Materiay przygotowane w ramach projektu Uruchomienie unikatowego kierunku studiw Informatyka Stosowana odpowiedzi na zapotrzebowanie rynku pracy ze rodkw Programu Operacyjnego Kapita Ludzki wspfinansowanego ze rodkw Europejskiego Funduszu Spoecznego nr umowy UDA POKL.04.01.01-00-011/09-00

Metody numeryczne

materiay do wykadu

dla studentw

3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

3.1. Metoda iteracji prostej 3.2. Metoda iteracji Seidela 3.3. Zbieno metod iteracyjnych i warunek stopu

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 36

Metody iteracyjne s szczeglnymi przypadkami metody kolejnych przyblie.

3.1. Metoda iteracji prostej

Ukad rwna liniowych

+ ++ = , + ++ = , + ++ = , (3.1) przeksztacamy do postaci dogodnej do stosowania metody iteracji prostej (zakadamy wstpnie, e wszystkie elementy 0dla = 1,2, , ) dzielc -te rwnanie ukadu przez czynnik :

= + + ++ , = + + ++ , = + + ++ ,, (3.2) gdzie

= , = 1,2, , = ,, = 1,2, , , (3.3)

Oznaczajc:

= !# ,$ = !0 0

, 0#

zapisujemy ukad rwna (3.2) w postaci macierzowej: % = + $%(3.4) Posta ta jest podstaw utworzenia cigu kolejnych przyblie rozwizania: %('() = + $%(')%()) dowolne (3.5)

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 37

Najczciej za przyblienie zerowe %()) przyjmuje si wektor . Zaleno (3.5) mona zapisa w postaci:

12324 ('() = + (') + (') ++ ('),('() = + (') + (') ++ ('),('() = + (') + (') ++ ,(') ,

(3.6)

Przykad 3.1.

Metod iteracji prostej znale pierwsze dwa przyblienia rozwizania ukadu rwna:

6 5 2 + = 5 + 10 3 = 102 + 3 + 6 = 12 Przeksztacamy podany ukad rwna do postaci dogodnej do stosowania metody iteracji:

Twierdzenie 3.1.

Jeeli cig 7%(')8 jest zbieny, to jego granica jest rozwizaniem ukadu rwna (3.2) (rwnowanie rozwizaniem ukadu (3.1)).

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 38

3.2. Metoda iteracji Seidela

Metoda ta jest pewn modyfikacj metody iteracji prostej. W metodzie iteracji prostej przy obliczaniu ( + 1)-go przyblienia niewiadomych %, %, , % korzystamy jedynie z -tego przyblienia niewiadomych %, %, , %. W metodzie Seidela wykorzystujemy natomiast najwiesz informacj, bowiem przy obliczaniu ( + 1)-ego przyblienia niewiadomej % ( > 1) korzystamy z uprzednio obliczonych ( + 1)-szych przyblie niewiadomych %, , %. Sprowadzamy ukad rwna do postaci dogodnej do stosowania metody iteracji (3.2) i wwczas: ('() = + ('); , ('() = + ('() + ('); , ('() = + ('() + ('() + ('); ,

(3.7) ('() = + ('(); + ('); , ('() = + ('(); + (').

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 39

Jako przyblienie %()) przyjmujemy wektor .

Zapisujc powysze wzory w postaci macierzowej mamy: %('() = =%('() + >%(') + ,(3.8) przy czym $ = = + >, gdzie:

= =@AAAB 0

00

000

0000CDDDE ,> =

@AAAB0000

000

00

0 CDD

DE.

Uwaga 3.1. Ze wzgldu na zapamitywanie tylko ostatnich oblicze metoda Seidela charakteryzuje si mniejszym zuyciem pamici ni metoda iteracji prostej i z tego powodu jest bardziej uyteczna dla zagadnie z macierzami duego wymiaru. Z drugiej jednak strony, metoda iteracji jest stabilniejsza, tzn. jest zbiena w pewnych przypadkach, w ktrych metoda Seidela jest rozbiena.

Przykad 3.2.

Metod Seidela znale pierwsze i drugie przyblienie rozwizania ukadu rwna:

6 5 2 + = 5 + 10 3 = 102 + 3 + 6 = 12

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 40

3.3. Zbieno metod iteracyjnych i warunek stopu

W twierdzeniu 3.1. znalezienie rozwizania ukadu rwna liniowych metod iteracyjn uzalenione jest od zbienoci cigu iteracyjnego. Podamy teraz kryteria, ktre zapewniaj zbieno procedury iteracyjnej.

{1, , }:KLL;M < ||,

{1, , }:KLL;M < 1;

{1, , }:KLL;M || {1, , }:KLL

;M< ||;

Twierdzenie 3.2.

Cig kolejnych przyblie (3.5) dla ukadu rwna (3.1) jest zbieny, jeli zachodzi jeden z warunkw:

a) macierz T jest przektniowo dominujca, tzn.:

lub rwnowanie:

b) macierz T jest sabo przektniowo dominujca, tzn.:

c) macierz T jest symetryczna i dodatnio okrelona.

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 41

Uwaga 3.2. Twierdzenie 3.2. dotyczce warunkw zbienoci metody iteracji jest suszne take dla metody Seidela. Metoda Seidela zapewnia na og szybsz zbieno ni metoda iteracji prostej. Uwaga 3.3. Dla macierzy o dominujcej przektnej mona sformuowa wniosek, e zazwyczaj im wiksza dominacja przektnej nad pozostaymi elementami, tym metody iteracji prostej i Seidla s szybciej zbiene. Nie jest to jednake prawda w oglnym przypadku, znane s bowiem kontrprzykady.

Uwaga 3.4. Teza twierdzenia 3.2 pozostaje w mocy, jeli to macierz TU bdzie przektniowo dominujca. Oznacza to, e element przektnej moe dominowa w kolumnach, a nie w wierszach.

Uwaga 3.5. Twierdzenie 3.2 nie wyczerpuje warunkw wystarczajcych na zbieno metody Seidela. Zdarza si, e algorytm jest zbieny w sytuacjach nieopisanych powyszymi kryteriami. Tak jest np. w przypadku macierzy Googlea z poprzedniego rozdziau, do ktrych rozwizania stosuje si wanie metody iteracyjne.

Przykad 3.3. (cd. Przykadu 3.1.) Rozwamy ponownie ukad z przykadu 3.1:

6 5 2 + = 5 + 10 3 = 102 + 3 + 6 = 12

Warunki zbienoci z podpunktu a) twierdzenia 3.2. s tu spenione, bo:

Kolejnym zagadnieniem jest odpowied na pytanie, w ktrym momencie naley przerwa procedur iteracyjn, aby uzyska przyblienie rozwizania z dan dokadnoci. Sformuowanie warunku stopu wymaga wprowadzenia pojcia normy macierzy (w szczeglnoci te same definicje pracuj dla wektorw).

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 42

Uwaga 3.6. Nie ma znaczenia, jakiego rodzaju normy uyjemy w twierdzeniu 3.3. Istotne jest jedynie, aby stosowa konsekwentnie ten sam rodzaj normy w caym wzorze.

T = maxZZ'KLL'; T[ = maxZZ'KLL';

T\ = ]KK';'; ^

/

Definicja 3.1. (Norma macierzy) Niech T bdzie macierz kwadratow stopnia `. Norm macierzy T wyznacza kade z podanych wyrae:

a) norma kolumnowa

b) norma wierszowa

c) norma euklidesowa

:b%c %()b $(1 $ b%())b.

Twierdzenie 3.3.

Zamy, e metoda iteracji dla ukadu rwna (3.2) jest zbiena, za wektor %c jest jego rozwizaniem dokadnym. Wtedy:

$(1 $ b%())b < e,

Wniosek 3.4.

Jeli e > 0 jest zadan dokadnoci rozwizania iteracyjnego oraz jest liczb, dla ktrej:

to wektor %() przyblia rozwizanie dokadne %c z dokadnoci e.

Metody numeryczne 3. Metody iteracyjne rozwizywania ukadw rwna liniowych

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 43

Przykad 3.4. (cd. Przykadu 3.1) Zapytamy teraz, ktra iteracja dla ukadu

6 5 2 + = 5 + 10 3 = 102 + 3 + 6 = 12 przybliy rozwizanie z dokadnoci e = 0,00001.