Libro Mat Fin 07

8/2/2019 Libro Mat Fin 07

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Matemticas Financieras

Dr. Daniel A. JaumeA una materia de Prof. Gonzalo Molina

Esta versin: 4 juni 2010


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ii


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ndice

1 Variacin proporcional 11.1 Variacin proporcional directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Series de fracciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Reparto simple directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Variacin proporcional inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Reparto simple inverso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Variacin proporcional conjunta o compuesta. . . . . . . . . . . . 91.4.1 Reparto compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Relaciones recursivas 152.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Relaciones recursivas lineales de primer orden a coecientes con-

stantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Caso I: g (k) = cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Caso g 6= cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Caso II: g (k) es un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Caso III: g (k) es una funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . 232.7 Caso IV: g (k) combinacin de un polinomio y una funcin expo-

nencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Ejercitacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Sistemas de capitalizacin simple 293.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Qu es el dinero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Funciones del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.3 Trueque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.4 Un esquema del surgimiento del dinero duciario . . . . . 31

3.2 Valor-tiempo del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Sistema de capitalizacin simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Equivalencia nanciera de dos series de capitales . . . . . . . . . 44

3.5.1 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.1 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . . . . . 563.7.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitaliacin sim-

ples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii


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NDICE v

7.9 Rentas aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.10 Mtodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.11 Rentas geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.12 Rentas variables en progresin geomtrica . . . . . . . . . . . . . 1937.13 Otros tipos de rentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8 Prstamos 2038.1 Prstamos a inters directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.2 Prstamos a inters sobre saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.3 Prstamo francs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.3.1 Usufructo y nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3.2 Perodo de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.3.3 CFT: costo nanciero total. Efecto de impuestos, gastos

y seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.3.4 Cancelacin anticipada total o parcial . . . . . . . . . . . 2348.3.5 Adelanto de cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2368.3.6 Mora y punitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.3.7 Inacin y su efecto sobre los prstamos . . . . . . . . . . 2458.3.8 Devaluacin y su efecto sobre los prstamos . . . . . . . . 245

8.4 Prstamo alemn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.5 Prstamo americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9 Proyectos de inversin 2579.1 VAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589.2 TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.3 Tasa de rentabilidad verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.4 PF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.5 Efecto de la inacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

10 Finanzas 27310.1 Obligaciones y bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2731 0 . 2 A c c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3


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vi NDICE


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Captulo 1

Variacin proporcional

1.1 Variacin proporcional directa.

Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es directamente propor-cional a la variable x si para alguna k 2 R

y = kx;

donde k es conocida como la constante de proporcionalidad (directa).Observemos que si duplicamos la variable x, se duplica el valor de la variable

y (similarmente, si la variable x reduce su valor a la mitad, lo propio ocurre conla variable y), por ejemplo si

y = 3xentonces

x 1 2 4 8y 3 6 12 24

es decirx0 ! x1 = 2x0;

kx0 = y0 ! y1 = kx1 = k (2x0) = 2kx0 = 2y0;y ambas cambian al mismo ritmo:

x1x0

=2x0x0

= 2 =2kx0kx0

=2y0y0

=y1y0

:

En general:x0 ! x1;

kx0 = y0 ! y1 = kx1;

x1x0

=kx1kx0

=y1y0

:

Esto no es otra cosa que la conocida regla de tres simples directa.

Ejercicio 1.1 Tres lineas de produccin producen 15500 paales descartablespor hora, si agregamos dos lineas de produccin adicionales. Cuantos paalesdescartables sern producidos en una hora.

1


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2 CAPTULO 1. VARIACIN PROPORCIONAL

Ejercicio 1.2 Cuatro personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $ 16

500. Cunto le corresponde a cada uno si una de las personas trabajo 14 das,otra 12 das, otra 10 das y la ltima trabajo 7 das?

Ejercicio 1.3 Si un automvil recorre 100 km con 6.5 litros de gasolina. Qudistancia recorrer con 25 litros (bajo las mismas condiciones de velocidad yresistencia al avance)?

Ejercicio 1.4 Un campamento militar con 300 hombres tiene provisiones para35 das. Si se quiere que las provisiones duren 12 das ms, cuntos hombreshabr que retirar del campamento?

Ejercicio 1.5 Un restaurant, de una ciudad turstica, necesita 5 personas paraservir 850 almuerzos (en promedio) durante cualquier da de la temporada baja.

Durante la temporada alta se estima que el nmero de almuerzos diarios a servirsube a 12500 (en promedio). Cuntas personas ms deber contratar?

Ejercicio 1.6 Bajo ciertas condiciones, la distancia de frenado (con las ruedastrabadas) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En un acci-dente un vehculo deja unas huellas de rayado (o patinaje) de 51 m. El conductordeclara que conduca a 55km=h. Se sabe que a 60 km=hora un auto de las car-actersticas del vehculo siniestrado deja unas huellas de rayado de 19 m delongitud. A qu velocidad se desplazaba auto antes de comenzar a frenar?

Ejercicio 1.7 Dadas unas condiciones de luz, el tiempo necesario para lograruna buena fotografa es directamente proporcional al cuadrado del nmero fde la lente de la camara (este nmero indica la dimensin de la abertura del

diafragma). Los valores habituales de difragma son: f =1:4, f =2, f =2:8, f =4,f =5:6, f =11, f =16 y f =22. En esta escala, cada abertura permite el paso de lamitad de luz que la anterior. Si con una aberturaf =11 y sol brillante se logra una

buena fotografa con1

125segundos de exposicin. Bajo las mismas condiciones

de luz, llenar el cuadro de tiempo de exposiciones para diferentes aberturas:

f =x segundosf =1:4f =2

f =2:8f =4

f =5:6

f =8f =11

1

125f =16f =22

1.2 Series de fracciones equivalentes.

Llamaremos serie de fracciones equivalentes una expresin de la forma

11

=23

= = nn

= ;


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Ejemplo 1.10 En general sia

b =

c

d ;

entonces las siguientes son equivalentes a las anteriores

a cb d =

a

b=

c

d=

ma + nc

mb + nc;

para cualesquiera valores dem yn. Adems podemos formar las siguientes frac-ciones equivalentes con razn de proporcionalidad diferente

a + c

a c =b + d

b d ;

entre otras.

Ejercicio 1.11 Hallar 5 fracciones equivalentes a las dadas, y generar 3 paresadicionales de fracciones equivalentes (con razones de proporcionalidad difer-entes)

2

7=

a

2 + b:

Estas relaciones simplican la resolucin de ciertas ecuaciones

Ejemplo 1.12 Resolver2

3 + x=

5

3 xPor la relacin (1.1) cualesquiera de estas fracciones es equivalente a la frac-cin que se obtiene al sumar numerador con numerador y denominador condenominador:

2

3 + x=

2 + 5

(3 + x) + (3 x) =7

6

Ahora es ms fcil despejar x

2

3 + x=

7

6

2 =7

6(3 + x)

12

7= 3 + x

127

3 = x

97

= x

Ejercicio 1.13 Resolver2 x2 + x

=x

1 xEjercicio 1.14 Resolver

1 + x

x=

x 2x + 4


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1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES. 5

Ejercicio 1.15 Resolver

1) ab + x

= cb x ; 3)

x + ax

= x + bx b ;

2)x

b + x=

a xc x ; 4)

x + a

x=

x

x b :

El reparto proporcional es la distribucin de una cantidad atendiendo aun criterio de proporcionalidad con respecto a una o varias series de nmeros.Este puede ser simple o compuesto, directo o inverso, dependiendo de la can-tidad de series de nmeros involucradas y su relacin de proporcionalidad conla cantidad a repartir. En lo que sigue supondremos siempre que el reparto sehace entre n agentes, por lo que las series de nmeros tendrn longitud n.

1.2.1 Reparto simple directo.

Es cuando la serie de datos es proporcional a la serie de incgnitas.

Datos1. Cantidad a repartir: Q.

2. Serie de nmeros con respecto a la cual se hace el reparto propor-cional: 1; 1; : : : ; n:

Incgnitas1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:

Relaciones:

1. Se debe repartir Q, i.e.:nX

i=1

xi = Q:

2. Las series de las s y de las xs deben ser directamente propor-cionales:

xi = i para i = 1; 2; : : : ; n

Sumando estas ecuaciones podemos expresar la constante de proporcionali-dad en funcin de la cantidad a repartir Q y la serie de los s

n

Xi=1 xi =n

Xi=1 iQ =

nXi=1

i;

de donde

=Q

1 + : : : + n:

Lo que nos permite escribir

x11

=x22

= : : : =xnn

=Q

1 + : : : + n


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Ejemplo 1.16 Un emprendimiento agrcola report unas ganancias netas de $

875 000. Esta cantidad debe ser repartida entre 5 socios, los cuales aportaron$ 15 000, $ 17 000, $ 38 000, $ 51 000 y $ 25 000 respectivamente. Cuntorecibe cada socio?

Solucin: Es claro que quien ms aport, ms debe recibir. Estamos en uncaso de reparto proporcional simple directo. Tenemos entonces que

Q = 875000

= x1 + x2 + x3 + x4 + x5;

x1 = 15000;

x2 = 17000;

x3 = 38000;

x4 = 51000;

x5 = 25000;

dondex1 + x2 + x3 + x4 + x5

15000 + 17000 + 38000 + 51000 + 25000=

875000

146000= :

Por lo tanto

x1 = 89897:26 $;

x2 = 101883:56 $;

x3 = 227739:73 $;

x4 = 305650:68 $;

x5 = 149828:77 $:

1.3 Variacin proporcional inversa.

Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es inversamente propor-cional a la variable x si para alguna k 2 R

yx = k;

donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad (inversa).Observe que si duplicamos la variable x el valor de la variable y debe reducirse

a la mitad

x0

!x1 = 2x0;

y0x0 = k ! y1x1 = k ) y1 = kx1

= k2x0

= 12

y0

y ambas variables cambian a ritmos recprocos

2 =2x0x0

=x1x0

=kx1kx0

=

k

x0k

x1

=

k

x0k

2x0

=y0y1

=1

y1y0

:

lo que implica quey1y0

=1

2


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1.3. VARIACIN PROPORCIONAL INVERSA. 7

En general:

x0 ! x1;y0x0 = k ! y1x1 = k;

x1x0

=kx1kx0

=

k

x0k

x1

=y0y1

=1

y1y0

:

Esto no es otra cosa que la conocida regla de tres simples inversa.

Ejemplo 1.17 Tres albailes levantan una pared en 4 das, Cuanto tardarn5 albailes?Se puede suponer que ms albailes terminaran el trabajo en menos das, asum-iendo que todos los albailes tienen la misma productividad y no hay efectos de

interferencia, podemos suponer una proporcionalidad inversa, lo cual es razon-able (hasta cierto punto), entre los das de obra y la cantidad de obreros

(das de obra) (nmero de albailes) = k

Para determinar k, utilizamos las condiciones iniciales:

(4 das de obra) (3 albailes) = k

luegok = 12 (das de obra) (albailes)

Ahora, si disponemos de 5 albailes

das de obra=12 (das de obra) (albailes)

(5 albailes)= 2:4 (das de obra)

Es decir 5 albailes deberan terminar la obra en 2 das, 9 horas y 36 minutos.

Ejercicio 1.18 Dos grifos (surtidores) iguales llenan una piscina con agua en14 horas. Cunto tiempo se emplear en llenar la piscina si usamos otros 5grifos iguales?

Ejercicio 1.19 Un libro tiene 550 pginas de 285 cm2 cada una. Se desea reed-itarlo usando pginas A4 (197 mm por 210 mm). Si el tipo de letra usado es elmismo, cuntas pginas tendr la nueva edicin?

Ejercicio 1.20 Una rueda dentada de 40 dientes engrana con otra de 52 di-entes. Si la primera rueda gira a 75rpm (revoluciones por minuto), A cuntasrpm gira la segunda?

1.3.1 Reparto simple inverso:

Es cuando la serie de datos es inversamente proporcional a la serie de incgnitas.

Datos

1. Cantidad a repartir: Q.


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2. Serie de nmeros con respecto a la cual se hace el reparto proporcional

inverso: 1; 1; : : : ; n:

Incgnitas

1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:

Relaciones:


i=1

xi = Q:

2. Las series de las s y de las xs deben ser inversamente propor-cionales:

ixi = para i = 1; 2; : : : ; n

o de manera equivalente

xi = 1

ipara i = 1; 2; : : : ; n

Sumando estas n ecuaciones se puede deducir el valor de en funcin de losdatos

n

Xi=1 xi =n

Xi=1 1

i

Q =

nXi=1

1

i

Por lo tanto

=Q

1

1+ : : : +

1

n

Esto nos permite escribir

1x1 = 2x2 = : : : = nxn =Q

1

1+ : : : +

1

n

;

o equivalentemente

x11

1

=x21

2

= : : : =xn1

n

=Q

1

1+ : : : +

1

n

:

Ejemplo 1.21 Para fomentar la productividad una empresa decide repartir unbono de $ 1 000 entre 4 empleados de acuerdo con el tiempo que tardan en re-alizar una determinadad tarea. Si los tiempos son 45 minutos, 1 hora 5 minutos,2 horas y 2 horas 15 minutos. Cunto recibe cada empleado?


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1.4. VARIACIN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 9

Solucin: Quin tarda menos en hacer la tarea es ms productivo y por lo

tanto debe recibir una mayor parte del bono. Estamos en un caso de repartoproporcional inverso. Llevando todos los tiempos a minutos tenemos que

Q = 1000

= x1 + x2 + x3 + x4;

45x1 = ;

65x2 = ;

120x3 = ;

135x4 = ;

Lo cual puede ser reescrito como

x11

45

=x21

65

=x31

120

=x41

135

;

de dondex1 + x2 + x3 + x4 + x5

1

45+

1

65+

1

120+

1

135

=1000749

14040

= :

Por lo tanto

x1 = 416:56 $;

x2 = 288:38 $;

x3 = 156:21 $;

x4 = 138:85 $:

1.4 Variacin proporcional conjunta o compuesta.

Dadas dos series de variables y1; y2; : : : ; yn y x1; x2; : : : ; xm diremos que satis-facen una relacin de proporcionalidad conjunta o compuesta si

nYi=1

yi = kmY

j=1

xj :

donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad conjunta.

Notacin 1.22 Usaremos la notacin de productoria habitual:

nYi=1

i := 1 2 n:

1.4.1 Reparto compuesto.

Es cuando hay ms de una serie de datos los cuales tienen una relacin deproporcionalidad conjunta con la serie de incognitas.

Datos


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1. Cantidad a repartir: Q.

2. m series de nmeros con respecto de las cuales el reparto es directa-mente proporcional:

k1 ; k1 ; : : : ;

kn; para k = 1; 2; : : : ; m :

3. t series de nmeros con respecto de las cuales el reparto es inversa-mente proporcional:

j1; j1; : : : ;

jn; para j = 1; 2; : : : ; t

Incognitas

1. cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:

Relaciones:


i=1

xi = Q:

2. Las series son conjuntamente proporcionales:

xi

tYj=1

ji = mY

k=1

ki , para i = 1; 2; : : : ; n :

Estas ltimas relaciones pueden ser reescritas a modo de fracciones equiva-

lentes:

x1

tYj=1

j1

mYk=1

k1

=

x2

tYj=1

j2

mYk=1

k2

= : : : =

xn

tYj=1

jn

mYk=1

kn

= ;

o, de manera equivalente

x1mY

k=1

k1

tYj=1

j1

=x2

mYk=1

k2

tYj=1

j2

= : : : =xn

mYk=1

kn

tYj=1

jn

= ;

de donde se puede deducir que la constante de proporcionalidad es

=Q

nXi=1

mYk=1

ki

tYj=1

ji

;


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Ejemplo 1.23 El departamento de matemticas de una universidad divide su

presupuesto anual de $ 289 000 entre tres reas. Las reas que atienden msalumnos son las que reciben ms presupuesto: el A1 atiende 230 alumnos, elA2 atiende 720 alumnos, y el A3 atiende 173 alumnos. Por otro lado a n deequilibrar las reas, mientras mayor es el nmero de miembros de un rea, menordebe ser su parte de presupuesto anual: el A1 tiene 12 docentes, el A2 tiene 21docentes, y el A3 tiene 15 docentes. Por otro lado las reas ms productivas(nmero de trabajo publicados) reciben ms presupuesto: el A1 tiene 13 trabajospublicados este ao, el A2 tiene 6 trabajos publicados, y el A3 tiene 35 trabajospublicados. Cunto recibe cada rea?

Solucin: Es claro estamos en un caso de reparto proporcional compuesto.Series directamente proporcionales a las cantidades a repartir x1; x2; y x3:

1. Nmero de alumnos: 230, 720, y 173.

2. Nmero de trabajos publicados: 13, 6, y 35.

Serie inversamente proporcional a las cantidades a repartir

1. Cantidad de docentes en el rea: 12, 21, y 15

Tenemos entonces que

Q = 289000

= x1 + x2 + x3;

12x1 = 230 13 ;21x2 = 720 6 ;15x3 = 173

35

:

donde =

28900036059

42

=x1 + x2 + x3

230 1312

+720 6

21+

173 3515

:

Por lo tanto

x1 = 83873:24 $;

x2 = 69246:51 $;

x3 = 135880:25 $:

Regla de compaaSe denomina as al sistema de reparto proporcional compuesto de benecios

entre socios. Principalmente se tiene en cuenta dos factores:

1. El tiempo durante el que ha estado invertido un capital.

2. La cantidad de capital invertido.

Ambas variables son directamente proporcionales a la cantidad a repartir.

Ejercicio 1.24 Una fbrica produce 5 000 camisas en 4 das utilizando 25 tra-bajadoras. Cantas camisas se producirn en 3 das con 32 trabajadoras?. Sise necesitan producir 18 000 camisas en 9 das, Cuntas trabajadoras se nece-sitan?. Si hay una huelga y slo trabajan 7 empleadas, Cuntos das sernnecesarios para producir 3 000 camisas?


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Ejercicio 1.25 Un grupo de 5 cosechadores, trabajando 6 horas diarias, lev-

antan la cosecha de una nca en 3 das. Cuntos cosechadores se necesitarnpara levantar la cosecha en no ms de dos das, trabajando 8 horas diarias?

Ejercicio 1.26 Un campamento militar con 250 hombres, tiene provisionespara 30 das a razn de 3 comidas diarias por hombre. Si se suman 53 hombres,cuantos das durarn las provisiones si cada hombre come slo dos veces porda?

Ejercicio 1.27 Tres profesores de ingls de un instituto impartieron clases par-ticulares a un grupo de ejecutivos de una empresa. El instituto cobro $ 15 000por el servicio. El instituto se queda con el 15 %, y reparte el resto en funcin delnmero de das y las horas diarias de clases. El primer profesor trabaj 2 horasdiarias durante 40 das, el segundo, una hora diaria durante 20 das, y el tercero

trabaj 3 horas diarias durante 30 das. A cunto ascienden los honorarios decada uno?

Ejercicio 1.28 Tres productos P1; P2; y P3, tardan 3, 4 y 5 horas, respectiva-mente, para ser fabricados. Se sabe que el costo de fabricacin de cada uno de losproductos es directamente proporcional al tiempo empleado. Sabiendo que cuesta$ 1500 fabricar el producto P2,Cunto cuesta fabricar los otros productos? Siel costo de un cuarto producto de caractersticas similares es $ 2 100, Cuntotiempo se emplea para fabricarlo?

Ejercicio 1.29 Una empresa de transporte utiliza un cuadro tarifario direc-tamente proporcional al peso del paquete, y a la distancia entre el origen y eldestino del mismo. Sabemos el costo de enviar un paquete de 5 kg, una distancia

de 150 km es: $ 12. Cunto costar enviar un paquete de 8 kg, 90 km? Si noscobraron $ 35 por enviar un paquete 30 km Cunto pesaba el mismo? Si noscost $ 10 enviar un paquete de 15 kg A que distancia lo mandamos?.

Ejercicio 1.30 Una empresa fabrica 5 productos, los cuales le proporcionanlos mismos ingresos. Se producen 320 unidades diarias del producto P1, 220unidades diarias del producto P2, 110 unidades diarias del producto P3, 420unidades diarias del producto P4, y 52 unidades diarias del producto P5. Quprecios relativos les corresponden a cada uno de los productos?

Ejercicio 1.31 Para ser socio de una compaa de seguros hay que aportar$ 500 000. Este ao la compaa report una ganancia neta de $ 1 250 600,sabiendo que son 5 socios, que los dos primeros colocaron el capital duranteel mismo tiempo, el tercero coloco el capital el triple del tiempo que los dosprimeros, y los que restan colocaron el capital la mitad del tiempo que el terceroCunto le tocada a cada uno?

Ejercicio 1.32 Una empresa report una ganancia anual neta de $ 17 000 000.Los socios tiene como regla, ahorrar el 18% de las ganancias, y repartir el resto.Si son 9 socios, de los cuales 3 son socios fundadores, lo cuales aportaron $ 250000 hace tres aos al fundar la empresa. Dos aos atras, se agregaron 2 sociosms, quienes contribuyeron con $ 300 000 (lo que ayudo a nanciar una expan-cin de la empresa). Hace un ao atras se agregaron otros dos socios quienesaportaron $ 1 000 000 y $ 150 000 (los que fueron usados para informatizar la


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empresa). Hace 6 meses se incorparon el resto de los socios, quienes aportaron

$ 300 000 cada uno (lo que fue usado para abrir una nueva sucursal en Brasil).Cunto le toca a cada uno de los socios?.

Ejercicio 1.33 Una empresa repartir proporcionalmente un premio de $ 80000 entre sus cuatro gerentes regionales. A n de fomentar las ganancias, mien-tras ms ventas tenga una regin mayor ser el premio. A n de fomentar laproductividad, mientras menor sea la cantidad de personal, mayor ser el pre-mio. A n de fomentar la lealtad a la empresa, mientras ms antigedad, mayorser el premio, y a n de fomentar una poltica de austeridad, mientras menoressea los gastos de la sucursal, mayor ser la parte del premio que reciben. Losdatos estn arreglados en la siguiente tabla

Ventas en $ Personal Antiguedad en aos Gastos en $

Sucursal Norte 7 560 050 15 5 1 950 000 Sucursal Sur 6 890 300 13 8 2 150 000 Sucursal Este 4 230 650 8 9 2 500 000 Sucursal Oeste 12 560 890 16 4 3 000 500

Cunto recibe cada uno de los gerentes?

Ejercicio 1.34 La cantidad de pintura necesaria para pintar una columna ciln-drica vara conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare lacantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 7 m de alto y 60 cmde radio, con la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 9 mde alto y 50 cm de radio.


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Captulo 2

Relaciones recursivas

2.1 Introduccin

El siguiente ejemplo ilustra la situacin tpica que queremos resolver.

Ejemplo 2.1 Una persona realiza un depsito a plazo jo de $ 10 000 por 6meses. El banco le paga una tasa del 1.25 % mensual. Cunto tendr al naldel sexto mes?.

Solucin: Denotaremos confk al monto acumulado hasta el mes k. Es claroque el monto fk acumulado hasta el mesk, depende del monto acumulado hastael mes anterior: fk1. La relaccin es

fk = fk1 + 0:0125fk1; (2.1)= (1 + 0:0125) fk1:

Adems sabemos quef0 = 10000: (2.2)

Luego:

f1 = (1 + 0:0125) 10000 = 10125f2 = (1 + 0:0125) 10125 = 10251:5625f3 = (1 + 0:0125) 10251:5625 = 10379:7070312f4 = (1 + 0:0125) 10379:7070312 = 10509:4533691f5 = (1 + 0:0125) 10509:4533691 = 10640:8215362f6 = (1 + 0:0125) 10640:8215362 = 10773:8318054

Es decir, tendr $ 10773,83.

Tpicamente trabajaremos con funciones a valores reales cuyo dominio es Z.Dada

f : Z ! R;para cada k 2 Z, denotaremos

fk := f(k) :

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16 CAPTULO 2. RELACIONES RECURSIVAS

Nota 2.2 La siguiente gura muestra la posicin de cada uno de los fk en la

recta. Observe que el 1er. perodo comienza en el cero y trmina en el uno,y en general el ksimo perodo empieza en el momento k 1 y trmina enel momento k, i.e., cada intervalo o periodo recibe el nombre de su extremoderecho.

0 1 2 3 k 1 k k + 1f0 f1 f2 f3 fk1 fk fk+1

1er perodo k-simo perodo

La ecuacin (2.1) es un ejemplo de una relacin de recurrencia. Laecuacin (2.2) es un ejemplo de condiciones iniciales.

Denicin 2.3 Decimos que una funcin f : A! R, conA Z, se denerecursivamente siempre que

B algn conjunto nito de valores, generalmente el primero o los primeros, seespeciquen, los que llamaremos condiciones iniciales,

R los valores restantes de la funcin estn denidos en trmino de valores pre-vios. Una frmula que hace esto recibe el nombre defrmula o relacinrecursiva.

Ejemplo 2.4 Las siguientes son ejemplos de relaciones recursivas:

1. fk+1 fk = 3; conk 2 Z+ y f0 = 22. sin kfk + cos (k 1) fk1 + sin (k 2) fk2 = 0; conk 2 Z+.

Denicin 2.5 Una solucin de una relacin recursiva es toda funcin quesatisfaga la relacin de recurrencia en cuestin.

Ejemplo 2.6 La funcin

fk =k (k 1)

2+ C

dondeC es una constante arbitraria, es una solucin de la relacin recursiva

fk+1 fk = k;

pues para k 2 Z

fk+1 fk = (k + 1) k2

k (k 1)2

=

k2 + k

k2 k2

= k:


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2.2. RELACIONES RECURSIVAS LINEALES DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES.17

2.2 Relaciones recursivas lineales de primer or-

den a coecientes constantes.Bsicamente trabajaremos con relaciones recursivas de la forma

a1fk+1 + a0fk = g (k) ;

con a1; a2 constantes no nulas arbitrarias, y g un funcin:

g : Z ! R;

la cual tpicamente ser un polinomio en k, o una funcin exponencial en k, ouna combinacin lineal de un polinomio en k con una exponencial en k.

Ejemplo 2.7 La relaciones recursivas con la que trabajaremos sern de simi-lares a

1. 2fk+1 + 5fk = 2k;

2. 12 (fk fk1) = fk + k2;3. 6fk+1 + 34fk =

13e

k;

4. k3 fk = 3k fk+1:

Ejemplo 2.8 Todos los meses ahorro $ 550, los cuales deposito en una cuentade ahorro que me paga el 0.5 % de inters mensual. Hallar la relacin recursivaque describe la situacin:

La relacin recursiva es

fk = 1:005fk1 + 550;

con la condicin inicialf0 = 550:

Comenzaremos con el caso ms simple.

2.3 Caso I: g (k) = cte:

Queremos resolver la relacin recursiva

a1fk+1 + a0fk = c; (2.3)

donde a1; a2; y c son constantes arbitrarias, con a1 6= 0. La relacin anteriorpuede reescribirse

fk+1 = Afk + B;

donde

A = a0a1

;

B =c

a1:


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Ahora usaremos el mtodo inductivo para conjeturar la forma de la solucin:

f1 = Af0 + B;

f2 = Af1 + B

= A (Af0 + B; ) + B

= A2f0 + B (1 + A) ;

f3 = Af2 + B

= A

A2f0 + B (1 + A)

+ B

= A3f0 + B

1 + A + A2

;

...

fk = Afk1 + B

= Akf0 + B 1 + A + + Ak1 :Ahora hay dos situaciones: A = 1 o A 6= 1. Si A = 1 es claro que

fk = f0 + kB:

Por otro lado, si A 6= 1, la expresin

1 + A + + Ak1;

es una serie geomtrica de razn A, para la cul es facil hallar una versincerrada:

S = 1 + A + A2 + + Ak2 + Ak1; (2.4)multiplicando ambos miembros por A

AS = A + A2 + A3 + + Ak1 + Ak; (2.5)

Haciendo (2.4) menos (2.5) obtenemos

S AS = 1 Ak;S =

1 Ak1 A : (2.6)

Por lo tanto si A 6= 1 la solucin de la relacin recursiva (2.3) debe ser

fk = Akf0 + B1

Ak

1 A :

Resumiendo, el mtodo inductivo sugiere que la solucin de la relacin recursiva(2.3) debe ser de la forma

fk =

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2.3. CASO I: G (K) = CTE: 19

Vericaremos que si A 6= 1, y fk es una solucin de la relacin recursiva (2.3),entonces fk tiene la forma fk = Akf0 + B 1 A

k

1 A :Para k = 1 no es ms que la frmula de recursin:

f1 = Af0 + B = A1f0 + B

1 A11 A :

Hiptesis inductiva: supongamos que la relacin recursiva es cierta para k1

fk1 = Ak1f0 + B

1 Ak11 A :

Ahora veamos que ocurre lo propio para k

fk = Afk1 + B

= A

Ak1f0 + B

1 Ak11 A

+ B

= Akf0 + B

A Ak1 A + 1

= Akf0 + B

1 Ak1 A :

Ejemplo 2.9 Todos los meses ahorro $ 550, los deposito en una cuenta deahorro que me paga el 0.5 % de inters mensual. Hace 8 meses que comencea ahorrar. Cunto tengo ahorrado?Cuantos meses ms deber ahorrar para

comprarme un televisor de LCD de 42"que cuesta $ 8 500?Solucin: Ya hemos hallado la relacin recursiva que describe esta situacin:fk = 1:005fk1 + 550;f0 = 550:

Como A = 1:005 6= 1 y B = 550, por (2.7) tenemos que

fk = 550 1:005k + 550 1 1:005k

1 1:005= 550 1:005k + 110000 1:005k 1= 110550 1:005k 110000:

Por lo tanto, a los 8 meses tendr (pesos)

f8 = 110550 1:0058 110000 = 5050:1637;

Para averiguar cuantos meses ms deber ahorrar para tener por lo menos $ 8500, planteamos la siguiente desigualdad donde la incgnita es k

8500 < fk = 110550 1:005k 110000:

Es decir118500

110550< 1:005k;


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como el logaritmo es una funcin montona, al tomar logaritmos de ambos lados

no se altera el sentido de la desigualdad anterior:log

118500

110550

< k log (1:005) ;

por lo tanto

14:92370427 =

log

118500

110550

log (1:005)

< k;

luego, deber ahorrar 15 meses para juntar al menos $ 8 500. Es decir, faltan 7meses para poder comprar el televisor.

Ejercicio 2.10 Resolver las siguientes relaciones recursivas

1. 3fk+1 6fk = 1, con f0 = 23

:

2. fk+1 3fk = 2, con f2 = 17:Ejercicio 2.11 Los costos mensuales de un proyecto de construccin de tresaos de duracin guardan la siguiente relacin: los costos totales de cada messon los costos del mes anterior ms $ 12 000. La inversin inicial fue de $ 20000. Cul sera el costo del penltimo mes de vida del proyecto?. En que meslos costos mensuales superan los $ 100 000

2.4 Caso g 6= cteEn general si g es una funcin, tenemos que cualquier solucin f de la relacinrecursiva

a1fk+1 + a0fk = g (k) ; (2.8)

tiene la formafk = hk +pk;

donde hk es la solucin de la relacin de recursiva homognea asociada a (2.8):

a1fk+1 + a0fk = 0;

y pk es una solucin particular de (2.8), esta funcin debe ser de la misma claseque g, i.e., si g es un polinomio de grado n, la solucin particular pk tambin,si g es una funcin exponencial de base a, lo mismo ocurre con pk. La solucinparticular pk se haya por el mtodo de los coecientes indeterminados. Es decirpk debe satisfacer la relacin recursiva

a1pk+1 + a0pk = g (k) :

Observe que una solucin fk de la forma fk = hk + pk satisface la relacinrecursiva (2.8):

a1fk+1 + a0fk = a1 (hk+1 +pk+1) + a0 (hk +pk)

= (a1hk + a0hk) + (a1pk+1 + a0pk)

= 0 + (a1pk+1 + a0pk)

= g (k) :


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2.5. CASO II: G (K) ES UN POLINOMIO 21

2.5 Caso II: g (k) es un polinomio

Comenzemos estudiando la relacin recursiva

a1fk+1 + a0fk = Pn (k) ; (2.9)

donde

Pn (k) = nkn + n1k

n1 + + 1k + 0;i.e., g es un polinomio de grado n.

Primero hallamos la solucin homognea asociada, usando el mtodo desar-rollado anteriormente:

a1hk+1 + a0hk = 0;

hk+1 = Ahk;

donde

A = a0a1

:

La solucin homognea asociada es

hk =

Akh0; si A 6= 1;h0; si A = 1:

Para hallar la solucin particular asociada a (2.9) proponemos una solucinparticular pk de la forma

pk = nkn + n1kn1 + + 1k + 0; si A 6= 1;k nkn + n1kn1 + + 1k + 0 ; si A = 1:donde los s son constantes a determinar.

Ejemplo 2.12 Resolver la siguiente relacin recursiva:

2fk+1 3fk = 4k2 + 1; (2.10)f0 = 5:

La ecuacin homognea asociada es

2hk+1 3hk = 0hk+1 = 3

2hk;

luego la solucin homognea asociada es

hk =

3

2

kh0:

Como g es un polinomio de grado 2 y3

26= 1, debemos proponer como solucin

particularpk = 2k

2 + 1k + 0:


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Ahora

4k2 + 1 = 2fk+1 3fk= 2

h2 (k + 1)

2+ 1 (k + 1) + 0

i 3 2k2 + 1k + 0

= 2k2 + (42 1) k + (22 + 21 0) :

Por lo que podemos determinar los s resolviendo el sistema8


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2.6. CASO III: G (K) ES UNA FUNCIN EXPONENCIAL 23

tenemos que

2k 3 = fk+1 fk= (1 (k + 1) + 0) (1k + 0)= 1:

Lo cual es imposible, pues esta ecuacin debe ser vlida para todo k.Como g es un polinomio de grado 1 y A = 1, debemos proponer como solu-

cin particularpk = k (1k + 0) :

Ahora

2k 3 = fk+1 fk

= [(k + 1) (1 (k + 1) + 0)] [k (1k + 0)]= 21k + (1 + 0) :

De donde

0 = 4;1 = 1;

Por lo tanto la solucin de (2.10) es de la forma

fk = h0 + k (k 4) :Ahora usaremos la condicin inicial para ajustar el valor de h0 :

4 = f1 = h0 3;lo que implica que h0 = 7, por lo tanto la solucin de (2.10) es

fk = 7 + k (k 4) :Nota 2.14 La idea de usark

nk

n + n1kn1 + + 1k + 0

, en lugar de

nkn + n1k

n1 + + 1k + 0, siA = 1, viene de la tcnica introducida porLiouville para hallar una nueva solucin a una ecuacin diferencial ordinaria,a partir de una solucin conocida.

2.6 Caso III: g (k) es una funcin exponencial

El tipo de relacin recursiva que deseamos resolver es

a1fk+1 + a0fk = cbk;

con b > 0; b 6= 1.La solucin homognea asociada se calcula como antes. La solucin particular

es

pk =

bk; si A 6= b;kbk; si A = b:

donde A = a0a1 ; y el coeciente es hallado usando el mtodo de los coecientesindeterminados.


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Ejemplo 2.15 Resolver la relacin recursiva

fk+1 = 4fk + 3 2k; conk 1;f0 = 1:

La relacin recursiva homognea asociada es

fk+1 4fk = 0;por lo tanto la solucin homognea asociada es

hk = h04k:

Como A = (4) 6= 2, la solucin particular debe ser de la forma

pk = 2k

:

Usando el mtodo de los coecientes indeterminados

3 2k = pk+1 4pk= 2k+1 42k= 22k:

Luego

= 32

:

Por lo tanto la solucin general es

fk = h04k 32

2k:

Ahora ajustamos el valor de h0 para que se satisfaga la condicin inicial:

1 = f0 = h0 32

;

luego

h0 =5

2:

Por lo tantofk =

5

24k 3

22k:

Ejemplo 2.16 Resolver la relacin recursiva

fk+1 3fk = 12 3k; conk 1;f0 = 2:

La solucin homognea asociada es

hk = h03k:

Como A = (3) = 3, la solucin particular asociada debe ser de la formapk = k3

k:


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2.7. CASO IV: G (K) COMBINACIN DE UN POLINOMIO Y UNA FUNCIN EXPONENCIAL25

Usando el mtodo de los coecientes indeterminados

12 3k = pk+1 3pk= (k + 1) 3k+1 3k3k= 3k+1;

de donde = 4:

Por lo tanto la solucin general es de la forma

fk = h03k + 4k3k:

Usando la condicin inicial, ajustamos el valor de h0

2 = f0 = h0:

Luego la solucin general es

fk = 2 3k + 4k3k:

Ejercicio 2.17 Resolver las siguientes relaciones recursivas

1. 3fk+1 6fk = 3 2k, con f0 = 23

:

2. 3fk+1 fk = 13k

, con f2 = 5:

Ejercicio 2.18 Ud. invierte $ 180 000. Esa inversin de duplica cada ao, peroud. retira al cabo del primer ao $ 10 000, del segundo ao $ 20 000, del tercero$ 40 000, del cuarto $ 80 000, etc. Establecer una relacin recursiva que describael problema. Cuanto tendr al cabo del 7mo. ao?

2.7 Caso IV: g (k) combinacin de un polinomioy una funcin exponencial

Ahora resolveremos relaciones recursivas de la forma

a1fk+1 + a0fk = Pn (k) + cbk; (2.11)

dondePn (k) = nk

n + n1kn1 + + 1k + 0;

es un polinomio de grado n, y b > 0 y b 6= 1. De nuevo todo el problema eshallar una solucin particular, pues la homognea asociada no ofrece dicultad.La solucin particular propuesta debe ser de la misma clase que g

pk =

8


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Ejercicio 2.19 Resolver las siguientes relaciones recursivas:

1. fk+1 2fk = 3 4k + 4k;f0 = 4:

2.

(fk+1 fk = 2

53k + k 1;

f1 = 4:

3.

fk+1 3fk = 4 3k 2k;f0 = 2:

2.8 Ejercitacin general

Ejercicio 2.20 Decidir si la funciones propuestas son o no solucin de las rela-ciones recursivas dadas (c reprsenta una constante abitraria)

Funcin propuesta Relacin recursiva1 fk = 3 fk fk1 = 0;2 fk = c fk fk1 = 0;3 fk = 3 5k fk = 5fk1;4 fk = c3k fk = 3fk1;6 fk = 2ck fk = cfk1;7 fk = k fk+1 fk = 1;8 fk = c + k (k + 1) fk+2 fk+1 = 2k + 3;9 fk =

c

1 + ckfk = 3fk 1;

10 fk =

1

2 3k+1 + 1 fk+1 = fk1 + fk ;11 fk = 3

2k+1 1 fk + 2fk1 1 = 0:

Ejercicio 2.21 Hallar la solucin de cada una de las siguientes relaciones re-cursivas

1.

fk+1 fk = 1;f0 = 4:

2.

