� iloczyny skalarne podanych par wektor�w�
a� �a ����� ��� �b ����� ���b� �u ��i � ��k� �v ��i ��j ��k�
c � �x �p ��q ��r� �y ��p ��q ��r� gdzie �p� �q� �r s� wersorami parami prostopad�ymi�
� Zadanie ���
Korzystaj�c z iloczynu skalarnego obliczy� miary podanych k�t�w�
a� mi�dzy wektorami �a ���� �� ��� �b ��� �����b� mi�dzy dwusiecznymi k�t�w utworzonych przez osie Ox� Oy oraz osie Oy� Oz
uk�adu Oxyz�
c� mi�dzy przek�tnymi r�wnoleg�o�cianu rozpi�tego na wektorach �u �� �� ����v ��� �� ��� �w ��� � ���
� Zadanie ���
Obliczy� d�ugo�� rzutu prostok�tnego wektora �a �p
��p���p�
�na wektor
�b ��p�� ��
p���
�
� Zadanie ���
Obliczy� iloczyny wektorowe podanych par wektor�w�
a� �a ���� �� ��� �b �� ������ b� �u ��i � ��k� �v �i �j � ��k�
c � �x ��p �q �r� �y �p ��q ��r� gdzie �p� �q� �r s� parami prostopad�ymiwersorami o orientacji zgodnej z orientacj� uk�adu wsp��rz�dnych�
� Zadanie ��
Obliczy� pola podanych powierzchni�
a� r�wnoleg�obok rozpi�ty na wektorach �a �� �� ��� �b ������ ���b� tr�jk�t o wierzcho�kach A ���� ��� B ��� ������ C ��� �� ��
c� czworo�cian rozpi�ty na wektorach �u� �v� �w�
� Zadanie ��
Tr�jk�tABC rozpi�ty jest na wektorach��AB �� ������
��AC ��� �� ���Obliczy�
wysoko�� tego tr�jk�ta opuszczon� z wierzcho�ka C�
� Zadanie ����
Obliczy� iloczyny mieszane podanych tr�jek wektor�w�
a� �a ���� �� �� �b ��� ����� �c ��� ������b� �u �i �j� �v ��i � ��j �k� �w ��i ��j � ��k�
� Zadanie ����
Obliczy� obj�to�ci podanych wielo�cian�w�
a� r�wnoleg�o�cian rozpi�ty na wektorach �a ��� �� �� �b ��� �� ��� �c ��� �����
b� czworo�cian o wierzcho�kach A �� � �� B �� �� ��� C ��� ����� D ��� �� ���
c � r�wnoleg�o�cian o przek�tnych �u� �v� �w�
Lista ��
� Zadanie ���
Sprawdzi�� czy
a� wektory �a ��� �������b ���� ���c ������ �� s� wsp��p�aszczyznowe�
b� punkty P ��� �� ��� Q ��� �� ��� R ��� ������ S ����� �� s� wsp���p�aszczyznowe�
� Zadanie ���
Napisa� r�wnania og�lne i parametryczne p�aszczyzn spe�niaj�cych podane wa�runki�
a� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ����� �� i jest prostopad�a do wek�tora �n ������ ���
�
b� p�aszczyzna przechodzi przez punkty P� ��� �� ��� P� �� �� ��� P� ������ ���
c� p�aszczyzna przechodzi przez punkty P� ����� ��� P� ��� ���� oraz jestprostopad�a do p�aszczyzny xOz�
d� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ���� �� oraz jest r�wnoleg�a do
wektor�w �a �� � ��� �b ��� � ��
e� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ��� �� �� i jest r�wnoleg�a do p�aszczy�zny � � �x� y � ��
f� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ��� ���� i jest prostopad�a do p�asz�czyzn �� � x y �� �� � y � z ��
� Zadanie ���
Napisa� r�wnania parametryczne i kierunkowe prostych spe�niaj�cych podane wa�runki�
a� prosta przechodzi przez punkt P ���� �� �� i jest r�wnoleg�a do wektora�v ����� ���
b� prosta przechodzi przez punkty P� �� �� ��� P� ���� �� ���c� prosta przechodzi przez punkt P ������ �� i jest prostopad�a do p�aszczyzny
� � �x� y �z � � ��
d� prosta przechodzi punkt P ��� �� �� i jest prostopad�a o wektor�w �v� ��� ������ �v� ��� �� ���
e� prosta jest dwusieczn� k�ta ostrego utworzonego przez proste
l� �x �
�
y � �
� z
�� l� �
x �
y � �
�� z
��
f � prosta jest dwusieczn� k�ta ostrego utworzonego przez proste
l� �x�
�
y
� z � �
�� l� �
x �
�
y �
�� z ��
�� �
� Zadanie ���
Zbada�� czy
a� punkty A �� �� ��� B ������ �� nale�� do prostej
l �
�
x t�
y � �t�z �� t�
gdzie t � R�
b� prosta m �
��x y � z � �x� �y z � � �
jest zawarta w p�aszczy�nie
� � �y � �z � ��
c� punkty A ��� � ��� B �� �� �� nale�� do p�aszczyzny
� �
�
x � s t�
y � �s � t�
z �� s �t�gdzie s� t � R�
d� proste l� �x
�� y � �
z �
�� � l� �x
y �
z � �
�maj� punkt
wsp�lny�
e� prosta l �
�
x t�
y �t�z � �t�
gdzie t � R� jest r�wnoleg�a do p�aszczyzny
� � x y � z � ��
� Zadanie ���
Znale�� punkty przeci�cia�
a� prostych l� �
�x �y � z � ��
y z � � ��l� �
��x� y � �z � ��x �y �z � � ��
b� prostej l �x�
�
y �
�
z � �
� i p�aszczyzny
� �
�
x s t�
y s �t�z � �s �t�
gdzie s� t � R�
c� p�aszczyzn �� � �x y z �� �� � x �z � �� �� � �y �z ��
� Zadanie ���
Zbada�� czy punkty P ����� �� i Q ���� �� �� le�� po tej samej stroniepodanych p�aszczyzn�
a� � � �x �z � � �� b� � � x� �y �z � ��
� Zadanie ���
Obliczy� odleg�o���
a� punktu P ����� �� od p�aszczyzny � � x y � �z � ��
b� p�aszczyzn r�wnoleg�ych �� � �x y � �z �� �� � �x y � �z � � ��
c� p�aszczyzn �� � x� �y �z � �� �� � �x� �y �z � � ��
d� punktu P ��� ��� od prostej l �x
�
y
� z
��
e� prostych r�wnoleg�ych l� �x�
y
�
z
� � l� �x
�� y �
�� z � �
��
f� prostych sko�nych l� �
�x ��y ��
l� �
�x �z �
g� prostych l� �x� �
�
y � �
�� z
� l� �
x
�� y �
�
z � �
��
h� prostej l �
�
x � t�
y �� �t�z �� t�
gdzie t � R� od p�aszczyzny � � �x y �z ��
�
Lista ��
Zadania
� Zadanie ���
Obliczy� miar� k�ta mi�dzy�
a� prost� l �x� �
�
y �
�
z �
�� i p�aszczyzn� � � x� z ��
b� p�aszczyznami �� � x� �y �z � � �� �� � �x y � z � ��
c� prostymi l� �
�
x � t�
y �� t�
z �t�gdzie t � R� l� �
�
x �� �t�y �� t�
z �t�gdzie t � R�
� Zadanie ���
Znale�� rzut prostok�tny�
a� punktu P ���� �� �� na p�aszczyzn� � � x y z ��
b� punktu P ��� �� �� na prost� l � x y z�
c� prostej l �x� �
y � �
�
z
�na p�aszczyzn� � � x �y � �z � � ��
� Zadanie ���
Znale�� punkt symetryczny do punktu P ��� ���� wzgl�dem�
a� punktu S ���� ���b� prostej l �
�x y ��y z ��
c� p�aszczyzny � � �x� y z � � ��
� Zadanie ���
Znale�� rzut uko�ny w kierunku wektora �v ��� �����a� punktu O ��� �� �� na p�aszczyzn� � � x� �z � ��
b� prostej l � x� y z � � na p�aszczyzn� � � x� y z � ��
� Zadanie ���
Obliczy� obj�to�ci i pola powierzchni bry� ograniczonych podanymi p�aszczyznami�
a� x � y �� z �� x y z ��
b� x� y � x� y �� x �z �� x �z �� z �� z ��
� Zadanie ���
Obliczy� pole tr�jk�ta utworzonego przez proste�
l� �
�
x �� �t�y ��z �t�
l� �
�
x ��y � �s�z ��s�
l� �
�
x ��p�y �� �p�z ��
gdzie t� s� p � R�
��
� Zadanie� ���
Niech A ���� ��� B ��� �� ��� Na prostej l �x�
y � �
�
z � �
�znale��
punkt C taki� �e pole tr�jk�ta ABC b�dzie najmniejsze�
� Zadanie ��
Trzy stacje radiolokacyjne S�� S�� S� umieszczone s� w wierzcho�kach tr�jk�taprostok�tnego o przyprostok�tnych l� ��� km� l� ��� km �rysunek�� Pomiaryodleg�o�ci rakiety R od tych stacji da�y nast�puj�ce wyniki d� ��� km� d� ��� km� d� ��� km� Obliczy�� na jakiej wysoko�ci h lecia�a rakieta�
��
����
�
�
��������������
eeeeee
r
r
rr
r
r
x
S�
l�S�
d�d�
h
Rz
d�
l� S� y
� Zadanie ��
W wierzcho�kach sze�cianu o kraw�dzi a � umieszczone s� punkty materialne omasach odpowiednio� m� � m� �� m� �� m� �� m �� m� �� m� ��m� � �rysunek��
a� Okre�li� po�o�enie �rodka masy tego uk�adu�
b� Obliczyc moment bezw�adno�ci podanego uk�adu mas wzgl�dem osi Oz�
c� Obliczy� moment bezw�adno�ci podanego uk�adu mas wzgl�dem osi ��cz�cejmasy m� i m��
����
�
�
O
��
���
�r r
rr
r r
rrm�
x
m�
m�
y
m�
m�m�
m�
m�
z
aC
d� Obliczy� si�� przyci�gania grawitacyjnego masy m� przez uk�ad pozosta�ychsiedmiu mas�
� Zadanie ����
Nad Wroc�awiem przebiegaj� dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolo�t�w� Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysoko�ci h� ���m ze wschodu na
��
zach�d� Natomiast drugi przebiega z po�udniowego�wschodu na p��nocny�zach�di wznosi si� pod k�tem �� Samoloty poruszaj�ce si� tym korytarzem prze�latuj� nad Wroc�awiem na wysoko�ci h� ����m� Obliczy� najmniejsz� mo�liw�odleg�o�� mi�dzy samolotami lec�cymi tymi korytarzami�
Lista �
� Zadanie ��
a� Zaproponowa� opis� w formie macierzy z�o�onej z liczb ca�kowitych� po�o�enia!gur w grze w szachy� W jaki spos�b mo�na by sprawdzi�� czy dana macierzodzwierciedla pozycj� mo�liw� do uzyskania w czasie gry�
b� Zaproponowa� zapis� w postaci jednej macierzy� odleg�o�ci drogowych i kolejo�wych w km mi�dzy stolicami wszystkich wojew�dztw w Polsce�
� Zadanie ��
Obliczy��
a� �
� �� �
�� �� ��
�� b�
�� � � �
�� �
�� � �� �
�� �
c�
� �� ��
���� � �� �� � ��� �
��� d�
cos � sinsin cos
� cos � sin sin cos
��
e�
������
�� �� �
������ �
� �� � �
�� f�
� � � � �
� �������
����
������ �
� Zadanie ��
Uk�adaj�c odpowiednie uk�ady r�wna� rozwi�za� podane r�wnania macierzowe iuk�ad r�wna� macierzowych�
a� X
� �� � �
�
�
�X �
� � �� � �
��� b�
�� �
� � � �
�TX
� � �
��
c�
��
�X
� ��
�� d�
� �
�X X
� �� �
��
e� X�
� �
�� f� X�
� �� �
�� g� X XT
�
�� ����
��
h�
�������������
X Y
�� � � �� � �� � �
�� �
X � Y
�� � � �� � �� � �
�� �
i�
�����
X
�
� �
�Y
��
��
�
�X Y
�
��
� Zadanie ��
Obliczy� kilka pocz�tkowych pot�g macierzy A� nast�pnie wysun�� hipotez� o po�staci macierzy An� gdzie n �N i uzasadni� j� za pomoc� indukcji matematycznej�je�eli�
a� A
�
�� b� A
� �� ��
��
c� A
cos sin
� sin cos
�� gdzie � R� d� A
chx shxshx chx
�� gdzie x � R�
e� A
�� � �
� � � �
��� f � A
�� a �
� a � � a
��� gdzie a � R�
g � A �aij �� gdzie aij � dla i � j� i� j � �� � � � � k�
� Zadanie ��
Korzystaj�c z w�asno�ci dzia�a� z macierzami oraz w�asno�ci operacji transpono�wania macierzy uzasadni� podane to�samo�ci�
a� �ABC�T CTBTAT � gdzie A�B�C s� macierzami o wymiarach odpowiednionm� m k� k l�
b� �AB�� A� �AB B�� gdzie A i B s� przemiennymi macierzami kwadra�towymi tych samych stopni�Uwaga�M�wimy� �e macierze A i B s� przemienne� gdy spe�niaj� warunek AB � BA�
c � �A I�n
�n
�
�An
�n
�An��
�n
�
�An�� � � �
�n
n�
�A
�n
n
�I�
gdzie A i I s� macierzami kwadratowymi tych samych stopni� przy czym I jestmacierz� jednostkow��
� Zadanie ��
Obliczy� podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia�
a�
���� �� �� ��
���� � b�
���� sin cossin cos
���� � c�
������ � � � �
������ d�
������� i i
�i �� i �
������ �� Zadanie ��
Stosuj�c rozwini�cie Laplace"a obliczy� podane wyznaczniki� Wyznaczniki rozwi�n�� wzgl�dem wiersza lub kolumny z najwi�ksz� liczb� zer�
��
a�
�������� �� � �
�� �� �� �� � �� � � �
������� � b�
����������
� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �
����������� c�
����������
� � � � �� � �
�� � � � ��� �� � � � � � �
�����������
� Zadanie �
Niech ai� bi� ci � R� gdzie � i � �� Uzasadni� r�wno���������b� c� c� a� a� b�b� c� c� a� a� b�b� c� c� a� a� b�
������ �
������a� b� c�a� b� c�a� b� c�
������ �
Lista �
� Zadanie ��
Obliczy� podane wyznaczniki wykorzystuj�c wyst�puj�ce w nich regularno�ci�
a�
�������� � � �� � � � � � �� � � �
��������� b�
����������
� � � � � � � � � � � � � � � �
����������� c�
������������
� � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � �
�������������
� Zadanie� ��
Obliczy� podane wyznaczniki stopnia n � � wykorzystuj�c wyst�puj�ce w nichregularno�ci�
a�
�����������
� � � � � � � � � � � � ����
���� � �
������
� � � � � � � � �
������������ b�
�����������
� � � � � n
� � � � � � n
� � � � � � n���
������
� � ����
n n n � � � n
������������ c �
�����������
� � � � �� � � � �n��
� �� � � � �n�����
������
� � ����
n n� � � � nn��
������������
� Zadanie ��
Stosuj�c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczni�k�w �powoduj�ce obni�enie ich stopni� obliczy��
a�
������ � �� � �
�� � �
������� b�
������� � �� � ��
�� � �
������� c�
��������� � � � �� � �� � � �
���������
d�
�������� � �� � �
� � �� � � �
��������� e�
����������
� � � �� � � ��
� �� � � ���� �� � � � �� � �
����������� f�
����������
� � � � �� � �
�� � � � ��� �� � � � � �
�����������
��
� Zadanie ��
Korzystaj�c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale�� macierze odwrotnedo podanych�
a�
� ��� �
�� b�
cos � sinsin cos
�� gdzie � R� c�
�� � � �
� � � � �
�� �
� Zadanie ��
Korzystaj�c z metody bezwyznacznikowej wyznaczy� macierze odwrotne do po�danych�
a�
�� � �
� ��� ��
��� b�
����
� � � � � � � �
���� � c�
����
� � �� � � � � �� ��
���� �
� Zadanie ��
Rozwi�za� podane r�wnania macierzowe�
a� X � �
� ���
�� �� �
�� b�
� �
��X �
� �
�
� �� �
��
c�
� � �� ��
� � �X
���
�� �
�� d� � �X
�
��
�
� �� �
��X�
� Zadanie ��
Jakie s� mo�liwe warto�ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n� je�eli�
a� A� �A��� b� A� �A �� c� AT �A���
� Zadanie� �
Wyprowadzi� wzory na podane wyznaczniki stopnia n�
a�
�����������
a b b � � � b
b a b � � � b
b b a � � � b���
������
� � ����
b b b � � � a
������������ b�
�����������
b a a � � � a
�a b a � � � a
�a �a b � � � a���
������
� � ����
�a �a �a � � � b
������������
c�
�����������
n n� � � � � �� n � � � � �� � � � � � ����
������
� � ����
���n n� n� � � � � �
������������ d�
���������
a� � b a� � � � ana� a� � b � � � an���
���� � �
���a� a� � � � an � b
����������
e�
�����������
a� a� � � � an a� b� a� � � � an a� a� b� � � � an���
������
� � ����
a� a� � � � an bn
������������ f�
�����������
a� a� � � � an�� ana� a� � � � an�� an���
���� � �
������
an�� an�� � � � an�� anan an � � � an an
������������
��
� Zadanie �
Dla jakich warto�ci parametru p � R podane uk�ady r�wna� s� uk�adamiCramera�
a�
��p �x � py
�x �p � �y �p� b�
�
�px �y � pz ��x y pz
�� �p�x �y pz ��
c�
�
px �y pz ��px �z �
x �y pz p
� d�
�����
x � y � z � t px
�x y � z � t py
�x � y z � t pz
�x � y � z t pt
�
� Zadanie ���
Korzystaj�c ze wzoru Cramera znale�� rozwi�zania podanych uk�ad�w r�wna��
a�
��x � �y ��x y �
� b�
�
x �y �z �x �y z ��x y �z �
� c�
�
x �y �z ��x �y � z �x � y z �
�
� Zadanie ���
Stosuj�c wz�r Cramera obliczy� niewiadom� y z podanych uk�ad�w r�wna��
a�
�����
�x �y �z �t ��y z �
x �y z �x �y �z �
� b�
�����
x �y �z �t �x y �z �t �x �y z �t �x �y �z t
�
c� x �y � � �y �z � � �z �s �s �t x y z s t� � ��
Lista ���
� Zadanie ����
Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� stosuj�c metod� macierzy odwrotnej�
a�
��x � y ��x y �
� b�
�
x y z ��x �y z ��x �y z
�
c�
�
x y z ��x � �y �z ���x �y � z �
� d�
�����
y z t �x z t �x y t �x y z ��
�
� Zadanie ����
Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� metod� eliminacji Gaussa�
��
a�
��x �y �x y �
� b�
�
x y x �y � �z ��
�x �y z �
c�
�
�x y z �x �z ��
�y �z �� d�
�
�x �y �z �x �y �z ��x �y �z �
�
e�
�����
x y z t �x �y z t ��x �y �z �t ��x �y �z �t �
� f�
���������
x � �y �s t �x � �y z �s �t �x � �y z �s � t
y �s �t �x � �y �s �t �
�
� Zadanie ����
Stosuj�c #metod� kolumn jednostkowych$ rozwi�za� podane uk�ady Cramera�
a�
�
�x �y � �z ��x y �z �x �y �z �
� b�
�����
x � �y z � t ���x � y � z t x y �z � t �x y � z t �
�
c�
���������
�x y z t �y z �
�x y z s �y z s t �
x z t �
� d�
���������
�x �y �z � t ��x y z �s �t ��x � z s t �
y �s t �x y z � �s �t �
�
� Zadanie ����
Stosuj�c metod� eliminacji Gaussa rozwi�za� podane uk�ady r�wna��
a�
�����
x � �y z �x y z
�x � �y �z ��x � �y �z �
� b�
�
x �y z t ��x � y � z �t ��x �y �z �t
�
c�
�����
x �y �z t �x �y � z �t ��x �y �z �t �x y z t �
� d�
�
x � y z � �s t ��x �y � z s �t x � �y �z � �s t �
�
� Zadanie ����
Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� #metod� kolumn jednostkowych$�
��
a�
�����
�x �y z � t ��x � y z �t ���x �y z � �t �x � y z �t �
� b�
�����
�x �y z � �s � t ��x �y �z � �s t ��x �y �z � �s � �t �x �y z � �s � �t �
�
c�
�������������
�x y � �t �x �y �z � t �x � y � �t ��
�x y z � �t ���x � �y z �t ���x y � �z � �t ��
� d�
�������������
x � �y z � �s t ���x � �y � �s t ��
�z t ���x �y �z �s ���x �y �z �s t ��x �y z �s �
�
� Zadanie ����
Dla jakich warto�ci parametru p podane uk�ady r�wna� maj� dok�adnie jednorozwi�zanie� okre�li� liczby rozwi�za� tych uk�ad�w w pozosta�ych przypadkach�
a�
�
x py � z x �y � �z p
�x � y pz �� b�
�
x �y � �z �p�x �y � pz �px �py z p
�
� Zadanie ����
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga czterech czynno�ci� narysowania formy�wyci�cia� z�o�enia modelu i jego pomalowania� Liczby poszczeg�lnych czynno�ci wkolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje tabela�
rysowanie wycinanie sk�adanie malowanie
poniedzia�ek �� �� � �wtorek �� � � ��roda �� �� �� ��czwartek �� �� �� ��
Obliczy� czas wykonywania poszczeg�lnych czynno�ci� je�eli w kolejnych dniach��czny czas pracy wynosi� odpowiednio � h � min� � h � min� � h �� min� � h�� min�
Lista ���
� Zadanie ����
Wykona� podane dzia�ania�
a� �� �i� ��� �i�� b��
p�i� � �p
�� �i��
c��p
��p�i� � �p�
p�i�� d�
� �i
i�
e� z �w� z�
w�z � w
z w�
Re z i Imw
z wdla z �� �i� w � �i�
� Zadanie ����
Znale�� liczby rzeczywiste x� y spe�niaj�ce podane r�wnania�
�
a� x�� �i� y�� � �i� �� �i� b� �� yi� � �x � �i� �� i�
c� yi
x� �i �i� � d�
x yi
x� yi
�� �i
� �i�
� Zadanie ����
W zbiorze liczb zespolonych rozwi�za� podane r�wnania�
a� z� �z� b� i
z
�� �i
z� c� z� � �z � ��
d� �z ��� �z ���� e� �z z �� �i� f � z� � �iz� � �z �i ��
g� � i�z ��z�i� �� h�� i
z � �i
� i
�z i�
� Zadanie ����
Zbada�� dla jakich warto�ci parametr�w a� b � R r�wnanie z � i Imz a bi marozwi�zanie�
� Zadanie ����
Na p�aszczy�nie zespolonej narysowa� zbiory liczb z spe�niaj�cych podane wa�runki�
a� Re �iz �� � �� b� Imz� � �� c� z � i z � �
d��
z z� e� zz �� i�z ��� i�z �� f� Im
iz
� iz �
� Zadanie ����
Niech u z �
z � �i� v
z
iz �� gdzie z � C� Naszkicowa� zbi�r wszystkich liczb
zespolonych z� dla kt�rych�
a� liczba u jest rzeczywista� b� liczba u jest czysto urojona�
c� liczba v jest rzeczywista� d� liczba v jest czysto urojona�
� Zadanie ����
Punkty z�� z�� z� p�aszczyzny zespolonej s� wierzcho�kami tr�jk�ta� Wyznaczy�po�o�enie punktu przeci�cia �rodkowych tego tr�jk�ta�
Wskaz�wka� Wykorzysta� fakt� �e rodkowe tr�jk�ta przecinaj� si w jednym punkcie i
dziel� si w stosunku � � licz�c od wierzcho�ka�
� Zadanie� ���
Uzasadni�� �e pole tr�jk�ta� kt�rego jeden wierzcho�ek jest w pocz�tku uk�adu� a
pozosta�e dwa s� w punktach z�� z� � C� wyra�a si� wzorem
�j Im �z� � z��j �
� Zadanie ���
Obliczy� modu�y podanych liczb zespolonych�
a� �p�i� b� �� �i� c� �p� �
p�i� d� i tg� �
������
�
�� e�
�i
�� �i�
�
� Zadanie �����
Poda� interpretacj� geometryczn� modu�u r��nicy liczb zespolonych� Korzystaj�cz tej interpretacji narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane wa�runki�
a� jz � � �ij � b�
����z � �i
z
���� � c� � � jiz � �j � ��
d� jz � �ij � � oraz jz � �j � �� e�
���� z i
z�
���� � � f� sin ��jz �ij� � ��
g � �jz ij � ��z� �� � �jz � ij�
� Zadanie �����
Korzystaj�c z interpretacji geometrycznej modu�u liczby zespolonej obliczy�� dlajakich liczb zespolonych z spe�niaj�cych warunek jzj � wyra�enie j�i � � � zjjest najmniejsze� najwi�ksze�
Lista ��
Zadania
� Zadanie ����
Podane liczby zespolone zapisa� w postaci trygonometrycznej�
a� � �i� b�p�� i� c� �� �
p�i�
d� sin i cos� e� � cos i sin� f� i tg�
Uwaga� W �wiczeniach d�� e�� f� k�t spe�nia nier�wno�ci � � ��
��
� Zadanie ����
Narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane warunki�
a� arg z ��
�� b�
�
�� arg �z �i� �
�
�� c� � � arg �iz� � ���
d� arg�z�� �� e�
�
�� arg ��z� � �
�� f � arg �z � � �i�
��
��
� Zadanie ����
Obliczy� warto�ci podanych wyra�e� �wynik poda� w postaci algebraicznej��
a� �� i���� b��
p�i��� c�
��p�� �i
����
d��cos
�
�� i sin
�
�
���� e�
� i����� i
p��� � f�
�sin
�
� i cos
�
�
����
� Zadanie ����
Korzystaj�c ze wzoru de Moivre"a wyrazi��
a� sin �x przez funkcj� sinx� b� cos �x przez funkcje sinx i cosx�
c � tg �x przez funkcj� tgx� d � ctg �x przez funkcj� ctgx�
��
� Zadanie ����
Narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane warunki�
a� Im�z��� �� b� Re
�z�� � �� c� Im
�z�� � Re
h�z�
�i� d� Im
� i�z
�� i�z� ��
� Zadanie� ����
Wykorzystuj�c wz�r na sum� wyraz�w zespolonego ci�gu geometrycznego obliczy��
a� sinx sin �x � � � sinnx� b� cos x cos �x � � � cos nx�
c�
� cos x cos �x � � � cosnx� d� sinx sin �x � � � sin��n� �x�
e� �� i� �� i�� � � � �� i�n�
f�
�n
�
���n
�
�
�n
�
�� � � � ���n
�n
�m
�� m E
�n�
�� gdzie n � N�
� Zadanie ����
Stosuj�c posta� wyk�adnicz� liczby zespolonej rozwi�za� podane r�wnania�
a� z� z� b� �z�� z���z���� c� �z��
��z��� �
z��
d� jzj� iz�� e� z� �z��� f���z��� z��
� Zadanie ���
Stosuj�c wzory Eulera wyrazi� podane funkcje w postaci sum sinus�w i cosinus�wwielokrotno�ci k�ta x�
a� sin� x� b� cos� x� c� sin x� d� sin� x cos� x�
Lista ��
Zadania
� Zadanie ����
Korzystaj�c z de!nicji obliczy� podane pierwiastki�
a�p�� �i� b�
p� ��i� c� �pi� d� �
p��
� Zadanie ����
Obliczy� i narysowa� na p�aszczy�nie zespolonej podane pierwiastki�
a�p� p
�i� b� �p���i� c� �
p��� d� �p����
e� �p��i� f� �
p� i� g � �pi� h � �
p� �i�
� Zadanie ����
Odgaduj�c jeden z element�w podanych pierwiastk�w obliczy� ich pozosta�e ele�menty�
a�p
��� �i��� b� �
p��� �i��� c� �
p��� i��� d� �
p��� �i��
��
� Zadanie ����
Jednym z wierzcho�k�w kwadratu jest punkt z� � � i� Wyznaczy� pozosta�ewierzcho�ki tego kwadratu� je�eli jego �rodkiem jest�
a� pocz�tek uk�adu wsp��rz�dnych� b� punkt u �
c� punkt u � i� d� punkt u � p�i�
� Zadanie ����
Znale�� rozwi�zania podanych r�wna��
a� z� �� i��� b� �z � �� �i � z��� c� z� �iz ���
� Zadanie ����
Punkty z� � �i� z� � �i s� przeciwleg�ymi wierzcho�kami kwadratu�Wyznaczy� po�o�enia pozosta�ych wierzcho�k�w tego kwadratu�
� Zadanie ����
Obliczy� iloczyny podanych par wielomian�w rzeczywistych lub zespolonych�
a� P �x� x� � �x� x� � Q�x� x� � x ��
b� W �z� z� �z� � iz �� V �z� � i�z � ��
� Zadanie ���
Obliczy� ilorazy oraz reszty z dziele� wielomian�w P przez wielomiany Q� je�eli�
a� P �x� �x� � �x� �x� � �x �� Q�x� x� � �x �
b� P �x� x�� � �� Q�x� x� ��
c� P �z� z � z� � Q�z� �z � i���
� Zadanie ���
Znale�� wszystkie pierwiastki ca�kowite podanych wielomian�w�
a� x� x� � �x� �� b� �x� � �x� �x� ��
c� x � �x� � �x� �x� � �x �� d� x� �x� � x� �x ���
� Zadanie �����
Znale�� wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomian�w�
a� x� � �
�x� � �
�x�
�� b� �x� �x� �x� � x� �
c� �x� x� � d� x �
�x� � x�
�x�
��
Lista ���
� Zadanie ����
Znale�� pierwiastki podanych r�wna� kwadratowych i dwukwadratowych�
a� z� � �z � �� b� z� � ��� �i�z ��� �i� ��
c� z� �z� � �� d� z� � �iz� � ��
��
� Zadanie ����
Znaj�c niekt�re pierwiastki podanych wielomian�w rzeczywistych� znale�� ich po�zosta�e pierwiastki�
a� W �x� x� � �p�x� �x� �
p�� x�
p� i�
b� W �x� x� � �x� �x� �x� ��� x� � �i�
c� W �x� x� � �x� �x� � ��x ��� x� � i�
d� W �x� x� � �x �x� � �x� �x� � �x �� x� i� x� �p�i�
e� W �x� x� � �x �x� � ��x� �x� � ��x �� x� � i� x� ��p�i�
� Zadanie ����
Nie wykonuj�c dziele� znale�� reszty z dziele� wielomian�w P przez wielomianyQ� je�eli�
a� P �x� x� � �x� �x� Q�x� x� � x� ��
b� P �x� x�� � �x�� x� p�x� Q�x� x� ��
c� P �x� x�� �x�� �� Q�x� x� �
d� P �x� x��� �x� � �x� � Q�x� x� � �
e� P �x� x x� �� Q�x� x� � �x ��
f� P �x� x� x� ��� Q�x� x� ��
� Zadanie� ����
Liczby zespolone z� z�� z� s� pierwiastkami wielomianu stopnia � o wsp��czynni�kach rzeczywistych� Wyznaczy� wszystkie mo�liwe warto�ci liczby z�
� Zadanie ����
Poda� przyk�ady wielomian�w zespolonych najni�szego stopnia� kt�re spe�niaj�podane warunki�
a� liczby �� ��i s� pierwiastkami pojedynczymi� a liczby ���� i s� pierwiast�kami podw�jnymi tego wielomianu�
b� liczba ��i jest pierwiastkiem podw�jnym� a liczby ���� pierwiastkami potr�j�nymi tego wielomianu�
� Zadanie ����
Poda� przyk�ady wielomian�w rzeczywistych najni�szego stopnia� kt�re spe�niaj�podane warunki�
a� liczby �����p� oraz � �i s� pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu�
b� liczba i jest pierwiastkiem pojedynczym� liczby �i oraz � s� pierwiastkamipodw�jnymi� a liczba �� �i jest pierwiastkiem potr�jnym tego wielomianu�
� Zadanie ����
Podane wielomiany zespolone przedstawi� w postaci iloczynu dwumian�w�
a� z� � �iz � �� b� z� �z� �� c� z� � �z � ��
��
� Zadanie ���
Podane funkcje wymierne �rzeczywiste lub zespolone� roz�o�y� na sumy wielomia�n�w oraz funkcji wymiernych w�a�ciwych�
a�z � �z� z
z� �z� � b�
x �
x �� c�
x� �x� �x� �x �
x� �x� �x ��
� Zadanie ���
Zaproponowa� rozk�ady podanych zespolonych funkcji wymiernych w�a�ciwych nazespolone u�amki proste �nie oblicza� nieznanych wsp��czynnik�w��
a�z� i
z� �z � �i��� b�
z� z �
�z ��z i�� �z � � i���� c�
iz �
�z� � ����
� Zadanie �����
Zaproponowa� rozk�ady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych w�a�ciwychna rzeczywiste u�amki proste �nie oblicza� nieznanych wsp��czynnik�w��
a�x� �x� �
x��x� ��x ���� b�
x� � �x� �
�x� �� �x� x ���� c�
x� x�
�x ��� �x� � �x ����
� Zadanie �����
Podane zespolone funkcje wymierne w�a�ciwe roz�o�y� na zespolone u�amki proste�
a�z�
�z � ��z ���z ��� b�
z
�z� � ��� c�
�i
z� �� d�
z� �z
�z� �z ����
� Zadanie �����
Podane rzeczywiste funkcje wymierne w�a�ciwe roz�o�y� na rzeczywiste u�amkiproste�
a��
�x� ��x� ���x� ���x� ��� b�
x�
x� � �
c��x
�x � �x� ��� d�
x� �x
�x� �x ����
��