Funkcje Wykładnicze i Logarytmiczne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

FUNKCJE WYKADNICZE ILOGARYTMICZNE

Funkcje wykadnicze i logarytmiczne sa ze soba bardzo blisko zwiazane i dlatego omwimyje w jednym poradniku.

Funkcja wykadnicza

Funkcja wykadnicza nazywamy funkcje postaci y = ax, gdzie a > 0 i a 6= 1. Dziedzinafunkcji wykadniczej jest cay zbir liczb rzeczywistych.

x

+1

yy=axa>1

x

yy=axa 1 to funkcja wykadnicza jest rosnaca i rosnie od 0 do +. Jezeli natomiasta < 1, to funkcja jest malejaca i maleje od + do 0.

W obu przypadkach wykres funkcji wykadniczej przecina os Oy w punkcie (0, 1).

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna nazywamy funkcje postaci y = loga x, gdzie a jest ustalona liczbadodatnia i a 6= 1. Dziedzina funkcji logarytmicznej jest zbir liczb dodatnich.

x

y

x

y

+1

y=log xaa1

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Dla a > 1 funkcja y = loga x jest funkcja rosnaca i rosnie od do +. Dla a < 1funkcja y = loga x jest funkcja malejaca i maleje od + do .

W obu przypadkach wykres funkcji logarytmicznej przecina os Ox w punkcie (1, 0).

Zwiazek funkcji wykadniczej z funkcja logarytmicznaFunkcja logarytmiczna f (x) = loga x jest funkcja odwrotna do funkcji wykadniczej g(x) =ax, tzn.

f (g(x)) = loga ax = x,

g( f (x)) =aloga x = x.

O funkcji odwrotnej nalezy myslec tak: jezeli traktujemy funkcje g(x) = 2x jako maszyn-ke, ktra zamienia liczbe x na liczbe g(x), czyli 2 na 4, 4 na 16, 10 na 1024 itd., to funkcjaodwrotna f (x) = log2 x zamienia te liczby w druga strone: 4 na 2, 16 na 4, 1024 na 10.

Na wykresie ten zwiazek przejawia sie symetria: wykresy funkcji ax i loga x sa syme-tryczne wzgledem prostej y = x.

x

y

x

y

+1+1

y=log xaa1

y=x

Jezeli popatrzymy na wykres logarytmu to widac, ze logarytm rosnie/maleje (w zalez-nosci od a) na poczatku szybko (powiedzmy do x = 1), a potem bardzo wolno. Odpowiadato temu, ze funkcja wykadnicza rosnie/maleje wolno dla y < 1 i bardzo szybko dla y > 1.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Na poczatku czesto uczniom myla sie funkcja potegowa y = xa z funkcja wykadnicza y =ax. Rznica jest zasadnicza: w pierwszym przypadku wykadnik jest stay, a zmienia siepodstawa; w drugim jest odwrotnie.

Oczywiscie jest jeszcze jedna mozliwosc, moga sie zmieniac obie rzeczy naraz: np. y =xx. Warto pamietac, ze tego typu funkcja nie jest ani funkcja potegowa, ani wykadnicza.



2Symetria pomiedzy wykresami funkcji y = ax i y = loga x to nie jedyna symetria pomiedzywykresami funkcji wykadniczych/logarytmicznych. Z atwej do sprawdzenia rwnosci

log 1a

x = loga x

wynika, ze wykresy funkcji y = log 1a

x i y = loga x sa symetryczne wzgledem osi Ox.

x

y

y=log xa

y=log xa1

x

y y=axy= xa1( ) x=0

+1

+1y=0

Podobnie, z rwnosci

ax =(

1a

)xwynika, ze wykresy funkcji ax i

(1a

)xsa symetryczne wzgledem osi Oy.

3Poniewaz

loga x =logb xlogb a

=1

logb a logb x,

wykresy funkcji y = loga x i y = logb x rznia sie tylko przemnozeniem przez liczbe1

logb a.

To mnozenie odpowiada przeskalowaniu wykresu wzduz osi Oy. W tym sensie wszystkiewykresy funkcji logarytmicznych sa prawie takie same.



x

y

x

y

y=bxy=ax

+1

y=log xa+1

y=log xb

Podobnie jest dla funkcji wykadniczych:

ax =(

blogb a)x

= bx logb a.

Z tego wzoru wynika, ze wykresy funkcji ax i bx rznia sie o skalowanie wzgledem osi Ox(ze wspczynnikiem 1logb a ). To, ze wyszed ten sam wspczynnik co dla funkcji logaryt-micznych to nic dziwnego, ustalilismy juz przeciez, ze wykresy funkcji logarytmicznychpowstaja z wykresw funkcji wykadniczych przez odbicie wzgledem prostej y = x.

4Warto zapamietac wykresy funkcji logarytmicznych i wykadniczych bardzo sie one przy-daja przy rozwiazywaniu nierwnosci logarytmicznych/wykadniczych. Nie jest to bardzotrudne jak juz pisaem, wszystkie wykresy maja praktycznie ten sam ksztat i przechodzaprzez punkt (1, 0) (funkcje logarytmiczne) lub (0, 1) (funkcje wykadnicze).

5To, ze w definicji funkcji wykadniczej zakadamy, ze a 6= 1 jest dosc naturalne: dla a = 1otrzymujemy funkcje staa.

Moze warto tez napomknac dlaczego zakadamy, ze a > 0. Powd jest taki, ze nie da siesensownie zdefiniowac ax dla a ujemnego.

Ile jest rwne (1)x?Jezeli x jest liczba cakowita, to nie ma problemu: (1)x bedzie rwne -1 lub 1 wzaleznosci od parzystosci x. Jezeli jednak dopuscimy, zeby x by liczba wymierna,to zaczynaja sie juz powazne kopoty. Na przykad dla x = 12 mamy (1)

12 =1,

ktry nie istnieje. Za to (1) 13 = 31 = 1. A co np. z x = 26? Jezeli napiszemy tojako 6

(1)2 to jest OK, ale jak napiszemy ( 61)2 to jest bez sensu. Widac, ze cos

nie gra. Jezeli natomiast x nie jest liczba wymierna to juz kompletnie nie wiadomoco ma oznaczac (1)x.

6Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

4


Analogicznie jest z dziedzina logarytmu: log1 x byby odpowiedzia na pytanie: do jakiej po-tegi nalezy podniesc 1, zeby wyszo x? Widac, ze to pytanie nie ma sensu dla x 6= 1. Podobniejest z loga x dla a < 0 jak juz pisalismy wyzej, potegowanie liczb ujemnych na og nie mazadnego sensu.

7Funkcje wykadnicze/logarytmiczne sa rznowartosciowe, tzn. kazda wartosc przyjmuja conajwyzej raz. Na wykresie przejawia sie to tym, ze z kazda pozioma prosta maja co najwy-zej jeden punkt wsplny. Dzieki tej wasnosci mozna atwo rozwiazywac proste rwnaniawykadnicze/logarytmiczne.

Rozwiazmy rwnanie 4 2x = 128.Liczymy

22 2x = 2722+x = 27.

No i teraz korzystamy z rznowartosciowosci funkcji 2x.

2 + x = 7 x = 5.

Rozwiazmy rwnanie log 5 + log x = log 7.Liczymy

log 5x = log 7

5x = 7 x = 75

.

Ponownie, opuszczenie logarytmw byo mozliwe dzieki rznowartosciowoscifunkcji log x.

8W nierwnosciach logarytmicznych/wykadniczych potrzeba nam odrobine wiecej niz rz-nowartosciowosc, potrzebujemy monotonicznosci. Tu kluczowe jest pamietanie o tym, zefunkcje ax i loga x sa malejace dla a < 1 co oznacza, ze opuszczajac je zmieniamy znak nie-rwnosci na przeciwny.

Rozwiazmy nierwnosc(

12

)log 13

x< 4.

Liczymy (12

)log 13

x 2

log 13

x > log 13

9

x < 9.

Trzeba jeszcze uwzglednic dziedzine i mamy x (0, 9).Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

5


9

Funkcja wykadnicza y = ax dla a > 1 bardzo szybko rosnie. W zasadzie to atwo to sobiewyobrazic: wystarczy na kalkulatorze obliczac kolejne potegi 2. Bardzo szybko wyjdziemypoza zakres kalkulatora. Jezeli ktos nie wierzy, ze na przykad 10100 to jest duzo (w koncuto tylko 1 i 100 zer), to jest to prawdopodobnie wiecej niz liczba atomw we wszechswiecie.Gdy pomysli sie o tym w ten sposb to liczba ta powinna wzbudzac respekt.

Z drugiej strony, gdy jedziemy z x do to funkcja ta bardzo szybko zbiega do 0. Sredni-ca jadra atomu to okoo 1014 metra. Dugosc Plancka, czyli ok. 1, 6 1035 metra, to dugosc,na ktrej konczy sie znany przez nas wszechswiat: ponizej tej dugosci kompletnie traca senswspczesne prawa fizyki (acznie z mechanika kwantowa). To tez powinno budzic respekt.

Nawet najmniejsza funkcja wykadnicza y = ax z a > 1 rosnie szybciej od kazdejfunkcji potegowej (wielomianu) w nastepujacym sensie: dla kazdej liczby n > 0istnieje K, ze dla wszystkich x > K mamy

ax > xn.

Zeby docenic sens tego stwierdzenia mozemy myslec tak: dla dostatecznie duzychx, wartosci funkcji (1, 0000001)x sa wieksze niz wartosci funkcji x999999999. Jak jesz-cze nie jest jasne, ze to jest dziwne, to sprbujcie sobie wstawic do tych wzorwx = 2, 100, 1000.Podobnie jest z logarytmem i pierwiastkami. I loga x dla a > 1 i

n

x rosna wolno,ale logarytm jest mniejszy od kazdego pierwiastka (dla duzych x).

10

Badanie jak szybko cos rosnie ma wiele zastosowan praktycznych. Wezmy jeden prostyprzykad z informatyki. Mamy do wykonania pewne zadanie, np. chcemy posortowac nliczb. Zalezy nam oczywiscie na tym, zeby to sortowanie byo szybkie (nawet jak jest bar-dzo duzo liczb). Jak to zmierzyc? liczymy ile pojedynczych operacji procesora zabieranasz program. W ten sposb dostajemy pewna funkcje zmiennej n, ktra zwykle nazywasie zozonoscia obliczeniowa danego algorytmu. No i teraz mamy rzne mozliwosci. Jezelita funkcja jest wykadnicza, to zadanie uwaza sie praktycznie za nieobliczalne. Jezeli jestto wielomian, to jest lepiej, na og da sie takie rzeczy liczyc. Jezeli natomiast zozonoscjest logarytmiczna, to jest bardzo dobrze zwiekszanie ilosci danych nie bedzie drastyczniewyduzac czasu wykonywania programu.

11Ktra funkcja logarytmiczna jest najwazniejsza? Oczywiscie to zalezy od kontekstu, ale naszczeglna uwage zasuguje logarytm naturalny, czyli logarytm o podstawie e 2, 7183. Wpierwszej chwili sprawa jest dosc tajemnicza, bo sama definicja liczby e jako granicy ciagu

e = limn+

(1 +

1n

)nMateria pobrany z serwisu www.zadania.info

6


jest dosc dziwna i trudno zrozumiec co takiego magicznego jest w tej liczbie.Jedna z motywacji jest nastepujaca. Startujemy od funkcji y = 1x i liczymy pole pod jej

wykresem na przedziale 1, x dla x > 1.

+0.5 +1.25 x-0.25

+0.25

+1.25

+2.5

y

x1f(x)

Otrzymamy w ten sposb pewna funkcje y = f (x) i okazuje sie, ze jest to dokadniey = ln x. Co ciekawe, zaczelismy od funkcji y = 1x , czyli nie byo zadnego e, a jednak jakossamo sie pojawio (w podstawie logarytmu). Wasnie w tym sensie logarytm naturalny jestnaturalny - pojawia sie w bardzo naturalnej sytuacji.

12Jaka jest najwazniejsza funkcja wykadnicza? Znowu, troche zalezy to od kontekstu, ale jakjuz mamy jakas wyrznic, to musi to byc y = ex. Niezwykosc tej funkcji polega na tym, zenie zmienia sie ona przy rzniczkowaniu, tzn. (ex) = ex. Tak naprawde to jest troche wiecejtakich przykadw, bo kazda funkcja postaci y = aex tez ma te wasnosc, ale sa to jedyneprzykady, zadna inna funkcja nie ma tej wasnosci. I znowu jest to dosc niesamowite, ze zewszystkich mozliwych funkcji wykadniczych tylko ex nie zmienia sie przy rzniczkowa-niu. Dlaczego tak jest? Dlaczego ex, a nie 2x, 10x,pix albo 666x? Zwykle mwi sie, ze MatkaNatura tak chciaa. Na tym wasnie polega naturalnosc e.

13Zapis funkcji wykadniczej w postaci f (x) = ex bywa dosc niewygodny jezeli w wykadnikujest dosc skomplikowane wyrazanie, dlatego czesto uzywa sie synonimu y = exp(x) = ex

(od expotential function). Na poczatku moze byc trudno sie do tego przyzwyczaic, ale jest todokadnie to samo co ex.

14Posugiwanie sie funkcjami wykadniczymi obarczone jest prozaicznym problemem: ponie-waz funkcja wykadnicza bardzo szybko rosnie, trudno jest narysowac jej wykres. Jezelichcemy, zeby na wykresie zmiesci spory kawaek funkcji to musimy ustalic bardzo duzejednostki na osi Oy. Wtedy jednak przestaje byc widac co sie dzieje dla maych argumen-tw (wykres praktycznie pokrywa sie z osia Ox). Rozwiazaniem tego problemu jest uzycie



tzw. skali logarytmicznej, czyli zamiast rysowac funkcje y = f (x), rysujemy y = log f (x).Mozna o tej operacji myslec jak o przeskalowaniu jednostek na osi Oy w ten sposb, ze jed-na jednostka odpowiada przemnozeniu wartosci funkcji przez 10. Dzieki temu zabiegowiwykresy funkcji wykadniczych robia sie kawakami prostych i mozna bardzo sprawnie sienimi posugiwac.

Na ponizszym rysunku narysowane sa wykresy funkcji y = 2x oraz y = x3 zarw-no w normalnym ukadzie wsprzednych jak i w ukadzie ze skala logarytmicznana osi Oy.

-5 -1 +1 +5 x

+5

+10

y

-5 +5 x

log(y)

y=2x

y=2x

y=x4y=x4

Widac jak funkcja wykadnicza ulega wyprostowaniu, a funkcja potegowa zaczeawygladac jak logarytm. Dzieki przeskalowaniu osi Oy o wiele lepiej widac praw-dziwe relacje miedzy tymi funkcjami. Lewy wykres jest mylacy, bo wyglada jakbyy = x4 byo wieksza funkcja od y = 2x. Patrzac na prawy wykres widac, ze takbedzie tylko dla maych wartosci x (mozna sprawdzic, ze dla x < 16). Jest to prze-jaw wspomnianej juz przeze mnie wasnosci: funkcja wykadnicza jest wieksza odkazdej funkcji potegowej (dla duzych x).

15

Funkcje wykadnicze i logarytmiczne pojawiaja sie w wielu naturalnych sytuacjach.



Na ponizszym wykresie przedstawiono typowy przebieg zmiany liczebnosci ho-dowli bakterii.

AB

C

D

t

log(n)

Na poziomej osi mamy czas, a na pionowej mamy logarytm z liczebnosci hodowli(skala logarytmiczna). Kolejne fazy rozwoju hodowli toA faza pierwotnego zahamowania, w ktrej bakterie aklimatyzuja sie do nowego sro-dowiska, liczebnosc hodowli praktycznie nie ulega zmianie.B stadium wykadnicze, w ktrym wzrost liczby bakterii przebiega niezwykle gwa-townie (wykadniczo).C faza stabilizacji, w ktrej zaczyna brakowac pozywienia i zmiana liczebnosci ho-dowli ulega zahamowaniuD faza obumierania, w ktrej z powodu wyczerpania sie pozywienia nastepujegwatowne (wykadnicze) obumieranie hodowli.

Prawo Webera-Fechnera mwi, ze wartosc reakcji ukadu biologicznego jest pro-porcjonalna do logarytmu bodzca.Pogladowo mozna o tym myslec tak: jezeli bedziemy oswietlac pokj kolejno przypomocy 1, 2, 4, 8, 16 zarwek, to bedzie nam sie wydawao, ze kolejne zmiany wpoziomie oswietlenia sa takie same, tzn., ze w kazdym kroku robi sie jasniej dokad-nie o tyle samo. Inaczej mwiac, zeby zwiekszyc odczuwalnosc bodzca (jasnosc,gosnosc), musimy zwiekszac jego natezenie wykadniczo.Dokadnie z tego powodu wiele skal odczuwalnosci bodzcw jest skalami logaryt-micznymi: skala Richtera, decybele, interway w muzyce, EV (exposure value).


Funkcje Wykładnicze i Logarytmiczne

Documents

Transcript of Funkcje Wykładnicze i Logarytmiczne