1. 1. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Prof. Marcelo Gitirana
2. 2. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Sumrio Interseo de planos Interseo de retas e planos Ponto comum a trs planos Perpendicularismo de retas e planos () () (B) (A) (I) (C) (D)
3. 3. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos Definies () () () (T) () (T1) (H) (V) Dois planos (quando no paralelos) se interceptam ao longo de uma reta. Esta reta pode ser determinada conhecendo-se dois pontos comuns aos dois planos: (V) e (H), por exemplo. Dividimos o estudo das intersees de planos em trs grupos. 1. grupo: ambos os planos dados por seus traos 2. grupo: apenas um plano dado pelos traos. 3. grupo: os planos no so dados pelos traos.
4. 4. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2 plns quaisquer q. se intec. 1.d () () () (T) TT () (T1) T1T1 (H) (V) V V H H Soluo geral para o 1. grupo.
5. 5. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2 plns quaisq. q. se intec. 1.d () () TT T1T1 () (T1) () (T) V V H H Porm, nem sempre os traos dos planos se interceptam nas mesmas regies onde se situam.
6. 6. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2 planos quaisquer com // () () TT () (T) () (T1) T1T1 (r) (V) r V V r Se acontecer que os planos tenham traos de mesmo nome paralelos, tambm a soluo imediata.
7. 7. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos Int. planos verticais e de topo TT T1T1 TT T1T1 O mesmo vale para 2 planos de topo. Qd. os 2 planos forem verticais, a interseo tb ser uma reta vertical. r rH H r r'V V
8. 8. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos Int. planos de topo e horizontal () () () () r r'V V(r) (V) Qd. um dos planos possuir um s trao, a interseo (um ponto ou uma reta) cair sobre o mesmo).
9. 9. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () () Interseo de planos Int. planos qualquer e frontal () T TT (r) (H) r' r H H Qd. um dos planos for qualquer e o outro frontal, a interseo ser uma reta frontal com (H) na concorrncia dos traos horizontais e a proj. vertical da reta ser paralela ao trao vertical do pl. qualquer.
10. 10. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () () Interseo de planos Int. planos horizontal e frontal A interseo de 2 planos dever ser uma reta que pode estar contida nos dois planos. () (r) r' r Plano horizontal R. horizontal R. fronto-horizontal R. de topo Plano frontal R. frontal R. fronto-horizontal R. vertical
11. 11. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo de planos Int. planos qualquer e // LT () TT () T (r) (H) (V) r' V H H r V Pl. qualquer R. Qualquer R. Horizontal R. Frontal R. Reta de perfil Pl. // LT R. Qualquer R. Fronto-horizontal R. Reta de perfil
12. 12. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo de planos Int. planos qualquer e // LT () TT () T (r) (H) (V) r' V V r H H Pl. qualquer R. Qualquer R. Horizontal R. Frontal R. Reta de perfil Pl. // LT R. Qualquer R. Fronto-horizontal R. Reta de perfil
13. 13. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos Exerccios Exerccios: 99, 101, 104, 105, 107, 116 e 120.
14. 14. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo retas e planos Introduo () () (B) (A) (I) (C) (D) Soluo geomtrica: para se determinar a interseo de uma reta (A)(B) com um plano (), faz-se passar pela reta um plano (). Esse plano intercepta o plano segundo a reta (C)(D) e as (A)(B) e (C)(D) se interceptam em (I) que chamado ento trao da reta (A)(B) sobre o plano ().
15. 15. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo retas e planos Soluo geomtrica () () r I I (r) (I) (H) (V) V V H H
16. 16. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo retas e planos Exerccios Exerccios: 124, 125, 129 e 135.
17. 17. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Ponto comum a 3 planos Regra geral () () () () () 3 planos, qd se interceptam, tm geralmente um ponto em comum. Desde que nenhum deles passe pela interseo dos 2 outros, nem seja // mesma. Formas de determinar: 1) Procuram-se as intersees de 1 dos 3 planos com os outros 2 e o ponto comum a estas duas intersees o ponto procurado. 2) Determina-se a interseo de 2 planos quaisquer dados e procura- se o trao desta interseo com o 3. plano.
18. 18. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Ponto comum a 3 planos Exerccios Exerccios: 137 e 138.
19. 19. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Perpendicularismo de retas e planos Casos 1. grupo Reta a plano Plano a reta 2. grupo Plano a plano 3. Grupo Reta a reta
20. 20. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a plano () (s) (s1) (r) (s3) (s2) (r1) Uma reta a um plano quando (ou ortogonal) a 2 retas concorrentes dos plano.
21. 21. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a plano () () A (M) (A) (B) (N) Observe que quando uma reta a um plano, a sua projeo e o trao do plano sobre o mesmo plano de projeo so s entre si. E a projeo de (A)(B) tb ser s projees das retas horizontais de ().
22. 22. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a plano (qualquer) () () () (r) (I) r' r I I Assim, qd uma reta(r) a um plano (), suas projees so s aos traos de mesmo nome do plano.Condio necessria, mas no suficiente!
23. 23. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a plano // a LT () ()() r' r (r) (I) Neste caso, a idade aos traos no garante a idade ao plano. O mesmo pode ocorrer com plano que passam pela LT.
24. 24. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Retas s aos planos I e P DD CC B A B A D C B A A B D C (A)(B) (I). (A)(B) (P).
25. 25. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a plano // a LT r r' s s I I t' t Reta (t) a plano formado por uma reta horizontal (r) e um frontal (s) concorrentes.
26. 26. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Plano a reta () () () (r) (I) r' r I I O inverso do caso anterior. Qd os traos de um plano forem s s projees de mesmo nome de uma reta, o plano reta. Excetuando os casos j discutidos.
27. 27. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Plano a reta Traar por (A) um plano () perpendicular reta (s). s s' r V TT Vr A' A
28. 28. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Plano a plano Dois planos so perpendiculares entre si, quando um deles contm uma reta perpendicular ao outro. () () (B) (A) (I)Assim, se a reta (A)(B) perpendicular ao plano (), ento o plano () perpendicular a ().
29. 29. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Plano a plano (T) Traar por (A) um plano () perpendicular a um plano () dado. r' V V H' H A' A Este um problema que admite infinitas solues, visto que o ponto (T1) pode se situar em qualquer ponto da LT.
30. 30. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Planos s aos planos I e P () (I). () (P). T1T1 () (P). TT () (I).
31. 31. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a reta (B) (C) () (A) Em geral, para se traar por um ponto uma reta perpendicular a outra, consiste em conduzir, pelo ponto, um plano perpendicular reta e determinar o ponto de interseo da reta com esse plano. Unindo o ponto assim, ao ponto dado, teremos a reta pedida.
32. 32. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Reta a reta A A V V TT (T1) C B B C V1 V1 H H M M
33. 33. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e planos Exerccios Exerccios: 140, 142, 145, 148, 151.
34. 34. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC)