Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela ...

egzemplarz bezpatny

Publikacja wspfi nansowana przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

Jak pracowa z uczniem

zdolnym? Poradnik nauczyciela m

atematyki p

raca zbiorowa pod red. M

agorzaty M

ikoajczyk

Jak pracowaz uczniem zdolnym?

Poradnik nauczyciela matematyki praca zbiorowa pod red. Magorzaty Mikoajczyk

ORODEK ROZWOJU EDUKACJIAleje Ujazdowskie 28

00-478 Warszawatel. 22 345 37 00, fax 22 345 37 70

mail: [email protected]

Poradnik przedstawia zagadnienia istotne dla nauczania matema-tyki na II, III i IV etapie edukacyjnym i jest skierowany do nauczycie-li uczniw uzdolnionych matematycznie, cho czytelnik znajdzie tu rwnie treci dotyczce aktywizacji matematycznej wszystkich uczniw. Zadania prezentuj rnorodny poziom trudnoci i mo-na z nich wybra materiay dla kadego ucznia. Poradnik zawiera te wskazwki dla nauczycieli jak konstruowa zadania, jak stawia pytania i jak na nie odpowiada, jak zorganizowa koo matema-tyczne i konkurs, a take inne formy ksztacenia. Jest to publikacja bardzo wyczekiwana w rodowisku i potrzebna. Poradnik bdzie cenn pozycj w biblioteczce nauczyciela matematyki.

Maria Mdrzycka fragment recenzji

Jak pracowa z uczniem zdolnym?Poradnik nauczyciela matematyki

praca zbiorowa pod redakcj Magorzaty Mikoajczyk

Orodek Rozwoju EdukacjiWarszawa 2012

Wydawca:Orodek Rozwoju EdukacjiAleje Ujazdowskie 2800-478 Warszawatel. +48 22 345 37 00fax +48 22 345 37 70

Publikacja powstaa w ramach projektu Opracowanie i wdroenie kompleksowego systemu pracy z uczniem zdolnym

Autorzy: Jacek DymelKinga Gazka Marek KordosMagorzata Mikoajczyk Stefan MiziaKrzysztof OmiljanowskiMicha liwiskiPiotr Zarzycki

Redaktor merytoryczny:Magorzata Mikoajczyk

Recenzent:Maria Mdrzycka

Projekt graficzny: Agencja Reklamowa FORMS GROUP

Nakad: 10 000 egz.

ISBN: 978-83-62360-03-1

Publikacja wspfinansowana przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

EGZEMPlARZ BEZPAtNy

Przygotowanie do druku, druk i oprawa:Agencja Reklamowo-Wydawnicza A. Grzegorczykwww.grzeg.com.pl

3

Spis treci

Zesp autorw poradnika ................................................................................................ 4

Od redakcji ........................................................................................................................ 5

CZ IJak uczy, aby rozwija potencja intelektualny ucznia (czyli matematyka dla kadego) ........................................................................................ 7

1. O matematyce realistycznej Magorzata Mikoajczyk ................................................... 82. O wspomaganym technologicznie odkrywaniu twierdze Piotr Zarzycki ............................. 183. O nauczaniu metod projektu edukacyjnego Magorzata Mikoajczyk ..................... 28

CZ IIJak uczy geometrii (czyby matematyka prawie dla nikogo?) ........................................ 41

1. O tym, czego nie wida Marek Kordos ........................................................................... 422. Pikno geometrycznych rozumowa Stefan Mizia ....................................................... 523. Dowody geometryczne w praktyce Magorzata Mikoajczyk ...................................... 624. Dynamiczne nauczanie geometrii Piotr Zarzycki ......................................................... 67

CZ IIIJak uczy, aby rozwija zainteresowania cise ucznia (czyli matematyka dla wielu) ............. 81

1. Koo matematyczne Kinga Gazka ................................................................................. 822. Koma owimy talenty Magorzata Mikoajczyk .......................................................... 943. liga zadaniowa Micha liwiski ..................................................................................... 1034. Mecz matematyczny Magorzata Mikoajczyk ............................................................... 1125. Konkursy matematyczne Kinga Gazka ........................................................................ 1206. Obz matematyczny Magorzata Mikoajczyk ............................................................... 1347. Ucze zdolny pod katedr Jacek Dymel ......................................................................... 1438. Matematyczne wycieczki Magorzata Mikoajczyk ....................................................... 150

CZ IVJak uczy, aby wychowa laureata olimpiady (czyli matematyka dla wybranych) ........... 163

1. Korespondencyjny klub olimpijczyka Krzysztof Omiljanowski .................................. 1642. Kko olimpijskie Jacek Dymel ........................................................................................ 1733. Seminaria uczniowskie Micha liwiski ....................................................................... 1854. Warsztaty olimpijskie Jacek Dymel ................................................................................. 1895. Uczniowskie prace badawcze z matematyki Jacek Dymel ............................................ 1946. Biblioteczka olimpijczyka Jacek Dymel .......................................................................... 205

Posowie ............................................................................................................................. 213

4

Zesp autorw poradnika

Jacek Dymel nauczyciel matematyki w V lO w Krakowie, Koordynator Maopolski Olimpiady Mate-matycznej Gimnazjalistw, wspzaoyciel Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistw i Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej, wychowawca wielu olimpijczykw, autor zbiorw zada szkolnych i kon-kursowych. W 2009 roku obroni doktorat w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Jagielloskiego napisany pod kierunkiem Michaa Szurka i dotyczcy analizy trudnoci zada z Olimpiady Matematycznej.

Kinga Gazka nauczycielka matematyki w XlVII lO w odzi, doradca metodyczny w dzkim Centrum Doskonalenia Nauczycieli i Ksztacenia Praktycznego, autorka podrcznikw, zbiorw zada i materiaw pomocniczych do nauczania matematyki, czonkini komitetu organizacyjnego konkursu Kangur Matematyczny, popularyzatorka synergii i holizmu w edukacji.

Marek Kordos profesor Uniwersytetu Warszawskiego, geometra i historyk matematyki, pierwszy (i jak dotd jedyny) redaktor naczelny czasopisma Delta, znakomity wykadowca i popularyzator matematy-ki, autor wielu ksiek, wspzaoyciel Orodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej.

Magorzata Mikoajczyk kierownik Pracowni Dydaktyki Matematyki na Uniwersytecie Wrocawskim, redaktor naczelna Magazynu Mionikw Matematyki, zaoycielka Wrocawskiego Portalu Matema-tycznego. Dziaa w Fundacji Matematykw Wrocawskich, organizujc m.in. Dolnolskie Mecze Mate-matyczne, Maraton Matematyczny, Matematyczne Marsze na Orientacj, Mistrzostwa w Szybkim licze-niu czy Zimowe Szkoy Matematyki i letnie Obozy Matematyczne dla uczniw.

Stefan Mizia emerytowany pracownik Politechniki Wrocawskiej, nauczyciel matematyki w XIV lO we Wrocawiu, mionik geometrii, organizator Mistrzostw Polski w Geometrii Elementarnej, autor zbio-ru zada Wyka, e oraz Historii lska. Przewodnik sudecki i instruktor przewodnictwa, wraz z synami (te matematykami) gra w zespole Mizia & Mizia Blues Band.

Krzysztof Omiljanowski matematyk z Uniwersytetu Wrocawskiego, popularyzator matematyki i wy-korzystania komputerw w jej nauczaniu. Przez wiele lat uczy matematyki we wrocawskich liceach nr III i XIV, redagowa czasopismo dla nauczycieli Matematyka, by pomysodawc Korespondencyj-nego Klubu Olimpijczyka. Dziaa w Fundacji Matematykw Wrocawskich, redaguje Wrocawski Portal Matematyczny.

Micha liwiski informatyk i matematyk z Uniwersytetu Wrocawskiego, nauczyciel matematyki i informatyki w III lO we Wrocawiu, redaktor Magazynu Mionikw Matematyki i Wrocawskiego Portalu Matematycznego, przewodniczcy komitetu gwnego Olimpiady lingwistyki Matematycznej, dziaa w Fundacji Matematykw Wrocawskich.

Piotr Zarzycki matematyk i dydaktyk z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Gdaskiego, autor pod-rcznikw i zbiorw zada, pasjonat teorii liczb i wykorzystania komputerw w nauczaniu matematyki. Zajmuje si popularyzacj matematyki, prowadzi dzia Wszystkie twierdzenia mae i due w czasopi-mie Nauczyciele i Matematyka.

5

Od redakcji

Szanowni Czytelnicy!

Niniejszy poradnik na pierwszy rzut oka moe si wyda mao spjnym zlepkiem rnych idei i po-mysw, ale taki zamiar przywieca jego powstaniu przedstawi nauczycielom wachlarz sprawdzonych moliwoci skutecznego uczenia matematyki zamiast uczenia odtwarzania algorytmw na potrzeby sztam-powych zada egzaminacyjnych. Autorzy nie chc nikogo przekonywa do swoich koncepcji, ale si nimi podzieli. Mona wic z poradnika wybiera wedug wasnego uznania niczym z kosza rozmaitoci, niektre pomysy odrzuci, inne wyprbowa, a jeszcze inne od razu potraktowa jak swoje wasne. Zapewniam, e nie ma w nim propozycji teoretycznych i niesprawdzonych. Wszyscy autorzy to osoby majce wieloletnie dowiadczenie w materii, o ktrej pisz, znane ze swoich osigni i cenione w regionie i kraju. Z pewnoci warto obdarzy niniejszy poradnik zaufaniem i prbowa zaszczepi prezentowane w nim pomysy na wa-snym gruncie, adaptujc je do swoich potrzeb.

Matematyczne zainteresowania i talenty uczniw rzadko s nauczycielom dane. W wikszoci przy-padkw musz oni solidnie na nie zapracowa swoim entuzjazmem, zaangaowaniem, pomysowoci i profesjonalizmem. Mamy nadziej, e w tym nieatwym zadaniu niniejszy poradnik okae si pomoc-ny, podpowiada bowiem, jak pracowa z cakiem przecitnymi uczniami, rozbudzajc ich zainteresowania i motywacj, by stali si uczniami nieprzecitnymi. Rnica midzy nauczycielami uczniw zdolnych i ca-kiem przecitnych zazwyczaj polega wycznie na tym, e ci pierwsi ze swoimi uczniami ciko pracuj, a ci drudzy od razu daj za wygran.

Staramy si wobec tego odpowiedzie na pytania, jak ksztaci uczniw mylcych, twrczych i pomy-sowych, jak zaszczepia w nich matematyczne pasje i jak rozwija zainteresowania, wreszcie jak ksztaci kluczowe dla matematyki umiejtnoci: logicznego mylenia, precyzyjnego argumentowania, posugiwania si technikami algebraicznymi i dostrzegania geometrycznych zalenoci.

Wanie geometrii powicilimy osobn cz poradnika, poniewa jest to dzia matematyki szkolnej niezwykle trudny zarwno do opanowania przez uczniw, jak i do nauczania przez nauczycieli. Wiedzc jednak jak wielkie trudnoci dydaktyczne sprawia geometria nie tylko pocztkujcym, ale i dowiadczonym nauczycielom, nie moglimy (i nie chcielimy) pomin tego problemu w poradniku.

Ze wzgldu na ograniczon objto poradnika opisalimy w nim tylko wybrane formy pracy i narz-dzia dydaktyczne, z wielu innych z alem rezygnujc. Jeli mimo to niektre opisane tu pomysy wzbogac warsztat pracy choby kilku nauczycieli i stan si inspiracj do ich wasnych eksperymentw dydaktycz-nych oraz poszukiwania nowych, lepszych drg nauczania matematyki, to znaczy, e dokonalimy dobrego wyboru.

Ekipie autorw w imieniu caej redakcji dzikuj za sprawn wspprac przy Poradniku, za Czytelni-kom ycz w imieniu autorw satysfakcji z lektury oraz wielu sukcesw w prbach wdraania i ulepszania zaprezentowanych tu pomysw.

Magorzata Mikoajczyk

CZ I

Jak uczy, aby rozwija potencja intelektualny ucznia

(czyli matematyka dla kadego)

1. O matematyce realistycznej Magorzata Mikoajczyk2. O wspomaganym technologicznie odkrywaniu twierdze Piotr Zarzycki3. O nauczaniu metod projektu edukacyjnego Magorzata Mikoajczyk

8

1. O matematyce realistycznejMagorzata Mikoajczyk, Wrocaw

Motywacjami do uczenia si rzdz dwie zasady: bliskoci wiedzy i jej pragmatyzmu. Chtniej uczymy si tego, co jest bliskie naszemu codziennemu dowiadczeniu, o czym ju troch wiemy i co nas bez-porednio dotyczy. Znacznie atwiej i w sposb trwalszy przyswajamy te wiedz, ktra moe si przyda w wielu yciowych sytuacjach, a nie tylko na egzaminie. Roztropny nauczyciel z tych zasad potrafi uczyni swojego sprzymierzeca, odwoujc si w procesie edukacyj-nym do zjawisk codziennego ycia, co okrela si mianem matematyki realistycznej.

Czym jest, a czym nie jest matematyka realistyczna?

ten kierunek nauczania wprowadzi na stae do dydaktyki XX-wieczny holenderski matematyk Hans Freudenthal. Mniejszy nacisk kadzie si w nim na formalizm, wikszy na obserwacje samodzielnych dziaa uczniw, postawionych przed odpowiednio dla nich przygotowanymi problemami odwoujcymi si do co-dziennego dowiadczenia. Celem jest wyrobienie u nich umiejtnoci dostrzegania i stosowania matematyki w yciowych sytuacjach. Realizm tego kierunku przyjmuje, e umysu dziecka nie naley traktowa jako tabula rasa, ale e kada nowo zdobyta porcja wiadomoci powinna wynika z wczeniejszych dowiadcze, intuicji i wiedzy nieformalnej ucznia. Nie ma tu miejsca na pakowanie mu do gowy matematyki gotowej, objawionej i jedynie susznej. Zakada si moliwo jej poszukiwania i bdzenia.

Chocia taki styl nauczania jest od lat postulowany przez dydaktykw i wadze owiatowe, jego reali-zacja jest do powierzchowna. Analizujc pod tym ktem zawarto podrcznikw szkolnych i zbiorw zada, wida, e autorzy chtnie czerpi tematy zada tekstowych z ycia osobistego, rodzinnego, szkolnego i spoecznego uczniw, a mimo to stawiane im problemy dalekie s od rzeczywistoci i bardzo rzadko s autentycznymi zastosowaniami szkolnej matematyki. Bywaj sztuczne, kc si ze zdrowym rozsdkiem, nie pobudzaj motywacji ucznia i niewiele wnosz z punktu widzenia jego zdolnoci matematycznych.

Matematyka pseudorealistyczna

Pomin tu anegdotyczne wrcz przypadki zada, w ktrych wynikiem jest trzy i p krasnoludka, kupuje si 13/7 metra wstki czy zjada 5/17 tabliczki czekolady. Oto przykady dwch z pozoru poprawnie skonstru-owanych problemw dotyczcych zagadnie tak zwanego ycia codziennego.

Kady z 8 wonicw przywiz do tartaku po 5 klocw, a kady z 4 traktorzystw po 15 klocw. Ile klocw przywieli do tartaku traktorzyci i wonice?

Okno ma 415 m wysokoci. Szeroko okna stanowi

2 3 jego wysokoci. Ile metrw kwadratowych powierzchni ma okno?

9

Jak pracowa z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki

Zauwamy, e tre tych zada nie jest istotna dla procesu ich rozwizania. Pierwsze mogoby rwnie dobrze dotyczy skrzynek z gwodziami czy butelek z sokiem, drugie ptna obrazu czy powierzchni ogrdka. Rozwizanie tych zada si nie zmieni, gdy w zadaniu pierwszym w ogle nie wykorzystujemy wiedzy o sytuacji opisanej w treci, a w drugim w bardzo niewielkim stopniu (milczce zaoenie, e okno ma ksztat prostokta). Zadania tego typu mona nazwa pseudorealistycznymi. Czsto stosowane, powo-duj brak zainteresowania uczniw sytuacj zadaniow. Rozwizywanie ogranicza si do wyraenia treci zadania w jzyku matematycznym i zastosowania znanych algorytmw i twierdze w celu uzyskania odpo-wiedzi. Interpretacja wyniku nastpuje w sposb automatyczny, co prowadzi do zaniku refleksji nad jego poprawnoci w wietle treci zadania i zdrowego rozsdku. Brak odwoa do pozamatematycznej wiedzy uczniw o sytuacji zadaniowej tumi w nich naturalne instynkty ciekawoci, nieufnoci i dociekliwoci.

Zadania realistyczne powinny istotnie bazowa na pozamatematycznej wiedzy ucznia dotyczcej roz-waanego problemu, a ich rozwizanie powinno pogbia jego wiedz o wiecie fizycznym. Oto przykad takiego zadania.

Polonez Jana Kowala pali 9 l benzyny na 100 km, a crysler Johna Smitha przejeda 20 mil na jednym galonie paliwa. Ktry samochd jest bardziej ekonomiczny? Ktry zajedzie dalej na penym baku?

W treci wykorzystano tradycyjne sposoby podawania wielkoci spalania paliwa stosowane w Polsce i USA. Aby rozwiza to zadanie, ucze musi sprawdzi rozmiary jednostek niemetrycznych i dokona stosownych przelicze. Zadanie wymaga te przyjcia wasnej interpretacji niejednoznacznie zadanego py-tania. Za miar ekonomicznoci samochodu mona bowiem uzna wielko spalania lub koszt podry. Wtedy trzeba jeszcze porwna ceny paliwa w obu krajach w przeliczeniu na t sam jednostk. W ostatnim pytaniu istotna jest wiedza o pojemnoci bakw obu samochodw. Jak wida w tym przykadzie, sytuacja zadaniowa ma istotny wpyw na rozwizanie. Ucze musi ustali, jakie wiadomoci bd mu potrzebne, a nastpnie zdoby je i umiejtnie wykorzysta.

Aby uzna zadanie za realistyczne, nie wystarczy, e opisuje sytuacj, w ktrej mgby si potencjalnie znale kady ucze. taki charakter ma wikszo zada dotyczcych zakupw, powtarzajcych si do znu-dzenia w podrcznikach, na przykad ponisze:

Jacek kupi 5 zeszytw po 1 z 60 gr, 3 owki po 1 z 20 gr i gumk za 3 z 50 gr. Ile reszty otrzyma z 20 z?

Zadanie to nie pobudza motywacji uczniw, bo waciwie nikogo nie interesuje, ile Jacek zapaci za swo-je zakupy. Naley tylko wykona odpowiednie dziaania na liczbach podanych w treci zadania i sprawdzi poprawno wyniku z odpowiedzi. Dlaczego w yciu jest inaczej? Poniewa proces zakupw jest bardziej zoony i wi si z nim rozmaite emocje. Czsto ucze jest postawiony w sytuacji wyboru i poszukiwania kompromisu midzy swoimi potrzebami a przeznaczonym na zakupy limitem pienidzy. Sytuacja realna an-gauje go wic w proces planowania, co odpowiada etapowi konstruowania zadania. Niestety, nie odzwier-ciedlaj tego zadania podrcznikowe. Aby stworzy realistyczny kontekst zadania, take one powinny anga-owa ucznia emocjonalnie, stawia go w sytuacji wyboru, narzuca konieczno rozstrzygnicia problemu, opowiedzenia si za ktr z racji. Zadanie o zakupach Jacka mogoby wtedy wyglda na przykad tak:

Jacek mia kupi 5 zeszytw, ktre kosztuj po 1 z 60 gr, 3 owki po 1 z 20 gr i gumk za 3 z 50 gr. Dosta od mamy na zakupy 20 z, ale w sklepie okazao si, e z dziurawej kieszeni wypada mu gdzie piciozotwka. Czy wystarczy mu pienidzy na zakupy? Co zrobiby na jego miejscu?

10

Cz I. Jak uczy, aby rozwija potencja intelektualny ucznia

Podobny charakter maj ponisze zadania:

Renault Marka spali 20 litrw benzyny na 290 km, a opel Heka 12 litrw na 170 km. Heniek mwi, e jego wz jest bardziej ekonomiczny, Marek e nie ma midzy nimi rnicy. Kto ma racj?

Mama trjki dzieci w wieku 11, 6 i 3 lata postanowia na powitecznej wyprzeday kupi komplet wieczek urodzi-nowych. Pakowane s w pudekach po 24 sztuki. Czy takie opakowanie wystarczy, aby w przyszym roku udekorowa wszystkie trzy torty urodzinowe jej dzieci?

Czsto efekt podniesienia motywacji uczniw i emocjonalnego zabarwienia problemu mona uzyska, nadajc realistyczny kontekst nawet prostym wiczeniom rachunkowym. Oto przykady.

Ile razy trzeba wej na 10. pitro, aby wspi si na Mount Everest?

Jak dugo musiaby chodzi na piechot do szkoy, aby pokona cznie drog dugoci rwnika?

W niewielkim miasteczku powiatowym podstawwka, gimnazjum i liceum mieszcz si w tym samym bu-dynku. Czy to moliwe, eby Ja Wdrowniczek, ktry wanie zda matur, chodzc codziennie do szkoy na piechot, pokona drog rwn odlegoci Ziemi od Ksiyca?

Abstrahowanie i konkretyzacja

Zadania realistyczne powinny uwiadamia uczniom charakter powiza pomidzy wiatem material-nym konkretnych rzeczy i sytuacji a matematycznym wiatem abstrakcyjnych poj, zalenoci i operacji. to, co dzieje si wok nas, moe stanowi rdo poj, struktur i problemw dajcych si abstrahowa i przenie w wiat matematyczny. Z kolei, struktury, pojcia i relacje matematyczne mog zosta zastoso-wane do opisu konkretnych rzeczy i zdarze oraz do rozstrzygnicia problemw w wiecie realnym. Roz-wizywanie zada realistycznych powinno wic dostarcza uczniom autentycznych dowiadcze w zakresie abstrahowania i konkretyzacji. Oto prosty przykad.

W ktrym miejscu znajduje si arwka owietlajca supek?

Rys. 1

a) b)Rys. 1

a) b)

Wychodzc od obserwacji rzeczywistoci i wiedzy nieformalnej uczniw, poprzez seri zada i ekspe-rymentw dotyczcych cieni rzucanych przez rne przedmioty, moemy doj do abstrakcyjnego pojcia rzutu i opisa jego matematyczne wasnoci. Mamy tu do czynienia z procesem abstrahowania wykorzy-stujcym intuicje fizyczne pojcia i nauczanie na poziomie przeddefinicyjnym. Odwrotny proces zachodzi w trakcie rozwizywania poniszego zadania.

Wykonaj model figury, ktra owietlana z rnych stron daje cienie bdce trjktem, kwadratem i koem.

11


tym razem ucze musi zastosowa wiadomoci dotyczce rzutw figur przestrzennych do skonstru-owania modelu speniajcego warunki zadania, mamy tu wic do czynienia z procesem konkretyzacji matematycznych idei. Pocztkowo ucze moe rozwaa figury speniajce dowolne dwa z podanych wa-runkw (graniastosup trjktny, stoek, walec), aby stopniowo modyfikowa opis ostatecznej bryy.

Naley pamita, e z punktu widzenia ucznia celem tych zada ma by badanie zjawiska cienia, a nie jakiego abstrakcyjnego pojcia matematycznego. Powinno si w tym cyklu znale miejsce i dla takiego realistycznego zadania:

Co to jest? Czy wszystkie sytuacje s moliwe?

a) b) c) d)Rys. 2

a) b) c) d)

Modelowanie i matematyzacja

Zadanie, ktre wymaga bezporedniego zastosowania matematyki, nie moe by uznane za realistyczne, gdy ycie nigdy tego typu problemw przed nami nie stawia. Czy gdzie poza podrcznikami do matema-tyki spotykamy takie pytania?

Przyjmujc 3,14 jako warto przyblion liczby , oblicz dugo okrgu o promieniu 3,14.

Na budziku wskazwka minutowa ma dugo 4 cm. Jak drog przebywa w cigu 24 godzin koniec tej wska-zwki?

Zadania te wymagaj jedynie uycia wzoru na dugo okrgu, przy czym w ich treci jest zawarte wy-rane polecenie, e tak wanie czynno naley wykona. Dostarczone s te wszystkie potrzebne dane. W zadaniu realistycznym kluczowymi elementami procesu rozwizywania s modelowanie matematyczne (abstrahowanie), czyli poczynienie takich zaoe, ktre idealizujc rzeczywisto, pozwol na stosowanie do niej regu matematycznych, oraz matematyzowanie treci zadania (konkretyzacja), czyli przeoenie jej z jzyka naturalnego na jzyk matematyki. W takich zadaniach czsto konieczne jest te ustalenie, jakie informacje s potrzebne do uzyskania rozwizania i gdzie mona je zdoby. Jak wobec tego powinno by sformuowane dobre zadanie realistyczne, dotyczce wykorzystania wzoru na dugo okrgu? Moe tak:

Z jak prdkoci porusza si Ziemia w ruchu dookoa Soca?

Pytanie jest sformuowane niezwykle prosto, a jednak nie od razu jest dla ucznia jasne. Musi dokona jego analizy, aby lepiej zrozumie sytuacj i zorientowa si, o jak prdko chodzi, w jaki sposb mona j obli-czy, jakie dane bd mu do tego potrzebne i gdzie je znale. Do rozwizania zadania ucze musi wykorzysta

12


swoj wiedz o ruchu Ziemi. W procesie modelowania musi zaoy (niezgodnie z rzeczywistoci), e orbita Ziemi ma ksztat okrgu, a planeta porusza si po niej ruchem jednostajnym. Dopiero na etapie rachunkw zadanie to sprowadza si do obliczenia dugoci okrgu oraz zastosowania wzoru na prdko. Motywacj do rozwizania tego zadania podnosi zawodna w tym przypadku intuicja, czsto bowiem podpowiada uczniom, e Ziemia porusza si powoli, podobnie jak wskazwki zegara, ktre pozornie pozostaj w bezruchu. Nie przychodzi im do gowy, e Ziemia porusza si z zawrotn prdkoci, bo nie odczuwamy typowych kon-sekwencji takiego ruchu (szum, powiew powietrza), jak na przykad przy szybkiej jedzie samochodem. tym bardziej zaskakujcy jest dla uczniw otrzymany wynik.

Niestety, tak sformuowanego zadania nie udao mi si znale w adnym podrczniku, chocia trafiam na bardzo podobne (?). Zwrmy uwag, jak zostao sformuowane:

rednia odlego Ziemi od Soca wynosi ok. 1,51011 m. Dugo toru Ziemi wok Soca jest okoo 6,3 razy wiksza od podanej odlegoci. Dla obiegu Ziemi wok Soca trzeba okoo 365 dni. Oblicz przecitn prdko Ziemi w drodze wok Soca.

Jest to wyjtkowo zatrwaajcy przykad tego, jak stosowanie matematyki mona sprowadzi tylko do rachunkw i mechanicznego stosowania regu. Wszystkie potrzebne dane zawarte s w treci zadania, ucze nie musi nawet wiedzie, jak dugo trwa ruch Ziemi wok Soca. Etap wyonienia specyficznego problemu matematycznego i zaplanowanie procesu jego rozwizania s w tym zadaniu tak marginalne, e z pewnoci (zapewne wbrew oczywistym intencjom autora) nie mona tego zadania nazwa realistycznym.

Nawiasem mwic, dobre zadanie realistyczne wcale nie musi mie realistycznej treci. Paradoks jest tu tylko pozorny. Oto przykad.

Arkadia i Bajlandia posiadaj po jednym kurorcie nad Morzem Rajskim i walcz o turystw. Agenci z wywia-du gospodarczego Arkadii postanowili umieci na orbicie geostacjonarnej parasol, ktry spowodowaby trwae cakowite zamienie Soca nad kurortem Bajlandii. Jak duy powinien by ten parasol?

Dodatkowe pytanie: Czy wystarczy do tego parasol zwykych rozmiarw, czy te potrzeba parasola wiel-koci samochodu ciarowego albo caego miasta? wzmacnia motywacj, gdy pokazuje uczniom, jak nike s ich intuicje w tematach kosmicznych. W zadaniu tym, w sposb naturalny i nietrywialny, znajduj zastosowanie proporcje trygonometryczne, ale rozwizanie bogate jest w matematyczne aktywnoci, jakich wymagamy od problemu realistycznego. Dodatkowo mamy tu do czynienia z etapem wizualizacji i matema-tyzacji opisanej sytuacji (np. naley ustali, e oba pastwa le na Ziemi, e chodzi o zamienie w jednym punkcie itp.).

Przeanalizujmy jeszcze jedno zadanie.

Tomek przebieg 100 m w 20 sekund. Jak drog przebiegnie w cigu 5 minut?

Nietrudno znale odpowied na to pytanie. W cigu minuty tomek przebiegnie 300 m, zatem w cigu 5 minut 1,5 km. Podobnie odpowiadaj i uczniowie, i studenci, i nauczyciele, a przecie jest to odpowied sprzeczna z fizjologi ludzkiego organizmu. Wie o tym kade dziecko i kade oburzyoby si, gdyby zmie-rzy mu czas na setk i kaza pokona wyliczony na tej podstawie (w analogiczny sposb do powyszego zadania) dystans w cigu 5 minut. Sprzeciwi si zdrowy rozsdek. Zatem dlaczego na lekcjach matematyki nikt nie wszczyna buntu? Bo to przecie tylko matematyka, to nie ma nic wsplnego z rzeczywistoci! tego wanie skutecznie uczymy naszych uczniw na naszych lekcjach.

13


Czy wobec tego odpowied na pytanie o to, jak drog przebiegnie tomek, jest w ogle osigalna na gruncie szkolnej matematyki? Po postawieniu tego problemu w klasie uczniowie przez chwil s zupenie zbici z tropu, a potem wybucha dyskusja i wtedy dopiero rozpoczyna si proces stosowania matematyki. Jakie zaoenia przyj, eby rozwizanie byo wiarygodne? Czy ma by nim liczba, czy przedzia? Czy mo-na zaoy, e kade nastpne 100 m tomek biegnie o 1 s duej ni poprzednie? Ale przecie na finiszu z pewnoci znw przyspiesza. Moe sprawdzi to eksperymentalnie? W ten sposb powstaje matematycz-ny model sytuacji zadaniowej. Finalne zadanie jest trudniejsze, ale i ciekawsze. Istotny jest w nim nie wy-nik kocowy, ale te wszystkie dodatkowe czynnoci, ktre uczniowie musieli wykona, a ktrych zabrako w pierwotnej wersji rozwizania. Jak wida, to, czy zadanie jest realistyczne, czy nie, zaley nie od samego zadania, ale od tego, w jaki sposb je rozwizujemy.

Czym waciwie jest modelowanie matematyczne?

Wiemy ju, e etap modelowania matematycznego jest niezbdnym elementem przejcia od zadania re-alistycznego do matematycznego. W podrcznikach jest jednak najczciej pomijany. W zadaniach milczco zakadamy koowo orbity Ziemi, stosujemy twierdzenie talesa do obliczenia wysokoci drzewa, cho ani drzewo, ani grunt nie s proste; zaniedbujemy opr powietrza w ruchu nawet w sytuacjach, gdy ruch jest wanie tym oporem spowodowany (inaczej poruszamy si wszak po piasku i po lodzie) itp. A przecie etap modelowania jest niezwykle wany i uczniowie musz by jego wiadomi. Bez niego w ogle nie byby moliwy etap matematyzacji. Matematyka przecie w ogle nie stosuje si do rzeczywistoci, tylko do ide-alnych abstrakcyjnych obiektw. Dlatego proces modelowania problemu naley w nauczaniu eksponowa, a nie wstydliwie przemilcza. tylko w ten sposb moemy nauczy uczniw stosowania matematyki. Musz czsto stawa w sytuacji, w ktrej konieczne jest poczynienie dodatkowych zaoe, aby robi to wiadomie i dostrzega wszystkie istotne elementy tego procesu.

Najtrudniejsz (ale i najciekawsz) czci rozwizania zadania realistycznego, stanowic o jego isto-cie, jest etap matematyzacji problemu. Ucze powinien samodzielnie poszukiwa wasnych interpretacji codziennych sytuacji i mie pozostawion swobod ich opisu za pomoc matematyki. Dziki temu moe si sensownie odwoywa do wasnych wyobrae o problemie, stanowicych odskoczni dla matema-tycznych poj i operacji. to ucze, a nie autor podrcznika, musi odpowiedzie na pytania: Gdzie tu jest matematyka? i Jaka matematyka kryje si za tym problemem?, to ucze musi postawi problem w jzyku matematycznym. Dostrzega wtedy, w jaki sposb zastosowanie matematyki pozwala ten problem upro-ci, sformuowa janiej i bardziej precyzyjnie, oraz jak matematyka dostarcza narzdzi do poradzenia sobie z nim.

Po dokonaniu matematyzacji czsto problem przestaje by ciekawy, poddaje si go standardowej obrbce pozwalajcej uzyska wynik, jednake to wanie realistyczny kontekst podtrzymuje zainteresowanie proble-mem, sprawia, e warto jeszcze raz spojrze na pocztkowe pytanie w nowym aspekcie.

Zofia Krygowska pisaa: [] najwaniejsz z punktu widzenia stosowania matematyki spraw jest wprowadzenie ucznia w metod stosowania matematyki, a wic take w proces matematyzacji. Nie na-uczymy go tego na przykadach gotowych ju, aksjomatycznie ujtych teorii matematyki stosowanej, a wic na przykadzie wprowadzenia go w stadium ju po matematyzacji. Eliminujc z rozwizywanych przez uczniw zada etap ich matematyzacji, dostarczamy im sztucznych, spreparowanych, pseudorealistycz-nych problemw, wbrew pozorom oderwanych od rozsdnej i rozpoznawalnej rzeczywistoci. W efekcie

14


powodujemy, e uczniowie nie potrafi dostrzega matematyki wok siebie, a w sytuacjach wymagaj-cych jej uycia, w ktrych metoda postpowania nie jest jasno sprecyzowana, staj si cakowicie bezradni. Utrwala si wic ich przekonanie o cakowitej niestosowalnoci matematyki.

Realistyczne rachunki

Na koniec przytocz jeszcze kilka zada realistycznych odnoszcych si do rnych dziaw i etapw nauczania. Mog one sta si pretekstem do autentycznego stosowania matematyki. Ich charakterystyczn cech jest to, e nawizuj do konkretnego problemu, a nie tematu w podrczniku, czy hasa w programie, daj wic szeroki i swobodny wybr metody rozwizania w zalenoci od inwencji i dojrzaoci matema-tycznej uczniw.

Jak w najlepszy sposb moesz dosta si z klas ze szkoy do zoo?

Uczniowie powinni samodzielnie nada interpretacj sformuowaniu najlepszy sposb. Mog wzi pod uwag wygod, bezpieczestwo, czasochonno i koszt wycieczki. Powinni ustali, gdzie jest najblisze zoo, i przeanalizowa rne moliwe warianty komunikacyjne (przejazd do miasta pocigiem, autobusem kursowym, wynajtym autokarem lub samochodami prywatnymi; przejazd po miecie tramwajem z prze-siadk lub autobusem bez przesiadki, zakup biletw jednorazowych lub czasowych; moliwo przejcia z dworca na piechot). Celem matematycznym zadania s wiczenia rachunkowe, jednak angauje ono uczniw bardziej ni tradycyjne supki, ksztaci wicej umiejtnoci matematycznych (planowanie pracy, zdobywanie i analiza danych, szacowanie wielkoci, ustalenie kryteriw i optymalizacja wyboru itp.) i wy-maga wykorzystania wielu informacji dotyczcych ycia codziennego (ceny biletw komunikacji miejskiej, ceny i zuycie paliwa, korzystanie z planu miasta itp.).

Oblicz koszt pooenia wykadziny w swoim pokoju.

Do ucznia naley ustalenie geometrycznego ksztatu tej czci pokoju, w ktrej lee bdzie wykadzina, i wykonanie szkicu, uwzgldnienie problemu cianek dziaowych, szaf wnkowych, wyjcia na korytarz, na balkon, ustalenie i zdobycie informacji potrzebnych do rozwizania zadania (rodzaje i ceny wykadzin, standardowe wymiary w beli, cena usugi, koszty dodatkowe np. obszycie citych krawdzi, listwy wyko-czeniowe), a dopiero na kocu wykonanie oblicze stanowicych matematyczny cel zadania.

Realistyczne rysunki

Poprzednie zadania byy problemami rachunkowymi wymagajcymi dodatkowo zebrania i analizy da-nych. Jednak zagadnienia realistyczne mog dotyczy rwnie problemw geometrycznych, jak w kolejnych dwch zadaniach.

Mieszkasz na trzecim pitrze i przed twoim domem buduj blok 11-pitrowy. Czy zasoni ci soce?

Aby rozwiza to zadanie, trzeba przyj dodatkowe zaoenia, ktre ucze musi ustali samodzielnie (wza-jemna lokalizacja budynkw, ich orientacja w przestrzeni). Musi te ustali, jakie informacje bd potrzebne, aby rozwizanie byo wiarygodne (wysoko pitra budynku, warunki owietleniowe o rnych porach dnia i roku), i je zdoby. Dopiero finalnym etapem jest wykonanie odpowiedniej konstrukcji geometrycznej.

15


Tory kolejowe maj zmieni kierunek o 20 na uku o dugoci 500 m. Zaprojektuj ten fragment linii kole-jowej.

Na etapie modelowania matematycznego ucze powinien zaoy, e zakrt odbywa si bdzie po uku okrgu. W procesie matematyzacji nastpuje ustalenie danych (500 m to dugo uku okrgu wycitego przez kt rodkowy o mierze 20) oraz wielkoci, ktre bd stanowi rozwizanie zadania (znalezienie rodka i pro-mienia okrgu). Finalnym etapem jest wykonanie oblicze i konstrukcji geometrycznej.

Realistyczne wykresy

Zadania realistyczne mona te wykorzysta w nauce o funkcjach.

Codziennie na obozie subowy harcerz wciga flag na maszt. Ktry wykres to ilustruje?

wysokoflagi

czasrys. 3

liczba onierzyw kolejce

50

01300rys. 4 czas1310 1320 1330 1340 1350

100

150

200

Rys. 3

a) W jakich godzinach w kantynie s wydawane obiady?b) Ilu ludzi doczyo do kolejki midzy 1310 a 1320? c) W jakim tempie wyduaa si kolejka midzy 1300 a 1305?d) Co si wydarzyo pi po trzynastej?e) Szeregowy Atkins stan w kolejce o 1320. O ktrej dosta obiad?f) Czy do kolejki doszed kto midzy 1325 a 1335?g) Co si dziao midzy 1335 a 1340?

Rys. 4

wysoko flagi

czas

Odpowied nie jest jednoznaczna. Ucze musi przeanalizowa, co oznacza kady z tych wykresw, na-stpnie zadecydowa, ktry jest najbardziej realny, i swoj odpowied umotywowa. Funkcja nie jest tu tworem abstrakcyjnym, ale ma realne odniesienie.

Kolejne zadanie pochodzi z brytyjskiego podrcznika Matematyka w szkole redniej (WSiP 1986).

Rysunek pokazuje dugo kolejki po obiad w kantynie wojskowej w rnych godzinach. W cigu minuty sto-wka wydaje 20 obiadw.

liczba onierzy w kolejce

czas

16


Zadanie to pokazuje, jak wiele informacji mona przeczyta z wykresu funkcji, ale i jak atwo nieprawidowo je zinterpretowa. Uczy poprawnego formuowania wnioskw, ukazujc ograniczenia reprezentowania realnych zjawisk przy uyciu metod funkcyjnych. Nie na wszystkie zadane pytania mona znale odpowied na podsta-wie danych z wykresu, w niektrych narzucajce si odpowiedzi stanowi nadinterpretacj tych danych. Ucznio-wie czsto odpowiadaj, e midzy 1310 a 1320 nikt nie doczy do kolejki lub, e zrobio to 200 osb. Pierwsza odpowied jest oczywicie bdna, a druga wcale nie wynika z podanych na wykresie informacji. Moemy z nich wywnioskowa tylko to, e do kolejki doczyo w tym czasie co najmniej 200 osb. Podobnie nie mona stwier-dzi, e midzy 1325 a 1335 do kolejki doszo 100 osb, a jedynie, e nie mogo by ich mniej. Nie mona stwierdzi, e szeregowy Atkins dosta obiad dokadnie o 1330, a tylko, e nie nastpio to pniej i nie mona te stwierdzi, e w cigu ostatnich piciu minut nikt do kolejki nie doszed. W zadaniu ucze musi te samodzielnie opracowa sposb mierzenia tempa wzrostu kolejki w okrelonym czasie.

Zamiast zakoczenia

Powysze zadania dotycz realnych sytuacji, ktrym s podporzdkowane abstrakcyjne pojcia i regu-y matematyczne. Etap ich zastosowania (np. do wykonania oblicze) jest tylko zwieczeniem dugiego i bogatego w rozmaite operacje intelektualne procesu planowania rozwizania. Wanie w ten sposb wy-korzystujemy matematyk w codziennym yciu, rozwizujc nie problemy formalne czy sztucznie zma-tematyzowane zadania umieszczone w realistycznym kontekcie, lecz problemy sytuacyjne, wymagajce szerokiego spektrum aktywnoci.

Zadawanie uczniom tego typu zada jest konieczne. W przeciwnym razie w ich wiadomoci matematyka zawsze bdzie si dzieli na dwie niepowizane czci: teoretyczn nauczan przez pani w szkole (do ktrej naley zadanie o zakupach Jasia) i t wykorzystywan na potrzeby codziennego ycia (np. podczas chodzenia na zakupy), chocia pewnie niewielu uczniw w tym drugim przypadku w ogle uyoby okre-lenia matematyka.

Nauczyciele nie uwiadamiaj uczniom, e matematyka odnosi si do rzeczy dobrze im znanych, e nie jest zbiorem abstrakcyjnych regu i rutynowych algorytmw, i e uywanie jej nie sprowadza si do wy-konywania standardowych trickw w celu otrzymania odpowiedzi, ktra nie przedstawia sama w sobie adnej wartoci. Koniecznym jest, aby ucze dostrzega, e reguy matematyczne rzeczywicie stosuj si do codziennych sytuacji.

Wprowadzanie uczniw w sztuk stosowania matematyki to proces powolny i dugotrway, ale koniecz-ny, w przeciwnym razie bd na zawsze pozbawieni podstawowego narzdzia poznawania otaczajcego wiata, jakim jest matematyka, i bd si czuli zagubieni w kadej nowej, z poznawczego punktu widzenia, sytuacji. Dlatego w edukacji matematycznej szczeglny nacisk powinien by pooony nie na nauczanie formalne, ale sytuacyjne. Jednym ze rodkw do osignicia tego celu jest ksztacenie realistyczne, czyli stawianie przed uczniami problemw silnie osadzonych w codziennej rzeczywistoci, wykorzystujcych ich pozamatematyczne dowiadczenia i odwoujcych si w istotny sposb do ich wiedzy o rzeczywistoci opisanej w zadaniu.

Peny proces rozwizywania zadania powinien zawiera trzy gwne etapy: odkrywania faktw, odkry-wania idei, odkrywania rozwiza. Pierwszy etap polega na wyjanianiu istoty zadania, modelowaniu, analizie problemu, sformuowaniu pyta i okreleniu celw. Drugi wie si z poszukiwaniem i udosko-nalaniem pomysw, testowaniem hipotez, konfrontowaniem narzucajcej si odpowiedzi z penym ze-

17


stawem posiadanych danych i informacji. trzeci to wartociowanie i selekcja metody oraz jej wdroenie, czyli przeprowadzenie rozwizania, a take zdroworozsdkowa ocena uzyskanych wynikw i wreszcie, tak typowa dla matematyki, tendencja do uoglniania. W tradycyjnie sformuowanych zadaniach proces rozwizania jest zwykle zuboony, gdy brak w nim elementw gbszej analizy treci, opracowania planu dziaania, twrczego poszukiwania metod postpowania i weryfikacji wnioskw.

Charakterystyczne elementy realistycznego stylu nauczania matematyki to: analiza realnej sytuacji okre-lonej nie do koca jasno i precyzyjnie, odwoanie si do zainteresowa ucznia, odwoanie si w istotny sposb do wiedzy o rzeczywistoci opisanej w zadaniu, czsto wykraczajcej poza ramy jednej dziedziny nauki, wyabstrahowanie bardziej specyficznego problemu, wybr czynnikw istotnych dla danego zjawi-ska, ustalanie danych potrzebnych do rozwizania zadania, modelowanie problemu (przyjcie dodatko-wych zaoe), matematyzacja problemu (sformuowanie go w jzyku matematyki), rozwizanie problemu matematycznego przy zastosowaniu rozmaitych strategii, interpretacja otrzymanych wynikw w sytuacji wyjciowej, moliwo zadawania dalszych pyta.

taki styl pracy wykorzystuje naturaln ciekawo dziecka, umoliwia gromadzenie dowiadcze w zakre-sie metodologii dokonywania odkry, pozwala uywa starej wiedzy w nowych sytuacjach. Moe przynie wiele satysfakcji i uczniom, i nauczycielowi. Jego widomym efektem jest to, e uczniowie sami zaczynaj dostrzega wok siebie i stawia nowe problemy. Staj si matematykami.

18

2. O wspomaganym technologicznie odkrywaniu twierdzePiotr Zarzycki, Gdask

Najskuteczniejszym sposobem poznawania przez dziecko otaczajce-go je wiata jest jego bezporednie eksplorowanie (cho czasem bole-nie ukuje, oparzy, popsuje si). Podobnie (i czasem rwnie bolenie) jest z poznawaniem matematyki. To wanie pozostawienie uczniom duej samodzielnoci motywuje ich do poznawania jej tajemnic. To, co ucze odkry samodzielnie, pozostawia w jego umyle trway lad i daje pewno, e w razie potrzeby bdzie potrafi dokona tego sa-mego odkrycia na nowo, zamiast odtwarza mechaniczne procesy i zapamitywa skomplikowane algorytmy. Poniej przedstawia-my eksperymenty numeryczne i algebraiczne (w tym eksperymenty z funkcjami), ktre pozwalaj uczniom poczu tak wanie swobod, oswoi si z ni i nauczy si z niej mdrze korzysta (eby za czsto i za mocno nie bolao).

Czym jest odkrycie w matematyce?

Definiowanie, opisywanie, a zwaszcza algorytmizowanie procesu odkrywania wydaje si zajciem kar-koomnym. Bardzo ciekawie o odkryciach matematycznych pisze francuski matematyk Jacques Hadamard w Psychologii odkry matematycznych (PWN, 1964), przytaczajc tam midzy innymi anegdot o New-tonie, ktry zapytany o to, jak odkry prawo powszechnego cienia, podobno odpowiedzia: przez cige mylenie.

Mimo trudnoci, odkrywanie wasnoci obiektw, prawidowoci procesw i twierdze matematycz-nych mona w szkolnej praktyce rozpatrywa w kilku aspektach: eksperymentowanie, czyli odkrywanie sensu stricte, praca nad problemami, ktre w naturalny sposb mog by uoglnione, praca nad trudnymi zadaniami, w odniesieniu do ktrych nie narzuca si adna metoda postpowania, praca nad problemami zwizanymi ze specyfik programu komputerowego lub rodowiska programi-

stycznego.Pokrtce zajm si kadym z nich.Wspln cech wszystkich podawanych przeze mnie przykadw bdzie praca wedug poniszego sche-

matu, skadajcego si z czterech faz:

EKSPERyMENty HIPOtEZy DOWODy UOGlNIENIA

Uycie liczby mnogiej jest zamierzone. Odkrycie nowej wiedzy wymaga bowiem wielokrotnego powta-rzania dowiadcze, narzucajca si hipoteza moe si okaza bdna i wymaga modyfikacji, a pierwsze prby dowodowe s zazwyczaj mao doskonae i wymagaj wielu uzupenie oraz poprawek.

19


Nie do przecenienia jest ostatnia faza, w ktrej ucze postawiony jest w bardzo nietypowej sytuacji. Zazwyczaj to on jest adresatem pyta formuowanych przez nauczyciela, podrcznik czy arkusz egzami-nacyjny. tym razem staje si podmiotem stawiajcym nowe problemy badawcze, wytyczajcym kierunek wasnej pracy.

Cho pojcie eksperymentu wydaje si blisze raczej naukom przyrodniczym ni cisym, to faza ekspe-rymentowania pojawia si w pracy kadego matematyka, nawet gdy zajmuje si najbardziej abstrakcyjnymi teoriami. Ucze eksperymentujcy na lekcji matematyki znajduje si w autentycznej sytuacji badawczej. Jest to ciekawe wyzwanie, ale i dua trudno dla niewprawionego umysu, dlatego nie mona pozostawi go samemu sobie.

Pomoc uczniowi w samodzielnym (czciowo lub cakowicie) odkrywaniu matematyki jest bardzo trudnym zadaniem. Uatwiaj je wasne wczeniejsze dowiadczenia w tym zakresie, a take wykorzystanie technologii. Dziki niej matematyczne eksperymenty nie s mudne i daj wicej przesanek do postawienia hipotez.

Sprytne podnoszenie do kwadratu

Ju w szkole podstawowej mona podj trud odkrywania i dowodzenia pewnych faktw arytmetycz-nych. Ponisze zadanie dotyczy wynalezienia algorytmu szybkiego podnoszenia do kwadratu liczb o szcze-glnych wasnociach.

Jak mona szybko podnosi do kwadratu liczby naturalne, ktrych ostatni cyfr jest 5?

(E) Rozpoczynamy oczywicie od eksperymentw numerycznych z kalkulatorem lub arkuszem kalkula-cyjnym, gromadzc potrzebne dane i przygldajc si im. Majc do dyspozycji kalkulator graficzny, mona postpi na przykad tak jak ilustruj to zrzuty ekranu z rysunku 1.

(H) Obserwujc tabel wynikw, uczniowie powinni odkry, e wszystkie kwadraty: kocz si na 25, zaczynaj si iloczynem liczby poprzedzajcej cyfr 5 i liczby o 1 od niej wikszej.

Pierwszy wniosek narzuca si sam. Gdyby uczniowie mieli kopoty z drugim, mona sporzdzi do-datkow tabelk, w ktrej oprcz kwadratw podano liczby powstae z nich przez odrzucenie kocwki 25 (rys. 2).

Rys. 1

Rys. 2

20


(D) Dowd poprawnoci odkrytego algorytmu jest oparty na interpretacji nastpujcych tosamoci algebraicznych: (10x+5)2 = 100x2+100x+25 = 100x(x+1)+25.

(U) teraz uczniowie mog si zastanawia nad podobnymi algorytmami szybkiego podnoszenia do kwadratu liczb naturalnych z ostatni cyfr na przykad 1 lub 3. W czasie prowadzonych przeze mnie zaj nigdy nie zdarzyo si, aby nie znalazo si chocia kilka osb, ktre samorzutnie podjyby takie prby na poziomie manipulacji algebraicznych.

Wicej przykadw dotyczcych uywania kalkulatora do prowokowania matematycznych odkry mo-na znale w pozycjach [1] i [2] podanych na kocu rozdziau.

Sumy potg kolejnych liczb naturalnych

Ponisze zadanie jest zapewne wszystkim dobrze znane. Proponuj jednak do niekonwencjonalne podejcie do jego rozwizania na poziomie gimnazjalnym. W tekcie przyjmujemy, e zero nie jest liczb naturaln.

Ile wynosi suma n pocztkowych liczb naturalnych? A suma ich kwadratw? A szecianw?

(E) Obliczenia wartoci kolejnych sum (liczb naturalnych, ich kwadratw i szecianw) wykonujemy na kalkulatorze lub w arkuszu kalkulacyjnym, a nastpnie pary liczb postaci (n, 1+2+3++n) zaznaczamy w ukadzie wsprzdnych (analogicznie postpujemy z kwadratami i szecianami). Majc do dyspozycji kalkulator graficzny, mona postpi na przykad tak, jak ilustruj to zrzuty ekranu z rysunkw 35.

Punkty o wsprzdnych (n, 1+2+3++n) dla n{1, 2, 3, , 10}

Punkty o wsprzdnych (n, 12+22+32++n2) dla n{1, 2, 3, , 10}

Punkty o wsprzdnych (n, 13+23+33++n3) dla n{1, 2, 3, , 10}

Rys. 3

Rys. 4

Rys. 5

21


(H) Obserwujc otrzymane wykresy i analizujc ich wasnoci, uczniowie powinni odkry, e s to funkcje wielomianowe zmiennej n (pojcie wielomianu nie wystpuje w programie matematyki w gimna-zjum, niemniej uczniom zdolnym na pewno warto je przybliy). A dokadniej, e funkcja f(n) = 1+2+...+n jest zalenoci kwadratow, g(n) = 12+22+...+n2 szecienn, a h(n) = 13+23+...+n3 jest wielomianem czwar-tego stopnia. Wida to wyraniej, jeli zamiast 10 punktw rozpatrzymy ich na przykad 50 (rys. 6a) lub gdy wszystkie funkcje wywietlimy jednoczenie (rys. 6b).

Powysze hipotezy musimy jednak sformuowa precyzyjniej. W tym celu wsplnie z uczniami zasta-nawiamy si, jakie wspczynniki liczbowe wystpuj w wielomianach reprezentujcych funkcje f, g i h. Moemy to bada rnymi metodami. Pokaemy dwie z nich.

1) Aby znale wspczynnik a funkcji f(n) = an2+bn+c, wykonajmy dzielenie przez n w najwyszej potdze, w jakiej wystpuje w tym wzorze. Otrzymamy now funkcj f1(n) =

f(n) n2 , ktrej wykres dla

n{1, 2, 3, , 50} przedstawia rysunek 7. Wida, e dla duych n, wartoci funkcji wyranie stabilizuj si w pobliu pewnej liczby, ktr mona atwo odczyta. Z drugiej strony intuicyjnie jest zrozumiae, e war-toci f1(n) = a+b/n+c/n

2 dla duych n s w przyblieniu rwne a (gdy b/n i c/n2 s wtedy bliskie 0). W ten sposb znalelimy hipotetyczn warto wspczynnika a rwn 1/2.

Nastpnie zajmujemy si funkcj f2(n) = f1(n)n

2

n i podobnie jak wczeniej znajdujemy b = , a na

koniec funkcj f3(n) = f1(n)n2n, otrzymujc c = 0. Mamy wic hipotez, e f(n) = n2+n.

Podobna procedura zastosowana do funkcji g(n) daje wynik (1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n, a zastosowana do h(n) daje (1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2. tak wic hipotezy mamy gotowe.

2) Do wyznaczenia rwna funkcji f, g i h mona te uy krzywych regresji, czyli funkcji, ktre w danej klasie, na przykad wielomianw kwadratowych, szeciennych lub czwartego stopnia, najlepiej pasuj do danego ukadu punktw. Korzystamy z wbudowanej w kalkulator komendy pozwalajcej automatycznie takie funkcje znajdowa (cho w pracy z grup uczniw zainteresowanych matematyk warto si pokusi o wiksz precyzj i zapozna ich z metod najmniejszych kwadratw, na ktrej opiera si znajdowanie krzywych regresji). Uzyskane w ten sposb wyniki (przedstawione na rys. 810) moemy porwna z tymi znalezionymi poprzedni metod.

Rys. 6

Rys. 7

a) b)

22


Regresja kwadratowa dla funkcji f(n)

Regresja szecienna dla funkcji g(n)

Regresja wielomianowa stopnia czwartego dla funkcji h(n)

Przeksztacajc otrzymane wzory, otrzymujemy ostatecznie: 1+2+3++n = n(n+1) 2 , 12+22+32++n2 =

= n(n+1)(2n+1) 6 oraz 13+23+33++n3 = (n(n+1))2 2 .

(D) Istnieje wiele dowodw powyszych tosamoci. W liceum najczciej wykorzystuje si w nich zasad indukcji matematycznej. Warto jednak zaprezentowa uczniom inny typ rozumowania, tak zwane dowody przez interpretacj geometryczn. Rysunek 11 przedstawia takie wanie uzasadnienie pierwszej tosamoci dla n = 4.

1+2+3++n = (n2n)/2+n = n(n1)/2Dowody podobnego typu pozostaych dwch tosamoci mona znale na przykad w [3].

(U) Badanie sum liczb naturalnych, ich kwadratw i szecianw powinno doprowadzi uczniw do wniosku, e suma 1k+2k+...+nk, gdzie kN jest wielomianem stopnia k+1 zmiennej n, a wspczynnik przy

Rys. 8

Rys. 9

Rys. 10

Rys. 11

= +

Rys. 11

23


zmiennej w najwyszej potdze wynosi 1/(k+1). Podobne zagadnienie bada w XVIII wieku szwajcarski matematyk Jakub Bernoulli. Rozpatrywa on sumy 0k+1k+2k++(n1)k i odkry, e mona je zapisa jako 1k+1(B0nk+1+ k+1( 1 ) B1nk+...+ k+1( k ) Bkn), przy czym wspczynniki B0, B1, , Bk, zwane dzi liczbami Bernoul- liego, odgrywaj wan rol w teorii liczb. W szczeglnoci posuyy Kummerowi do rozstrzygnicia roz-wizalnoci rwnania Fermata dla tak zwanych liczb pierwszych regularnych.

Rwnanie diofantyczne

Kolejne zadanie jest do trudne. Pochodzi z Olimpiady Matematycznej z 1998 roku.

Znajd wszystkie rozwizania w liczbach cakowitych rwnania x2+3y2 = 1998x.

(E) Krzywa o rwnaniu x2+3y2 = 1998x to elipsa, zatem moe przechodzi tylko przez skoczenie wiele punktw kratowych o wsprzdnych cakowitych. Moemy istotnie zawzi obszar poszukiwa, zauwa-ajc e x musi by nieujemne i spenia nierwno x 1998, co daje oszacowanie y przez nierwno |y| 31998/6 1153 (ktre mona jeszcze poprawi do |y| 3333 573).

Oto rozwizanie maszynowe (w programie DERIVE), dziki ktremu wyuskano rozwizania.

Funkcja g(x) to cz uamkowa f(x), zatem x jest rozwizaniem cakowitym rozpatrywanego rwnania, o ile g(x) = 0. Pozycja #5 zawiera 27 pocztkowych wynikw dla x{0, 1, , 26}. Oczywicie program wy-wietli je wszystkie.

Rczne poszukiwanie wartoci x, dla ktrych f(x) jest cakowite, mona zautomatyzowa za pomoc nastpujcej operacji na wektorach: [a, b, c, ..., d] {[b, c, ..., d, a], gdy g(a) = 0 [b, c, ..., d], gdy g(a) 0 . W efekcie (widocznym poniej) otrzymujemy cztery rozwizania w liczbach cakowitych nieujemnych i jeszcze dwa rozwizania z ujemnymi wartociami zmiennej y: (648, -540), (1350, -540).

24


Waciwie w tym momencie mona zakoczy rozwizywanie zadania, gdy wszystkie pierwiastki ca-kowite rwnania x2+3y2 = 1998x zostay znalezione. Powstaje jednak pytanie, czy powysze postpowanie stanowi dowd, czy jest jedynie sposobem na postawienie hipotezy.

(D) Warto przeprowadzi z uczniami dyskusj na temat potrzeby rozwizania niemaszynowego. Moe si ono opiera na spostrzeeniu, e jeli para (x, y) jest rozwizaniem danego rwnania, to obie liczby x i y s podzielne przez 3. Biorc to pod uwag, otrzymujemy nowe rwnanie x21+3y

21 = 666x1, gdzie x = 3x1

i y = 3y1. I znowu zauwaamy, e x1 i y1 s podzielne przez 3. Kontynuujc poprzednie postpowanie, docho-dzimy do rwnania x3

2+3y32 = 74x3, ktre te mona uproci, zauwaajc e x3 i y3 s parzyste. Wtedy pozo-

staje do rozwizania rwnanie x42+3y4

2 = 37x4, co przy ograniczeniach naoonych na zmienne do szybko prowadzi do znalezienia rozwiza: (0, 0), (12, 10), (25, 10), (37, 0), (12, 10) i (25, 10).

(U) Istot zaprezentowanego rozumowania arytmetycznego jest szczeglna podzielno wspczynni-kw rwnania, podczas gdy wypracowana metoda numerycznego poszukiwania rozwiza pozwala zaj si rwnaniami typu x2+3y2 = kx, dla dowolnych kN.

Dotychczasowe przykady pokazuj, e istot rozwizywania zada matematycznych za pomoc kom-puterw lub kalkulatorw (czy oglnie za pomoc technologii) dobrze ilustruje nastpujcy diagram:

PRZEKAD ZADANIA WPROWADZENIE DANyCH ZEBRANIE WyNIKW INtERPREtACJA WyNIKW/HIPOtEZA DOWD UOGlNIENIA

Szczeglnie istotnym elementem tego procesu jest przekad zadania, czyli konieczno wyraenia bada-nych obiektw w jzyku zrozumiaym dla programu komputerowego. Bardzo rzadko wystpuje on w innych podejciach do rozwizywania problemw, a ksztatuje wan umiejtno matematyzacji i wanie to sta-nowi jedn z najwikszych zalet nauczania matematyki za pomoc technologii.

Zadania o cigach

Oto dalsze przykady zada (ju bez szczegowego omwienia), ktre mog by rozwizane za pomoc kalkulatora lub odpowiedniego programu komputerowego. Zadania te dobitnie podkrelaj zalety wspo-maganej technologiami pracy nad zadaniami matematycznymi: konieczno wyraenia problemu w jzyku uywanej technologii, szybko i liczba wykonywanych oblicze dajcych wiele przesanek do postawienia trafnej hipotezy, uproszczenie metod rozwizania i obnienie progu trudnoci problemu do poziomu prze-citnie uzdolnionego ucznia, moliwo szybkiej weryfikacji postawionej hipotezy.

Pierwsze zadanie pochodzi z Midzynarodowej Olimpiady Matematycznej z 2005 roku.

Niech an = 2n+3n+6n1.Wyznacz wszystkie liczby naturalne wzgldnie pierwsze z kadym wyrazem tego cigu.

Mona wykorzysta program DERIVE do sprawdzenia, ile wynosz reszty z dzielenia kolejnych wyra-zw cigu {an} przez rne liczby pierwsze. Po zbadaniu kilkunastu przypadkw liczb pierwszych p okazao si, e jeli p 2 i p 3, to p | ap 2. ta odkryta eksperymentalnie wasno w istotny sposb przyczynia si do podania odpowiedzi: jedyn liczb wzgldnie pierwsz z kadym wyrazem rozpatrywanego cigu jest 1.

A oto kolejny przykad.

Niech a1 = 14, b1 = 6, an + 1 = 3an+bn, bn + 1 = an+bn dla n 1. Znajd wzory jawne na an i bn.

25


W programie MAtHEMAtICA poszukiwania mona prowadzi w nastpujcy sposb:

Po przeoeniu na typow symbolik otrzymujemy:a1 = 2.7, a2 = 2

2.32, a3 = 23.11, a4 = 2

4.13, a5 = 25.3.5 = 25.15, a6 = 2

6.17b1 = 2.3, b2 = 2

2.5, b3 = 23.7, b4 = 2

4.9, b5 = 25.11, b6 = 2

6.13Prawidowo jest ewidentna: an = 2

n.(2n+5), bn = 2n.(2n+1).

Ponisze zadanie rozwizywaem z uczniami I klasy III lO w Gdyni.

Diagram poniej ilustruje rwnoliczno zbiorw N N oraz N. Podaj wzr jawny funkcji f: N NN, ktrej ten diagram odpowiada, to znaczy takiej, e f(1, 1) = 1, f(1, 2) = 2, f(2, 1) = 4, f(3, 1) = 5 itd.

In[1]:= fx_, y_ : 3 x y, x yIn[2]:= NestListf, 14, 6, 10

Out[2]= 14, 6, 36, 20, 88, 56, 208, 144, 480, 352, 1088, 832,2432, 1920, 5376, 4352, 11776, 9728, 25600, 21504, 55296, 47104In[3]:= FactorInteger

Out[3]= 2, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 5, 1,2, 3, 11, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 1,2, 4, 13, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 2,2, 5, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 2, 5, 11, 1,2, 6, 17, 1, 1, 1, 2, 6, 13, 1,2, 7, 19, 1, 1, 1, 2, 7, 3, 1, 5, 1,2, 8, 3, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 8, 17, 1,2, 9, 23, 1, 1, 1, 2, 9, 19, 1,2, 10, 5, 2, 1, 1, 2, 10, 3, 1, 7, 1,2, 11, 3, 3, 1, 1, 2, 11, 23, 1

x

y

1

1

1 4 5 16

2 3 6 15

9 8 7 14

10 11 12 13

Rys. 12

Jedna z uczennic po tygodniu przyniosa rozwizanie. Fragment jej notatek prezentujemy poniej.W pracy tej jest spory potencja, chocia s te powane bdy. Programy komputerowe daj moliwo

uporzdkowania chaotycznych rozwiza i weryfikacji ich poprawnoci.W ostatniej macierzy widoczne s wartoci funkcji pokazanej na rysunku 12. Uzyskalimy tu kom-

puterowe potwierdzenie, e pomys uczennicy by dobry, a konieczno poprawnego zaimplementowania definicji funkcji do programu zmusia uczennic do naniesienia poprawek w jej pierwotnej definicji.

y

x

26


Nowy typ zada matematycznych

We wszystkich wczeniejszych przykadach punktem wyjcia by problem matematyczny, ktry znacz-co dao si uproci, dziki zastosowaniu technologii. Pokaemy, e moe by take na odwrt: ot prba nauczenia kalkulatora lub komputera, jak tworzy pewne obiekty matematyczne, czyli przekad zadania z jzyka matematyki na jzyk kalkulatora lub programu komputerowego, moe sam w sobie stanowi cie-kawy problem do rozwizania. Czsto bowiem to, co wydaje si atwe do pokazania choby na odrcznym rysunku, moe by trudne do wykonania za pomoc technologii. Oto przykad:

1 2 3Zapisz macierz 4 5 6 , uywajc:

7 8 9a) komendy vector w programie DERIVE,b) komend seq i listmatr w kalkulatorze graficznym.

Rys. 13

27


W programie DERIVE komenda jest krtka.

Stworzenie rozpatrywanej macierzy w jzyku na przykad kalkulatora tI-84 jest bardziej skompliko-wane i wymaga pewnej sprawnoci w operowaniu obiektami matematycznymi, ktre s dostpne w menu. Sposb postpowania pokazuj ponisze zrzuty ekranw.

Zamiast zakoczenia

Istnieje ogromna liczba przykadw matematycznych zada, w ktrych stosowanie technologii nie tylko uatwia znalezienie rozwizania, ale rozwija umiejtnoci badawcze uczniw, ksztatujc ich twrczy po-tencja.

technologie, dziki ogromnej mocy obliczeniowej, pozwalaj si skoncentrowa wycznie na poszukiwa-niu prawidowoci, stawianiu hipotez czy dowodzeniu; to znaczy czarn robot wykonuje kalkulator lub komputer.

Maszynowe rozwizywanie matematycznych zada czsto si wie z koniecznoci napisania programu, ktry automatycznie wykonuje na przykad obliczenia.

technologie umoliwiaj zaprojektowanie matematycznych symulacji, na podstawie ktrych mona uzy-ska rozwizanie problemu, na przykad synne zadania Buffona o igle.

technologie umoliwiaj wizualizacj rozwiza. Zaplanowanie takiej wizualizacji wymaga czasami spo-rej wiedzy matematycznej.

Naley podkreli, e uywanie komputerw do wykrywania prawidowoci i stawiania hipotez nie zwal-nia z potrzeby przeprowadzania dowodw. Dopiero przedstawienie dedukcyjnego uzasadnienia odkryte-go faktu powoduje, e zadanie jest rozwizane prawidowo.

Literatura

[1] Zarzycki P., Orzeszek A., Kierznikowicz A. i wsp. Lekcje matematyki z kalkulatorem graficznym w gimna-zjum. Ksika dla nauczyciela, Edukacja z tI, 2004.

[2] Orzeszek A., Zarzycki P. (red.), Lekcje matematyki z kalkulatorem graficznym, Gdaskie Wydawnictwo Owiatowe, 2003.

[3] Nelsen R.B., Proofs without words, MAA, 1993.

Rys. 14

28

3. O nauczaniu metod projektu edukacyjnegoMagorzata Mikoajczyk, Wrocaw

Aby pracowa jak metod, trzeba by do niej przekonanym, rozu-mie jej cele i mechanizmy. Istot pracy metod projektu jest edukacja interdyscyplinarna, a take odwoywanie si do zjawisk codzienne-go ycia, odkrywanie rzdzcych nimi prawidowoci i ich badanie. Opisane we wczeniejszych rozdziaach nauczanie realistyczne i pro-blemowe stanowi przygotowanie ucznia do realizowania projektu, a w dalszej perspektywie do samodzielnej pracy badawczej. W tym rozdziale omwimy zasady interdyscyplinarnoci nauczania, zdefi-niujemy, czym s zadania projektowe, wskaemy ich przykady i opi-szemy narzdzia uatwiajce ich realizacj.

Ksztacenie interdyscyplinarne

Interdyscyplinarno jest najbardziej naturalnym sposobem przekazywania wiedzy. Dziecko postrzega otaczajcy je wiat jako cao, w taki sposb uczy si w domu i od najmodszych lat poznaje swoje otocze-nie. Dopiero szkoa narzuca mu podzia na poszczeglne dyscypliny, wskutek czego wiedza zostaje poszu-fladkowana, a ucze sam nie potrafi stworzy powiza midzy rnymi jej fragmentami. Dlatego integracja wiedzy staa si jednym z kluczowych zaoe reformy owiaty. Realizowana jest nie tylko przez nauczanie zintegrowane na pierwszym etapie edukacyjnym i blokowe testowanie umiejtnoci po szkole podstawowej, ale take przez tworzenie cieek midzyprzedmiotowych, projektowanie integrujcych wiedz podrczni-kw i programw nauczania oraz zalecan prac metod projektu edukacyjnego.

Integracja treci przedmiotowych z matematyki jest moliwa na styku z kadym innym przedmiotem szkolnym, gdy metody matematyczne stanowi podwalin metodologii waciwie wszystkich innych nauk. Czsto o penym zrozumieniu jakiego zjawiska mwi si dopiero wtedy, gdy umiemy je opisa i wyja-ni formuami matematycznymi. Dlatego w nauczaniu wane jest wyrobienie umiejtnoci opisywania zjawisk przyrodniczych i spoecznych w jzyku matematyki i wykorzystania jej metod do rozwizywania problemw z rnych dziedzin wiedzy. takie podejcie skania ucznia do bacznej obserwacji otaczajcego go wiata i poznawczej refleksji nad jego zjawiskami, pozwala powiza wiadomoci matematyczne z cao-ci wiedzy zdobywanej w szkole, ukazywa aplikacyjne aspekty matematyki w rnych dziedzinach ycia i dziaalnoci poznawczej.

Korelacja midzyprzedmiotowa

Integracji wiedzy szkolnej nie naley myli ze zwyk korelacj midzyprzedmiotow. Problem nie jest wcale nowy. Zacytuj tu fragment broszury z 1932 roku pt. Jak realizowa nowe programy szkolne: Na lekcji polskiego czytanka o pszczoach, na lekcji przyrody pszczoa, na lekcji rachunkw zadanie o pszczoach, a na piewie piosenka o pszczce. [...] Prby te najczciej sztuczne, nie tylko nie przynosz

29


oczekiwanych korzyci, ale czsto wprowadzaj do lekcji nud. Nic dziwnego, e tak sztucznie stosowana korelacja przedmiotw szkolnych budzi sprzeciw. Stanowi jaskrawe wypaczenie zasady interdyscyplinarno-ci w imi realizacji wytycznych i hase programowych samych w sobie, a nie harmonijnego, naturalnego i wszechstronnego rozwoju ucznia.

Celem nauczania interdyscyplinarnego jest postrzeganie i opisywanie zarwno bogactwa, jak i jednoci otaczajcego nas wiata, a korelacja powinna by narzdziem osigania tego celu tylko wtedy, gdy zachodzi istotna i uzasadniona, a nie fikcyjna potrzeba jej wprowadzenia. Stanowi wtedy niezwykle cenn metod pobudzania motywacji uczniw, pozwala na indywidualizacj tempa pracy i zakresu wymaga w zalenoci od moliwoci i zainteresowa ucznia, na poznanie danego zjawiska w sposb cigy, kompleksowy, wielo-aspektowy, rnymi zmysami i poprzez rne aktywnoci.

Oto dwa przykady waciwej realizacji korelacji midzyprzedmiotowej w szkole podstawowej. Prowa-dzone we wsppracy midzy nauczycielami wszystkich przedmiotw stanowi przygotowanie do realizacji projektw edukacyjnych w gimnazjum oraz prowadzenia samodzielnych uczniowskich prac badawczych w szkole ponadgimnazjalnej.Zima jzyk polski ba Hansa Christiana Andersena Krlowa niegu suchowisko, fragmenty filmu,

teatrzyk samorodny; czytanie i analiza wybranych fragmentw opowiada Aliny i Czesawa Centkie-wiczw;

przyroda jak wyglda u nas zima, czym si rni od innych pr roku, co robi wtedy ludzie i zwierz-ta pogadanka, wycieczka do lasu i badanie tropw zwierzt; skd si bior pory roku, kiedy wystpuj w rnych czciach ziemskiego globu demonstracja na globusie; gdzie si znajduj strefy polarne, gdzie le Antarktyda i Arktyka, czy s zamieszkae, jak wyglda ycie ich mieszkacw, fauna, flora, krajobrazy zdjcia, filmy, spotkanie z polarnikiem;

matematyka obserwacja i szkicowanie patkw niegu, badanie ich symetrii, pojcia symetrii osiowej, rodkowej i obrotowej, projektowanie patkw o zadanej symetrii, metody uzyskiwania obiektw o danej symetrii eksperymenty z lustrem, kleksami, wycinaniem, realizacje komputerowe;

technika wykonanie bezpiecznego lodowiska na szkolnym lub osiedlowym boisku, budowa igloo; wychowanie fizyczne sporty zimowe i zabawy na niegu zawody saneczkowe, wycigi zaprzgw,

konkurencje ywiarskie, narciarstwo biegowe; sztuka Zima w muzyce i plastyce na przykadzie cyklu Cztery pory roku Antonia Vivaldiego oraz Giu-

seppe Arcimboldo, konkurs rzeb ze niegu; godzina wychowawcza podsumowanie i ocena, wystawa prac, wycieczka z kuligiem i ogniskiem.Gry jzyk polski ycie i zajcia grali pogadanka; gwara gralska filmy, suchowiska, opracowanie sow-

niczka; legendy o grach czytanie fragmentw prozy, opowiadanie, teatrzyk samorodny, filmy; gry w poezji czytanie i omawianie fragmentw, recytacja;

przyroda fauna, flora, krajobrazy gr zdjcia, filmy; pochodzenie i rozmieszczenie pasm grskich globus, mapy, filmy;

technika potrawy gralskie zebranie przepisw, przygotowanie kwanicy, degustacja; sztuka co to jest folklor pogadanka, motywy gralskie, architektura gr zdjcia, filmy; wykonanie

elementw stroju gralskiego, ciupag, haftw, malowanie na szkle; wychowanie fizyczne wspinaczka skakowa w terenie lub na sztucznej cianie, nauka krzesanego;

30


matematyka najwysze szczyty wiata, Europy i innych kontynentw, Polski, okolicy zamieszkania porwnywanie, gromadzenie i prezentacja danych, rysowanie w skali;

godzina wychowawcza podsumowanie i ocena, wystawa prac, wycieczka w gry.Proponowane aktywnoci s silnie zwizane z osi tematyczn i w sposb naturalny umotywowane,

a jednoczenie pozwalaj rozwija wiadomoci i umiejtnoci przedmiotowe oraz wyobrani i zaintere-sowania uczniw. Do wsppracy przy ich realizacji warto wczy rodzicw, prezentujc na przykad ich zawody czy hobby.

Jednak korelacji midzyprzedmiotowej nie naley naduywa i stosowa zbyt czsto, gdy grozi to prze-cieniem procesu dydaktycznego i moe sta si mczce i nudne. Nie kade haso programu musi by realizowane w sposb interdyscyplinarny, poniewa nie kade si do tego nadaje, a do pewnych zada ma-tematycznych moe po prostu zabrakn okazji.

Zadania interdyscyplinarne

Nauczanie interdyscyplinarne nie musi si przejawia wycznie w przedsiwziciach dydaktycznych na miar projektw czy cieek midzyprzedmiotowych. Moe by z powodzeniem realizowane w pojedyn-czych zadaniach z autentycznym i gbokim kontekstem midzyprzedmiotowym czy nawet w pojedynczych akapitach podrcznika do matematyki (dotyczcych informacji historycznych, astronomiczno-fizycznych, przyrodniczych czy lingwistycznych). Wprowadzenie metody wsprzdnych mona powiza z pogadank o kartografii, o postpie geometrycznym mwi przy okazji bankowoci, a obliczenia procentowe stosowa do zada o steniach roztworw chemicznych.

Autorzy podrcznikw do matematyki nie powinni unika wczania do nich treci z innych dyscy-plin, ktre w naturalny sposb pokazuj jej praktyczne aspekty, a odwoujc si do pozamatematycznych zainteresowa ucznia, dostarczaj motywacji do przyswajania jej metod. Nie kady ucze jest w stanie podziwia pikno czystej matematyki, ale kady powinien docenia jej uyteczno. Wydaje si jednak, e tworzenie autentycznych zada interdyscyplinarnych przychodzi autorom podrcznikw z trudem. Zadanie takie (podobnie jak zadania realistyczne, o ktrych bya mowa wczeniej) musi istotnie wyko-rzystywa wiedz ucznia o opisywanym zjawisku, wymaga od niego zdobycia takiej wiedzy (poprzez ob-serwacj, eksperyment czy analiz rde) lub wiedza ta powinna by zdobywana w wyniku rozwizania zadania. Zawsze jednak uczniowie powinni by postawieni przed koniecznoci wyboru adekwatnego do problemu aparatu matematycznego, a samo pytanie powinno budzi ich autentyczne zainteresowanie i motywacj.

Oto przykad takiego zadania dotyczcego ste, w wariancie dla kadego poziomu edukacyjnego. Jego wanym aspektem jest moliwo oparcia si na eksperymencie, ktry stanowi punkt wyjcia do zdefiniowa-nia nowego pojcia lub sformuowania problemu, a nastpnie poszukiwania jego matematycznego modelu.

Co si stanie z poziomem wody w naczyniu, gdy wrzucimy do niego gar soli, pieprzu, grochu, gwodzi?

Zadanie to stanowi pretekst do wprowadzenia w szkole podstawowej pojcia objtoci i jej wasnoci. Uczniowie mog swobodnie przewidywa wyniki eksperymentu, a nastpnie zweryfikowa je, wykonujc dowiadczenia. W tym celu musz ustali: wielkoci, ktre bd podlega pomiarom, jednostki i technik ich wykonania. Zadanie pozwala dokona egzemplifikacji rnych typw mieszanin oraz wykaza, e w rze-czywistoci (inaczej ni zazwyczaj w matematyce) objto nie jest miar addytywn.

31


W gimnazjum podobne dowiadczenia mog stanowi podstaw nauki o obliczeniach procentowych uczniowie mog wykonywa roztwory o danych steniach, opracowywa metody okrelania ste da-nych roztworw i otrzymywa z nich nowe roztwory o podanych steniach, mog te bada wasnoci roztworw nasyconych, sporzdza i skalowa solomierze, glukometry itp. Z takich laboratoryjnych lekcji matematyki na pewno wynios wicej ni z rozwizywanych na sucho zada o mieszaniu roztworw.

Z kolei w liceum podobne eksperymenty mog by wstpem do ukadania rwna rniczkowych.

Do 10-litrowego wiadra, w ktrym s 2 litry wody dopywa w staym tempie 1 litra na minut 10-procentowy roztwr soli. Jak zmienia si stenie soli w wiadrze? Jakie stenie ma roztwr w momencie, gdy wiadro si napeni?

Proces rozwizywania tego zadania jest zoony i moe czy w sobie wiele aktywnoci nie tylko ma-tematycznych. Rozwizywanie zadania mona zacz od naszkicowania przewidywanego ksztatu krzywej stenia roztworu (funkcja rosnca od 0 do 8%), trudno jednak przewidzie, w jakim tempie wzrasta to stenie, czy zaley liniowo od czasu i jak warto osiga w chwili napenienia si wiadra. Kolejnym etapem jest zaplanowanie i wykonanie odpowiedniego eksperymentu, w wyniku ktrego przebieg krzywej stenia ustalimy empirycznie. Nastpnie, bilansujc ilo soli w roztworze po czasie t, otrzymujemy wzr analityczny

tej krzywej: stenie soli po czasie t = ilo soli po czasie tobjto roztworu w chwili t = 0,1t2+t , a oba wykresy moemy porwna.

Nie ma tu jeszcze adnych rwna rniczkowych, ale przecie nie kade zagadnienie fizyczne musi do nich prowadzi. Jednak zadanie to mona dowolnie wzbogaca i przedua, na przykad przy zaoeniu, e pocztkowo w wiadrze znajdowa si roztwr soli o znanym steniu, mona bada, kiedy stenie prze-kroczyo 2%, 3%, 4% itd., czy nastpowao to w rwnych odstpach czasu, czy coraz szybciej, czy wolniej i wreszcie mona si zastanowi, co si dzieje ze steniem roztworu, gdy eksperyment trwa dalej, to znaczy gdy roztwr zaczyna si przelewa z wiadra.

Pocztkowo wydaje si, e to nic nie zmienia, jedynie przy czasie dcym do nieskoczonoci, krzywa powinna zbiega asymptotycznie do 10%. tak byoby i w poprzednim przypadku, gdyby wiadro miao nie-ograniczon objto. Ale czy tempo wzrostu stenia bdzie nadal takie samo? Intuicja podpowiada, e nie. Powinno by szybsze, poniewa wraz z roztworem wylewa si z wiadra woda, ktra bya w nim na pocztku. tym razem przeprowadzenie eksperymentu i oblicze wymaga zaoenia pewnego modelu teoretycznego.

Zamy, e w cigu kadej minuty tyle samo cieczy wlewa si do wiadra, ile si z niego wylewa, bez adnych strat i gwatownego rozchlapywania. Ponadto ciecz bardzo szybko i dokadnie si miesza, tak e jej stenie jest wszdzie jednakowe. Moemy to uzyska, wylewajc z wiadra chochelk mieszaniny, dolewa-jc tak sam chochelk roztworu 10-procentowego, mieszajc i powtarzajc te czynnoci od nowa. Niech jedna taka operacja zajmuje czas t, a odpowiadajc tej operacji zmian iloci soli w roztworze oznaczmy przez s. Jeli w cigu minuty wlewa si 1 litr roztworu, to w czasie t powinno si wlewa go t litrw, za-tem objto naszej chochelki powinna wynosi wanie t. Wobec tego w jednym cyklu przelewa mamy:

s = ilo soli dolanej ilo soli odlanej = 0,1tt = 0,1ts(t) 10 t,

stenie wlewanego roztworu stenie aktualnie wylewanej mieszaniny

gdzie s(t) oznacza ilo soli w wiadrze w chwili t. Gdy rwnanie to podzielimy stronami przez t otrzymamy: st = 0,1

s(t) 10 = 0,1[1s(t)].

32


Jeli za eksperyment bdziemy przeprowadza nieskoczenie ma chochelk (t0), to otrzymamy: s'(t) = 0,1[1s(t)]. Zatem funkcja opisujca stenie roztworu w wiadrze to s(t)/10, przy czym funkcj s trze-ba wyznaczy z powyszego rwnania.

Do rozwizania otrzymanego rwnania rniczkowego wystarcz podstawowe wiadomoci dotyczce pochodnych funkcji elementarnych, mona te wykorzysta do tego komputer lub kalkulator algebraiczny. Rozwizaniem jest funkcja wykadnicza, majca (od momentu przepenienia wiadra, czyli dla t = 8 min) istotnie szybsze tempo wzrostu. Oto wykresy krzywych stenia w przypadku nieograniczonego i przelewa-jcego si wiadra.

0 30 min

rys. 1

8 30 minRys. 1

30 min

I to zadanie uczniowie mog dalej modyfikowa, wprowadzajc wicej kranw o rnej przepustowo-ci, z ktrych wlewaj si roztwory o rnych steniach. Mona te wprowadzi kilka zbiornikw o danej pocztkowej zawartoci, w ktrych woda przelewa si z jednego do drugiego. Komplikuje to oczywicie ra-chunki, ale nie rozwizywanie otrzymywanych rwna jest tu najwaniejsze, a ich ukadanie i pokazanie, e takie rwnania to nie martwe, abstrakcyjne twory, lecz matematyczne opisy konkretnych sytuacji. W trakcie tego typu zaj uczniowie rozwijaj wane umiejtnoci: przewidywania przebiegu dowiadczenia, jego pla-nowania, modelowania i porwnania wynikw teoretycznych z empirycznymi.

Niestety, w polskich podrcznikach takich zada nie ma, nie ma te tradycji przeprowadzania tego typu zaj na lekcji (ani matematyki, ani fizyki). Nauczyciele maj niewielkie dowiadczenie w rozwizywaniu problemw wymagajcych modelowania matematycznego i zbierania danych dowiadczalnych pozwalaj-cych odpowiedni model skonstruowa lub potwierdzi empirycznie jego zgodno z rzeczywistoci. Stan ten nie zmieni si, dopki do kanonu ksztacenia przyszych nauczycieli matematyki nie wejdzie kurs mo-delowania matematycznego.

Czym jest metoda projektu

Jednym ze sposobw realizacji idei ksztacenia interdyscyplinarnego jest metoda projektu. Kadzie si w niej nacisk nie tyle na wiedz i opanowanie technik, co na rozumienie procesw matematycznych, prze-prowadzanie rozumowa i stosowanie metod matematyki w sposb swobodny i elastyczny do rozwizania problemw praktycznych. Dokadniej rzecz ujmujc, projekt to dugoterminowe zadanie polegajce na pro-wadzeniu przez uczniw (indywidualnie lub w zespole) samodzielnej pracy badawczej dotyczcej zjawiska zwizanego z yciem codziennym lub dowoln gazi wiedzy. Zadanie to powinno: nawizywa do realnych sytuacji, zrywa z podziaem na treci przedmiotowe, odwoywa si do zainteresowa ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiadomoci, wykorzystywa w nowych sytuacjach wiedz i umiejtnoci zdobyte w procesie nauczania, mie charakter odkrywczy, wykorzystywa naturaln ciekawo dziecka,

30 min 0 8

33


wymusza realizacj penego procesu badawczego od planowania przebiegu bada przez zdobywanie informacji, stosowanie rozmaitych strategii rozwizania problemu a po opracowanie wnioskw i formu-owanie dalszych pyta.

Projekt jest realizowany na podstawie wytycznych okrelonych w karcie projektu i zawierajcych: wprowadzenie tematu badania, okrelenie celu badawczego, zestaw zada do wykonania, omwienie metod i narzdzi badawczych, propozycje organizacji pracy i prezentacji wynikw, wykaz podstawowej literatury.

Proponowane tematy powinny dotyczy konkretnych zjawisk ycia codziennego lub lee na pograni-czu rnych przedmiotw nauczania szkolnego. Z punktu widzenia ksztacenia matematycznego realizacja takich projektw wymaga wyszukiwania danych i informacji, modelowania matematycznego, stawiania hi-potez i wykazania si znajomoci technik matematycznych. W wielu projektach mona wykorzysta eks-perymenty numeryczne i graficzne, co pozwoli uczniom doceni uyteczno technologii w odkrywaniu nowych faktw.

Przykady tematw prac projektowych z pogranicza matematyki i wielu innych dziedzin (np. historii, przyrody, fizyki, sztuki, techniki, religioznawstwa, lingwistyki oraz ycia codziennego) wraz z kartami pracy ucznia i szczegowymi instrukcjami dla nauczyciela mona znale w pracy zbiorowej pt. 44 udane pro-jekty nie tylko z matematyki (WS PWN, 2002).

Idea projektu edukacyjnego czasem bywa spycana i wypaczana. Nie mona na przykad uzna za prac projektow zebrania ilustracji synnych budowli wiata i wykrelenia ich osi symetrii. Cho jest to ciekawe i ksztacce zadanie interdyscyplinarne, nie realizuje postulatw stawianych przed prac projektow, ktra przede wszystkim ma mie charakter badawczy i realizowa wszystkie etapy wymagane w procesie odkrywa-nia (stawianie i weryfikowanie hipotez, stosowanie rozmaitych strategii rozwizania problemu oraz rozwija-nie go przez stawianie dalszych pyta). W pracy metod projektu wane jest te ksztatowanie podanych postaw intelektualnych (aktywnoci badawczej, twrczego, samodzielnego mylenia, wytrwaoci, poszuki-wania rozwiza alternatywnych) oraz przekazywanie strategii uczenia si i rozwizywania problemw.

Co wane, samodzielna praca, konieczno zadawania przez ucznia pyta dotyczcych matematycznej natury zjawisk i odkrywanie nowej jakociowo wiedzy mog da nawet sabym uczniom wiele satysfakcji i wiary we wasne moliwoci, a w konsekwencji zmieni ich stosunek do przedmiotu. Wprowadzenie tej formy pracy pozwala uczniom, w sposb odmienny ni na przykad podczas typowego sprawdzianu (bo bezstresowy), wykaza si wiedz, moliwociami i kompetencjami take matematycznymi, a nauczycielowi daje okazj obserwowania pracy uczniw w warunkach odmiennych od lekcyjnej codziennoci. Ponadto, jest to znakomita okazja do wiczenia jzyka matematycznego, umiejtnoci opisywania obserwacji i formu-owania przemyle. Skania do refleksji nad otrzymanymi wynikami, poszukiwania analogii i uoglnie, rozwija cierpliwo i wytrwao w podejmowanych dziaaniach oraz umiejtno dziaania w zespole.