(2fk+1 fk = 3;

f0 =1

2:

3. fk+1 = 2fk;f0 = 4:4.

8>:1

3fk+1 4

3fk = 6;

f0 =2

3:

5.

4fk fk+1 = 1;f1 = 2:

6.

(4fk+1 fk = 3;

f3 =1

2:


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2.8. EJERCITACIN GENERAL 27

7. fk+1 + fk = 3k + 1;

f0 = 2:

8.

(fk+1 3fk = 5k2;

f0 =1

2:

9.

fk+1 = fk + 4k;f1 = 0:

10.

fk+1 fk = 2k2 + k;f2 = 1:

11.

2fk+1 2fk = 3k 1;f3 = 0:

12. ( 2fk+1 + 3fk = 5 2k;f0 =

1

2:

13.

fk+1 2fk = 6 2k;f0 = 1:

14.

fk+1 + 3fk = 2 4k k;f1 = 0:

15.

(3fk fk1 = 1

3k;

f1 = 0:

16. ( 3fk + fk+1 = 13k ;f0 = 2:

17.

2fk1 fk = 4k1 3k + 8;f1 = 4:

Ejercicio 2.22 Una persona tiene hoy $ 40 000 y a partir de la segunda se-mana gasta cada semana la tercera parte de lo que tena la semana anterior.Cuntas semanas tarda en tener menos de $ 10? Cuntas semanas tarda engastar todo su capital?.

Ejercicio 2.23 Una compaa de seguros ofrece a sus inversionista el siguienteesquema de pagos: cada ao el inversionista tendr un acumulado igual a 5/4de lo que tena el ao anterior, pero le descuentan cada ao una doceava parte

del total acumulado. Cunto tendr al cabo de 8 aos una persona que invierte$ 3 000 000? Cunto tiempo tardar en duplicar su capital un inversionistacualquiera?

Ejercicio 2.24 Se invierten hoy $ 6 000 000. Est inversin rinde un 12%trimestralmente, i.e., cada trimestre se agrega el 12% del capital acumuladohasta el trimestre anterior. Al comienzo del segundo trimestre se agregan $ 25000, al comienzo del tercero $ 30 000, del cuarto $ 35 000, y as sucesivamente.Adems al nalizar cada trimestre se retiran $ 75 000. Cul ser el total acu-mulado al cabo de 5 aos? Cunto tiempo tardar en triplicar su capital elinversionista?


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Captulo 3

Sistemas de capitalizacinsimple

3.1 Introduccin

El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoyno vale lo mismo que un peso dentro de un ao, en el sentido de la cantidad debienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmentea dos factores: el costo de oportunidad y la inacin.

3.1.1 Qu es el dinero?

Denicin 3.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio ode pago comnmente aceptado.

Caractersticas:

1. Carece de valor intrnseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirirbienes y servicios.

2. El estado es el nico que puede imprimirlo: moneda de curso legal.

3. No son slo monedas y billetes:

(a) Monedas y billetes,

(b) Depsitos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas dbito)

y tarjetas de crdito,

(c) Bonos y acciones,

(d) Depsitos a plazos.

(e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.),

(f) Instrumentos nancieros (futuros, opciones, seguros, etc.),

(g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.)

Los tipos de dinero listados arriba, estn ordenado de ms lquidosa menoslquidos. Un valor es ms lquido cuanto ms fcil sea intercambiarlo por bienesy servicios.

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30 CAPTULO 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIN SIMPLE

3.1.2 Funciones del dinero

Las funciones que cumple el dinero son tres:

1. Es un depsito de valor.

2. Es una unidad de medida o cuenta.

3. Es un medio de cambio.

Decimos que el dinero es un depsito de valor pues nos permite transferirpoder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugarpuede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganadohoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en algn momento del futuro.

Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es entrminos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el

patron con el que medimos las transacciones econmicas.Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e insti-

tuciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero.La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar una economa

de intercambio o trueque. Es claro que no todos los bienes conservan su valor eltiempo, por ejemplo las manzanas recin cosechadas tienen claramente un valor(pueden ser intercambiadas por otros bienes y servicios), pero despus de un parde aos es poco probable que alguin acepte intercambiar sus bienes por lo quequede de nuestras viejas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir algnbien en algn punto lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes sonms transportables que otros, por ejemplo, es ms fcil mover oro que sandias(considereando la relacin peso/valor).

Es claro que podramos usar oro como depsito de valor, pero este es muyincomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deberamos disponerde equipos (balanzas) y conocimientos de metalurga (pues el oro viene condistintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada deoro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.

3.1.3 Trueque

El dinero es una ecaz herramienta que surgi de manera natural a medidaque las sociedades fueron desarrollando economas cada vez ms complejas. Lasprimeras sociedades tenan una economa de trueque: los bienes eran intercam-biados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este tipo deeconomas es que requiere de una doble coincidencia de deseos (temporal y es-

pacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo hoy tengoperas y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) alguin que hoy quiera peras yque hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a:

1. una baja divisin del trabajo (poca especializacin),

2. una economa sencilla: slo se pueden hacer transacciones muy sencillas.

3. es dicl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente.

El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superioral trueque, donde se debe existir una doble coincidencias de deseos para realizarintercambios.


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3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 31

3.1.4 Un esquema del surgimiento del dinero duciario

El dinero que no tiene valor intrnseco se denomina dinero duciario, ya que seestablece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises demundo, aunque histricamente las economas utilizaron durante mucho tiempomercancas con valor intrnseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas demar, aceite de oliva, sal, plata, oro, y un largo etc., estos son ejemplos de los quese denomina dinero mercanca, de los cuales el oro es el ejemplo ms extendido(hasta la segunda guerra mundial).

No es difcil de entender como surje un dinero mercanca como el oro: facilitael intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intrnseco),es fcil de transportar (con respecto a la relacin peso/valor) y adems sirve paratrasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo.Es ms dicil enterder como surje el dinero duciario. Qu hizo que la gente

comenzara a valorar algo que carece de valor intrnseco: esos pedazos de papelque llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puederesumir al siguiente esquema. En una economa que usa oro como dinero mer-canca, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transaccincomprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser in-tercambiado por el servicio o mercanca. Este proceso de pesado y vericacinde la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurga. Parasimplicar la operacin y reducir sus costes el gobierno decide acuar monedasde oro de un peso y pureza conocidos. Estn monedas son ms fciles de llevary usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas ycasi no circula oro sin acuar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitircerticados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oroel banco tal o cual, o certicados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo,

vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los vana canjar por oro (al banco o a ayuntamiento). Una vez que la gente comienza avericar la veracidad de estas promesas de pago, y al ser ms fciles de guardary llevar, estos certicados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a lalarga nadie lleva oro, sino estos certicados ociales respaldados por oro: loscerticados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para elsurgimiento del dinero duciario: si nadie se molesta en canjear los billetes pororo, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continueaceptando los billetes de papel, estos tendrn valor y servirn de dinero.

3.2 Valor-tiempo del dinero

La matemtica nanciera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre elvalor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. Elsiguiente par de ejemplos clarica la cuestin:

Ejemplo 3.2 $ 1 000 hoy son mejores que $ 300 hoy,

Ejemplo 3.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un ao.

De este par de ejemplos podemos concluir al menos:

Conclusin 3.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, prefe-rimos el ms alto.


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Conclusin 3.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos,

preferimos el monto disponible antes.Problema 3.6 En base a las conclusiones anteriores. Qu es mejor? $ 100hoy o $ 75 dentro de un ao.

El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentesmomentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente):

Qu es mejor?: $1 000 hoy, o $1 350 dentro de un ao.

Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. Elcosto de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamospor una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa

desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimosal tomar una decisin.

Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1 000 hoy o $ 1350 dentro de un ao, como ya dijimos todo depende del costo de oportunidaddel agente. Si el agente puede invertir los $ 1 000 de hoy y ganar con certeza$ 500 extras al cabo de un ao, a n de ao tendr $ 1 500, lo que es mejorque los $ 1 350. Para este agente $ 1 000 pesos hoy son mejores que $ 1 350dentro de un ao (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno ofrecidoal agente). Para otro agente los $ 1000 hoy son lo mismo que $ 1 350 dentrode un ao, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1 000 en alguna otraopcin de inversin y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un ao.Este agente es indiferente entre $ 1 000 hoy o $ 1 350 a n de ao. Para nalizar,

para un tercer agente $ 1 000 hoy es una peor inversin que recibir $ 1 350 an de ao, pues todas las otras alternativas de inversin le reportan al cabo deun ao menos de $ 350 de ganancia. La nocin suyacente es la de equivalencianaciera

Denicin 3.7 Dos capitales C1 y C2, impuestos en momentos t1 y t2, re-spectivamente, sonnancieramente equivalentes para un agente dado, si elagente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es iguala C2 (recprocamente el valor del capital C2 al momento t1 es igual a C1):

C2 al momento t1 = C1; y

C1 al momento t2 = C2

C1

t1

(C1; t1)

C2

t2

(C2; t2)equivalentes

Nota 3.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante detiempo en que esta disponible, i.e., en matemticas nancieras (implcitamente)trabajamos con pares

(monto; tiempo) :


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3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 33

Para medir el rendimiento de una inversin introducimos otro concepto fun-

damental: tasa de inters. Recordemos que una tasa es una medida de lamagnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de Ci a Cf en un perodode tiempo dado, la tasa de cambio es

t :=Cf Ci

Ci:

Gracamente

t =CfCi

Ci

Ci Cf

Cuando pasamos de Ci a Cf, podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a1 + t pues

(1 + t) Ci = Cf: (3.1)

Ejemplo 3.9 Al invertir $ 1 000, obtenemos una ganancia de $ 1 350, tenemosque la tasa de rendimiento asociada es

t =1350 1000

1000= 0:35 .

Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque implcitamenteest asociada a una unidad de tiempo:

el perodo de tiempo entre Ci y Cf.

Ejemplo 3.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1 000 pasan a $1 350, en un da, o en un mes, o en un ao, son tres situaciones muy distin-tas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la informacintemporal y hablaremos de una tasa 0.35 diaria, o de una tasa 0.35 mensual, ode una tasa 0.35 anual.

t = 0:35

$1000 $1350

1 da

t = 0:35

$1000 $1350

1 mes

t = 0:35

$1000 $1350

1 ao


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3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIN SIMPLE 35

Nota 3.14 Observar que en lugar dei(1) para la tasa anual se usa simplemente

i.Denicin 3.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to yun capital nal Cf en un instante de tiempo posterior tf. Llamaremos intersI a la diferencia

I := Cf Co:Si tf to es un k-perodo, hay una tasa k-perodica asociada:

i(k) =Cf Co

Co:

De donde se deduce una relacin inmediata entre el inters I y la tasa k-perodicai(k):

I = Coi(k)

:Sea i(k) la tasa k-perodica que podemos obtener, para cualquier capital C

disponible el da de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-perodo enel futuro Cf o un k-perodo hacia el pasado Cp.

Cf =

1 + i(k)

C;

Cp =C

1 + i(k) :

Cuando movemos un capital hacia el futuro en matemticas nanceras se hablade capitalizacin. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla deactualizacin.

C Cf

Capitalizacin

un k-perodo hacia el futuro

Cp C

Actualizacin

un k-perodo hacia el pasado

Pero tpicamente debemos movermos ms de un perodo, hacia atrs o haciaadelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios perodos surge uninterrogante natural: Los intereses de un perodo deben ser considerados o no

para el clculo de los intereses del perodo siguiente. El cmo se hace esto recibeel nombre de ley nanciera.

3.3 Sistema de capitalizacin simple

El sistema de capitalizacin simple es la ley nanciera que establece que losintereses generados en un perodo dado no son considerados para el clculo delos intereses del perodo siguiente.

Denicin 3.16 En capitalizacin simple los intereses de cada perodo secalculan sobre el mismo capital inicial o principal.


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Dado un capital inicial C0, una tasa de capitalizacin k-perodica i(k) y n

k-perodos tenemos que los intereses de cada perodo son iguales:I1 = I2 = = In = C0i(k):

El inters total IT es, por denicin, la suma de los intereses de cada uno de losperodos considerados:

IT :=

nXh=1

Ih

= nC0i(k):

Dado h 2 f1;:::;ng, el capital acumulado hasta el momento h, es el capitalacumulado hasta el perodo anterior, h 1, ms los intereses generados:

Ch = Ch1 + C0i(k);

con la condicin inicial C0 := Co (a la izquierda es capital a momento cero, ala derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teora derelaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimosque:

Ch = C0 + C0i(k)h

= C0

1 + hi(k)

; (3.2)

para 0 h n.

tiempo

$

0 1 2 3 n 1 n

C0 C0 C0 C0 C0 C0

I1 I1 I1 I1 I1

I2 I2 I2 I2

I3 I3 I3

In1 In1

In

C0

C1

C2

C3

Cn1

Cn

IT


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En particular

Cn = C0 1 + ni(k) ; (3.3)la cual es la frmula habitual en la literatura.

Nota 3.17 Note que en la frmula (3.3) existe una relacin temporal entre loscapitales Cn y C0.

Esta en el futuro(a la derecha)del capital C0z}|{

Cn = C0

|{z}Esta en el pasado(a la izquierda)del capital Cn

1 + ni(k)

;

La frmulas (3.2) y (3.3) nos indican como se traslada un capital de un in-stante de tiempo dado a otro de forma nancieramente equivalente. Por ejemplo,a una tasa mensual del 1.2 %, $ 200 pesos son nancieramente equivalentes a $216.8 en 7 meses (usando capitalizacin simple):

216:8 = 200 (1 + 7 0:012) :

Nota 3.18 En la frmula (3.3) aparecen 4 variables relacionadas:

capital inicial C0;

capital nal Cn;tiempo n;tasa i(k):

Unas observaciones al respecto:

1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo quetenemos problemas donde debemos hallar el capital nal Cn (se les suelellamar problemas de capitalizacin), una variacin de este tipo de proble-mas es hallar el inters total generado. Problemas donde debemos hallar elcapital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualizacin). Prob-lemas donde debemos hallar el tiempo n, y nalmente problemas donde

debemos hallar la tasa i(k)

.2. Dimensionalmente hablando, C0 yCn son dinero. El tiempo y la tasa deben

ser dimensionalmente compatibles: si la tasa esk-perodica, el tiempo debeestar dado en k-perodos, por ejemplo, si la tasa el mensual, n debe seruna cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres,la tasa debe ser trimestral: una i(4).

Ejemplo 3.19 Calcular el capital nal o montante de $ 2 500 000 al 15 %anual, colocado durante a) 20 das, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 aos,e) t k-perodos.

Solucin


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Ejercicio 3.27 Hace 87 das invertimos una cierta suma de dinero al 0.02%

diario a inters simple. Hoy nos entregan $ 75 420.50 Cul fue el monto in-vertido originalmente?

Ejercicio 3.28 Depositamos en un banco $ 15 000 y al cabo de 8 meses noentregan $ 16 672.20. Cul es la tasa de inters que nos pag el banco?

Ejercicio 3.29 Un inversor reembolsar $ 4 995,50 por un depsito concertadoa 90 das por $ 3 700. Averiguar la tasa anual pactada. (Respuesta: i = 142 %).

Ejercicio 3.30 Hallar la tasa anual necesaria para que un depsito por $ 11000 redite al inversor en 180 das, la mitad de la colocacin. (Respuesta: i =100 %).

Ejercicio 3.31 Cul es la tasa de intersk-perodica que nos permite duplicarel capital en t k-perodos?

Ejercicio 3.32 Cunto tiempo es necesario que transcurra para triplicar uncapital al 5% bimestral?

Ejercicio 3.33 Cuntos perodos son necesarios para duplicar un capital auna tasa k-perodica i(k)? Y para triplicarlo. Y para obtener un mltiplo dado.

Ejercicio 3.34 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efectados colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 das al 1.5%mensual, y otra durante 15 das al 1.25% mensual. Averiguar los importes delos depsitos, sabiendo que las inversiones producen igual inters. (Respuesta: $

4 347.83 y $ 15 652.17).

Ejercicio 3.35 Ud. posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que lepagaran respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1% trimestral. Qu porcentajede sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto enconcepto de intereses, es decir, a los 6 meses los intereses que le paga cadauno de los proyectos debe ser igual. Si ahora deseamos que ambos proyectos nospaguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 ao cunto deberemos poneren cada uno de los proyectos?

Ejercicio 3.36 Un capital por $ 3 800 se impuso a inters simple durante 7das al 11.2%; luego el mismo capital por el trmino de 15 das al 11.7%; y por

ltimo se consigui colocarlo 30 das al 13.5%. Calcular el inters total y la tasareal de la operacin citada. (Respuesta: I = $ 68.93, i = 12.73 %).

Ejercicio 3.37 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al-ternativas:

1. Mercado de nanciamiento ocial, $ 8 600 al 12%.

2. Mercado de nanciamiento marginal, $ 7 200 al 18.5%.

Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montosiguales. (Respuesta: n = 4.6667 aos ~ 4 aos y 8 meses).


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Ejercicio 3.38 Se desea saber cmo inuir una comisin de gastos ja sobre

el rendimiento de una inversin. A este efecto se nos comenta que, cualquierasea la inversin, la comisin ascender a $ 3 000. Qu incidencia tendr sobrenuestra inversin de $ 2 000 000 al 12%?, es decir, Cul es la tasa real de laoperacin?. Y si la inversin fuera de $ 500 000 al mismo tipo? (Respuesta:11.85% y 11.40%).

3.4 Equivalencia de tasas

Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante unao, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual tambin durante un ao. Ambasproducen idntico capital nal o montante.

100(1 + 0:12) = 112 = 100 (1 + 12 0:01) :Esto es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales dematemticas nancieras.

Denicin 3.39 Diremos que dos tasasi(p) yi(q), sonequivalentes, bajo unaley nanciera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen idnticocapital nal durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta fre-cuencia de capitalizacin (p 6= q).

t aos

C0 Cf

ip

iq

Ahora podemos deducir la ecuacin fundamental de equivalencia de tasasen el sistema de capitalizacin simple: Supongamos que un capital inicial C0 esimpuesto durante t aos, donde t > 0 es un nmero real (no necesariamenteentero). La tasa p-perodica i(p) y la tasa q-perodica i(q), con p; q 2 Z+, sonequivalentes si producen idntico capital nal:

C0

1 + tpi(p)

= Cf = C0

1 + tqi(q)

;

Al simplicar nos queda pi(p) = qi(q):

Esto nos permite denir

Denicin 3.40 Dados p; q 2 Z+, en el sistema de capitalizacin simple dostasasi(p) yi(q), son nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente relacinde proporcionalidad:

pi(p) = qi(q): (3.4)

Ejemplo 3.41 Cul es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del7%?


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3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS 41

Una tasa mensual es unai(12), mientras que una trimestral es unai(4) (recor-

dar que hay 4 trimestres en un ao). Usando la ecuacin (3.4) de equivalenciasde tasas:

12i(12) = 4i4;

12i(12) = 4 0:07;i(12) =

0:28

12;

i(12) = 0; 02333333 : : :

Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1 000 durante 6 meses a una tasa trimes-tral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%.

1000 (1 + 2 0:07) = 1140 = 1000 (1 + 6 0:02333333 : : :) ;O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dostasas:

500

1 +

8

30:07

= 593:33333 : : : = 500 (1 + 8 0:02333333 : : :)

Nota 3.42 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de lapropia deducin de frmula (3.4), la equivalencia de tasas en capitalizacin sim-ple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producenigual montante al cabo de t1 aos, producirn igual montante al cabo t2 aos,cont1 6= t2.Ejercicio 3.43 Dada unai(2) = 0:03, hallar lai(k) equivalente parak

2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365

g.

