Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia...

25

Transcript of Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia...

Page 1: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

Lista ��

� Zadanie ���

Zaznaczy� na prostej zbiory tych punkt�w x� kt�re spe�niaj� poni�sze warunki�

a� jx�j�� b� jx j�� c� jx��j � �� d� jx �j � �

e� jx��j � �� f� j�x j � �� g� j�x �j � �� h� j���xj � �

� Zadanie ���

Korzystaj�c z geometrycznej interpretacji warto�ci bezwzgl�dnej� rozwi�za� nie�r�wno�ci�

a� jx��j � �� b� j�x �j � �� c� jx��j � jx �j� d� jx�j � jx �j�

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� jx��j jxj j�x��j� b� jx�j��jxj x ��� c� �jx�j�j�x�j �

d�

jxj � �� e� x �jxj � � f�jxj

jx��j � �

� Zadanie ���

Napisa� wz�r funkcji liniowej� kt�rej wykres�

�a� przechodzi przez punkty A��� �� B������b� przechodzi przez punkt A�� �� i tworzy z osi� Ox k�t �����c� przechodzi przez punkt A�� �� i tworzy z osi� Oy k�t ����

� Zadanie ���

Narysowa� wykresy funkcji�

a� f�x� ���x� b� f�x� j���xj� c� f�x� ���jxj�d� f�x� jx��j jx �j� e� f�x� �� �jx��j� f� f�x� jj�x j � �j�g� f�x�

px� �x �� h� f�x� �x�px���x �� i� f�x� jx��j�px���x ��

� Zadanie ���

Sprowadzi� nast�puj�ce wyra�enia do prostszej postaci� zak�adaj�c� �e x� y przyj�muj� warto�ci� dla kt�rych dane wyra�enie jest okre�lone�

a�x�y

�px� �

py� b�

�x�px � c�

x��px��

� Zadanie ���

Wykona� dzia�ania�

a��x

x��x�

�x

x �x�� ���x

���x��� b�

��p x

p�x

��

��p

�x�

��

� Zadanie ��

Znale�� ten wyraz rozwini�cia dwumianu

��px

x

���

� w kt�rym nie wyst�puje x�

Page 2: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ��

Znale�� wyrazy rozwini�cia dwumianu�

�p�

�p����

� kt�re s� liczbami natural�

nymi�

� Zadanie ����

Wykorzystuj�c wz�r Newtona obliczy��

a�

�n

�n

�n

� � � �

�n

n�

�n

n

��

b�

�n

��n

�n

��n��

�n

��n�� � � �

�n

n�

��

�n

n

��

c�

�n

���n

�n

��� � �

�n

n�

� ���n

�n

n

��

d�

�n

��n�

�n

��n��

�n

��n���� � � ���n��

�n

n�

�� ���n

�n

n

��

� Zadanie ����

Znale�� tr�jmian kwadratowy y ax� bx c � wiedz�c� �e do jego wykresu nale�ypunkt A��� �� i �e dla x przyjmuje on warto�� maksymaln� r�wn� ��

� Zadanie ����

Dla jakiej warto�ci parametru m ka�de z r�wna���i� mx���x m � ��ii� ��m �x����m��x m� � ��iii� x� mx�m��m�� �ma�a� tylko jedno rozwi�zanie�b� dwa rozwi�zania r��nych znak�w�c� dwa rozwi�zania dodatnie�d� dwa rozwi�zania� kt�re s� sinusem i kosinusem tego samego k�ta�

� Zadanie ����

Okre�li� ilo�� rozwi�za� r�wnania w zale�no�ci od parametru m�

a� jx��x��j m� b� j�x��j �x�m �� c� jx� �x��jm �

Lista ��

� Zadanie ���

a� Wyznaczy� wsp��czynniki a i b wielomianu W �x� x���x� x� ax b

tak� aby przy dzieleniu go przez wielomian Q�x� x���x � reszta by�ar�wna� �� � x�

b� Nie wykonuj�c dzielenia� wyznaczy� reszt� z dzielenia��i� wielomianuW �x� �x������x��� �x � przez wielomian Q�x� x����ii� wielomianuW �x� �x�����x����x�� przez wielomian Q�x� x��x���

Page 3: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� x���� b� x���x� �x��� c� �x���x� ��

d� x���x� �� � �� e� x���x� �� � �� f� jx��j � �x� ��

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� x p�x ��� b�

p�x

px���

px� c�

x px��x

x�

d� x �

x� e�

px���p��x � � f� x �

px� x���

� Zadanie ���

Naszkicowa� wykresy funkcji�

a� f�x����x� b� f�x����jxj� c� f�x� j���xj� d� f�x����x���

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� x��

�� b� x�

p�

�� e� x�� � x��� f� x� � x���

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� ��x � �x�� �x��� b� �x �x�� � ��x �� c� �

q��p��x �

q�

p��x ��

d� ��x����x � �� e� � � �x��x�� � � f�

�x��

��x���

� Zadanie ���

Obliczy��

a� log�p�

�� b� log tg

�� c� log� � � log� � � � � � � log��� ��� d� �� log

p���

� Zadanie ��

Nie korzystaj�c z tablic logarytm�w� uporz�dkowa� wed�ug wielko�ci podane liczby�

log� �� log� �� log� ��

� Zadanie ��

Sporz�dzi� wykresy funkcji�

a� f�x� log �x� ��� b� f�x� �� log �x� ��� c� f�x� j log �x� ��� �j�

� Zadanie ����

Rozwi�za� r�wnania i nier�wno�ci�

a� logpx�� log

p�x � log��� b� log� �log� x� log� �log� x� ��

c� log�

jx�j � �� d� log �

�log� �x����� � ��

Page 4: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

Lista ��

� Zadanie ���

Wyznaczy� okres podstawowy funkcji�f�x� sin x

�� f�x� sin x

�� f�x� cos �x

�� f�x� tg x

�� f�x� sin�x� f�x�

ctg x��

� Zadanie ���

Narysowa� wykresy i okre�li� zbi�r warto�ci funkcji�

a� f�x� cos �x �

��� b� f�x� sin �x� c� f�x� � sin

x

���

d� f�x�sin jxj� e� f�x� j sinx cos xj� f� f�x� j sinxj j cosxj�g� f�x�sinx�j sinxj�

� Zadanie ���

Obliczy� bez u�ycia tablic�

a� sin �� cos �� sin �� cos ��� b� �sin �� sin �����cos ����cos ����

� Zadanie ���

Udowodni� to�samo�ci�a� sin �x�tg xcos�x tgx� b� � sin� x sin� �x� sin� x�

c�cosx ctg x

ctg x sinx� d�

tg x tg �xcos �x�

� Zadanie ���

Rozwi�za� r�wnania�

a� � cos��x�� cos�x� �� b� ctg��x�ctg�x�� c� �p� sin��x�cosx�

d� sin�x� p� cos�x�

p�� e� sin�x�

p� cos�x��� f�

p� sin�x��cos�x���

� Zadanie ���

Rozwi�za� nier�wno�ci�

a�p� tg x� � �� b� j cosx� �

�j � � c� sinx�p� cosx � �

d� j sinxj �p�

�� e� � tg� x

�� �� f� sinxj sinxj �

��

� Zadanie ���

Obliczy��

a� arcsin

��

�� b� arcsin

p�

�� c� arccos

��p�

�� d� arccos sin

��

��

e� arc tg� p�� f� arc tg�

p�� g� sin�arcsin �� h� sin�arccos ��

i� sin�arccos ��� j� arcsin�sin

�� k� arccos

�sin

��

�� l� arc tg

�ctg

��

Page 5: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ��

Okre�li� dziedziny naturalne i zbiory warto�ci podanych funkcji�

a� f�x� psinx� b� g�x�

cosx� c� h�x�

p cosx�

d� f�x� x� �

x� � e� q�x� �log� � jxj��� f� q�x� �log�� � x��

���

Lista ��

� Zadanie ���

Uzasadni�� �e��i� �rodki bok�w dowolnego czworok�ta s� wierzcho�kami r�wnolegoboku��ii� ze �rodkowych tr�jk�ta mo�na utworzy� tr�jk�t�

� Zadanie ���

Sprawdzi�� �e punkty A������B�������C������D���� s� wierzcho�kami r�wnole�g�oboku� Znale�� wsp��rz�dne punktu przeci�cia przek�tnych�

� Zadanie ���

Wektory ��a ���b ���c o d�ugo�ci spe�niaj� warunek ��a ��b ��c

��� � Obliczy�

��a � ��b ��b � ��c ��a � ��c �

� Zadanie ���

Wektory��a ���b tworz� k�t ��� oraz j��b j j���a j� Dla jakiej sta�ej c wektory ��a c

��b

oraz ��a � ��b s prostopad�e�

� Zadanie ���

Wektory ��a ���b s� prostopad�e i maj� d�ugo�� � Znale�� k�t mi�dzy wektorami��u ���a �

��b i��w ���a �

��b �

� Zadanie ���

Znale�� k�t mi�dzy wektorami�

�i���a ������ oraz��b ��� ��

�ii���a ���� �� oraz ��b �� ��

�iii���c ���a ��b oraz

��d �������a ����

��b � gdzie ��a ���� ��� ��b ��� ��

� Zadanie ���

Dane s� wektory ��a �� �� oraz��b ���� ��Znale�� wektor ��u prostopad�y do

��a i taki� �e��b � ��u ��

Page 6: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie� ��

Znale�� rzut prostopad�y �

�i� wektora ��a ��� �� na wektor��b ��� ���

�ii�wektora��b na wektor ��a �

� Zadanie ��

Obliczy� pole r�wnoleg�oboku wyznaczonego przez wektory ��a �p�� ��

��b

��p�� ��

� Zadanie� ����

Uzasadni�� �e r�wnanie prostej prostopad�ej do wektora �A �B�� gdzie A� B� � �ma posta� Ax By c ��

� Zadanie� ����

Napisa� r�wnanie symetralnej odcinka AB� gdzie A����� B�����oraz prostopad�ej do tej symetralnej przechodz�cej przez punkt M�����

� Zadanie� ����

Dla jakich warto�ci parametru a proste ��a ��x �� �a�y � � i ��a� ��x �a ��y � � � s�i� r�wnoleg�e��ii� prostopad�e�

� Zadanie� ����

Wyznaczy� k�t midzy prostymi�x �y � � � oraz ��x �y � ��Napisa r�wnanie dwusiecznej k�ta mi�dzy prostymi�

� Zadanie ����

Obliczy� odleg�o�� punktu A������ od prostej �x� �y � ��

� Zadanie� ����

Wyznaczy� r�wnanie stycznej do okr�gu x���x y� �y � przechodz�cej przezpunkt M������

� Zadanie� ����

Okr�g o promieniu �p� jest styczny do prostych x � y � oraz x y �� Wy�

znaczy� wsp��rz�dne �rodka tego okr�gu� Ile rozwi�za� ma zadanie ��

Page 7: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie� ����

Okr�g przechodzi przez punkt M����� i jest styczny do obu osi uk�adu wsp��rz�d�nych� Znale�� r�wnanie okr�gu�

Lista ��

� Zadanie ���

Obliczy� d�ugo�ci podanych wektor�w�

a� �a ������ ��� b� �b �p

���p�� �p���

c� �c �� cos�� � sin�� h�� gdzie � � � oraz �� h � R�

d� �d �� cos� cos�� � sin� cos�� � sin��� gdzie � � � oraz �� � � R�

� Zadanie ���

Wektory �a� �b tworz� dwa s�siednie boki tr�jk�ta� Wyrazi� �rodkowe tego tr�jk�taprzez wektory �a� �b�

� Zadanie ���

Znale�� wersor �u� kt�ry�

a� le�y w p�aszczy�nie xOy i tworzy k�t z dodatni� cz��ci� osi Ox�

b� tworzy z dodatnimi cz��ciami osi Ox� Oy� Oz odpowiednio k�ty � � ��

c� tworzy jednakowe k�ty z wektorami �a ��� ������ �b ��� �� �� i jest po�o�onyw p�aszczy�nie wyznaczonej przez te wektory�

� Zadanie ���

Obliczy� iloczyny skalarne podanych par wektor�w�

a� �a ����� ��� �b ����� ���b� �u ��i � ��k� �v ��i ��j ��k�

c � �x �p ��q ��r� �y ��p ��q ��r� gdzie �p� �q� �r s� wersorami parami prostopad�ymi�

� Zadanie ���

Korzystaj�c z iloczynu skalarnego obliczy� miary podanych k�t�w�

a� mi�dzy wektorami �a ���� �� ��� �b ��� �����b� mi�dzy dwusiecznymi k�t�w utworzonych przez osie Ox� Oy oraz osie Oy� Oz

uk�adu Oxyz�

c� mi�dzy przek�tnymi r�wnoleg�o�cianu rozpi�tego na wektorach �u �� �� ����v ��� �� ��� �w ��� � ���

� Zadanie ���

Obliczy� d�ugo�� rzutu prostok�tnego wektora �a �p

��p���p�

�na wektor

�b ��p�� ��

p���

Page 8: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ���

Obliczy� iloczyny wektorowe podanych par wektor�w�

a� �a ���� �� ��� �b �� ������ b� �u ��i � ��k� �v �i �j � ��k�

c � �x ��p �q �r� �y �p ��q ��r� gdzie �p� �q� �r s� parami prostopad�ymiwersorami o orientacji zgodnej z orientacj� uk�adu wsp��rz�dnych�

� Zadanie ��

Obliczy� pola podanych powierzchni�

a� r�wnoleg�obok rozpi�ty na wektorach �a �� �� ��� �b ������ ���b� tr�jk�t o wierzcho�kach A ���� ��� B ��� ������ C ��� �� ��

c� czworo�cian rozpi�ty na wektorach �u� �v� �w�

� Zadanie ��

Tr�jk�tABC rozpi�ty jest na wektorach��AB �� ������

��AC ��� �� ���Obliczy�

wysoko�� tego tr�jk�ta opuszczon� z wierzcho�ka C�

� Zadanie ����

Obliczy� iloczyny mieszane podanych tr�jek wektor�w�

a� �a ���� �� �� �b ��� ����� �c ��� ������b� �u �i �j� �v ��i � ��j �k� �w ��i ��j � ��k�

� Zadanie ����

Obliczy� obj�to�ci podanych wielo�cian�w�

a� r�wnoleg�o�cian rozpi�ty na wektorach �a ��� �� �� �b ��� �� ��� �c ��� �����

b� czworo�cian o wierzcho�kach A �� � �� B �� �� ��� C ��� ����� D ��� �� ���

c � r�wnoleg�o�cian o przek�tnych �u� �v� �w�

Lista ��

� Zadanie ���

Sprawdzi�� czy

a� wektory �a ��� �������b ���� ���c ������ �� s� wsp��p�aszczyznowe�

b� punkty P ��� �� ��� Q ��� �� ��� R ��� ������ S ����� �� s� wsp���p�aszczyznowe�

� Zadanie ���

Napisa� r�wnania og�lne i parametryczne p�aszczyzn spe�niaj�cych podane wa�runki�

a� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ����� �� i jest prostopad�a do wek�tora �n ������ ���

Page 9: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

b� p�aszczyzna przechodzi przez punkty P� ��� �� ��� P� �� �� ��� P� ������ ���

c� p�aszczyzna przechodzi przez punkty P� ����� ��� P� ��� ���� oraz jestprostopad�a do p�aszczyzny xOz�

d� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ���� �� oraz jest r�wnoleg�a do

wektor�w �a �� � ��� �b ��� � ��

e� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ��� �� �� i jest r�wnoleg�a do p�aszczy�zny � � �x� y � ��

f� p�aszczyzna przechodzi przez punkt P ��� ���� i jest prostopad�a do p�asz�czyzn �� � x y �� �� � y � z ��

� Zadanie ���

Napisa� r�wnania parametryczne i kierunkowe prostych spe�niaj�cych podane wa�runki�

a� prosta przechodzi przez punkt P ���� �� �� i jest r�wnoleg�a do wektora�v ����� ���

b� prosta przechodzi przez punkty P� �� �� ��� P� ���� �� ���c� prosta przechodzi przez punkt P ������ �� i jest prostopad�a do p�aszczyzny

� � �x� y �z � � ��

d� prosta przechodzi punkt P ��� �� �� i jest prostopad�a o wektor�w �v� ��� ������ �v� ��� �� ���

e� prosta jest dwusieczn� k�ta ostrego utworzonego przez proste

l� �x �

y � �

� z

�� l� �

x �

y � �

�� z

��

f � prosta jest dwusieczn� k�ta ostrego utworzonego przez proste

l� �x�

y

� z � �

�� l� �

x �

y �

�� z ��

�� �

� Zadanie ���

Zbada�� czy

a� punkty A �� �� ��� B ������ �� nale�� do prostej

l �

x t�

y � �t�z �� t�

gdzie t � R�

b� prosta m �

��x y � z � �x� �y z � � �

jest zawarta w p�aszczy�nie

� � �y � �z � ��

c� punkty A ��� � ��� B �� �� �� nale�� do p�aszczyzny

� �

x � s t�

y � �s � t�

z �� s �t�gdzie s� t � R�

Page 10: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

d� proste l� �x

�� y � �

z �

�� � l� �x

y �

z � �

�maj� punkt

wsp�lny�

e� prosta l �

x t�

y �t�z � �t�

gdzie t � R� jest r�wnoleg�a do p�aszczyzny

� � x y � z � ��

� Zadanie ���

Znale�� punkty przeci�cia�

a� prostych l� �

�x �y � z � ��

y z � � ��l� �

��x� y � �z � ��x �y �z � � ��

b� prostej l �x�

y �

z � �

� i p�aszczyzny

� �

x s t�

y s �t�z � �s �t�

gdzie s� t � R�

c� p�aszczyzn �� � �x y z �� �� � x �z � �� �� � �y �z ��

� Zadanie ���

Zbada�� czy punkty P ����� �� i Q ���� �� �� le�� po tej samej stroniepodanych p�aszczyzn�

a� � � �x �z � � �� b� � � x� �y �z � ��

� Zadanie ���

Obliczy� odleg�o���

a� punktu P ����� �� od p�aszczyzny � � x y � �z � ��

b� p�aszczyzn r�wnoleg�ych �� � �x y � �z �� �� � �x y � �z � � ��

c� p�aszczyzn �� � x� �y �z � �� �� � �x� �y �z � � ��

d� punktu P ��� ��� od prostej l �x

y

� z

��

e� prostych r�wnoleg�ych l� �x�

y

z

� � l� �x

�� y �

�� z � �

��

f� prostych sko�nych l� �

�x ��y ��

l� �

�x �z �

g� prostych l� �x� �

y � �

�� z

� l� �

x

�� y �

z � �

��

h� prostej l �

x � t�

y �� �t�z �� t�

gdzie t � R� od p�aszczyzny � � �x y �z ��

Page 11: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

Lista ��

Zadania

� Zadanie ���

Obliczy� miar� k�ta mi�dzy�

a� prost� l �x� �

y �

z �

�� i p�aszczyzn� � � x� z ��

b� p�aszczyznami �� � x� �y �z � � �� �� � �x y � z � ��

c� prostymi l� �

x � t�

y �� t�

z �t�gdzie t � R� l� �

x �� �t�y �� t�

z �t�gdzie t � R�

� Zadanie ���

Znale�� rzut prostok�tny�

a� punktu P ���� �� �� na p�aszczyzn� � � x y z ��

b� punktu P ��� �� �� na prost� l � x y z�

c� prostej l �x� �

y � �

z

�na p�aszczyzn� � � x �y � �z � � ��

� Zadanie ���

Znale�� punkt symetryczny do punktu P ��� ���� wzgl�dem�

a� punktu S ���� ���b� prostej l �

�x y ��y z ��

c� p�aszczyzny � � �x� y z � � ��

� Zadanie ���

Znale�� rzut uko�ny w kierunku wektora �v ��� �����a� punktu O ��� �� �� na p�aszczyzn� � � x� �z � ��

b� prostej l � x� y z � � na p�aszczyzn� � � x� y z � ��

� Zadanie ���

Obliczy� obj�to�ci i pola powierzchni bry� ograniczonych podanymi p�aszczyznami�

a� x � y �� z �� x y z ��

b� x� y � x� y �� x �z �� x �z �� z �� z ��

� Zadanie ���

Obliczy� pole tr�jk�ta utworzonego przez proste�

l� �

x �� �t�y ��z �t�

l� �

x ��y � �s�z ��s�

l� �

x ��p�y �� �p�z ��

gdzie t� s� p � R�

��

Page 12: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie� ���

Niech A ���� ��� B ��� �� ��� Na prostej l �x�

y � �

z � �

�znale��

punkt C taki� �e pole tr�jk�ta ABC b�dzie najmniejsze�

� Zadanie ��

Trzy stacje radiolokacyjne S�� S�� S� umieszczone s� w wierzcho�kach tr�jk�taprostok�tnego o przyprostok�tnych l� ��� km� l� ��� km �rysunek�� Pomiaryodleg�o�ci rakiety R od tych stacji da�y nast�puj�ce wyniki d� ��� km� d� ��� km� d� ��� km� Obliczy�� na jakiej wysoko�ci h lecia�a rakieta�

��

����

��������������

eeeeee

r

r

rr

r

r

x

S�

l�S�

d�d�

h

Rz

d�

l� S� y

� Zadanie ��

W wierzcho�kach sze�cianu o kraw�dzi a � umieszczone s� punkty materialne omasach odpowiednio� m� � m� �� m� �� m� �� m �� m� �� m� ��m� � �rysunek��

a� Okre�li� po�o�enie �rodka masy tego uk�adu�

b� Obliczyc moment bezw�adno�ci podanego uk�adu mas wzgl�dem osi Oz�

c� Obliczy� moment bezw�adno�ci podanego uk�adu mas wzgl�dem osi ��cz�cejmasy m� i m��

����

O

��

���

�r r

rr

r r

rrm�

x

m�

m�

y

m�

m�m�

m�

m�

z

aC

d� Obliczy� si�� przyci�gania grawitacyjnego masy m� przez uk�ad pozosta�ychsiedmiu mas�

� Zadanie ����

Nad Wroc�awiem przebiegaj� dwa prostoliniowe korytarze powietrzne dla samolo�t�w� Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysoko�ci h� ���m ze wschodu na

��

Page 13: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

zach�d� Natomiast drugi przebiega z po�udniowego�wschodu na p��nocny�zach�di wznosi si� pod k�tem �� Samoloty poruszaj�ce si� tym korytarzem prze�latuj� nad Wroc�awiem na wysoko�ci h� ����m� Obliczy� najmniejsz� mo�liw�odleg�o�� mi�dzy samolotami lec�cymi tymi korytarzami�

Lista �

� Zadanie ��

a� Zaproponowa� opis� w formie macierzy z�o�onej z liczb ca�kowitych� po�o�enia!gur w grze w szachy� W jaki spos�b mo�na by sprawdzi�� czy dana macierzodzwierciedla pozycj� mo�liw� do uzyskania w czasie gry�

b� Zaproponowa� zapis� w postaci jednej macierzy� odleg�o�ci drogowych i kolejo�wych w km mi�dzy stolicami wszystkich wojew�dztw w Polsce�

� Zadanie ��

Obliczy��

a� �

� �� �

�� �� ��

�� b�

�� � � �

�� �

�� � �� �

�� �

c�

� �� ��

���� � �� �� � ��� �

��� d�

cos � sinsin cos

� cos � sin sin cos

��

e�

������

�� �� �

������ �

� �� � �

�� f�

� � � � �

� �������

����

������ �

� Zadanie ��

Uk�adaj�c odpowiednie uk�ady r�wna� rozwi�za� podane r�wnania macierzowe iuk�ad r�wna� macierzowych�

a� X

� �� � �

�X �

� � �� � �

��� b�

�� �

� � � �

�TX

� � �

��

c�

��

�X

� ��

�� d�

� �

�X X

� �� �

��

e� X�

� �

�� f� X�

� �� �

�� g� X XT

�� ����

��

Page 14: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

h�

�������������

X Y

�� � � �� � �� � �

�� �

X � Y

�� � � �� � �� � �

�� �

i�

�����

X

� �

�Y

��

��

�X Y

��

� Zadanie ��

Obliczy� kilka pocz�tkowych pot�g macierzy A� nast�pnie wysun�� hipotez� o po�staci macierzy An� gdzie n �N i uzasadni� j� za pomoc� indukcji matematycznej�je�eli�

a� A

�� b� A

� �� ��

��

c� A

cos sin

� sin cos

�� gdzie � R� d� A

chx shxshx chx

�� gdzie x � R�

e� A

�� � �

� � � �

��� f � A

�� a �

� a � � a

��� gdzie a � R�

g � A �aij �� gdzie aij � dla i � j� i� j � �� � � � � k�

� Zadanie ��

Korzystaj�c z w�asno�ci dzia�a� z macierzami oraz w�asno�ci operacji transpono�wania macierzy uzasadni� podane to�samo�ci�

a� �ABC�T CTBTAT � gdzie A�B�C s� macierzami o wymiarach odpowiednionm� m k� k l�

b� �AB�� A� �AB B�� gdzie A i B s� przemiennymi macierzami kwadra�towymi tych samych stopni�Uwaga�M�wimy� �e macierze A i B s� przemienne� gdy spe�niaj� warunek AB � BA�

c � �A I�n

�n

�An

�n

�An��

�n

�An�� � � �

�n

n�

�A

�n

n

�I�

gdzie A i I s� macierzami kwadratowymi tych samych stopni� przy czym I jestmacierz� jednostkow��

� Zadanie ��

Obliczy� podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia�

a�

���� �� �� ��

���� � b�

���� sin cossin cos

���� � c�

������ � � � �

������ d�

������� i i

�i �� i �

������ �� Zadanie ��

Stosuj�c rozwini�cie Laplace"a obliczy� podane wyznaczniki� Wyznaczniki rozwi�n�� wzgl�dem wiersza lub kolumny z najwi�ksz� liczb� zer�

��

Page 15: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

a�

�������� �� � �

�� �� �� �� � �� � � �

������� � b�

����������

� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

����������� c�

����������

� � � � �� � �

�� � � � ��� �� � � � � � �

�����������

� Zadanie �

Niech ai� bi� ci � R� gdzie � i � �� Uzasadni� r�wno���������b� c� c� a� a� b�b� c� c� a� a� b�b� c� c� a� a� b�

������ �

������a� b� c�a� b� c�a� b� c�

������ �

Lista �

� Zadanie ��

Obliczy� podane wyznaczniki wykorzystuj�c wyst�puj�ce w nich regularno�ci�

a�

�������� � � �� � � � � � �� � � �

��������� b�

����������

� � � � � � � � � � � � � � � �

����������� c�

������������

� � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � �

�������������

� Zadanie� ��

Obliczy� podane wyznaczniki stopnia n � � wykorzystuj�c wyst�puj�ce w nichregularno�ci�

a�

�����������

� � � � � � � � � � � � ����

���� � �

������

� � � � � � � � �

������������ b�

�����������

� � � � � n

� � � � � � n

� � � � � � n���

������

� � ����

n n n � � � n

������������ c �

�����������

� � � � �� � � � �n��

� �� � � � �n�����

������

� � ����

n n� � � � nn��

������������

� Zadanie ��

Stosuj�c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczni�k�w �powoduj�ce obni�enie ich stopni� obliczy��

a�

������ � �� � �

�� � �

������� b�

������� � �� � ��

�� � �

������� c�

��������� � � � �� � �� � � �

���������

d�

�������� � �� � �

� � �� � � �

��������� e�

����������

� � � �� � � ��

� �� � � ���� �� � � � �� � �

����������� f�

����������

� � � � �� � �

�� � � � ��� �� � � � � �

�����������

��

Page 16: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ��

Korzystaj�c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale�� macierze odwrotnedo podanych�

a�

� ��� �

�� b�

cos � sinsin cos

�� gdzie � R� c�

�� � � �

� � � � �

�� �

� Zadanie ��

Korzystaj�c z metody bezwyznacznikowej wyznaczy� macierze odwrotne do po�danych�

a�

�� � �

� ��� ��

��� b�

����

� � � � � � � �

���� � c�

����

� � �� � � � � �� ��

���� �

� Zadanie ��

Rozwi�za� podane r�wnania macierzowe�

a� X � �

� ���

�� �� �

�� b�

� �

��X �

� �

� �� �

��

c�

� � �� ��

� � �X

���

�� �

�� d� � �X

��

� �� �

��X�

� Zadanie ��

Jakie s� mo�liwe warto�ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n� je�eli�

a� A� �A��� b� A� �A �� c� AT �A���

� Zadanie� �

Wyprowadzi� wzory na podane wyznaczniki stopnia n�

a�

�����������

a b b � � � b

b a b � � � b

b b a � � � b���

������

� � ����

b b b � � � a

������������ b�

�����������

b a a � � � a

�a b a � � � a

�a �a b � � � a���

������

� � ����

�a �a �a � � � b

������������

c�

�����������

n n� � � � � �� n � � � � �� � � � � � ����

������

� � ����

���n n� n� � � � � �

������������ d�

���������

a� � b a� � � � ana� a� � b � � � an���

���� � �

���a� a� � � � an � b

����������

e�

�����������

a� a� � � � an a� b� a� � � � an a� a� b� � � � an���

������

� � ����

a� a� � � � an bn

������������ f�

�����������

a� a� � � � an�� ana� a� � � � an�� an���

���� � �

������

an�� an�� � � � an�� anan an � � � an an

������������

��

Page 17: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie �

Dla jakich warto�ci parametru p � R podane uk�ady r�wna� s� uk�adamiCramera�

a�

��p �x � py

�x �p � �y �p� b�

�px �y � pz ��x y pz

�� �p�x �y pz ��

c�

px �y pz ��px �z �

x �y pz p

� d�

�����

x � y � z � t px

�x y � z � t py

�x � y z � t pz

�x � y � z t pt

� Zadanie ���

Korzystaj�c ze wzoru Cramera znale�� rozwi�zania podanych uk�ad�w r�wna��

a�

��x � �y ��x y �

� b�

x �y �z �x �y z ��x y �z �

� c�

x �y �z ��x �y � z �x � y z �

� Zadanie ���

Stosuj�c wz�r Cramera obliczy� niewiadom� y z podanych uk�ad�w r�wna��

a�

�����

�x �y �z �t ��y z �

x �y z �x �y �z �

� b�

�����

x �y �z �t �x y �z �t �x �y z �t �x �y �z t

c� x �y � � �y �z � � �z �s �s �t x y z s t� � ��

Lista ���

� Zadanie ����

Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� stosuj�c metod� macierzy odwrotnej�

a�

��x � y ��x y �

� b�

x y z ��x �y z ��x �y z

c�

x y z ��x � �y �z ���x �y � z �

� d�

�����

y z t �x z t �x y t �x y z ��

� Zadanie ����

Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� metod� eliminacji Gaussa�

��

Page 18: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

a�

��x �y �x y �

� b�

x y x �y � �z ��

�x �y z �

c�

�x y z �x �z ��

�y �z �� d�

�x �y �z �x �y �z ��x �y �z �

e�

�����

x y z t �x �y z t ��x �y �z �t ��x �y �z �t �

� f�

���������

x � �y �s t �x � �y z �s �t �x � �y z �s � t

y �s �t �x � �y �s �t �

� Zadanie ����

Stosuj�c #metod� kolumn jednostkowych$ rozwi�za� podane uk�ady Cramera�

a�

�x �y � �z ��x y �z �x �y �z �

� b�

�����

x � �y z � t ���x � y � z t x y �z � t �x y � z t �

c�

���������

�x y z t �y z �

�x y z s �y z s t �

x z t �

� d�

���������

�x �y �z � t ��x y z �s �t ��x � z s t �

y �s t �x y z � �s �t �

� Zadanie ����

Stosuj�c metod� eliminacji Gaussa rozwi�za� podane uk�ady r�wna��

a�

�����

x � �y z �x y z

�x � �y �z ��x � �y �z �

� b�

x �y z t ��x � y � z �t ��x �y �z �t

c�

�����

x �y �z t �x �y � z �t ��x �y �z �t �x y z t �

� d�

x � y z � �s t ��x �y � z s �t x � �y �z � �s t �

� Zadanie ����

Rozwi�za� podane uk�ady r�wna� #metod� kolumn jednostkowych$�

��

Page 19: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

a�

�����

�x �y z � t ��x � y z �t ���x �y z � �t �x � y z �t �

� b�

�����

�x �y z � �s � t ��x �y �z � �s t ��x �y �z � �s � �t �x �y z � �s � �t �

c�

�������������

�x y � �t �x �y �z � t �x � y � �t ��

�x y z � �t ���x � �y z �t ���x y � �z � �t ��

� d�

�������������

x � �y z � �s t ���x � �y � �s t ��

�z t ���x �y �z �s ���x �y �z �s t ��x �y z �s �

� Zadanie ����

Dla jakich warto�ci parametru p podane uk�ady r�wna� maj� dok�adnie jednorozwi�zanie� okre�li� liczby rozwi�za� tych uk�ad�w w pozosta�ych przypadkach�

a�

x py � z x �y � �z p

�x � y pz �� b�

x �y � �z �p�x �y � pz �px �py z p

� Zadanie ����

Wykonanie pewnego pojemnika wymaga czterech czynno�ci� narysowania formy�wyci�cia� z�o�enia modelu i jego pomalowania� Liczby poszczeg�lnych czynno�ci wkolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje tabela�

rysowanie wycinanie sk�adanie malowanie

poniedzia�ek �� �� � �wtorek �� � � ��roda �� �� �� ��czwartek �� �� �� ��

Obliczy� czas wykonywania poszczeg�lnych czynno�ci� je�eli w kolejnych dniach��czny czas pracy wynosi� odpowiednio � h � min� � h � min� � h �� min� � h�� min�

Lista ���

� Zadanie ����

Wykona� podane dzia�ania�

a� �� �i� ��� �i�� b��

p�i� � �p

�� �i��

c��p

��p�i� � �p�

p�i�� d�

� �i

i�

e� z �w� z�

w�z � w

z w�

Re z i Imw

z wdla z �� �i� w � �i�

� Zadanie ����

Znale�� liczby rzeczywiste x� y spe�niaj�ce podane r�wnania�

Page 20: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

a� x�� �i� y�� � �i� �� �i� b� �� yi� � �x � �i� �� i�

c� yi

x� �i �i� � d�

x yi

x� yi

�� �i

� �i�

� Zadanie ����

W zbiorze liczb zespolonych rozwi�za� podane r�wnania�

a� z� �z� b� i

z

�� �i

z� c� z� � �z � ��

d� �z ��� �z ���� e� �z z �� �i� f � z� � �iz� � �z �i ��

g� � i�z ��z�i� �� h�� i

z � �i

� i

�z i�

� Zadanie ����

Zbada�� dla jakich warto�ci parametr�w a� b � R r�wnanie z � i Imz a bi marozwi�zanie�

� Zadanie ����

Na p�aszczy�nie zespolonej narysowa� zbiory liczb z spe�niaj�cych podane wa�runki�

a� Re �iz �� � �� b� Imz� � �� c� z � i z � �

d��

z z� e� zz �� i�z ��� i�z �� f� Im

iz

� iz �

� Zadanie ����

Niech u z �

z � �i� v

z

iz �� gdzie z � C� Naszkicowa� zbi�r wszystkich liczb

zespolonych z� dla kt�rych�

a� liczba u jest rzeczywista� b� liczba u jest czysto urojona�

c� liczba v jest rzeczywista� d� liczba v jest czysto urojona�

� Zadanie ����

Punkty z�� z�� z� p�aszczyzny zespolonej s� wierzcho�kami tr�jk�ta� Wyznaczy�po�o�enie punktu przeci�cia �rodkowych tego tr�jk�ta�

Wskaz�wka� Wykorzysta� fakt� �e rodkowe tr�jk�ta przecinaj� si w jednym punkcie i

dziel� si w stosunku � � licz�c od wierzcho�ka�

� Zadanie� ���

Uzasadni�� �e pole tr�jk�ta� kt�rego jeden wierzcho�ek jest w pocz�tku uk�adu� a

pozosta�e dwa s� w punktach z�� z� � C� wyra�a si� wzorem

�j Im �z� � z��j �

� Zadanie ���

Obliczy� modu�y podanych liczb zespolonych�

a� �p�i� b� �� �i� c� �p� �

p�i� d� i tg� �

������

�� e�

�i

�� �i�

Page 21: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie �����

Poda� interpretacj� geometryczn� modu�u r��nicy liczb zespolonych� Korzystaj�cz tej interpretacji narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane wa�runki�

a� jz � � �ij � b�

����z � �i

z

���� � c� � � jiz � �j � ��

d� jz � �ij � � oraz jz � �j � �� e�

���� z i

z�

���� � � f� sin ��jz �ij� � ��

g � �jz ij � ��z� �� � �jz � ij�

� Zadanie �����

Korzystaj�c z interpretacji geometrycznej modu�u liczby zespolonej obliczy�� dlajakich liczb zespolonych z spe�niaj�cych warunek jzj � wyra�enie j�i � � � zjjest najmniejsze� najwi�ksze�

Lista ��

Zadania

� Zadanie ����

Podane liczby zespolone zapisa� w postaci trygonometrycznej�

a� � �i� b�p�� i� c� �� �

p�i�

d� sin i cos� e� � cos i sin� f� i tg�

Uwaga� W �wiczeniach d�� e�� f� k�t spe�nia nier�wno�ci � � ��

��

� Zadanie ����

Narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane warunki�

a� arg z ��

�� b�

�� arg �z �i� �

�� c� � � arg �iz� � ���

d� arg�z�� �� e�

�� arg ��z� � �

�� f � arg �z � � �i�

��

��

� Zadanie ����

Obliczy� warto�ci podanych wyra�e� �wynik poda� w postaci algebraicznej��

a� �� i���� b��

p�i��� c�

��p�� �i

����

d��cos

�� i sin

���� e�

� i����� i

p��� � f�

�sin

� i cos

����

� Zadanie ����

Korzystaj�c ze wzoru de Moivre"a wyrazi��

a� sin �x przez funkcj� sinx� b� cos �x przez funkcje sinx i cosx�

c � tg �x przez funkcj� tgx� d � ctg �x przez funkcj� ctgx�

��

Page 22: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ����

Narysowa� zbiory liczb zespolonych z spe�niaj�cych podane warunki�

a� Im�z��� �� b� Re

�z�� � �� c� Im

�z�� � Re

h�z�

�i� d� Im

� i�z

�� i�z� ��

� Zadanie� ����

Wykorzystuj�c wz�r na sum� wyraz�w zespolonego ci�gu geometrycznego obliczy��

a� sinx sin �x � � � sinnx� b� cos x cos �x � � � cos nx�

c�

� cos x cos �x � � � cosnx� d� sinx sin �x � � � sin��n� �x�

e� �� i� �� i�� � � � �� i�n�

f�

�n

���n

�n

�� � � � ���n

�n

�m

�� m E

�n�

�� gdzie n � N�

� Zadanie ����

Stosuj�c posta� wyk�adnicz� liczby zespolonej rozwi�za� podane r�wnania�

a� z� z� b� �z�� z���z���� c� �z��

��z��� �

z��

d� jzj� iz�� e� z� �z��� f���z��� z��

� Zadanie ���

Stosuj�c wzory Eulera wyrazi� podane funkcje w postaci sum sinus�w i cosinus�wwielokrotno�ci k�ta x�

a� sin� x� b� cos� x� c� sin x� d� sin� x cos� x�

Lista ��

Zadania

� Zadanie ����

Korzystaj�c z de!nicji obliczy� podane pierwiastki�

a�p�� �i� b�

p� ��i� c� �pi� d� �

p��

� Zadanie ����

Obliczy� i narysowa� na p�aszczy�nie zespolonej podane pierwiastki�

a�p� p

�i� b� �p���i� c� �

p��� d� �p����

e� �p��i� f� �

p� i� g � �pi� h � �

p� �i�

� Zadanie ����

Odgaduj�c jeden z element�w podanych pierwiastk�w obliczy� ich pozosta�e ele�menty�

a�p

��� �i��� b� �

p��� �i��� c� �

p��� i��� d� �

p��� �i��

��

Page 23: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ����

Jednym z wierzcho�k�w kwadratu jest punkt z� � � i� Wyznaczy� pozosta�ewierzcho�ki tego kwadratu� je�eli jego �rodkiem jest�

a� pocz�tek uk�adu wsp��rz�dnych� b� punkt u �

c� punkt u � i� d� punkt u � p�i�

� Zadanie ����

Znale�� rozwi�zania podanych r�wna��

a� z� �� i��� b� �z � �� �i � z��� c� z� �iz ���

� Zadanie ����

Punkty z� � �i� z� � �i s� przeciwleg�ymi wierzcho�kami kwadratu�Wyznaczy� po�o�enia pozosta�ych wierzcho�k�w tego kwadratu�

� Zadanie ����

Obliczy� iloczyny podanych par wielomian�w rzeczywistych lub zespolonych�

a� P �x� x� � �x� x� � Q�x� x� � x ��

b� W �z� z� �z� � iz �� V �z� � i�z � ��

� Zadanie ���

Obliczy� ilorazy oraz reszty z dziele� wielomian�w P przez wielomiany Q� je�eli�

a� P �x� �x� � �x� �x� � �x �� Q�x� x� � �x �

b� P �x� x�� � �� Q�x� x� ��

c� P �z� z � z� � Q�z� �z � i���

� Zadanie ���

Znale�� wszystkie pierwiastki ca�kowite podanych wielomian�w�

a� x� x� � �x� �� b� �x� � �x� �x� ��

c� x � �x� � �x� �x� � �x �� d� x� �x� � x� �x ���

� Zadanie �����

Znale�� wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomian�w�

a� x� � �

�x� � �

�x�

�� b� �x� �x� �x� � x� �

c� �x� x� � d� x �

�x� � x�

�x�

��

Lista ���

� Zadanie ����

Znale�� pierwiastki podanych r�wna� kwadratowych i dwukwadratowych�

a� z� � �z � �� b� z� � ��� �i�z ��� �i� ��

c� z� �z� � �� d� z� � �iz� � ��

��

Page 24: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ����

Znaj�c niekt�re pierwiastki podanych wielomian�w rzeczywistych� znale�� ich po�zosta�e pierwiastki�

a� W �x� x� � �p�x� �x� �

p�� x�

p� i�

b� W �x� x� � �x� �x� �x� ��� x� � �i�

c� W �x� x� � �x� �x� � ��x ��� x� � i�

d� W �x� x� � �x �x� � �x� �x� � �x �� x� i� x� �p�i�

e� W �x� x� � �x �x� � ��x� �x� � ��x �� x� � i� x� ��p�i�

� Zadanie ����

Nie wykonuj�c dziele� znale�� reszty z dziele� wielomian�w P przez wielomianyQ� je�eli�

a� P �x� x� � �x� �x� Q�x� x� � x� ��

b� P �x� x�� � �x�� x� p�x� Q�x� x� ��

c� P �x� x�� �x�� �� Q�x� x� �

d� P �x� x��� �x� � �x� � Q�x� x� � �

e� P �x� x x� �� Q�x� x� � �x ��

f� P �x� x� x� ��� Q�x� x� ��

� Zadanie� ����

Liczby zespolone z� z�� z� s� pierwiastkami wielomianu stopnia � o wsp��czynni�kach rzeczywistych� Wyznaczy� wszystkie mo�liwe warto�ci liczby z�

� Zadanie ����

Poda� przyk�ady wielomian�w zespolonych najni�szego stopnia� kt�re spe�niaj�podane warunki�

a� liczby �� ��i s� pierwiastkami pojedynczymi� a liczby ���� i s� pierwiast�kami podw�jnymi tego wielomianu�

b� liczba ��i jest pierwiastkiem podw�jnym� a liczby ���� pierwiastkami potr�j�nymi tego wielomianu�

� Zadanie ����

Poda� przyk�ady wielomian�w rzeczywistych najni�szego stopnia� kt�re spe�niaj�podane warunki�

a� liczby �����p� oraz � �i s� pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu�

b� liczba i jest pierwiastkiem pojedynczym� liczby �i oraz � s� pierwiastkamipodw�jnymi� a liczba �� �i jest pierwiastkiem potr�jnym tego wielomianu�

� Zadanie ����

Podane wielomiany zespolone przedstawi� w postaci iloczynu dwumian�w�

a� z� � �iz � �� b� z� �z� �� c� z� � �z � ��

��

Page 25: Lista - prac.im.pwr.wroc.plprac.im.pwr.wroc.pl/listyzad/wag.pdfZadanie Znale wyrazy rozwini cia dwumian u p ktre s liczbami natural n ymi Zadanie Wyk orzystujc wzr Newtona obliczy

� Zadanie ���

Podane funkcje wymierne �rzeczywiste lub zespolone� roz�o�y� na sumy wielomia�n�w oraz funkcji wymiernych w�a�ciwych�

a�z � �z� z

z� �z� � b�

x �

x �� c�

x� �x� �x� �x �

x� �x� �x ��

� Zadanie ���

Zaproponowa� rozk�ady podanych zespolonych funkcji wymiernych w�a�ciwych nazespolone u�amki proste �nie oblicza� nieznanych wsp��czynnik�w��

a�z� i

z� �z � �i��� b�

z� z �

�z ��z i�� �z � � i���� c�

iz �

�z� � ����

� Zadanie �����

Zaproponowa� rozk�ady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych w�a�ciwychna rzeczywiste u�amki proste �nie oblicza� nieznanych wsp��czynnik�w��

a�x� �x� �

x��x� ��x ���� b�

x� � �x� �

�x� �� �x� x ���� c�

x� x�

�x ��� �x� � �x ����

� Zadanie �����

Podane zespolone funkcje wymierne w�a�ciwe roz�o�y� na zespolone u�amki proste�

a�z�

�z � ��z ���z ��� b�

z

�z� � ��� c�

�i

z� �� d�

z� �z

�z� �z ����

� Zadanie �����

Podane rzeczywiste funkcje wymierne w�a�ciwe roz�o�y� na rzeczywiste u�amkiproste�

a��

�x� ��x� ���x� ���x� ��� b�

x�

x� � �

c��x

�x � �x� ��� d�

x� �x

�x� �x ����

��