Grzegorz Kosiorowski · N = log 1,05 1,6 ≈9,6. Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero...

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 1 / 34

1 Funkcje logarytmiczne

2 Funkcje cyklometryczne

3 Dziedzina funkcji elementarnej - podsumowanie

4 Wklęsłość i wypukłość funkcji

5 Rzeczywiste funkcje nieelementarne

6 Funkcje wielu zmiennych - przykłady


Funkcje logarytmiczne

Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmicznaloga x , jako odwrotna do funkcji wykładniczej ax .

Powinni Państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie iwłasnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiórwartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto wzory związane zlogarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmuw 1 i w a) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych.


Funkcje logarytmiczne

Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmicznaloga x , jako odwrotna do funkcji wykładniczej ax .Powinni Państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie iwłasnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiórwartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto wzory związane zlogarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmuw 1 i w a) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych.


Liczba Eulera i logarytm naturalny

Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x . ln, czyli logarytmnaturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera -liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e ≈ 2, 72.

Wkrótcepoznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia zarówno matematyki,jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji ex i ln x .


Liczba Eulera i logarytm naturalny

Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x . ln, czyli logarytmnaturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera -liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e ≈ 2, 72. Wkrótcepoznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia zarówno matematyki,jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji ex i ln x .


Funkcje logarytmiczne - zastosowanie

ZadanieNa lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznejumieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć zkonta 8000 PLN?

Rozwiązanie: Kapitał KN po N latach na lokacie można obliczyć zewzoru:

KN = 5000 · (1 + 0, 05)N .

Zatem rozwiązujemy równanie8000 = 5000(1, 05)N ⇒ 1, 6 = (1, 05)N ⇒ N = log1,05 1, 6 ≈ 9, 6.Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji).





KN = 5000 · (1 + 0, 05)N .

Zatem rozwiązujemy równanie8000 = 5000(1, 05)N ⇒

1, 6 = (1, 05)N ⇒ N = log1,05 1, 6 ≈ 9, 6.Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji).





KN = 5000 · (1 + 0, 05)N .

Zatem rozwiązujemy równanie8000 = 5000(1, 05)N ⇒ 1, 6 = (1, 05)N ⇒

N = log1,05 1, 6 ≈ 9, 6.Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji).





KN = 5000 · (1 + 0, 05)N .

Zatem rozwiązujemy równanie8000 = 5000(1, 05)N ⇒ 1, 6 = (1, 05)N ⇒ N = log1,05 1, 6 ≈ 9, 6.

Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji).





KN = 5000 · (1 + 0, 05)N .

Zatem rozwiązujemy równanie8000 = 5000(1, 05)N ⇒ 1, 6 = (1, 05)N ⇒ N = log1,05 1, 6 ≈ 9, 6.Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji).


Odwracalność funkcji trygonometrycznych

Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro sąokresowe, nie mogą być różnowartościowe. Dlatego, zanimskonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy zawęzić ichdziedziny.


Konstrukcja funkcji arkus sinus

Funkcją odwrotną do sin |[−π/2,π/2] jest arc sin : [−1, 1]→ [−π2 ,

π2 ].

Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarc sin x = y ⇔ sin y = x ∧ y ∈ [−π

2 ,π2 ].



Na przykład arc sin(−1) =

− π2 , bo sin(−π

2 ) = −1, arc sin 12 =π6 , bo

sin π6 =

12 .



Na przykład arc sin(−1) = − π2 , bo sin(−π

2 ) = −1,

arc sin 12 =π6 , bo

sin π6 =

12 .




2 ) = −1, arc sin 12 =

π6 , bo

sin π6 =

12 .




2 ) = −1, arc sin 12 =π6 , bo

sin π6 =

12 .


Konstrukcja funkcji arkus kosinus

Funkcją odwrotną do cos |[0,π] jest arc cos : [−1, 1]→ [0, π].

Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarc cos x = y ⇔ cos y = x ∧ y ∈ [0, π].



Funkcją odwrotną do cos |[0,π] jest arc cos : [−1, 1]→ [0, π].Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarc cos x = y ⇔ cos y = x ∧ y ∈ [0, π].



Na przykład arc cos(−1) =

π, bo cosπ = −1,arc cos 12 =π3 , bo

cos π3 =12 .



Na przykład arc cos(−1) = π, bo cos π = −1,

arc cos 12 =π3 , bo

cos π3 =12 .



Na przykład arc cos(−1) = π, bo cos π = −1,arc cos 12 =

π3 , bo

cos π3 =12 .



Na przykład arc cos(−1) = π, bo cos π = −1,arc cos 12 =π3 , bo

cos π3 =12 .


Konstrukcja funkcji arkus tangens

Funkcją odwrotną do tg |(−π/2,π/2) jest arctg : R→ (−π2 ,

π2 )

Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarctg x = y ⇔ tg y = x ∧ y ∈ (−π

2 ,π2 ).



Na przykład arctg(−1) =

− π4 , bo tg(−π

4 ) = −1,arctg√

3 = π3 , bo

tg π3 =√

3.



Na przykład arctg(−1) = − π4 , bo tg(−π

4 ) = −1,

arctg√

3 = π3 , bo

tg π3 =√

3.




4 ) = −1,arctg√

3

= π3 , bo

tg π3 =√

3.




4 ) = −1,arctg√

3 = π3 , bo

tg π3 =√

3.


Funkcja arctg - potencjalne zastosowania

Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nierośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry.

Dlatego np.lepiej niż funkcja wykładnicza nadawałaby się do ulepszonego modeluMalthusa jako model wzrostu populacji.


Funkcja arctg - potencjalne zastosowania

Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nierośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry. Dlatego np.lepiej niż funkcja wykładnicza nadawałaby się do ulepszonego modeluMalthusa jako model wzrostu populacji.


Konstrukcja funkcji arkus kotangens

Funkcją odwrotną do ctg |(0,π) jest arcctg : R→ (0, π)

Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarcctg x = y ⇔ ctg y = x ∧ y ∈ (0, π).



Funkcją odwrotną do ctg |(0,π) jest arcctg : R→ (0, π)Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie zzasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyliarcctg x = y ⇔ ctg y = x ∧ y ∈ (0, π).



Na przykład arcctg(−1) =

3π4 , bo ctg 3π4 = −1,arcctg

√3 = π

6 , boctg π

6 =√

3.



Na przykład arcctg(−1) = 3π4 , bo ctg 3π4 = −1,

arcctg√

3 = π6 , bo

ctg π6 =√

3.



Na przykład arcctg(−1) = 3π4 , bo ctg 3π4 = −1,arcctg

√3 =

π6 , bo

ctg π6 =√

3.



Na przykład arcctg(−1) = 3π4 , bo ctg 3π4 = −1,arcctg

√3 = π

6 , boctg π

6 =√

3.


Własności funkcji cyklometrycznych

Funkcje „arkus”, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamyfunkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następującewłasności:

Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczbrzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [−1, 1].

Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [−π2 ,

π2 ],

dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbioremwartości jest (−π

2 ,π2 ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π).

Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste.

Funkcje arc sin i arctg są rosnące, a arc cos i arcctg są malejącew swojej dziedzinie.

Wszystkie te funkcje są różnowartościowe (więc są bijekcjami naswój obraz) i odwracalne.


Równości cyklometryczne

Dodatkowo mamy przydatne równości:

Równości cyklometryczne

arc sin x + arc cos x =π

2; arctg x + arcctg x =

π

2.


Dziedzina - wstęp

Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ichsumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi.

Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badaniazachowania się takich funkcji. Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli niejest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzoneobliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji.


Dziedzina - wstęp

Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ichsumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi.Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badaniazachowania się takich funkcji.

Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli niejest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzoneobliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji.


Dziedzina - wstęp

Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ichsumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi.Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badaniazachowania się takich funkcji. Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli niejest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzoneobliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji.


Badanie dziedziny - kryteria

Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniudziedziny:

Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgoweujemnych stopni).

Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystychmianownikach wykładników.

Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens).

Funkcje logarytmiczne.

Funkcje cyklometryczne (arkus sinus i arkus kosinus).


Badanie dziedziny - przykład

Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić zdziedziną nawet bardzo złożonej funkcji.

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) =arc sin√

ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek:

w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.

Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm:

pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.

W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy:

wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,

stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,

czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.




Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1zatem musi być x + 1 6= 0, czyli x 6= −1.Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1− x , zatem1− x > 0, czyli x < 1.W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażeniepodpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1− x) 0,stądln(1− x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą)1− x 1, czyli x ¬ 0.



Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Wiemy już, że x 6= −1, x < 1, x ¬ 0. Do rozważenia pozostał jeszczearc sin.

Argumenty arc sin są z przedziału [−1, 1] zatem musimy rozwiązać−1 ¬

√ln(1− x) ¬ 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest

zawsze większy od −1, zatem rozważamy tylko√ln(1− x) ¬ 1. Z

monotoniczności pierwiastka mamy ln(1− x) ¬ 1,a zmonotoniczności logarytmu 1− x ¬ e, czyli x 1− e.Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmyotrzymujemy Df = [1− e, 0] \ {−1}.



Zadanie


ln(1−x)x+1 .

Wiemy już, że x 6= −1, x < 1, x ¬ 0. Do rozważenia pozostał jeszczearc sin.Argumenty arc sin są z przedziału [−1, 1] zatem musimy rozwiązać−1 ¬

√ln(1− x) ¬ 1.

Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest





Zadanie


ln(1−x)x+1 .



zawsze większy od −1, zatem rozważamy tylko√ln(1− x) ¬ 1.

Zmonotoniczności pierwiastka mamy ln(1− x) ¬ 1,a zmonotoniczności logarytmu 1− x ¬ e, czyli x 1− e.Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmyotrzymujemy Df = [1− e, 0] \ {−1}.



Zadanie


ln(1−x)x+1 .




monotoniczności pierwiastka mamy ln(1− x) ¬ 1,

a zmonotoniczności logarytmu 1− x ¬ e, czyli x 1− e.Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmyotrzymujemy Df = [1− e, 0] \ {−1}.



Zadanie


ln(1−x)x+1 .




monotoniczności pierwiastka mamy ln(1− x) ¬ 1,a zmonotoniczności logarytmu 1− x ¬ e, czyli x 1− e.

Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmyotrzymujemy Df = [1− e, 0] \ {−1}.



Zadanie


ln(1−x)x+1 .






Wklęsłość i wypukłość - definicja

Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnieńekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość.

Wklęsłość i wypukłośćFunkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych,różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) < αf (x1) + (1− α)f (x2).Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnychpunktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) > αf (x1) + (1− α)f (x2).Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabyminierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.




Wklęsłość i wypukłośćFunkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych,różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) < αf (x1) + (1− α)f (x2).

Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnychpunktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) > αf (x1) + (1− α)f (x2).Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabyminierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.




Wklęsłość i wypukłośćFunkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych,różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) < αf (x1) + (1− α)f (x2).Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnychpunktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) > αf (x1) + (1− α)f (x2).

Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabyminierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.




Wklęsłość i wypukłośćFunkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych,różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) < αf (x1) + (1− α)f (x2).Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnychpunktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzif (αx1 + (1− α)x2) > αf (x1) + (1− α)f (x2).Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabyminierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.


Wklęsłość i wypukłość - interpretacja geometryczna

Dla funkcji wypukłej odcinekłączący dwa punkty wykresuleży ponad wykresem.

Dla funkcji wklęsłej odcinekłączący dwa punkty wykresuleży pod wykresem.


Wklęsłość i wypukłość - interpretacja

Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana zmonotonicznością funkcji:

otóż wypukłość oznacza, że funkcja „matendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”.Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośniecoraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeślijest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca iwklęsła to maleje coraz szybciej.



Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana zmonotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja „matendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”.

Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośniecoraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeślijest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca iwklęsła to maleje coraz szybciej.



Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana zmonotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja „matendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”.Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośniecoraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeślijest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca iwklęsła to maleje coraz szybciej.


Wklęsłość i wypukłość - przykłady

f (x) = x2 jest wypukła w całejdziedzinie.

f (x) =√x jest wklęsła w całej

dziedzinie.



f (x) = x3 jest wklęsła w(−∞, 0], wypukła w [0,+∞).

Punkt zmiany funkcji wypukłejwe wklęsłą (lub na odwrót) - wtym przypadku x = 0 nazywasię punktem przegięcia.



f (x) = x3 jest wklęsła w(−∞, 0], wypukła w [0,+∞).Punkt zmiany funkcji wypukłejwe wklęsłą (lub na odwrót) - wtym przypadku x = 0 nazywasię punktem przegięcia.


Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość

Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja (−f ) jest wklęsła.

Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe aniwypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasemsię to zdarza (x2).

Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne sąwklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a wprzeciwnym wypadku są wypukłe.

Funkcje cyklometryczne i trygonometryczne nie są wklęsłe aniwypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami).


Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne

Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych.

Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeślisą „niekorzystne” (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) iwklęsłe, jeśli są „korzystne” (funkcja przychodu od nakładów).Wynika to z różnych ekonomicznych praw takich jak prawo malejącejużyteczności krańcowej, prawo malejącej produktywności krańcowejitp.



Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych.Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeślisą „niekorzystne” (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) iwklęsłe, jeśli są „korzystne” (funkcja przychodu od nakładów).

Wynika to z różnych ekonomicznych praw takich jak prawo malejącejużyteczności krańcowej, prawo malejącej produktywności krańcowejitp.



Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych.Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeślisą „niekorzystne” (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) iwklęsłe, jeśli są „korzystne” (funkcja przychodu od nakładów).Wynika to z różnych ekonomicznych praw takich jak prawo malejącejużyteczności krańcowej, prawo malejącej produktywności krańcowejitp.


Sklejenia funkcji

Najbardziej popularne (i chyba jedyne pojawiające się na tym kursie)funkcje, które nie są ani funkcjami elementarnymi, ani nie powstająza pomocą przedstawionych w podrozdziale VI działań na funkcjach,to tzw. sklejenia funkcji, które polegają na tym, że funkcja jestzdefiniowana różnymi wzorami elementarnymi na różnychprzedziałach. Czasem funkcje tego typu są na tyle użyteczne, żeuzyskują własne oznaczenie.


Wartość bezwzględna i signum

f (x) = |x |: funkcja modułu(wartości bezwzględnej).

g(x) = sgn x : funkcja signum(wartość 1 dla liczb dodatnich,−1 dla ujemnych i 0 w zerze).


Funkcje wielu zmiennych

Żeby Państwa nie przyzwyczajać zanadto do myśli, że wszystkiefunkcje muszą zależeć od jednej zmiennej, przedstawię kilkaprzykładów, że tak nie jest. W istocie, nieczęsto się zdarza, byjakiekolwiek zjawisko, ekonomiczne, czy inne, było zależne tylko odjednego bodźca. Dlatego używanie funkcji wielu zmiennych jestczęsto konieczne, by stworzyć właściwy model.


Kanoniczny iloczyn skalarny

Zapewne pojawił się już na wykładzie z algebry.

Kanoniczny iloczyn skalarnyRozważmy dwa wektory w przestrzeni Rn: x = (x1, x2, . . . , xn) iy = (y1, y2, . . . , yn). Definiujemy odwzorowanie< ·, · >: Rn × Rn → R zdefiniowane wzorem< x , y >= x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn nazywamy kanonicznymiloczynem skalarnym.


Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii

Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii.

Najbardziejtrywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr.Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x1jednostek dobra 1, x2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą byćujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to:y1 za jednostkę dobra 1, y2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą byćujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne).Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszykadóbr) wynosi < x , y >.



Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziejtrywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr.Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x1jednostek dobra 1, x2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą byćujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie).

Ceny tych dóbr to:y1 za jednostkę dobra 1, y2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą byćujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne).Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszykadóbr) wynosi < x , y >.



Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziejtrywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr.Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x1jednostek dobra 1, x2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą byćujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to:y1 za jednostkę dobra 1, y2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą byćujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne).

Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszykadóbr) wynosi < x , y >.



Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziejtrywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr.Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x1jednostek dobra 1, x2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą byćujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to:y1 za jednostkę dobra 1, y2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą byćujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne).Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszykadóbr) wynosi < x , y >.


Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji międzyprodukcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą.

Są one postaci: F (K , L) = aKαLβ, gdzie K to nakład kapitału, a L tonakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K , L) jednostekproduktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi.Jak widać: F : R+ × R+ → R.Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach,niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją.Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne.



Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji międzyprodukcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą.Są one postaci: F (K , L) = aKαLβ, gdzie K to nakład kapitału, a L tonakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K , L) jednostekproduktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi.

Jak widać: F : R+ × R+ → R.Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach,niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją.Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne.



Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji międzyprodukcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą.Są one postaci: F (K , L) = aKαLβ, gdzie K to nakład kapitału, a L tonakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K , L) jednostekproduktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi.Jak widać: F : R+ × R+ → R.

Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach,niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją.Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne.



Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji międzyprodukcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą.Są one postaci: F (K , L) = aKαLβ, gdzie K to nakład kapitału, a L tonakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K , L) jednostekproduktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi.Jak widać: F : R+ × R+ → R.Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach,niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją.Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne.


Grzegorz Kosiorowski · N = log 1,05 1,6 ≈9,6. Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero...

Documents

Transcript of Grzegorz Kosiorowski · N = log 1,05 1,6 ≈9,6. Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero...