Sieci złożone

Układ wielu oddziałujących obiektów

Obserwatorium sejsmiczne (Wirginia) Giełda (Nowy Jork)

Szukanie podobieństw

N= 100 wierzchołków (miast) M=152 wiązań (połączeń lotniczych)

Połączenia lotnicze - pierwsze przybliżenie

graf losowy

Sieć złożona „z Hollywood”

Nie tylko sieć połączeń lotniczych…

połączenia internetowe

Sieci złożone w biologii

Oddziaływania międzyproteinowe

Sieć genów chorobowych

Statystyczne podobieństwo języków

Trochę definicji…

𝑘𝑖 = stopień węzła i, 𝐸𝑖 - liczba wiązań między sąsiadami węzła i

Współczynnik klasteryzacji

Przykłady grafów

Grafy losowe

Perkolacja na grafach

N=200, M=70 N=200, M=100 N=200, M=200

Percolation on random graphs

N – number of nodes M – number of edges

𝑝 𝑘 =𝑒−𝑐𝑐𝑘

𝑘!

For p=𝑐

𝑁

Degree distribution: (Poisson distribution)

p – probability that there is a link between randomly chosen nodes

Percolation on random graphs

u – probability that a given site does not belong to the giant component

One obtains:

𝑢 = 1 −𝑐

𝑁+

𝑐

𝑁𝑢

𝑁−1

Using S=1-u in the limit 𝑁 → ∞ we obtain:

𝑆 = 1 − 𝑒−𝑐𝑆

Solving, one finds that c=1 separates two regimes: • Nonpercolating (c<1, S=0) • Percolating (c>1, S>0)

Małe światy – odległość 6 kroków

Duży współczynnik klasteryzacji, mała odległość między punktami

P(k) – prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma k sąsiadów

graf losowy

sieć bezskalowa (ɤ<2 : <k> → ∞)

P(k)

Czy istnieje powód dla którego te jakże różne układy wykazują tak znaczące podobieństwo?

Wskazówka: Układy te powstały w wyniku pewnego dynamicznego procesu

Bogaci stają się coraz bogatsi

Bo kto ma, temu będzie dodane, i nadmiar mieć będzie; kto zaś nie ma, temu zabiorą również to, co ma

Ewangelia wg św. Mateusza

Reguła wzrostu sieci: dodany węzeł dołącz do węzła/węzłów z tym większym prawdopodobieństwem im więcej wiązań węzeł docelowy już posiada

Poznań

Frankfurt

Lipsk

Linz

Rennes

Scheffield

Odporność na zaburzenia

Nieodporna na losowe

usunięcie wiązań

Odporna na atak celowy

Odporna na losowe

usunięcie wiązań

Nieodporna na atak celowy

Jak przeprowadzić kosztowne szczepienia ochronne?

Graf losowy Sieć złożona

Rysowanie grafów

W niektórych algorytmach implementowane są fikcyjne siły, pod wpływem których poruszają się węzły i wiązania.

Modularność

Minimum-cut method Newman-Girvan etc.

Modularność

Wyznaczenie struktury modularnej ułatwia graficzną reprezentację grafu.