Ejercicio 3.44 Dada una tasa de inters anual del 25%. Hallar las tasassubperodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada parak 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes.Ejercicio 3.45 Demostrar que si i(365) y i(360) son equivalentes (a capital-izacin simple) entonces

i(365)

i(360)=

72

73:

Ejercicio 3.46 Dados p; q2 Z+, y un nmero real c > 0. Sii(p) = c = i(q);

para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en aos) demostrarque

C0

1 + tpi(p)

< C0

1 + tqi(q)

;

si y slo sip < q:

Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen-cia produce mayor montante.

Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cualtiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:


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1. Invertir $ 1000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.

2. Invertir $ 1000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un ao.

3. Invertir $ 5000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.

4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.

Es facil concluir que la inversin 1 rinde ms que la inversin 2 y que lainversin 3, pero es ms dicil decidir si rinde ms o menos que la inversin4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de lasoperaciones consideradas. La inversin 1 tiene una tasa mensual de rendimiento

t(12)1 = 0:25;

mientras que la tasa de rendimiento de la inversin 2 es bimestral

t(6)2 = 0:5:

Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t(6)2

6t(6)2 = 12t

(12)2 ;

6 0:5: = 12t(12)2 ;luego

t(12)2 = 0:25:

Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por susrespectivas tasas mensuales de rendimiento)

t(12)1 = 0:25 = t

(12)2 ;

Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo.

Ejercicio 3.47 Cul inversin es mejor

Opcin 1 Opcin 2

1)$ 1 100 producen una ganacia

de $ 250 un mes.$ 850 producen una ganacia

de $ 460 en dos meses.

2)$ 1 200 producen una ganacia

de $ 450 un ao.$ 6 500 producen una ganania

de $ 500 en 20 semanas

Ejercicio 3.48 Qu oferta es ms conveniente para una persona que desea

comprar una casa: $ 40 000 iniciales y $ 60 000 al cumplirse los 6 meses o $60 000 iniciales y $ 40 000 al cumplirse el ao? La tasa a usar es del 6% anual(Respuesta: la segunda).

3.4.1 Tasa media

Consideremos la siguiente problema

Ejemplo 3.49 Tenemos dos opciones de inversin: La primera es dividir elcapital en dos partes, colocando el 60% del mismo al 7% anual, y el 40% restanteal 4.1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1.25 mensual.Cul de las opciones es la ms ventajosa?


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3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS 43

En esta situacin debemos comparar dos inversiones, una de las cuales in-

volucra ms de una tasa. Una forma de resolver este problema, es sustituir lasdos operaciones por una equivalente: Es decir, dado un intevalo tiempo de t

aos, queremos hallar una tasa media i(12)media 12-periodica (mensual), que nosproduzca la misma ganancia:

0:60C(1 + t 0:07) + 0:40C(1 + 4t 0:041) = C

1 + 12t i(12)media

;

despejando

i(12)media =

0:60 1 0:07 + 0:40 4 0:04112

= 0:00896666 : : :

Se puede observar que el valor de la tasa media (en el sistema de capitalizacin

simple) es independiente del tiempo.Ahora es claro que la segunda opcin (no dividir el capital) es la ms con-

veniente:

i(12)2 = 0:0125 > 0:00896666 : : : = i

(12)media.

En el fondo esto no es ms que sustituir dos rectas (en t) por su suma, lacual es a su vez una recta:

t (aos)

$

0:4C

0:40C(1 + 4t 0:041)0:6C

0:60C(1 + t 0:07)

C

C(1 + t i(12)media)

En general una serie de capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, los cuales estncolocados a las tasas pj -perodicas i

(pj), con j = 1; : : : ; n, durante t aos, esequivalente a colocar la suma de todos los capitales

C =nX

j=1

Cj ;


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a la tasa media equivalente q-perodica i(q)media

nXj=1

Cj

1 + tpj i(pj)

= C(1 + tq) i(q)media;

de dondenX

j=1

Cj + t

nXj=1

Cjpj i(pj) = C+ tCqi

(q)media

nXj=1

Cjpj i(pj) = Cqi

(q)media

despejando la tasa media obtenemos

i(q)media =

nXj=1

Cjpji(pj)

qC:

Nota 3.50 Observe que la frmula para la tasa media de una serie de capitaleses independiente del tiempo t. Depende de los capitales Cj y de las tasas pj-perodicasi(pj), con j = 1; : : : ; n.

Adems, dados q1; q2 2 Z, es evidente que las tasas medias i(q1)media y i(q2)media(calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:

q1i(q1)media =

n

Xj=1Cjpj i

(pj)

C= q2i(q2)media:

Ejercicio 3.51 Tenemos dos opciones de inversin: La primera es dividir elcapital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70%restante al 6.5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al0.5% semanal. Cul de las opciones es la ms ventajosa?

Ejercicio 3.52 Tenemos $ 100 000 para invertir. Se nos presentan tres op-ciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2.5% mensual.La segunda en comprar $ 60 000 en bonos del estado que pagan un 8.2% trimes-tral y el resto en el banco al 1.8% mensual. La tercera consiste en comprarobligaciones de empresas privadas: $ 30 000 en opciones de la empresa A, querinden un 21% semestral, $ 40 000 en opciones de la empresa B, que rinden

un 4.8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38.5%anual. Cul de las opciones es la ms ventajosa?

3.5 Equivalencia nanciera de dos series de cap-itales

Una vez que sabemos calcular el equivalente nanciero de un capital paradistintos momentos, podemos vericar cuando dos series de capitales son -nancieramente equivalentes, este ltimo es el segundo concepto fundamental dematemticas nancieras.


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3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 45

Denicin 3.53 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-

mentosta

1 ; t

a

2; : : : ; t

a

n, es equivalente a la serie de capitalesB1; B2; : : : ; Bm disponiblesen los momentostb1; tb2; : : : ; t

bm, a unafecha focal f, para un agente dado (tasa),

bajo una ley nanciera dada (sistema), si

nXj=1

Aj al momento f =mX

j=1

Bj al momento f: (3.5)

A1 A2 A3 Anf

B1 B2 B3 Bm

Pmj=1 Bj al momento f

Pnj=1 Aj al momento f

El equivalente nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasak-perodica i(k) en el sistema de capitalizacin simple es

Aj al momento f = Aj

1 + jf tj j i(k)

sgn(ftj):

Nota 3.54 Denimos la funcin signo como:

sgn (x) = 8 0;0 si x = 0;1 si x < 0:De donde, si f tj (capitalizacin)

Aj al momento t = Aj

1 + (f tj ) i(k)

;

y si f < tj (actualizacin)

Aj al momento t =Aj

1 + (tj f) i(k) :

En todas las frmulas anteriores f y tj estan expresados en k-perodos, para

que sea compatible con la tasa usada el intervalo de tiempo entre f y tj.En partcular para el sistema de capitalizacin simple tenemos que la deni-cin de equivalencia de capitales toma la forma

Denicin 3.55 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-mentosta1 ; t

a2; : : : ; t

an, es equivalente a la serie de capitalesB1; B2; : : : ; Bm disponibles

en los momentos tb1; tb2; : : : ; t

bm, a una fecha focal f, para una tasa k-perodica

i(k), en el sistema de capitalizacin simple sinX

j=1

Aj

1 +

f taj i(k)sgn(ftaj ) = mXh=1

Bh

1 +

f tbh i(k)sgn(ftbh) :(3.6)


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De la frmula (3.6) es claro que en el sistema de capitalizacin simple dos

series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y paraotras no.

Ejemplo 3.56 Usando una tasa anual i = 0:45 (es decir una tasa del 45 %anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100000 a los dos aos y $ 150 000 a los 4 aos, es equivalente a la serie de $ 350000 a los 3 aos y $ 400 000 a los 5 aos.

El esquema de las series de capitales es

aos0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000

$ 350000 $ 400000

El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 aos y $150 000 a los 4 aos, a la fecha focal f (en aos) usando la tasa anual i = 0:45es V1(f) :=

130000 (1 + 0:45 jfj)sgn(f) + 100000 (1 + 0:45 jf 2j)sgn(f2)

+150000 (1 + 0:45 jf 4j)sgn(f4)

El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 aos y $ 450 000 dentrode 5 aos, a la fecha focal f (en aos) usando la tasa anual i = 0:45 es V2(f) :=

350000 (1 + 0:45 jf 3j)sgn(f3) + 400000 (1 + 0:45 jf 5j)sgn(f5)

Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos aos hacia adelante a partir dehoy, f = 2; tenemos el siguiente ujo

aos0 1 2 3 4 5

$ 130000 $ 100000 $ 150000

$ 350000 $ 400000

f = 2

De donde deducimos los siguientess valores para V1 y V2

V1 (2) = 130000 (1 + 0:45 j2j)sgn(2) + 100000 (1 + 0:45 j2 2j)sgn(22)

+150000 (1 + 0:45 j2 4j)sgn(24)

= 130000(1 + 2 0:45) + 100000 + 1500001 + 2 0:45

= 425947:3684

V2(2) = 350000 (1 + 0:45 j2 3j)sgn(23) + 400000 (1 + 0:45 j2 5j)sgn(25)

=350000

1 + 0:45+

400000

1 + 3 0:45= 411592:0763


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La siguente grca muestra los valores de las funciones V1 y V2, en rojo la

primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 aos.Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos.

f en aos0 1 2 3 4 5 6

$ en 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

V1(f)

V2(f)

f1 f2

Slo existen dos fechas focales tales que

V1 (f) = V2 (f) ; (3.7)

y ellas son (dadas en aos)

f1 = 0:23877905;

f2 = 4:27194599:

Pues

V1 (0:23877905) = 283357:5590 = V2 (0:23877905) ;

yV1 (4:27194599) = 851621:5493 = V2 (4:27194599) ;


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Nota 3.57 En el sistema de capitalizacin simple, la equivalencia nanciera

depende fuertemente de la fecha focal escogida.Nota 3.58 Es claro que despejar f de la ecuacin (3.7) es casi siempre im-posible, y son necesarios mtodos numricos para hallar f, en particular sueleser til usar soft mtematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive,en cualquiera de sus versiones. (los valores def1 y f2 se obtubieron con MapleV Release 4, version 4.00c (1996), student edition).

El problema tpico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada unaserie de capitales, hallar una segunda serie nancieramente equivalente. En elsistema de capitalizacin simple, lo matemticamente correcto es llevar todos loscapitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses enlos clculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremosla fecha de orign de la operacin.

Ejemplo 3.59 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tresmeses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y ltimo de $ 500 a los 9 meses.Por razones de ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinara los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto delltimo pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los10 meses.

Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada:

valor de laoperacin originala la fecha focal f

=valor de la

operacin nuevaa la fecha focal f

Fecha focal el origen: f = 0

meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Serie (operacin) original

Serie (operacin) nueva

Nota 3.60 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje tem-poral, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje.

Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero:

400

1 + 3 0:025 +300

1 + 6 0:025 +500

1 + 9 0:025 =500

1 + 5 0:025 +C

1 + 10 0:0251041:125854 = 444:4444445 +

C

1:25;


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de donde concluimos que

C = 745:8517624:Fecha focal a los seis meses: f = 6

meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunossern capitalizados (los que estn disponibles antes de los 6 meses), otros sernactualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6meses no cambian

400 (1 + 3 0:025)| {z }Capitalizacin

+ 300|{z}Sin cambios

+500

1 + 3 0:025 | { z } Actualizacin

= 500 (1 + 0:025) +C

1 + 4 0:025

1195:116279 = 512:500 +C

1:1;

de dondeC = 750:877907

Ejemplo 3.61 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10:

meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 400 $ 300 $ 500

$ 500 C

fecha focal

Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados:

400 (1 + 7 0:025) + 300 (1 + 4 0:025) + 500 (1 + 0:025) = 500 (1 + 5 0:025) + C1312:5 = 562:500 + C;

de dondeC = 825:


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Ejercicio 3.62 Con qu cantidad se cancela hoy da, un prstamo que se con-

sigui dos meses antes habindose rmado dos documentos; uno con valor nom-inal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 devalor nominal y vencimiento a 5 meses del prstamo?. Suponga intereses del20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63).

Ejercicio 3.63 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en unao. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar elsaldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta: $ 573.22).

Ejercicio 3.64 El seor X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 convencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldarlas deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro

con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendoun inters del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del ltimo pago: 10meses (Respuesta: $ 1 164.85).

Problemas con almanaque

Ejercicio 3.65 El 10 de enero del corriente ao se otorga un prstamo am-parado con dos pagars con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por $1 300 y $ 800 respectivamente. Poco despus, se conviene en cancelarlo con trespagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30 deabril y el tercero el da 10 de junio, De qu cantidad es este ltimo pago si secargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha de

referencia?, A cunto asciende el monto del prstamo? (Respuesta: $ 616.09).

Ejercicio 3.66 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11022 y $ 8 774, con vencimiento los das 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio,respectivamente, por uno nico el da 1 de junio; a cunto ascender el capitalsi se aplica un 6% anual a la operacin? Ao civil. Fecha de operacin: 15 demayo. (Respuesta: $ 32 516).

Ejercicio 3.67 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, convencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres deigual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolverel problema usando:

fecha focal tasa 1) 8 de enero 1.2% mensual,2) 12 de abril 1.2% mensual,3) 10 de junio 1.2% mensual,4) 10 de agosto 1.2% mensual,5) 15 de septiembre 1.2% mensual,6) 8 de enero 0.05% diario (365),7) 8 de enero 0.05% diario (360),8) 12 de abril 2.4% mensual,9) 12 de abril 0.6% mensual.


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3.5.1 Vencimiento medio

Este es un caso particular de equivalencia nanciera, en el que sustituimos unaserie de capitales por un nico pago igual a la suma algebraica de los capitalesinvolucrados.

Dada una tasa k-perodica y una fecha focal f, deseamos hallar la fecha vmen la cual podemos sustituir una serie de capitales C1; C2; : : : ; C n disponiblesen los momentos t1; t2; : : : ; tn, por un nico pago

C =nX

j=i

Cj :

Dicha fecha focal es conocida como vencimiento medio vm:nX

j=iCj 1 + jf tj j i(k)sgn(ftj) = C1 + jf vmj i(k)sgn(fvm) :

En la frmula anterior los intervalos de tiempo son medidos en k-perodos, paraque sean compatibles con la tasa usada.

Como se puede ver, usando capitalizacin simple, el vencimiento medio de-pende de cada una de las variables involucradas (salvo en casos excepcionales,no hay simplicacin de variables), y para calcular el valor de vm tenemos queanalizar cada caso, y eventualmente necesitaremos emplear mtodos nmericos.

Razonando nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuen-tra entre el primero y el ltimo momento en que los capitales vencen, porque sedebe dar una compensacin de intereses.

Ejemplo 3.68 Deseamos sustituir tres pagos, de $ 200, $ 300 y $ 500, convencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un ao, respectivamente, pornico pago de $ 1000. Hallar el vencimiento medio para

fecha focal tasa 1) hoy 2% mensual,2) hoy 1% mensual,3) 6 meses 1% mensual,4) 1 ao 1% mensual,5) 2 aos 32% anual,6) hoy 1% diario comercial (360),7) vencimiento medio 1% mensual.

Para resolver este problema planteamos la ecuacin de equivalencia nancieraen general

200 (1 + jfj i)sgn(f) + 300 (1 + jf 6j i)sgn(f6) + 500 (1 + jf 12j i)sgn(f12)

= 1000 (1 + jf vmj i)sgn(fvm) :1) fecha focal: f = 0, tasa: 2% mensual

200 +300

1 + 6 0:02 +500

1 + 12 0:02 = 1000(1 + 0:02 jvm1j)sgn(vm1)

871:0829494

1000= (1 + 0:02 jvm1j)sgn(vm1) ;


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Como

1 + 0:02 jvm1j > 1 >871:0829494

1000 ;

entonces el exponente sgn (vm1) debe ser 1, y por lo tanto podemos asegurarque vm1 > 0,

871:0829494

1000=

1

1 + 0:02vm1;

de dondevm1 = 7:399814833 meses:

2) fecha focal: f = 0, tasa: 1% mensual

200 +300

1 + 6 0:01 +500

1 + 12 0:01 = 1000(1 + 0:01 jvm2j)sgn(vm2)

929:4474394

1000 = (1 + 0:01 jvm2j)sgn(vm2)

;

Como

1 + 0:01 jvm2j > 1 > 929:44743941000

;

el exponente sgn (vm2) debe ser 1, y adems podemos asegurar que vm2 > 0,por lo tanto

929:4474394

1000=

1

1 + 0:01vm1;

de dondevm2 = 7:399814833 meses.

Ejemplo 3.69 Observando los resultados 1) y 2) vemos que en capitalizacin

simple, el vencimiento medio depende de la tasa usada.

3) fecha focal: f = 6, tasa: 1% mensual

200 (1 + 6 0:01) + 300 + 5001 + 6 0:01 = 1000 (1 + 0:01 j6 vm3j)

sgn(6vm3)

983:6981132

1000= (1 + 0:01 j6 vm3j)sgn(6vm3) ;

Como

1 + 0:01 j6 vm3j > 1 > 983:69811321000

;

el exponente sgn (6 vm3) debe ser 1, y adems podemos asegurar que 6 vm3 < 0, por lo tanto

871:0829494

1000=

1

1 + 0:02 (vm3 6) ;

de dondevm3 = 7:657204236 meses.

Observando los casos 2) y 3) podemos asegurar que el vencimiento medio de-pende de la fecha focal usada.

7) f = vm (fecha focal igual al vencimiento medio), tasa 1% mensual:

200 (1 + jvmj i)sgn(vm)+300 (1 + jvm 6j i)sgn(vm6)+500 (1 + jvm 12j i)sgn(vm12) = 1000:


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3.6. DESCUENTO 53

Usando mtodos nmericos (y Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student

edition): vm = 7:711838862 meses.

Ejercicio 3.70 En el ejemplo anterior hallarvm4, vm5, y vm6.

Ejercicio 3.71 Se desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1 000, por un nicopago de $12 000. Suponer una tasa anual del 18.5%. Usar como fechas focales:el origen, 6 meses, 1 ao y el propio vencimiento medio.

Ejemplo 3.72 Si a los 7.46666666 meses se sustituyeron 3 pagos de $ 1 000,a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un nico pago de $ 3 000.Utilizando una tasa del 5% mensual Cul fue la fecha focal usada?

Ejercicio 3.73 Si en el problema anterior sabemos que la sustitucin fue a los

6 meses y se uso el origen como fecha focal.Cul fue la tasa usada?

3.6 Descuento

En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualizacin paracalcular el valor actual de un capital futuro. El mtodo usado se conoce comodescuento (comercial). Este es el caso tpico de lo que ocurre con los chequesa fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo jo, etc.) el cual tiene unnominal N, podr hacerlo efectivo en t aos (esta cantidad no tiene porque serentera), pero por algn motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, poruna oportunidad de inversin, etc.). Entonces acude a un intermediaro naciero(banco, nanciera, un prestamista en el peor de los casos), y cambia el cheque

por una suma en efectivo E, donde

E < N:

hoy dentro de t aos

E

N

D

La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documentoentregado, recibe el nombre de descuento

D = N E: (3.8)En esta operacin se puede pensar que el intermediario nanciero se ha

cobrado los intereses al principio de la operacin. La tasa que se usa es llamadatasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre elnominal N.


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3.7 Descuento simple

En el sistema de capitalizacin simple lo que nos descuentan por cada k-perodoadelanto es

N d(k

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