Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G)

Krzysztof Turowski

Uwagi początkowe

Największy zbiór nienadmierny nie może być zbiorem dominującym.

Dobrym obszarem poszukiwania wydają się grafy postaci:

gdzie owal oznacza graf o minimalnym zbiorze dominującym ściśle ustalonej postaci np. graf pełny, cykl, ścieżkę.

Uwagi początkowe

Dlaczego akurat te rodziny podgrafów? Ponieważ mają one ściśle narzucone ograniczenia na Γ(G), co można wykorzystać konstruując graf docelowy.

Dlaczego akurat takie połączenia między podgrafami?Ponieważ dają nam one oczywiste ograniczenie z dołu na IR(G).

Rzeczywiście można znaleźć przykłady grafów takiej postaci z daną własnością:Poniższy graf ma Γ(G) = 2, IR(G) = 3:

Γ(G) < IR(G): Przykład grafu

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)

Okazuje się, że każdy graf złożony z dwóch grafów Kn o wierzchołkach połączonych parami przez n – k krawędzi ma własność Γ(G) < IR(G), o ile tylko n > k ≥ 3.

W takim grafie mamy Γ(G) = 2, natomiast IR(G) = k > Γ(G).

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)

Co więcej, nawet jeśli mamy dwa grafy Km i Kn połączone krawędziami tak, że: Istnieje w Km wierzchołek niepołączony z Kn

Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Km

Istnieje zbiór nienadmierny N V(Km): |N| > 2

to IR(G) ≥ |N| > 2 = Γ(G) . Ponadto istnieje wówczas zbiór

nienadmierny N’ Kn: |N’| = |N|

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)

Możemy też spróbować zastąpić jeden z grafów pełnych ścieżką lub cyklem.

Wtedy mamy np. graf Cm (Pm) i Kn połączone ze sobą pewną liczbą krawędzi. Do tego: Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Pm/Cm

Istnieje zbiór nienadmierny N V(Km)

Dla Cm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 1Dla Pm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 2

IR(G) ≥ |N|

Γ(G) < IR(G): Przykład grafu

Przykładowo dla poniższego grafu:m = n = 6, |N| = 5 i Γ(G) = 4, IR(G) = 5

Dla grafu Km+Pn najmniejszy graf mam = n = 7

Uwagi i spostrzeżenia Zestawy: cykl – cykl lub cykl – ścieżka

mają w każdym przypadku Γ(G) = IR(G). Każda z przedstawionych powyżej rodzin

grafów ma jedną cechę wspólną: są to grafy gęste, tzn. |E(G)| = Θ(|V(G)|2). Jednak – jak się okazuje – nie jest to warunek konieczny.

Przykładowa rodzina grafów rzadkich (dla których |E(G)| = Θ(|V(G)|)) jaką znalazłem, to grafy złożone z P2m i Kn, gdzie m >> n.

Uwagi i spostrzeżenia Na koniec podgrafy grafów Mm,n takie, że:

Dla pewnych k liczb i {1, 2, …, m} wierzchołki u1,i, u2,i, … um,i są niepołączone

m – k > n ≥ 2 Wówczas w grafie jest:

m – k podgrafów Kn

n podgrafów Km

Γ(G) = n, a IR(G) = m – k + n – 2. Z kolei V(G) = mn i E(G) = Θ(m2n).

Dziękuję za uwagę