Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych

Autorzy:Bernadetta BrzęczekLech Groblewicz Tomasz OżańskiPiotr RatajczakWojciech Hanus

Zasada działania Metody Monte Carlo

Spróbujmy za pomocą powyższej metody obliczyć pole koła o R=1 i środku w

punkcie P=(0,0)x2+y2=1

1. Na kole opisujemy kwadrat o wierzchołkach w punktach:

2. Losujemy n punktów z powierzchni opisanego kwadratu

3. Sprawdzamy czy wylosowane punkty należą do pola koła.

(0,0)

(-1,1) (1,1)

(-1,-1) (1,-1)

Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było

trafionych, zatem pole koła wynosi:

gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole

Przykład ten ilustruje ogólny sposób działania metody Monte Carlo

1 2

34

n k

…

k-1

Przedstawienie doświadczenia

Do prezentacji metody Monte Carlo obliczającej całki podwójne wykorzystaliśmy następujące całki:

1.

2.

3.

Dla każdej z nich wygenerowaliśmy metodą Monte Carlo po 100 wartości dla n z przedziału od 1 do 50 000 000.

…

…

Przykładowa skrócona tabela wartości losowań dla trzech pierwszych i dwóch ostatnich prób w zależności od wielkości n dla całki nr 2.

n 1 5 10 50 100 500 1000 5000

Próba 1 0 2,30427 0 2,0701 1,7486 2,14472 2,30819 1,96463

Próba 2 0 1,3854 0,750723 2,28501 3,03708 2,17137 1,73004 1,96845

Próba 3 0 0 0,870161 1,35062 1,69996 2,10206 1,9164 2,09237

10000 50000 100000 500000 1000000 50000001000000

02000000

05000000

01,99844 1,98702 2,01639 2,00435 2,00196 2,00116 2,00143 1,99976 1,998611,94674 2,00488 2,03716 1,99897 2,00312 1,99886 2,00352 2,00007 2,000652,02481 1,99616 1,99863 1,99215 1,99677 2,00764 2,00384 2,00098 2,00061

Próba 99 13,3416 0 3,2635 2,11127 1,21644 2,09842 2,09994 2,03195Próba 100 0 4,57077 2,15179 2,16437 2,34791 1,53757 2,03055 1,93757

2,09717 2,02118 1,98634 1,99106 2,00126 1,99694 2,00218 2,00166 2,000392,00137 1,99161 1,95693 2,00092 1,99933 1,99853 1,99971 2,0004 1,99814

Następnie przy użyciu kalkulatora obliczyliśmy prawidłowe wartości powyższych całek.

Dla lepszego zrozumienia z jakimi całkami mamy do czynienia zamieszczone są poniżej także wykresy funkcji podcałkowych.

1. = 2669,851 2.3. = 1,145521

1.

2.

3.

Z każdej serii danych obliczyliśmy średnią, odchylenie standardowe oraz wartość błędu, czyli różnicę pomiędzy wartością prawidłową a średnią.

Powyższe dane przedstawiliśmy za pomocą wykresów.

n 1 5 10 50 100 500 1000 5000odchylenie standardow

e 8316,296 4141,8582608,91

1 1366,11123,13

5 500,4626 357,9322 166,5204

średnia 1811,682 2595,3282040,06

2 2339,2842633,81

5 2725,378 2663,609 2667,245

błąd 858,1687 74,52286629,788

7 330,567336,0358

5 55,52719 6,242009 2,605909

10000 50000 100000 500000 1000000 50000001000000

02000000

05000000

099,55592 45,60437 34,79052 17,27143 9,171215 5,162865 2,554405 2,231512 1,388375

2666,361 2668,83 2668,278 2672,02 2670,405 2669,67 2670,863 2670,344 2670,316

3,490209 1,021509 1,573509 2,168791 0,553391 0,181309 1,011991 0,492691 0,464491

Całka nr 1:

Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 1

Całka nr 2:

Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 2

Całka nr 3:

Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 3

Dla wszystkich całek można zauważyć, że wraz ze wzrostem n (liczby losowanych punktów), maleje wartość błędu co potwierdzają także wykresy przedstawiające odchylenia standardowego.

Na następnych wykresach przedstawione jest jak w zależności od n, na różnie wyskalowanych wykresach, dla poszczególnych całek zmienia się wartość obliczonej całki.

Wnioski:

Obliczenia metodą Monte Carlo dają bardzo dokładne wyniki tylko wtedy, gdy rząd parametru n jest większy od 50 000. Dla takich prób dokładność pomiaru jest wyższa niż 99,93%