Klasyczne zdania kategoryczne

Elementy logiki i metodologii naukElementy logiki i metodologii nauk

spotkanie III

Bartosz Gostkowski

Poznań, 20 X ‘09

Plan wykładu:

Podział zdań z uwagi na funkcję logiczną operatora „jest”

Zdania kategoryczne

Kwadrat logiczny

Konwersja, Obwersja, Kontrapozycja

Słówko „jest” funkcjonuje w zdaniach na trzy różne sposoby:

(i) ZDANIA EGZYSTENCJALNE: stwierdza istnienie jakiegoś obiektu;

Oto jestem!

Nie ma prostego sposobu rozwiązania Konfliktu Bliskowschodniego.

PODZIAŁ ZDAŃ Z UWAGI NA FUNKCJĘ LOGICZNĄ OPERATORA „JEST”

Słówko „jest” funkcjonuje w zdaniach na trzy różne sposoby:

(i) ZDANIA EGZYSTENCJALNE: stwierdza istnienie jakiegoś obiektu;

Oto jestem!

Nie ma prostego sposobu rozwiązania Konfliktu Bliskowschodniego.

(ii) ZDANIA ATOMICZNE: orzeka przynależność elementu do kategorii;

PODZIAŁ ZDAŃ Z UWAGI NA FUNKCJĘ LOGICZNĄ OPERATORA „JEST”

Leokadia jest słonicą.

Didier Drogba jest wspaniałym napastnikiem.

Słówko „jest” funkcjonuje w zdaniach na trzy różne sposoby:

(i) ZDANIA EGZYSTENCJALNE: stwierdza istnienie jakiegoś obiektu;

Oto jestem!

Nie ma prostego sposobu rozwiązania Konfliktu Bliskowschodniego.

(ii) ZDANIA ATOMICZNE: orzeka przynależność elementu do kategorii;

PODZIAŁ ZDAŃ Z UWAGI NA FUNKCJĘ LOGICZNĄ OPERATORA „JEST”

Leokadia jest słonicą.

Didier Drogba jest wspaniałym napastnikiem.

(iii) ZDANIA KATEGORYCZNE: określa rodzaj relacji między klasami przedmiotów;

Każdy superbohater jest na czarnej liście jakiegoś superłotra.

Niektóre wieloryby są samotnikami.

Żaden jedwabnik nie jest ssakiem.

Niektóre zabawki nie są niebezpieczne dla dzieci.

Cechą wyróżniającą zdań kategorycznych jest ich struktura.

Każde zdanie kategoryczne można przekształcić do postaci pasującej do schematu:

PODZIAŁ ZDAŃ Z UWAGI NA FUNKCJĘ LOGICZNĄ OPERATORA „JEST”

[K] S jest P

Gdzie:

(i) za S i P podstawiamy nazwy (niepuste!)

(ii) zaś w miejscu [K] pojawia się któreś z następujących słówek:

• Każdy [każda/ każde]

• Niektóry [niektóra/ niektóre]

• Żaden [żadna/ żadne/ żadni/ żadne]

Plan wykładu:

Podział zdań z uwagi na funkcję logiczną operatora „jest”

Zdania kategoryczne

Kwadrat logiczny

Konwersja, Obwersja, Kontrapozycja

Podział zdań kategorycznych:

• z uwagi na kryterium jakości, wyróżniamy twierdzące lub przeczące

• z uwagi na kryterium ilości, wyróżniamy ogólne lub szczegółowe

zdania kategoryczne.

ZDANIA KATEGORYCZNE

Podział zdań kategorycznych:

• z uwagi na kryterium jakości, wyróżniamy twierdzące lub przeczące

• z uwagi na kryterium ilości, wyróżniamy ogólne lub szczegółowe

zdania kategoryczne.

ogólno-twierdzące SaP

ZDANIA KATEGORYCZNE

ogólno-twierdzące SaP

szczegółowo-twierdzące

SiP

ogólno-przeczące SeP

szczegółowo-przeczące

SoP

AFFIRMO - twierdzę

NEGO- przeczę

OTRZYMUJEMY ZATEM ZDANIA

ogólno-twierdzące SaP

szczegółowo-twierdzące

SiP

ZDANIA KATEGORYCZNE

twierdząceSiP

ogólno-przeczące SeP

szczegółowo-przeczące

SoP

ogólno-twierdzące SaP

szczegółowo-twierdzące

SiP

Każde S jest P.

Niektóre S są P.

ZDANIA KATEGORYCZNE

twierdząceSiP

ogólno-przeczące SeP

szczegółowo-przeczące

SoP

Niektóre S są P.

Żadne S nie jest P.

Niektóre S nie są P

ogólno-twierdzące SaP

szczegółowo-twierdzące

SiP

Każde S jest P.

Niektóre S są P.

Nie istnieje takie S, które nie jest P.

Istnieje S, które jest P.

ZDANIA KATEGORYCZNE

twierdząceSiP

ogólno-przeczące SeP

szczegółowo-przeczące

SoP

Niektóre S są P.

Żadne S nie jest P.

Niektóre S nie są P

Istnieje S, które jest P.

Nie istnieje takie S, które jest P.

Istnieje takie S, które nie jest P.

Plan wykładu:

Podział zdań z uwagi na funkcję logiczną operatora „jest”

Zdania kategoryczne

Kwadrat logiczny

Konwersja, Obwersja, Kontrapozycja

WYKLUCZANIE

KWADRAT LOGICZNY

DOPEŁNIANIE

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

KWADRAT LOGICZNY

p:= Edward jest głodny.

q:= Edward jest syty.

Nie może być tak, że v(p)=1 i v(q)=1(oba zdania są prawdziwe)

Choć może być tak, że v(p)=0 i v(q)=0(oba zdania są fałszywe)

DOPEŁNIANIE

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

KWADRAT LOGICZNY

p:= Edward jest głodny.

q:= Edward jest syty.

Nie może być tak, że v(p)=1 i v(q)=1(oba zdania są prawdziwe)

Choć może być tak, że v(p)=0 i v(q)=0(oba zdania są fałszywe)

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

p:= Część studentów poszła na piwo.

q:= Część studentów nie poszła na piwo.

Nie może być tak, że v(p)=0 i v(q)=0(oba zdania są fałszywe)

Choć może być tak, że v(p)=1 i v(q)=1(oba zdania są prawdziwe)

SaP SeP

KWADRAT LOGICZNY; SPRZECZNOŚĆ

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

SiP SoP

SPRZECZNOŚĆ:= WYKLUCZANIE I DOPEŁNIANIE

SaP SeP

KWADRAT LOGICZNY; SPRZECZNOŚĆ

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

Niech:

S:= słoń

SiP SoP

SPRZECZNOŚĆ:= WYKLUCZANIE I DOPEŁNIANIE

P:= ssak

Wtedy:

SaP:= Każdy słoń jest ssakiem.

SoP:= Niektóre słonie nie są ssakami.

To para zdań sprzecznych

SaP SeP

KWADRAT LOGICZNY; SPRZECZNOŚĆ

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

Niech:

S:= filozof

SiP SoP

SPRZECZNOŚĆ:= WYKLUCZANIE I DOPEŁNIANIE

P:= gad

Wtedy:

SeP:= Żaden filozof nie jest gadem.

SiP:= Niektórzy filozofowie są gadami.

To para zdań sprzecznych

SaP SeP

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

KWADRAT LOGICZNY; PRZECIWIEŃSTWO

SiP SoP

PRZECIWIEŃSTWO:= WYKLUCZANIE I BRAK DOPEŁNIANIA

SaP SeP

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

KWADRAT LOGICZNY; PRZECIWIEŃSTWO

Niech:

S:= pastuszek

SiP SoP

PRZECIWIEŃSTWO:= WYKLUCZANIE I BRAK DOPEŁNIANIA

P:= szczęśliwy

Wtedy:

SaP:= Każdy pastuszek jest szczęśliwy.

