1

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR Pojęcia podstawowe.Pojęcia podstawowe.

  Układami dyskretnymi Układami dyskretnymi nazywamy układy, w których nazywamy układy, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych (nieciągłych).dyskretnych (nieciągłych).

Rozróżniamy sygnały dyskretne w poziomie i sygnały Rozróżniamy sygnały dyskretne w poziomie i sygnały dyskretne w czasie.dyskretne w czasie.

Sygnałem dyskretnym w poziomieSygnałem dyskretnym w poziomie nazywamy sygnał, który nazywamy sygnał, który przyjmuje dwie lub więcej wartości dyskretnych. przyjmuje dwie lub więcej wartości dyskretnych. Sygnałem Sygnałem dyskretnym w czasie dyskretnym w czasie nazywamy sygnał będący ciągiem nazywamy sygnał będący ciągiem impulsów. Przekształcenie sygnału ciągłego w dyskretny impulsów. Przekształcenie sygnału ciągłego w dyskretny nazywamy nazywamy kwantowaniem sygnału.kwantowaniem sygnału. Istnieje zatem Istnieje zatem kwantowanie w poziomie i w czasie.kwantowanie w poziomie i w czasie. Skwantowanie tylko w Skwantowanie tylko w poziomie odpowiada układom przekaźnikowym lub poziomie odpowiada układom przekaźnikowym lub progowym. Są one traktowane jako nieliniowe.progowym. Są one traktowane jako nieliniowe.

2

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

D e f i n i c j a: Układy z kwantowaniem sygnału w D e f i n i c j a: Układy z kwantowaniem sygnału w czasie nazywamy czasie nazywamy układami impulsowymiukładami impulsowymi. .

Układy impulsowe są więc układami regulacji Układy impulsowe są więc układami regulacji automatycznej, w których informacja jest automatycznej, w których informacja jest przekazywana tylko w dyskretnych chwilach, przekazywana tylko w dyskretnych chwilach, zwanych zwanych chwilami impulsowaniachwilami impulsowania..

Układy impulsowe mogą być układami liniowymi lub Układy impulsowe mogą być układami liniowymi lub nieliniowymi. W liniowych układach impulsowych nieliniowymi. W liniowych układach impulsowych wartości sygnałów w dyskretnych chwilach czasu są wartości sygnałów w dyskretnych chwilach czasu są związane zależnościami liniowymi.związane zależnościami liniowymi.

3

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

Sygnały dyskretne wykorzystywane są głównie Sygnały dyskretne wykorzystywane są głównie w technice przesyłu informacji (głównie modulacji w technice przesyłu informacji (głównie modulacji częstotliwości kodowo-impulsoweczęstotliwości kodowo-impulsowejj), a w technice ), a w technice sterowania wykorzystuje się modulacje pola sygnału sterowania wykorzystuje się modulacje pola sygnału (szerokość i wysokość) do wysterowania urządzenia (szerokość i wysokość) do wysterowania urządzenia wykonawczego (z uwagi na to, że moc impulsu jest wykonawczego (z uwagi na to, że moc impulsu jest proporcjonalna do pola).proporcjonalna do pola).

Idealny impuls (o określonej amplitudzie i zerowym czasie trwania) nie jest użyteczny (nie „niesie” energii), stąd też zastępuje się go impulsatorem rzeczywistym zwanym układem formującym.

4

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

Impulsator rzeczywistyImpulsator rzeczywistyWyznaczanie transmitancji członu Wyznaczanie transmitancji członu

formującegoformującego

Element przetwarzający segment Element przetwarzający segment ciągły na dyskretny nazywa się ciągły na dyskretny nazywa się impulsatorem.impulsatorem.

1 1 1[ ]

f

TsTs

f f

g t t t T

eG s L g t es s s

11

1

Tt

h(t)

5

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

Idealny impulsator (nierealizowalny fizycznie) przekształca Idealny impulsator (nierealizowalny fizycznie) przekształca funkcję ciągłą czasu e(t) w ciąg idealnych impulsów:funkcję ciągłą czasu e(t) w ciąg idealnych impulsów:

e o t e T t T e nT t nT , , ... , , ...

Proces modulacji jest zatem z matematycznego punktu Proces modulacji jest zatem z matematycznego punktu widzenia równoważny pomnożeniu funkcji e(t) przez tzw. widzenia równoważny pomnożeniu funkcji e(t) przez tzw. funkcję impulsowania.funkcję impulsowania.

s t t nTn

6

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

e t e t s t e nT t nTn

*

0

ZakładamyZakładamy e(t)=0 dla t<0, zatem e(t)=0 dla t<0, zatem funkcja funkcja

jest funkcją dyskretną.jest funkcją dyskretną.

Z dowolnej funkcji ciągłej otrzymujemy dyskretną, Z dowolnej funkcji ciągłej otrzymujemy dyskretną, jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko ciąg dyskretnych jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko ciąg dyskretnych wartości tej funkcji.wartości tej funkcji.

7

ISS – D1: Podstawy dyskretnych UAR

t tT

f t ftT

fnTT

f n

W dalszej analizie będziemy brali pod uwagę funkcje W dalszej analizie będziemy brali pod uwagę funkcje dyskretne dla okresu impulsowania równego jedności dyskretne dla okresu impulsowania równego jedności (T=1). Funkcję dyskretną o dowolnym okresie (T=1). Funkcję dyskretną o dowolnym okresie impulsowania można zawsze sprowadzić do funkcji o impulsowania można zawsze sprowadzić do funkcji o jednostkowym czasie impulsowania przez podstawienie jednostkowym czasie impulsowania przez podstawienie

Np. Np. f(t)=f(nT)f(t)=f(nT)

8

ISS – D1: Funkcje dyskretne yskretne

f m

f m f m f mdf 1

k f m

kdf

k kf m f m f m 1 11

Różnice i sumy funkcji dyskretnych.Różnice i sumy funkcji dyskretnych.Weźmy pod uwagę ciąg wartości funkcji dyskretnej f(0), f(1), f(2),...,f(n).Weźmy pod uwagę ciąg wartości funkcji dyskretnej f(0), f(1), f(2),...,f(n).

D e f i n i c j a: Różnicę pierwszego rzędu D e f i n i c j a: Różnicę pierwszego rzędu funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:

D e f i n i c j a : Różnicę k-tego rzędu D e f i n i c j a : Różnicę k-tego rzędu

U: Różnica funkcji dyskretnej jest analogiem pochodnej.U: Różnica funkcji dyskretnej jest analogiem pochodnej.

funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:

9

ISS – D1: Funkcje dyskretne

D e f i n i c j a: Sumą funkcji dyskretnej nazywamy funkcje D e f i n i c j a: Sumą funkcji dyskretnej nazywamy funkcje dyskretną określona wzorem:dyskretną określona wzorem:

m f idf

i

m

0

1

U: Suma jest analogiem całki.U: Suma jest analogiem całki.

m = 1,2,...m = 1,2,...

10

ISS – D1: Funkcje dyskretne

k f m

2

3 2 2

1 2 1 1

2 2 1

1

3 2 2 1 2 2 1

3 3 2 3 1

f m f m f m f m f m f m f m

f m f m f m

f m f m f m

f m f m f m f m f m f m

f m f m f m f m

k i

i

k

f mk

k if m k i

1

10

!! !

Równanie różnicowe.Równanie różnicowe.Wyznaczmy ogólny wzór na różnicę k-tego rzęduWyznaczmy ogólny wzór na różnicę k-tego rzędu

Uogólniając powyższe otrzymujemy:Uogólniając powyższe otrzymujemy:

Z powyższej zależności wynika, że różnicę k-tego rzędu funkcji Z powyższej zależności wynika, że różnicę k-tego rzędu funkcji

dyskretnej można wyrazić za pomocą k+1 kolejnych wartości tej funkcji.dyskretnej można wyrazić za pomocą k+1 kolejnych wartości tej funkcji.

11

ISS – D1: Funkcje dyskretne

a x n a x n a x n f nkk

kk

11

0... ak 0

b x n k b x n k b x n f nk k 1 01 ...

D e f i n i c j a: Różnicowym równaniem liniowym k-tego rzędu D e f i n i c j a: Różnicowym równaniem liniowym k-tego rzędu o stałych współczynnikach ao stałych współczynnikach akk, a, ak-1k-1,...a,...a00 nazywamy równanie o postaci: nazywamy równanie o postaci:

gdzie f(n) - dana funkcja dyskretna.gdzie f(n) - dana funkcja dyskretna.

Gdy f(n)Gdy f(n)≠≠00 mamy równanie różnicowe niejednorodne, mamy równanie różnicowe niejednorodne,gdy f(n) = 0 mamy równanie różnicowe jednorodne.gdy f(n) = 0 mamy równanie różnicowe jednorodne.Korzystając z równania (*) możemy równanie różnicowe przedstawić Korzystając z równania (*) możemy równanie różnicowe przedstawić w równoważnej postaci:w równoważnej postaci: