7/26/2019 Kolo OMG Zestaw 10 Rozwiazania

1/5

Koo MatematyczneG i m n a z j a l i s t wStowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

Zestaw 10 szkice rozwiaza zada

1. Rozwi ukad rwna:

(x+y)(x+y+z)=72

(y+z)(x+y+z)=120

(z+x)(x+y+z)=96.

Rozwizanie

Dodajc rwnania danego ukadu stronami i wyczajc wsplny czynnik

przed nawias, otrzymujemy:(x+y+z)(x+y+y+z+z+x)=288

2(x+y+z)(x+y+z)=288

(x+y+z)2 =144,

stdx+y+z = 12 lub x+y+x=12.

Jeeli x+y+z=12, to dany w zadaniu ukad rwna moemy zapisa w postaci:

x+y= 6y+z = 10

z+x= 16,

skd x= 2, y= 4, z = 6.Postpujc analogicznie w przypadku drugim, gdy x+y+z=12, dostajemyx=2, y=4, z=6. Bezporednim podstawieniem sprawdzamy, e obietrjki liczb s rozwizaniami danego ukadu rwna.

2. Udowodnij, e dla dowolnych liczb rzeczywistych aibzachodzi nierwno:a2+b2+1ab+a+b.

Rozwizanie

Zauwamy, e

a2+b2+c2abbcca=12

(a22ab+b2+b22bc+c2+c22ca+a2) =

=1

2

(ab)2+(bc)2+(ca)2

0,

1

7/26/2019 Kolo OMG Zestaw 10 Rozwiazania

2/5

std dla dowolnych liczb rzeczywistych a, bi cprawdziwa jest nierwno

a2+b2+c2ab+bc+ca.

Przyjmujc w tej nierwnoci c= 1, dostajemy tez.

3. May majsterkowicz Kazio przygotowa na szkoln dyskotek efekty

wietlne wasnego pomysu. arwki, ktrych jest 1000 i ktre s ponume-rowane liczbami od 1 do 1000, s wczane i wyczane specjalnym przecz-nikiem. Kolejnek-te nacinicie przecznika zmienia stan wszystkich arweko numerach podzielnych przez k. Na pocztku dyskoteki wszystkie arwkibyy wyczone. Pierwsze nacinicie przecznika zapala wszystkie arwki.Drugie nacinicie gasi wszystkie arwki o numerach parzystych. Po trzecimuyciu przecznika wiec si arwki o numerach nieparzystych i jednocze-nie niepodzielnych przez 3 oraz o numerach parzystych i podzielnych przez 3.Pod koniec dyskoteki okazao si, e Kazio naciska przecznik 1000 razy.

Ktre arwki wieciy si po zakoczeniu dyskoteki?Rozwizanie

Zauwamy, e stan k-tej arwki zmienia si tyle razy ile dzielnikw natural-nych ma liczba k. Zatem po zakoczeniu dyskoteki bd si wieciy arwkio numerach, ktre maj nieparzyst liczb dzielnikw. Wykaemy, e takimiliczbami s kwadraty liczb naturalnych. Rozpatrzmy liczb k, ktra ma pa-rzyst liczb dzielnikw:

d1

7/26/2019 Kolo OMG Zestaw 10 Rozwiazania

3/5

4. Czy istniej takie dwie liczby xi y, aby jednoczenie zachodziy rwnoci:

x(yx) = 3 i y(4y3x) = 2.

Odpowied uzasadnij.

Zamy, e takie liczby istniej. Odejmujc stronami dane rwnania, dosta-jemy:xyx24y2+3xy= 1

(x24xy+4y2) = 1

(x2y)2 =1.

Ostatnia rwno nie moe zachodzi, bo kwadrat liczby nie moe by liczbujemn. Uzyskana sprzeczno dowodzi, e takie liczby nie istniej.

5. PunktCley wewntrz odcinkaAB . Niech okrgio1,o2i obd okrgamio rednicach odpowiednio AC, BC i AB. Prosta kprzechodzi przez punkt Ci przecina okrgi w piciu punktach D, E, C, F, G, pooonych na tej prostejw wymienionej kolejnoci. Wyka, e odcinki DE i FGs rwnej dugoci.

Rozwizanie

Niech punkt Enaley do okrgu o1, punkt F do okrgu o

2 oraz niech

punkt O bdzie rodkiem okrgu o. Kt wpisany w okrg oparty na rednicyjest ktem prostym, wic AEDG i BFDG.

Proste AE i BFs zatem rwnolege i przechodz przez koce rednicy AB

okrgu o. Punkt O, bdcy rodkiem okrgu o, jest jednakowo oddalony od

3

7/26/2019 Kolo OMG Zestaw 10 Rozwiazania

4/5

prostychAEi BF. Niech prosta kbdzie prost przechodzc przez punkt Oi rwnoleg do prostych AE i BF. Jest zatem ta prosta osi symetrii fguryotworzonej z prostych AEi BF, okrgu o, oraz prostej DG. Std odcinkiDEi FGs symetryczne wzgldem prostej k, czyli maj t sam dugo.

6. Pewna liczba naturalna ma w ukadzie dziesitnym posta x0yz, gdzie

x,y,zs cyframi orazx>0. Liczba ta podzielona przez pewn liczb naturalnndaje iloraz, ktry w ukadzie dziesitnym jest postaci xyz. Znale x, y, zoraz n.

Rozwizanie

Niechx0yz =1000x+10y+z oraz xyz =100x+10y+z.

Zgodnie z warunkami zadania zachodzi rwno

1000x+10y+z =n (100x+10y+z),

ktr moemy zapisa rwnowanie

(1) 100x(10n)=(10y+z)(n1).

Jelin11, to rwno (1) zachodzi nie moe, bo lewa strona byaby ujemna,a prawa dodatnia. Analogicznie, rwno (1) zachodzi nie moe, gdy n5, bowtedy lewa strona rwnoci jest rwna co najmniej 500, a prawa jest mniejszaod 400. Std moliwe wartoci nnale do zbioru {6, 7, 8, 9, 10}.Zbadamy teraz te pi moliwych przypadkw:

(a) Niech n = 6. Rwno (1) przyjmuje wtedy posta 80x = 10y+ z. Lewastrona otrzymanej rwnoci jest podzielna przez 10, wic jej prawa strona temusi by podzielna przez 10. Std z =0, a wtedy x= 1 i y= 8.

(b) Jeeli n = 7, to rwno (1) moemy zapisa 50x = 10y+ z. Rozumujcpodobnie jak w punkcie (a), dostajemy: z = 0, x= 1, y= 5.

(c) Jeli n= 8, to zaleno (1) przyjmuje posta 200x = 7(10y+z). Wtedymoe by jedynie x= 7 i std 200 = 10y+z. Jednak ta rwno zachodzi niemoe, bo 10y+z 99< 200.

(d) Niech n= 9. Rwno (1) moemy zapisa w postaci 25x= 20y+2z, stdzmusi by podzielna przez 5, czyli z = 0 lub z = 5.Gdy z = 0, to poprzez rozumowanie jak w przypadku (a), otrzymujemy x= 4i y = 5; gdy natomiast z = 5, to dostajemy rwno 5x= 4y+2, ktrej prawastrona jest parzysta i niepodzielna przez 4. Std moe by x= 2 lub x=6. Dlax= 2 otrzymujemy y= 2, a dlax=6 dostajemy y= 7.

(e) Jeeli n= 10, rwno (1) przyjmuje posta 100x 0=9(10y+z). Rwnota zachodzi dla kadej liczby x {1, 2, 3, . . . , 9}. Wtedy 10y+ z= 0, a stdy= z = 0.

4

7/26/2019 Kolo OMG Zestaw 10 Rozwiazania

5/5

Reasumujc, dla poszczeglnych wartocin, otrzymujemy nastpujce rozwi-zania (x,y,z): dla n = 6 mamy (1,8,0), dla n = 7 mamy (1,5,0), dla n = 9mamy (4,5,0) lub (2,2,5), lub (6,7,5), a dla n = 10 mamy (x,0,0), gdziex{1, 2, 3, . . . , 9}.

7. Rozstrzygnij czy istnieje wielocian o szeciu cianach i siedmiu wierzcho-kach.Rozwizanie

Taki wielocian istnieje zobacz rysunek poniej. Punkty: A, C, F, G i Dle w jednej paszczynie.

5