Instrukcje nr 1-8

Politechnika Białostocka

Wydział Elektryczny

Katedra Automatyki i Elektroniki

Laboratorium z przedmiotu:

Metody Identyfikacji i Diagnostyki

(dla kierunku Elektrotechnika – sem. VII)

Kod: ES1C721 359

Opracowali

dr inż. Andrzej Sobolewski

dr hab. inż. Mirosław Świercz, prof. nzw. PB

Białystok, wrzesień 2015 r.

Instrukcje do zajęć laboratoryjnych

Laboratorium z przedmiotu: Metody Identyfikacji i Diagnostyki - ES1C721 359

Szczegółowy program laboratorium. Informacje ogólne

SZCZEGÓŁOWY PROGRAM LABORATORIUM

1. Zajęcia wprowadzające. (1 godz.)

2. Badanie właściwości statystycznych sygnałów. Estymacja przedziałowa. (3 godz.)

3. Identyfikacja parametrów modelu obiektu statycznego za pomocą metody

najmniejszych kwadratów.

(3 godz.)

4. Identyfikacja obiektu dynamicznego na podstawie charakterystyki impulsowej. (3 godz.)

5. Identyfikacja obiektu dynamicznego na podstawie charakterystyki skokowej. (3 godz.)

6. Identyfikacja modelu obiektu dynamicznego za pomocą analizy korelacyjnej

i widmowej.

(3 godz.)

7. Identyfikacja parametrów modeli autoregresyjnych ciągów czasowych. (3 godz.)

8. Identyfikacja modelu obiektu regulacji w strukturze ARX. (3 godz.)

9. Monitorowanie obiektu dynamicznego. (3 godz.)

10. Uzupełnianie zaległości studentów (termin odróbkowy). (3 godz.)

11. Zaliczenie laboratorium. (2 godz.)

Literatura:

1. E. Bielińska: „Prognozowanie ciągów czasowych”. Wydawn. Politechniki Śląskiej,

Gliwice, 2007.

2. L. Gajek, M. Kałuszka: „Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody”. WNT, Warszawa,

1996.

3. K. Janiszowski: „Identyfikacja modeli parametrycznych w przykładach”. Wydawn. EXIT,

Warszawa, 2002.

4. J. Kasprzyk, E. Bielińska (red): „Identyfikacja procesów”. Wydawn. Politechniki Śląskiej,

Gliwice, 2002.

5. J. Korbicz (red.): „Diagnostyka procesów: modele, metody sztucznej inteligencji,

zastosowania”. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2002.

6. M. Korzyński: „Metodyka eksperymentu. Planowanie, realizacja i statystyczne

opracowanie wyników eksperymentów”. WNT, Warszawa 2006.

7. K. Kozłowski, P. Dutkiewicz: „Modelowanie i identyfikacja w robotyce”. Politechnika

Poznańska, Poznań, 1996.

8. A. Królikowski, A. Horla: „Identyfikacja obiektów sterowania - metody dyskretne”.

Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 2005.

9. L. Kukiełka: „Podstawy badań inżynierskich”. WN PWN, Warszawa, 2002.

10. P. de Larminat, Y. Thomas: „Automatyka. T. 1. Sygnały i układy, T. 2. Identyfikacja”.

WNT, Warszawa, 1983.

11. R. G. Lyons: „Wprowadzenie do przetwarzania sygnałów”. Wyd. K i Ł, Warszawa, 1999.

12. M. Pasko, J. Walczak: „Teoria sygnałów”. Wydawn. Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2003.

13. A. Pieczyński: „Komputerowe systemy diagnostyczne procesów przemysłowych”.

Politechnika Zielonogórska, Zielona Góra, 1999.

14. E. Rafajłowicz: „Algorytmy planowania eksperymentu”. Akademicka Oficyna

Wydawnicza PLJ, Warszawa, 1996.

15. T. Söderström, P. Stoica: „Identyfikacja systemów”. Wydawn. Naukowe PWN, Warszawa

1997.

16. J. Szabatin: „ Podstawy teorii sygnałów”. Wydawn. Komunikacji i Łączności, Warszawa 2003.

17. J. Świątek: „Wybrane zagadnienia identyfikacji statycznych systemów złożonych”.

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2009.

18. A. Zimmer: „Identyfikacja obiektów i sygnałów: teoria i praktyka dla użytkowników

MATLABA”. Politechnika Krakowska, Kraków 1998.


Szczegółowy program laboratorium. Informacje ogólne

INFORMACJE OGÓLNE

Tematyka laboratorium z przedmiotu „Metody Identyfikacji i Diagnostyki” oraz

prowadzonego równolegle wykładu obejmuje zagadnienia wyznaczania i weryfikacji

parametrów modeli sygnałów i procesów. Problematyka budowy uproszczonego,

a jednocześnie dokładnego i wiarygodnego zastępczego opisu (tj. modelu) procesu

zajmuje centralne miejsce w inżynierii systemów sterowania i nadzoru. Przedmiot

„Metody Identyfikacji i Diagnostyki” pozwala na uzupełnienie i rozszerzenie wiedzy

studentów na temat modelowania procesów dynamicznych, estymacji parametrów

modelu oraz metod detekcji i diagnostyki uszkodzeń układu. Laboratorium jest

poświęcone nabyciu praktycznych umiejętności identyfikacji modeli oraz

monitorowania procesów dynamicznych i układów regulacji za pomocą metod

cyfrowego przetwarzania danych pomiarowych uzyskiwanych w trybie on-line, a także

analizy sekwencji pomiarowych, zarejestrowanych w trybie off-line.

Program zajęć laboratoryjnych obejmuje osiem ćwiczeń, realizowanych na

podstawie niniejszego zestawu instrukcji. Każda instrukcja zawiera program ćwiczenia,

wymagania dotyczące sprawozdania, a także wskazówki przydatne do rozwiązywania

zadań, realizowanych przez studentów w trakcie zajęć laboratoryjnych. Ważną częścią

instrukcje jest Dodatek, zawierający krótkie przypomnienie podstawowych wiadomości

teoretycznych, związanych z tematyką ćwiczenia (m.in. wzorów matematycznych,

wykorzystywanych w oprogramowaniu wykorzystywanym do opracowania wyników

doświadczeń). Treść Dodatku nie zastępuje podstawowych pozycji podręcznikowych,

wymienionych w wykazie literatury (powyżej) lub „Uwagach bibliograficznych”

(zamieszczanych w treści niektórych instrukcji). Przed każdym ćwiczeniem należy więc

wykonać polecenia zawarte w rozdziale każdej instrukcji pt.: „Przygotowanie do

realizacji ćwiczenia” – przede wszystkim zapoznać się z literaturą oraz przygotować

odpowiedzi na zamieszczone w tym rozdziale pytania kontrolne.

Podstawowym elementem stanowiska laboratoryjnego jest Zestaw laboratoryjny,

zrealizowany w technice analogowej, który jest źródłem obserwowanych, a następnie

przetwarzanych sygnałów pomiarowych. Sygnały wejściowe (pobudzające) oraz

odpowiedzi badanego układu są rejestrowane i wprowadzane do pliku w pamięci

systemu cyfrowego. Analiza obserwowanych przebiegów odbywa się w trybie on-line

(na bieżąco) lub off-line. Znaczną część eksperymentów przeprowadza się za pomocą

oprogramowania typu SCADA (pakiet LabView), poprzez bezpośrednią analizę

rejestrowanych sygnałów w czasie rzeczywistym. Bardziej skomplikowane obliczenia

są zwykle realizowane po przeniesieniu zapisanych sygnałów do środowiska

programowego Matlab/Simulink. W szczególności, przy opracowywaniu wyników

doświadczeń związanych z identyfikacją obiektów dynamicznych, wykorzystuje się

funkcje z biblioteki narzędziowej „System Identification Toolbox” pakietu Matlab.







Kod: ES1C721 359

Opracowali




Instrukcja do zajęć laboratoryjnych

ĆWICZENIE 1

BADANIE WŁAŚCIWOŚCI STATYSTYCZNYCH

SYGNAŁÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA


2

Ćwiczenie 1

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest praktyczna ilustracja wiedzy nabytej przez studentów podczas

wykładów ze statystyki matematycznej i podstaw metrologii w zakresie podstawowych

właściwości statystycznych obserwowanych sygnałów. W szczególności tematyka ćwiczenia

dotyczy ocen przedziałowych wartości średniej obserwowanego sygnału. Zadania estymacji

przedziałowej sygnałów są rozwiązywane zarówno w trybie off-line (poprzez przetwarzanie

uprzednio zarejestrowanych sygnałów), jak i w sposób nadążny (rekurencyjny), na podstawie

bieżącej aktualizacji danych pomiarowych, rejestrowanych w środowisku LabView.

Estymacja przedziałowa (oraz badanie podstawowych właściwości statystycznych) może

dotyczyć dowolnych sygnałów w układzie, tj. sygnałów wymuszających lub sygnałów

odpowiedzi obiektów dynamicznych pobudzanych odpowiednimi wymuszeniami.

W ćwiczeniu są badane sygnały zarejestrowane na wyjściu obiektu dynamicznego.

W przeprowadzanych przez studentów doświadczeniach estymaty wartości średniej

i wariancji sygnałów oraz przedziały ufności będą wyznaczane dla wielu wariantów okresów

próbkowania, długości danych i poziomów ufności.

Dane reprezentujące obserwowane sygnały mogą pochodzić z trzech różnych źródeł:

pliku zawierającego wygenerowany lub zarejestrowany sygnał, z symulacji numerycznej lub

z eksperymentu na obiekcie (rzeczywistym lub laboratoryjnym). W ćwiczeniu istnieje

możliwość zadawania różnego rodzaju wymuszeń, takich jak pseudolosowy sygnał binarny

(PRBS), szum gaussowski (gaussian noise), szum o rozkładzie jednostajnym (uniform noise)

lub skok jednostkowy.

2. PRZYGOTOWANIE DO REALIZACJI ĆWICZENIA

Na podstawie literatury i notatek z wykładu należy powtórzyć podstawowe wiadomości

z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej – w szczególności na temat

estymacji przedziałowej.

Dla ułatwienia, elementarny zasób wiadomości bezpośrednio związanych z tematem

ćwiczenia, zgrupowano w postaci wzorów, definicji, twierdzeń i struktur algorytmicznych

w Dodatku na końcu niniejszej instrukcji.

Zagadnienia i pytania kontrolne:

Podaj postacie funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych, których

realizacje są generowane przez m-funkcje: ‘rand.m’ i ‘randn.m’.

Podaj definicję dystrybuanty zmiennej losowej oraz jej własności i przedstaw

sformułowanie zadania estymacji przedziałowej.

Przedstaw ważniejsze typy rozkładów prawdopodobieństwa i ich parametry,

stosowane do opisu zakłóceń w teorii pomiarów.


3

Ćwiczenie 1

Podaj interpretację następujących wielkości podanych w tablicach statystycznych,

zamieszczonych w Dodatku: dystrybuanta rozkładu normalnego, kwantyle rozkładu

t- Studenta, kwantyle rozkładu chi- kwadrat.

W jaki sposób, na podstawie próby losowo zakłócanych pomiarów pewnej wielkości

fizycznej, można skonstruować przedziały ufności dla oceny jej prawdziwej wartości

oraz przedziały ufności dla wariancji zakłócającej zmiennej losowej o rozkładzie

normalnym?

W środowisku LabView są obserwowane na bieżąco kolejne wyniki pomiarów dwu

wielkości fizycznych: x1 = [x1(1), ..., x1(k), ...]T, x2 = [x2(1), ..., x2(k), ...]

T. W jaki

sposób można obliczyć uśredniony kwadrat różnicy między tymi zmiennymi?

3. WYMAGANIA BHP

Warunkiem przystąpienia do ćwiczenia jest zapoznanie się z instrukcją BHP, obowiązującą

w Laboratorium oraz ogólnymi zasadami pracy przy stanowisku komputerowym. Instrukcja

BHP jest omawiana ze studentami podczas pierwszych zajęć laboratoryjnych i dostępna do

wglądu w Laboratorium.

Pomieszczenie i stanowiska laboratoryjne powinny odpowiadać ogólnym wymaganiom

BHP, przewidzianym dla laboratorium komputerowego.

4. WYKONANIE ĆWICZENIA

Wykonaj podane niżej czynności, wykorzystując program CW1_15.vi, działający

w środowisku LabView.

Etap 1. Badania symulacyjne:

1. Wybierz symulację (From Simulation) jako źródło danych w zakładce SetUp

głównego menu programu. Ustaw następujące parametry transmitancji obiektu

symulacyjnego: wzmocnienie k = 1, stała czasowa T = 1 [s]. Okres próbkowania

(Sampling Rate) ustaw na wartość 500 [ms]. Przyjmij odpowiednio dużą liczbę próbek

sygnału (N = 1000).

2. Wybierz rodzaj sygnału wymuszającego: ‘Gaussian White Noise’ z dyspersją

(‘Standard Deviation for Gauss’) i amplitudą równymi 1. Ustaw wartość składowej

stałej sygnału (‘Offset’) równą 5.

3. Obserwuj dane w zakładce Preprocessing. W oknie parametrów sygnału możesz

obserwować wartości średnie, odchylenia standardowe oraz wariancje dla sygnałów:

wymuszenia (‘Stimulus’) oraz odpowiedzi (‘Response’). Jeśli chcesz zarejestrować

inną sekwencję danych, kliknij przycisk ‘Start’, ewentualnie uprzednio modyfikując


4

Ćwiczenie 1

ustawienia w zakładce SetUp (postać sygnału wymuszającego, liczba próbek, okres

próbkowania, itp.).

4. Korzystając z zakładki Random vs Moving zbadaj charakterystyki sygnału na

podstawie średniej ruchomej oraz tzw. średniej zrandomizowanej. Średnią ruchomą

(‘Moving Average’) uzyskuje się wykorzystując n ostatnich próbek sygnału zawartych

w przesuwanym oknie czasowym. Do wyznaczenia średniej zrandomizowanej

(‘Random Average’) wykorzystuje się n próbek, wybranych losowo spośród

wszystkich dotychczas zebranych próbek. Za pomocą narzędzi dostępnych w zakładce

Random vs Moving, wykonaj następujące zadania:

(a) Wyznacz w trybie nadążnym bieżącą (ruchomą) średnią z ostatnich dziesięciu

pomiarów 10x (k);

(b) Wyznacz w trybie nadążnym średnią zrandomizowaną obliczoną z dziesięciu

pomiarów r

10x (k) i porównaj z obserwacją z punktu (a);

(c) Wyznacz wartość średnią x sygnału, jego wariancję S2 oraz odchylenie

standardowe S na podstawie pełnych wyników rejestracji obserwowanego

przebiegu – wyniki zachowaj do wykorzystania w następnym zadaniu;

(d) Dokonaj estymacji wartości oczekiwanej sygnału E(x). Estymacja polega na

obserwowaniu średniej ruchomej przy długości okna równej liczebności całej

dostępnej populacji próbek sygnału. Wyznaczona wartość średnia powinna zbiegać

do wartości średniej całej populacji próbek, co przy wystarczająco dużej ich

liczebności może stanowić estymatę wartości średniej sygnału E(x). Wartości tych

estymat dla obu sygnałów (wymuszającego i wyjściowego) są widoczne w oknach

‘Mean’ przy korelogramach dla obu średnich. Wskaźniki LED ‘White noise?’

informują, czy uśredniony sygnał ma charakter gaussowskiego szumu białego.

Zbadaj tę właściwość dla obydwu sygnałów: wymuszającego i wyjściowego.

5. W zakładce Average Statistic zbadaj rozkłady funkcji prawdopodobieństwa dla

średniej ‘Data’ oraz średnich ‘Random’ i ‘Moving’. Porównaj otrzymane rozkłady dla

w/w uśrednień z rozkładem normalnym. Aby porównać ze sobą rozkłady teoretyczne

i rzeczywiste użyj przycisku ‘Normalize hist to N(0,1)’. Na podstawie obserwacji

wskaźników ‘White noise?’ określ, czy liczebność zbioru próbek sygnału

wykorzystywanych do uśrednienia ma wpływ na „białość” jego histogramów. Dla

wszystkich badanych przypadków zarejestruj korelogramy.

6. Wyznacz przedział ufności w zakładce CI (patrz Dodatek) dla wartości średniej przy

znanych parametrach statystycznych populacji danych dla obu mierzonych sygnałów:

‘Stimulus’ i ‘Response’. Za pomocą tablic rozkładu normalnego i wyników pełnej

rejestracji z poprzedniego zadania, wyznacz szerokości przedziałów ufności (‘Interval

width’) dla wartości oczekiwanej mierzonego sygnału x(k). Przyjmij dwa poziomy

istotności α1 = 0,01 i α2 = 0,05. Przeprowadź obserwację przebiegów x(k) na tle

wirtualnych, aktualizowanych w każdej chwili próbkowania, granic przedziałów

ufności (‘High limit’ i ‘Low limit’) dla tej wartości oczekiwanej E(x).


5

Ćwiczenie 1

7. Wyznacz przedziały ufności dla wartości oczekiwanej przy nieznanych parametrach

statystycznych populacji danych dla obu mierzonych sygnałów: wejściowego

(‘Stimulus’) i wyjściowego (‘Response’). Dokonaj estymacji tych parametrów dla 10-

cio elementowej próby (średniej ruchomej z dziesięciu pomiarów) przy dwu wersjach

przyjmowanego poziomu istotności: α1 = 0,01 i α2 = 0,05 (w tym wypadku użyj

rozkładu t-Studenta – patrz Dodatek). Przeprowadź obserwację średniej ruchomej

)(10 kx i wartości oczekiwanej na tle wirtualnych, aktualizowanych w każdej chwili

próbkowania, granic przedziałów ufności dla tej średniej.

8. Odtwórz zarejestrowane dane w postaci graficznej, prezentując je na tle granic

przedziałów: [xL_01, xH_01], [xL_05, xH_05], obliczonych w punktach: 6 i 7. Wyznacz, jak

często (procentowo, w stosunku do całkowitej liczby obserwacji) wyniki pomiarów

obserwowanych przebiegów wykraczały poza granice CI (‘Error [%]’).

9. Wyznacz przedziały ufności w trybie nadążnym, wykorzystując zakładkę CI

Follower. W trybie nadążnym wyznacza się nowy przedział ufności każdorazowo po

pojawieniu się nowej wartości mierzonego sygnału. Wykorzystuje się tu estymatę

wartości oczekiwanej w formie średniej ruchomej, na podstawie n-elementowej próby.

10. Wykorzystując zakładkę Statistic zaobserwuj podstawowe statystyki badanych

sygnałów oraz porównaj wartości oczekiwane średniej E(x) z wartościami średnich

ruchomych.

11. Określ, czy wartość okresu próbkowania sygnału ma wpływ na stopień pokrycia

wartości oczekiwanej przez przedział ufności? Sprawdź tę właściwość, modyfikując

w zakładce Setup długość okresu próbkowania i analizując wyniki.

12. Wypowiedz się, jakie znaczenie ma liczebność próby użytej do wyznaczania średniej

ruchomej na błąd estymacji wartości oczekiwanej?

Etap 2. Weryfikacja badań symulacyjnych w środowisku programowo-sprzętowym:

13. Wykorzystaj program CW1_15.vi do pomiaru sygnału y(k) na wyjściu filtru

dolnoprzepustowego w układzie połączeń karty DAQ, przedstawionym na rysunku

1.1. W zakładce Setup okna programu zmień źródło danych, wybierając opcję ‘From

Experiment’. Do wykonania eksperymentu użyj 15-elementowych ciągów

pseudolosowego sygnału binarnego (PRBS) – próba ma być powtarzana 100 razy.

Dane pomiarowe powinny być rejestrowane z okresem 25 [ms].

Rys. 1. 1. Układ do eksperymentalnej weryfikacji wyników badań symulacyjnych


6

Ćwiczenie 1

14. Określ przedział ufności CI i oszacuj wartość oczekiwaną sygnału wyjściowego

rzeczywistego obiektu i porównaj z wynikami badań symulacyjnych.

15. Powtórz badania rzeczywistego sygnału – odpowiednio dla próby 30- i 50-

elementowej.

5. ZAWARTOŚĆ SPRAWOZDANIA

Sprawozdanie powinno być wykonane i oddane na zakończenie ćwiczenia, a najpóźniej na

następnych zajęciach. Sprawozdania oddane później będą oceniane niżej.

Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia powinno zawierać:

Opis przeprowadzonych badań obliczeniowych i ich wyniki. Kluczowe wyniki

obliczeń powinny być wyraźnie wyróżnione. Preferowane jest przedstawianie

wyników w postaci graficznej (tam gdzie jest to racjonalne). Wszystkie rysunki,

zamieszczane w sprawozdaniu, powinny mieć podpisy. Osie wykresów należy

opisać i zwymiarować w stosowanych jednostkach fizycznych.

Komentarze i wnioski wynikające z przeprowadzonych obliczeń (te elementy

sprawozdania mają największy wpływ na uzyskaną ocenę). W szczególności, na

podstawie wyników eksperymentów należy przeanalizować:

• wpływ liczby próbek sygnału (długości n-elementowego okna używanego do

estymowania wartości oczekiwanej) na dokładność odwzorowania wartości

oczekiwanej;

• wpływ przyjmowanego poziomu istotności α na wielkość uzyskiwanego

przedziału ufności;

• wpływ długości okresu próbkowania na dokładność estymacji parametrów

statystycznych sygnału – czym należy się kierować przy doborze okresu

próbkowania?

• wpływ długości okresu próbkowania na „białość” odpowiedzi układu.


7

Ćwiczenie 1

6. DODATEK

6.1. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Przedziały ufności

W praktyce często wyznacza się oszacowanie przedziałowe wybranego parametru populacji,

to znaczy takiego przedziału (U1, U2), którego końce i długość są wartościami losowymi

i który z określonym prawdopodobieństwem (na ogół dostatecznie dużym) zawiera wartości

tego parametru. Taki przedział nazywamy przedziałem ufności, a prawdopodobieństwo,

z jakim zawiera on szacowany parametr, poziomem ufności. Przyjmuje się założenie, że

przedział ufności jest przedziałem losowym, a estymowany parametr jest wielkością stałą.

