Podręcznik, klasa

zakres podstawowyi rozszerzony

Matematykapoznać, zrozumieć

LICEUM I TECHNIKUM

Podręczniki ćwiczeniatakże w wersjionlineOferta:sklep.wsip.pl

Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Tomasza Karpowicza.Zakres kształcenia: podstawowy i rozszerzonyEtap edukacyjny: IVTyp szkoły: szkoły ponadgimnazjalneRok dopuszczenia: 2012

Numer ewidencyjny w wykazie wspólny dla tradycyjnej i elektronicznej formy podręcznika: 582/1/2012

© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o.Warszawa 2013

Wydanie I

ISBN 978-83-02-13350-3

Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Agnieszka Trzpil-Gajek (redaktor koordynator, redaktor merytoryczny), Aneta Juchimiuk (redaktor merytoryczny), Ewa Kowalik (współpraca redakcyjna)Konsultacje naukowe: Leon GulgowskiRedakcja językowa: Milena SchefsRedakcja techniczna: Janina SobońProjekt okładki: Paweł RafaProjekt stron działowych: Joanna PlakiewiczProjekt graficzny: Katarzyna TrzeszczkowskaOpracowanie graficzne: Joanna PlakiewiczOpracowanie kartograficzne: Jerzy DomosudFotoedycja: Ignacy SkładowskiSkład i łamanie, rysunki: MathMaster Studio

Zalecane wymagania systemowe i sprzętowePodręcznik elektroniczny w formacie PDF otwierany na komputerach PC i MAC wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (http://get.adobe.com/reader/); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Apple iOS wymaga zainstalowania bezpłatnego programu iBooks (do pobrania ze sklepu App Store); otwierany na tabletach i telefonach z systemem Android wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (do pobrania z Google Play).Pomoc techniczna: epomoc@wsip.com.pl

Materiały, do których masz dostęp, nie mogą być rozpowszechniane publicznie, nie mogą być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzanie ich opracowaniem wymaga uzyskania zgody.

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne spółka z ograniczoną odpowiedzialnością00-807 Warszawa, Al. Jerozolimskie 96Tel.: 22 576 25 00Infolinia: 801 220 555www.wsip.pl

Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

S P I S T R E Ś C I

O podręczniku .................................................................................................................. 6

1. Zbiór l iczb rzeczywistych i jego podzbiory ............................................................................ 11

1.1 Język matematyki .................................................................................................... 121.2 Zbiory i działania na zbiorach ................................................................................. 191.3 Liczby naturalne i liczby całkowite .......................................................................... 251.4 Liczby wymierne i liczby niewymierne .................................................................... 321.5 Liczby rzeczywiste ................................................................................................... 391.6 Potęga o wykładniku całkowitym. Notacja wykładnicza ........................................... 431.7 Wzory skróconego mnożenia .................................................................................. 481.8 Pierwiastek dowolnego stopnia ............................................................................... 531.9 Potęga o wykładniku wymiernym ........................................................................... 591.10 Procenty .................................................................................................................. 651.11 Przedziały liczbowe ................................................................................................. 711.12 Wartość bezwzględna .............................................................................................. 761.13 Błąd przybliżenia ..................................................................................................... 831.14 Pojęcie logarytmu .................................................................................................... 87

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu .................................................. 93

2. Funkcja i je j własności ................................................................................. 97

2.1 Pojęcie funkcji. Sposoby opisywania funkcji ........................................................... 982.2 Wykres funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji ................................................. 1072.3 Wzór funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji ..................................................... 1132.4 Monotoniczność i różnowartościowość funkcji ....................................................... 1192.5 Odczytywanie własności funkcji z wykresu ............................................................. 1272.6 Rysowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach ........................................... 1342.7 Zastosowanie wiadomości o funkcjach w zadaniach praktycznych ......................... 141

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu .................................................. 149

3. Funkcja l in iowa ....................................................................... 153

3.1 Proporcjonalność prosta .......................................................................................... 1543.2 Funkcja liniowa i jej własności ................................................................................ 1583.3 Równoległość i prostopadłość prostych ................................................................... 1673.4 Zastosowanie funkcji liniowej do opisywania zjawisk z życia codziennego ............ 1773.5 Funkcja przedziałami liniowa ................................................................................. 1803.6 Równania liniowe .................................................................................................... 184

S P I S T R E Ś C I

3.7 Nierówności liniowe ............................................................................................... 1893.8 Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną ..................................... 1983.9 Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi .............................................. 2043.10 Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem układów równań liniowych ...... 2103.11 Nierówności i układy nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi .. 214

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................. 218

4. Wektory ........................................................................................... 221

4.1 Wektory w układzie współrzędnych ....................................................................... 2224.2 Wektory na płaszczyźnie ....................................................................................... 2274.3 Działania na wektorach na płaszczyźnie ................................................................ 2304.4 Działania na wektorach w układzie współrzędnych ............................................... 235

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................ 238

5. Przekszta łcanie wykresów funkcj i ........................................................................ 239

5.1 Symetria względem osi układu współrzędnych ...................................................... 2405.2 Symetria względem początku układu współrzędnych ............................................ 2455.3 Przesunięcia wykresu funkcji równolegle do osi x i do osi y .................................. 2505.4 Wykres funkcji y = |f(x)| ......................................................................................... 2575.5 Wykresy funkcji y = f(k . x), y = k . f(x), k �R\{0} ..................................................... 262

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................. 265

6. Funkcja kwadratowa ....................................................................................... 269

6.1 Funkcja f(x) = ax2, a ��0.......................................................................................... 2706.2 Przesunięcia wykresu funkcji f(x) = ax2, a ��0 .......................................................... 2756.3 Postać ogólna i postać kanoniczna funkcji kwadratowej ......................................... 2786.4 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ....... 2836.5 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale

domkniętym ........................................................................................................... 2906.6 Zastosowanie własności funkcji kwadratowej ........................................................ 2936.7 Funkcja kwadratowa w zadaniach optymalizacyjnych ............................................ 2976.8 Wzory Viète’a i ich zastosowanie ............................................................................ 3016.9 Równania kwadratowe ........................................................................................... 3056.10 Równania i układy równań rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych ....... 3106.11 Nierówności kwadratowe ....................................................................................... 313

S P I S T R E Ś C I

6.12 Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności kwadratowych ............. 3176.13 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem .............................................. 3206.14 Wykresy funkcji kwadratowych z wartością bezwzględną....................................... 325

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................. 329

7. Trygonometr ia część 1 ....................................................................................................... 333

7.1 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ............................. 3347.2 Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0° do 180° w układzie

współrzędnych ....................................................................................................... 3407.3 Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach

od 0° do 180° ......................................................................................................... 3477.4 Podstawowe tożsamości trygonometryczne............................................................ 3527.5 Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest wartość

sinusa lub cosinusa kąta ........................................................................................ 3577.6 Zastosowanie trygonometrii ................................................................................... 361

A gdyby matura była teraz? Podsumowanie działu ................................................. 366

Bank zadań ........................................................................................ 369

Wartości funkcji trygonometrycznych ............................................................................ 404

Odpowiedzi ....................................................................................... 405

Indeks ................................................................................................................................................................. 429

wad atowawwad atoowaoFunkcja Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej z wykorzystanieem jej wzoru

odczytywanie z wykresu własności funkcji

wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji jze funkcji

kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i ww postaci

iloczynowej (o ile istnieje)

wyznaczanie wartości najmniejszej i wartości największejj funkcji

kwadratowej w przedziale domkniętym

wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej do interppretacji

różnych zagadnień

rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą

stosowanie wzorów Viète’a

rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem

rozwiązywanie układów równań, prowadzących do równań kwadratowych

szkicowanie wykresów funkcji y = |y f(ff x(( )| na podstawie wykresu funkcji x

y =y f(ff x(( )x

szkicowanie wykresu funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami

6Podręcznik został podzielony na siedem rozdziałów tematycznych. Na jego końcu zamieszczono odpowiedzi do większości znajdujących się w nim zadań.

O podręczniku

Strona działowa z wymaganiami szczegółowymi z podstawy programowej dla zakresu podstawowego i rozszerzonego

nieeem jej wzoru

zorzz jjjjze ffunkcff jji

i www postaci

szejjjjj ffunkcji ff

terpppppretacji

z jedną niewiado

z parametrem

ównań kwadrato

wykresu funkc

rzedziałach różn

omąąąąąąąąąąąąąąąąąą

owyyycycycycyccycyccyyyycycccyycyccyycyccyycyyyyyy hhhhhhhhhhhhhhhhhcji yyyyy ================yyyyyyy ffffffffffffffffffffffff((((((((((((((((((((((((((ffffff((((((((fffffffffff xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx(((((x(( )))))))))xnymmimimimmimmimimimiimmimimmmmimmmmmmmimmmmmm wz wz wzwzwz wzwzowwwwzowzowwzz wzoow wzwwz wzooo wwzw oow oowzwwwzoo wzoow ooww oowww wzoo wzowww owwww rami

A gdyby sprawdzian był teraz? Zestawy krótkich zadań

zamkniętych i otwartych, sprawdzających opanowanie

wiadomości z danego tematu

Odsyłacz do Banku zadań

ZESTAW II – poziom rozszerzony

Zadanie 1. (2 p.)Miejscami zerowymi funkcji kwadratowejy = f(x) są liczby –5 i 3. Do paraboli będącejwykresem funkcji f należy punkt A = (5, 4).Rozwiąż równanie f(x) = 4.

Zadanie 2. (2 p.)Wyznacz współczynniki we wzorze funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, jeżeli jejzbiorem wartości jest przedział (−∞; 4〉, natomiast zbiorem rozwiązań nierównościf(x) < 0 jest (−∞; −2) ∪ (5; +∞).

Zadanie 3. (3 p.)Wpłacamy do banku na lokatę 5000 zł. Jakie powinno być oprocentowanie lokaty, jeżelioczekujemy, że przy rocznej kapitalizacji odsetek po dwóch latach na koncie będzie co naj-mniej 5500 zł?

Zadanie 4. (3 p.)Zbadaj, dla jakich wartości parametru k nierówność x2 + (2k − 2)x − k + 3 > 0 jest speł-niona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Zadanie 5. (4 p.)Ustal, dla jakich wartości parametru m jeden pierwiastek równaniax2 + 2mx + 2m − 1 = 0 jest większy od 3, a drugi mniejszy od 3.

Zadanie 6. (5 p.)Dana jest prosta o równaniu x + y + 3 = 0 oraz parabola o równaniux2 − (m − 2)x − y + m = 0, gdzie m jest parametrem. Dla jakich wartości parametru m częścią wspólną paraboli i prostej jest jeden punkt?

Zadanie 7. (5 p.)Dla jakiej wartości parametru k odległość między punktami przecięcia prostejx − y − k = 0 i paraboli y = x2 + 2x − 1 jest najmniejsza?

Zadanie 8. (4 p.)Wykaż, że jeśli m �= n oraz funkcje f(x) = x2 + (m + 1)x + n i g(x) = x2 + (n + 1)x + mmają wspólne miejsce zerowe, to m + n = −2.

331

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?

Rozwiązane przykłady

Z d i 5 (4 )oś0

wnm =ara

pli

nz

Zadanie 5. (4 p.)Ustal, dla jakich wartoxxxxxxxxxx222222222 ++++++++++++ 22222222222222mxmxmxxxxxxxxxxxmxmx +++++ 22222222222222222222222222222222222222mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm − 1 =

ZadaZadanie nie 6. 6. ((((((((5 p555 p5 p55 p5 p5 pp.55 p5 p5 p55 5 p55 ppp555 p5 p55 pp555 pppp )DanaDana jes jest prt prrrrrrrrrostaoostaostostaostostoososssostostostaaosttataaos ao aaosoos aosostaaataosstoss aaa o rówxxxxxxxxx22 −−−−−−− ((((((((((mmmmmmmmmmmmmmmmmm −−−−−− 2222)))))))2222222222222))xxxxxxxxxxxxxxx −−−−−−−− y + mDla jakich wwwwwwwwwwwartoaraartoartartoartoarrrtortortooartoaararrtortartoar ooarartoartoartooarrtorra oości pa

Zadanie 7. (((((((5 p55 5 p5 p5 p55 5 p5 p5 pp5 p5 pp5 p.5 p5 5 pppp55 p5 ppp.p5 pp..p )Dla jakiej wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwarararrtoararrraarrrararrrraraarraa ści x − y − k = 000000000000000 i pii pi pii pi parii pi pii pppiii ppppppppi ppppppp abol

