1

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 • Sammansatt fel (Gauss regel) • Felanalys och noggrannhetsanalys • Mätvärden och mätfel • Medelvärde, standardavvikelse och

standardosäkerher (statistik)

2

Läsanvisningar till böckerna

• MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5) • Grimvall Kap 11.2

3

Mål enligt böckerna

• Grimvall • ”att kunna beskriva vilka begrepp som

används inom mätdatabehandling” • ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till

givna mätvärden” • ”kunna utföra statistiska beräkningar

mha formelsamling” • MATLAB • ”use statistical functions, generate

uniform and Gaussian random sequences”

4

Frågor från förra gången

• ?

5

Förra (F10) föreläsningens mål

Ni ska nu kunna: ’perform linear and cubic spline interpolation’ ’calculate the best-fit straight line and polynomial to a set of data points’ ’use the basic fitting tool’ Kunna analysera enkla ’potensfunktioner’ med hjälp av linjär anpassning Förstå matematiken bakom detta På samma sätt kunna analysera exponentialfunktionen, relevant för en av labuppgifterna!

6

Statistik som tekniskt hjälpmedel • Ingenjörer tittat på fördelningar och

avvikelser inte ’torra’ tabeller!

8

Kopplingen till gymnasiematten

• Dagens föreläsning – ’Gauss formel’ för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet

• EXEMPEL – om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet!

9

Exempel Gauss formel

• Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y

• Osäkerheten betecknas • Det värde vi sätter in är oftast det

’uppskattade’ mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av ’många’ uppmätta värden

22F Fx yx y

F∆ = + ∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂

yx ∆∆ ,

( ) ( ) ( )22

00

∂∂

+

∂∂

===

yuyfxu

xffu

yyxxc

10

Exempel Gauss formel

• I vårt exempel är F restiden t, • x vägsträckan s och • y bilens hastighet v • Dvs:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

, ,

, ,1 ,

t s v t s vs v

s v

t s v t s v ss v v

ss vt tv

v

t∂ ∂

∆ ∆ ∂ ∂

= ⇒ =

∆ =

∂ ∂

+

−= =

∂ ∂

11

Exempel Gauss formel • Vi kanske kör med 70 km/h med en

osäkerhet på 20 km/h • Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet

på 5km • Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SI-

systemet för kommande beräkning?

70 /20 /

305

v km hv km h

s kms km

=∆ ==

∆ =

12

Exempel Gauss formel 2 2

2

2 2

2

1

1 305 20

0.15 8min 37

00 70

ss vv

h

tv

s

− ∆ ∆ =

− × × =

∆ = +

+

= =

Minsta värde 16.7 min ’Medelvärde’ 25.7 min Största värde 42 min

min425035min,7.16

9025min,7.2560

7030, ===×=

vst

13

Alternativ metod

min1.62381.07.252381.0

ut lös 2381.0305

705

=×=×=∆

∆=+=∆

+∆

=∆

tt

tss

vv

tt

• Lägg ihop de relativa osäkerheterna

14

Exempel Gauss formel • Finns två formler som är användbara om man är

’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan alltid!

• För en summa av potenser

• För en produkt av potenser ( ) ( )21 1

1 1 2 2

2

1

2

2

2

2

1

a bF

FF

Aax x Bbx x

x xax

bx

− −∆ ∆

∆ ∆

∆ = +

∆ +

=

Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar

15

Exempel Gauss formel

• Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade?

• SVAR: produkt av potenser

( )

2

2

222

22

22

11

11

∆

+

∆=

∆

+

∆×=∆⇒

⇒

∆+

∆=

=

∆

×−+

∆×=

∆

⇒×== −

vvs

vs

vvt

sstt

vv

ss

vv

ss

tt

vsvst

16

Hur kan Gauss formel användas • För en ingenjör gäller att kraven på

’produkten’ måste uppfyllas • Detta ska göras på ett sätt som är

pålitligt och inte för komplicerat

17

Hur kan Gauss formel användas

• Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel

• I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator)

• http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm • Värdet på L och C bestäms av kretsens

layout och varierar något LC

fπ2

1= 1920-1980 and 2110-2170 MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel

spacing is 5 MHz and raster is 200 kHz.

18

Hur kan Gauss formel användas

VCC

• Layout och kretsschema

Spolar

Kondensatorer

19

Hur kan Gauss formel användas

• Givna värden för frekvensen

• Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanal-separationen ska vara bara 5 MHz!

MHz 6171GHz 17160083501005472

eller 0835.00.102

01.06.02

01.0

21

21

Hz10054721060100102

1ger

pF 1.00.10nH 1.06.0

9

22

22

9

912

....

CC

LL

fΔf

...π

f

CL

==××

=

×−+

×−=

=

∆−+

∆−=

×=×××

=

±=±=

−−

20

Mätvärden och mätfel • Vad mäter vi? • Fysikaliska storheter: Strömmar,

spänningar, temperaturer • Mer komplicerade storheter som

överföringshastighet, bit error rate • En ingenjör vill oftast testa sin

konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan!

• I produktion vill man undersöka kvaliteten

21

Mätvärden och mätfel • Nu går vi in på hur man behandlar resultaten

från ’många’ mätningar med statistik

1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde

2. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar

3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar

22

Mätvärden och mätfel • Tre möjliga typer av mätfel

1. Grova fel, felavläsning 2. Systematiska fel, ex.vis något med

mätutrustningen som varierar med temperatur

3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer

23

Mätvärden och mätfel • Skillnaden mellan ’precision’ och

’noggrannhet’ illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde

24

Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt)

Sant värde µ

Standardavvikelse s σ Variansen σ2

Standardosäkerhet u För n st mätningar

sn

x

25

Mätvärden och mätfel • Grunden är att man använder medelvärden

för att uppskatta ett så kallat sant värde µ • Man säger att är en skattning av µ x

26

Mätvärden och mätfel • Standardavvikelsen talar om hur

mätvärdet varierar • Jämförelsen görs med medelvärdet eller

det sanna värdet µ • Vi ser från formeln att det spelat stor roll

hur många (antalet n) mätningar vi gjort

( )

( )

1

22

2

1

1

11

n

i

i

n

xn

s x x

x

n

σ

σ= −−

=

= −∑

∑

27

Mätvärden och mätfel • Om vi vill veta hur medelvärdet varierar

kan vi också använda standardavvikelsen • Vi definierar ett nytt samband som kallas

standardosäkerheten • Även här spelar antalet n mätningar roll

där s beräknas på samma sätt som tidigareu sn

=

28

Normalfördelningen

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1 0 1 2 3

Gaussfördelningen

f(x)

x

Figur 4.2

µ=0.5

σ=0.5

σ=0.25

• Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen

• Kan uttryckas med ’välkänd’ formel, kallas normalfördelning

( )

( )2

2

2

21 σ

µ

πσ

−−

=x

exf

29

Normalfördelningen

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Gaussfördelningen

-2 -1 0 1 2 3

f(x)

x

Figur 4.3

µ-σ µ+σ

µ-2σ µ+2σµ-3σ µ+3σ

µ

• Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange ’procenttal’ för deras respektive sannolikhet

30

Normalfördelningen • Sannolikheten att hitta µ i intervallet

(ett sigma) är:

( ) ( ) ( ) 682.012, =−==−+ ∫∫+

∞−

+

−

σµσµ

σµ

σµσµ dxxfdxxfP (4.8)

Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet

( ) ( )σµσµ 22 +<<− x (två sigma) som är:

( ) ( ) ( ) 954.0122,222

2

=−==−+ ∫∫+

∞−

+

−

σµσµ

σµ

σµσµ dxxfdxxfP

zσ percentage within CI

1σ 68.2689492%

1.645σ 90% 1.960σ 95%

2σ 95.4499736%

2.576σ 99%

3σ 99.7300204%

3.2906σ 99.9%

4σ 99.993666%

5σ 99.9999426697%

6σ 99.9999998027%

7σ 99.999 999 999 7440%

http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

31

Exempel på mätvärdesbehandling • Exempel

Vid vägning av ett antal personer erhölls följande resultat:

Massa (kg) 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78 78-82 82-86 86-90

Antal 8 22 45 60 66 41 17 7

32

Exempel på mätvärdesbehandling

0

10

20

30

40

50

60

70

60 64 68 72 76 80 84 88

Ant

al p

erso

ner

Massa (kg)

33

Exempel på mätvärdesbehandling • Standardavvikelsen s kan beräknas enligt:

• Svar blir: medelvärdet=73.7 kg, standardavvikelsen=6.3 kg.

( )

( )kg3.6265

2906.1041811

8

1

2

1

2

==−

=−

−=

∑∑==

n

vk

n

xks j

jj

m

jjj ξ

34

Exempel på mätvärdebehandling

Histogram

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

10 20 30 40 50 60 70 80 90Bin

Frequ

ency

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

•Verkligt material – gamla tentaresultat, följer inte gaussfördelning helt och hållet •Flera resultat ligger utanför ’1σ’ intervallet

Medel: 33,1 Standardavvikelse: 25,3

35

Sammanfattning • Grimvall • ”att kunna beskriva vilka begrepp som

används inom mätdatabehandling” • ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till

givna mätvärden” • ”kunna utföra statistiska beräkningar mha

formelsamling” • MATLAB • ”use statistical functions, generate

uniform and Gaussian random sequences”

36

Nästa föreläsning

• Fortsättning på mätvärdesbehandling • Använder MATLAB för att titta på

begreppet fördelning • Exemplifierar MATLAB funktioner

mha statistikens formler • Använder symbolisk matematik i

MATLAB för att hantera sammansatt fel