L2_Belem
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Prof. Jaime E. Mu˜ noz Rivera E-mail [email protected] Segunda Lista de An´ alise Funcional: Curso de Ver˜ ao 1. Seja H um espa¸ co de Hilbert. Mostre que a aplica¸ c˜ ao can´ onica J J : H → H ** , hJ (x),f i = f (x), para todo x ∈ H e todo f ∈ H * ,´ e sobre. 2. Seja H um espa¸ co de Hilbert com produto interno (·, ·). Verifique que o Teorema da representa¸ c˜ ao de Riesz ´ e equivalente ao Lema de Lax Milgram quando a forma bilinear a(·, ·)´ e cont´ ınua, coerciva e sim´ etrica. 3. Seja T um operador linear, cont´ ınuo e injetor de E. Se E 1 := (I - T )E 6= E. Mostre que Im(I - T )E 1 ⊂ E 1 e que ´ esta incluss˜ ao ´ e estrita. 4. Seja E um espa¸ co de Banach. Suponha que B(0,r) ⊂ T (B(0,r)) e seja y ∈ T (B(0,r)). Mostre que para todo > 0 existe z ∈ E tal que kz k < 1 2 e ky - Tz k < . 5. Seja T um operador compacto de E,(T ∈K(E)). Mostre que I - T ´ e injetora, se e somente se I - T ´ e sobre. 6. Seja E um espa¸ co de dimens˜ ao infinita. Se T ∈K(E), ent˜ ao 0 ∈ σ(T ) 7. Seja A uma matriz 2 × 2 da seguinte forma: A = 1 2 2 5 encontre B = 3 √ A e B = ln(A). 8. Seja H um espa¸ co de Hilbert, separ´ avel e seja T um operador compacto e autoadjunto de H , encontre 3 √ T . Verifique sua resposta. 9. Seja A uma matriz singular (det(A) = 0) de tamanho n × n. Para que tipos de vetores b ∈ R n existe solu¸ c˜ ao do problema Ax = b. Considere S = {b ∈ R; ∃x ∈ R n , tal que Ax = b}. Que pode afirmar sobre S. ´ E um espa¸ co vetorial?. Justifique. 10. Calcular os autovalores e autovalores do operador Au = -u xx , u(0) = u(π)=0. em L 2 (0,π). Os autovalores formam um sistema ortogonal e completo?. O operador A ´ e compacto?. O operador A possui inversa?. Justifique. 11. Mostre que se a inversa de um operador compacto de um espa¸ co de Banach E ´ e compacto, ent˜ ao E ´ e de dimens˜ ao finita. 1
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functional analise
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Prof. Jaime E. Munoz Rivera
E-mail [email protected]
Segunda Lista de Analise Funcional: Curso de Verao
1. Seja H um espaco de Hilbert. Mostre que a aplicacao canonica J
J : H → H∗∗, 〈J(x), f〉 = f(x),
para todo x ∈ H e todo f ∈ H∗, e sobre.
2. Seja H um espaco de Hilbert com produto interno (·, ·). Verifique que o Teorema da
representacao de Riesz e equivalente ao Lema de Lax Milgram quando a forma bilinear
a(·, ·) e contınua, coerciva e simetrica.
3. Seja T um operador linear, contınuo e injetor de E. Se E1 := (I − T )E 6= E. Mostre que
Im(I − T )E1 ⊂ E1 e que esta inclussao e estrita.
4. Seja E um espaco de Banach. Suponha que B(0, r) ⊂ T (B(0, r)) e seja y ∈ T (B(0, r)).
Mostre que para todo ε > 0 existe z ∈ E tal que ‖z‖ < 1
2e ‖y − Tz‖ < ε.
5. Seja T um operador compacto de E, (T ∈ K(E)). Mostre que I−T e injetora, se e somente
se I − T e sobre.
6. Seja E um espaco de dimensao infinita. Se T ∈ K(E), entao 0 ∈ σ(T )
7. Seja A uma matriz 2 × 2 da seguinte forma:
A =
(
1 22 5
)
encontre B = 3√
A e B = ln(A).
8. Seja H um espaco de Hilbert, separavel e seja T um operador compacto e autoadjunto de
H, encontre 3√
T . Verifique sua resposta.
9. Seja A uma matriz singular (det(A) = 0) de tamanho n×n. Para que tipos de vetores b ∈R
n existe solucao do problema Ax = b. Considere S = {b ∈ R; ∃x ∈ Rn, tal que Ax = b}.
Que pode afirmar sobre S. E um espaco vetorial?. Justifique.
10. Calcular os autovalores e autovalores do operador
Au = −uxx, u(0) = u(π) = 0.
em L2(0, π). Os autovalores formam um sistema ortogonal e completo?. O operador A e
compacto?. O operador A possui inversa?. Justifique.
11. Mostre que se a inversa de um operador compacto de um espaco de Banach E e compacto,
entao E e de dimensao finita.
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