Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 7 : Procesy mechaniczne. Filtracja

Procesy Mechaniczne. FILTRACJA



Jedną z podstawowych metod separacji zawiesin ciała stałego jest FILTRACJA

Polega ona na przepływie przesączu przez warstwę porowatego osadu

zawiesina

osadprzegroda filtracyjna

klarowna ciecz



Podczas filtracji przepływ przesączu przez warstwę osadu ma z reguły charakterlaminarny. Jest więc aktualne równanie przepuszczalności wyprowadzone napoprzednim wykładzie:

LpK

u

przepuszczalność

grubość warstwy filtracyjnejprędkość pozorna

lepkość przesączu



Mnożąc u przez powierzchnię warstwy filtrującej F otrzymamy szybkość filtracji [m3/s]:

pLFK

dtdV

FuQ

objętość przesączu

stosunek rK

określany jest mianem oporu właściwego.



Stąd analogicznie do pojęć elektrotechnicznych opór filtracyjny można zdefiniowaćnastępująco:

FL

KFL

rR

Wykorzystując tą definicję równanie szybkości filtracji przyjmuje postać:

Rp

dtdV analogiczne do prawa Ohma

szybkość filtracji jest więc proporcjonalna do spadku ciśnienia w warstwie filtracyjnej

pLFK

dtdV

FuQ



Kr

opór właściwy osadu a więc i opór całkowity jest proporcjonalny do lepkości przesączu. Stąd podwyższenie temperatury procesu będziepowodować redukcję wartości oporu a co za tym idzie przyspieszenieprzebiegu filtracji.

Opór filtracyjny spowodowany jest warstwą materiału ziarnistego i tkaniną filtracyjną(podkładem) utrzymującą tę warstwę.

Dla tkaniny jej grubość L jest stała, a jej opór R da się wyznaczyć z zależności:

FR tt

stała charakterystyczna dla tkaniny określana doświadczalnie



Opory w przegrodzie filtracyjnej występują szeregowo ( tkaniny + osadu ) . Wówczas:

o

o

t

t

R

p

R

p

dtdV

spadek ciśnienia w osadziespadek ciśnienia w tkaninie

czyli całkowity spadek ciśnienia wyniesie: ot ppp

czyli:

Rp

RRp

dtdV

to

całkowity opór układu



Filtracja przy stałej grubości warstwy

Rozcieńczone zawiesiny filtruje się przez warstwy piasku lub porowate masy ceramiczne

filtr piaskowy

Grubość warstwy filtrującej jest stała.

W początkowym etapie procesu, gdy porowatość złożajest jeszcze duża opór filtracyjny R można przyjąć jakostały.

Dla stałego ciśnienia P można wyznaczyć czas t potrzebnydo uzyskania objętości V przesączu

Rp

dtdV

tV

dtRp

dV00

pRV

t



Jeżeli warstwa filtrująca L jest wysoka wówczas szybkość przepływu przesączu będzie równa:

RLH

dtdV

dtLHRdV

dla filtra okresowego w różniczkowym przedzialeczasu dt poziom cieczy opadnie o dH

dHFdV powierzchnia warstwy filtracyjnej



dtLHRdV

dHFdV

dtLH

dHRF

tH

dtLH

dHRF

00

LLHRF

t ln

czas opadania wody do powierzchni osadu



Własności osadu

Najczęściej podczas filtracji mamy do czynienia z przypadkiem gdy warstwą filtracyjnąjest własny osad, a tkanina filtracyjna odgrywa tylko rolę mechanicznego podkładu.

W miarę trwania procesu grubość warstwy osadu rosną a więc rośnie i opór filtracyjny.

Ciśnienie cieczy podczas przepływu przezosad spada od wartości P1 do P2.

W przekroju gdzie ciśnienie cieczy spadado P, na ziarna osadu działa ciśnienie lub „zgniot”:

PPp 1

Największy zgniot osadu ma miejsce tuż napowierzchni tkaniny filtracyjnej, a na powierzchni osadu od strony cieczy spada on do zera.



Pod wpływem „zgniotu” p osad przybiera określoną porowatość. Przy tkaninie będziebardziej zbity, a na powierzchni bardziej luźny (bardziej porowaty). Przepuszczalnośćosadu może być przedstawiona jako funkcja „zgniotu”:

spb

K

gdzie b i s to stałe dla danego materiału.

Wykładnik s jest współczynnikiem ściśliwościosadu.

W przypadku granicznym s=0, mamy osadnieściśliwy, który ma jednakową porowatośćna całej swej grubości.



Opór osadu ściśliwego

Stosownie do definicji oporu właściwego oraz wyrażenia

spbK

r

spb

K

opór właściwy osadu ściśliwego można przedstawić następująco:

Stąd dla różniczkowej warstwy osadu o grubości dL i powierzchni F opór filtracyjnywyniesie:

dLFbp

FdL

rdRs

FL

rR



Szybkość filtracji przez tę warstwę różniczkową jest taka sama jak i przez całą grubośćosadu (bilans masy):

0

0

R

P

dRdP

dtdV

spadek ciśnienia w osadzie

opór całej warstwy osadu

Z zależności na „zgniot” osadu: PPp 1wynika że spadek ciśnienia cieczy wosadzie dP jest równy wartości zgniotuw osadzie dp.

Po podstawieniu tego do równania na szybkość filtracji, otrzymujemy równanie różniczkowe:

dLR

P

pdpbFs

0

0



Można to równanie scałkować:

dLRP

dppbF L

Ps

0 0

00

0

powierzchnia osadu od strony tkaniny„zgniot” maksymalny, grubość 0

powierzchnia osadu od strony cieczy„zgniot” =0 , grubość maksymalna L

FL

Pbs

R s 00

1 Całkowity opór osadu



Równanie szybkości filtracji przy zmiennej grubości osadu:

Jeżeli powierzchnia filtrująca wynosi F, to objętość osadu wynosi F*L, a przyjego średniej porowatości ε masa ciała stałego w osadzie wyniesie:

sLFW 1gęstość ciała stałego

Masa tego ciała jest związana z objętością przesączu V przez stężenie (dla niezbyt stężonej zawiesiny) :

VCW w

FL

Pbs

R s 00

1

uwzględniając to w równaniu na opór filtracyjny:



otrzymamy:

FL

Pbs

R s 00

1

sw FLVCW 1

s

w

F

VCL

1

200 11

FV

CPb

sR w

s

s

Dla osadu o grubości znacznie większej od grubości tkaniny filtracyjnej, można przyjąćΔP0 równe ΔP spadkowi ciśnienia w osadzie i tkaninie.

Opór osadu w funkcji objętości uzyskanego przesączu:

20 FV

CPaR ws

stała a



FR tt

Opór tkaniny filtracyjnej :

20 FV

CPaR ws Opór osadu :

FFV

CPa

PRRP

dtdV

twsto

2

Szybkość filtracji :



tws

FV

CPa

PdtF

dV

Jest to ogólne równanie różniczkowe szybkości filtracji z jednostki powierzchnifiltracyjnej w zależności od stosowanego ciśnienia filtracyjnego ΔP i od objętościprzesączu uzyskanej do danego momentu.

Wyróżniamy dwa sposoby prowadzenia procesu filtracji:

Filtracja pod stałym ciśnieniem Filtracja ze stałą szybkością



Filtracja pod stałym ciśnieniem:

Stałe ciśnienie może być otrzymane za pomocą pompy o odpowiedniej charakterystycelub przez zastosowanie zbiornika ciśnieniowego dla zawiesiny surowej. Dla tegoprzypadku ΔP = const można łatwo scałkować ostatnie równanie otrzymując:

PF

VPCa

FVt t

sw 12

Wprowadźmy następujące wyrażenia :

w

s

CaFP

K212

ws

t

CPa

FC

są to „stałe filtracyjne”



Uwzględniając „stałe filtracyjne” ogólne równanie filtracji pod stałym ciśnieniem przyjmuje postać:

tKCVV 22

Podaje ono zależność objętości uzyskanegoprzesączu od czasu podczas filtracji pod stałym ciśnieniem.

wierzchołek paraboli

szybkość chwilowa filtracji

CVK

dtdV

2



CVK

dtdV

2

Równanie to wskazuje, że w miarę wzrostu objętości przesączu V maleje prędkośćfiltracji. W momencie początkowym V=0 prędkość filtracji jest maksymalna i uwarunkowana tylko oporem tkaniny filtracyjnej.

CK

dtdV

MAX

2



Wartości stałych K i C określa się na filtrze o określonej powierzchni filtracyjnej F.Przy zmianie powierzchni filtracyjnej na inną wielkość np.. F1 i zachowaniu innych parametrów prowadzenia procesu wynikną inne wartości stałych stosownie do definicji:

2

11

FF

KK

FF

CC 11



Przy zmianie ciśnienia do wartości ciśnienia do wartości ΔΔPP11 wówczas nowe stałe filtracyjne wyniosą:

s

PP

KK

1

11

s

PP

CC

11

Stąd też pomiar filtracji pod kilkoma ciśnieniami pozwala określić współczynnikściśliwości s.



Zmiana temperatury prowadzenia procesu wpłynie na wartość lepkości przesączu. Nowa stała filtracyjna wyniesie:

11

KK

CC 1



Filtracja ze stałą szybkością :

Stosując pompę o odpowiedniej charakterystyce, można uzyskać stała szybkość filtracjiV/t. W miarę narastania osadu, a więc wzrostu oporu filtracyjnego, ciśnienie ΔP musirosnąć.

tws

FV

CPa

PdtF

dV

załóżmy że const

tV

dtdV

tV

Ft

tV

FPaC

P ts

w 2

2

tV

Ft

tV

FaC

P tw 2

2

dla osadównieściśliwych s=0



Filtracja dwustopniowa :

Podczas filtracji pod stałym ciśnieniem szybkość jej na początku jest bardzo dużawskutek braku osadu na tkaninie. Może to spowodować utrudnienia tworzenia sięosadu a w konsekwencji mętny przesącz. W przypadku osadu niejednorodnegomałe ziarna mogą zatykać pory między ziarnami dużymi tworząc osad nieprzepuszczalny, co szybko hamuje proces.

Aby uniknąć tych ujemnych skutków, stosuje się proces dwustopniowy : początkowoprowadzi się filtrację z umiarkowaną szybkością, której towarzyszy wzrost ciśnienia.Gdy ciśnienie to osiągnie wartość pożądaną, proces prowadzony jest pod stałym ciśnieniem.



Proces dwustopniowy:

stała szybkość

stałe ciśnienie

W ostatnim momencie pierwszegookresu szybkość (V/t) jest równaszybkości początkowego momentuokresu drugiego

CVK

tV

11 2



Znając wartości „stałych filtracyjnych” K i C dla wybranego ciśnienia ΔP oraz znającprędkość pierwszego okresu (V/t)1 możemy znaleźć objętość przesączu V1 otrzymanegow pierwszym okresie.

C

tVK

V

1

1

2

stosownie do wykresu :

1

1

1 tV

tV

a stąd możemy wyznaczyć czas trwania

pierwszego okresu filtracji:

1

2

1

1

2

tVC

tV

Kt

CVK

tV

11 2



Równanie tKCVV 22 nie może być stosowane dla II okresu filtracji

gdyż było ono wyprowadzone przez scałkowanie równania na szybkość filtracji od stanu początkowego t = 0 V = 0. Obecnie stan początkowy charakteryzowany jest parametrami t1 i V1

CVK

dtdV

2

Całkując równanie prędkości filtracji od tej granicy otrzymamy:

t

t

V

V

dtK

dVCV11

2

Stąd równanie dla drugiego okresu filtracji przyjmuje postać:

1121

2 2 ttKVVCVV



Zwykle dwustopniowość filtracji osiąga się przez zastosowanie pompy o odpowiedniejcharakterystyce:

Charakterystykę można przybliżyćdwoma prostymi:

Początkowo pompa pracuje dającmałe ciśnienie ale stałą wydajność

Następnie ciśnienie wzrasta i ustala sięmimo spadku prędkości filtracji



Wydajność cyklu filtracyjnego :

Aparaty filtracyjne pracują najczęściej okresowo. Po pewnym czasie filtracji ma miejsceokres postoju τ0 niezbędny dla przemycia osadu usunięcia go i przygotowania aparatudo nowego cyklu. W ciągu jednego cyklu otrzymuje się objętość V przesączu. Stądwydajność na przeciętną jednostkę czasu pracy aparatu wynosi:

0

V

czas filtracji

Czas przestoju jest stały a więc wydajność aparatu na jednostkę czasu zależy od czasufiltracji. Należy tak dobrać czas pracy aby otrzymać maksimum wydajności.



Zastosujemy graficzną metodę rozwiązania problemu:

Musimy dysponowaćkrzywą zależności V od t.

Odkładamy punkt S na osi czasu w odległości τ0



Jeżeli punkt A oznacza stan końcowy procesu, wówczas nachylenie promienia SAoznacza średnią wydajność procesu

0

V

τ0 + τA

VDla innych stanów końcowychotrzymamy inne wydajności



Im większe nachylenie tym większa wydajność. Największą wydajność otrzymujemygdy z punktu S poprowadzimy styczną do krzywej V(t) punkt B

Punkt styczności B dajeoptymalny czas trwaniaprocesu

Dla krótszych czasówotrzymujemy mniejszą wydajność naskutek wpływu zbyt długiego czasuprzestoju. Dla dłuższych czasówwydajność będzie niska wskutekmałej szybkości filtracji w końcowymokresie procesu.



Maksymalna wydajność procesu η jest równa szybkości ostatniego momentu filtracjiprowadzonej przez okres optymalny :

CVKV

20

Rozwiązując to równanie razem z równaniem

1121

2 2 ttKVVCVV można czas optymalny wyznaczyć analitycznie.

Można wykazać, że dla C = 0 (znikomy opór tkaniny filtracyjnej) optymalny czas trwania filtracji dwustopniowej jest równy sumie τ0 + τ1 czyli że czas trwania drugiego okresu powinien być równy czasowi przestoju.



Filtracja w wirówce :

Duża siła bezwładności wytworzona w wirówce może być przydatna do odfiltrowaniacieczy ze stężonych zawiesin. W tych bowiem przypadkach zwykła filtracja jest na ogółnieopłacalna, bowiem wskutek zbyt szybkiego zapełniania aparatu osadem zbyt częstebyły by przestoje i za wielka cześć cieczy pozostała by w osadzie.



Ciśnienie wytworzone w płynie działaniem siły bezwładności można obliczyćrozpatrując różniczkową masę cieczy dm w postaci pierścienia o grubości dr, promieniu r i prędkości obwodowej u.

Na różniczkową masę dmdziała siła bezwładnościdS:

rudm

dS2



masa pierścienia różniczkowego wynosi:

drFdm powierzchnia tworząca walca

prędkość obwodowa: nru 2

Możemy więc obliczyć stosunek dS / F czyli różniczkę ciśnienia cieczy:

drrndPFdS 22



Całkując to wyrażenie w granicach zasięgu cieczy w wirówce, od rL do R:

R

r

P

P L

drrndP 222

1

2222 LrRnP

całkowite ciśnienie pod którym przebiegaproces filtracji.



Przesącz przepływa przez różniczkowy pierścień osadu o grubości dr z prędkościąpozorną Ur. (kierunek promieniowy). Stosownie do wyrażenia dla przepuszczalności:

drdPK

U r

Powierzchnię tworzącą F rozpatrywanej warstwy osadu wyraża iloczyn:

hrF 2wysokość bębna wirówki



Stąd natężenie objętościowe przepływu V przesączu przez osad wyniesie:

hrUFUV rr 2

drdPK

U r

porównując z wyrażeniem

otrzymujemy:rdr

KhV

dP

2



R

r

P

P srdr

KhV

dP

2

2

1

Całkując je w granicach grubości osadu od rs do R

srR

KhV

P ln2

2222 LrRnP

Wcześniej wyprowadziliśmy zależność na spadek ciśnienia:



Porównując te dwa wyrażenia otrzymujemy:

sL r

RKh

VrRn ln

22 222

s

L

rR

rRnK

hV

ln

4 222

3

Natężenie objętościowe filtracji:



Natężenie objętościowe filtracji V jest zatem zależne od zapełnienie wirówki mierzonej stosunkiem rL / R . Równanie to jest aktualne dla dla rL < rs czyli gdyosad jest pokryty cieczą. Jeżeli natomiast jest rL >= rs wtedy równanie przybierapostać:

L

L

rR

rRnK

hV

ln

4 222

3

Należy pamiętać że szybkość filtracji dla osadów ściśliwych nie jest ściśle proporcjonalnado n2 gdyż wskutek ściśliwości osadu jego przepuszczalność K też zależy od liczbyobrotów.

tylko zalana przez ciecz warstwa osadu bierze udział w procesie

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Documents

Transcript of Inżynieria Chemiczna i Procesowa