SeP:= Żaden pastuszek nie jest szczęśliwy.

To para zdań przeciwnych.

SaP SeP

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

KWADRAT LOGICZNY; PRZECIWIEŃSTWO

SiP SoP

PODPRZECIWIEŃSTWO:= BRAK WYKLUCZANIA I DOPEŁNIANIE

SaP SeP

WYKLUCZANIE

Zdania p i q wykluczają się wtw p i q nie mogą być zarazem prawdziwe

DOPEŁNIANIE

Zdania p i q dopełniają się wtw p i q nie mogą być zarazem fałszywe

KWADRAT LOGICZNY; PRZECIWIEŃSTWO

Niech:

S:= kosmonauta

SiP SoP

PODPRZECIWIEŃSTWO:= BRAK WYKLUCZANIA I DOPEŁNIANIE

P:= alkoholik

Wtedy:

SiP:= Niektórzy kosmonauci są alkoholikami.

SoP:= Niektórzy kosmonauci nie są alkoholikami.

To para zdań podprzeciwnych.

SaP SeP

WYNIKANIE

Zdanie q wynika ze zdania p wtw nie może być tak, że v(p)=1, zaś v(q)=0(ze zdania prawdziwego nie może wynikać zdanie fałszywe)

KWADRAT LOGICZNY; PODPORZĄDKOWANIE

SiP SoP

PODPORZĄDKOWANIE := WYNIKANIE

SaP SeP

WYNIKANIE

Zdanie q wynika ze zdania p wtw nie może być tak, że v(p)=1, zaś v(q)=0(ze zdania prawdziwego nie może wynikać zdanie fałszywe)

KWADRAT LOGICZNY; PODPORZĄDKOWANIE

Niech:

S:= superłotr

P:= nieszczęśliwy

SiP SoP

PODPORZĄDKOWANIE := WYNIKANIE

Wtedy:

SaP:= Każdy superłotr jest nieszczęśliwy.

SiP:= Niektórzy superłotrowie są nieszczęśliwi.

Zdanie SiP jest podporządkowanezdananiu SaP.

SiP wynika z SaP

SaP SeP

WYNIKANIE

Zdanie q wynika ze zdania p wtw nie może być tak, że v(p)=1, zaś v(q)=0(ze zdania prawdziwego nie może wynikać zdanie fałszywe)

KWADRAT LOGICZNY; PODPORZĄDKOWANIE

Niech:

S:= bokser

P:= laureat Pokojowej Nagrody Nobla

Wtedy:

SiP SoP

PODPORZĄDKOWANIE := WYNIKANIE

Wtedy:

SeP:= Żaden bokser nie jest laureatem Pokojowej Nagrody Nobla.

SoP:= Niektórzy bokserzy nie są laureatami Pokojowej Nagrody Nobla.

Zdanie SeP jest podporządkowanezdananiu SoP.

SiP wynika z SaP

SaP SePPRZECIWIEŃSTWO

PO

DP

OR

ZĄ

DK

OW

AN

IE

PO

DP

OR

ZĄ

DK

OW

AN

IE

SiP SoP

PO

DP

OR

ZĄ

DK

OW

AN

IE

PO

DP

OR

ZĄ

DK

OW

AN

IE

PODPRZECIWIEŃSTWO

Plan wykładu:

Podział zdań z uwagi na funkcję logiczną operatora „jest”

Zdania kategoryczne

Kwadrat logiczny

Konwersja, Obwersja, Kontrapozycja

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

Niech x oznacza któryś z operatorów zdań kategorialnych (a, i, e, o)

Konwersją zdania kategorycznego SxP jest zdanie kategoryczne PxS takie, że:

(i) w obu zdaniach, te same nazwy są podstawiane za S i P;

(ii) jakość zostaje zachowana;(zdanie twierdzące konwertuje się na zdanie twierdzące, a przeczące wyłącznie na zdanie przeczące)

(iii) prawdziwość zostaje zachowana; (tj. jeśli konwertowane zdanie było prawdziwe, to zdanie powstałe po konwersji również jest prawdziwe)

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

KONWERSJA

SaP

SeP

Każdy strażak jest bohaterem. PiS

PeS

Niektórzy bohaterowie są strażakami.

Żaden słoń nie jest brzydki Żaden brzydki (obiekt) nie jest słoniem..SeP

SiP

SoP

PeS

PiS

Żaden słoń nie jest brzydki

Niektórzy filozofowie są surferami Niektórzy surferzy są filozofami

Niektórzy drwale nie są czuli.

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

Niech x oznacza któryś z operatorów zdań kategorialnych (a, i, e, o)

Obwersją zdania kategorycznego SxP jest zdanie kategoryczne SxP’ takie, że:

(i) w obu zdaniach, ta sama nazwa jest podstawiana za S;

(ii) P’ to nazwa dopełnienia zakresu nazwy P(jeśli P:= słoń, to P’:= nie-słoń, tj. do zakresu P’ należy każdy obiekt uniwersum, który nie jest słoniem)

(iii) ilość zdania zostaje zachowana;(zdanie ogólne konwertuje się na zdanie ogólne, a szczegółowe wyłącznie na zdanie szczegółowe)

(iv) prawdziwość zostaje zachowana; (tj. jeśli konwertowane zdanie było prawdziwe, to zdanie powstałe po konwersji również jest prawdziwe)

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

OBWERSJA

SaP

SeP

Każdy strażak jest bohaterem. SeP’

SaP’

Żaden strażak nie jest nie-bohaterem

Żaden słoń nie jest brzydki Każdy słoń jest piękny (nie-brzydki). SeP

SiP

SoP

SaP’

SoP’

Żaden słoń nie jest brzydki

Niektórzy filozofowie są surferami Niektórzy filozofowie nie są nie-surferami

Niektórzy drwale nie są czuli Niektórzy drwale są nie-czuli.SiP’

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

Niech x oznacza któryś z operatorów zdań kategorialnych (a, i, e, o)

Kontrapozycją zdania kategorycznego SxP jest zdanie P’xS’ takie, że:

(i) S’ to nazwa dopełnienia zakresu nazwy S a P’ to nazwa dopełnienia zakresu P(jeśli P:= słoń, to P’:= nie-słoń, tj. do zakresu P’ należy każdy obiekt uniwersum, który nie jest słoniem)

(iii) jakość zdania zostaje zachowana;(zdanie twierdzące konwertuje się na zdanie twierdzące, a przeczące wyłącznie na zdanie przeczące)

(iv) prawdziwość zostaje zachowana; (tj. jeśli konwertowane zdanie było prawdziwe, to zdanie powstałe po konwersji również jest prawdziwe)

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

KONTRAPOZYCJA

SaP

SeP

Każdy strażak jest bohaterem. P’aS’

P’oS’

Każdy nie-bohater jest nie-strażakiem

Żaden słoń nie jest brzydki Niektóre ładne (obiekty) nie są nie-słoniami.SeP

SiP

SoP

P’oS’Żaden słoń nie jest brzydki

Niektórzy filozofowie są surferami

Niektórzy drwale nie są czuli Niektórzy nie-czuli nie są nie-drawalami.P’oS’

KONWERSJA, OBWERSJA, KONTRAPOZYCJA

KONTRAPOZYCJA

SaP

SeP

P’aS’

P’oS’

PiS

PeS

KONWERSJA OBWERSJA

SeP’

SaP’SeP

SiP

SoP

P’oS’

P’oS’

PeS

PiS

SaP’

SoP’

SiP’