8/15/2019 Karta wzorow - liczby_zespolone

1/2

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW  --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA LLIICCZZBBYY ZZEESSPPOOLLOONNEE 

Definicja: Liczby zespolone (complex) ,x - część rzeczywista (Re z ), y  – część urojona (Im z ) l.z.

Postać algebraiczna:  z  = x  + i y  , i – jednostka urojona l.z., gdzie i2 = -1. 

Własności: 

1) z1 = z2 x1 = x2  ∧ y1 = y2 

2) z1 ± z2 = (x1 ± x2; y1 ± y2) = (x1 ± x2) +i(y1 ± y2)3) z1 · z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

4)              

Definicje: liczba przeciwna:  z = (- x; - y) =  x – iy; z + ( z) = 0

liczba odwrotna:    

sprzężenie l.z.:   moduł l.z.:         

Własnościsprzężenia: 

Własnościmodułu: 

   

  Argument główny: arg z – najmniejszy nieujemny kąt spełniający warunek  

 Argument l.z.:   

  r ≥ 0– moduł l. z.; φ ∊ R– argument l.z. 1)  2)

 ;  3)   - wzór Moivre’a 4)  5)

   6)  

  r ≥ 0– moduł l. z.; φ ∊ R– argument l.z. 

1) 2)   5) z3)

  6)

 

4)   7)  8)  1)   4)  2)   5)  3)   6)  7)  

1) ; arg z≠0 2)  3) ;  arg z≠0 

4) ; k  = 0 lub k  =  15)  6) ; k  = 0 lub k  = 1; z 2≠0

1)   2)  3)   4)  5)   6)     

z1 = x1 + iy1

z2 = x2 + iy2

z = x + iy 

 Argument i

argument

główny liczbyzespolonej

z = x + iy ≠ 0:

Własnościargumentu:

z ≠ 0 

Postaćtrygono-

metryczna:

Postać

wykładnicza: 

8/15/2019 Karta wzorow - liczby_zespolone

2/2

K K K AAAR R R TTTAAA WWWZZZOOOR R R ÓÓÓWWW  --- AAALLLGGGEEEBBBR R R AAA III GGGEEEOOOMMMEEETTTR R R IIIAAA 

 Pierwiastek n-tego stopnia w:   n ϵ N w,z ϵ  C ozn.         Uwaga: Istnieje zawsze n pierwiastków takiego równania       Wzór:        , k = 0, 1, 2, …, n-1        – najmniejszy nieujemny argument

 

7)   8)  1)   4)  2)

;   5) ;  3)   6)  

Wzory Eulera:

Pierwiastkowanie

liczby zespolonej:

Interpretacja

geometryczna

pierwiastkówliczby zespolonej: