Grafy - Warsaw University of...

Wykłady popularne z matematyki

Grafyco o ich rysowaniu wiedzą przedszkolakii co z tego wynika dla matematyków

Joanna Jaszuńska

Politechnika Warszawska, 6 maja 2010

Grafy — Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 1 Joanna Jaszuńska

Zagadka przedszkolna nr 1 — rysowanie kopert

Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki?

Czy można tak narysować zamkniętą kopertę?





Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia?






TwierdzenieObrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia⇒ w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi.






Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna)Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia⇔ w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi.

Leonhard Euler (1707-1783)— matematyk szwajcarski


Graf = wierzchołki + krawędzie

• rozważamy tylko grafy spójne




Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe...





• krawędzie mogą być skierowaneNp. kto kogo lubi, wyniki turnieju...





• krawędzie mogą być skierowaneNp. kto kogo lubi, wyniki turnieju...

• stopień wierzchołka = liczba krawędzi „przy nim”Tw. Suma stopni wierzchołków grafu = 2 × liczba krawędzi w grafie.


Drogi i cykle


Drogi i cykle

Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe,


Drogi i cykle

Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa...

Paul Erdős (1913-1996) — matematyk węgierski


Drogi i cykle

Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa...

Paul Erdős (1913-1996) — matematyk węgierski

Droga (cykl) Eulera przechodzi przez każdą krawędź dokładnie raz.


Mosty w Królewcu



Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna)W grafie istnieje cykl Eulera⇔ każdy wierzchołek ma stopień parzysty.




Dowód części ⇐.





Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem⇔ są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego.





Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem⇔ są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego.

Tw. W grafie skierowanym istnieje cykl Eulera⇔ w każdym wierzchołku tyle samo krawędzi wychodzących i wchodzących.


Ciągi de Bruijna

Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) — matematyk holenderski


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?

• sprawdzać losowo


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?

• sprawdzać losowo• sprawdzać po kolei 0000, 0001, . . . , 9999, razem 10000 × 4 = 40000 cyfr


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?

• sprawdzać losowo• sprawdzać po kolei 0000, 0001, . . . , 9999, razem 10000 × 4 = 40000 cyfr• szybciej?


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?


Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry,


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?


Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry,taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna.

Twierdzenie

Ciąg de Bruijna zawsze istnieje.


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?



Twierdzenie


Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11)


Ciągi de Bruijna


Jak złamać kod?



Twierdzenie


Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11): 00110


Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1

0111010001



0111010001

011



0111010001

011

111



0111010001

011

110111



0111010001

011

101110111



0111010001

010011

101110111



0111010001

010011100101110111



0111010001

000

010011100101110111



0111010001

000001010011100101110111



0111010001

000001010011100101110111

Ten ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr.


Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie)

Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003).




Dowód. Budujemy graf

• wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000





• wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000• skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000× 10 = 10000






W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących.







Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz.








Wybór wierzchołka początkowego — dodatkowe 3 cyfry.








Wybór wierzchołka początkowego — dodatkowe 3 cyfry.

Pierwsze i ostatnie 3 cyfry ciągu są takie same → cykl de Bruijna.


Cykl dla 3-cyfrowych kodów 0-1

0111010001

Ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr, cykl ma 8.


Cykl dla 3-cyfrowych kodów 0-1

0111010001

Ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr, cykl ma 8.

graf i ciąg de Bruijna dla 4-cyfrowych kodów 0-1 i dla 2-cyfrowych kodów 0-1-2


Ciągi de Bruijna — szybciej?

Z zaproponowanych metod łamania kodu:

• sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo...




• sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo...• sprawdzanie po kolei (10000 × 4 = 40000 cyfr) może zająć > 5,5 godziny




• sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo...• sprawdzanie po kolei (10000 × 4 = 40000 cyfr) może zająć > 5,5 godziny• sprawdzenie ciągu de Bruijna (10003 cyfr) zajmuje < 1,5 godziny


Zagadka przedszkolna nr 2 — domki i studnie



Graf planarny

— da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały.



Graf planarny

— da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały.

Nie wszystkie grafy są planarne.


Wzór Eulera

Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych)

w − k + s = 2


Wzór Eulera


w − k + s = 2

Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s ¬ 2k.


Wzór Eulera


w − k + s = 2


Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian


Wzór Eulera


w − k + s = 2


Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian,

przy czym każdą krawędź liczymy dwa razy.


Graf K5 nie jest planarny



w = 5, k = 10, w − k + s = 2 ⇒ s = 7



w = 5, k = 10, w − k + s = 2 ⇒ s = 7

3s = 21, 2k = 20,



w = 5, k = 10, w − k + s = 2 ⇒ s = 7

3s = 21, 2k = 20, 3s 2k



w = 5, k = 10, w − k + s = 2 ⇒ s = 7

3s = 21, 2k = 20, 3s 2k

Domki i studnie (graf K33 nie jest planarny) — dowód analogiczny.


Grafy nieplanarne

Twierdzenie

Graf zawiera „coś typu” K5 lub K33 ⇒ nie jest planarny.


Grafy nieplanarne

Twierdzenie

Graf zawiera „coś typu” K5 lub K33 ⇒ nie jest planarny.

Twierdzenie Kuratowskiego (wersja niezbyt formalna)

Graf zawiera „coś typu” K5 lub K33 ⇔ nie jest planarny.

Kazimierz Kuratowski (1896-1980) — matematyk polski


Graf Petersena nie jest planarny

Julius Peter Christian Petersen (1839-1910) — matematyk duński


Graf Petersena nie jest planarny

Julius Peter Christian Petersen (1839-1910) — matematyk duński

The end

Ten i niektóre inne rysunki: http://commons.wikimedia.org


Grafy - Warsaw University of...

Documents

Transcript of Grafy - Warsaw University of...