i t Z § S A a) X

1. У колу приказаном на слици 1 познато је: 201 LXR , 101LX и тренутна вредност

струје A4

cos22)(1

tti .

a) Одредити отпорност 2R и реактансу кондензатора 2CX тако да струја кроз отпорник 2R

има исту максималну вредност као и струја )(1 ti , а фазно предњачи за 2/ у односу на њу.

б) Одредити тренутну вредност електромоторне силе генератора )(tе .

Слика 1

Слика 1.1

______________________________________________________________________________

Комплексни представник задате тренутне вредности струје је Aj)1(2e22 4/j1 I .

а) Према услову задатка, A22m2 I и rad424

2

I , па је струја кроз отпорник

2R Aj)1(2e22 4/j2 I .

За коло са слике 1.1 важи да су напони на редној вези отпорника 1R и калема 1LX и редној

вези отпорника 2R и кондензатора 1CX међусобно једнаки:

222111 )j()j( IXRIXR CL .

Из ове релације добија се да је 102R и 202CX .

б) Електромоторна сила је:

Vj)1(60)j()(j)j(j 111211113 IXRIIXIXRIXE LLLL ,

а њена тренутна вредност V)4/cos(260)( tte .

2. У колу приказаном на слици 2 познато је: Vcos66)( ttu , ,11 R 21LX и

.32 LX Одредити отпорност отпорника ,R тако да струја )(1 ti касни за напоном )(tu за

2 , и њена ефективна вредност износи A261 I

2R

+

1R

C2X

L1X

LX

1

2

Слика 2

Слика 2.1

___________________________________________________________________________________

Тренутна вреедност струје отпорника је

2cos12)(1 tti .

Комплексни представници простопериодичне струје )(1 ti и електромоторне силе генератора )(tu су A12j1 I и V66U .

За коло на слици 2.1 могу се написати следеће једначине:

Vj212j 1111 IXRU ;

A14j4j 2

12

LX

UUI ;

Aj2212 III R .

Отпорност отпорника R је

61

RI

UR .

3. У колу приказаном на слици 3 познато је: Vsin2)( tte , A)4/cos(22)(1 ttj ,

Aj)3(2 J , rad/s105 , H10L и F5C . Одредити комплексне снаге свих

генератора.

Слика 3

Слика 3.1

______________________________________________________________________________

Одредимо најпре комплексне представнике задатих тренутних вредности напона и струја


С обзиром да је V)2/cos(2sin2)( ttte , добија се V2je2 2/j E , док је за

A)4/cos(22)(1 ttj , Aj)1(2e22 4/j1 J .

Реактансе калема и кондензатора су 1LX L и 2/1 CXC , респективно.

Коло ћемо решити применом метода потенцијала чворова.

За чворове означене као на слици 3.1, формира се једначина облика:

1210jj

1

j

1JJ

X

EU

XX LCL

.

Решење је Vj)3(210 U .

Да би одредили комплексну снагу напонског генератора, потребно је одредити струју кроз

генератор A6jj

10

L

EX

UEI , па је VA6

2

1 * EE IES .

Напони на крајевима струјних генератора су: Vj)3(21021 UUU JJ . Комплексне

снаге су: VA)2j1(42

1 *111 JUS JJ и VA10

2

1 *222 JUS JJ .

4. У колу приказаном на слици 4 познато је: A4cos2)( tti ,

V)2/cos(20)( tte , rad/s104 , mH2,10 LR и F5C . Одредити тренутну

вредност струје кроз кондензатор и проверити биланс снага.

Слика 4

Слика 4.1

______________________________________________________________________________

Комплексни представници задатих тренутних вредности струјног и напонског генератора

су Aj)1(e2 4/j J и V20je20 2/j E , док су реактансе калема и кондензатора

20LX L и 20/1 CXC , респективно.

За решавање задатка применићемо метод потенцијала чворова.

Коло има два чвора, па се једначина пише само за један чвор:

JR

EU

XR C

10

j

11.

Решење једначине је Vj)1(2010 U .

Комплексни представник струје кроз кондензатор је 4/3j10 e2Aj)1(j

C

CX

UI , а

тренутна вредност струје A)4/3cos(2)( ttiC .

Из првог Кирхофовог закона одређује се струја у грани са отпорником R ,

A2 JII CR .

Комплексне снаге на потрошачима су: VA202

1 2 RR IRS , VA20jj

2

1 2 JXS LL и

VA20j)j(2

1 2 CCC IXS , док су комплексне снаге генератора:

VA20j2

1 *1 RE IES и VAj)1(20

2

1 * JUS JJ , при чему је напон на крајевима

струјног генератора V40jj 10 UJXU LJ .

Биланс снага је задовољен, јер је VA20gp SS .

5. У електричном колу приказаном шемом на слици 5 познатo je: V,41 E V,3j2 E

A,j1J 121 LL XXR и 2CX . Одредити тренутне вредности струја у свим

гранама кола и комплексне снаге свих генератора у колу.

Слика 5

Слика 5.1

______________________________________________________________________________

За чворове означене као на слици 5.1, по методу потенцијала чворова, може се написати једначина

21jjj

1

j

1

j

1 2110

2 LCCLL X

E

X

EJU

XXRX

.

Решење ове једначине је V2j10 U .

Струје у појединим гранама кола су:

A1j

2

1022

LX

UEI , Aj1

j1

103

LXR

UI и A2j1231 IJII .

Тренутне вредности струја су:

A2arctancos51 ti , Acos2 ti и A4

cos23

ti .

Напон струјног генератора је: Vj110 JRUU J ,

a снаге генератора:

VAj2

1 * JUS JЈ , VA2j12

2

1 *111 IЕS Е

и VA

2

3j

2

1 *222 IЕS Е .

6. У електричном колу приказаном шемом на слици 6 познатo je: V,5j1 E V,20j52 E

V,10j103 E V,10j4 E 12LC XXR и 2

1LX . Одредити све струје у колу и

проверити биланс снага.

Слика 6

Слика 6.1

______________________________________________________________________________

Коло ћемо решити применом метода потенцијала чворова.

За чворове означене као на слици 6.1, формира се систем једначина облика:

V10j10320 EU ;

V10j430 EU ;

2

213020

1

10

21jjj

1

j

1

j

1

j

1

j

1

LCCLCLL X

E

X

EU

XU

XU

XXX

.

Решење овог система једначина је V20j10 U .


A5jj

103013111

CC X

UUE

X

UEI , Aj15

jj1

2010

1

126

LL X

UU

X

UI , A5j162 III ,

A103020235

R

UU

R

UI , A5154 III и Aj15243 III .

Комплексне снаге потрошача су:

VA502

1 2

5 IRS R , VA50jj2

1 2

611 IXS LL , VA

2

25jj

2

1 2

222 IXS LL и

.VA2

25j)j(

2

1 2

1 IXS CC

Комплексне снаге генератора су:

VA2

25j

2

1 *111 IES E , VA)

2

25j50(

2

1 *222 IES E , VA50j

2

1 *333 IES E и

VA25j2

1 *444

IES E .

Биланс снага је задовољен, јер је VAj)1(50gp

SS .

7. У колу приказаном на слици 7 одредити комплексне представнике струја и њихове

тренутне вредности у свим гранама кола. Познато је: ,)j1(,j,)j1( 321 ZZZ

V)2j6(1 E и A2j2 J .

Слика 7

Слика 7.1

______________________________________________________________________________

Овај задатак ћемо решити применом метода контурних струја. У колу постоје две независне

контуре и свакој од њих се придружује по једна контурна струја. Пошто коло садржи

струјни генератор, независне контуре се не могу бирати произвољно већ се мора водити

рачуна о томе да струјни генератор буде у независној грани одговарајуће контуре, слика 7.1.

С обзиром да је једна контурна струја позната, 2II JI ,

треба написати једначину само за контуру I

1II3I31 )( EIZIZZ .

Из претходних једначина одређује се струја I контуре A231

231I

ZZ

JZEI .

Смерови струја у гранама кола приказани су на слици 7.1, а њихови комплексни

представници су:

A2I1 II и A22Aj)1(2 4j

2I2

eJII .

Тренутне вредности струја у гранама кола су:

Acos21 ti , A4

cos222

ti и A

2cos22

tj .

1Z_

2Z_

E_

+

J_13Z_

2

8. У колу на слици 8 израчунати струје у свим гранама кола и проверити биланс снага.

Познато је: ,2,j)1(,)2j2( 321 ZZZ 2j4Z , А,ј1 Ј V10А,ј 12 EЈ

и V8j2 E .

Слика 8

Слика 8.1

______________________________________________________________________________

Коло ћемо решити применом метода контурних струја. За контуре обележене као на слици

8.1, контурне струје прве и друге контуре су: Aj1I JI и Aj2II JI , док је

једначина за трећу контуру облика:

12II43I31III4321 )()()( EEIZZIZZIZZZZ .

Решење за непознату контурну струју је A2jIII I .

Према ознакама на слици 8.1, струје у гранама кола су:

AjIIII1 III , A2jIII2 II , A2jIIIIII3 IIII и A3jIIIII4 III .

Комплексне снаге на потрошачима су:

VAj)1(2

1 2111 IZS Z , VAj)1(2

2

1 2222 IZS Z , VA4

2

1 2

333 IZS Z и

VA9j2

1 2444 IZS Z .

Комплексне снаге напонских генератора су:

VA5j2

1 *111 IES E и VA8

2

1 *222 IES E .

Напони на крајевима струјних генератора су:

V)6j8(222441 IZEIZU J и V)4j6(33442 IZIZU J , па су снаге

струјних генератора: VA)4j3(2

1 *111 JUS JJ и VA)3j2(

2

1 *222 JUS JJ .

Биланс снага је задовољен, јер је VA)12j7(gp

SS .

+

1E_

3Z_4Z_

1J_

2Z_1Z_

+

2E_

2J_

9. У колу приказаном шемом на слици 9 познато је: ,21 R ,132 RR ,221 LL XX

,13 LX

,1CX

V,j21 E V,2j12 E A11 Ј и Aј2 Ј . Одредити све струје

у колу и комплекснe снагe свих генератора.

Слика 9

Слика 9.1

______________________________________________________________________________

Користећи метод контурних струја за коло на слици 9.1 може се написати систем једначина:

A11 JI I ;

Aj2II JI ;

21II33I233III23311 jjjjjj EEIXRIRXXRIRXXRXR LCLCLL ,

из кога се одређује струја III контуре

Aj

jjj

jjj

23311

233123321III

RXXRXR

JXRJRXXREEI

CLL

LCL .

Струје у појединим гранама кола за смерове као на слици 9.1 имају вредности:

AjIII1 II , Aj1III2 III I , A1223 JII и A0124 IJI .

Снаге напонских генератора су:

VA2j12

1

2

1 *111 IЕS Е

и VA0

2

1 *222 IЕS Е .

Напони на струјним генераторима су:

Vj3jj 223331 IXRIXRU CLJ и

Vj4jj 2333222 EIXRJXU LLJ ,

па су снаге струјних генератора:

VAj32

1

2

1 *111 JUS JЈ и VA4j1

2

1

2

1 *222 JUS JЈ .

10. У колу на слици 10 одредити струје у свим гранама кола и проверити биланс снага.

Познато је: 10431 LC XXRRR , 52R , Vcos100)(1 tte ,

V2

cos100)(2

tte и А)6ј2( Ј .

Слика 10

Слика 10.1

______________________________________________________________________________

Одредићемо прво комплексне представнике задатих тренутних вредности напонских


С обзиром да је Vcos100)(1 tte , добија се V100e100 0j1 E , док је за

V)2/cos(100)(2 tte , V100je100 2/j2 E .

Коло ћемо решити применом метода контурних струја.

За контуре обележене као на слици 10.1, струја треће контуре је

A)3j1(2III JI ,

док је систем једначина за преостале контуре облика:

1II3I31 j)j( EJXIRIXRR CC ;

2II43I3 j)j( EJXIXRRIR LL .

Решавањем система једначина добија се: Aj)3(I I и A)7j1(II I .

Према ознакама на слици 10.1, струје у гранама су:

Aj)3(I1 II , Aj)1(5IIII2 III , A)3j1(2III3 III ,

A)7j1(II4 II и Aj)3(IIIII5 III .


VA502

1 2111 IRS R , VA100

2

1 222 JRS R , VA200

2

1 2

333 IRS R ,

VA2502

1 2444 IRS R , VA50jj

2

1 2

5 IXS LL и VA250j)j(2

1 22 IXS CC .


2R

+

E 3RJ

1

4R 2

R

E

1

CX

LX

+

VAj)3(502

1 *111 IES E , VAj)7(50

2

1 *422 IES E и VA)2j1(100

2

1 * JUS JJ ,

при чему је Vj)7(10jj 225 JRIXIXU CLJ .

Биланс снага је задовољен, јер је VAj)3(200gp

SS .

11. У колу приказаном на слици 11 познато је: ,j1,j 521 ZZZ ,13 Z

,j4 Z V,j)1(V,1 21 EE A21 J и Aj12 J . Одредити комплексне снаге свих

генератора у колу.

Слика 11

Слика 11.1

______________________________________________________________________________

За коло на слици се по методу контурних струја може написати следећи систем једначина:

Aj12III JI ;

A21VI JI ;

2III3II3I43 EIZIZIZZ ;

21VI1III3II531I3 EEIZIZIZZZIZ .

Решења овог система једначина су:

A1I I и Aј1II I .


A1I4 II , Aј1IIIV1 III , Aј1II5 II , A0IIIIIE III и

A1IIIIII3 IIII .

Напони струјних генератора су:

Vj1111 IZU J и Vj31155222

IZIZJZU J .


VAj12

1 *111

JUS JJ , VA2j12

1 *222

JUS JJ , VA02

1 *11

EE IES и

VAj12

1

2

1 *322

IES E .

12. У колу на слици 12 одредити струје у свим гранама кола и проверити биланс снага.

Познато је: j)1(21Z , )2j1(22Z , j)1(3Z , j)1(4Z , 55Z ,

V)j2(1 E , V)2j1(2 E , Aj1 J и A12 J .

Слика 12

Слика 12.1

______________________________________________________________________________

Коло ћемо решити применом метода контурних струја.

За контуре обележене као на слици 12.1, контурне струје прве и друге контуре су:

Aj1I JI и

A12II JI ,

док је једначина за трећу контуру облика

21II43I42III4321 )()()( EEIZZIZZIZZZZ .

Решавањем добијеног система једначина добија се AjIII I .

Према ознакама на слици 12.1, струје у гранама кола су:

AjIII1 II , A0IIII2 III , Aj)1(IIIII3 III и A1134 JII .


VAj)1(2

1 2111 IZS Z , VA0

2

1 2222 IZS Z , VAj)1(

2

1 2

333 IZS Z ,

VAj)1(2

1

2

1 2444 IZS Z и VA

2

5

2

1 2

555 IZS Z .

Комплексне снаге напонских генератора су:

VA)2j1(2

1

2

1 *111 IES E

и VA0

2

1 *222 IES E .


Vj)2(442221 IZIZEU J и Vj)8(2533442 JZIZIZU J ,

па су снаге струјних генератора:

+

+

1E_

2E_

Z_Z_

1Z_

4Z_

2Z_

3

5Z_

1J_

J_2J_

VA)2j1(2

1

2

1 *111 JUS JJ и VAj)8(

2

1

2

1 *222 JUS JJ .

Биланс снага је задовољен, јер је VA)5.0j5(gp

SS .

13. У колу приказаном шемом на слици 13 одредити комплекснe снагe свих генератора и

тренутну вредност струје кроз отпорник 3R . Познато је: ,131 RR ,1CX

,242 RR

,4LX V,jE jA1 J и A

4

3cos22

tj .

Слика 13

Слика 13.1

______________________________________________________________________________

Комплексни представник задате простопериодичне струје је .Aj12 J

Користећи метод контурних струја може се написати следећи систем једначина:

1I JI ;

2II JI ;

EIRIXIXRXR CCL II4IIII41 jjj ,

из кога се одређује струја

Ajjj

j

41

241III

CL

C

XXRR

JRJXEI .

Струје у појединим гранама кола, смерова као на слици 13.1, су:

A52j1 )2arctanj(213

eJJI , AjIII1 II , A2jIII12 IJI и

A1IIIII4 III .


V4j1j 123321

JRIRIXU CJ и V2j333442

IRIRU J .


VAj42

1

2

1 *111

JUS JJ , VAj52

1

2

1 *222

JUS JJ и VA2

1

2

1 *1 IES E .

14. У колу приказаном шемом на слици 14 одредити струје у свим гранама кола и

комплекснe снагe свих генератора. Познато је: ,221 RR ,13 R ,31

CX

,12

CX

,2LX

V,2cos9)( tte A2cos3)(1 ttj и Acos6)(2 ttj .

Слика 14

Слика 14.1

______________________________________________________________________________

Коло се решава у комплексном домену, па је потребно одредити комплексне представнике

тренутних вредности напона и струја: V9je9 2j

E ; A3je3 2j

1

J ; A6e6 0j2 J .

За коло са слике 14.1 може се по методу контурних струја написати систем једначина:

A3j1I JI ;

A62II JI ;

EIXRIRIXRR CC II11I3III131 jj ,

из кога се одређује струја

A4j

j

131

21113III

C

C

XRR

JXRJREI .


A3j6212 JJI , A2IIIII1 III , A3j4123 III и A4III4 II .


V3j7j 1233221 JRIRIXU CJ и V7j 21212

JXEJRUU LJJ .


VA18j2

1 *

4 IES E , VA7j32

3

2

1 *

111 JUS JJ и VA21

2

1 *

222 JUS JJ .

15. У електричном колу приказаном шемом на слици 15 познатo je: V,5j51 E

V,105 E V,25j6 E A,3j11 J A,j32 J ,51 Z ,10j2 Z ,j133 Z

5j5Z и .106 Z

Одредити све струје у колу и проверити биланс снага.

Слика 15

______________________________________________________________________________

За коло са слике 15.1 могу се по методу контурних струја написати следеће једначине:

A3j11I JI ;

Aj32II JI ;

56III65II5 EEIZZIZ .

Слика 15.1

Решавањем овог система једначина, одређује се струја III контуре

Ajj)2(5

515j1025j

65

2556III

ZZ

JZEEI .


AjIII6 II , A2ј3625 IJI , Aј3II3 II и A2j4212 JJI .


V50j20221111 IZEJZU J и V13j1422335552

IZIZIZEU J .


VA55j652

1 *111

JUS JJ , VA25j552

1

2

1 *222

JUS JJ ,

VA,5j102

1 *

111 JES E VA10j15

2

1 *555

IES E , VA2

25

2

1 *666 IES E , па је

VA2

105j90g

S .

Комплексне снаге потрошача су:

VA252

1 2111

JZS Z , VA100j2

1 2222

IZS Z , VAj1152

1 2333

IZS Z ,

VAj2

65

2

1 2555

IZS Z , VA52

1 2

666 IZS Z , па је VA

2

105j90 ZS .

Биланс снага је задовољен, јер је VA2

105j90g

ZSS .

16. а) Електрична шема моста наизменичне струје приказана je на слици 16. Oдредити

непознату отпорност 4R и индуктивност 4L да би мост био у равнотежи.

б) За тако израчунате елементе 4R и 4L израчунати тренутну вредност струје ).(2 ti

Познато је: 200,100 321 RRR , nF501 C , s

rad105 и V4cos2200)( ttu .

Слика 16.1

а) Да би мост био у равнотежи, потребан услов је: 3241 ZZZZ , где су

111 j CXRZ , 22 RZ , 33 RZ и 44

444 j

j

L

L

XR

XRZ

импедансе у гранама моста.

Заменом израза за импедансе у услов равнотеже моста и сређивањем израза, добија се

систем од две једначине:

3241 RRXX LC ;

3241 RRRR ,

из кога се добија да је: 2004R и 1004LX , односно mH144

LX

L .

б) Струја кроз отпорник 2R , када је мост у равнотежи, је 211

2 j RXR

UI

C .

Комплексни представник напона )(tu је Vj)1(200 U , па је тражена струја A12 I , док

је њена тренутна вредност Acos)(2 tti .

17. За коло на слици 17, одредити импедансу Z тако да се на њој развије максимална активна

снага и израчунати ту снагу. Познато је: V)j1(10 E , A2J , j)1(51Z ,

13

)3j2(102Z ,

17

)4j1(203Z , )2j1(44Z

и j)3(25Z .

Слика17

_____________________________________________________________________________

Слика 17.1

Слика 17.2

Са крајева импедансе Z коло на слици 17 треба заменити Тевененовим генератором.

Импеданса Тевененовог генератора одређује се из кола на слици 17.1. Импедансе 1Z , 3Z и

4Z везане су паралелно. Еквивалентна адмитанса ове везе је:

S20

8j4

)2j1(4

1

)4j1(20

17

j)1(5

1431ab

YYYY .

Према томе, унутрашња импеданса Тевененовог генератора je )2j1(1

abab

YZ .

На импеданси Z ће се развити максимална активна снага када је )2j1(*abZZ .

Да би одредили напон празног хода, 0ab )(U , применићемо метод потенцијала чворова за

коло на слици 17.2.

Са слике се види да је Vj)1(1020 EU , па је потребно написати само једну једначину

JUZ

UZZZ

20

110

431

1111.

Решавањем система једначина добија се V)2j1(410 U .

Напон празног хода, према ознакама на слици 17.2, је 0ab )(U V)2j1(410 U .

Сада се део кола између тачака a и b може заменити еквивалентним Тевененовим

генератором на који се прикључује импедансу Z , слика 17.3.

Струја кроз импедансу Z је: A)2j1(2)(

ab

0ab

ZZ

UI ,

док је комплексна снага импедансе:

VA)2j1(102

1 2 IZS Z .

Максимална активна снага која се развија на импеданси

Z је W10Re ZSP .

Слика 17.3

18. У колу које је приказано шемом на слици 18 познато је: 102 LXR , ,23 R

5CX , V51 E , V2j1112 E и А8јЈ . Одредити импедансу Z тако да се на

њој развије максимална активна снага и израчунати ту снагу.

Слика 18

______________________________________________________________________________

У односу на импедансу Z , остатак кола између тачака а и b, може се заменити

еквивалентним Тевененовим генератором. Елементи Тевененовог генератора су унутрашња

импеданса и напон празног хода.

Унутрашња импеданса Тевененовог генератора добија се из кола приказаног на слици 18.1,

j)1(4

j

)j(

2

23ab

C

C

XR

XRRZ .

Слика 18.1

Слика 18.2

Да би се на импеданси Z развија максимална активна снага треба да је j)1(4*abZZ .

Напон празног хода, према ознакама на слици 18.2, је 0ab )(U JRUE C 31 .

Напон на кондензатору може се одредити преко напонског разделника

V11j

j2

2

E

XR

XU

C

CC , па је

0ab )(U Vj)1(16 .

Струја кроз импедансу Z у колу на слици 18.3 је

Aj)1(2)(

ab

0ab

ZZ

UI ,

док је комплексна снага импедансе

VAj)1(162

1 2 IZS Z .

Слика 18.3

19. У колу које је приказано шемом на слици 19 познато је: 10CXR , 20LX ,

Vj2)1(401 E и Vj2)1(402 E . Одредити импедансу Z тако да се на њој развије

максимална активна снага и израчунати ту снагу.

Слика 19

______________________________________________________________________________

За решавање кола треба применити Тевененову теорему. Унутрашња импеданса

Тевененовог генератора одређује се из кола са слике 19.1.

Слика 19.1

Слика 19.2

Еквивалентна адмитанса двопола је

CLCLR

XXRYYYY

j

1

j

11ab

,

па је j)2(41

abab

YZ .

На импеданси Z ће се развити максимална активна снага када је j)2(4*abZZ .

За одређивање напона празног хода, 0ab )(U , применићемо метод потенцијала чворова за

коло на слици 19.2.

Једначина је облика:

CCL X

E

R

EU

XXR jj

1

j

11 2110

,

а њено решење је Vj)1(8010 U .

Напон празног хода, према ознакама на слици 19.2, је

0ab )(U V40102 UE .

На овај начин је део кола између тачака a и b замењен

еквивалентним Тевененовим генератором, слика 19.3.

Струја кроз импедансу Z је

A5.2)(

ab

0ab

ZZ

UI ,

док је комплексна снага импедансе

VAj)2(5.122

1 2 IZS Z .

Слика 19.3

20. У колу које је приказано шемом на слици 20 познато је: 102 LXR , 53 CXR ,

V31 E , V2j1112 E и А

5

14јЈ . Одредити импедансу Z тако да се на њој развије


Слика 20

______________________________________________________________________________

Применићемо Тевененову теорему за решавање кола.

Унутрашња импеданса Тевененовог генератора, слика 20.1, је

)4j7(

j

)j(

2

23ab

C

C

XR

XRRZ .

На импеданси Z ће се развити максимална активна снага када је )4j7(*abZZ .

2R

+E

3R

J

2

Z

E

1

CXLX

+

Слика 20.1

Слика 20.2

Напон празног хода, према ознакама на слици 20.2, је 0ab )(U JRIXE C 31 j .

Струјa I се одређује из jедначинe:

22 )j( EIXR C ,

и износи A5

11jI , па је

0ab )(U Vj)1(14 .

Струја кроз импедансу Z на слици 20.3 има вредност:

Aj)1()(

ab

0ab

ZZ

UI ,

док је комплексна снага: VA)4j7(2

1 2 IZS Z .

Слика 20.3

21. Ако је мост приказан шемом на слици 21 у равнотежи, израчунати екевивалентну

комплексну импедансу између прикључака А и B. Познато је: mH1L , srad105 ,

21k и F1.0 C .

Слика 21

Слика 21.1

____________________________________________________________________________

С обзиром да је задат мост који је у равнотежи, струја кроз кондензатор једнака је нули па

се посматрано коло своди на коло приказано на слици 21.1.

Вредности појединих параметара кола су:

mH5.021 кLLLкМ

100LX L и 50MX M .

Због симетрије кола струје 1I и 2I у гранама кола су једнаке, тако да је 2

21

III .

До исте релације може се доћи решавањем система једначина:

.2

2j2j2j2j

02j2j2j2j

2121

1221

IIIIXXIXX

IXIXIXIX

MLML

MLML

Из једначине IIXXI

XXIXIXU MLMLML 150jj2

2j2j2j 21

добија се улазна импеданса кола 150jABZ .

22. У колу приказаном на слици 22 познато је: ,221 LL XX 11221 XXRR C ,

Vj3E и .AjJ Одредити:

а) Тренутне вредности струја у свим гранама кола;

б) Комплексне снаге калемова.

Слика 22

Слика 22.1

______________________________________________________________________________


IЈI 1 ;

IRIXRJXIXЕ CL 211122 jjj .

Сменом прве једначине у другу, добија се

ЈXXRIXXRRЕ CCL 121221 jjjj ,

одакле је:

А5Аj2

jj

jj2

1arctanj

221

121

e

XXRR

ЈXXRЕI

CL

C , па је А2

1arctancos5

tti

и

А22j12 4j

1

eIJI , па је А4

cos221

tti ,

док је

А2

cos

ttj .

Напони спрегнутих калемова су:

V2j1jj 1211 IXJXU LL и V4j1jj 1222

JXIXU LL .

Комплексне снаге калемова су:

VAj22

1

2

1 *11

JUS LL и VA9j22

1

2

1 *22

IUS LL .

23. Одредити све струје у колу приказаном на слици 23 и комплекснe снагe спрегнутих

калемова. Познато је: ,112 XXR C ,221 LL XX AjJ и .Vj)3( E

Слика 23

Слика 23.1

______________________________________________________________________________

За коло на слици 23.1 по првом и другом Kирхофовом закону могу се написати једначине:

ЈII 1 ;

11211 jjj IRJXIXIXЕ LC .

Из предходне две једначине добија се једначина

ЈIRJXЈIXIXЕ LC 121 jjj ,

из које се одређује струја

Aj1

jj

jj

1

121

LC

L

XXR

JXXRЕI ,

па је

A2j11 ЈII .

Напони спрегнутих калемова су:

V2j3jj 12111 JXIXU LL и Vjjj 11222 IXJXU LL,

а комплексне снаге калемова су:

VA8j12

1

2

1 *

111 IUS LL и VA2

1

2

1 *

22 JUS LL .

24. У електричном колу приказаном шемом на слици 24 познато је: 112XXXR LC

, 221 LL XX , V3j1 E и .Vj12 E Одредити комплексну снагу на калему 1L .

Слика 24

Слика 24.1

______________________________________________________________________________

За означене смерове струја за коло на слици 24.1, могу се написати следеће једначине:

11 )j( LL UIXRE ;

2122 j LLC UUIXE ;

21 III ,

где су напони спрегнутих калемова:

212111 jj IXIXU LL и 112222 jj IXIXU LL .

Решавањем система једначина добија се:

A1I , Aj)1(1 I и Aj2 I .

Да би израчунали комплексну снагу калема индуктивности 1L , одредићемо прво напон на

његовим крајевима

V)2j1(jj 212111 IXIXU LL ,

а потом комплексну снагу

VA)3j1(2

1

2

1 *111 IUS LL .

25. У колу које је приказано шемом на слици 25 познато је: ,2,221 CXRR ,

221 LL XX , 112X V41 E , Vj22 E

и .Aj)1( J Одредити тренутну вредност

напона између тачака А и B и израчунати снаге спрегнутих калемова.

Слика 25

Слика 25.1

______________________________________________________________________________

Струја 2I , кроз калем реактансе 2LX на слици 25.1, једнака је нули јер није затворено

струјно коло.

За леви део кола важи једначина

XL1

E_

+

XL2

XC

R2

J_

E_+

R1

2

1

A B

IRUE L 111 ,

где је

IXIXIXU LLL 121211 jjj .

Решавањем једначине одређује се струја Aj)1( I .

Напон између тачака A и B је

Vj)1()j(j 22121AB JXREIXIRU C .

Тренутна вредност овог напона је V)4/3cos(2)(AB ttu .

Комплексне снаге на спрегнутим калемовима су:

VA2j2

1 *11 IUS LL и VA0

2

1 *222 IUS LL ,

при чему је IXIXIXU LL 1212222 jjj .

26. У колу приказаном на слици 26 одредити комплексне снаге на спрегнутим калемовима

ако је познато: 5.0,20,10 2121 kXXRR LL и [V]200E .

Слика 26

Слика 26.1

______________________________________________________________________________

Међусобна реактанса спрегнутих калемова је 102112 LL XXkX .


111 LUIRE ;

0222 IRU L ,

где је:

212111 jj IXIXU LL и 112222 jj IXIXU LL .

Решавањем система једначина добија се

A)4j3(21 I и Aj)2(22 I .

Напони на калемовима су:

V)4j7(201 LU и Vj)2(202 LU .

Комплексне снаге на спрегнутим калемовима су:

+ X2

E_

R XL

R

1

2

L

1

VA)8j1(1002

1 *111 IUS LL и VA100

2

1 *222 IUS LL .

27. У колу приказаном на слици 27 одредити импедансу Z , тако да се на њој развија

максимална активна снага и израчунати ту снагу. Познато је: V,6jE A,j1J

,5 LXR ,21

LX 12LX и .22k

Слика 27

______________________________________________________________________________

Применићемо Тевененову теорему за решавање кола. У односу на импедансу Z , остатак

кола између тачака а и b, може се заменити еквивалентним Тевененовим генератором.

С обзиром да у колу постоје спрегнути калемови, унутрашња импеданса Тевененовог

генератора одређује се тако што се сви генератори у двополу замене својим унутрашњим

импедансама и између крајева двопола прикључи генератор који даје струју колу, слика

27.1. Еквивалентна импеданса се затим одређује по дефиницији, као количник напона и

струје на приступу.

Слика 27.1

Слика 27.2

Из једначине кола:

IRIXXXU LL 12212jjj ,

добија се унутрашња импеданса генератора

j152j 1221ab XXXRI

UZ LL .

На импеданси Z развија се максимална активна снага када је j)1(5*abZZ .

Напон празног хода је, према ознакама на слици 27.2,

Vj13jj)(1120ab EJXJXU L .

Струја кроз импедансу Z одређује се из кола на слици 27.3,

Aj)1(10

3)(

ab

0ab

ZZ

UI ,

па је комплексна снага импедансе

VAj)1(20

9

2

1 2 IZS Z .

Слика 27.3

28. У колу приказаном шемом на слици 28 одредити импедансу Z тако да се на њој развије

максимална активна снага и израчунати ту снагу. Познато је: mH,1021 LL ,10R

,srad103 5.0k и .V4

cos210

tе

Слика 28

Слика 28.1

______________________________________________________________________________

mH5121 кLLLкМ

10121 LXX LL , 5MXM .

У односу на импедансу Z остатак кола између тачака а и b, може се заменити

еквивалентним Тевененовим генератором. За одређивање унутрашње импедансе

Тевененовог генератора у колима која садрже индуковано спрегнуте калемове, све

генераторе треба заменити својим унутрашњим ипедансама, a еквивалентну импедансу

кола између крајева а и b одредити као однос напона између крајева а и b, U и струје I .


0jj 11 IXIX ML ;

IRIXIXU ML 12 jj .

Када се из прве једначине изрази струја 1I ,

IIX

XI

L

M

2

1

1

1 ,

и замени у другу једначину, добија се једначина

IXXRU ML

2

1jj 2 ,

из које се лако одређује еквивалентна импеданса кола између крајева а и b

2

15j20

2

1jj 2ab ML XXR

I

UZ .

Да би се на импеданси Z развила максимална активна снага мора да буде задовољен услов

3j42

5

2

15j20*abZZ .

Слика 28.2

Слика 28.3

Напон празног хода одређује се за коло приказано на слици 28.2.

11

jj

LL

X

EIIXE ,

па је

Vj1152

3j

0ab EEIXU М .

Након одређивања елемената Тевененовог генератора, почетно коло се своди на коло

приказано на слици 28.3, па је струја кроз импедансу Z

Aj1

4

3

ab

0ab

ZZ

UI ,

а комплексна снага VA3j432

45

2

1 2 IZS Z , где је: W

8

45ZP .

29. У колу приказаном на слици 29 одредити импедансу Z тако да се на њој развије


Познато је: ,2,4,8,2 21221 RXXX LL Vj1141 E и V82 E .

Слика 29

Слика 29.1

______________________________________________________________________________

+

X2

E_

R2L

+

EZ

X1L

1 2

У односу на импедансу Z остатак кола између тачака а и б, може се заменити

еквивалентним Тевененовим генератором. Унутрашња импеданса Тевененовог генератора

одређује се кaо улазна импеданса, између крајева а и b, кола са слике 29.1, за које се могу

написати следеће једначине:

12 III ;

IXR

XRIIIRIXIX

LL

12

1221121211

j

jjj

;

112222121122 jjjj IXRIXRIIRIXIXU LL .

Сменом струје 1I у последњу једначину добија се једначина

IXR

XRXRIXRU

LL

12

12212222

j

jjj

,

из које се одређује еквивалентна импеданса кола између крајева а и б

j19

j

jjj

12

12212222ab

LL

XR

XRXRXR

I

UZ .

Непозната импеданса Z добија се из услова

j19*abZZ .

Слика 29.2

Слика 29.3

Напон празног хода одређује се за коло приказано на слици 29.2.

Из једначине кола

21112 j EEIXR L ;

добија се

A2j5j 12

211

LXR

EEI ,

па је

V16j26j 2121120ab EIRIXU .

Комплексна снага импедансе у колу на слици 29.3 је

VAj1

18

233

2

12

ab

0ab

ZZ

UZS Z .

30. Мешовита веза отпорника, калема и кондензатора је прикључена на струјни генератор

A2cos2)( tti , као на слици 30. На учестаности генеартора, , паралелна веза калема

индуктивности 1L и кондензатора капацитивности 1C је у антирезонанси. Одредити:

а) Учестаност генератора ;

б) Реактансе калема L и кондензатора C ;

в) Напоне на отпорнику отпорности R , калему инуктивности L и кондензатору

капацитивности C .

Познато је: F10mH,5.0,H20,1 1 CLLR и F2.01 C .

Слика 30

Слика 30.1

______________________________________________________________________________

Прво ћемо одредити комплексни представник тренутне вредности струје струјног

генератора. С обзиром да је A)2/cos(2)( tti , добија се A2je2 2/j J .

а) Према услову задатка, за учестаност паралелна веза калема индуктивности 1L и

кондензатора капацитивности 1C је у антирезонанси. Еквивалентна импеданса ове

паралелне везе је

1ul

112

1

1

1

1

1

1ul j1

j

j

1j

j

1j

XCL

L

CL

CL

Z

.

Из услова да 1ulX добија се једначина 01 112 CL , одакле је .rad/s10

1 5

11

CL

б) Реактанса калема инуктивности L је 2LX L , а реактанса кондензатора

капацитивности C је 1/1 CXC .

в) Тражени напони на отпорнику, калему и кондензатору у колу на слици 30.1 су:

V2j JRU R , V4j JXU LL и V2j JXU CC , респективно.

31. У колу на слици 31 одредити вредност капацитивности C тако да генератор остатку

кола даје искључиво активну снагу. За тај случај одредити комплексну снагу кондензатора.

Познато је: mH16L , ,1R 5.0k , s

rad10

7

1 5 и V40m U .

Слика 31

______________________________________________________________________________

Мешовита веза калемова са слике 31 може се заменити једном еквивалентном индук-

тивношћу. На крајеве ове везе прикључићемо напонски генератор напона U , слика 31.1.

Слика 31.1

Слика 31.2

За смерове струја приказане на слици 31.1, напони на спрегнутим калемовима су:

211 jj IXIXU MLL и 122 jj IXIXU MLL ,

где је LLLM kXXXkX .

За коло са слике може се написати следећи систем једначина:

221 j IXUU LLL ;

21 III ;

1LUU .

Заменом израза за 1LU и 2LU у прву једначину система добија се релација

21 jj IXIX ML 212 jjj IXIXIX LML ,

одакле је

12 5

3II .

Заменом добијеног израза за струју 2I у другу једначину, добија се струја II8

51 .

Када се изрази добијени за струје 1I и 2I увресте у трећу једначину она постаје

U IXIkXIX LLL16

7jjj 21 .

Из задње једначине добија се импеданса индуктивног карактера

16

7je LX

I

UZ ,

чија је реактансеа 10016

7e LL XX .

Упрошћена шема кола приказана је на слици 31.2. Да би генератор колу предавао само

активну снагу, треба да су напон и струја кроз генератор у фази. Овај услов је остварен само

ако кроз паралелну везу калема и кондензатора не тече струја, односно ако је у том делу

кола наступила антирезонанса па је

CL XX e .

Из овог услова добија се вредност капацитивности кондензатора,

F7.01

e

LXC .

При антирезонанси напон на кондензатору је

2

UU

RR

RU C

,

па је комплексна снага кондензатора

VA2jj2

1

2

12

* C

CCCC X

UIUS .

32. За коло приказано шемом на слици 32 одредити:

a) Улазну импедансу у функцији учестаности, ulZ ;

б) Резонантне и антирезонантне учестаности;

в) Нацртати дијаграм улазне реактансе ulX .

Познато је: H2021 LL , nF1001 C , nF1502 C .

Слика 32

______________________________________________________________________________

a) Улазна адмитанса кола приказаног на слици је

11

22ul

j

1j

1

j

1j

CL

LCY

,

)1(j

1)(

112

2

2122211

42211

ulCLL

CLCLCLCLCLY

,

а улазна импеданса

1)(

)1(j

1

2122211

42211

112

2

ulul

CLCLCLCLCL

CLL

YZ .

б) Улазна реактанса је 1)(

)1(

2122211

42211

112

2ul

CLCLCLCLCL

CLLX .

C2L2

L1

C1

Резонантне учестаности се одређују из услова да је 0ul X ,

s

rad10707.0

1,0 6

112r1r

CL.

Антирезонантне учестаности се одређују из услова ulX , односно кад важи једнакост

01)( 2а122211

4а2211 CLCLCLCLCL .

одакле се израчунавају антирезонантне учестаности

.s

rad10408.0,

s

rad10 6

2a6

1a

в) Дијаграм улазне реактансе ulX приказан је на слици 32.1.

Слика 32.1


а) Улазну реактансу у функцији учестаности, ulX ;



Познато је: mH4.01 L , mH1.02 L , ,22k nF10C .

Слика 33

Слика 33.1

______________________________________________________________________________

а) Улазна импеданса кола које садржи индуковано спрегнуте калемове одређује се као однос

напона и струје на улазу кола.

Међусобна индуктивност спрегнутих калемова је 111 kLLLkМ .

За кола на слици 33.1 могу се написати једначине

IkIIkLIL 1111 0jj

I

CL

CL

IkLILU

1

jj

1jj

jj

2

2

111 .

Из предходних једначина одређује се улазна импеданса

CL

LkLL

I

UZ

22

211ul

1j ,

и улазна реактанса CL

kCLLLkLLX

22

221

21

221

ul1

)1(

.

б) Из услова да је 0ul X , одређују се резонантне учестаности

,s

rad10225.1

)1(,0 6

221

12

212r1r

kCLL

LkLL

а из услова ulX , антирезонантна учестаност s

rad10

1 6

2а

CL.

в) Дијаграм улазне реактансе ulX приказан је на слици 33.2.

Слика 33.2


a) Улазну реактансу у функцији учестаности, ulX ;



Познато је: mH2.01 L , mH1.02 L , ,21k nF10C .

Слика 34.

Слика 34.1

______________________________________________________________________________

а) Одредићемо прво еквивалентну индуктивност спрегнутих калемова (слика 34.1).

IMILIMILU jjjj 11 ;

IMLU )2j2(j 1 ;

1e11e j12j LLLkLI

UZ .

Слика 34.2

За коло на слици 34 еквиваелентно коло приказано је на слици 34.2, па је улазна

импеданса

CL

CL

LZ

j

1j

j

1j

j

2

2

еul ,

CL

CLLLLZ

22

212

21ul

1j

,

а улазна реактанса CL

CLLLLX

22

212

21ul

1)(

.

б) Резонантне учестаности су

,s

rad10

2

3,0 6

21

212r1r

CLL

LL

а антирезонантна учестаност s

rad10

1 6

2а

CL.

в) Дијаграм улазне реактансе ulX је идентичан као у претходном задатку (слика 33.2.).

i t Z § S A a) X

Documents

Transcript of i t Z § S A a) X