Przedział ufności wyznacza się na podstawie rozkładów statystyk będących

estymatorami szacowanego parametru. Oznaczając statystyczne parametry populacji jako:

m – wartość oczekiwana średniej, – odchylenie standardowe populacji, n – liczebność

populacji, Xsr – średnia arytmetyczna populacji, równanie:

9972.013

nmXP sr

należy interpretować tak, że przedział

nXm

nX srsr

33

zawiera wartość parametru m z prawdopodobieństwem (poziomem ufności) 0.9972.

Zazwyczaj przy wyznaczaniu przedziału ufności poziom ufności 1- ustala się z góry –

jest tu prawdopodobieństwem ryzyka (współczynnikiem istotności), że przedział nie

pokrywa wartości parametru populacji.

Najczęściej wyznacza się przedziały ufności dla średniej arytmetycznej i wyróżnia się

trzy przypadki, w zależności od stopnia istotności i znajomości parametrów statystycznych

badanych sygnałów:

Przypadek 1. Próba jest mała, populacja ma rozkład normalny N(m, ) o znanej wartości

parametru i nieznanej wartości oczekiwanej m. Wówczas przedział ufności wyznacza się ze

wzoru:

nuXm

nuX srsr

gdzie u jest wartością standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(0, 1),

jest odchyleniem standardowym populacji, n oznacza liczebność populacji, zaś Xsr jest

średnią arytmetyczną populacji o liczebności n.


8

Ćwiczenie 1

Równoważny zapis to:

1

nuxm

nuxP srsr

Przypadek 2. Próba jest mała, populacja ma rozkład normalny N(m, ) o nieznanych

wartościach parametrów i m. Wówczas przedział ufności wyznacza się ze wzoru:

11

n

stxm

n

stx sr

sr

sr

sr

gdzie t jest wartością standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta o n-1

stopniach swobody.


1

11 n

stxm

n

stxP sr

srsr

sr

Przypadek 3. Próba jest duża (n > 29), populacja ma rozkład normalny N(m, ) o nieznanych

wartościach parametrów i m. Wówczas przedział ufności wyznacza się ze wzoru:

n

suxm

n

sux sr

sr

sr

sr

gdzie u jest wartością standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(0, 1).


1

n

suxm

n

suxP sr

srsr

sr

6.2. TABLICE ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA


9

Ćwiczenie 1







Kod: ES1C721 359

Opracowali





ĆWICZENIE 2

IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU

OBIEKTU STATYCZNEGO

ZA POMOCĄ METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW


2

Ćwiczenie 2

1. CEL ĆWICZENIA

Tematem ćwiczenia jest wyznaczenie, na podstawie wyników eksperymentu, parametrów

modelu statycznego badanego obiektu o dwóch podstawowych typach charakterystyk:

liniowej i kwadratowej. Model statyczny opisuje zależność algebraiczną między

wielkościami wejściowymi i wyjściowymi obiektu w stanie ustalonym. Obserwacje wyjść

mogą zawierać zakłócenia generowane przez czynniki nieuwzględniane w modelu (a więc

takie, które nie są mierzone), bądź też powstające w wyniku stosowania niedoskonałej

techniki pomiarowej.

Klasyczną metodą estymacji parametrów modelu statycznego obiektu jest metoda

najmniejszych kwadratów (w skrócie NK, ang. LS – Least Squares). Stosowanie

estymatora najmniejszych kwadratów nie wymaga posiadania wstępnej wiedzy na temat

identyfikowanego obiektu, ani pełnej wiedzy o właściwościach zakłóceń, oddziaływujących

na obiekt w trakcie doświadczenia.


Należy przypomnieć sobie wiadomości na temat podstawowych metod i algorytmów

identyfikacji modelu statycznego obiektu. Podstawowe informacje na temat estymacji

parametrów w modelu o znanej strukturze zgrupowano w Dodatku na końcu instrukcji.


Co nazywamy estymacją parametrów? Jakie wyrażenie opisuje postać estymatora?

W jakiej sytuacji estymatory nazywamy zgodnymi, nieobciążonymi, najbardziej

efektywnymi?

Jakie założenia powinny być spełnione, aby poprawnie stosować estymator

najmniejszych kwadratów?

W jaki sposób określa się przedziały ufności dla każdego z estymowanych

parametrów?

Przedstaw cechy wspólnego obszaru ufności dla ocen identyfikowanych

współczynników na poziomie ufności (1-α).

Jak określa się przedziały ufności dla ocen zmiennej wyjściowej modelowanego

obiektu?

3. IDENTYFIKACJA MODELI STATYCZNYCH

W wielu problemach sterowania potrzebna jest znajomość charakterystyki statycznej obiektu

w warunkach jego normalnej eksploatacji (w nominalnym punkcie pracy i jego otoczeniu).


3

Ćwiczenie 2

Charakterystykę taką można uzyskać w procesie identyfikacji modelu statycznego dla

wybranego punktu pracy obiektu.

Problem identyfikacji sprowadza się do klasycznego problemu regresji liniowej, w której

nieznane parametry (współczynniki wag wejść modelu) zostaną wyznaczone za pomocą

minimalizacji sumy kwadratów błędów pomiędzy wyjściem modelu i obiektu. Metoda ta

(opracowana przez Legendre’a i Gaussa) nazywa się metodą najmniejszych kwadratów

(MNK, ang. Least Squares, LS).

3.1. SPOSÓB GROMADZENIA DANYCH STATYSTYCZNYCH

WYKORZYSTYWANYCH DO ESTYMACJI MODELI LINIOWYCH

Zakłada się, że badany obiekt ma s wejść i jedno wyjście, zaś jego charakterystyka statyczna

ma postać liniową:

(2. 1)

Przyjmując: , , , uzyskuje się wektorową

postać powyższego wzoru:

(2. 2)

W celu przeprowadzenia estymacji parametrów modelu niezbędne są informacje

statystyczne w postaci odpowiedniej liczby obserwacji wartości zmiennych na wejściach

i wyjściu obiektu: u1, u2, ..., us, y. Zakładając, że liczba obserwacji wynosi N, zgromadzone

dane z wyjścia obiektu można przedstawić w postaci N-elementowego kolumnowego wektora

obserwacji zmiennej objaśnianej y: oraz [N×(k+1)]-elementowej

macierzy obserwacji składającej się z kolumny jedynek (odpowiadających wartościom

umownej zmiennej wejściowej u0) i wartości poszczególnych zmiennych objaśniających:

u1, u2, ..., us dla kolejnych obserwacji:

NsNN

isii

s

s

uuu

uuu

uuu

uuu

21

21

22221

11211

1

1

1

1

U (2. 3)

Na obiekt działa losowe zakłócenie z, sprowadzone do wyjścia obiektu, które przedstawia

wpływ błędów pomiarowych i pomiarowo niedostępnych sygnałów. Schemat

identyfikowanego układu przedstawia rys. 2. 1.


4

Ćwiczenie 2

Rys. 2. 1. Schemat blokowy układu, identyfikowanego metodą najmniejszych kwadratów

3.2. SPOSÓB GROMADZENIA DANYCH STATYSTYCZNYCH

WYKORZYSTYWANYCH DO ESTYMACJI MODELI

O CHARAKTERYSTYKACH KWADRATOWYCH

Zakłada się, że badany obiekt ma s wejść i jedno wyjście, zaś jego charakterystyka statyczna

ma postać wielomianu drugiego rzędu (kwadratowego) ze względu na zmienne wejściowe:

(2. 4)

Przyjmując, że badany obiekt ma dwa wejścia: u1 i u2, powyższy wzór upraszcza się do

postaci:

(2. 5)

Estymacja parametrów modelu jest (podobnie jak w opisanym wyżej przypadku obiektu

o charakterystyce liniowej) dokonywana na podstawie odpowiedniej liczby obserwacji

wartości zmiennych na wejściach i wyjściu obiektu: u1, u2, y. Jednakże, w przeciwieństwie do

obiektu o charakterystyce liniowej, w kolumnach macierzy U należy zgromadzić nie tylko

wartości obserwacji zmiennych wejściowych, ale także ich funkcji (kwadratu każdej

z wartości wejściowych i ich iloczynu), jak to pokazano poniżej:

(2. 6)

Jeżeli liczba obserwacji wynosi N, dane zarejestrowane na wyjściu obiektu można

przedstawić w postaci N-elementowego kolumnowego wektora obserwacji zmiennej

objaśnianej y: , a dane z wejścia obiektu za pomocą [N×6]-elementowej

macierzy obserwacji składającej się z kolumny jedynek (odpowiadających wartościom


5

Ćwiczenie 2

umownej zmiennej wejściowej u0) i wartości funkcji poszczególnych zmiennych

objaśniających dla kolejnych obserwacji.

Podstawowe wiadomości teoretyczne na temat estymacji współczynników modelu

obiektu statycznego za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNK) zostały podane

w Dodatku na końcu niniejszej instrukcji.

4. WYMAGANIA BHP








Założenia i wskazówki:

1. W ćwiczeniu jest badana charakterystyka statyczna obiektu dynamicznego – na jego

wyjściu po każdorazowej zmianie wartości dowolnego wejścia będzie pojawiał się stan

przejściowy. Badany obiekt jest asymptotycznie stabilny, toteż składowa przejściowa

odpowiedzi dąży do zera i można uznać, że po odpowiednio długim czasie wartość

wyjścia obiektu ustala się. Czas ustalania wartości wyjścia obiektu można określić za

pomocą próby skoku jednostkowego. Każdorazowy pomiar wartości wyjścia obiektu

należy wykonać dopiero po odczekaniu na ustalenie się wartości sygnału wyjściowego

(po czasie potrzebnym na zakończenie procesu przejściowego).

2. Charakterystyka statyczna badanego obiektu jest wynikiem linearyzacji rzeczywistej

charakterystyki (ogólnie – nieliniowej) w punkcie pracy, określonym przez

prowadzącego zajęci (np. leżącym w zakresie [0V, 3V]). Równanie modelu dla

przyrostów zmiennych wejściowych ma więc postać:

y = c0 + c1 Δu1 + c2 Δu2 + c3 Δu3 =[1, Δu1, Δu2, Δu3] [c0,c1,c2, c3]T; (2. 7)

która po zastąpieniu zmiennych przyrostowych nowymi zmiennymi jest zgodna ze

wzorem (2. 1). Poziom oddziaływań Δui nie przekracza wartości 0,5 V.

3. Obserwacje wyjścia są zakłócane realizacjami białego szumu o rozkładzie normalnym,

o zerowej wartości średniej i wariancji 0,1.


6

Ćwiczenie 2




głównego menu programu. Ustaw następujące parametry transmitancji obiektu

symulacyjnego drugiego rzędu: wzmocnienie k = 1, wartości obydwu stałych

czasowych T1 = T2 = 1 [s]. Okres próbkowania (Sampling Rate) ustaw na wartość

250 [ms]. Liczba próbek (pomiarów) powinna wielokrotnie (co najmniej 5-krotnie)

przekraczać liczbę estymowanych parametrów modelu.

2. W zakładce Experiment ustaw parametry modelowanego sygnału C oraz wartości

bazowe wymuszenia U. Podobnie ustaw parametry delta i sigma, za pomocą których

będzie generowany sygnał s podawany na wejście obiektu dynamicznego. Obserwuj

odpowiedź symulowanego obiektu y. Możesz zweryfikować poprawność doboru

czasu próbkowania obserwując czy wyjście procesu y osiąga poziom wymuszeń s.

Rys. 2. 2. Przykładowe wartości elementów macierzy U i wektora y

Badany układ o liniowej charakterystyce statycznej ma strukturę przedstawioną na

rys. 2. 3 (trzy wejścia i jedno wyjście).

Rys. 2. 3. Struktura identyfikowanego układu o liniowej charakterystyce statycznej

3. Za pomocą estymatora NK wyznaczyć estymatę wartości nieznanych parametrów

modelu cest. Obliczyć wektor różnic między wartościami pomiarów i wartościami

wyjścia ym(k) z modelu. Odpowiedz na następujące pytania:

Czy wyniki identyfikacji są zadawalające?


7

Ćwiczenie 2

Jak zmieniają się oceny parametrów przy wzroście liczby uwzględnianych

pomiarów?

Czy celowym jest przeprowadzenie jeszcze jednej, dodatkowej serii pomiarów?

W jaki sposób można zautomatyzować przebieg doświadczenia?

4. Przeprowadź analizę statystyczną wyników doświadczenia, programując obliczenia

na poziomie ufności α = 0,05 w zakładce Accuracy Analysis.

5. Zmiany wartości oddziaływań wejściowych (wymuszeń) są zwykle ograniczane do

strefy liniowości badanego obiektu (model zakłada niezbyt duże odchylenia wejść

wokół punktu pracy). Powtórz identyfikację modelu dwukrotnie zwiększając,

a następnie dwukrotnie zmniejszając poziom oddziaływań Δui w porównaniu do

stosowanego w poprzednim doświadczeniu.

Czy doświadczenia te potwierdzają założenie o dopuszczalności linearyzacji

modelu w zadanym punkcie pracy?

Czy, w wyniku dodatkowych pomiarów, różnice między wynikami pomiarów

y(k) i oceną wyjścia modelu ymod(k) (tj. reszty) zmieniły się istotnie? Odpowiedź

należy podać, porównując poprzednią wariancję reszt z wariancją uzyskaną po

serii dodatkowych pomiarów.

6. Zbadaj, uśredniając wyniki dostatecznie reprezentatywnego zbioru doświadczeń

symulacyjnych, zależność błędu estymacji parametrów od poziomu zakłóceń na

wyjściu obiektu. Rezultaty eksperymentów przedstaw w postaci graficznej. Badania

należy przeprowadzić, ustalając następujące wielokrotności poziomu wariancji

zakłóceń przyjmowanego w poprzednim punkcie ćwiczenia: 0,25; 0,5; 0,75; 1,0;

1,25.

7. Posługując się analogiczną metodyką doboru reprezentatywnego zbioru doświadczeń

symulacyjnych, zbadaj zależność błędu estymacji parametrów od liczby

przeprowadzonych pomiarów przy ustalonym poziomie zakłóceń. Wyniki

eksperymentów przedstaw w postaci graficznej.

8. Zbadaj związek osiąganej dokładności estymacji od poziomu sygnałów testujących

na wejściu układu. Rezultaty doświadczenia przedstaw w postaci graficznej.

9. Dla wybranego planu eksperymentu zweryfikowanego podczas symulacji

przeprowadź eksperyment identyfikacyjny i sprawdź czy wyniki pokrywają się

z otrzymanymi podczas symulacji. Schemat połączeń został przedstawiony na

rysunku 2. 4.


8

Ćwiczenie 2

Rys. 2. 4. Struktura identyfikowanego układu o liniowej charakterystyce statycznej

10. Powtórz polecenia zawarte w punktach 1-9 dla obiektu o dwóch wejściach

i kwadratowej charakterystyce statycznej. Następnie dla wybranego planu

eksperymentu zweryfikowanego podczas symulacji przeprowadź eksperyment

identyfikacyjny według schematu połączeń przedstawionego na rysunku 2. 5.

Sprawdź czy wyniki pokrywają się z otrzymanymi podczas symulacji.

Rys. 2. 5. Struktura identyfikowanego układu o kwadratowej charakterystyce statycznej











9

Ćwiczenie 2


sprawozdania mają największy wpływ na uzyskaną ocenę). W szczególności, należy

ustosunkować się do pytań i zagadnień problemowych, sformułowanych w punkcie

„Wykonanie ćwiczenia”.


10

Ćwiczenie 2

7. DODATEK

7.1. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)

W klasycznej metodzie najmniejszych kwadratów zakłada się, że obserwowane wyjście

obiektu jest liniową kombinacją wartości wejść:

(D2. 1)

Dla wygody zapisu, wprowadzając dodatkowe, „zerowe” wejście układu

i oznaczając: , , uzyskuje się wektorową postać

powyższego wzoru:

(D2. 2)

Zakłada się, że w wyniku N-krotnego powtórzenia eksperymentu identyfikacyjnego

dostępnych jest N obserwacji s+1 zmiennych (s zmiennych wejściowych i jednej

wyjściowej): u1, u2,..., us, y, które zapisujemy w macierzy U i wektorze y:

N

i

NsNN

isii

s

s

y

y

y

y

uuu

uuu

uuu

uuu

2

1

21

21

22221

11211

;

1

1

1

1

yU (D2. 3)

Kryterium dopasowania (jakości, dobroci) modelu do obserwacji jest suma kwadratów

błędów identyfikacji

N

i

ieJ1

2 (D2. 4)

gdzie błąd identyfikacji ei dla i-tej obserwacji jest różnicą pomiędzy wartościami wyjścia

modelu i obiektu

)(ˆ110 ssiiii ucuccyyye (D2. 5)

Wprowadzając wektor błędów identyfikacji eT = [e1, e2, ..., eN] oraz wektor wielkości

wyjściowej modelu , zadanie wyznaczenia wektora współczynników c

można sformułować jako poniższe zadanie minimalizacji kryterium dopasowania modelu

(D2. 6)


11

Ćwiczenie 2

Warunkiem koniecznym istnienia minimum kryterium jakości modelu (D2. 6) jest:

(D2. 7)

Wykonując operację różniczkowania zależności (D2. 6) otrzymuje się:

(D2. 8)

lub po przekształceniu powyższego wzoru do układu równań normalnych Gaussa

(D2. 8)

Rozwiązaniem równania (D2. 8) jest estymator najmniejszych kwadratów:

(D2. 9)

Schemat blokowy układu wyznaczania estymatora najmniejszych kwadratów w pakiecie

LabView przedstawia rys. 2. 6.

Rys. 2. 6. Schemat blokowy układu wyznaczania estymatora najmniejszych kwadratów

Warunkiem istnienia rozwiązania równania (D2. 9) jest, aby rząd macierzy U wynosił

(s + 1). Spełnienie tego warunku oznacza, że macierz UTU jest dodatnio określona oraz że

istnieje odwrotność tej macierzy. Oznacza to również, że wyrażenie eTe jest formą

kwadratową dodatnio określoną, a więc warunek konieczny istnienia minimum jest zarazem

warunkiem wystarczającym.

Innymi słowy rozwiązania równania (D2. 9) istnieje, gdy poszczególne kolumny

macierzy U są liniowo niezależne. Oznacza to, że wartości zmiennych objaśniających

kształtują się w taki sposób, iż żadna z tych zmiennych nie jest liniową kombinacją (funkcją)

którychkolwiek innych zmiennych wejściowych modelu. W szczególności nie istnieje

liniowa zależność pomiędzy dowolnymi dwoma kolumnami macierzy U, tzn. nie można

znaleźć takiej liczby , po przemnożeniu przez którą jednej kolumny macierzy U

otrzymalibyśmy drugą kolumnę. Założenie to stanowi warunek konieczny dla

jednoznacznego określenia estymatorów Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów.


12

Ćwiczenie 2

7.2. UOGÓLNIONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

W wyprowadzeniach estymaty parametrów modelu określenie „model liniowy” dotyczy

liniowości względem parametrów, a nie liniowości względem zmiennych niezależnych! Tak

więc metodę najmniejszych kwadratów można zastosować w każdym przypadku, gdy wyjście

modelu jest liniową kombinacją dowolnych funkcji algebraicznych jego wejść u1, u2, …, us.

Współczynniki ci modelu o ogólnej postaci

)()()(ˆ22110 uuu RRccccy (D2. 10)

gdzie i(u) = i(u1, u2, ..., us) są nieliniowymi funkcjami zmiennej wektorowej u, mogą być

wyznaczone za pomocą wyprowadzonych poprzednio estymatorów. W zapisie macierzowym

algorytmu estymacji współczynników widać podobieństwo do klasycznego sformułowania

problemu najmniejszych kwadratów (MNK).

N

i

NRNN

iRii

R

R

y

y

y

y

2

1

21

21

22221

11211

ˆ;

)()()(1

)()()(1

)()()(1

)()()(1

y

uuu

uuu

uuu

uuu

U

(D2. 11)

Rozwiązaniem równania (D2. 11) jest wyprowadzony wcześniej estymator

najmniejszych kwadratów

(D2. 11)

W szczególności, uogólniona metoda najmniejszych kwadratów może być stosowana do

estymacji parametrów modelu obiektu o charakterystyce statycznej będącej wielomianem

drugiego stopnia (liniowo-kwadratowej) w postaci:

(D2. 12)

Dla obiektu o dwóch wejściach: u1 i u2, i charakterystyce liniowo-kwadratowej, wzór

(D2. 12) upraszcza się do postaci:

(D2. 13)

Funkcje i(u) ze wzoru (D2.10) przyjmą postać:

(D2. 14)

a macierz U będzie zawierała następujące wartości, wyznaczone kolejno z N obserwacji:


13

Ćwiczenie 2

(D2. 15)

7.3. WŁAŚCIWOŚCI ESTYMATORA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Obciążenie estymatora parametrów

Estymator wartości współczynników modelu uzyskany MNK jest estymatorem

nieobciążonym, to znaczy istnieje gwarancja zbieżności do dokładnych wartości

współczynników (w sensie ich wartości oczekiwanej: E{c} = c*), jeśli liczba obserwacji

(pomiarów) zmierza do nieskończoności. Teoretycznie zatem (a praktycznie można to przyjąć

przy dostatecznie dużej liczbie obserwacji) uzyskiwana ocena graniczna estymowanych

parametrów równa jest ich rzeczywistym wartościom.

Obciążenie estymatora parametrów

Estymator MNK jest estymatorem zgodnym, jeśli są spełnione następujące warunki:

Struktura modelu odzwierciedla rzeczywistą strukturę zależności pomiędzy

wielkościami wejściowymi i wyjściowymi badanego procesu (tzn. proces opisywany

identyfikowanym modelem ma tę samą postać charakterystyki statycznej);

Zmienna losowa, która reprezentuje błędy pomiarowe (będące źródłem zakłóceń

wprowadzanych na wyjście modelu), posiada następujące cechy:

(1) zerowa wartość oczekiwana: E{ε} = 0;

(2) skończona wariancja zakłóceń: E{εεT} = σ

2I, σ

2 < ∞;

(3) niezależność wartości zakłóceń: E{ε(k) ε(k + i)} = 0, dla każdego k ≠ i;

(4) statystyczna niezależność zakłóceń ε(k) i argumentów wejściowych modelu

i(u(k)): E{ε(k) i(u(k + j))} = 0; dla każdego: i, j, k.

W praktyce sprawdzenia poprawności poczynionych założeń zapewniających wyżej

wymienione cechy estymatora można dokonać w trybie a’posteriori, badając uzyskany zbiór

residuów, tj. różnic między wynikiem doświadczenia i oceną wyjścia wyznaczoną

z uzyskanego modelu:

(D2. 16)

W związku z probabilistycznym charakterem zakłóceń {ε(k)}, ocena optymalnych

wartości parametrów modelu c*, uzyskiwana w wyniku zastosowania estymatora NK,

stanowi jedynie realizację wektorowej zmiennej losowej.


14

Ćwiczenie 2

Jakość estymatora parametrów

Jakość estymatora NK w eksperymencie identyfikacyjnym możemy ocenić na podstawie

analizy statystycznej. Najczęściej stosowanymi wskaźnikami oceny jakości estymatora NK

są:

Wariancja resztkowa:

(D2. 17)

(gdzie (s + 1) jest liczbą estymowanych parametrów modelu) jest związana ze średnim

kwadratem różnicy między wielkością wyjściową z modelu i wartością pomiaru.

Wskaźnik ten jest analogiem estymatora wariancji z próby dla zmiennej losowej

jednowymiarowej.

Macierz kowariancji zmiennej losowej estymatora c jest liczona przy założeniu

znajomości wariancji zakłóceń pomiarowych E{εT} = σ

2. Postać analityczna zapisu

macierzy kowariancji:

(D2. 18)

wskazuje, że pozadiagonalne jej elementy stanowią współczynniki kowariancji ocen

poszczególnych współczynników:

(D2. 19)

są zerowe jedynie w specyficznym przypadku wyboru planu doświadczenia (tzw. planu

ortogonalnego). W przypadku ogólnym oceny parametrów w modelu nie są więc

wyznaczane niezależnie. Na diagonali macierzy kowariancyjnej znajdują się wariancje

ocen parametrów identyfikowanego modelu:

(D2. 20)

Przedziały ufności dla oszacowania każdego z parametrów ci na zadanym poziomie

istotności (1-2α) najczęściej wylicza się, zakładając hipotezę o normalności ich rozkładu

N(ci, sqrt(piiσ2)).

Z rozkładu t-Studenta dla [N – s – 1] stopni swobody otrzymujemy:

(D2. 21)

Hipotezę H0 o zerowym wpływie danego czynnika (wejścia ui lub funkcji i wejść)

odrzuca się w sytuacji, gdy:

(D2. 22)

Przedziały ufności dla zmiennej wyjściowej y0 = y(u0) przy zadanym poziomie

oddziaływań wejściowych u0 (wektor 0 = (u0)) oblicza się wykorzystując również

tablicami rozkładu t- Studenta dla danego poziomu ufności (1-2α):

(D2. 23)


15

Ćwiczenie 2

Szerokość tak określanego przedziału może zmieniać się istotnie przy poruszaniu się

wewnątrz dopuszczalnego zbioru zmian argumentu odtwarzanej charakterystyki.







Kod: ES1C721 359

Opracowali





ĆWICZENIE 3

IDENTYFIKACJA OBIEKTU DYNAMICZNEGO

NA PODSTAWIE CHARAKTERYSTYKI IMPULSOWEJ


2

Ćwiczenie 3

1. CEL ĆWICZENIA

Znajomość opisu matematycznego procesu dynamicznego (danej w postaci równania

różniczkowego lub różnicowego) jest kluczem do projektowania skutecznych reguł

sterowania tym procesem i predykcji jego sygnałów wyjściowych. Identyfikacja parametrów

tego opisu procesu zwykle nie może odbywać się za pomocą idealizowanego

„laboratoryjnego” doświadczenia, którego wynikiem jest wybrana charakterystyka (czasowa

lub częstotliwościowa) obiektu dynamicznego. W rzeczywistych warunkach eksperymentu,

prowadzonego w trakcie normalnej pracy badanego obiektu, należy liczyć się

z ograniczeniami technologicznymi w stosunku do wprowadzanych sygnałów testujących.

Identyfikowany proces jest poddawany zakłóceniom (lub też zakłócenia powstają w samym

procesie), a sygnały mierzone są obarczone różnym poziomem zakłóceń pomiarowych.

Celem niniejszego ćwiczenia jest nabycie umiejętności identyfikacji obiektów

dynamicznych poprzez estymację znaczących wyrazów dyskretnej charakterystyki

impulsowej (funkcji wagowej) obiektu. Wyniki eksperymentu identyfikacyjnego są

opracowywane za pomocą klasycznego estymatora najmniejszych kwadratów.

W ćwiczeniu dokonuje się również estymacji parametrów transmitancji operatorowej

modelu procesu, która ma ustaloną postać. Wiele procesów można przybliżyć modelem

transmitancyjnym rzędu pierwszego – z opóźnieniem lub bez. W bardziej złożonych

wypadkach dynamika procesu może być przybliżana transmitancjami rzędu drugiego

(transmitancją obiektu typu całkowania z inercją, obiektu dwuinercyjnego lub

oscylacyjnego).


Należy przypomnieć sobie wiadomości na temat podstawowych charakterystyk czasowych

i częstotliwościowych podstawowych typów obiektów dynamicznych. Podstawowe

informacje na temat modeli matematycznych obiektów dynamicznych oraz metod estymacji

parametrów tych modeli zamieszczono w Dodatku na końcu instrukcji.


Podaj interpretację fizyczną dyskretnej charakterystyki impulsowej g(k) obiektu

dynamicznego.

Jaka rolę odgrywa ta charakterystyka w dyskretnej wersji równania splotu,

przeznaczonego do wyznaczania odpowiedzi obiektu y(k) na dowolne wymuszenie

u(k)?

Dlaczego dyskretna charakterystyka impulsowa bywa również nazywana funkcją

wagową?


3

Ćwiczenie 3

Dlaczego liczba istotnych wyrazów charakterystyki g(k) asymptotycznie stabilnego

liniowego układu dynamicznego jest zwykle stosunkowo nieznaczna?

Jak powiązać tą liczbę z liczbą pomiarów niezbędną do statystycznie miarodajnego

opracowania wyników pomiarów odpowiedzi układu y(k) w obecności zakłóceń?

Etap 1 (opisany niżej) może być przeprowadzony samodzielnie przed wykonaniem

ćwiczenia, co znacząco przyspieszy realizację eksperymentów identyfikacyjnych.

3. METODA ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ

Metoda odpowiedzi impulsowej polega na pobudzeniu identyfikowanego obiektu impulsem

Diraca. Niestety, impuls Diraca jest sygnałem, którego w praktyce nie da się zrealizować.

Dlatego też praktyczną realizacją impulsu Diraca jest sygnał prostokątny o możliwie jak

najkrótszym czasie trwania . Pole powierzchni zastępczego impulsu Diraca powinno być

równe 1. Dostatecznie dokładną postać odpowiedzi impulsowej można bezpośrednio

wyznaczyć na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego układu – przez przeskalowanie

(podzielenie przez wartość amplitudy impulsu pobudzającego) wartości próbek tego sygnału.

Rys. 3. 1. Sygnał aproksymujący impuls Diraca w praktycznych eksperymentach

4. WYMAGANIA BHP








4

Ćwiczenie 3






głównego menu programu. Wybierz obiekt symulacyjny drugiego rzędu,

o transmitancji:

Parametry transmitancji: wzmocnienie k oraz wartości obydwu stałych czasowych T1

i T2 ustaw według wskazówek prowadzącego zajęcia.

2. Wybierz sygnał wymuszający ‘Stimulus’ w postaci wąskiego impulsu prostokątnego

(‘Step’), aproksymującego impuls Diraca, zgodnie ze wskazówkami podanymi

w punkcie „3. Metoda odpowiedzi impulsowej” niniejszej instrukcji.

3. Wartość okresu próbkowania (Sampling Rate) i liczbę próbek (pomiarów) wybierz

stosownie do wybranych wartości stałych czasowych. Jako punkt wyjścia przyjmij

założenie, że okres próbkowania powinien być wielokrotnie (ok. 10-krotnie) krótszy

niż mniejsza ze stałych czasowych obiektu. Liczba próbek (a właściwie czas trwania

symulacji) powinna być wystarczająca do ustalenia się sygnału na wyjściu układu.

4. W zakładce Preprocessing obserwuj rejestrowany przebieg odpowiedzi układu

i jeśli to konieczne, zmodyfikuj ustawienia wartości czasu próbkowania i/lub liczby

rejestrowanych próbek sygnałów.

5. Przejdź do zakładki g(t) i wyznacz stałą czasową modelu aperiodycznego

krytycznego, aproksymującego charakterystykę badanego obiektu.

6. Wykorzystaj metody Broida i Strejca do identyfikacji parametrów modeli badanego

obiektu (przyjmując model obiektu dającego odpowiedź aperiodyczną krytyczną

oraz obiektu dwuinercyjnego o różnych stałych czasowych).

7. Przejdź do zakładki log g(t). Wyznacz parametry modelu obiektu na podstawie

charakterystyki impulsowej za pomocą metody płaszczyzny pół-logarytmicznej,

opisanej w Dodatku do niniejszego ćwiczenia. Jakie wnioski na temat transmitancji

(wielomianu charakterystycznego) badanego obiektu można wyciągnąć na podstawie

dotychczasowych wyników badań?

8. Określ racjonalną liczbę m estymowanych wartości charakterystyki dyskretnej

obiektu, g(k). Zwróć uwagę na to, czy liczba m zależy od okresu próbkowania, który


5

Ćwiczenie 3

ma bezpośredni wpływ na wartości współczynników transmitancji dyskretnej

identyfikowanego obiektu!

9. Przeprowadź doświadczenia symulujące zachowanie się badanego obiektu pod

wpływem wymuszenia w postaci pseudolosowego sygnału binarnego (PRBS)

o dostatecznej długości. W tym celu powróć do zakładki Preprocessing i w zakładce

‘Stimulus Parameters’ wybierz ‘Gaussian White Noise’.

10. Stosując model wynikający z dyskretnej postaci całki splotu (sumy splotowej):

(3. 1)

dokonaj, za pomocą estymatora MNK, opracowania wyników symulacji, tj.

wyznaczenia próbek odpowiedzi impulsowej układu. Zadanie to można wykonać

korzystając z zakładki ‘Impulse LS’.

11. Znajdź granice przedziałów ufności, w których mieści się, na przyjmowanym

poziomie ufności alfa = 0,95, prawdziwa wartość każdego estymowanego wyrazu

(próbki) charakterystyki impulsowej gest(k). Zadanie to należy rozwiązać w zakładce

CI.

UWAGA! Jeśli do poszukiwania granic przedziałów ufności ma być

wykorzystywana symulacja, wówczas w celu zwiększenia dokładności analizy

statystycznej liczbę eksperymentów należy ustawić na racjonalnie wybranym

wysokim poziomie (100 – 10000). W tej sytuacji istotny jest poziom (wariancja)

zakłóceń, które są również modelowane w zakładce SetUp. Jeśli przedziały maja

być wyznaczone w doświadczeniu empirycznym to ze względu na czas potrzebny na

wykonanie eksperymentu, liczba ta będzie odpowiednio mniejsza (10 – 1000).

12. Zbadaj wpływ poziomu (wariancji) zakłóceń, amplitudy sygnału testującego PRBS,

okresu próbkowania i liczby estymowanych wyrazów funkcji wagowej (liczby m

punktów charakterystyki impulsowej) na szerokość przedziałów ufności

i dokładność odwzorowania charakterystyki gest(k). W tym celu należy

przeprowadzić kilka doświadczeń wyznaczania przedziałów (zakładka) CI,

zmieniając odpowiednio warunki wymuszenia i wypełniając tablicę wynikami tych

doświadczeń.

13. Powtórz podany powyżej program ćwiczeń dla obiektu oscylacyjnego. W tym

przypadku należy pominąć punkty 7 i 8, a identyfikację przeprowadzić za pomocą

metody przeznaczonej dla członu oscylacyjnego (opisanej w Dodatku),

wykorzystując zakładkę g(t). Punkty charakterystyczne odczytaj za pomocą

kursorów na wykresie. Sugeruje się wykorzystanie skryptu MathScript, również

opisanego w Dodatku.


6

Ćwiczenie 3


14. Zweryfikuj dokładność badań symulacyjnych, porównując je z badaniami

empirycznymi. W tym celu dokonaj identyfikacji parametrów transmitancji

obiektów: G1, G2, Filtr 1 i Filtr 2 w zestawie MABO, realizując program

doświadczenia podobnie jak w punktach 1-12 z tą różnicą, że źródło danych

w zakładce SetUp należy ustawić na ‘From Experiment’. Z uwagi na brak wiedzy

a priori na temat struktury badanego obiektu może okazać się konieczne testowanie

różnych hipotez na temat rzędu modelu.

UWAGA! Badania eksperymentalne muszą być dobrze zaplanowane. Dotyczy to

zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania, gdyż

w przeciwnym przypadku mogą wystąpić problemy numeryczne.










Ocenę i porównanie jakości wyników eksperymentów identyfikacyjnych,

przeprowadzonych w trakcie ćwiczenia – w postaci odpowiednich tabel i wykresów.

Dyskusję na temat zależności wyniku identyfikacji od stosunku poziomu zakłóceń

do amplitudy oddziaływań testujących. Wypowiedź na temat określenia racjonalnej

liczby odtwarzanych wyrazów dyskretnej charakterystyki impulsowej g(k):

• Czy wszystkie składowe charakterystyki impulsowej odtwarzane w trakcie

przeprowadzonych obliczeń gest(k) należy uznać za statystycznie znaczące?

• Czy nie został popełniony przeciwny błąd, tzn. czy niektóre istotne statystycznie

wyrazy g(k) nie zostały pominięte?


sprawozdania mają największy wpływ na uzyskaną ocenę).


7

Ćwiczenie 3

7. DODATEK

7.1. IDENTYFIKACJA MODELI UKŁADU INERCYJNEGO RZĘDU PIERWSZEGO

Transmitancja układu inercyjnego pierwszego rzędu (jednoinercyjnego) ma postać:

1)(

sT

ksG (D3. 1)

Odpowiedź impulsowa takiego układu została przedstawiona na rys. 3. 2.

Rys. 3. 2. Odpowiedź impulsowa układu jednoinercyjnego

Cechy charakterystyki impulsowej układu inercyjnego pierwszego rzędu:

Rzędna odpowiedzi impulsowej g(t) w chwili t = 0 wyznacza stosunek k/T

(wzmocnienia do stałej czasowej układu);

Stała czasowa T może być wyznaczana graficznie za pomocą stycznych w dowolnym

punkcie charakterystyki impulsowej g(t) (patrz: rysunek). Wyprowadzenie stycznej

z punktu początkowego odpowiedzi (t = 0), gdzie szybkość zmian charakterystyki jest

największa, pozwala na uzyskanie największej dokładności;

W celu zwiększenia dokładności wyznaczenia stałej czasu T należy wyprowadzić

styczną z kilku punktów charakterystyki i wyciągnąć średnią z tych pomiarów.

Pozwoli to zmniejszyć efekt wpływu zakłóceń (fluktuacji procesu, szumu

pomiarowego) na wartość odpowiedzi impulsowej układu.

Metoda płaszczyzny półlogarytmicznej

Dokładniejszą metodą wyznaczenia parametrów k i T modelu układu inercyjnego I rzędu jest

metoda płaszczyzny półlogarytmicznej (skala logarytmiczna dla g, liniowa dla t). Odpowiedź

impulsową g(t) można zapisać wzorem:

T

t

T

t

eeT

ktg

)( (D3. 2)


8

Ćwiczenie 3

– w skali półlogarytmicznej g(t) będzie więc linią prostą, gdyż

T

teetg T

t

T

t

lnlnlnln)(ln (D3. 3)

co odpowiada równaniu prostej

taatx 10)( (D3. 4)

Rys. 3. 3. Odpowiedź impulsowa układu jednoinercyjnego na płaszczyźnie półlogarytmicznej

Tę samą, liniową postać związku pomiędzy logarytmem odpowiedzi impulsowej

a zmienną niezależną – czasem uzyskuje się przy dowolnej podstawie logarytmowania (różne

będą jedynie współczynniki a0 i a1 w równaniu (D3. 4). Aby zatem określić wartość stałej

czasu T należy poprowadzić prostą aproksymującą zbiór punktów odpowiadających

zarejestrowanym wartościom odpowiedzi. Do tego celu można wykorzystać związki:

10

)(

10)3.2( 3.2

3.2 txeeeeTtx

T

t

T

t

T

t

(D3. 5)

72.2

)(

72.2)( 1

1 txeeeeTtx

T

t

T

t

T

t

(D3. 6)

Gdy wartości x(t) są małe, niewielkie zakłócenia zawarte w sygnale g(t) powodują duże

przemieszczenia widoczne na rysunku. Dlatego też dopasowanie prostej należy

przeprowadzać głównie w zakresie dużych wartości x(t) (w początkowej fazie przebiegu g(t)).


9

Ćwiczenie 3

Metoda odpowiedzi próbkowanej

Wybierając dwie chwile próbkowania sygnału T

t

etx

)( : t1 i t2 = t1+, otrzymamy:

72.2

)(

72.2)( 1

1 txeeeeTtx

T

t

T

t

T

t

(D3. 7)

Podstawiając Tea

otrzymamy:

)()( 11

1

taxeatx T

t

(D3. 8)

Jeśli rozważymy kilka par (t, t+) i wyrazimy x(t+) jako funkcję x(t) to otrzymamy

prostą o nachyleniu a.

Rys. 3. 4. Próbkowanie odpowiedzi impulsowej i zależność x(t+) od x(t)

Współczynnik a w równaniu prostej można wyznaczyć za pomocą metody

najmniejszych kwadratów. Po wyznaczeniu współczynnika a można określić wartość stałej

czasu układu jednoinercyjnego:

aT

ln

(D3. 9)

Dla małych wartości metoda ta jest mało skuteczna, dlatego wybiera się równe

ok. 0,5T.

7.2. IDENTYFIKACJA MODELI UKŁADU DRUGIEGO RZĘDU

Transmitancja układu drugiego rzędu, który nie zawiera idealnego członu całkującego, ma

postać:

222

2

2121

212

21

2121

2 21)(2

1)(2)(

nn

n

ss

k

TTTT

TTss

TT

k

TTsTTs

ksG

(D3. 10)


10

Ćwiczenie 3

W zależności od wartości współczynnika tłumienia można wyróżnić trzy typy układów,

dające różne postacie charakterystyk czasowych:

człon dwuinercyjny – odpowiedź aperiodyczna, gdy > 1;

człon dwuinercyjny – odpowiedź aperiodyczna krytyczna = 1;

człon oscylacyjny – odpowiedź oscylacyjna < 1.

a) Identyfikacja parametrów członu dwuinercyjnego (członu inercyjnego II rzędu)

Zakładając, że stałe czasowe T1 i T2 układu dwuinercyjnego mają różne wartości,

odpowiedź impulsowa g(t) ma postać:

21

21

)(T

t

T

t

eeTT

ktg (D3. 11)

Wyrażenie to można również zapisać w postaci:

21

21)(T

t

T

t

eetx

(D3. 12)

gdzie

21

21

TT

k (D3. 13)

Podobnie jak w modelach rzędu pierwszego parametry T1, T2, 1, 2 można

zidentyfikować za pomocą płaszczyzny półlogarytmicznej (rzędne odłożone w skali

logarytmicznej, odcięte w skali liniowej).

Metoda płaszczyzny półlogarytmicznej

Jeśli założymy, że T1 >> T2, to ze wzoru (D3. 12) wynika, że dla dużych wartości t zachodzi:

1

1)(T

t

etx

(D3. 14)

W tym wypadku wykres x(t) dąży asymptotycznie do prostej, której nachylenie

odpowiada wartości T1, a rzędna w początku układu współrzędnych – wartości '1. Jeśli

narysujemy drugą prostą, wyrażoną równaniem:

)(12

12 txeeT

t

T

t

(D3. 15)

to wyznaczymy również wartości T2 i '2.


11

Ćwiczenie 3

Rys. 3. 5. Odpowiedź impulsowa układu dwuinercyjnego na płaszczyźnie półlogarytmicznej

Wyznaczenie stałych czasowych T1 i T2 umożliwi wyznaczenie wzmocnienia modelu,

gdy przyjmiemy ’1 = 1. Ostatecznie:

211 TTk (D3. 16)

W przypadku identyfikacji układu jednoinercyjnego zostało sformułowane zalecenie, aby

prostą aproksymującą dane na płaszczyźnie półlogarytmicznej dopasowywać głównie

w zakresie dużych wartości x(t) (w początkowej fazie przebiegu g(t)).W przypadku układów

rzędu drugiego wymaganie to może być jednak sprzeczne z koniecznością badania

charakterystyk najdalej jak to możliwe w czasie, a więc dla małych wartości g(t), co pozwala

ograniczać błąd aproksymacji wynikający z interakcji stałych czasowych na kształt

charakterystyki g(t). Kiedy wartości T1 i T2 są porównywalne, wówczas należy dokonywać

aproksymacji na podstawie charakterystyk w chwilach możliwie odległych od wartości czasu

wierzchołka charakterystyki. Niestety, zbyt odległe chwile charakteryzują się małymi

przyrostami g(t), co może prowadzić do problemów natury numerycznej. Problem ten traci

swoją istotność wraz ze wzrostem różnicy pomiędzy wartościami T1 i T2.

Tak więc przedstawiony powyżej algorytm sprawdza się dobrze przy znacznych

różnicach pomiędzy wartościami T1 i T2. Metoda nie jest jednak dokładna dla przypadku

układu o odpowiedzi impulsowej aperiodycznej krytycznej, tzn. T1 = T2. Można jednak z niej

korzystać do podjęcia decyzji jakim członem modelować charakterystykę impulsową. Jeśli

odcięta maksymalnej wartości g(t) leży w równym stopniu pomiędzy wartościami T1 i T2 to

z dużym prawdopodobieństwem mamy do czynienia z członem aperiodycznym krytycznym.

Jeśli jednak położenie odciętej wierzchołka charakteryzuje duża asymetria, to dokładniejszy

będzie model aperiodyczny ze stałymi czasowymi wyznaczonymi za pomocą płaszczyzny

półlogarytmicznej.


12

Ćwiczenie 3

b) Identyfikacja parametrów członu dwuinercyjnego o odpowiedzi aperiodycznej

krytycznej

W przypadku aperiodycznym krytycznym występuje podwójny biegun transmitancji (D3. 10)

s = s1 = s2 = -n = -1/T. Przypadek układu o odpowiedzi aperiodycznej krytycznej stanowi

granicę pomiędzy charakterem aperiodycznym a oscylacyjnym odpowiedzi układu drugiego

rzędu. Odpowiedź impulsowa układu aperiodycznego krytycznego ma postać:

)exp()( 0

2

0 ttktg (D3. 17)

Wykreślając odpowiedź impulsową (D3. 17) można wyznaczyć wartość parametru T

jako odciętą (punkt na osi czasu) wierzchołka odpowiedzi impulsowej, którego rzędna,

z kolei, znajduje się na poziomie praktycznie równym 25% wartości końcowej odpowiedzi.

Uwaga: Identyfikacja modeli aperiodycznych i aperiodycznych krytycznych może

nastręczać pewnych trudności. Każdy człon aperiodyczny można przybliżyć członem

aperiodycznym krytycznym. Przykładowo, wierzchołek odpowiedzi impulsowej członu

aperiodycznego o mianowniku transmitancji:

den(s) = (4s+1) (s+1) = 4s2+5s+1

występuje dla tej samej chwili czas, co wierzchołek odpowiedzi g(t) członu aperiodycznego

krytycznego:

den(s) = 3.24s2+3.6s+1

c) Identyfikacja parametrów członu oscylacyjnego

W przypadku układu oscylacyjnego odpowiedź impulsowa ma postać:

)exp(sin1

)( 02

tttg nn

(D3. 18)

Stosunek amplitud kolejnych oscylacji zależy tylko od wartości tłumienia . Znając

wartości amplitud kolejnych oscylacji można znaleźć sam parametr = T1 + T2. Parametr n

wraz z jest związany z okresem tych oscylacji. Identyfikacji obydwu tych parametrów

dokonuje się za pomocą opisanej niżej procedury.

Krok 1

Wyznacz punkty charakterystyki g(t1) i g(t2), gdzie t1 jest chwilą czasu (odciętą na

wykresie funkcji), w której odpowiedź impulsowa g(t) osiąga wartość maksymalną, a t2,

odpowiednio, chwilą czasu, w której g(t) osiąga wartość minimalną. Na rysunku 3. 6

zaznaczono te punkty na osi czasu, jak również wyznaczono połowę okresu oscylacji T0

charakterystyki impulsowej, co posłuży do wyznaczenia pulsacji drgań własnych 0,

definiowanej jako:

0

2

Tn

(D3. 19)


13

Ćwiczenie 3

gdzie T0 = 2*(t2-t1).

Rys. 3. 6. Przykładowa charakterystyka impulsowa g(t) członu oscylacyjnego

Krok 2

Wyznacz iloraz wartości odpowiedzi impulsowej w punktach t1 i t2 z Kroku 1:

)(

)(

2

1

tg

tgI (D3. 20)

Iloraz I można również zapisać w postaci:

)exp(sin1

)exp(sin1

)(

)(

2202

1102

2

1

tt

tt

tg

tgI

nn

nn

(D3. 21)

Wykorzystując zależność:

2

0

1

n (D3. 22)

można dokonać prostych przekształceń zależności (D3. 21) w celu obliczenia współczynnika

tłumienia :

021

10

20

2

sin

sinln

1

tt

t

tI

(D3. 23)

Prawa strona równania (D3. 23) może być wyznaczona na podstawie charakterystyki

g(t), skąd łatwo wyznaczyć wartość , a następnie w/g zależności (D3. 22) wartość n.


14

Ćwiczenie 3

Krok 3

Znając wartości parametrów n i oraz wartość okresu próbkowania Ts, należy

wyznaczyć wartość odpowiedzi impulsowej układu w chwili czasu t1, stosując wzór:

)exp(sin1

)( 1102

1 tttg nn

(D3. 24)

Wzór (D3. 24) zakłada, że układ ma jednostkowe wzmocnienie (k = 1). Iloraz wartości

zarejestrowanej charakterystyki impulsowej w chwili czasu t1 (odczytanej z wykresu)

i wartości g(t1) wyznaczonej wg wzoru (D3. 24) pozwoli wyznaczyć wzmocnienia k.

7.3. IDENTYFIKACJA MODELI UKŁADÓW WYŻSZYCH RZĘDÓW

Nie istnieją proste metody identyfikacji parametrów modeli układów rzędów: trzeciego

i wyższych. Trudność polega głównie na braku analitycznych metod rozwiązywania

problemów związanych z analizą matematyczną. Z drugiej strony wiele procesów wyższych

rzędów można przybliżyć z dużą dokładnością modelami niższych rzędów. W takich

przypadkach często sprawdza się stosowanie metody Strejca.

7.3.1. Metoda Strejca

Model zaproponowany przez Strejca ma jedną z trzech postaci:

a) nsT

ksG

1)(

(D3. 25)

b)

s

ne

sT

ksG

1)( (D3. 26)

c) 11

)(21

sTsT

ksG (D3. 27)

Celem metody jest wyznaczenie wartości parametrów powyższych zastępczych modeli

układów: k,T, T1, T2 oraz n i tak, aby odpowiedź impulsowa modelu była jak najbardziej

zbliżona do obserwowanej odpowiedzi rzeczywistego (identyfikowanego) układu.

Wyznaczanie parametrów modelu z odpowiedzi impulsowej

Odpowiedź impulsowa typowych obiektów (układów) dynamicznych – wieloinercyjnych lub

wieloinercyjnych z opóźnieniem ma właściwości umożliwiające dość łatwe wyznaczenie

parametrów modeli zastępczych (D3. 25)- (D3. 27).


15

Ćwiczenie 3

Na wykresie odpowiedzi impulsowej układu zaznaczamy (patrz rys. 3. 7.):

m, hm - odciętą i rzędną punktu M (maksimum odpowiedzi impulsowej);

i, hi,j, hj - odciętą i rzędną punktów przegięcia: I oraz J.

Rys. 3. 7. Odpowiedź impulsowa układu i charakterystyczne punkty używane w metodzie Strejca

Należy zauważyć, że: m - i = j - m. Zależność:

1

2

ij

ijn

(D3. 28)

oraz

121

nnT

ijm

(D3. 29)

wraz z Tabelą 3.1 pozwalają wyznaczyć poszukiwane parametry modeli.

Tabela 3. 1. Zestaw parametrów do wyznaczania wartości parametrów n, T metodą

Strejca na podstawie odpowiedzi impulsowej obiektu

n 2 3 4 5 6

m

i

g

g 0.000 0.353 0.427 0.462 0.483

m

j

g

g 0.736 0.708 0.694 0.685 0.679

Tg

k

m

2.720 3.690 4.460 5.120 5.700

Jeśli uzyskany model nie jest wystarczająco dokładny, poprzez przesunięcie osi czasu

można wprowadzić opóźnienie (człon e-s

w transmitancji modelu). W tym celu należy:

wyznaczyć stosunkim

i

g

g oraz

m

j

g

g,

wyznaczyć n,


16

Ćwiczenie 3

wyznaczyć 12

nT

ij ’

wyznaczyć 1 nTm .

Tak wyznaczona wartość m odjęta od rzeczywistej odciętej punktu M daje wartość

opóźnienia Parametr k wyznacza się na podstawie ostatniego wiersza Tabeli 3. 1.

Metoda Strejca nie jest jednak dokładna dla przypadku układu o odpowiedzi impulsowej

aperiodycznej krytycznej, tzn. T1 = T2. Można jednak z niej korzystać do podjęcia decyzji,

jakim członem należy modelować charakterystykę impulsową. Jeśli odcięta maksymalnej

wartości g(t) leży w równym stopniu pomiędzy wartościami T1 i T2, to z dużym

prawdopodobieństwem mamy do czynienia z członem aperiodycznym krytycznym. Jeśli

jednak położenie odciętej wierzchołka charakteryzuje duża asymetria, to dokładniejszy

będzie model aperiodyczny ze stałymi czasowymi wyznaczonymi za pomocą płaszczyzny

półlogarytmicznej.

7.4. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI IMPULSOWEJ G(K) METODĄ

NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Znajomość wartości próbek charakterystyki impulsowej g(k) pozwala na wyznaczenie próbek

odpowiedzi (sygnału wyjściowego) układu na dowolne wymuszenie, określone w postaci

ciągu próbek sygnału u(k). Wykorzystuje się w tym celu sumę splotową (stanowiącą

dyskretną wersję całki splotu), która ma postać:

)()()(0

ikuigTkyi

(D3. 30)

lub w równoważnej postaci:

)()()1()1()()0()( ikuigkugkugTky (D3. 31)

Po „ucięciu” charakterystyki g(k) do m pierwszych wyrazów (co jest równoważne

z przyjęciem założenia o nieistotności próbek charakterystyki dla późniejszych chwil

czasowych (|g(i)| ≈ 0 dla i > m), wyrażenie (D3. 31) reprezentuje regresyjny model liniowy

względem nieznanych parametrów – próbek odpowiedzi impulsowej układu:

cu)()( Tky (D3. 32)

gdzie: c = [g(0), g(1), ..., g(m-1)]T oraz (u) = [u(k), u(k-1), ..., u(k-m+1)]

T.

W modelu typu „skończonej sumy splotowej” wyjście jest sumą ważoną m ostatnich

próbek sygnału sterującego. Charakterystykę impulsową, wyrażającą kolejne współczynniki

wagowe, nazywa się w związku z tym funkcją wagową. Dyskretny model splotowy jest

podstawą opracowania danych pomiarowych w ramach niniejszego ćwiczenia

laboratoryjnego.


17

Ćwiczenie 3

W modelu typu (D3. 32) estymatora MNK może być użyty do wyznaczenia ocen gest(k)

poszczególnych wyrazów ciągu czasowego g(k), stanowiącego dyskretną charakterystykę

impulsową (funkcją wagową) badanego obiektu dynamicznego. Konieczna jest przy tym

jedynie znajomość sekwencji wejść u(k) o dostatecznej długości oraz sprzężonej z nią

sekwencji pomiarów y(k) wyjść tego obiektu. Wektor wag g jest wówczas obliczany jako:

(D3. 33)

gdzie:

y = [y(k), y(k-1), ..., y(k-n+1)]T,

m – liczba próbek (wyrazów) odpowiedzi impulsowej, branych pod uwagę,

n – liczba pomiarów,

U – macierz utworzona z próbek sygnału wymuszającego w następujący sposób:

)1()2()1()(

)1()2()1()(

)()3()2()1(

)1()2()1()(

mnkunkunkunku

mpkupkupkupku

mkukukuku

mkukukuku

U (D3. 18)







Kod: ES1C721 359

Opracowali




ĆWICZENIE 4

IDENTYFIKACJA OBIEKTU DYNAMICZNEGO

NA PODSTAWIE CHARAKTERYSTYKI SKOKOWEJ


2

Ćwiczenie 4

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności estymacji parametrów transmitancji operatorowej

modelu procesu, która ma ustaloną postać. Estymacji parametrów modelu transmitancyjnego

dokonuje się na podstawie odpowiedzi skokowej modelowanego układu. Metoda odpowiedzi

skokowej polega na pobudzeniu identyfikowanego obiektu skokiem jednostkowym (funkcją

Heaviside’a). Skok jednostkowy jest sygnałem, który stosunkowo łatwo zrealizować

fizycznie (czas narastania sygnału – teoretycznie nieskończenie krótki – w praktyce może

przyjmować akceptowalnie małe wartości). Ocena odpowiedzi na skok jednostkowy jest

bardzo użyteczna jako źródło wstępnej, jakościowej informacji o obiekcie. Na podstawie

pomiaru wartości odpowiedzi skokowej w prosty sposób można wyznaczyć parametry

transmitancji operatorowej obiektu. W ćwiczeniu wykorzystuje się obiekty inercyjne

pierwszego i drugiego rzędu (z opóźnieniem lub bez) oraz obiekty oscylacyjne.


Należy przypomnieć sobie wiadomości na temat postaci charakterystyk skokowych

podstawowych typów obiektów dynamicznych (rys. 4. 1) oraz metod wyznaczania

parametrów transmitancji układu na podstawie przebiegu odpowiedzi skokowej.

Rys. 4. 1. Wymuszenie w postaci skoku jednostkowego i odpowiedź układu dynamicznego

Podstawowe informacje na temat modeli matematycznych obiektów dynamicznych oraz

metod estymacji parametrów tych modeli za pomocą odpowiedzi układu na skok

jednostkowy zamieszczono w Dodatku na końcu niniejszej instrukcji.


Podaj definicję odpowiedzi skokowej h(t) obiektu dynamicznego.

Jaki jest związek pomiędzy odpowiedzią skokową i odpowiedzią impulsową układu?

Jaki jest związek pomiędzy odpowiedzią skokową a transmitancją układu?

Podaj analityczne postacie odpowiedzi skokowych układów dynamicznych

pierwszego i drugiego rzędu?


3

Ćwiczenie 4

Etap 1 (opisany niżej) może być przeprowadzony samodzielnie przed wykonaniem

ćwiczenia, co znacząco przyspieszy realizację eksperymentów identyfikacyjnych.

3. WYMAGANIA BHP













o transmitancji:

Parametry transmitancji: wzmocnienie k oraz wartości obydwu stałych czasowych T1

i T2 (T1 T2) ustaw według wskazówek prowadzącego zajęcia.

2. Wybierz sygnał wymuszający ‘Stimulus’ w postaci skoku jednostkowego (‘Step’).

3. Wartość okresu próbkowania (Sampling Rate) i liczbę próbek (pomiarów) wybierz

stosownie do wybranych wartości stałych czasowych. Jako punkt wyjścia przyjmij

założenie, że okres próbkowania powinien być wielokrotnie (ok. 10-krotnie) krótszy

niż mniejsza ze stałych czasowych obiektu. Liczba próbek (a właściwie czas trwania

symulacji) powinna być wystarczająca do ustalenia się sygnału na wyjściu układu.

4. W zakładce Preprocessing obserwuj rejestrowany przebieg odpowiedzi układu

i jeśli to konieczne, zmodyfikuj ustawienia wartości czasu próbkowania i/lub liczby

rejestrowanych próbek sygnałów.

5. Przejdź do zakładki Modeling i wyznacz stałą czasową modelu aperiodycznego

krytycznego, aproksymującego charakterystykę badanego obiektu, wyznaczając

czas, w którym występuje punkt przegięcia odpowiedzi skokowej.


4

Ćwiczenie 4

6. Wykorzystaj parametry transmitancji modelu obiektu (dwuinercyjnego, o różnych

stałych czasowych) na podstawie jego charakterystyki skokowej za pomocą metody

Broida w wariancie drugim.

7. Wyznacz model obiektu (dwuinercyjnego, o różnych stałych czasowych) na

podstawie jego charakterystyki skokowej za pomocą metody Strejca.

8. Przejdź do zakładki Semi-log method. Wyznacz parametry modelu obiektu na

podstawie charakterystyki impulsowej za pomocą metody płaszczyzny

półlogarytmicznej, opisanej w Dodatku do Ćwiczenia nr 3. Jakie wnioski na temat

transmitancji (wielomianu charakterystycznego) badanego obiektu można wyciągnąć

na podstawie dotychczasowych wyników badań?

9. W zakładce Step Response zbadaj dopasowanie charakterystyk skokowych

otrzymanych modeli do charakterystyki obiektu. Czy jakość modeli jest

zadowalająca? W razie braku akceptacji możesz dostroić parametry modeli, dążąc do

zmniejszenia wartości wskaźnika jakości identyfikacji – miary niedopasowania

modelu.

10. Powtórz program ćwiczenia dla obiektu oscylacyjnego. W tym przypadku należy

pominąć punkty 7, 8 i 9, a identyfikację parametrów przeprowadzić za pomocą

metody przeznaczonej dla członu oscylacyjnego (opisanej w Dodatku do niniejszego

ćwiczenia), wykorzystując zakładkę Modeling. Punkty charakterystyczne

odpowiedzi skokowej należy odczytać z wykresu za pomocą kursorów.



empirycznymi. W tym celu dokonaj identyfikacji parametrów transmitancji

obiektów: G1, G2, Filtr 1 i Filtr 2 w zestawie MABO, realizując program

doświadczenia podobnie jak w punktach 1-11 z tą różnicą, że źródło danych

w zakładce SetUp należy ustawić na ‘From Experiment’. Z uwagi na brak wiedzy

a priori na temat struktury badanego obiektu może okazać się konieczne testowanie

różnych hipotez na temat rzędu modelu.


zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania, gdyż

w przeciwnym przypadku mogą wystąpić problemy numeryczne.





5

Ćwiczenie 4












6

Ćwiczenie 4

6. DODATEK

6.1. IDENTYFIKACJA MODELU UKŁADU INERCYJNEGO RZĘDU PIERWSZEGO

Transmitancja układu inercyjnego pierwszego rzędu (jednoinercyjnego) ma postać:

1)(

sT

ksG (D4. 1)

Odpowiedź skokowa takiego układu ma postać:

T

t

ekth 1)( (D4. 2)

Przebieg odpowiedzi skokowej układu inercyjnego pierwszego rzędu (jednoinercyjnego)

został przedstawiony na rys. 4. 2.

Rys. 4. 2. Odpowiedź skokowa układu jednoinercyjnego

Cechy charakterystyki skokowej układu inercyjnego pierwszego rzędu:

Rzędna asymptoty odpowiedzi skokowej y(t) wyznacza wartość wzmocnienia k;

Stała czasowa T może być wyznaczana graficznie za pomocą stycznych w dowolnym

punkcie charakterystyki impulsowej y(t) (patrz: rysunek). Wyprowadzenie stycznej

z punktu początkowego odpowiedzi (t = 0), gdzie szybkość zmian charakterystyki jest

największa, pozwala na uzyskanie największej dokładności;

W celu zwiększenia dokładności wyznaczenia stałej czasu T należy wyprowadzić

styczną z kilku punktów charakterystyki i wyciągnąć średnią z tych pomiarów.

Pozwoli to zmniejszyć efekt wpływu zakłóceń (fluktuacji procesu, szumu

pomiarowego) na wartość odpowiedzi skokowej układu.


7

Ćwiczenie 4

6.2. IDENTYFIKACJA MODELU UKŁADU INERCYJNEGO RZĘDU DRUGIEGO

Transmitancja układu drugiego rzędu, który nie zawiera idealnego członu całkującego, ma

postać:

222

2

2121

212

21

2121

2 21)(2

1)(2)(

nn

n

ss

k

TTTT

TTss

TT

k

TTsTTs

ksG

(D4. 3)

W zależności od wartości współczynnika tłumienia można wyróżnić trzy typy układów,

dające różne postacie charakterystyk czasowych (w tym – odpowiedzi skokowej):

człon dwuinercyjny – odpowiedź aperiodyczna, gdy > 1;

człon dwuinercyjny – odpowiedź aperiodyczna krytyczna = 1;

człon oscylacyjny – odpowiedź oscylacyjna < 1.

a) Identyfikacja parametrów członu dwuinercyjnego (członu inercyjnego II rzędu)

Zakładając, że stałe czasowe T1 i T2 układu dwuinercyjnego mają różne wartości,

odpowiedź skokowa h(t) ma postać:

21

21

2

21

11)(T

t

T

t

eTT

Te

TT

Tkth (D4. 4)

Wykonując proste operacje arytmetyczne, wyrażenie (D4. 4) można sprowadzić do

postaci, która stanowiła punkt wyjścia do identyfikacji parametrów T1, T2, 1, 2 na podstawie

odpowiedzi impulsowej – za pomocą płaszczyzny półlogarytmicznej, opisanej w instrukcji do

Ćwiczenia nr 3:

21

21)(T

t

T

t

eetx

(D4. 5)

W charakterystyce skokowej układu dwuinercyjnego występuje punkt przegięcia, który

wynika ze zmiany prędkości narastania charakterystyki. Punkt przegięcia stanowi granicę

pomiędzy dodatnimi i ujemnymi przyrostami wartości charakterystyki skokowej.

b) Identyfikacja parametrów członu dwuinercyjnego o odpowiedzi aperiodycznej

krytycznej

W przypadku aperiodycznym krytycznym występuje podwójny biegun transmitancji (D4. 3)

s = s1 = s2 = -n = -1/T. Przypadek układu o odpowiedzi aperiodycznej krytycznej stanowi

granicę pomiędzy charakterem aperiodycznym a oscylacyjnym odpowiedzi układu drugiego

rzędu. Odpowiedź skokowa układu aperiodycznego krytycznego ma postać:

)exp(11)( 0

2

0 ttkth (D4. 6)


8

Ćwiczenie 4

Wykonując proste operacje matematyczne można sprowadzić postać odpowiedzi

skokowej do postaci odpowiedzi impulsowej układu, wyrażonej zależnością (D3. 17)

z Dodatku do Ćwiczenia nr 3. Identyfikacja parametrów modelu aperiodycznego może być

przeprowadzona metodami opisanymi w instrukcji do poprzedniego ćwiczenia – w tym na

podstawie metody płaszczyzny półlogarytmicznej charakterystyki impulsowej, opisanej

w Dodatku do Ćwiczenia nr 3.

c) Identyfikacja parametrów członu oscylacyjnego

W przypadku układu oscylacyjnego odpowiedź skokowa ma postać:

2

021sinsin)exp(

1

11)(

ttkth n (D4. 7)

Wartość przeregulowania (związaną z maksymalną wartością odpowiedzi skokowej,

hmax(t)) można wyznaczyć z zależności:

2

max

1exp

)(

)()(

th

thth

ust

ust (D4. 8)

gdzie hust(t) jest wartością ustaloną odpowiedzi skokowej (dla chwil czasu wystarczająco

odległych od momentu wystąpienia pobudzenia). Odczytana z charakterystyki skokowej

wartość chwili czasu, w której wystąpi przeregulowanie (maksimum charakterystyki

skokowej), umożliwia wyznaczenie wartości i n – na podstawie wzoru:

2

0

2 11

tn (D4. 8)

6.3. IDENTYFIKACJA MODELI UKŁADÓW WYŻSZYCH RZĘDÓW

Nie istnieje prosta metoda identyfikacji parametrów modeli transmitancyjnych rzędu trzeciego

i wyższych. Trudność polega głównie na rozwiązywaniu problemów matematycznych. Z drugiej

strony wiele procesów o wysokim rzędzie transmitancji można przybliżyć z dużą dokładnością

modelami niższych rzędów. W takich przypadkach często sprawdza się stosowanie metod Strejca

lub Broida.

Metoda Strejca

Model zaproponowany przez Strejca ma jedną z trzech postaci:

nsT

ksG

1)(

(D4. 9)

s

ne

sT

ksG

1)( (D4. 10)


9

Ćwiczenie 4

11)(

21

sTsT

ksG (D4. 11)

Istota metody polega na wyznaczeniu parametrów: k, T, T1, T2 oraz n i takich, by

odpowiedź skokowa modelu była jak najbardziej zbliżona do obserwowanej odpowiedzi

rzeczywistego obiektu.

Pierwszy wariant metody Strejca wyznaczania parametrów modelu na podstawie odpowiedzi

skokowej

Zakłada się, że obiekt jest opisywany transmitancją o postaci (D4. 9) lub (D4. 10).

Oznaczamy współrzędne punktu przegięcia charakterystyki skokowej przez (TQ, yQ), przy

czym wartości h(t) dzielimy uprzednio przez wartość ustaloną tej odpowiedzi (rys. 4. 3).

Rys. 4. 3. Wyznaczanie parametrów modelu Strejca na podstawie odpowiedzi skokowej

Parametry modelu wyznaczamy na podstawie Tabeli 4. 1, realizując następujący algorytm:

Wyznacz wartość ustaloną odpowiedzi skokowej yu;

Wyznacz k=yu/u;

Wykreśl krzywą unormowanej odpowiedzi y(t) = h(t)/yu, przedstawioną na rys. 4. 3;

Wykreśl styczną do krzywej w punkcie przegięcia (TQ, yQ);

Skoryguj yQ przez zaokrąglenie do jednej wartości z podanej w Tabeli 4. 1 i ustal wartość

n dla tego przypadku;

Skoryguj Ta i wyznacz stąd Tu korzystając z kolumny a

u

T

T Tabeli 4. 1;

Oblicz uTt 1 . Jeżeli jest ujemne lub bardzo małe, skoryguj styczną tak, aby = 0;

Oblicz T na podstawie jednej z trzech ostatnich kolumn Tabeli 4. 1.


10

Ćwiczenie 4

Tabela 4. 1. Tabela zależności do wyznaczenia parametrów transmitancji w metodzie Strejca

z próby skokowej

n yQ Tu/Ta Ta/T Tu/T TQ/T

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.000

0.260

0.320

0.350

0.370

0.380

0.390

0.400

0.407

0.413

0.000

0.104

0.220

0.320

0.410

0.490

0.570

0.640

0.710

0.770

1.00

2.70

3.70

4.46

5.12

5.70

6.20

6.70

7.20

7.60

0.00

0.28

0.80

1.42

2.10

2.81

3.55

4.31

5.08

5.87

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Drugi wariant metody Strejca wyznaczania parametrów modelu na podstawie odpowiedzi

skokowej

Wykorzystuje się w nim postać modelu transmitancji układu dwuinercyjnego (D4. 11).

Punktem wyjścia w drugim wariancie metody Strejca jest wyznaczenie, na podstawie

przebiegu odpowiedzi skokowej h(t), chwili czasu t0,7, w której odpowiedź impulsowa

osiągnie wartość 0,7hmax, tj. momentu, w którym h(t0,7) = 0,7h∞.

Należy również wyznaczyć wartość t0,7/4, a następnie h(t0,7/4). Stosunek stałych

czasowych T2/T1 wiąże się właśnie z tą wielkością – zgodnie z Tabelą 4. 2:

Tabela 4. 2. Tabela zależności do wyznaczenia parametrów transmitancji w metodzie Strejca

z próby skokowej – wariant drugi

h(t0,7/4) 0.260 0.200 0.174 0.150 0.135 0.131

T2/T1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

h(t0,7/4) 0.126 0.125 0.124 0.123 0.123

T2/T1 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Po wyznaczeniu stosunku T2/T1 (w drugim wierszu tabeli), znajdujemy najpierw T1,

zgodnie ze wzorem T1 = t0,7/1,2 (1 + T2/T1), a następnie T2.

Metoda Broida

Metoda ta zakłada, że model opisuje się transmitancją obiektu inercyjnego pierwszego rzędu

z opóźnieniem transportowym:

1)(

sT

esG

s

(D4. 12)

Wykres znormalizowanej odpowiedzi skokowej obiektu (linia ciągłą) i jej aproksymację

za pomocą modelu jednoinercyjnego z opóźnieniem przedstawia rys. 4. 4.


11

Ćwiczenie 4

Rys. 4. 4. Odpowiedź skokowa układu i odpowiedź układu pierwszego rzędu z opóźnieniem

Metoda Broida polega na wyznaczeniu t1 i t2 takich, że:

y(t1) = 0.28 i y(t2) = 0.4

Wówczas parametry i T obliczamy z układu równań:

)(5.5

8.18.2

12

21

ttT

tt

(D4. 13)

Metoda Zieglera-Nicholsa

Metoda ta w swoim założeniu nie służyła celom identyfikacji parametrów transmitancji

obiektu. Jej stosowanie jest podyktowane potrzebą doboru nastaw regulatora PID dla obiektu,

którego model ma uproszczoną postać:

ses

asG )( (D4. 14)

Odpowiedź skokowa układu i jej aproksymacja za pomocą odpowiedzi modelu (D4. 14)

została przedstawiona na rys. 4. 5.

Rys. 4. 5. Ilustracja metody Zieglera-Nicholsa aproksymacji odpowiedzi skokowej obiektu


12

Ćwiczenie 4

Współczynniki a i L wyznacza się bezpośrednio z rysunku, wykreślając styczną

w punkcie przegięcia odpowiedzi skokowej. Model obiektu jest skrajnie uproszczony, więc

nie ma większej wartości dla celów identyfikacyjnych. Okazuje się jednak, że regulatory PID

dobierane na jego podstawie, w większości przypadków daje dobre dopasowanie do

sterowanego obiektu (akceptowalną jakość uzyskiwanych przebiegów przejściowych).







Kod: ES1C721 359

Opracowali




ĆWICZENIE 5

IDENTYFIKACJA MODELU OBIEKTU DYNAMICZNEGO

ZA POMOCĄ ANALIZY KORELACYJNEJ I WIDMOWEJ


2

Ćwiczenie 5

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności identyfikacji obiektu dynamicznego za pomocą

dwóch podstawowych metod identyfikacji nieparametrycznej: analizy korelacyjnej i analizy

widmowej sygnałów, zarejestrowanych na wejściu i wyjściu obiektu.

W doświadczeniu pomocniczym, przeprowadzanym w początkowej fazie ćwiczenia,

ocena parametrów modelu liniowego obiektu dynamicznego wyznaczana jest na podstawie

jego charakterystyki skokowej rejestrowanej „w warunkach laboratoryjnych”, bez zakłóceń.

Identyfikowany obiekt jest członem inercyjnym drugiego rzędu, zakłada się również pełną

wiedzę o strukturze modelu obiektu.

W doświadczeniu głównym identyfikacja jest przeprowadzana na podstawie długotrwałej

obserwacji wejścia i wyjścia badanego obiektu, przy czym na obiekt działają addytywne

sygnały zakłóceń. Analiza danych pomiarowych prowadzi do wyznaczenia przebiegu

dyskretnej odpowiedzi skokowej obiektu.

Eksperymenty przeprowadzane w dalszej części ćwiczenia są poświęcone wyznaczaniu

widma rejestrowanych przebiegów dyskretnych. Badana jest także przydatność analizy

widmowej do identyfikacji charakterystyk częstotliwościowych obiektów dynamicznych.

Prowadzone są obliczenia ukierunkowane na wygładzenie przebiegu charakterystyk

częstotliwościowych badanego obiektu dynamicznego, uzyskiwanych za pośrednictwem

analizy widmowej.


Należy przypomnieć sobie wiadomości na temat tematykę stochastycznych, stacjonarnych

ciągów czasowych, akcentując problematykę transformacji charakterystyk czasowych

i częstotliwościowych sygnałów w wyniku przejścia przez liniowy układ dynamiczny. Należy

także powtórzyć wiadomości na temat analizy widmowej ciągów czasowych.

W szczególności, należy zapoznać się z metodyką cyfrowego wyliczania widma sygnału

dyskretnego DFT, a także z algorytmem tzw. szybkiej transformaty Fouriera FFT.

Podstawowe definicje i wzory, dotyczące analizy korelacyjnej i widmowej, zgrupowano

w Dodatku do niniejszego ćwiczenia.


Jaka jest interpretacja fizyczna charakterystyki impulsowej g(k) obiektu

dynamicznego? Dlaczego charakterystyka ta bywa również nazywana funkcją

wagową (funkcją wagi) obiektu?

Dlaczego liczba istotnych wyrazów charakterystyki g(k) asymptotycznie stabilnego

liniowego układu dynamicznego zwykle ogranicza się, w praktyce, do stosunkowo

nieznacznej liczby M?


3

Ćwiczenie 5

Jak powiązać tę liczbę z liczbą pomiarów, niezbędną do statystycznie miarodajnego

opracowania wyników pomiarów sygnału wyjściowego układu y(k) w obecności

zakłóceń?

Przedstaw podstawowe własności widma sygnału dyskretnego. Na czym polega

zjawisko „przecieku” w widmie dyskretnym sygnału?

Jaka jest przyczyna stosowania innych niż prostokątne okien czasowych

w algorytmie wyznaczania widma badanego sygnału? Jakie znasz okna, stosowane

w tego rodzaju algorytmach?

3. WYMAGANIA BHP










Część A. Identyfikacja modelu obiektu dynamicznego za pomocą analizy korelacyjnej




o transmitancji:

Ustaw następujące wartości parametrów transmitancji obiektu: wzmocnienie k = 1,

stałe czasowe T1 = T2 = 1[s]. Wartość okresu próbkowania ustaw na 100 [ms].

2. Jako sygnały pobudzające układ ustaw najpierw wąski impuls (symulujący impuls

Diraca), a następnie skok jednostkowy (‘Step’) o jednostkowej amplitudzie. Liczbę

próbek sygnału wymuszającego ustaw na wartość 100.

3. Na wyjście układu wprowadź addytywne zakłócenie w postaci szumu

gaussowskiego z odchyleniem standardowym 0,05. W zakładce Preprocessing


4

Ćwiczenie 5

obserwuj odpowiedź skokową i impulsową układu. Wyniki zapisz do pliku za

pomocą przycisku ‘Save IRc’.

4. Wróć do zakładki Setup. Jako sygnału wymuszającego (‘Stimulus’) użyj 10000

próbek gaussowskiego szumu białego (‘Gaussian White Noise’). Wyznacz

odpowiedzi układu (‘Response’), zakłócone addytywnym szumem jak w punkcie 3.

Rejestrację oraz zapis do pliku dyskretnych sygnałów wymuszenia i odpowiedzi

należy przeprowadzić w trzech wersjach – odpowiednio dla czasów próbkowania:

T/2, T i 2T.

5. W zakładce Preprocessing obserwuj przebiegi sygnałów i jeśli to konieczne,

zmodyfikuj ustawienia w zakładce SetUp.

6. Przejdź do zakładki Autocorrelation i obserwuj funkcje autokorelacji sygnałów

‘Stimulus’ oraz ‘Response’. Porównaj wyniki uzyskane dla dwóch przypadków:

sygnałów z usuniętym trendem (‘detrend’) i bez usuwania trendu (‘direct’).

7. Zaobserwuj funkcję korelacji wzajemnej sygnałów w zakładce Cross-Correlation

i zbadaj jej kształt dla różnych wariantów sygnałów: wymuszenia i odpowiedzi.

Zaobserwuj właściwości funkcji korelacji wzajemnej i opisz je w sprawozdaniu.

8. Wyznacz funkcję autokorelacji „z próby” dyskretnego sygnału s(k) we wszystkich

zarejestrowanych wersjach: s1(k), s2(k) i s3(k). Przedstaw wykresy porównujące

uzyskane wyniki, stosując wspólną skalę czasu. Jaką wartość czasu próbkowania

(w stosunku do wartości stałych czasu obiektu) należy uznać za najbardziej

racjonalną?

9. Wyznacz model obiektu na podstawie analizy korelacyjnej w zakładce Impulse

response. Zbadaj wpływ okresu próbkowania, liczby próbek oraz liczby wyrazów

ciągu identyfikowanej odpowiedzi impulsowej układu.

10. Zweryfikuj poprawność metody za pomocą narzędzi dostępnych w zakładce

Validation. Przeprowadź analizę statystyczną wyników doświadczenia, programując

obliczenia na poziomie ufności α = 0,05. W tym celu ustaw liczbę interwałów, ‘No

of exp for CI’, na jakie zostanie podzielony sygnał badany (zwróć uwagę na

liczebność interwałów!!!) i wykonaj obliczenia przedziałów ufności za pomocą

narzędzia ‘Calculate CI’.

11. Zbadaj zależność szerokości przedziałów ufności od:

liczby danych w interwałach,

okresu próbkowania,

poziomu zakłóceń,

rzędu modeli.

Wyniki przedstaw w formie tabelarycznej i graficznej.


5

Ćwiczenie 5

Etap 2. Eksperymentalna weryfikacja wyników badań symulacyjnych:

12. Zweryfikuj rezultaty badań symulacyjnych, porównując je z wynikami badań

empirycznych. W tym celu dokonaj identyfikacji odpowiedzi obiektów: G1, G2, Filtr

1 i Filtr 2 w zestawie MABO, realizując program doświadczenia zawarty w punktach

1-12, z tą różnicą, że źródło danych w zakładce SetUp należy ustawić na ‘From

Experiment’. Z uwagi na brak wiedzy a priori na temat struktury obiektu może

okazać się konieczne testowanie różnych hipotez na temat rzędu modelu.


zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania.

Część B. Identyfikacja modelu obiektu dynamicznego za pomocą analizy widmowej




o transmitancji:



2. Wygeneruj 2048 próbek sygnału wymuszającego (‘Stimulus’) w postaci białego

szumu gaussowskiego (‘Gaussian White Noise’) i odpowiedzi układu na to

wymuszenie (‘Response’).

Wskazówka. Zalecana długość rejestrowanych przebiegów powinna stanowić potęgę

dwóch: N = 2n, gdzie n jest liczbą naturalną (np. 8, 9, 10). Okres próbkowania Ts

dobieramy w ten sposób, by w przedziale częstotliwości [0, 1/2Ts] mieściła się

(orientacyjnie) istotna część charakterystyki częstotliwościowej badanego obiektu.

3. Wygeneruj 2048 próbek sygnału wymuszającego (‘Stimulus’) w postaci białego

szumu gaussowskiego (‘Gaussian White Noise’) i odpowiedzi układu na to

wymuszenie (‘Response’).



5. W oknie ‘Frequency Analysis’ wyznaczyć widma (periodogramy) przebiegów

sygnałów ‘Stimulus’ i ‘Response’. Do wyznaczania periodogramów zaleca się

stosowanie okna Hamminga. Wyznaczając stosunek odpowiednich prążków

periodogramów uzyskujemy empiryczną reprezentację (przybliżenie) amplitudowej

charakterystyki częstotliwościowej badanego obiektu.


6

Ćwiczenie 5

6. W oknie ‘TF from FRF’ wyznacz charakterystyki Bodego amplitudy i fazy,

ustawiając rząd wielomianu transmitancji modelu równy 0 dla licznika i 1 lub 2 dla

mianownika.

7. W zakładce Synthesis wyznacz model nieparametryczny obiektu na podstawie

analizy widmowej. Zbadaj wpływ długości okresu próbkowania, liczby próbek

danych oraz liczby wyrazów identyfikowanego ciągu odpowiedzi impulsowej.


8. Zweryfikuj wyniki badań symulacyjnych, porównując je z rezultatami badań

empirycznych. W tym celu dokonaj identyfikacji obiektów G1, G2, Filtr 1 oraz Filtr 2

w zestawie MABO, realizując program doświadczenia opisany w punktach 1-7, z tą

różnicą, że źródło danych w zakładce SetUp należy ustawić na ‘From Experiment’.

Z uwagi na brak wiedzy a priori na temat struktury obiektu może okazać się

konieczne testowanie różnych hipotez na temat rzędu modelu.


zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania.











przeprowadzonych w trakcie ćwiczenia – w postaci odpowiednich tabel

i wykresów.

W szczególności należy scharakteryzować (posługując się wynikami

eksperymentów przeprowadzonych w ramach ćwiczenia) wpływ liczby próbek

sygnałów i okresu próbkowania na jakość identyfikacji. Które wyrazy gnk(k) nie

są statystycznie istotne? Czy wynik identyfikacji istotnie zależy od stosunku

wariancji zakłóceń do wariancji oddziaływań testujących?

W jaki sposób możemy ocenić dokładność wyników identyfikacji, uzyskanych

za pomocą analizy widmowej?

W jaki sposób wyniki analizy widmowej moglibyśmy potwierdzić na podstawie

analizy odpowiedzi czasowych badanego obiektu?


7

Ćwiczenie 5




8

Ćwiczenie 5

6. DODATEK

6.1. IDENTYFIKACJA OBIEKTU ZA POMOCĄ ANALIZY KORELACYJNEJ

6.1.1. Dynamiczne, stacjonarne układy liniowe

Dynamiczne układy liniowe, które należą do klasy układów stacjonarnych, mogą być

scharakteryzowane:

Za pomocą charakterystyk czasowych: odpowiedzi impulsowej g(t) lub skokowej h(t);

Za pomocą transmitancji operatorowej – dla układów nie zawierających opóźnienia

jest ona definiowana jako iloraz wielomianów licznika i mianownika:

G(s) = L(s)/M(s);

Za pomocą transmitancji widmowej: G(jω) = G(s)|s = jω

i wynikających z niej

charakterystyk częstotliwościowych układu;

Za pomocą macierzy: A, B, C, D, występujących w równaniach stanu i wyjść układu

dynamicznego:

Wszystkie wymienione wyżej sposoby opisu dynamiki prowadzą do jednoznacznego

scharakteryzowania własności modelowanego obiektu, tj. sposobu, w jaki układ dynamiczny

transformuje sygnał wejściowy u(t) na sygnał wyjściowy y(t). Charakterystyki czasowe

i częstotliwościowe są nazywane modelami nieparametrycznymi obiektów dynamicznych.

6.1.2. Zalecenia odnośnie wyboru czasu próbkowania Ts w układzie

regulacji automatycznej

Podane niżej zalecenia wypracowano w trakcie wieloletnich badań empirycznych nad

algorytmami sterowania układów dynamicznych. Lista zaleceń ogranicza się do kilku

najważniejszych:

Okres próbkowania powinien być przynajmniej dziesięciokrotnie mniejszy od

dominującej stałej czasowej Tmax sterowanego obiektu: Ts < Tmax/10;

W przypadku stosowania przybliżonego modelu sterowanego obiektu w postaci inercji

z opóźnieniem zalecane jest uzależnianie wartości okresu próbkowania od czasu

opóźnienia L – okres próbkowania zasadniczo powinien zawierać się w granicach:

0,05L < Ts < 0,3L.

W przypadku skrajnie dużych czasów opóźnienia występujących w obiekcie

sterowania, zaleca się wybrać wartość okresu próbkowania równą połowie czasu


9

Ćwiczenie 5

zdwojenia (Ts = 0,5Td) regulatora ciągłego PID dla danego obiektu. Dla bardzo

małych stałych czasowych całkowania zaleca się natomiast wybór: Ts = Ti/6.

W sytuacji, gdy znamy właściwości ciągłego układu regulacji, w którym umieszczony

zostanie impulsator, zaleca się uzależniać wartość okresu próbkowania od pożądanej

wartości czasu regulacji tr: Ts < tr/10 lub od pulsacji własnej układu ωr:

2π/Ts > 10ωr.

W powyższych zaleceniach określana jest górna granica okresu próbkowania. Wybranie

zbyt krótkiego czasu próbkowania Ts komplikuje jednak praktyczną realizację procesu

identyfikacji, ze względu na znane zjawisko skupiania się biegunów transmitancji dyskretnej

(transmitancja ta zależy od czasu próbkowania) badanego obiektu w pobliżu jedności.

Przytoczone zalecenia nie są jednak zbyt precyzyjne. Związane są one z takimi pojęciami

jak „dominująca stała czasowa”, „mały czas opóźnienia”, czy też „czas regulacji”, które same

przez się mogą być definiowane w różnych wersjach. Wyjątek w tym zestawie stanowi

pulsacja własna układu ωr, której wartość można precyzyjnie określić.

6.1.3. Charakterystyka impulsowa g(k)

Na podstawie charakterystyki impulsowej, wykorzystując sumę splotową (dyskretną wersję

całki splotu), można wyznaczyć odpowiedź układu y(k) na dowolne wymuszenie dyskretne

u(k):

0

)()()(i

ikuigTky (D5. 1)

lub, w równoważnej postaci:

)()()1()1()()0()( ikuigkugkugTky (D5. 2)

Po „ucięciu” charakterystyki g(k) do m pierwszych wyrazów (co jest równoznaczne

z przyjęciem założenia o nieistotności wyrazów charakterystyki dla późniejszych chwil

czasu: |g(i)| ≈ 0 dla i > m), równanie (D5. 2) staje się źródłem modelu regresyjnego,

liniowego względem parametrów:

cu)()( Tky (D5. 3)

w którym: c = T [g(0), g(1), ..., g(m-1)]T, (u) = [u(k), u(k-1), ..., u(k-m+1)]

T.

W modelu „skończonego splotu” wyjście jest określane przez sumę ważoną m ostatnich

realizacji sterowania. Charakterystykę impulsową, wyrażającą kolejne współczynniki wagi,

nazywa się w związku z tym funkcją wagową. Dyskretny model splotowy jest podstawą

opracowania danych pomiarowych w ramach niniejszego ćwiczenia laboratoryjnego.

Model typu (D5. 3) (ze współczynnikami wyznaczonymi za pomocą estymatora NK)

może być zastosowany do wyznaczenia ocen gest(k) poszczególnych wyrazów ciągu

czasowego g(k), stanowiącego dyskretną charakterystykę impulsową (funkcją wagową)


10

Ćwiczenie 5

badanego obiektu dynamicznego. Konieczna jest przy tym jedynie znajomość sekwencji

wejść u(k) o dostatecznej długości i, sprzężonej z nią, sekwencji pomiarów wyjścia y(k) tego

obiektu.

6.1.4. Analiza korelacyjna

Analiza korelacyjna jest postępowaniem prowadzącym do tego samego celu przy

zastosowaniu Wienera-Hopfa. Równanie to określa związek między funkcjami korelacyjnymi

Ruu i Ryy:

0

)()(

)1()1()1()1()()0()(

i

uu

uuuuuuuy

ikRig

rkRrgkRgkRgkR

(D5. 4)

Przedstawia ono także równanie sumy splotowej z udziałem funkcji wagowej g(k). Po

ograniczeniu składników sumy do wyrazów istotnie różniących się od zera, otrzymujemy

analogiczny do poprzedniego model liniowy w postaci:

1

0

)()()(m

i

uuuy ikRigkR (D5. 5)

W modelu (D5. 5) realizacjom wyjścia y(k) odpowiadają realizacje funkcji korelacji

wzajemnej Ruy(k), a sygnałowi wejściowemu – wartości funkcji korelacji własnej tego

sygnału: (u) = [Ruu(k), Ruu(k-1), ..., Ruu(k-m+1)]T.

Podstawiając k = 0, 1, ..., m-1, po uzyskaniu ocen funkcji korelacyjnych: Rest, uu(k)

i Rest, uy(k), otrzymujemy układ m równań liniowych z tą samą liczbą niewiadomych, które są

wartościami charakterystyki impulsowej układu w poszczególnych chwilach czasu:

Testestestest mggg )1(,),1(),0( g (D5. 6)

Ze względu na postać Ruu(k), szczególnie wartościowymi sygnałami testującymi

w analizie korelacyjnej są sygnały szumu białego lub sygnały o zbliżonych do niego

własnościach.

6.2. IDENTYFIKACJA OBIEKTU ZA POMOCĄ ANALIZY WIDMOWEJ

6.2.1. Widmowe reprezentacje sygnałów

Szereg Fouriera jest przekształceniem stosowanym do analizy sygnałów okresowych.

Składowe okresowe sygnałów deterministycznych (o okresie T0) opisuje się z reguły za

pomocą skończonej liczby harmonicznych (np. l składowych) szeregu Fouriera; np.:

l

i

ii ticats1

00 sin)( (D5. 7)


11

Ćwiczenie 5

Zapis równoważny ma postać:

l

i

iii tibtiaats1

000 sincos)( (D5. 8)

gdzie: 00 /2 T .

Występujące we wzorze (D5. 8) współczynniki ustala się za pomocą następujących wyrażeń:

0

0

0

0

0

0

;sin)(2

1

;cos)(2

1;)(

2

1

0

0

0

00

0

T

T

i

T

T

i

T

T

dttitsT

b

dttitsT

adttsT

a

(D5. 8)

W wyniku rozkładu sygnału na szereg Fouriera uzyskuje się wartości liczbowe

parametrów (amplitud i faz) składowych harmonicznych, występujących w danym sygnale,

o częstotliwościach będących wilekorotnością częstotliwości podstawowej 00 /2 T .

Całka Fouriera wiąże się z przekształceniem całkowym:

;)()( dtetsjS tj (D5. 9)

stosowanym dla ciągłych sygnałów aperiodycznych s(t) o własności:

;)( dtts (D5. 10)

Uzyskuje się w ten sposób widmo ciągłe analizowanego sygnału. Transformata Fouriera

S(jω) jest funkcją zespoloną pulsacji ω:

)()()( jVUjS (D5. 11)

Funkcję:

)()()( 22 VUjS (D5. 12)

nazywamy widmem amplitudowym, a funkcję

)(

)()(

U

Varctg (D5. 13)

nazywamy widmem fazowym sygnału.

Znajomość widma umożliwia odtworzenie sygnału za pomocą odwrotnego

przekształcenia Fouriera:

j

j

tj jdejSj

ts );()(2

1)(

(D5. 14)


12

Ćwiczenie 5

Dyskretne przekształcenie Fouriera jest, reprezentowanym przez nieskończoną sumę

wyrazów, odpowiednikiem przekształcenia całkowego (D5. 9), stosowanym przy analizie

sygnałów dyskretnych (ciągów czasowych) s(kT):

k

kTjeTksjS )()(* (D5. 15)

W praktyce, w wyniku obserwacji sygnału w ograniczonym przedziale czasowym,

dysponujemy jedynie liczbą (2N+1) wartości sygnału. W obliczeniach stosuje się wówczas

sumę skończoną:

N

Nk

NmkjeTksjS /* )()( (D5. 16)

gdzie:

,

która jest nadal nazywana dyskretnym przekształceniem Fouriera (ang. DFT – Discrete

Fourier Transform).

Analiza sygnałów za pomocą przekształcenia DFT jest bardzo popularna. Widma

amplitudowe i fazowe ujawniają ukryte właściwości sygnału, a także mogą stanowić materiał

wyjściowy do jego aktywnej obróbki (np. w celu poprawy stosunku sygnału do szumu).

Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. IDFT – Inverse Discrete Fourier

Transform) prowadzi do odtworzenia postaci czasowej sygnału:

N

Nm

NmkjejSN

Tks /* )(2

1)( (D5. 17)

Gęstość widmową mocy oznacza się symbolem poprzez Φss(ωT). Wielkość tę stosuje się

przede wszystkim przy analizie sygnałów stochastycznych. Gęstość widmową mocy możemy

uzyskać poddając funkcję autokorelacji analizowanego sygnału Rss(τ) przekształceniu

Fouriera. W przypadku analizy stacjonarnego ciągu czasowego funkcję autokorelacji Rss(k)

przekształca się, stosując dyskretną wersję transformaty Fouriera:

m

kTj

ssss ekRTT )()( (D5. 18)

Funkcję widmowej gęstości mocy można interpretować jako informację o wariancji

składnika ciągu s(k), z widmem ograniczonym do przedziału częstotliwości: [ω-δω, ω+δω].

Za pomocą symbolu ωT (gdzie T oznacza czas próbkowania) oznaczana jest w dalszej

części niniejszego dodatku tzw. częstotliwość względna, przyjmującą wartości z zakresu od

0 do .

Funkcja wzajemnej gęstości widmowej mocy Φs1, s2(ωT) jest charakterystyką

częstotliwościową związku korelacyjnego dwóch sygnałów losowych. Wielkość tę definiuje


13

Ćwiczenie 5

się za pomocą, analogicznych do przypadku gęstości widmowej, przekształceń Fouriera

funkcji korelacji wzajemnej (lub kowariancji wzajemnej) dwóch sygnałów stochastycznych.

Funkcję wzajemnej gęstości widmowej mocy można interpretować jako informację o widmie

sygnału, będącego iloczynem dwóch badanych ciągów czasowych.

6.2.2. Technika obliczeń numerycznych transformaty DFT

Technika obliczeń cyfrowych DFT została znacznie udoskonalona przez Cooley’a

i Tuckey’a w 1965 r., w wyniku opracowania algorytmu szybkiego przekształcenia Fouriera

(ang. FFT – Fast Fourier Transform). Przy wyznaczaniu transformaty FFT należy

dysponować zbiorem wyrazów analizowanego ciągu czasowego o liczebności N, która jest

potęgą liczby 2 (N = 2n). W przypadku mniejszej liczby próbek niektóre algorytmy

automatycznie uzupełniają ciąg czasowy zerami („dopełniając” liczbę próbek do najbliższej

potęgi dwójki), jednak uzyskana wówczas transformata FFT nie jest dokładna.

Problemem sprzężonym z szerokością stosowanego okna czasowego (z którego wynika

liczebność próbki) jest jego ukształtowanie w sposób zmniejszający tzw. przecieki

przekształcenia DFT, które są skutkiem skończonej, okrojonej w stosunku do teoretycznie

wymaganej, liczebności zbioru próbek badanej sygnału.

Przejście sygnału s(k) przez liniowy i stacjonarny obiekt dynamiczny wiąże się ze zmianą

jego postaci, a więc i modelu sygnału. Postać wyjściową y(k) sygnału można wyznaczyć

m.in. za pomocą równania splotu, wykorzystującego charakterystykę impulsową (funkcję

wagową) g(k) danego obiektu. Równanie splotu w skończonej wersji dyskretnej ma postać:

k

i

iksigky0

)()()( (D5. 19)

Podwójny splot jest natomiast stosowany przy określeniu związku między funkcjami

autokorelacyjnymi sygnałów występujących na wejściu i wyjściu badanego obiektu:

0 0

)()()()(i j

ssyy jikRjgigkR (D5. 20)

Pośrednio prowadzi to, w wyniku zastosowania DFT do obu stron równania (D5. 20), do

ustalenia związków w dziedzinie częstotliwości pomiędzy sygnałami: wejściowym

i wyjściowym. Gęstości widmowe obu sygnałów możemy wyrazić za pomocą modułu

transmitancji widmowej układu – zachodzi na przykład zależność:

2

)()( Tj

ssyy eGTT (D5. 21)

Związek tego typu może stanowić punkt wyjściowy do układowej interpretacji sygnału

losowego. Interpretacja ta wiąże się ze zjawiskiem pobudzania liniowego układu

dynamicznego przez sygnał typu szumu białego ε(k) z nieskończonym, równomiernym


14

Ćwiczenie 5

rozkładem widma gęstości mocy σ2. Gęstość widmową sygnału wyjściowego możemy

wówczas uważać za zależną wyłącznie od transmitancji pewnego obiektu i dokonać tzw.

faktoryzacji widmowej ciągu:

TjTj

yy eGeGT 2)( (D5. 22)

Właściwości stacjonarnego procesu stochastycznego, przy stosunkowo nieznacznych

(ściślej: dopuszczalnych) błędach, można z reguły scharakteryzować za pomocą transmitancji

filtru koloryzującego, przez który przepuszcza się sygnał szumu białego o idealizowanych

własnościach probabilistycznych.

6.2.3. Analiza widmowa jako narzędzie identyfikacji

Analiza widmowa może stanowić narzędzie do budowy modelu częstotliwościowego

liniowego układu dynamicznego. Podstawą analizy widmowej są zależności między gęstością

widmową sygnałów: wejściowego Φuu(ω), wyjściowego Φyy(ω) i zakłóceń Φzz(ω). Uzyskuje

się je w rezultacie zastosowania transformacji Fouriera do obu stron równania wiążącego

funkcje kowariancji tych sygnałów. W wersji ciągłej równanie to zapisujemy w postaci:

0 0

)()()()( ddRggR ssyy (D5. 23)

Dodatkowo uwzględniając w równaniu (D5. 23) obecność addytywnych zakłóceń z(t),

otrzymujemy na tej podstawie zależność spektralną w postaci:

)()()()(2

zzuuyy jG (D5. 24)

Analogicznie, estymacja funkcji gęstości widmowej w wersji dyskretnej może być

przeprowadzona za pomocą dyskretnego przekształcenia Fouriera funkcji korelacyjnych Ruu(i)

oraz Ryy(i):

N

Nk

Tkj

yy

Tj

yy ekkRe )()(ˆ)(ˆ0 (D5. 25)

Przekształcenie (D5. 25) wyprowadzono przy uwzględnieniu tzw. okna obserwacji Ω0(k).

Innym sposobem estymacji gęstości widmowej sygnału jest bezpośrednie zastosowanie

transformaty Fouriera (np. obliczonej w wyniku zastosowania algorytmu szybkiego

przekształcenia Fouriera, FFT) zarejestrowanych sygnałów pomiarowych: u(i), y(i). Oblicza

się wówczas (dla ωi = 0, 2/N, 4/N, ...) transformaty:

N

i

j

N

N

i

j

Nii eiuUeiyY

11

)()(;)()( (D5. 26)

a następnie, na ich podstawie realizacje funkcji gęstości widmowej:


15

Ćwiczenie 5

22)(

2

1)(ˆ;)(

2

1)(ˆ

NyyNuu Y

NU

N (D5. 27)

Znajomość tych funkcji pozwala na odtworzenie spektralnych amplitudowych

charakterystyk częstotliwościowych badanego układu dynamicznego (na podstawie podanych

wyżej zależności). W przypadku niezakłóconych pomiarów gęstość widmowa sygnału

wyjściowego jest równa gęstości widmowej wejścia, pomnożonej przez kwadrat modułu

transmitancji obiektu.







Kod: ES1C721 359

Opracowali




ĆWICZENIE 6

IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELI

AUTOREGRESYJNYCH CIĄGÓW CZASOWYCH


2

Ćwiczenie 6

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności identyfikacji parametrów ciągu czasowego,

reprezentującego obserwowaną wielkość wyjściowa procesu deterministycznego. W trakcie

eksperymentów ustalany jest rząd i estymaty parametrów liniowego modelu autoregresyjnego

(AR) stacjonarnego ciągu czasowego. Analizowana jest także przydatność uzyskanego

modelu AR do predykcji kolejnych wyrazów obserwowanego szeregu czasowego. Badany

jest również wpływ długości okresu próbkowania na wynikową postać modelu i jakość

predykcji, przeprowadzanej na określony horyzont czasowy w przód.


Należy przypomnieć wiadomości na temat głównych typów rekurencyjnych algorytmów

identyfikacji (zostały one przedstawione w Dodatku). Algorytmy rekurencyjne, działające

w trybie nadążnym, wprowadzają poprawki estymowanych parametrów modelu po każdym

nowym pomiarze.

Należy powtórzyć materiał z wykładu na temat stacjonarnych procesów stochastycznych.

Liniowe modele parametryczne ciągów czasowych zostały opisane w Dodatku.


Jaki proces stochastyczny nazywamy stacjonarnym?

Przedstaw definicję funkcji autokorelacji procesu stacjonarnego. Czy funkcja

autokorelacji stacjonarnego ciągu czasowego ma charakter deterministyczny? W jaki

sposób normalizuje się jej przebieg?

Opisz jakościowy związek pomiędzy przebiegiem funkcji autokorelacji sygnału

a prędkością jego zmian.

Czy ten sam ciąg czasowy może być charakteryzowany modelami autoregresyjnymi

o różnych strukturach (np. AR i ARMA)?

Jakie kryteria preferuje się przy wyborze struktury modelu opisującego dany ciąg

czasowy?

3. WYMAGANIA BHP








3

Ćwiczenie 6





1. W zakładce SetUp głównego menu programu wybierz symulację (From

Simulation) jako źródło danych. Wybierz obiekt drugiego rzędu, o transmitancji:



Wskazówka. Pomiary powinny odzwierciedlać stan ustalony, tzn. po każdej zmianie

wymuszenia na wejściu układu, przed pomiarem wartości wielkości wyjściowej,

należy odczekać przez czas trwania procesu przejściowego. Czas ten należy ustalić

za pomocą próby skoku jednostkowego. Okres próbkowania, w zależności od tych

ustaleń, może wymagać skorygowania.

2. Wygeneruj 1000 próbek sygnału wymuszającego ‘Stimulus’ w postaci addytywnego

szumu gaussowskiego (‘Gaussian White Noise’), wprowadzanego na wejście układu

dynamicznego i wyznacz odpowiedź układu (‘Response’). Rejestrację oraz zapis do

pliku dyskretnych sygnałów wymuszenia i odpowiedzi należy przeprowadzić

w trzech wersjach – odpowiednio dla czasów próbkowania: T/2, T i 2T.



4. Wyznacz „z próby” funkcję autokorelacji dyskretnego sygnału s(k) we wszystkich

zarejestrowanych wersjach s1(k), s2(k), s3(k). Uzyskane wyniki przedstaw w formie

graficznej, stosując wspólną skalę czasu i porównaj wykresy funkcji autokorelacji.

Jaką wartość czasu próbkowania należy uznać za najbardziej racjonalną?

Komentarz. Wynikiem analizy korelacyjnej są oszacowania przebiegu

charakterystyk czasowych badanego obiektu (np. odpowiedzi impulsowej). Dobre

przybliżenie charakterystyki impulsowej lub skokowej może posłużyć m.in. za punkt

wyjściowy do postawienia hipotezy startowej na temat struktury modelu

parametrycznego obiektu, a także odegrać istotną rolę w fazie końcowych analiz,

weryfikujących wyniki identyfikacji.

5. W oknie ‘Impulse Response’ wyznacz odpowiedź impulsową układu. Dostarcza ona

informacji o poprawności doboru okresu próbkowania. Okres powinien być dobrany

tak, aby charakterystyka impulsowa posiadała przynajmniej kilka znaczących


4

Ćwiczenie 6

wyrazów. Liczbę wyrazów można regulować, ustawiając wartość parametru ‘num of

points (t >= 0)’.

6. W oknie ‘AR Model’ wyznacz postać autoregresyjnego modelu stochastycznego

ciągu czasowego AR. Zwróć uwagę na zależność jakości modelu (wskaźnika błędu

średniokwadratowego, MSE) w zależności od rzędu modelu (‘Order of AR’). Wyniki

eksperymentu przedstaw w formie tabeli lub wykresu.

7. Podobnie uczyń z obserwacjami dotyczącymi wartości wskaźnika jakości modelu

w zależności od horyzontu predykcji (‘prediction step’) i okresu próbkowania.

Wyniki przedstaw w formie tabeli lub wykresu.

8. Przeprowadź analizę statystyczną wyników doświadczenia, programując obliczenia

na poziomie ufności α = 0,05. W tym celu ustaw liczbę interwałów, na jakie

podzielony zostanie sygnał badany ‘No of exp for CI’ (naleźy zwrócić uwagę na

liczebność interwałów!!!) i wykonaj obliczenia przedziałów ufności, wybierając

zakładkę Calculate CI.

9. Zbadaj zależność szerokości przedziałów ufności od liczby danych w kolejnych

interwałach, okresu próbkowania i rzędu modeli.

10. Wyznacz oceny współczynników modelu ciągu czasowego, w strukturze modelu AR

ustalonego wcześniej rzędu, posługując się układem równań Yule’a-Walkera. Czy

różnice wartości parametrów modelu są zauważalne? Przeprowadź również analizę

statystyczną uzyskanych wyników.

11. Wybierz rząd modelu i wyznaczone wartości jego współczynników, minimalizujące

wskaźnik MSE i przejdź do okna ‘Experiment’. Wykonaj eksperyment numeryczny

porównujący wyjście obiektu i wyjście modelu. Dokonaj oceny jakości modelu

w zadaniu predykcji szeregu czasowego na jeden (s(k)) i na dwa (s(k+1)) takty do

przodu.



empirycznymi. W tym celu dokonaj identyfikacji obiektów G1, G2, Filtr 1 i Filtr 2

w zestawie MABO, realizując program ćwiczenia zawarty w punktach 1-11, z tą





zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania. Schemat

połączeń układu, wykorzystywanego w Etapie 2 ćwiczenia, został przedstawiony na

rys. 6. 1.


5

Ćwiczenie 6

Rys. 6. 1. Schemat układu, wykorzystywanego w eksperymencie identyfikacji szeregu czasowego












Elementy oceny jakości uzyskanych modeli predykcyjnych, m.in.:

Czy ciąg czasowy będący różnicą sygnału rzeczywistego i sygnału uzyskiwanego

z predykcji może być uważany za realizację białego szumu?

Jakie przesłanki zadecydowały o końcowym wyborze modelu badanego sygnału?

Jaka jest szerokość przedziałów ufności uzyskiwanych (przy α = 0,05) dla ocen

współczynników w modelu AR?




6

Ćwiczenie 6

6. DODATEK

6.1. MODEL SYGNAŁU W POSTACI RÓWNANIA RÓŻNICOWEGO

W przypadku sygnałów deterministycznych można zapisać równanie różnicowe, wiążące

wyrazy modelowanego ciągu. Na przykład dla ciągu harmonicznego: s(k) = A sin(ωTk + );

z częstotliwością względną ωT (gdzie T – okres próbkowania), równanie tego typu przyjmuje

postać:

0)2()1()cos(2)( ksksTks (D6. 1)

Model autoregresyjny, AR (ang. AutoRegressive) sygnału stochastycznego s(k)

możemy interpretować jako wynik oddziaływania szumem białym ε(k) na układ dynamiczny

(filtr koloryzujący) o transmitancji:

)(

1)(

1

1

zD

zF (D6. 2)

w której: D(z-1

) = 1 + d1 z-1

+ ... + dr z-r; jest wielomianem r-tego stopnia.

Wyznaczenie współczynników wielomianu D(z-1

) jest równoważne określeniu modelu

analizowanego sygnału w postaci równania różnicowego o następującej postaci:

)()()2()1()( 21 krksdksdksdks r (D6. 3)

Model ze średnią ruchomą, MA (ang. Moving Average) sygnału stochastycznego s(k)

jest charakteryzowany za pomocą równania różnicowego:

)()2()1()()( 21 pkckckckks p (D6. 4)

tj. przez wielomian: C(z-1

) = 1 + c1 z-1

+ ... + cp z-p

.

Współczynniki wielomianu odgrywają tu rolę współczynników wagi dla p ostatnich

realizacji białego szumu.

Filtry koloryzujące szum biały, uzyskiwane za pomocą modeli typu MA, mają skończoną

odpowiedź impulsową (dlaczego?). Stosownie do tej cechy są nazywane filtrami

o skończonej odpowiedzi impulsowej, SOI (ang. FIR – finite impulse response),

w przeciwieństwie do innej klasy filtrów, których odpowiedź na impuls dyskretny zawiera

nieskończoną liczbę wyrazów i są w związku z tym określane jako filtry o nieskończonej

odpowiedzi impulsowej, NOI (ang. IIR – infinite impulse response).

Model ARMA wynika z zastosowania filtru koloryzującego sygnał szumu białego

o postaci transmitancji zawierającej oba, określone w poprzednich modelach wielomiany.

Transmitancja filtru: F(z-1

) = C(z-1

)/D(z-1

) prowadzi do modelu analizowanego sygnału

w postaci równania różnicowego:

)()1()()()1()( 11 pkckckrksdksdks pr (D6. 5)


7

Ćwiczenie 6

Sumaryczna liczba stosowanych w modelu ARMA współczynników wielomianów, przy

charakteryzowaniu właściwości sygnału z określoną dokładnością, nie musi być większa

(zwykle nawet jest mniejsza) niż w przypadku modeli prostszych, określanych jednym

wielomianem (AR lub MA).

Modele ARIMA są formułowane dla klasy niestacjonarnych(!) sygnałów

stochastycznych, w których występuje określona tendencja zmian typu wielomianowego.

Model sygnału w tej sytuacji reprezentuje wyrażenie:

)(

)(1

)()(

11

1

kzDz

zCks

i

(D6. 6)

Transmitancja w torze sygnału zawiera składnik sumacyjny (całkujący) i-tego rzędu.

Równoważne równanie różnicowe ma postać:

)()1()(

)()1()(

1

1

pkckck

rksdksdks

p

i

r

ii

(D6. 7)

w której przez: ii zks )1()( 1 oznaczono i-tą różnicę sygnału s(k). Czasami stosowane są

również odpowiedniki tego modelu, w wersjach odpowiadających strukturom AR (ARI) i MA

(MAI).

6.2. FUNKCJE KORELACYJNE CIĄGÓW CZASOWYCH

Składniki probabilistyczne w stacjonarnym ciągu czasowym nie zmieniają, wraz z upływem

czasu, swoich własności charakteryzowanych między innymi poprzez:

funkcję gęstości prawdopodobieństwa, f(s):

)()( tsftsf (D6. 8)

dla każdej z rozpatrywanych chwil czasu: t, t + τ;

funkcję autokorelacji, Rss(), która wyraża współzależność realizacji sygnału

stacjonarnego przy przesunięciach czasowych i jest definiowana poprzez zależności:

T

TT

ss dtstsT

R )()(2

1lim)( dla sygnałów ciągłych (D6. 9)

N

NkN

ss mksksN

mR )()(12

1lim)( dla sygnałów dyskretnych (D6. 10)

funkcję autokowariancji, Css(), którą definiuje się analogicznie jak funkcję

autokorelacji (po wyeliminowaniu z rozważań składowej stałej sygnału) za pomocą

zależności:


8

Ćwiczenie 6

T

TT

ss dstsstsT

C )()(2

1lim)( dla sygnałów ciągłych (D6. 11)

N

NkN

ss smkssksN

mC )()(12

1lim)( dla sygnałów dyskretnych (D6. 12)

Dyskretna funkcja autokorelacji Rss(k) ma następujące właściwości:

jest symetryczna: Rss(k) = Rss(-k);

osiąga największą wartość w zerze: Rss(0) > Rss(k);

obecność składowej periodycznej w sygnale s(t) implikuje wystąpienie składowej

o tym samym charakterze w jego funkcji autokorelacyjnej Rss(k);

brak składowych okresowych i składowej stałej s0 w sygnale s(t) implikuje:

0)(lim

kRssk

;

wariancja charakteryzowanego sygnału ma wówczas wartość: σs2 = Rss(0);

obecność niezerowej składowej stałej s0 w sygnale s(t) implikuje: 2

0)(lim skRssk

;

wariancja sygnału w tej sytuacji wynosi: σs2 = Rss(0) - Rss(∞).

W praktyce, posługując się skończonym (o długości tk lub, w wersji dyskretnej, NT)

przebiegiem czasowym zarejestrowanych wartości sygnału stochastycznego, wylicza się

jedynie realizacje zmiennych losowych, związanych z poszczególnymi wyrazami funkcji

autokorelacji Rss(m). Wzór, który może posłużyć do oceny wartości wyrazu Rss(m) funkcji

autokorelacji, nazywany jego estymatorem, ma postać:

lN

k

ssest mkskslN

mR1

, )()(1

)( (D6. 13)

Przy wzroście wartości argumentu m, rośnie również wariancja oceny wartości funkcji

korelacji. Efekt ten jest wynikiem zmniejszania się liczby (N - l) uśrednianych realizacji

iloczynu przy ustalonej liczbie obserwacji sygnału N. Ciągi czasowe, na podstawie których

wyznaczane są oceny funkcji korelacji, powinny być w związku z tym odpowiednio długie.

Wyrażenie określające funkcję korelacji wzajemnej dwóch sygnałów dyskretnych s1(t)

i s2(t) ma postać:

N

NkN

ss lksksN

lR )()(12

1lim)( 212,1 (D6. 14)

a funkcja ich kowariancji wzajemnej:

N

NkN

ss slkssksN

lC 22112,1 )()(12

1lim)( (D6. 15)

jest formułowana analogicznie do poprzednio przedstawionych funkcji korelacyjnych

pojedynczego sygnału.







Kod: ES1C721 359

Opracowali




ĆWICZENIE 7

IDENTYFIKACJA MODELU OBIEKTU REGULACJI

W STRUKTURZE ARX


2

Ćwiczenie 7

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności identyfikacji stacjonarnego, liniowego procesu

dynamicznego o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO). W celu określania racjonalnej

struktury (rzędu) modelu badanego procesu, sekwencje pomiarów wejścia u(k) i wyjścia y(k)

obiektu są wielokrotnie przetwarzane. W trakcie obliczeń korzysta się, z niektórych

możliwości rozwiązywania zadań identyfikacji modeli obiektów dynamicznych za pomocą

pakietu ‘Identification LabVIEW’. Stosowany jest przy tym model najmniejszych kwadratów

ARX i metoda zmiennej instrumentalnej. Wyznacza się także wartości parametrów prostego

probabilistycznego modelu toru zakłóceń.


Należy powtórzyć materiał z wykładu na temat identyfikacji modeli obiektów dynamicznych

i zapoznać się z treścią Dodatku do niniejszej instrukcji. Przy powtarzaniu materiału należy

zwrócić uwagę na podstawowe rodzaje struktur modeli obiektów dynamicznych, tworzonych

z jednoczesnym uwzględnieniem modelu toru zakłócenia, a także na tematy związane

z estymacją parametrów tych modeli.


W czym tkwi główna różnica w sposobie rozwiązywania zadań identyfikacji

obiektów statycznych i procesów dynamicznych?

Wymień rodzaje modeli liniowych obiektów dynamicznych. Jaka jest główna

przyczyna ich znacznej różnorodności?

Jaki program badań obliczeniowych należy zrealizować, by przyjąć najbardziej

prawdopodobną hipotezę na temat wartości opóźnienia „d” i stopnia wielomianów

A(z-1

) oraz B(z-1

), występujących w modelu ARX identyfikowanego procesu?

3. WYMAGANIA BHP








3

Ćwiczenie 7








stałe czasowe T1 = T2 = 1 [s]. Wartość okresu próbkowania ustaw na 250 [ms].

2. Wygeneruj 1000 próbek sygnału wymuszającego ‘Stimulus’ w postaci addytywnego

szumu gaussowskiego (‘Gaussian White Noise’), wprowadzanego na wejście układu

dynamicznego i wyznacz odpowiedź układu (‘Response’).


zmodyfikuj ustawienia w zakładce SetUp. Dane zostaną podzielone na część

przeznaczoną do estymacji parametrów modelu i na tę, która w dalszej fazie obliczeń

posłuży do weryfikacji wyników.

4. W oknie ‘Impulse Response’ wyznacz odpowiedź impulsową układu, która jest

źródłem informacji o poprawności doboru okresu próbkowania. Okres powinien być

dobrany tak, aby charakterystyka impulsowa miała przynajmniej kilka znaczących

wyrazów (domyślnie wartość okresu próbkowania ustawiono na 100 ms). Liczbę

wyrazów odpowiedzi można regulować ustawiając wartość ‘num of points (t >= 0)’.

5. W oknie ‘ARX Estimation’ wyznacz, stosując estymator NK, wektor estymat

współczynników wielomianów transmitancji dyskretnej A(z-1

) i B(z-1

). Zakładając, że

wybrana struktura modelu ARX jest dostatecznie reprezentatywna dla

identyfikowanego obiektu, wektor parametrów przyjmuje następującą ogólną postać:

TnBnAest bbbaaa ,,,,,,, 2121 c (7. 1)

Wektor zmiennych regresyjnych w modelu NK możemy wówczas przedstawić jako:

Tu nBdkudkudkunAkykyky )(,),1(),(),(,),2(),1( U

(7. 2)

Na początku przyjmij, że stopień wielomianu transmitancji mianownika nA = 2,

licznika nB = 2, a opóźnienie d = 1. Przy braku wiedzy na temat struktury modelu,

przyjmuje się model możliwie prosty, a w przypadku, kiedy ocena dopasowania

modelu będzie niezadowalająca, zwiększa się jego rząd.


4

Ćwiczenie 7

6. Po wyznaczeniu modelu obiektu porównaj zarejestrowany przebieg y(k)

z przebiegiem sygnału predykcji yest(k), uzyskiwanego na podstawie tego modelu.

Przy porównaniu zastosuj zarówno formę graficzną (wykresy sygnałów), jak

i wskaźnik średniokwadratowy.

7. W celu przeprowadzenia ewentualnej korekty założeń początkowych odnośnie

stopni wielomianów i opóźnienia w modelu badanego obiektu, powtórz działania

kilkakrotnie, wybierając za każdym razem różne stopnie wielomianów nA, nB oraz

wielkość opóźnienia d. Za podstawę oceny jakości modelu przyjmij poziom

średniokwadratowego błędu predykcji. Błąd ten jest wyznaczany na podstawie

weryfikacyjnego zbioru obserwacji, tzn. obserwacji nieuwzględnianych w trakcie

ustalania ocen parametrów. Wyniki badań obliczeniowych związanych z ustaleniem

struktury modelu przedstaw w formie tabelarycznej. Jakie wnioski wypływają

z wyników obliczeń? Czy przyjęto prawidłowy rząd modelu?

8. Podejmij próbę polepszenia jakości ocen parametrów modelu ARX, posługując się

metodą zmiennej instrumentalnej. Czy model otrzymany przy zastosowaniu

zmiennych instrumentalnych różni się istotnie od modelu ustalonego wcześniej, bez

stosowania zmiennych instrumentalnych?

9. Przeprowadź modelowanie i identyfikację modelu w przestrzeni stanów w zakładce

State-Space model Estimation. Posłuży on do porównania jakości modelu ARX

z poprzedniej zakładki.

10. Przeprowadź końcową weryfikację uzyskanego modelu badanego obiektu,

porównując symulowane przebiegi jego odpowiedzi skokowej dla obu modeli, jak

również ich ciągłe transmitancje. Czy uzyskane wyniki odpowiadają rzeczywistości?



empirycznymi. W tym celu dokonaj identyfikacji obiektów G1, G2, Filtr 1 i Filtr 2

w zestawie MABO, realizując program ćwiczenia zawarty w punktach 1-10, z tą





zwłaszcza odpowiedniego doboru liczby próbek i okresu próbkowania. Schemat

połączeń układu, wykorzystywanego w Etapie 2 ćwiczenia, został przedstawiony na

rys. 7. 1.


5

Ćwiczenie 7

Rys. 7. 1. Schemat układu, wykorzystywanego w eksperymencie identyfikacji modelu obiektu

Kolejność działań w procesie identyfikacji obiektu dynamicznego

1. Zaplanowanie i przeprowadzenie doświadczenia w celu uzyskania dostatecznie

reprezentatywnego zbioru danych pomiarowych do identyfikacji badanego obiektu.

Komentarz. Jeżeli, z założenia, możliwe jest wyłącznie przeprowadzenie eksperymentu

biernego, to zaplanowanie eksperymentu polega na wyborze z zarejestrowanych plików

danych takich podzbiorów, które niosą szczególnie dużo informacji o obiekcie. Mogą to

być np. okresy istotnych zmian oddziaływań sterujących, silnie uwydatnione procesy

przejściowe, itp. Zalecane jest wydzielenie z danych eksperymentalnych podzbioru

kontrolnego (testowego). Przy niedostatecznych zasobach informacji a priori, w procesie

identyfikacji może być potrzebna realizacja zadań dodatkowych, np. konieczność

sprawdzenia hipotez na temat liniowości i stacjonarności badanego obiektu.

2. Z reguły konieczne jest wstępne przetworzenie „danych surowych”. Działania te polegają

w szczególności na usunięciu z zarejestrowanych ciągów czasowych niezerowych

średnich i trendów zmian wartości średniej (np. w wyniku dryfu zakłóceń), filtracji

wysokoczęstotliwościowej, normalizacji danych, itp.

3. Zaleca się przeprowadzenie analizy korelacyjnej zarejestrowanych sygnałów. Wynikiem

tej analizy są oszacowania przebiegu charakterystyk czasowych badanego obiektu. Dobre

przybliżenie charakterystyki impulsowej lub skokowej może posłużyć m.in. za punkt

wyjścia do postawienia hipotezy startowej na temat struktury modelu parametrycznego

obiektu, a także odegrać istotną rolę w fazie końcowych analiz, weryfikujących wyniki

identyfikacji.

4. Przy braku informacji wstępnej o obiekcie wskazane jest wysunięcie kilku hipotez na

temat rzędów wielomianów A(z-1

) i B(z-1

), a także wielkości opóźnienia d (mierzonego

w taktach) w modelu badanego obiektu. Rozwiązując kilkakrotnie problem identyfikacji

uzyskujemy możliwość przeprowadzenia porównań i w rezultacie wyboru struktury

modelu możliwie prostej i dostatecznie dopasowanej do wyników pomiarów.


6

Ćwiczenie 7

5. Konieczne jest wykonanie końcowych działań weryfikujących jakość wyników

eksperymentu identyfikacyjnego. Szczególnie skuteczną może być na przykład ocena

jakości predykcji za pomocą uzyskanego modelu, wykonanej przy użyciu danych

z podzbiorów weryfikacyjnych, niewykorzystywanych w poprzednich obliczeniach.

Pożytecznym zabiegiem jest także wyliczenie i porównanie układu biegunów i zer

zidentyfikowanej transmitancji, a także charakterystyk czasowych i częstotliwościowych,

otrzymanych innymi metodami.

Zalecenia dotyczące przeprowadzania doświadczenia identyfikacyjnego

Poprawność identyfikacji modeli autoregresyjnych obiektów dynamicznych zależy w dużym

stopniu od poprawnego wyboru sygnału pobudzającego i okresu jego próbkowania.

Podstawowe zalecenia w tym zakresie są następujące:

Okres próbkowania T wybiera się nie większy niż 10% czasu zaniku procesu

przejściowego w systemie (ustalania się wartości odpowiedzi układu). Okres ten

powinien być także niezbyt mały, gdyż wówczas wszystkie bieguny transmitancji będą

położone się w pobliżu jedności, co utrudni identyfikację;

Główna część energii sygnału wejściowego powinna być zgromadzona w paśmie

częstotliwości, które będzie pasmem roboczym identyfikowanego układu w jego

przyszłych zastosowaniach (informacji o rozkładzie energii sygnału dostarcza analiza

gęstości widmowej);

Zakres zmienności sygnałów podlega ograniczeniom ze względów technologicznych,

ekonomicznych, bądź ze względów bezpieczeństwa, a także z założenia o szerokości

strefy liniowości modelu.

Wyznaczając zakres zmienności sygnałów, należy również kierować się wartością

pożądanego stosunku sygnału do szumu (zakłócenia);

Poprawne przeprowadzenie doświadczenia identyfikującego wymaga, aby sygnał

wejściowy należał do klasy trwale pobudzających (ang. persistently exciting)

dostatecznie wysokiego rzędu, równego co najmniej liczbie estymowanych parametrów.









7

Ćwiczenie 7



Reprezentatywne wyniki badań obliczeniowych, związanych z wyborem parametrów

[nA, nB, d].

Zwięzły, lecz pełny opis działań prowadzących do ustalenia ostatecznego rzędu

modelu i wartości opóźnienia, wraz podstawowymi argumentami uzasadniającymi

wybór. Czy i ew. jakie stosowano dodatkowe kryteria wyboru?

Porównanie rezultatów weryfikacji poprawności wyznaczonego modelu. Czy

porównania wskazują na poprawność przeprowadzonego procesu identyfikacji?




8

Ćwiczenie 7

6. DODATEK

6.1. MODELE PARAMETRYCZNE OBIEKTÓW DYNAMICZNYCH

6.1.1. Ogólna postać modelu

Model liniowego dyskretnego procesu dynamicznego w postaci ogólnej można wyrazić za

pomocą wielomianów, określających właściwości torów oddziaływań sterujących

i zakłócających:

)()()1(

)()(

)(

)()()(

11

1

1

11 k

zDz

zCku

zF

zBzkyzA

r

d

(D7. 1)

Wyrażenie (D7. 1) odpowiada najbardziej ogólnej strukturze modelu autoregresyjnego.

Przez ε(k) oznaczono realizacje białego szumu, z zerową wartością oczekiwaną E{ε(k)} = 0

i funkcją autokorelacji w postaci: Rεε(τ) = σε2 δ(τ). W modelu występują wielomiany zmiennej

zespolonej z-1

: A(z-1

), B(z-1

), C(z-1

), D(z-1

), F(z-1

), np.:

nA

nA zazazazA 2

2

1

1

1 1)( (D7. 2)

jest wielomianem stopnia nA.

Liczby estymowanych współczynników w wielomianach: B(z-1

), C(z-1

), D(z-1

) są

określane przez wartości parametrów: nB, nC, nD. Pozostałe oznaczenia: r – rząd różnicy

w opisie niestacjonarnego ciągu czasowego zakłóceń (typ ARIMA), d – opóźnienie w torze

sterowania.

Inne struktury dynamicznych modeli liniowych mogą powstać w wyniku upraszczania

najbardziej ogólnej struktury, opisanej zależnością (D7. 1). Z tej samej zależności wynika, że

model dynamicznego układu liniowego jest nieliniowy względem parametrów (ze względu na

ilorazowe postacie członów, uzależniających wyjście y(k) od sygnałów: u(k) i (k)), co jest

cechą charakterystyczną opisywanego tutaj schematu identyfikacji.

6.1.2. Model ARX (ang. AutoRegressive with eXogenous variable)

Model typu ARX jest najprostszą z wersji autoregresyjnych modeli parametrycznych

obiektów dynamicznych. Konstruując model ARX przyjmuje się arbitralne założenie

o autoregresyjnym charakterze ciągu addytywnych zakłóceń z(k). Tor zakłóceń jest

modelowany jako filtr, na którego wejście oddziaływuje szum biały ε(k). Model filtru jest

ściśle powiązany z transmitancją toru sterowania za pośrednictwem wspólnego wielomianu

A(z-1

). Równanie opisujące model ARX ma postać:

)()(

1)(

)(

)()(

11

1

kzA

kuzA

zBzky d

(D7. 3)


9

Ćwiczenie 7

Model toru zakłóceń ma więc postać:

)()(

1)(

1k

zAkz

(D7. 4)

Postać transmitancyjna (D7. 3) modelu ARX może być przedstawiona w równoważnej

formie równania różnicowego:

)()()()()( 11 kdkuzBkyzA (D7. 5)

Istnieje więc możliwość bezpośredniego zastosowania estymatora NK do estymacji

współczynników występujących w równaniu (D7. 5) wielomianów. Równanie to możemy

zapisać w formie wyrażającej wielkość wyjściową obiektu jako liniową kombinację

wejściowych zmiennych regresyjnych w postaci:

)()1()( kkky T

est c (D7. 6)

gdzie:

TnBdkudkudkunAkykykyk )(,),1(),(),(,),2(),1()1(

Wektor estymowanych parametrów modelu zawiera następujące elementy:

TnBnA bbbaaa ,,,,,,, 2121 c

Znajomość macierzy doświadczenia U:

)()()2()1(

)1()1()3()2(

)1()1()1()(

)()()()1(

NnBdkuNdkuNnAkyNky

NnBdkuNdkuNnAkyNky

nBdkudkunAkyky

nBdkudkunAkyky

U

(D7. 7)

oraz wektora y wyjść obiektu, uzyskanych w trakcie pomiarów:

TNkykyky )(,),1(),( y

umożliwia obliczenie estymatora MNK (LS) wektora współczynników modelu, cest:

yest UUUcT 1)( (D7. 8)

W używanej w powyższych wzorach (jak również w dalszej części Dodatku) konwencji,

k oznacza chwilę czasu, od której rozpoczyna się seria N pomiarów wielkości wejściowych

i wyjściowych, stąd też indeksy próbek umieszczanych w kolejnych wierszach macierzy U

rosną.

Zgodność estymatora NK jest gwarantowana przy spełnieniu następujących warunków:

Założenia wejściowe odnośnie struktury i rzędu modelu są adekwatne do rzeczywistości;


10

Ćwiczenie 7

Oddziaływanie wejściowe u(k) jest sygnałem trwale pobudzającym, rzędu co najmniej:

nA + nB + 1. Jest to równoważne z istnieniem, dodatnią określonością i dobrym

uwarunkowaniem macierzy korelacji tego sygnału:

)0()1()(

)1()0()1(

)()1()0(

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

uu

RnBnARnBnAR

nBnARRR

nBnARRR

R

Macierzy korelacji wzajemnej sygnałów: wejściowego i wyjściowego Ruy, powinna być

dobrze uwarunkowana. Macierz korelacji wzajemnej jest macierzą kwadratową,

o wymiarze równym sumie [nA + nB + 1] i składa się z czterech podmacierzy:

uuuy

uyyy

uyRR

RRR

T

Macierz Ryy jest tu definiowana analogicznie do Ruu, a podmacierze Ruy jako:

)()1()(

)()1()2(

)1()()1(

nBnAdRnAdRnAdR

nBdRdRdR

nBdRdRdR

uyuyuy

uyuyuy

uyuyuy

uy

R

Przy stosowaniu estymatora zgodnego jakość uzyskiwanych ocen rośnie wraz ze

wzrostem liczby pomiarów. Liczba pomiarów wykonanych w trakcie doświadczenia powinna

wielokrotnie przekraczać liczbę estymowanych współczynników tj.

1 nBnAN

Wymienione warunki nieobciążoności estymatora pozostają w mocy także w przypadku

stosowania innych, bardziej złożonych stacjonarnych modeli procesu dynamicznego.

6.1.3. Model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with

eXogenous variable)

Model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with eXogenous variable) jest opisywany

zależnością:

)()()()()()( 111 kzCdkuzBkyzA (D7. 9)

W modelu ARMAX sygnał wyjściowy układu jest zależny od średniej ważonej ostatnich

(nC+1) realizacji białego szumu ε(k). Zera wielomianu odwrotnego do C(z-1):

nC

nCnCnC czczzzCzC 1

1

1* )()( (D7. 10)

powinny leżeć wewnątrz koła jednostkowego.


11

Ćwiczenie 7

Struktura modelu w tej postaci jest rozpowszechnioną, zalecaną w literaturze, formą

modelowania procesu dynamicznego przy znacznym poziomie zakłóceń obserwacji zmiennej

wyjściowej. Proces estymacji parametrów jest tu, obliczeniowo, bardziej skomplikowany niż

w modelu poprzednim, ze względu na nieliniową zależność wskaźnika jakości identyfikacji

od estymowanych parametrów ci. Wynika to z postaci wyrażenia na uogólniony błąd

równania:

)()()()()(

1)( 11

1dkuzBkyzA

zCk

(D7. 11)

W procesie oceny występujących w równaniu parametrów stosuje się algorytmy

iteracyjne minimalizacji funkcji wielu zmiennych. Minimalizowany jest przy tym wskaźnik

jakości identyfikacji, wynikający z metody największej wiarygodności NW (ang. ML –

Maximum Likelihood).

6.1. METODA ZMIENNEJ INSTRUMENTALNEJ

Metoda zmiennej instrumentalnej (ang. IV – instrumental variable) stanowi udoskonalenie

regresyjnej techniki estymacji NK. Najprostsza interpretacja zmiennej instrumentalnej

związana jest z zastąpieniem w odpowiednich kolumnach macierzy doświadczenia U (wzór

(D7. 7) wyników pomiarów wyjścia y(i) wynikami jego estymacji z modelu, tj.

)()( iyiv est

W rezultacie powstaje, analogiczna do U, zmodyfikowana macierz doświadczenia W:

)()()2()1(

)1()1()3()2(

)1()1()1()(

)()()()1(

NnBdkuNdkuNnAkvNkv

NnBdkuNdkuNnAkvNkv

nBdkudkunAkvkv

nBdkudkunAkvkv

W

(D7. 12)

Takie działanie może być interpretowane jako uwzględnianie w macierzy planu

doświadczenia wartości wyjść obiektu, niezniekształconych przez oddziaływujące w trakcie

pomiarów zakłócenia. Zmniejsza to istotnie wpływ właściwości toru zakłóceń na wynik

estymacji parametrów. W następstwie macierz W jest stosowana w wyrażeniu estymatora

zmiennej instrumentalnej, zastępując (dwukrotnie) macierz doświadczenia z pomiarów:

yest WUWcT 1)( (D7. 13)


12

Ćwiczenie 7

Sieć działań metody zmiennej instrumentalnej:

Krok 1. Kompletuje się macierz eksperymentu U (zgodnie z (D7. 7), zawierającą wielkości

wejściowe i wyjściowe z pomiarów. Oblicza się, działając zgodnie z klasycznym

estymatorem MNK określonym wzorem (D7. 11), pierwsze oszacowanie wektora

współczynników modelu:

yest UUUcT 1)(

Krok 2. Na podstawie wyznaczonych w Kroku 1 współczynników modelu wyznacza się

oceny wyjść identyfikowanego obiektu: yest(k) i tworzy się, analogiczną do U,

macierz zmiennych instrumentalnych W (określoną wzorem (D7. 12)). W macierzy

W pomiary wielkości wyjściowej y(k) w macierzy doświadczenia U zostają

zastąpione ich ocenami yest(k).

Krok 3. Za pomocą estymatora zmiennej instrumentalnej:

ynowyest WUWcT 1

, )(

wyznacza się nowe, lepsze oszacowanie wartości współczynników występujących

w równaniu różnicowym badanego obiektu.

Krok 4. Dokonuje się oceny istotności poprawki oszacowań parametrów, uzyskanej w Kroku

3. Jeżeli osiągana zmiana wartości parametrów względem wyniku poprzedniej

iteracji (mierzona np. poprzez zmianę wartości normy wektora współczynników) jest

istotna, to następuje powrót do drugiego etapu obliczeń; natomiast w sytuacji

przeciwnej następuje zakończenie obliczeń.

Typowa liczba iteracji, prowadząca do zakończenia obliczeń, nie jest duża. Zwykle

wartości parametrów stabilizują się po kilku iteracjach.

Twierdzenie na temat identyfikacji metodą zmiennej instrumentalnej.

Załóżmy, że w procesie identyfikacji przeprowadzanej metodą zmiennej instrumentalnej, są

spełnione następujące założenia:

Badany jest liniowy, stacjonarny i stabilny obiekt dynamiczny, dla którego istnieje jedno

równanie różnicowe, wiążące jego sygnały wejściowe i wyjściowe;

Sygnał wejściowy u(k) mający funkcję autokorelacji Ruu(i), jest sygnałem dostatecznie

trwale pobudzającym badany obiekt;

Właściwości addytywnych zakłóceń występujących na wyjściu badanego obiektu dają się

scharakteryzować przez odpowiedź filtru liniowego (o transmitancji C(z-1

)/D(z-1

))

pobudzanego białym szumem;

Sterowania i zakłócenia, podobnie jak ciągi czasowe zmiennych instrumentalnych oraz

zakłóceń, są losowo niezależne.


13

Ćwiczenie 7

Spełnienie tych założeń daje gwarancje, że otrzymany metodą zmiennej instrumentalnej

estymator współczynników transmitancji toru sterowania (występujących w wielomianach

A(z-1

) i B(z-1

)) jest zgodny i asymptotycznie nieobciążony. Transmitancja filtru w torze

zakłóceń pozostaje natomiast nieznana.







Kod: ES1C721 359

Opracowali




ĆWICZENIE 8

MONITOROWANIE OBIEKTU DYNAMICZNEGO


2

Ćwiczenie 8

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności odtwarzania przebiegów wielkości, które nie są

pomiarowo dostępne. W ćwiczeniu realizowane jest doświadczenie związane z obserwacją

niedostępnej pomiarowo zmiennej stanu x(k) nadzorowanego procesu dynamicznego.

Rozwiązywane jest także zadanie programowania detektora znacznych zmian stanu procesu,

niepodlegających pomiarowi, powstałych w wyniku oddziaływania zakłóceń.


Należy powtórzyć materiał z wykładu na temat metod opisu matematycznego obiektu

dynamicznego za pomocą zmiennych stanu. Powtórz również wiadomości dotyczące syntezy

obserwatora Leunbergera, kierując się materiałem opisanym w Dodatku do niniejszej

instrukcji.


Jaką postać mają równania stanu i równania wyjścia obiektu liniowego?

Jakie cechy ma macierz stanu przy fazowym układzie zmiennych stanu?

Przedstaw proces syntezy obserwatora stanu przy zastosowaniu wzoru Ackermana.

Wymień reguły obowiązujące przy ustalaniu położenia biegunów obserwatora stanu.

3. WYMAGANIA BHP














3

Ćwiczenie 8


stałe czasowe T1 = T2 = 0,5 [s]. Wartość okresu próbkowania ustaw na 100 [ms].

2. Ustaw liczbę próbek sygnałów równą 500. Jako sygnału wymuszającego ‘Stimulus’

użyj wąskiego impulsu prostokątnego, aproksymującego impuls Diraca. Parametry

addytywnego szumu gaussowskiego (‘Gaussian White Noise’): wartość średnią oraz

odchylenie standardowe (‘STD Noise (0..1)’) ustaw na wartości zerowe (układ bez

zakłóceń),



4. W zakładce Impulse Response obserwuj odpowiedź impulsową układu,

identyfikowaną za pomocą metody korelacyjnej. Z przebiegu odpowiedzi można

odczytać opóźnienie układu, jak również przekonać się, czy okres próbkowania

został dobrany prawidłowo. Żółty przedział na wykresie jest przedziałem ufności

i pokrywa dane o nieistotnym znaczeniu. W dobrze przeprowadzonym

eksperymencie identyfikacyjnym odpowiednio duża liczba próbek powinna więc

leżeć powyżej zakresu ufności. Jeśli tak nie jest, należy zmodyfikować wartość

okresu próbkowania.

5. Dokonaj estymacji parametrów modelu w przestrzeni stanu w zakładce State Space

Model. Wybierając rząd modelu (‘number of states’) i obserwując parametry modelu

w przestrzeni stanu, jak również wartości zer i biegunów transmitancji (‘ZPK’),

podejmij decyzję o właściwej wartości tego parametru. Zauważ, że każdy proces

może być modelowany z większa lub mniejszą dokładnością, często zależy to od

wyboru liczby stanów, które są estymowane. Zbyt mały rząd może powodować duże

różnice pomiędzy wyjściem obiektu y a jego estymatą yest. „Przewymiarowanie”

modelu nie jest również korzystne ze względu na wzrost złożoności jego analizy.

Czym należy się zatem kierować, podejmując decyzję o zwiększaniu/redukcji liczby

estymowanych zmiennych stanu?

6. Po dokonaniu wyboru rzędu modelu zaobserwuj porównanie odpowiedzi obiektu

i odpowiedzi modelu na to samo wymuszenie. Czy model odwzorowuje poprawnie

estymowaną odpowiedź układu? Czy pomimo różnych wartości początkowych

model jest w stanie nadążać za przebiegiem odpowiedzi obiektu? Jaka jest wartość

całkowego wskaźnika jakości IAE?

7. Zapisz postać modelu w przestrzeni stanu i powróć do zakładki Setup, by zmienić

warunki eksperymentu. Zmień wartość odchylenia standardowego szumu białego

(‘STD Noise (0..1)’) na wartość 0,1 i w ten sposób zamodeluj szumy pomiarowe

o zadanym odchyleniu standardowym, sprowadzone na wyjście obiektu. Zbadaj


4

Ćwiczenie 8

reakcję wyjścia modelu na obecność wolnozmiennego oddziaływania zakłócającego.

Wyniki eksperymentu należy przekazać w formie porównań charakterystycznych

przebiegów przejściowych odtwarzanej zmiennej wyjścia obiektu dynamicznego

y(k) i jej estymaty yest(k). Czy model w warunkach zakłóconych pomiarów wyjścia

obiektu jest w stanie poprawnie odwzorowywać przebieg tej wielkości?

8. Przejdź do zakładki Observer, aby zaprojektować i zbadać obserwator Luenbergera.

Wskazówka. Transmitancja obserwowanego obiektu jest znana. Zmiennymi stanu są

wielkości wyjściowe dwóch szeregowo połączonych członów inercyjnych. Wyjście

pierwszego z tych członów jest z założenia niedostępne. Obserwator zaprojektowano

w wersji dyskretnej, przy znanym okresie próbkowania sygnałów w systemie

monitorującym.

9. Sprawdź, czy źródło danych ustawione jest na ‘off-line’. Umożliwi to wykonywanie

eksperymentów na danych zebranych w czasie rejestracji w zakładce Preprocessing.

Opcja ‘on-line’ pozwoli rejestrować nowe dane i badać obserwator w trybie

bieżącym. Upewnij się, że rząd obserwatora jest ustawiony zgodnie z wcześniejszym

doświadczeniem. Ustaw poziomy wzmocnień K na wartości zerowe. Jest to

równoważne z badaniem obiektu i jego modelu w zakładce State Space model.

Uruchom zadanie przyciskiem ‘Start’ i obserwuj przebiegi odpowiedzi y i yest, jak

również przebiegi zmiennych stanu x1 i x2.

10. Obserwator Luenbergera tworzy się przez odpowiednio dobrane poziomy

wzmocnień K. Dokonaj stosownych obliczeń wartości wzmocnienia, tak by wartości

własne macierzy (A – K * C) miały zadane wartości. Jakie są zalecenia przy doborze

wartości własnych obserwatora? Eksperymenty przeprowadź podobnie jak

w przypadku modelowania w warunkach zakłóconych i niezakłóconych pomiarów

wyjścia obiektu y.

Etap 2. Weryfikacja sprzętowa wyników badań symulacyjnych:

11. Zweryfikuj dokładność wyników badań symulacyjnych, porównując je z badaniami

empirycznymi. W tym celu odtwórz w trybie nadążnym, pomiarowo niedostępną

zmienną stanu, przeprowadzając doświadczenia na obiekcie rzeczywistym.

Weryfikacja polega na wykonaniu zadań opisanych wyżej w punktach 1-10 dla

wariantu ‘From Experiment’, wybranego w zakładce Setup. Układ połączeń zestawu

laboratoryjnego i komputera zawiera rysunek 8. 1.


5

Ćwiczenie 8

Rys. 8. 1. Schemat układu, wykorzystywanego w eksperymencie syntezy obserwatora stanu obiektu

12. W zakładce Noise Analysis zbadaj możliwość detekcji znacznych, niepodlegających

pomiarowi, oddziaływań zakłócających. Nie zmieniając badanego układu należy

odtworzyć w trybie nadążnym wolnozmienne, wyjściowe oddziaływanie

zakłócające. Obserwator zakłóceń działa na podstawie znajomości przebiegu ciągu

sterowań {u(k)} i ciągu wyjść obiektu {y(k)}.

Wskazówka. Równanie różnicowe obserwowanego obiektu otrzymujemy po

transformacji znanej transmitancji z wersji ciągłej do dyskretnej, przy znanej

wartości okresu próbkowania. Przyjmuje ono postać:

)2()1()2()1(

)2()1()(

1121

21

kzckzckubkub

kyakyaky (8. 1)

Przy braku zakłóceń powinno zachodzić:

0)2()1()2()1()( 2121 kubkubkyakyaky (8. 2)

Niezerowa wartość prawej strony stanowi więc swoisty „błąd równania” we/wy,

świadczący o występowaniu w rozważanej sytuacji addytywnego zakłócenia na

wyjściu obserwowanego obiektu. Wyznaczając go, wyznaczamy jednocześnie

wartość sumy ważonej poziomu zakłóceń z przedostatnich dwu taktów obserwacji:

)2()1( 11 kzckzc (8. 3)

W praktyce, przy wolnozmiennych zakłóceniach, równość (8. 3) jest często

spełniona jedynie z pewnym przybliżeniem – suma ta jest różna od zera. Zatem

dzieląc błąd równania (8. 2) przez sumę współczynników (c1 + c2) (tj. stosując

wzmacniacz błędu o wzmocnieniu równym odwrotności tej sumy) otrzymujemy

przybliżoną wartość addytywnych zakłóceń wejściowych. Zadaniem natury

inżynierskiej jest analiza technicznych możliwości (mając na uwadze ograniczenia

stosowanej techniki pomiarowej) zrealizowania miarodajnych obliczeń w trybie on-

line. Jednym ze stopni swobody jest wybór okresu próbkowania w zadaniu

monitorowania obiektu. Wpływa on istotnie na wartość współczynników b1 i b2

prawej strony równania różnicowego (8. 1).


6

Ćwiczenie 8










Przedstawienie właściwości monitorowanego obiektu dynamicznego

przedstawionego w przestrzeni zmiennych stanu zarówno w postaci ciągłej, jak

i dyskretnej. Na jakiej podstawie, w przeprowadzonych doświadczeniach, został

wybrany okres próbkowania?

Przyjęte założenia do projektowania obserwatora Leunbergera, stosowany układ

połączeń, a także opisy doświadczeń i wyniki rejestracji przebiegów związanych

z obserwacją niedostępnej zmiennej stanu.

Wyniki obliczeń wartości wzmocnień K obserwatora Luenbergera dla zadanych

wartości własnych macierzy (A – K * C).

Porównanie rezultatów weryfikacji poprawności wyznaczonego modelu.




7

Ćwiczenie 8

6. DODATEK

6.1. SYNTEZA OBSERWATORA STANU LUENBERGERA

Załóżmy, że stacjonarny i obserwowalny obiekt dynamiczny opisują równania liniowe:

)()(

)()()(

txCty

tuBtxAdt

tdx

(D8. 1)

Formułuje się zadanie rekonstrukcji wektora stanu x(t) przy znajomości sygnału

sterującego u(t) i sygnału wyjściowego y(t). Ze względu na relacje pomiędzy wymiarowością

wektora stanu a liczbą wyjść ukłądu: dim(x) > dim(y), nie wszystkie zmienne stanu są

mierzone (a niektóre z nich mogą być pomiarowo niedostępne). Problem ten możemy

rozwiązać konstruując układ dynamiczny zwany obserwatorem stanu, opisany równaniem:

)()()()(

0000 tztyKtxAdt

tdx (D8. 2)

w którym przez x0(t) oznaczono bieżącą ocenę wektora stanu a macierze A0, K0 posiadają

wymiary analogiczne do wymiarów macierzy A, B w równaniu wyjściowym (D8. 1).

Odejmując stronami oba równania stanu ((D8. 1) i (D8. 2)) otrzymamy prędkość zmian

błędu oszacowania:

)()()()()()(

000 tztuBtyKtxAtxAdt

tde (D8. 3)

Po przyjęciu: z(t) = Bu(t) i podstawieniu y(t) = Cx(t) prędkość ta przybiera postać:

)()()(

000 txAtxCKAdt

tde (D8. 4)

Jeżeli w projektowanym układzie obserwatora wybierze się macierz stanu A0 = [A -

K0C], otrzymuje się szczególnie proste wynikowe równanie dynamiki błędów oceny

zmiennych stanu:

)()()(

00 teCKAteAdt

tde (D8. 5)

Błędy odtworzenia stanu układu x(t) dążą asymptotycznie do zera, jeżeli tylko części

rzeczywiste wartości własnych macierzy stanu obserwatora A0 są ujemne, a same zmienne

stanu mają wartości ustalone.

Problem syntezy obserwatora sprowadza się więc do doboru współczynników

(wzmocnień) w macierzy K0. Można na przykład prowadzić go w ten sposób by macierz [A -

K0C] miała wartości własne położone w miejscach świadomie wybranych przez projektanta.


8

Ćwiczenie 8

Poniżej zostanie podany jeden ze sposobów rozwiązania zadania syntezy obserwatora.

W wersji tej zakłada się indywidualną lokalizację s*

i każdej wartości własnej obserwatora

obiektu sterowanego.

Krok 1. Znajdujemy transformatę macierzy tranzycyjnej obserwowanego obiektu

1)(

AsIs (D8. 6)

a następnie wektor:

)()( sCs (D8. 7)

Krok 2. Podstawiając kolejno do (s) miejsce pożądanej lokalizacji wartości własnych

(s = si*, i = 1, 2, .., n) otrzymujemy n (wymiar wektora stanu) liniowo niezależnych

wierszy macierzy (si*).

Krok 3. Obliczając wartość wyrażenia:

1

1*

0 )(

ni IsK (D8. 8)

otrzymujemy współczynnik wzmocnienia K0 w macierzy wejścia obserwatora. Jest

to równoważne z zakończeniem procesu jego syntezy.

6.2. METODA ACKERMANA

Prostszy sposób zautomatyzowania obliczeń możemy uzyskać na podstawie tzw. wzoru

Ackermana:

Tnn ACACACACK )(||||1,0,,0,0112

0 (D8. 9)

Wzór ten pozwala wyznaczyć współczynniki wzmocnienia różnic wyjść obiektu

i obserwatora jako transpozycje ostatniego wiersza iloczynu odwrotności macierzy

obserwowalności (nie jest to macierz C modelu układu w przestrzeni stanu) i wartości

wielomianu wzorcowego:

**

2

*

1)( nsssssss (D8. 10)

przy postawieniu s = A.

Metoda Ackermana nie jest dostatecznie doskonała obliczeniowo w przypadku

wysokiego rzędu rozważanego obiektu dynamicznego (na przykład większego niż 8). Zwykle

nie mamy do czynienia jednak z problemami o aż tak dużej wymiarowości wektora stanu.

Przy automatyzacji obliczeń metodą Ackermana głównym problemem pozostaje wybór

położenia biegunów obserwatora. Szybkość działania obserwatora jest ustalana poprzez

wybór położenia jego biegunów. Powinno się zachować tu kompromis między zadawalającą

szybkością działania projektowanego układu, umożliwiającą skuteczne, szybkie niwelowanie

różnic w ocenie zmiennych stanu w stosunku do rzeczywistości, a sprzężoną z tym tendencję


9

Ćwiczenie 8

do ustalania znacznych wartości współczynników wzmocnień, co prowadzi z kolei do

wzrostu wpływu szumów i innych zakłóceń pomiaru wielkości wyjściowych obiektu.

Instrukcje nr 1-8

Documents

Transcript of Instrukcje nr 1-8