Rola nauczyciela w projekcie polega gwnie na doborze lektury, zaproponowaniu odpowiednich te-matw, przedyskutowaniu przebiegu projektu, ustaleniu jego celw i oczekiwanych wynikw. Oczywicie, uczniowie powinni mie moliwo zwrcenia si do nauczyciela z prob o pomoc w razie zaistniaych trudnoci, jednak nauczyciel powinien zaszczepi w uczniach poczucie wartoci samodzielnej pracy i odpo-wiedzialnoci za efekty wasnego uczenia si.

34


Wanym aspektem metody projektu jest wsppraca uczniw w zespole. Daje to nauczycielowi pole do obserwacji i analizy uczniowskich zachowa, nawizujcych si kontaktw i interakcji, prb wsppracy, sposobw prowadzenia dyskusji, organizowania podziau zada i wyaniania liderw.

Wiedza szkolna zdobywana w nauczaniu przedmiotowym bywa fragmentaryczna. Nauczyciele mate-matyki czsto boj si zagbi w materi innych przedmiotw, tumaczc to brakiem czasu i koniecznoci przygotowania uczniw do egzaminu. Nauczyciele historii, przedmiotw przyrodniczych, jzykw, techniki czy sztuki jeszcze bardziej stroni od matematyki. Wydaje si, e gdyby kady z tych nauczycieli zrobi krok w stron pozostaych, to tam odnaleliby moe zoty rodek nauczania. Metoda projektu jest doskonaym pretekstem do takiego spotkania. Z punktu widzenia ksztacenia ucznia uzdolnionego matematycznie nie jest to cel priorytetowy, gdy taki ucze ma na og ukierunkowane zainteresowania. Jest to jednak pierwszy krok przygotowujcy go do podejmowania samodzielnych bada i eksperymentw oraz do stawiania m-drych pyta badawczych, dostrzegania i formuowania nowych problemw, zauwaania matematyki w ota-czajcym wiecie oraz do przeduania wasnych poszukiwa poza postawione zadanie.

Efektem pracy nad projektem moe by wykonywanie pomocy dydaktycznych, przedmiotw uytkowych, dokumentacji na potrzeby szkoy i rodowiska, opracowanie listw interwencyjnych, artykuw do gazetek szkolnych i prasy lokalnej, organizacja wystaw, konkursw, przygotowanie i przeprowadzenie zaj lekcyjnych z rnych przedmiotw, wywiadwek dla rodzicw itp. Prezentacja wynikw prac powinna by witem klasy. Wszyscy (take rodzice) powinni mie moliwo docenienia i podziwiania wynikw pracy uczniw.

Jak ocenia prac badawcz uczniw?

Aby metoda projektu odniosa podany skutek, po jej zakoczeniu musi nastpi szczegowa i rze-telna ocena. Jest to bardzo wany, ale i wyjtkowo trudny element pracy nad projektem. trudnoci sprawia zarwno ocena samodzielnej aktywnoci badawczej uczniw, jak i ich indywidualnego wkadu do pracy zespoowej. Dlatego praca metod projektw wymaga wprowadzenia nowego stylu oceniania, poniewa najwaniejszy skadnik podlegajcy ocenie (twrczo ucznia) trudno poddaje si mierzeniu i obiektywi-zacji. Wanym elementem wychowawczym jest te samoocena ucznia i wzajemna ocena przez pozosta-ych uczniw pracujcych w grupie. Oczywicie szczegowe kryteria oceniania powinny by uzgodnione z uczniami przed rozpoczciem realizacji projektu.

W projekcie (a take w innych zadaniach realizowanych zespoowo) kady ucze powinien by ocenia-ny indywidualnie. W przeciwnym razie ciar realizacji projektu bdzie spoczywa na najlepszych uczniach w grupie, a sabsi bd si czuli zwolnieni z odpowiedzialnoci za jego wyniki. Praca w grupie daje okazj, aby uczy sprawiedliwie i obiektywnie ocenia siebie i innych. Uczy te waciwego podziau zada. Przy racjonalnym podziale pracy kady ucze moe dosta do wykonania tak jej cz, ktra pozwoli mu otrzy-ma maksymaln ocen za jego wkad do projektu.

Wydaje si, e sprawiedliwym i wychowawczym sposobem ilociowej oceny pracy czonkw grupy jest przyjcie nastpujcej zasady (oceny wystawiane np. w skali 16): 50% oceny kocowej stanowi ocena wystawiona przez nauczyciela, 25% oceny kocowej stanowi rednia ocen wystawionych przez czonkw grupy (w sposb tajny lub jawny), 25% oceny kocowej stanowi ocena wystawiona samemu sobie przez danego ucznia.

Najwiksze znaczenie w projekcie ma szczegowa ocena opisowa projektu, z dokadnym omwieniem wszystkich jego walorw i uchybie. Jednak aby uczniowie mogli porwna efekty swojej pracy z innymi

35


grupami lub odnotowa wasne postpy w stosunku do innych prowadzonych przez siebie prac, przydatne jest wprowadzenie oceny ilociowej. Wymaga to wypracowania nowego stylu oceniania, jako e: w nauczaniu matematyki dominuje tendencja, eby kryteria ocen byy precyzyjnie opisane i zobiektyzo-

wane, natomiast oceniajc prace projektowe, nauczyciel musi zaakceptowa mniej precyzyjny i bardziej subiektywny styl oceniania;

zasady oceniania powinny zosta omwione z uczniami przed przystpieniem do realizacji zadania, jed-nak zbyt szczegowe opisanie zawartoci pracy i wymaga zniweczy gwny cel projektu, jakim jest sa-modzielna praca badawcza ucznia, zatem z koniecznoci kryteria oceny musz by do oglne;

ocenia naley nie to, co atwo zmierzy, ale to, co jest naprawd wane w pracy nad projektem, nawet jeli s to umiejtnoci i wyniki trudne do zmierzenia (np. umiejtno wsppracy w grupie).

Gwne czynniki, ktre naley uwzgldni w ocenie projektu, to: zrozumienie problemu badawczego, uycie wielorakich rde informacji, zastosowanie adekwatnych narzdzi matematycznych, stopie wyczerpania i roz-winicia tematu, sposb i forma prezentacji wynikw, organizacja wsppracy w grupie. Dlatego przy ocenianiu pracy badawczej sprawdzamy, czy s w niej dowody wiadczce o: zrozumieniu tematu, jasnym okreleniu celu pracy, sformuowaniu waciwych pyta, zaplanowaniu pracy, przyjciu waciwej metodologii eksperymentowa-nia, krytycznej analizie zgromadzonych informacji, poprawnoci wycignitych wnioskw, stosowaniu wasnych strategii postpowania, podjtych prbach przeduenia tematu, wykazywaniu wasnej inicjatywy.

Przy ocenie realizacji projektu sprawdzamy, czy ucze: zdoby potrzebne informacje, przetworzy je i nada im now, czyteln form, uy waciwej wiedzy matematycznej i otrzyma poprawne wyniki. Z kolei przy ocenie prezentacji wynikw uwzgldniamy: wybr waciwej metody prezentacji (raport, plakat, wysta-wa modeli, referat, pokaz), jasne przekazanie wynikw pracy (waciwe rozoenie akcentw), poprawno i precyzj jzyka, przejrzysto i estetyk pracy, dbao o zainteresowanie innych uczniw. I wreszcie przy ocenie organizacji pracy w grupie uwzgldniamy: zaangaowanie wszystkich czonkw grupy, racjonalny podzia pracy, sposb podejmowania decyzji i rozwizywania konfliktw, dbao o spjno ostatecznego efektu pracy, samoocen uczniw oraz ich ocen przez reszt grupy.

Na zakoczenie zamieszczamy przykadow instrukcj do interdyscyplinarnego projektu na poziomie gimnazjalnym. Wicej pomysw mona znale w wspomnianej ju ksice pt. 44 udane projekty nie tylko z matematyki oraz na Wrocawskim Portalu Matematycznym (www.matematyka.wroc.pl, zakadka: Kcik naukowy > Projekty).

Odmierzy przemijanie

Czas odgrywa istotn rol w yciu kadego czowieka. Sprbuj sobie wyobrazi, co by si stao, gdyby wszystkie zegary wiata si zatrzymay... Celem tego projektu jest przegld rnych sposobw, jakimi od wiekw ludzie prbowali uchwyci i odmierzy przemijanie.

ROZWAANIAPo co mierzymy czas? Dla kogo i w jakich sytuacjach pomiar czasu jest bardzo wany? W jakich sytuacjach z twojego ycia wan rol odgrywa pomiar czasu? Zbierz rne przysowia i powiedzenia dotyczce upywu czasu. Wykorzystaj polskie przysowia ludowe,

sentencje aciskie, przysowia innych narodw. Jakie myli si za nimi kryj?

36


Jak mierzymy czas? Jak ludzie pierwotni zauwaali upyw czasu? Pomyl o rnych sposobach mierzenia czasu stosowanych w codziennym yciu. Jak poradzisz sobie w rnych sytuacjach, gdy nie masz zegarka?Czym mierzymy czas? Jakie zjawiska powtarzaj si tak regularnie, e moemy nimi odmierza czas? Pomyl o mierzeniu dugich

i krtkich przedziaw czasu. Jakie zjawiska upywaj regularnie, stale jednakowo, w tym samym tempie, bez adnych zaburze? Czy

moemy wykorzysta je do pomiaru czasu? Pomyl, jak do mierzenia czasu mona wykorzysta kady z czterech ywiow. Jak wykona zegar, aby o upywie czasu informowa nas za kadym razem inny zmys? Czy mona skonstruowa idealny zegar? Jakie znasz jednostki czasu stosowane dawniej i dzi? Czy czas mona mierzy w litrach, kilometrach i innych nietypowych jednostkach?Nietypowe sposoby mierzenia czasu Czy twoi koledzy z klasy maj dobre wyczucie czasu? Zaprojektuj i przeprowad odpowiednie ekspery-

menty. Opracuj wnioski. Powtrz w rwnym tempie 10 razy sto dwadziecia jeden. Ile czasu to trwa? Przeprowad podobne ekspe-

rymenty. Wymyl gadajcy zegar. Wyobra sobie, e jedziesz pocigiem i zapomniae zegarka. Jak moesz mierzy czas jazdy? Jak mierzy

odlego, jak w tym czasie przejechae? Jak okreli prdko jazdy pocigu? Wykonaj wszystkie po-trzebne w tym celu pomiary i obliczenia. Czy wiesz, skd si bierze stukot k pocigu? Jak mona mu zapobiega?

Czy mgby mierzy czas swoim chodem? Wykonaj potrzebne pomiary i eksperymenty. Opracuj wasny pomys na mierzenie czasu.Przepraszam, ktra godzina? Czy wszdzie na wiecie czas mierzy si tak samo? Czy wszdzie jest ta sama godzina? Czy w rnych miejscach w tym samym kraju moe by rny czas? Skd wiadomo, ktra godzina jest w jakim miejscu na wiecie? Ustaw zegary wskazujce czas w rnych

miastach wiata. W jakich sytuacjach zmiana stref czasu moe okaza si kopotliwa? Czy przez cay rok godzina dwunasta wypada w poudnie, tzn. gdy soce jest w zenicie? Od czego to

zaley? Po co zmieniamy czas? Jak za pomoc soca okreli kierunki wiata? Czy podobnie jest na obu pkulach? Czy kierunki wiata mona okreli za pomoc zegarka?Synne zegary wiata Czy syszae o Big-Benie? Gdzie si znajduje? Skd wzia si jego nazwa? Jakie znasz inne synne zegary, w tym zegary z nazwiskiem? Co to s woskie godziny? Czym si rni tak skonstruowane zegary od wspczesnych? Gdzie mona je

dzi jeszcze zobaczy? Gdzie si znajduj znane muzea zegarw w Polsce i na wiecie? Sprbuj odwiedzi jedno z takich muzew.

37


Czy wiesz, co to s ogrody czasu? Gdzie znajduje si taki ogrd najbliej twojego miejsca zamieszkania? ten zegar stary niczym wiat kuranty ci jak z nut skd pochodz te sowa? Jakie znasz inne dziea sztuki (literackie, muzyczne, plastyczne), w ktrych wanym motywem jest zegar

lub mierzenie czasu?Zbir zada o czasie Zadania dotyczce zegarw i mierzeniu czasu pojawiaj si czsto w podrcznikach i na konkursach ma-

tematycznych, zbierz ich jak najwicej, a moe sam uoysz podobne zadania. Opracuj zebrany materia, podziel na dziay, dobierz kryteria klasyfikacji zada. Przygotuj edycj swojego zbioru zada w wersji papierowej lub elektronicznej. Na podstawie zebranych materiaw wsplnie z nauczycielem moecie te przygotowa szkolny turniej

zadaniowy.

ODROBINA HIStORII EKSPERyMENty Najprostszym zegarem stosowanym ju 5 tysicy

lat temu w Babilonii, Egipcie, Chinach i Indiach by zwyky kij lub wysoki kamienny sup wbity w ziemi. Nazywa si go gnomonem. Czsto sta w centralnym punkcie miasta. By to pierwszy model zegara sonecznego.

Jak dziaaj takie zegary? Czy widziae gdzie taki zegar? Jakie s jego za

Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela ...

Documents

Transcript of Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela ...