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TEMA II.7Lagrange y Euler

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA II.7: Lagrange y Euler J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 23

Lagrange y Euler

Descripcion de Lagrange y de Euler de fluido en movimiento.

Hay dos formas para describir el movimiento de un fluido. Una esidentificar una pequena masa de fluido en un flujo, denominada partıculafluida, y describir el movimiento todo el tiempo. Este es el enfoqueLagrange. La trayectoria de una partıcula de fluido esta dada por el vectorr(t) (ver Figura II.7.1) y se expresa en coordenadas cartesianas como

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

la velocidad del fluido se obtiene al derivar la ecuacion anterior

V (t) =dr(t)

dt=

dx

dti +

dy

dtj +

dz

dtk


Lagrange y Euler

Figura II.7.1: Trayecoria y velocidad de una partıcula de fluido


Lagrange y Euler

o bienV (t) = ui + ν j + ωk

donde u, ν, y ω son las velocidades componentes en sus respectivasdirecciones de coordenadas. Esto representa solo una partıcula.

Para obtener una descripcion mas completa y general del movimiento delfluido en algun campo, se tendrıa que tener disponible las trayectorias demuchas partıculas de fluido (ver Figura II.7.2a).

La otra forma para describir el movimiento del fluido es imaginar unarreglo de “ventanas” en el campo de flujo y tener la informacion de lavelocidad de las partıculas de fluido que pasan por cada ventana encualquier instante (ver Figura II.7.2b).


Lagrange y Euler

Este es el enfoque de Euler, en este caso, la velocidad es una funcion de laposicion de la ventana (x , y , y z) y el tiempo, de manera que:

u = f1(x , y , z , t) ν = f2(x , y , z , t) ω = f3(x , y , z , t)

El nivel de detalle depende del numero de ventanas disponibles. En ellimite habrıa un numero infinito de ventanas de tamano infinitesimal, y lavelocidad estarıa disponible en cada punto en el campo.

Otra manera util para expresar la velocidad es en terminos de la posicionjunto con la lınea de corriente y el tiempo. Esto esta dado como:

V = V (s, t)


Lagrange y Euler

Figura II.7.2: Descripciones de Lagrange y Euler de un campo de flujo


Lagrange y Euler

Lıneas de corriente y patrones de flujo.

Para visualizar el campo de flujo es deseable construir lıneas que muestrenla direccion del flujo. A esa construccion se le llama patron de flujo y a laslıneas se les conoce como lıneas de corriente.

Se define a una lınea de corriente como la lınea que pasa por el campo deflujo de manera tal que el vector de velocidad local es tangente a cadapunto a lo largo de esta en ese instante.

En consecuencia, la tangente de la lınea de corriente en cierto tiempoindica la direccion del vector de velocidad.


Lagrange y Euler

En la Figura II.7.3a se muestra un ejemplo de lıneas de corriente del patronde flujo para el agua que fluye por un orificio en el lado de una tanque.

Tres vectores de velocidad se han dibujado en tres diferentes ubicaciones:a, b, y c . Estos vectores han sido dibujados de acuerdo con la definicion delınea de corriente.

Siempre que le flujo ocurra alrededor de un cuerpo, parte de el correra porun lado y parte por el otro, como se ilustra en la Figura II.7.3b para elflujo que pasa por una seccion de un ala de avion.


Lagrange y Euler

Figura II.7.3: Flujo drenado de un tanque por un orificio y que pasa sobre laseccion de un ala


Lagrange y Euler

La lınea de corriente que sigue la division del flujo (que al dividirse y pasarpor la parte superior se junta de nuevo con la corriente de abajo) se lellama lınea de corriente divisoria.

En el punto donde la lınea antes mencionada interseca el cuerpo, lavelocidad sera cero; este es el punto de estancamiento.


Aceleracion

Componente normal y tangencial

Mediante las componentes normal y tangencial, la velocidad de unapartıcula de fluido en una lınea senda (ver Figura II.7.4) puede ser escritacomo

V = V (s, t)et

donde V (s, t) es la velocidad de la partıcula, que puede variar con ladistancia a lo largo de la lınea senda s, y el tiempo t. La direccion delvector velocidad esta dada por un vector unitario et . Usando la definicionde aceleracion

a =dV

dt=

(dV

ds

)et + V

(det

dt

)


Aceleracion

Figura II.7.4: Partıculas de fluido moviendose sobre una lınea senda. a) velocidad.b) Aceleracion


Aceleracion

Para evaluar la derivada de la rapidez, usando la regla de la cadena parauna funcion de dos variables

dV (s, t)

dt= (

dV

ds)(

ds

dt) +

dV

dt

En un tiempo dt, la partıcula de fluido se mueve una distancia ds, demodo que la derivada ds/dt corresponde a la rapidez V de la partıcula, yla ecuacion anterior se convierte

dV

dt= V

[∂V

∂s

]+∂V

∂t


Aceleracion

La derivada del vector unitario det/dt es diferente de cero porque ladireccion del vector unitario cambia con el tiempo

det

dt=

V

ren

donde r es el radio local de curvatura de la lınea y en es u vector unitarioque es perpendicular a la lınea senda y apunta hacia adentro, al centro decurvatura. Sustituyendo en la ecuacion de aceleracion tenemos

a =

(V∂V

∂s+∂V

∂t

)et +

(V 2

r

)en

el primer termino muestra que si la rapidez de una partıcula de fluido estacambiando, existe una componente de aceleracion tangente a la lıneasenda.


Aceleracion

El segundo termino muestra que una lınea curva da lugar a unacomponente de aceleracion normal a la lınea, es decir, la aceleracioncentrıpeta.

Componentes cartesianas

Mediante el enfoque de Euler, las componentes de la velocidad sonfunciones del espacio y el tiempo

V = ui + ν j + ωk

donde u = f1(x , y , z , t), ν = f2(x , y , z , t), y ω = f3(x , y , z , t). Laaceleracion de una partıcula de fluido en la direccion x esta dado por

ax =du

dt

donde u es la componente x de la velocidad medida que seguimos a lapartıcula.


Aceleracion

Usando la regla de la cadena para la derivacion de una funcionmultivariable, tenemos

ax =∂u

∂x

∂x

∂t+∂u

∂y

∂y

∂t+∂u

∂z

∂z

∂t+∂u

∂t

En un tiempo dt, una partıcula de fluido se mueve en la direccion x a unadistancia dx = u dt de modo que u = dx/dt, y de manera similar ν =dy/dt, y ω = dz/dt.

Ası la componente de la aceleracion ax de la partıcula esta dada por

ax = u∂u

∂x+ ν

∂u

∂y+ ω

∂u

∂z+∂u

∂t


Aceleracion

del mismo modo para y y z

ay = u∂ν

∂x+ ν

∂ν

∂y+ ω

∂ν

∂z+∂ν

∂t

az = u∂ω

∂x+ ν

∂ω

∂y+ ω

∂ω

∂z+∂ω

∂t


Aceleracion

Ejemplo: Sea el campo de velocidad para un fluido esta dado por

V = 2x2t i + 3xy2 j + 2xzk

Encuentre la aceleracion en la direccion x en el punto (1,2,2) cuando t =1.

Solucion:

ax =∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ν

∂u

∂y+ ω

∂u

∂z

Las componentes de la velocidad son u = 2x2t, ν = 3xy2, ω = 2xz :

ax = 2x2 + (2x2t)(4xt) + (3x2y)(0) + (2xz)(0) = 2 + 8 = 10 m/s2


Aceleracion

Aceleracion convectiva y local

Una inspeccion de las ecuaciones de ax , ay , y az revela que algunosterminos involucran derivadas con respecto al tiempo, es decir ∂u/∂t.Estos terminos se llaman aceleraciones locales.

Los terminos de aceleracion local se presentan solo cuando un campo deflujo es no permanente (inestable). En un flujo permanente (estable), laaceleracion local es cero. Los terminos restantes (es decir, u(∂u/∂x),ν(∂ν/∂x), etc) se denominan aceleraciones convectivas. Las aceleracionesconvectivas se presentan cuando la velocidad es una funcion de posicion enun campo de flujo. En flujos uniformes, la aceleracion convectiva es cero.


Aceleracion

Ejemplo: Una tobera esta disenada de manera tal que la velocidad varıaen funcion de la longitud x (ver Figura II.7.5), o sea

u =uo

1.0 − 0.5x/L

donde la velocidad uo es la de entrada y L es la longitud de la tobera. Lavelocidad de entrada es 10 m/s y la longitud de 0.5 m. La velocidad esuniforme a traves de cada seccion.

Encuentre la aceleracion media a traves de la tobera (x/L = 0.5)


Aceleracion

Figura II.7.5: Tobera


Aceleracion

Solucion: Es obvio que hay aceleracion entra a 10 m/s y sale a 20 m/s.No hay aceleracion local porque el flujo es estable, de manera que laaceleracion es debida a aceleracion convectiva:

ax = udu

dx

du

dx= − uo

(1.0 − 0.5x/L)2(−0.5

L) =

1

L

0.5 uo

(1.0 − 0.5x/L)2

u · du

dx= 0.5

u2o

L

1

(1.0 − 0.5x/L)3


Aceleracion

Sustituyendo en x/L = 0.5, se obtiene

ax = 1.185u2o

L= 1.185

102

0.5= 237 m/s2

ax resulto positiva, luego entonces esta tiene direccion positiva. Esto esrazonable, ya que la velocidad aumenta en la direccion x positiva.


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