Zadanie 8. ((((((((((4 p4 4 p4 p4 p.4 p.4 44 4 pppp4 p.4 p.4 p4 p4 p.pp4 pppp44 p4 pp4 p44 p4 p.pppp )Wykaż, że jjjjjeeeeeeeeeejjjjjjeeejjjeejjjjj ślślllśślilli liliiślśliśślililililiślilllillllli m �=�� nmają wspólnnnnnnneneeeeeeneeneeeeneee mimmmmimmm miiemim mmimimmimmmimmimimmmmimi jsce

Temat lekcji

Treści i zadania do realizacji w zakresie rozszerzonym

A gdyby matura była teraz?

Zestawy zadań skonstruowanych

na wzór zadań maturalnych, oparte

na materiale danego działu

W podręczniku wprowadzono następujące wyróżnienia:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe – przed każdym rozdziałem podręcznikazamieszczamy wykaz umiejętności zgod-ny z nową podstawą programową.

– definicje.

– twierdzenia.

– ważne informacje do zapamiętania.

– treści rozszerzające zakres podstawowy.

– wskazane użycie kalkulatora.

– interesujące wiadomości.

– zestaw zadań do każdego tematu.

– zestaw krótkich zadań sprawdzających opanowanie wiadomości z danego tematu.

– praca długoterminowa.

– odsyłacz do Banku zadań.

– zadania skonstruowane na wzór zadań matu-ralnych, oparte na materiale danego działu.

– zbiór dodatkowych zadań, umożliwiającychutrwalenie zdobytych wiadomości i umiejęt-ności.

– odesłanie do elektronicznego zeszytu ćwi-czeń na wsipnet.pl.

BANK ZADAŃ

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?

BANK ZADAŃ z. 273–278 » » »

P R O J E K T

A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?

Z A D A N I A

C I E K A W O S T K A

Twierdzenie

Definicja

Matematyka jest królową wszystkich nauk,jej ulubieńcem jest prawda,

a prostość i oczywistość jej strojem.Jędrzej Śniadecki

Mamy nadzieję, że nasz podręcznik pomoże Wam odkryć piękno matematyki.Staraliśmy się tak go napisać, abyście mogli dokonywać samodzielnych odkryć.Chcielibyśmy, abyście chętnie poznawali nowe treści i korzystali z tego podręcz-nika bez ciągłego przypominania wiadomości poznanych wcześniej.

Każdy temat z podręcznika zawiera wiele przykładów, ćwiczeń i zadań do samo-dzielnego rozwiązania. Dodatkową porcję zadań zamieściliśmy w blokach A gdybysprawdzian był teraz?, umieszczonych na końcu każdego tematu, oraz w Bankuzadań na końcu podręcznika. Dla uczniów bardziej zainteresowanych matematykąprzygotowaliśmy projekty, czyli propozycje prac długoterminowych.

Każdy rozdział kończą zestawy zadań A gdyby matura była teraz?, przygotowującedo obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Zadania te są skonstru-owane na wzór zadań maturalnych, a treściowo odnoszą się bezpośrednio dopoprzedzającego je rozdziału. Odpowiedzi do większości zadań znajdziecie nakońcu podręcznika.

Autorzy

rzeczywistych i jego podzbiory

�UKŁAD GALAKTYK KWINTET STEFANA

Zbiór liczb Treści nauczania – wymagania szczegółowe: � przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach� obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych)� posługiwanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia � obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych�wykorzystywanie podstawowych własności potęg�wykorzystywanie defi nicji logarytmu i stosowanie w obliczeniach wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym� obliczanie błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżenia� posługiwanie się pojęciem przedziału liczbowego�wykonywanie obliczeń procentowych, obliczanie podatków � używanie wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2 oraz a2 – b2

� używanie wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)3 oraz a3 ± b3

� stosowanie w obliczeniach wzorów na logarytm potęgi i zamianę podstawy logarytmu� zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów opisanych za pomocą równań i nierówności typu |x – a| = b, |x – a| < b, |x – a| ≥ b

1