Liniowy Model Liniowy Model Tendencji Rozwojowej Tendencji Rozwojowej Szeregów CzasowychSzeregów Czasowych

Autor:

Grzegorz Przydatek

2

Definicja szeregu czasowegoDefinicja szeregu czasowego

Szereg czasowy lub inaczej chronologiczny jest zbiorem wartości badanej cechy lub wartości określonego zjawiska zaobserwowanym w różnych momentach (przedziałach) czasu.

3

Przykładowy szereg czasowyPrzykładowy szereg czasowy

1994

1993

1992

13,612,312,39,89,59,39,49,910,912,712,312,9

13,513,011,59,89,18,78,99,310,712,812,213,4

13,212,312,09,79,09,09,09,611,012,512,213,4

13,312,111,29,39,09,09,210,611,312,812,914,01991

XIIXIXIXVIIIVIIVIVIVIIIIII Miesiące

Lata

4

Definicja modeli tendencji Definicja modeli tendencji rozwojowejrozwojowej

• Modele tendencji rozwojowej są bardziej zaawansowaną metodą analizy szeregów czasowych;

• Służą do prognozowania przyszłych wartości w szeregu czasowym;

• Wyjaśniają kształtowanie się badanego zjawiska w czasie;

• Są w istocie modelami regresji, w których występuje zmienna czasowa t.

5

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej• Łatwo można zbudować model tendencji

rozwojowej na podstawie szeregu czasowego {Yt; t=1,2,...,n}, gdy elementy Yt nie zawierają wahań okresowych

• Przy założeniu, że wahania przypadkowe nakładają się na trend zjawiska w sposób addytywny, model wyjaśniający wartości zmiennej Yt formułuje się następująco:

Yt=H(t)+εt (t=1,2,...,n)

6

Objaśnienia do wzoruObjaśnienia do wzoru

We wzorze na poprzednim slajdzie H(t)=E(Yt) jest tzw. funkcją trendu I rodzaju opisującą tendencję rozwojową badanego zjawiska, natomiast εt jest zmienną losową reprezentującą wahania przypadkowe.

7

Jeżeli funkcja trendu I rodzaju jest liniowa, a składniki losowe modelu mają także

właściwości jak w klasycznym modelu regresji liniowej, to odpowiedni model (bez

wahań okresowych) ma postać:

tsdlaE

D

E

nttY

tsts

t

t

tt

0,cov

,

,0

,,,2,1

22

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej

8

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej

Jeżeli w szeregu czasowym (Yt) występują wahania okresowe, to model

musi zawierać wtedy parametry i zmienne charakteryzujące te wahania w

poszczególnych podokresach cyklu.

9

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej

Zakładając, że funkcja trendu jest liniowa a wahania okresowe (kwartalne) nakładają się

na tendencję rozwojową w sposób addytywny, odpowiedni model można

sformułować następująco:

nt

XXXX tY tttttt

,,2,144332211

PRZEJŚCIE DO SLAJDU 11

10

Objaśnienia do wzoru Objaśnienia do wzoru

Xti (i=1,...,4) są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne podokresy

cyklu:

POWRÓT DO WZORU

0

1tiX

dla obserwacji dotyczących i-tego kwartału

dla obserwacji dotyczących pozostałych kwartałów

Parametry γi (i=1,...,4) stojące przy zmiennych zero-jedynkowych charakteryzują absolutną

wielkość wahań okresowych w poszczególnych okresach

11

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej

Założenia dotyczące składników losowych εt są takie, jak w modelu nie

uwzględniającym wahań okresowych, czyli:

tsdla

D

E

t

t

Yt

0

,

,022

sE t , ts cov

t t ,2 nt ,,,1

12

Modele tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej

Jeśli dodatkowo przyjmiemy założenie:

,0: Nt

to otrzymamy model tendencji rozwojowej równoważny klasycznemu modelowi

normalnej regresji linowej.

DZIĘKUJE ZA UWAGE