ur. 22 kwietnia 1692 - zm. 5 grudnia 1770

- matematyk szkocki

Zajmował się teorią szeregów nieskończonych

i teorią krzywych algebraicznych trzeciego stopnia

oraz opracował wzór Abrahama de Moivre’a na silnię n!

Liczby Stirlinga zostały wprowadzone przez Jamesa Stirlinga w dziele „Methodus Differentialis” wydanym w Londynie w roku 1730.

- wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu

wartość silni.

Wzór ten daje dobre przybliżenie

dla dużych liczb n.

Formalnie:

dzielimy na:

- opisują ilość sposobów na rozmieszczenie n liczb w k cyklach, oznaczane są symbolem

lub rzadziej używanym symbolem:

Czytamy:

„k cykli n”

Na przykład istnieje 11 różnych sposobów na stworzenie 2 cykli z 4 elementów ( s(4,2)):

[1,2,3] [4], [1,2,4] [3], [1,3,4] [2], [2,3,4] [1],[1,3,2] [4], [1,4,2] [3], [1,4,3] [2], [2,4,3] [1],

[1,2] [3,4], [1,3] [2,4], [1,4] [2,3].

Cykl singletowy (tzn. cykl składający się tylko z jednego elementu) zasadniczo odpowiada zbiorowi singletowemu (zbiór tylko z jednym elementem). Podobnie, 2-cykl odpowiada 2-zbiorowi, ponieważ [A, B] = [B, A], tak jak {A, B} = {B, A}. Ale istnieją różne 3-cykle: [A, B, C] i [A, C, B]. Zauważmy, że 11 par cykli można uzyskać z poprzednio podanych (liczby drugiego rodzaju) siedmiu par zbiorów poprzez stworzenie dwóch cykli z każdego 3-elementowego zbioru.

Przykład 1. Liczba sposobów podziału n obiektów na k niepustych, rozłącznych bloków z cyklicznym uporządkowaniem elementów na każdym bloku.

Przykład 2. Liczba sposobów rozsadzenia n osób przy dokładnie k okrągłych stolikach, jeśli przy stolikach może siedzieć nieograniczona liczba osób i liczy się sposób ich usadzenia przy danym stoliku (czyli to, kto obok kogo siedzi)/elementy zbioru-osoby cykle permutacji-stoliki/Dla lepszego rozróżnienia liczb odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju rozpatrzmy sytuację:Mamy prostokątne stoliki ustawione w rzędzie. Sadzamy przy nich osoby tak, że wszystkie siedzą po tej samej stronie wszystkich stołów (czyli tworzą 'siedzący' szereg). Wtedy: to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że przy lewym końcu stolika (z perspektywy siedzących) siedzi najstarsza spośród osób przy tym stoliku, a pozostałe osoby siedzą w dowolnej kolejności po jej prawej stronie. to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że osoby przy każdym stoliku siedzą w kolejności od najstarszej (przy lewym końcu stolika) do najmłodszej (przy prawym końcu).

                                          

przy założeniach                               Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to           

Pochodzenie wzoru rekurencyjnego:

Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń n–liczb w k–cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi. Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k-1–cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób, poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k–cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli "obok" każdej liczby, a liczb jest n-1, co oznacza n-1–sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można ustawić w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.

Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących (silni dolnej) na zwyczajne potęgi:

Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną) występuje zależność:

s(n,k)=(n-1) s(n-1,k)+s(n-1,k-1)

11=3 * 3 + 2

Po zastosowaniu podstawowych rekurencji

oraz

(liczby Stirlinga pierwszego rodzaju) (liczby Stirlinga drugiego rodzaju)

poza ich kombinatoryczne znaczenie, czyli uznając, że są prawdziwe dla wszystkich n,k całkowitych przy dodatkowym założeniu S(0,k) = s(0,k) = [k=0] i S(n,0) = s(n,0) =[n=0] otrzymujemy trójkąt Stirlinga dla cykli, który pojawia się powyżej trójkąta Stirlinga dla podzbiorów (i odwrotnie!) za to oba rodzaje liczb Stirlinga powiązane są wyjątkowo prostą zależnością:

s(n,k) = S(-k,-n), dla całkowitych k, n.

- opisują ilość sposobów podziału zbioru n elementowego na k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dają cały zbiór, zatem opisują ilość k-blokowych partycji zbioru n. (NIEUJEMNE)

Liczby Stirlinga II rodzaju oznaczane są symbolem:

Czytamy:

"k podzbiorów n"

lub: S(n, k)

Spełniają one związek rekurencyjny postaci:

przy założeniach

Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to :

Ilekroć poniżej będziemy mówiły o przypisywaniu ludzi do stolików lub do pokoi, to przyjmujemy, że:-osoby są rozróżnialne;-pokoje są rozróżnialne, np. ponumerowane;-stoliki są nierozróżnialne, tzn. identyczne

Przykład 1. Liczba rozmieszczeń n różnych przedmiotów (np. kulek, każda innego koloru) do m identycznych pudełek, gdy zajętych jest dokładnie k pudełek równa się Podobnie : n osób możemy rozsadzić przy dokładnie k stolikach na sposobów, jeśli przy stoliku może siedzieć nieograniczona liczba osób i sposóbich usadzenia przy danym stoliku nie ma znaczenia.

Przykład 2. Liczba będąca iloczynem n różnych liczb pierwszych może być przedstawiona w postaci iloczynu k różnych czynników (niekoniecznie będących liczbami pierwszymi) na sposobów.

Przykład 3. Rozważmy permutacje n liczb. Każda permutacja może byćprzedstawiona w postaci iloczynu rozłącznych cykli. Weźmy tylko te permutacje, których cykle (a konkretnie elementy tych cykli) są uporządkowane w pewien konkretny sposób, np. w porządku rosnącym. Permutacji n liczb spełniających tewłasność i rozkładających się na k cykli jest

Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju są

definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie

normalnych potęg na potęgi malejące (silnię dolną).

Zachodzi wówczas zależność:

" x do m-tej ubywającej "

Dla wykładników mniejszych od 0 silnię dolną definiuje się jako:

                                                      

               

m czynników

Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga drugiego rodzaju ilość sposobów podziału zbioru n–elementowego na k–podzbiorów niepustych, łatwo jest uzasadnić rekurencyjną zależność. Rozpatrzymy zbiór n–liczb, i wybierzmy jedną z nich. Jeżeli ta liczba stanowiła jednoelementowy podzbiór, to pozostałe n-1–liczb będzie podzielone na k-1–podzbiorów, zaś jedną liczbę można dodać na jeden sposób, jako kolejny podzbiór. Jeżeli liczba była elementem liczniejszego podzbioru, to pozostałe n-1–liczb zostało podzielone na k–podzbiorów, zaś dodatkową liczbę można dołączyć do każdego z podzbiorów, których jest k. Można to więc w tym przypadku zrobić na dokładnie k–sposobów. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można podzielić na 1 podzbiór na 1 sposób, a także na n–podzbiorów na 1 sposób.

Za pomocą funkcji tworzących udowodnimy teraz jawny wzór na

k

n

* Niech - oznacza liczbę k blokowych partycji zbioru n elementowego, czyli ilość możliwości podziału zbioru n elementowego na k niepustych podzbiorów.

Mamy zbiór n elementowy, musimy utworzyć k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dadzą nam nowy n elementowy zbiór. Rozpatrzmy np. pierwszy element:

1. może być on sam w którymś podzbiorze, a wtedy reszta (n-1 elementów) będzie rozłożona w k-1 niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, czyli na sposobów.

2. albo być w którymś z k podzbiorów, które zostały wcześniej podzielone na k niepustych podzbiorów, czyli sposobów jest

Sumując te dwa przypadki otrzymujemy:

(1)

( Rekurencja obejmuje również ujemne wartości jak i np. przypadki kiedy k>n, ale wtedy naturalnie =0 )

),( knf

)1,1( knf

),1( knfk

),1()1,1(),( knfkknfknf

),( knf

* Funkcje tworząceMamy możliwość wyboru czy będziemy obliczać funkcję tworzącą po zmiennej k czy n czy k i n jednocześnie (funkcje tworzące wielu zmiennych). My zajmiemy się tylko drugą z nich.Niech:

k

k

k

kn y

k

nyknfyA ),()(

n

n

n

nk x

k

nxknfxB ),()(

kn

kn

kn

kn yxk

nyxknfyxC

,,

),(),(

Funkcja )(xBkCzyli zgodnie z zasadą mnożymy (1) stronami przez i sumujemy po wszystkich n.

nx

n

n

n

nn

n

xknfkxknfxknf ),1()1,1(),(

n

n

n

nk xknfkxxknfxxB 11 ),1()1,1()(

)()()( 1 xkxBxxBxB kkk

)(1

)( 1 xBkx

xxB kk

dla k>0 (przyjmujemy B0 (x)=1) (2)

Zauważamy iż (2) można zapisać jako :

Wyciągnijmy xk i rozłóżmy na ułamki proste

Szukamy teraz współczynników Ai , jeśli pomnożymy przez 1-rx i podstawimy

za , wszystkie

po prawej wyzerują się i znajdziemy Ar

k

i

i

ix

A

kxxx 1 )1()1)...(21)(1(

1

rx

1

k

rii

ir ix

rxAA

kxxx

rx

1 )1(

)1(

)1)...(21)(1(

)1(

)!()!1(

11

rkr

rA

krk

r

Wróćmy do funkcji tworzącej

Szukamy współczynników przy xn w rozwinięciu funkcji , zauważmy że w liczniku występuje xk czyli właściwie szukamy współczynników przy xn-k funkcji

)1)...(21)(1( kxxx

x k

)1)...(21)(1(

1

kxxx Zapiszmy to formalnie:

)1)...(21)(1(

),(kxxx

xxknf

kn

=

)1)...(21)(1(

1

kxxxx kn

k

r

rkn

rx

Ax

1 )1(=

k

r

krkkn

rxrkr

rx

1

1

)1(

1

)!()!1(1

Szukamy współczynnika przy zmiennej x, wszystko co jej nie zawiera to jakby stała czyli można zapisać:

A teraz, wiemy że czyli

k

r

knk

rk

rxx

rkr

r

1

1

)1(

1

)!()!1(1

nn iix

x )1(

1 knkn iix

x )1(

1Zatem:

No i mamy jawny wzór na liczbę k-blokowych partycji zbioru n-elementowego:

k

nknf ),( =

k

r

nrk

rkr

r

1 )!(!1

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)

7= 1+2*3

Uzasadnienie:

Z każdego n-elementowego zbioru można stworzyć n!/n = (n-1)! różnych n-cykli, n>0. (Istnieje n! permutacji, a każdy n-cykl występuje n razy, bo każdy z jego elementów może być wypisany jako pierwszy.) Zatem otrzymujemy tezę.

Jest to znacznie więcej niż którą otrzymaliśmy w przypadku liczb podzbiorowych Stirlinga.

Uzasadnienie:

Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom)

Zatem: s(n,n) = S(n,n) , co daje 1.

Uzasadnienie:

Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom). Zatem: s(n,n) = S(n,n) oraz s(n,n-1) = S(n,n-1), co w każdym z przypadków daje 1.

(Liczba sposobów ustawienia n obiektów w n-1 cykli lub podzbiorów odpowiada liczbie sposobów wybrania dwóch obiektów, które będą w tym samym cyklu lub podzbiorze.)

Uzasadnienie:

Ponieważ każda permutacja definiuje układ cykli (i odwrotnie, każdy układ cykli permutację), jest liczbą permutacji n obiektów, które zawierają dokładnie k cykli. Jeżeli zsumujemy ją po wszystkich k, dla całkowitych i nieujemnych n musimy otrzymać całkowitą liczbę permutacji.

Np.: 6+11+6+1=24=4!

Związek liczb Stirlinga i liczb Bella

Liczba Bella dla liczby naturalnej n (ozn: Bn) to liczba podziałów zbioru {1,...,n}.

Bn = S(n,k)

1

1

2

5

15

52

203

877

4140

21147

Związek pomiędzy liczbami Stirlinga II rodzaju i funkcjami z X na Y

Niech X i Y będą zbiorami skończonymi, |X|= n i |Y| = m.

Ile jest wszystkich funkcji całkowitych ze zbioru X w Y ?

|X|

|Y|

Ile jest różnych funkcji całkowitych różnowartościowych ?

m*(m-1)*...*3*2*1

Ile jest funkcji całkowitych z X na Y ?

Zauważmy, że jeśli mamy podział zbioru X na k części, to przypisując tym częściom elementy zbioru Y określamy funkcję z X na Y.

Niech Y będzie zbiorem cztero-elementowym.

X:

1 2 3 4Każdy taki podział determinuje funkcję na zbiór Y określoną jako

f(x)= y1, jeśli x jest elementem niebieskim, f(x)= y2, jeśli x jest czerwony, f(x)= y3, jeśli x jest żółty,

f(x)= y4 , jeśli x jest zielony.

Mamy dokładnie S(n,k) różnych

podziałów zbioru X na k części.

2 3 4 1

k! różnych przypisań wartości

PRZYGOTOWAŁY:

• Edyta Kordowska

• Katarzyna Młodzikowska

• Agnieszka Potaś