Grzegorz Kosiorowski...2018/09/02 · ciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym...

2. Ciągłość funkcji

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2. Ciągłość funkcji 1 / 33

1 Motywacja

2 Definicja

3 Funkcje nieciągłe w ekonomii

4 Pożytki z ciągłości


Ciągłość - motywacja

W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia znieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczeniana danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrymprzybliżeniem właściwego wyniku.

Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π2.Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π ipodnosimy ją do kwadratu. Jednakże, warto sobie uświadomić, żewartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamyzatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona irzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco? Zapewnia nam torówność:

π2 = limx→π

x2,

która mówi, że w pobliżu π wartości funkcji x2 są bliskie π2.



W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia znieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczeniana danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrymprzybliżeniem właściwego wyniku.Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π2.Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π ipodnosimy ją do kwadratu.

Jednakże, warto sobie uświadomić, żewartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamyzatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona irzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco? Zapewnia nam torówność:

π2 = limx→π

x2,




W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia znieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczeniana danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrymprzybliżeniem właściwego wyniku.Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π2.Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π ipodnosimy ją do kwadratu. Jednakże, warto sobie uświadomić, żewartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamyzatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona irzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco?

Zapewnia nam torówność:

π2 = limx→π

x2,




W naukach społecznych praktycznie nigdy nie mamy do czynienia znieskończenie dokładnymi danymi. Powstaje pytanie, czy obliczeniana danych przybliżonych dadzą wynik, który jest dobrymprzybliżeniem właściwego wyniku.Na przykład, chcemy obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość π2.Wydaje się to oczywiste - wpisujemy przybliżoną wartość π ipodnosimy ją do kwadratu. Jednakże, warto sobie uświadomić, żewartość π w kalkulatorze nie jest dokładna (choć bliska). Skąd mamyzatem pewność, że po podniesieniu do kwadratu wartość przybliżona irzeczywista się nie oddalą od siebie znacząco? Zapewnia nam torówność:

π2 = limx→π

x2,




Nie zawsze tak musi być.

Rozważmy na przykład funkcję:

f (x) =

1x, dla x 6= 0

0, dla x = 0..

Jeśli rozważymy f (ε), gdzie ε > 0 (lub ε < 0) jest bliskie zeru, nieotrzymamy wartości w pobliżu f (0) = 0 - lecz wręcz przeciwnie,bardzo dużą (na moduł) liczbę.Dlatego, określenie klasy funkcji, na których można bezpieczniewykonywać przybliżone rachunki jest bardzo ważne. Taką klasętworzą funkcje ciągłe.



Nie zawsze tak musi być. Rozważmy na przykład funkcję:

f (x) =

1x, dla x 6= 0

0, dla x = 0..





f (x) =

1x, dla x 6= 0

0, dla x = 0..

Jeśli rozważymy f (ε), gdzie ε > 0 (lub ε < 0) jest bliskie zeru, nieotrzymamy wartości w pobliżu f (0) = 0 - lecz wręcz przeciwnie,bardzo dużą (na moduł) liczbę.

Dlatego, określenie klasy funkcji, na których można bezpieczniewykonywać przybliżone rachunki jest bardzo ważne. Taką klasętworzą funkcje ciągłe.




f (x) =

1x, dla x 6= 0

0, dla x = 0..



Ciągłość - definicja

Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewienpodzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak wramach tego kursu praktycznie nie będziemy się badaniem ichciągłości zajmować).

Ciągłość w punkcieMówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ Df wtedy i tylkowtedy, gdy granica lim

x→x0f (x) istnieje i lim

x→x0f (x) = f (x0).

Wniosek - ciągłość „obustronna” w punkcieFunkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ Df wtedy i tylko wtedy, gdygranica lim

x→x+0

f (x) = limx→x−0

f (x) = f (x0).



CiągłośćFunkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojejdziedziny.

Ideę definicji można prosto zilustrować na wykresie - funkcja jestciągła w punkcie dziedziny, jeśli wykres się w nim nie „rozrywa”.Innymi słowy, jak to w szkole się mówiło: „ jeśli można narysować bezodrywania długopisu - to jest ciągłe”. Sprawa jest troszeczkę bardziejskomplikowana (zaraz to zobaczymy), ale w najprostszychprzypadkach to się sprawdza.




Ideę definicji można prosto zilustrować na wykresie - funkcja jestciągła w punkcie dziedziny, jeśli wykres się w nim nie „rozrywa”.Innymi słowy, jak to w szkole się mówiło: „ jeśli można narysować bezodrywania długopisu - to jest ciągłe”.

Sprawa jest troszeczkę bardziejskomplikowana (zaraz to zobaczymy), ale w najprostszychprzypadkach to się sprawdza.




Ideę definicji można prosto zilustrować na wykresie - funkcja jestciągła w punkcie dziedziny, jeśli wykres się w nim nie „rozrywa”.Innymi słowy, jak to w szkole się mówiło: „ jeśli można narysować bezodrywania długopisu - to jest ciągłe”. Sprawa jest troszeczkę bardziejskomplikowana (zaraz to zobaczymy), ale w najprostszychprzypadkach to się sprawdza.


Ciągłość - ilustracja

Ta funkcja jest ciągła...

a ta nie.


Ciągłość - ilustracja

Ta funkcja jest ciągła... a ta nie.Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)2. Ciągłość funkcji 7 / 33


Stwierdzenie: „ jeśli można narysować bez odrywania długopisu - tojest ciągłe” nie mówi jednak całej prawdy:

Na przykład, funkcja f (x) = 1x

, o dziedzinie R \ {0} (wprzeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! Co do jejciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, achoć wykres w 0 się „rozrywa” to 0 nie należy do dziedziny!.Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości!





, o dziedzinie R \ {0} (wprzeciwieństwie do wcześniejszego przykładu)

jest ciągła! Co do jejciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, achoć wykres w 0 się „rozrywa” to 0 nie należy do dziedziny!.Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości!





, o dziedzinie R \ {0} (wprzeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła!

Co do jejciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, achoć wykres w 0 się „rozrywa” to 0 nie należy do dziedziny!.Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości!





, o dziedzinie R \ {0} (wprzeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! Co do jejciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, achoć wykres w 0 się „rozrywa” to 0 nie należy do dziedziny!.

Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości!





, o dziedzinie R \ {0} (wprzeciwieństwie do wcześniejszego przykładu) jest ciągła! Co do jejciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym od zera, achoć wykres w 0 się „rozrywa” to 0 nie należy do dziedziny!.Wniosek: Poza dziedziną funkcji nie badamy ciągłości!


Ciągłość - twierdzenia

Ciągłość funkcji elementarnychFunkcje elementarne (czyli sumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożeniafunkcji wielomianowych, potęgowych, wykładniczych,logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych) są ciągłe.

Ciągłość działań na funkcjachSumy, iloczyny, różnice, ilorazy i złożenia funkcji ciągłych są ciągłe wich dziedzinach.

Zbiór funkcji ciągłych, których dziedziną jest zbiór A, aprzeciwdziedziną zbiór B oznaczamy C(A,B). Domyślnąprzeciwdziedziną jest R, dlatego zapis C(A) oznacza to samo coC(A,R).


Ciągłość - przykład

PrzykładZbadać ciągłość funkcji:

f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

We wszystkich punktach, poza 0 i 1 funkcja jest ciągła, gdyż wotoczeniu takich punktów jest dana wzorem funkcji elementarnej.Dlatego zbadać trzeba tylko ciągłość funkcji w 0 i 1.




f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→0−

f (x) = f (0) = 0 + 1 = 1; limx→0+

f (x) = 1− 0 = 1.

Zarem f jest ciągła w 0 (granice są równe sobie i wartości funkcji wpunkcie).




f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→0−

f (x) = f (0) = 0 + 1 = 1;

limx→0+

f (x) = 1− 0 = 1.





f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→0−

f (x) = f (0) = 0 + 1 = 1; limx→0+

f (x) = 1− 0 = 1.





f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→1−

f (x) = 1− 1 = 0; limx→1+

f (x) = f (1) = 2 · 1 + 3 = 5.

Zarem f nie jest ciągła w 1 (granice nie są sobie równe).




f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→1−

f (x) = 1− 1 = 0;

limx→1+

f (x) = f (1) = 2 · 1 + 3 = 5.





f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

limx→1−

f (x) = 1− 1 = 0; limx→1+

f (x) = f (1) = 2 · 1 + 3 = 5.





f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

Ostatecznie, f jest ciągła w R \ {1}, a nie jest ciągła w 1. Zatem,funkcja f nie jest ciągła.




f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

Ostatecznie, f jest ciągła w R \ {1}, a nie jest ciągła w 1.

Zatem,funkcja f nie jest ciągła.




f (x) =

x2 + 1, dla x ¬ 0

1− x , dla 0 < x < 1

2x + 3, dla x 1

.

Ostatecznie, f jest ciągła w R \ {1}, a nie jest ciągła w 1. Zatem,funkcja f nie jest ciągła.


Funkcje nieciągłe - motywacja

Często w ekonomii zakładamy ciągłość różnych funkcji: kosztu,popytu, podaży, użyteczności itp. niejako domyślnie (i za chwilędowiemy się, jakie są z tego pożytki). Zazwyczaj też tak będziemypostępować. Jednak warto sobie uświadomić, że funkcje nieciągłe niesą tak rzadkie i nietypowe, więc zwykle warto się zastanowić, czyzałożenie ciągłości ma sens w danej sytuacji.


Przykłady ekonomiczne funkcji nieciągłych

Niektóre taryfy operatorów telefonicznych, czy taksówek np.stała opłata za pierwsze kilka minut/kilometrów, a potemnaliczanie za każdą rozpoczętą minutę/kilometr. Ceny zmieniająsię skokowo w zależności od czasu.

Psychologiczne efekty wyższej pierwszej cyfry ceny lub większejliczby cyfr w cenie (stąd ceny typu 7, 99 PLN): popyt wzależności od ceny może zmieniać się skokowo (choć nie ma towiększego efektu w skali makro).

Funkcja mierząca ilość zapasów w magazynie w danymmomencie czasu - co pewien czas do magazynu przychodzidostawa, skokowo zmieniając wartość tej funkcji.

Najczęściej jednak takie funkcje są ciągłe „prawie wszędzie”, czylipoza pojedynczymi, oddzielonymi od siebie punktami nieciągłości.


Ciekawostka

W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła(przynajmniej „prawie wszędzie”), to gdy rozważymy przestrzeńwszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, żefunkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie!

Najbardziej„typowe” funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie sąciągłe. To, że uważamy je za „patologie” wynika tylko z naszegouproszczonego podejścia. Przykładem funkcji nieciągłej w każdympunkcie jest tak zwana funkcja Dirichleta:

f (x) =

1, dla x ∈ Q0, dla x ∈ R \Q

.


Ciekawostka

W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła(przynajmniej „prawie wszędzie”), to gdy rozważymy przestrzeńwszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, żefunkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej„typowe” funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie sąciągłe.

To, że uważamy je za „patologie” wynika tylko z naszegouproszczonego podejścia. Przykładem funkcji nieciągłej w każdympunkcie jest tak zwana funkcja Dirichleta:

f (x) =


.


Ciekawostka

W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła(przynajmniej „prawie wszędzie”), to gdy rozważymy przestrzeńwszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, żefunkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej„typowe” funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie sąciągłe. To, że uważamy je za „patologie” wynika tylko z naszegouproszczonego podejścia.

Przykładem funkcji nieciągłej w każdympunkcie jest tak zwana funkcja Dirichleta:

f (x) =


.


Ciekawostka

W istocie, choć większość znanych nam funkcji jest ciągła(przynajmniej „prawie wszędzie”), to gdy rozważymy przestrzeńwszystkich możliwych funkcji (rzeczywistych) to okazuje się, żefunkcje ciągłe są wśród nich nieskończenie rzadkie! Najbardziej„typowe” funkcje matematyczne to funkcje, które nigdzie nie sąciągłe. To, że uważamy je za „patologie” wynika tylko z naszegouproszczonego podejścia. Przykładem funkcji nieciągłej w każdympunkcie jest tak zwana funkcja Dirichleta:

f (x) =


.


Ciągłość w ekonomii - motywacja

Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, żedane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe?

Popierwsze, ciągłość funkcji często gwarantuje możliwość rozwiązaniazagadnienia często spotykanego w ekonomii lub finansach: problemuoptymalizacji (czyli znajdowania największej/najmniejszej wartościdanej wielkości pod pewnymi warunkami). Przykładami takichzagadnień, które napotkają Państwo w dalszej części studiów sąmaksymalizacja zysku jakiegoś przedsięwzięcia (w zależności np. odnakładów), czy minimalizacja kosztu jakiegoś zachowania.



Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, żedane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe? Popierwsze, ciągłość funkcji często gwarantuje możliwość rozwiązaniazagadnienia często spotykanego w ekonomii lub finansach: problemuoptymalizacji (czyli znajdowania największej/najmniejszej wartościdanej wielkości pod pewnymi warunkami).

Przykładami takichzagadnień, które napotkają Państwo w dalszej części studiów sąmaksymalizacja zysku jakiegoś przedsięwzięcia (w zależności np. odnakładów), czy minimalizacja kosztu jakiegoś zachowania.



Dlaczego zatem często upraszcza się rzeczywistość, by założyć, żedane zjawiska ekonomiczne są (przynajmniej w dużej skali) ciągłe? Popierwsze, ciągłość funkcji często gwarantuje możliwość rozwiązaniazagadnienia często spotykanego w ekonomii lub finansach: problemuoptymalizacji (czyli znajdowania największej/najmniejszej wartościdanej wielkości pod pewnymi warunkami). Przykładami takichzagadnień, które napotkają Państwo w dalszej części studiów sąmaksymalizacja zysku jakiegoś przedsięwzięcia (w zależności np. odnakładów), czy minimalizacja kosztu jakiegoś zachowania.


Twierdzenie Weierstrassa

Twierdzenie WeierstrassaJeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to fprzyjmuje w tym przedziale wartość największą i najmniejszą.

Uwaga! Bez założenia ciągłości funkcji f i domkniętości przedziału[a, b] taki rezultat może nie działać. Dzięki temu twierdzeniu wiemy,że o ile zbiór możliwych argumentów funkcji jest domknięty i funkcjajest ciągła, to możemy dla tej funkcji rozwiązywać zagadnieniaoptymalizacyjne.




Uwaga! Bez założenia ciągłości funkcji f i domkniętości przedziału[a, b] taki rezultat może nie działać.

Dzięki temu twierdzeniu wiemy,że o ile zbiór możliwych argumentów funkcji jest domknięty i funkcjajest ciągła, to możemy dla tej funkcji rozwiązywać zagadnieniaoptymalizacyjne.




Uwaga! Bez założenia ciągłości funkcji f i domkniętości przedziału[a, b] taki rezultat może nie działać. Dzięki temu twierdzeniu wiemy,że o ile zbiór możliwych argumentów funkcji jest domknięty i funkcjajest ciągła, to możemy dla tej funkcji rozwiązywać zagadnieniaoptymalizacyjne.


Twierdzenie Weierstrassa - przykład istotnościzałożeń

Funkcja ctg na przedziale(0, π) nie przyjmuje wartościnajmniejszej, ani największej.Jednak przedział ten nie jestdomknięty.


Twierdzenie Weierstrassa - przykład istotnościzałożeń

Jeśli uzupełnimy definicjęfunkcji f (x) = ctg x of (0) = f (π) = 0 to na [0, π] tafunkcja nadal nie osiągawartości najmniejszej, aninajwiększej. Powodem jestfakt, że f nie jest ciągła.


Twierdzenie Weierstrassa - konsekwencje

Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.

Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P . Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny.

Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P . Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe.

Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P . Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.

Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P . Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P .

Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Konsekwencją twierdzenia Weierstrassa jest np. paradoksalnazależność przychodów ze sprzedaży od ceny sprzedawanego produktu.Od pewnego poziomu przychody mogą wręcz spadać wraz zewzrostem ceny. Działa to następująco: dla ceny zerowej przychody zesprzedaży są zerowe. Podobnie dla jakiejś dużej ceny P , popyt natowar staje się zerowy, więc również przychód jest zerowy.Zatem funkcja przychodu R spełnia własności R(0) = R(P) = 0.Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje xmax ∈ [0,P] takie, żeR(xmax) jest maksymalnym możliwym do osiągnięcia przychodem - i,jeśli tylko kiedykolwiek udaje się sprzedać ten produkt, R(xmax) > 0,więc xmax < P . Wniosek: podnoszenie ceny ponad xmax możeprzynieść firmie tylko straty.



Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera,czyli paradoks zależności przychodów państwa od stawekpodatkowych.

Istnieje taki poziom opodatkowania (mniejszy niż100%), że podnoszenie stawek podatkowych ponad ten poziomprzynosi państwu tylko straty. Oczywiście, ten wynik jest wyłączniejakościowy - nie wskazuje, jaka jest „optymalna” wysokość podatkówi kiedy są one zbyt wysokie (dlatego efekt Laffera jest częstonadużywany w dyskusjach).



Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera,czyli paradoks zależności przychodów państwa od stawekpodatkowych. Istnieje taki poziom opodatkowania (mniejszy niż100%), że podnoszenie stawek podatkowych ponad ten poziomprzynosi państwu tylko straty.

Oczywiście, ten wynik jest wyłączniejakościowy - nie wskazuje, jaka jest „optymalna” wysokość podatkówi kiedy są one zbyt wysokie (dlatego efekt Laffera jest częstonadużywany w dyskusjach).



Szczególnym przypadkiem tej analizy jest tak zwany efekt Laffera,czyli paradoks zależności przychodów państwa od stawekpodatkowych. Istnieje taki poziom opodatkowania (mniejszy niż100%), że podnoszenie stawek podatkowych ponad ten poziomprzynosi państwu tylko straty. Oczywiście, ten wynik jest wyłączniejakościowy - nie wskazuje, jaka jest „optymalna” wysokość podatkówi kiedy są one zbyt wysokie (dlatego efekt Laffera jest częstonadużywany w dyskusjach).


Własność Darboux

Drugie ważne twierdzenie związane z ciągłością jest dość intuicyjne:

Własność DarbouxJeśli pewna funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] i f (a)f (b) < 0(czyli f (a) i f (b) są przeciwnych znaków), to w tym przedzialeistnieje miejsce zerowe funkcji f tj. punkt t ∈ (a, b) taki, że f (t) = 0.


Własność Darboux

Twierdzenie formułuje precyzyjnie kwestię dość oczywistą: jeśli wykresfunkcji ciągłej łączy punkty leżące powyżej i poniżej prostej x = 0(tak naprawdę, jakiejkolwiek innej też), to wykres w pewnym miejscumusi przeciąć tą prostą (niewykluczone, że więcej niż raz).

Jednakmatematyczno-ekonomiczne wnioski z tego faktu są dość doniosłe.


Własność Darboux

Twierdzenie formułuje precyzyjnie kwestię dość oczywistą: jeśli wykresfunkcji ciągłej łączy punkty leżące powyżej i poniżej prostej x = 0(tak naprawdę, jakiejkolwiek innej też), to wykres w pewnym miejscumusi przeciąć tą prostą (niewykluczone, że więcej niż raz). Jednakmatematyczno-ekonomiczne wnioski z tego faktu są dość doniosłe.


Własność Darboux - wnioski

Po pierwsze, zauważmy, że bez własności Darboux nie mielibyśmygwarancji, że znany ze szkoły (i części III wstępu) „graficzny” sposóbrozwiązywania nierówności wielomianowych (i jakichkolwiek innych)jest poprawny.

Dzięki niej mamy pewność, że funkcja wielomianowa(która jest ciągła) może zmienić znak TYLKO w swoich miejscachzerowych.



Po pierwsze, zauważmy, że bez własności Darboux nie mielibyśmygwarancji, że znany ze szkoły (i części III wstępu) „graficzny” sposóbrozwiązywania nierówności wielomianowych (i jakichkolwiek innych)jest poprawny. Dzięki niej mamy pewność, że funkcja wielomianowa(która jest ciągła) może zmienić znak TYLKO w swoich miejscachzerowych.


Własność Darboux - przykład

ZadanieRozwiązać nierówność:

x + 1 > 2x ,

wiedząc, że równość x + 1 = 2x zachodzi tylko dla x = 0 i x = 1.

Rozważmy funkcję f (x) = x + 1− 2x . Jest ona ciągła w R . Mamysprawdzić, kiedy f (x) > 0. 0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielądziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartościfunkcji w każdej z tych części: f (−1) = − 12 < 0,f (12) =

32 −√

2 > 0, f (2) = 3− 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0),f (x) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdybyzachodziło f (x) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieśmiejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumującdostajemy, że f (x) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x) < 0 dla x > 1. Zatemrozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).




x + 1 > 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x + 1− 2x . Jest ona ciągła w R . Mamysprawdzić, kiedy f (x) > 0.

0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielądziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartościfunkcji w każdej z tych części: f (−1) = − 12 < 0,f (12) =

32 −√





x + 1 > 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x + 1− 2x . Jest ona ciągła w R . Mamysprawdzić, kiedy f (x) > 0. 0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielądziedzinę tej funkcji na trzy części.

Obliczmy po jednej wartościfunkcji w każdej z tych części: f (−1) = − 12 < 0,f (12) =

32 −√





x + 1 > 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x + 1− 2x . Jest ona ciągła w R . Mamysprawdzić, kiedy f (x) > 0. 0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielądziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartościfunkcji w każdej z tych części: f (−1) =

− 12 < 0,f (12) =

32 −√





x + 1 > 2x ,



32 −√





x + 1 > 2x ,



32 −√

2 > 0, f (2) =

3− 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0),f (x) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdybyzachodziło f (x) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieśmiejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumującdostajemy, że f (x) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x) < 0 dla x > 1. Zatemrozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).




x + 1 > 2x ,



32 −√

2 > 0, f (2) = 3− 4 = −1 < 0.

. Dla x ∈ (−∞, 0),f (x) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdybyzachodziło f (x) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieśmiejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumującdostajemy, że f (x) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x) < 0 dla x > 1. Zatemrozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).




x + 1 > 2x ,



32 −√

2 > 0, f (2) = 3− 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0),f (x) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdybyzachodziło f (x) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieśmiejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest.

Analogicznie rozumującdostajemy, że f (x) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x) < 0 dla x > 1. Zatemrozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).




x + 1 > 2x ,



32 −√

2 > 0, f (2) = 3− 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0),f (x) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdybyzachodziło f (x) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieśmiejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumującdostajemy, że f (x) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x) < 0 dla x > 1.

Zatemrozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).




x + 1 > 2x ,



32 −√




Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy modelopisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnejcenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tymsię tu zajmiemy).

Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu zfunkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P . Jak wiemy zmikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymiprzypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Możnazałożyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku zesprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więcpoproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera(Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S(P1) > 0).



Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy modelopisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnejcenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tymsię tu zajmiemy).Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu zfunkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P . Jak wiemy zmikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymiprzypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca.

Możnazałożyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku zesprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więcpoproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera(Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S(P1) > 0).



Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy modelopisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnejcenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tymsię tu zajmiemy).Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu zfunkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P . Jak wiemy zmikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymiprzypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Możnazałożyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku zesprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więcpoproszę dwa.”).

Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera(Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S(P1) > 0).



Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy modelopisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnejcenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tymsię tu zajmiemy).Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu zfunkcjami popytu (Q) i podaży (S) od ceny P . Jak wiemy zmikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymiprzypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Możnazałożyć, że dla ceny 0, S(0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku zesprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więcpoproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera(Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S(P1) > 0).



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.

Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1]. Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.Zatem Q(P0)− S(P0) = 0, czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1].

Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.Zatem Q(P0)− S(P0) = 0, czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1]. Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.

Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.Zatem Q(P0)− S(P0) = 0, czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1]. Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.

Zatem Q(P0)− S(P0) = 0, czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1]. Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.Zatem Q(P0)− S(P0) = 0,

czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.



S(0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S(P1) > 0.Teraz zdefiniujmy f (x) = Q(x)− S(x) dla x ∈ [0,P1]. Jasno widać,że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S(P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0,P1] takie, że f (P0) = 0.Zatem Q(P0)− S(P0) = 0, czyli Q(P0) = S(P0), czyli istnieje cenarównowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.


Własność Darboux - odwrócenie?

Na koniec, warto zauważyć, że implikacji w twierdzeniu Darboux nieda się odwrócić: na przykład funkcja f (x) = 2x2 − 1 ma w przedziale[−1, 1] miejsce zerowe (a nawet dwa), ale f (−1) i f (1) są tegosamego znaku.


Własność Darboux - przybliżone rozwiązywanierównań

Własność Darboux można wykorzystać do znalezienia jednegoprzybliżonego pierwiastka dowolnego równania.

ZadanieZnaleźć przynajmniej jedno x spełniające równanie:

x3 = 2x ,

z dokładnością do 12 .

Dokładne rozwiązanie takiego równania nie leży w zakresie naszychmożliwości (nawet po ukończeniu tego kursu). Jednak dziękiwłasności Darboux, dość łatwo możemy oszacować, gdzie takierozwiązanie musi się znajdować.




x3 = 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x3 − 2x . Miejsce zerowe tej funkcji spełniazadane równanie. Wystarczy zauważyć, że f (1) = −1 i f (2) = 4, by,na podstawie własności Darboux, móc zapewnić, że istnieje miejscezerowe funkcji f w przedziale [1, 2]. Zatem możemy podaćprzybliżone rozwiązanie w postaci x = 3

2 ±12 .




x3 = 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x3 − 2x . Miejsce zerowe tej funkcji spełniazadane równanie.

Wystarczy zauważyć, że f (1) = −1 i f (2) = 4, by,na podstawie własności Darboux, móc zapewnić, że istnieje miejscezerowe funkcji f w przedziale [1, 2]. Zatem możemy podaćprzybliżone rozwiązanie w postaci x = 3

2 ±12 .




x3 = 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x3 − 2x . Miejsce zerowe tej funkcji spełniazadane równanie. Wystarczy zauważyć, że f (1) = −1 i f (2) = 4, by,na podstawie własności Darboux, móc zapewnić, że istnieje miejscezerowe funkcji f w przedziale [1, 2].

Zatem możemy podaćprzybliżone rozwiązanie w postaci x = 3

2 ±12 .




x3 = 2x ,


Rozważmy funkcję f (x) = x3 − 2x . Miejsce zerowe tej funkcji spełniazadane równanie. Wystarczy zauważyć, że f (1) = −1 i f (2) = 4, by,na podstawie własności Darboux, móc zapewnić, że istnieje miejscezerowe funkcji f w przedziale [1, 2]. Zatem możemy podaćprzybliżone rozwiązanie w postaci x = 3

2 ±12 .




x3 = 2x ,


Warto zauważyć, że choć wiemy, że istnieje rozwiązanie tegorównania w przedziale [1, 2], to z twierdzenia Darboux nie wynika, żeto rozwiązanie jest jedyne: nawet w tym przedziale takich rozwiązańmoże być kilka. Poza tym, mogą istnieć rozwiązania poza tymprzedziałem (mogą Państwo we własnym zakresie sprawdzić, że torównanie ma też rozwiązanie w przedziale [9, 10].)




x3 = 2x ,


Warto zauważyć, że choć wiemy, że istnieje rozwiązanie tegorównania w przedziale [1, 2], to z twierdzenia Darboux nie wynika, żeto rozwiązanie jest jedyne: nawet w tym przedziale takich rozwiązańmoże być kilka.

Poza tym, mogą istnieć rozwiązania poza tymprzedziałem (mogą Państwo we własnym zakresie sprawdzić, że torównanie ma też rozwiązanie w przedziale [9, 10].)




x3 = 2x ,


Warto zauważyć, że choć wiemy, że istnieje rozwiązanie tegorównania w przedziale [1, 2], to z twierdzenia Darboux nie wynika, żeto rozwiązanie jest jedyne: nawet w tym przedziale takich rozwiązańmoże być kilka. Poza tym, mogą istnieć rozwiązania poza tymprzedziałem (mogą Państwo we własnym zakresie sprawdzić, że torównanie ma też rozwiązanie w przedziale [9, 10].)




x3 = 2x ,


Dodatkowo, to nie jest koniec możliwości przybliżeń rozwiązania zapomocą własności Darboux. Moglibyśmy iść dalej i obliczyćf (32) =

278 − 2

√2 > 0, a skoro f (1) < 0, rozwiązanie musi być w

przedziale [1, 32 ]. Zatem moglibyśmy napisać x = 54 ±

14 . Kontynuując

to rozumowanie, moglibyśmy przybliżyć prawdziwe rozwiązanie zdowolną dokładnością.




x3 = 2x ,


Dodatkowo, to nie jest koniec możliwości przybliżeń rozwiązania zapomocą własności Darboux.

Moglibyśmy iść dalej i obliczyćf (32) =

278 − 2



14 . Kontynuując





x3 = 2x ,



278 − 2


przedziale [1, 32 ].

Zatem moglibyśmy napisać x = 54 ±

14 . Kontynuując





x3 = 2x ,



278 − 2



14 .

Kontynuującto rozumowanie, moglibyśmy przybliżyć prawdziwe rozwiązanie zdowolną dokładnością.




x3 = 2x ,



278 − 2



14 . Kontynuując



Grzegorz Kosiorowski...2018/09/02 · ciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym...

Documents

Transcript of Grzegorz Kosiorowski...2018/09/02 · ciągłości nie ma wątpliwości w każdym punkcie różnym...