INSTRUMENTY POCHODNE

INSTRUMENTY INSTRUMENTY POCHODNEPOCHODNE

KONTRAKTY FORWARDKONTRAKTY FORWARD

KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWEKONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE

KONTRAKTY WYMIANYKONTRAKTY WYMIANY

CENA DOSTAWYCENA DOSTAWY

CENA TERMINOWACENA TERMINOWA

Instrumenty pochodne /Instrumenty pochodne /definicjadefinicja

Instrument pochodnyInstrument pochodny –– umowa o umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, ktprodukty finansowe, któórych cena uzależniona rych cena uzależniona jest od wybranych indeksjest od wybranych indeksóów giełdowych, kursw giełdowych, kursóów w walut, stwalut, stóóp procentowych, itp.p procentowych, itp.

Termin wykonaniaTermin wykonania transakcji oraz transakcji oraz cena cena transakcjitransakcji są ustalone w momencie jej są ustalone w momencie jej zawierania.zawierania.

Wynik finansowyWynik finansowy transakcji w momencie jej transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność zmienność ceny przedmiotu transakcjiceny przedmiotu transakcji, czyli , czyli instrumentu bazowegoinstrumentu bazowego

Instrumenty pochodne Instrumenty pochodne Elementy składoweElementy składowe

Rodzaj transakcjiRodzaj transakcji (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, (kupno / sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu)wymiana walut, udzielenie/ pobranie kredytu)

Instrument bazowyInstrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny)giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny)

Termin wygaśnięciaTermin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy) kontraktu (dzień, przedział czasowy) Obowiązki i prawa stronObowiązki i prawa stron SposSposóób rozliczenia i realizacji kontraktub rozliczenia i realizacji kontraktu

Kontrakty Kontrakty forwardforward

Kontraktem terminowym typu Kontraktem terminowym typu forward forward jest umowa jest umowa między dwomamiędzy dwoma podmiotami, dotycząca podmiotami, dotycząca dostawydostawy określonej ilości określonej ilości towarutowaru (waloru)(waloru) w w ustalonejustalonej chwilichwili w przyszłości po w przyszłości po ustalonej cenieustalonej cenie (jedna strona (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)towaru zaś druga do kupienia)

Notka historycznaNotka historyczna

Pierwsze udokumentowane wzmianki o kontraktach typu forward pochodzą z XVII w z Japonii, dotyczyły przyszłych zbiorów ryżu. Kontraktom towarzyszył rozwój technik prognostycznych opartych na tzw. świecach japońskich.

Kontrakty typu futures miały pierwsze notowania na giełdzie w Chicago (Chicago Stock Exchange) w 1848. Kontrakty dotyczyły płodów rolnych i surowców.

Typowe instrumenty bazowe dla Typowe instrumenty bazowe dla kontraktkontraktóów w forwardforward

Metale szlachetneMetale szlachetne Surowce energetyczneSurowce energetyczne Stopy procentoweStopy procentowe Kursy wymiany walutKursy wymiany walut

Elementy kontraktu forwardElementy kontraktu forward

Cena jednostkowaCena jednostkowa Ilość towaruIlość towaru Parametry jakościoweParametry jakościowe Miejsce dostawyMiejsce dostawy Data rozliczeniaData rozliczenia Klauzule dodatkoweKlauzule dodatkowe

Możliwość zbycia kontraktuMożliwość zbycia kontraktu Dochodzenie roszczeń w przypadku Dochodzenie roszczeń w przypadku

niedotrzymania umowyniedotrzymania umowy

W jakim celu zawierane są kontrakty ?W jakim celu zawierane są kontrakty ?

Zabezpieczenie przed ryzykiemZabezpieczenie przed ryzykiem wzrostu cen surowcwzrostu cen surowcóów (kontrakty w (kontrakty

towarowe)towarowe) spadku cen surowcspadku cen surowcóów (kontrakty w (kontrakty

towarowe)towarowe) Zabezpieczenie przed wahaniami kursZabezpieczenie przed wahaniami kursóów w

walutowych (kontrakty na kursy walutowe)walutowych (kontrakty na kursy walutowe) Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu

kredytu (kontrakty na stopę procentową)kredytu (kontrakty na stopę procentową) Osiągnięcie zyskuOsiągnięcie zysku Osłona innych inwestycjiOsłona innych inwestycji

Kto zawiera kontrakty lub handluje Kto zawiera kontrakty lub handluje kontraktami ?kontraktami ?

Producenci metali bądź surowcProducenci metali bądź surowcóów w energetycznychenergetycznych

Odbiorcy metali lub surowcOdbiorcy metali lub surowcóóww Importerzy , eksporterzyImporterzy , eksporterzy Inwestorzy (hedging)Inwestorzy (hedging) Spekulanci (zysk wynikający z celnej Spekulanci (zysk wynikający z celnej

prognozy)prognozy) Arbitrażysci (zysk będący skutkiem Arbitrażysci (zysk będący skutkiem

niedopasowań, różnic na rynkach tego niedopasowań, różnic na rynkach tego samego towaru)samego towaru)

Przykład kontraktu forward na stopę Przykład kontraktu forward na stopę

procentowąprocentową Spółka podpisuje w dniu 27.11.2014 z

bankiem umowę na mocy której bank zobowiązuje się dnia 01.01 2015 udzielić spółce kredyt w wysokości 500 tys. zł na okres 5 lat (termin ostatniej spłaty 01.01. 2020) oprocentowanego stopą 6,5% spłacanego w równych ratach. Spółka zobowiązuje się do zaciągnięcia w/wymienionego kredytu.

Przykład kontraktu forward na kurs Przykład kontraktu forward na kurs walutywaluty

Spółka podpisuje w dniu 27.11. 2014 umowę z bankiem, na mocy której, bank zobowiązuje się w dniu 01.01. 2015 sprzedać spółce kwotę 500 tys. Euro po kursie 4,22 zł. za Euro.

Spółka zobowiązuje się do zakupu wyżej wymienionej kwoty wg ustalonego kursu.

Witold Budzisz:

Kontrakt zobowiązuje obie strony

Witold Budzisz:

Kontrakt zobowiązuje obie strony

Charakterystyka kontraktCharakterystyka kontraktóów forwardw forward

ObrObróótt pozagiełdowypozagiełdowy (brak wartości giełdowej) (brak wartości giełdowej) Warunki negocjowaneWarunki negocjowane między stronami między stronami

kontraktukontraktu Brak standaryzacjiBrak standaryzacji Ceny nie są podawaneCeny nie są podawane do do publicznejpublicznej

wiadomościwiadomości Strony kontraktu Strony kontraktu znają się nawzajemznają się nawzajem Brak ograniczeń czasowychBrak ograniczeń czasowych na handel na handel

kontraktamikontraktami Możliwe Możliwe trudności w zamknięciutrudności w zamknięciu pozycji pozycji Dostawa fizycznaDostawa fizyczna towaru będącego towaru będącego

przedmiotem kontraktuprzedmiotem kontraktu Symetryczne ryzykoSymetryczne ryzyko niewywiązania się z niewywiązania się z

kontraktu drugiej strony kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forwardDwie strony kontraktu forward

Każdy inwestor może Każdy inwestor może otworzyć jedną z otworzyć jedną z

dwdwóóch pozycjich pozycji odpowiadających dw odpowiadających dwóóm m stronom w kontrakcie, w zależności od roli, stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie jaką mają w umowie

• Pozycję długąPozycję długą ( („„nabycie kontraktunabycie kontraktu”” –– w konsekwencji w konsekwencji kupno towarukupno towaru będącego przedmiotem transakcji) będącego przedmiotem transakcji)

• Pozycję krPozycję króótkątką ( („„wystawienie wystawienie kontraktukontraktu”” - w konsekwencji - w konsekwencji sprzedaż towarusprzedaż towaru będącego będącego przedmiotem transakcji) przedmiotem transakcji)

Kontrakty wymiany (swapy)Walutowy kontrakt wymiany (swap walutowy)

Założenia: spółkom A i B zostały zaoferowane stopy procentowe dla kredytów denominowanych w dolarach oraz funtach podane w tabeli. Jednocześnie spółka A potrzebuje funty do swej działalności zaś spółka B - dolary

dolary funty

Spółka A 8 % 11,6 %

Spółka B 10 % 12 %

Walutowy kontrakt wymiany T=0. Spółka B zaciąga kwotę kredytu K’’ w funtach () na n

lat (co roku spłaty dotyczą tylko odsetek, po n latach spłacana jest cała kwota), zaś A równoważną kwotę K’ dolarów ($) na n lat przy rocznych spłatach odsetek. (K’’ = K’ $ =K)

Spółki zamieniają się uzyskanymi kwotami kredytów (A dostaje funty, B – dolary) .

0 < T < n Co roku spółka A przekazuje spółce B 10,8% K’’ . $. Spółka B

przekazuje spółce A kwotę 8,00 % K’ $. Spółka A oddaje bankowi kwotę 8,00 % K’ $. Spółka B oddaje

bankowi 12% K’’ T= n Spółka A przekazuje kwotę K’’ spółce B, spółka B przekazuje

kwotę K’ $ spółce A. Spółka A przekazuje bankowi kwotę K’ $ zaś B przekazuje

swojemu bankowi kwotę K’’ .

Walutowy kontrakt wymiany. Bilans

Oba banki otrzymują stosowne roczne odsetki w odpowiednich walutach oraz w chwili końcowej – kwoty kredytów

Spółka A operuje funtami przekazując spółce B rocznie 10,8% K’’ . Odsetki w $ otrzymywane od B przekazuje bankowi. Zatem rocznie odprowadza 10,8 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w , musiałaby przekazywać 11,60 % . Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

Spółka B operuje dolarami przekazując rocznie spółce A 8,00 % od kwoty K’ $. Otrzymując 10,8 % K’’ musi dopłacić jeszcze 1,2% tej kwoty, by przekazać swemu bankowi 12 % K’’ . Wypłaca więc rocznie 9,2 % wartości kredytu. Gdyby sama zaciągnęła kredyt w $, musiałaby przekazywać 10 % K. Uzyskuje roczną korzyść 0,80 % K.

Ryzyka kontraktu wymiany

Ryzyko kredytowe – ryzyko związane z działalnością firm A i B oraz możliwością popadnięcia w niewypłacalność

Ryzyko walutowe – mogą nastąpić istotne różnice w kursie wymiany walut, preferujące jedną ze stron kontraktu zarówno w trakcie spłacania odsetek jak i przy ostatecznym przekazaniu kwot kredytu.

Założenia o rynku

1. oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe i stałe w czasie

2. wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona

3. zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami

4. nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji

5. wszystkie aktywa są doskonale podzielne

6. dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów

7. ciągła kapitalizacja odsetek

8. brak możliwości arbitrażu

Arbitraż

Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat

Możliwość uzyskania dodatniej wartości portfela o zerowej początkowej wartości

Możliwość wykorzystania „niedopasowań” rynkowych, pozwalająca na osiąganie dodatkowego zysku bez ponoszenia ryzyka (finansowe perpetuum mobile)

Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walorem handluje się na dwóch rynkach

Arbitraż – definicja uwzględniająca pojęcie prawdopodobieństwa

Arbitraż jest sytuacją w której:

w chwili t=0 portfel ma zerową wartość

w chwili t=T wartość portfela jest

nieujemna z prawdopodobieństwem 1

oraz wartość portfela jest dodatnia z

dodatnim prawdopodobieństwem

Cena jednostkowa dostawy - KCena jednostkowa dostawy - K

Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki Cena jednostkowa dostawy (np. cena baryłki ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota)ropy naftowej, tony miedzi, uncji złota)

Cena ta Cena ta jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu jest rezultatem analizy popytu i podaży w dniu

zawierania kontraktuzawierania kontraktu nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość nie preferuje żadnej ze stron kontraktu (wartość

kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu dla każdej strony w dniu zawierania kontraktu jest równa zeru)kontraktu jest równa zeru)

nie zmienia się w czasie trwania kontraktunie zmienia się w czasie trwania kontraktu

Cena dostawy będzie oznaczona literą KCena dostawy będzie oznaczona literą K

Aktualna cena terminowa kontraktu – Aktualna cena terminowa kontraktu – forward price (cena terminowa - F )forward price (cena terminowa - F )

DEF. Aktualna cena terminowa kontraktu DEF. Aktualna cena terminowa kontraktu forward (krócej – cena terminowa kontraktu)forward (krócej – cena terminowa kontraktu) jest to jest to cena dostawy, która zostałaby cena dostawy, która zostałaby wynegocjowana przez strony kontraktu, wynegocjowana przez strony kontraktu, gdyby negocjacje odbywały się w chwili gdyby negocjacje odbywały się w chwili bieżącej.bieżącej.

W chwili zawierania kontraktu cena terminowa jest równa cenie dostawy, później , później cena terminowa podlega zmianom w cena terminowa podlega zmianom w zależności od ceny waloru będącego zależności od ceny waloru będącego przedmiotem kontraktuprzedmiotem kontraktu

Notacja

K- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forwardK- cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward T- okres (w latach) pozostający do dostawyT- okres (w latach) pozostający do dostawy S – cena instrumentu bazowego, będącego S – cena instrumentu bazowego, będącego

przedmiotem kontraktuprzedmiotem kontraktu F – cena terminowa kontraktu forwardF – cena terminowa kontraktu forward f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy

ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawydniu dostawy

Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. ST] np. S00, S, Stt, S, STT, ,

(F(F00= K)= K)

Określenie sprawiedliwej ceny wykonania kontraktu forward na aktywa nie generujące przepływów finansowych

Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na jeden walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów oraz możliwa jest krótka sprzedaż waloru. (Przykłady takich walorów to akcje nie przynoszące dywidendy, obligacje zerokuponowe)

Stwierdzenie 1. Przy poczynionych założeniach o rynku sprawiedliwa cena wykonania K (=F0) kontraktu na walor nie generujący przepływów finansowych, dana jest wzorem

(1) K (= F0 ) = S0 erT

Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S0 – cena waloru w chwili t = 0

(Cena terminowa w chwili t=0 jest więc wartością przyszłą bieżącej ceny waloru)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego

Uzasadnienie ( perspektywa właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu)

Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S0 i uzyskany przychód zdeponować

– uzyskując w chwili t = T kwotę S0 erT .

Zatem F0 nie może być mniejsze niż S0 erT


F0 nie może być większe niż S0 erT Gdyby F0 > S0 erT , wówczas w chwili t = 0

można wykonać następujące operacje: pożyczyć w banku kwotę S0

zakupić walor na rynku za S0

zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F0

zaś w chwili t = T : zrealizować kontrakt z ceną F0 (sprzedanie waloru) zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT

Portfel w chwili t=0 miał wartość zerową

Różnica F0 - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia


Gdyby że F0 < S0 erT , możliwa jest procedura:w chwili t = 0: pożyczka waloru i jego sprzedaż za kwotę S0 (krótka

sprzedaż waloru) zdeponowanie kwoty S0 w banku

zawarcie kontraktu kupna z ceną F0

w chwili t = T:

wycofanie z banku depozytu w kwocie S0 erT

realizacja kontraktu kupna z ceną F0 (kupno waloru) zamknięcie krótkiej sprzedaży

Różnica S0 erT - F0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Przykład 1. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na

akcję pewnej spółki wynosi 43 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Cena akcji – 40 zł. (nie jest spodziewana wypłata dywidendy)

Cena wykonania kontraktu jest za wysoka, możliwy jest arbitraż:

t=0 Zaciągamy pożyczkę 40 zł, kupujemy akcję Zajmujemy krótką pozycję na kontrakciet=T Sprzedajemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 43 zł Spłacamy pożyczkę w kwocie 40e0,05* 0,25 = 40,5

Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 2,50 zł

Przykład 2. Cena wykonania 3 – miesięcznego kontraktu forward na

akcję pewnej spółki wynosi 40,40 zł. Wolna od ryzyka roczna stopa procentowa w tym czasie wynosi 5%. Aktualna cena akcji – 40 zł. (nie spodziewana jest wypłata dywidendy)

Cena wykonania kontraktu jest za niska, możliwy jest arbitraż:

t=0 Dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji, Uzyskaną kwotę lokujemy na koncie bankowym Zajmujemy długą pozycję na kontrakciet=T Wypłacamy kwotę 40e0,05* 0,25 = 40,50 Kupujemy akcję w ramach realizacji kontraktu za 40,40 zł Oddajemy akcję (rozliczenie krótkiej sprzedaży)Uzyskujemy zysk arbitrażowy w kwocie 0,10 zł

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT

Po elementarnych przekształceniach:(2) - S0 + F0/ erT

= 0

W strategii : w chwili t = 0 kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, w chwili t =T sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu

S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T

UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT

Wzór (1) jest równoważny wzorowi (3) - S0 + (ST)/erT = - F0/ erT

+ (ST)/erT

gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T

Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:

kupno waloru za S0 w chwili t=0,

sprzedaż waloru za ST w chwili t = T,

Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii:

długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0, zdeponowanie w banku kwoty F0 /e rT (= S0 )w chwili t = 0,

Wycofanie lokaty bankowej, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST w chwili t=T

UWAGA 2. Strategie wymienione wyżej są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward

Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w

chwili t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową

kontraktu forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St .

WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych, ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi

(4) Ft = St er (T - t)

ponadto przy przyjętych oznaczeniach mamy:

F0 = S0 erT, FT = ST

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward

Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu.

Zasadne jest więc pytanie o wartość długiej (krótkiej) pozycji w chwili t z przedziału [0; T].

DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór

(5) ft = St - e-r(T-t) F0

Wartość pozycji długiej w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

S

Przykład 1

Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9

miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 25,50 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

Stosujemy wzór ft = St - e-r(T-t) F0 w którym

St=25,50; F0 = 26,50; r=0,06; T = 0,75; t = 0,25

ft = 25,50 – e-0,06*0,526,50 = - 0,21681

wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi (-0,22 zł)

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward Interpretacje wzoru ft = St - e-r(T-t) F0

Uwzględniając wzór (4) na cenę Ft , Ft = St er (T - t) oraz

ft = St - e-r(T-t) F0

wzór na wartość długiej pozycji przyjmuje postać

ft = e-r(T- t) Ft - e-r(T- t) F0

(6) ft = e-r(T- t) (Ft - F0 )

Wartość ta w chwili t jest równa zdyskontowanej różnicy miedzy ceną terminową Ft a ceną wykonania F0

lub inaczej – zdyskontowanej różnicy miedzy cenami wykonania kontraktów zawieranych w chwilach t=0 oraz t=t i tym samym terminem realizacji T

Wartość długiej pozycji zależy od zmiennej ceny waloru St, może

więc przyjmować różne znaki.

Ponadto f0 = S0 - F0 / erT = 0, fT = ST - F0

Przykład. Przed trzema miesiącami został zawarty 9

miesięczny kontrakt na akcję spółki. Cena terminowa

kontraktu wynosiła wtedy 26,50 zł. Aktualna cena terminowa

kontraktu wynosi 27,00 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w

tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6% ?

Zastosujemy następującą wersję wzoru na wartość kontraktu

ft = e-r(T- t) (Ft - F0 )

F0= 26,50; t = 0,25; T = 0,75; Ft= 27,00; r = 0,06

ft = e-0,06*0,5 = 0,970446 (27,00 – 26,50) = 0,485223

wartość pozycji długiej w tym kontrakcie wynosi 0,49 zł

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward

Uwzględniając we wzorze ft = St - e-r(T-t) F0

fakt, że F0 = S0 erT otrzymujemy

ft = St - e-r(T- t) S0 erT = St - S0 ert , zatem

(7) ft = St - S0 ert

Uzyskana równość dostarcza kolejnej interpretacji wartości długiej pozycji w chwili t: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Przykład 3

Przed trzema miesiącami został zawarty 9 miesięczny

kontrakt na akcję spółki, której cena wynosiła wówczas 25

zł. Aktualna cena akcji tej spółki wynosi 24 zł. Jaka jest

wartość pozycji długiej w tym kontrakcie, jeżeli roczna stopa

procentowa wynosi 6% ?

Zastosujemy ostatnią postać wzoru na wartość

pozycji długiej: ft = St - S0 ert

St = 24, S0= 25, t = 0,25; r = 0,06

ft = 24 - 25* 1,015113 = -1,38

Wartość długiej pozycji w kontrakcie forward przy danej cenie dostawy K

Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy

kontraktu zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje

(5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w

chwili t (z przedziału [0; T] )

(5’) ft = St - e-r(T-t) K

(6’) ft = e-r(T- t) (Ft - K )

lub jeszcze inaczej (na T przed terminem realizacji):

(8) f = S - e-rT K

(9) f = e-rT (F- K )S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F –

cena terminowa kontraktu

Przykład

Przykład. Aktualna cena akcji pewnej spółki wynosi 25 zł. Jaka jest wartość pozycji długiej w 6-miesięcznym a kontrakcie na akcję tej spółki, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6%, a cena dostawy wynosi 24 zł

Zastosujemy wzór f = S - e-rT K

gdzie S=25, K=24, r=0,06, T=0,5 F=25 - 0,970446*24 = 25 - 23,29069 = 1,709307

Wartość kontraktu wynosi 1,71 zł

Wartość krótkiej pozycji w kontrakcie forward

Wartość krótkiej pozycji jest równa wartości przeciwnej do wartości pozycji długiej w tym samym kontrakcie forward.

Zatem w chwili t wartość krótkiej pozycji

(10) ft = e-r(T-t) F0 - St

Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy

f0= e-rT F0 - S0 = 0

fT = F0 - ST

Wartość krótkiej pozycji w kontrakcie forward

Analogicznie, otrzymujemy kilka wzorów na

wartość krótkiej pozycji:

ft = e-r(T-t) F0 - St ;

z uwzględnieniem ceny terminowej

(11) ft = e-r(T- t) (F0 - Ft)

z uwzględnieniem ceny instrumentu bazowego

(12) ft = S0 ert - St .

Przy danej cenie wykonania K, cenie terminowej F wartość

krótkiej pozycji na T przed terminem realizacji wynosi:

(13) f = e-rT (K - F)

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe

Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.

(akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania)

Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez

C1, ..., Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody

posiadacza aktywa, ujemne – koszty.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe

Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2.

strategia I: w chwili t = 0 kupno waloru za S0,

realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t1,..,tn

w chwili t = T sprzedaż waloru za ST,

strategia II: w chwili t=0 długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0 , lokata w banku

kwoty F0/ erT,

w chwili t = T wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 ,

sprzedaż waloru za ST

Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.


Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: - S0 + (C1)/ert

1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT

Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II:

- F0/ erT + (ST)/erT

Wobec równoważności obu strategii - S0 + (C1)/ert

1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT = - F0/ erT

+ (ST)/erT

Stąd wyliczamy F0

(14) F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert

n )] erT

Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej (w chwili t =T) ceny waloru z chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C1, ...,Cn.


F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert

n )] erT

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT symbolicznie

(16) F = (S – PV) erT

Po elementarnych przekształceniach wzoru (15):

- S0 + Σi PV(Ci) + F0/ erT = 0

W strategii t = 0: kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie,

t =T : sprzedaż waloru za F0 w ramach realizacji kontraktu

S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

Ci i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T]

F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.

Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)

Uzasadnienie (niewprost) prawdziwości wzoru (16)

Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) erT Stosujemy strategię: t = 0 pożyczamy walor, dokonujemy krótkiej sprzedaży

uzyskując kwotę S, kwotę (S - PV) lokujemy przy stopie r, na okres T, kwotę PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej

dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować;

zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ 0 < t <T realizujemy przepływy (wypłaty) t =T podejmujemy kwotę (S - PV) erT , realizujemy kontrakt

kupując walor za F’ Oddajemy walorKwota [(S - PV) erT – F’] jest arbitrażowym zyskiem

Uzasadnienie (niewprost) prawdziwości wzoru (16)

Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) erT .Stosujemy strategię: (t = 0)

kupujemy walor wydając kwotę S,

zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’

(0 < t < T)

realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) )

(t =T)

realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’

wartość naszej inwestycji (w której - nominalnie - nie ponosimy

ryzyka) w chwili T, musi być równa (S - PV) erT

Kwota [F’- (S - PV) erT ] jest arbitrażowym zyskiem

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe

Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5- letniej o

nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w

wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka

stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena

wykonania rocznego kontraktu na tą obligację z

terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie?

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

t1= 0,5; t2 = 1; T =1

F0 = (930 – 40/e0,08*0,5 - 40/e0,08 )e0,08 = 925,8245

Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł

kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe

Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca .

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

t1=0; t2= 0,25; t3= 0,5 T = 0,75

F0 = (8730 + 150 + 150 /e0,06*0,25 + 150 /e0,06*0,5)e0,06 *0,75

= (8730 + 150 + 147,668 + 145,567 ) 1,046 = 9595,563

Cena terminowa takiego kontraktu forward powinna wynosić 9595,56 $

Wartość kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K

Cena dostawy - K

Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna

f = e-rT (F - K )

wstawiamy F = (S – PV) erT

Otrzymujemy f = e-rT ((S – PV) erT - K ) = S – PV - K e-rT

(17) f = S – PV - K e-rT

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu(np. akcje o stałej stopie dywidendy)

Stopa dywidendy: q := wielkość dywidendy / cena akcji Założenia dodatkowe

Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy q

Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie portfela akcji)

Cena akcji jest stała Rozważmy następującą strategię:

t=0 Zakup e-qT akcji o stopie dywidendy q Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F

t=T Sprzedaż posiadanej akcji – realizacja kontraktu.

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1

akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie

T, byłby posiadaczem e qT akcji

Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-qT , zatem końcowa liczba to e-qT eqT = 1

Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e0,05*0,01- 1)=500,13;umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy

Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma

przepływami: wydatkiem Se-qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.

Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość

- Se -qT + F/ erT

= 0, Skąd otrzymujemy (18) F = S e (r- q) T

INSTRUMENTY POCHODNE

Documents

Transcript of INSTRUMENTY POCHODNE