ERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH · termodynamika jest niezależna od poziomu naszej wiedzy o...

Część III: Termodynamika układów biologicznych

MMAATTEERRIIAAŁŁYY PPOOMMOOCCNNIICCZZEE DDOO WWYYKKŁŁAADDÓÓWW ZZ PPOODDSSTTAAWW BBIIOOFFIIZZYYKKII

IIIIIIrr.. BBiiootteecchhnnoollooggiiii pprrooff.. ddrr hhaabb.. iinnżż.. JJaann MMaazzeerrsskkii

TTEERRMMOODDYYNNAAMMIIKKAA UUKKŁŁAADDÓÓWW BBIIOOLLOOGGIICCZZNNYYCCHH

Niezwykle cenną metodą badania zjawisk przyrodniczych, zupełnie niezależną od naszej

wiedzy o strukturze obiektu na poziomie cząsteczkowym, jest podejście termodynamiczne. Może

ono być stosowane do obiektów o różnej skali (od pojedynczego atomu do całego Wszechświata) i

różnym stopniu złożoności (od prostego układu kilku atomów do żywej komórki, a nawet całego

organizmu wielokomórkowego). Nazwa termodynamika mogłaby sugerować, że chodzi tu o

badanie przepływu ciepła. Takie były rzeczywiście początki tej dziedziny. Obecnie termodynamika

zajmuje się wszystkimi aspektami energetycznymi badanego układu.

Termodynamika jest konstrukcja logiczną o wielkiej elegancji. Trzy zwięzłe stwierdzenia,

trzy zasady termodynamiki stanowią podsumowanie naszej wiedzy o wszelkich postaciach energii i

prawach rządzących jej przemianami. Prawdziwość termodynamiki zależy jedynie od

prawdziwości tych 3 zasad oraz od logicznej poprawności wyciąganych wniosków. Dzięki temu

termodynamika jest niezależna od poziomu naszej wiedzy o strukturze wewnętrznej układu oraz od

koncepcji czy modeli opisujących tą strukturę. Jest to bardzo istotne w naukach biologicznych,

gdzie np. stopień wiedzy o strukturze wewnętrznej komórki zmienia się z roku na rok w miarę

postępu technik instrumentalnych i informatycznych. Nie ma to jednak wpływu na opis

termodynamiczny komórki.

Podstawowe definicje Aby poprawnie posługiwać się podejściem termodynamicznym należy opanować

specyficzne słownictwo termodynamiki. Definiowanie pojęć rozpoczniemy od pojęcia układu. Jest

to w termodynamice pojęcie pierwotne, w zasadzie niedefiniowalne, tak jak punkt w geometrii. Dla

naszych potrzeb wystarczy, jeżeli będziemy pamiętać, że układ termodynamiczny, to zbiór

elementów, między którymi istnieją określone relacje. Jeżeli relacje te sprowadzają się do

oddziaływania jednych elementów na inne, to mamy do czynienia z układem dynamicznym.

Ponieważ z punktu widzenia termodynamiki nie jest istotna struktura elementów, a jedynie relacje

pomiędzy nimi, więc układy termodynamiczne mogą być tworzone w dowolnej skali. Jest przy tym

charakterystyczne, że obiekt rozpatrywany jako układ na jednym poziomie może być traktowany

jako element układu na wyższym poziomie. Możliwa jest również sytuacja odwrotna: element


układu na jednym poziomie może być traktowany jako cały układ na poziomie niższym. Ta

hierarchiczna natura układów termodynamicznych wymaga za każdym razem bardzo precyzyjnego

określenia, co dany układ zawiera. Elementy rzeczywistości nie wchodzące w skład układu noszą w

termodynamice nazwę otoczenia.

W zależności od relacji pomiędzy układem a otoczeniem wyróżnia się w termodynamice 4

podstawowe typy układów:

izolowane: nie wymieniają z otoczeniem masy ani żadnej formy energii

adiabatyczne: nie wymieniają masy i ciepła, mogą wymieniać pozostałe formy energii

izotermiczne: swobodnie wymieniają wszystkie formy energii, nie wymieniają masy

otwarte: wymieniają z otoczeniem masę i energię.

Układy izolowane, adiabatyczne i izotermiczne określa się wspólnym terminem układy zamknięte

(nie wymieniające masy z otoczeniem).

Stan układu i jego parametry Stan układu można opisać za pomocą pewnej liczby zmiennych tzw. parametrów stanu.

Parametry mogą być intensywne i ekstensywne. Parametry intensywne nie zależą od wielkości

układu i przy łączeniu elementów w układ nie są addytywne. Typowymi parametrami

intensywnymi są: temperatura, stężenie, ciśnienie. Parametry ekstensywne zależą od wielkości

układu i są addytywne. Do parametrów tego typu należą np. objętość i masa.

Stan układu określony jest przez parametry stanu i zmienia się wraz z ich zmianą. Zależność stanu

układu od wartości parametrów określa tzw. równanie stanu. Np. dla układu termodynamicznego

takiego jak gaz doskonały mamy równanie stanu gazu doskonałego postaci:

pV = nRT

W równaniu tym występuje jedna stała (stała gazowa R) oraz 4 parametry: p - ciśnienie,

V - objętość, n - liczba moli i T - temperatura bezwzględna. Tylko 3 z tych parametrów mogą

przyjmować dowolne wartości - wartość czwartego wynika z równania stanu gazu doskonałego.

Jeżeli nasze rozważania ograniczymy do 1 mola gazu doskonałego, to równanie stanu sprowadzi się

do postaci:

pV = RT

Rozpatrując jaki wpływ na wartość jednego z parametrów stanu mają niewielkie zmiany

pozostałych parametrów wygodnie jest posługiwać się zapisem różniczkowym. Jeżeli

g = f(x,y,z)

to różniczkę funkcji g definiujemy jako:

dg = Ldx + Mdy +Ndz

22


gdzie L, M, N są pochodnymi cząstkowymi funkcji g odpowiednio po x, y i z:

xgL∂∂

= xgL∂∂

= xgL∂∂

=

Ostatecznie różniczka parametru (zmiennej stanu) g przyjmuje postać:

dzzgdy

ygdx

xgdg

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Funkcje stanu Jeżeli wartość pewnego parametru nie zależy od drogi, po jakiej została osiągnięta, a

jedynie od stanu układu, to parametr taki nazywamy funkcją stanu. Opis stanu układu przy pomocy

funkcji stanu ma szereg zalet. Przede wszystkim:

wartości funkcji stanu w stanie równowagi termodynamicznej zależą tylko od parametrów

zewnętrznych, czyli dających się zmierzyć

wartości funkcji stanu w dowolnym stanie można obliczyć korzystając z różniczki tej funkcji.

Istnieje prosty sposób ustalenia, czy dany parametr jest funkcja stanu korzystając z równania stanu.

Można wykazać na gruncie rachunku różniczkowego, że w przypadku funkcji stanu jej różniczka

musi być tzw. różniczką zupełną. Różniczkę nazywamy zupełną, jeżeli dla każdej pary parametrów

x i y zachodzi równość:

xyg

yxg

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂

Sprawdźmy, czy objętość jest funkcją stanu gazu doskonałego. Przekształćmy najpierw równanie

stanu gazu doskonałego tak, aby dla 1 mola gazu uzyskać zależność objętości od ciśnienia i

temperatury:

p

RTV =

WWyyzznnaacczzmmyy tteerraazz rróóżżnniicczzkkęę oobbjjęęttoośśccii::

dppRTdT

pRdp

pVdT

TVdV 2−=

∂∂

+∂∂

=

i sprawdźmy czy jest to różniczka zupełna:

TpV

pTV

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂=

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂

TpRT

ppR

2

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∂

=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

22 pR

pR

−=−

33


Tak więc objętość jest funkcją stanu gazu doskonałego. W analogiczny sposób można wykazać, że

temperatura i ciśnienie są również funkcjami stanu gazu doskonałego.

Sprawdźmy teraz czy praca mechaniczna wykonywana przez gaz doskonały jest funkcją

stanu tego gazu. Najpierw musimy znać różniczkę pracy gazu doskonałego. Z fizyki i chemii

fizycznej wiemy, że różniczka pracy równa jest:

dpp

RTRdTdppRTdT

pRppdVdW 2 +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

Sprawdźmy teraz czy jest to różniczka zupełna:

( )Tp

RT

pR

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

=∂−∂

pR0 ≠

Wniosek: praca mechaniczna nie jest funkcja stanu gazu doskonałego, chociaż jest parametrem

stanu.

I. zasada termodynamiki Pierwsze sformułowanie tej zasady zawdzięczamy Juliuszowi Robertowi Mayerowi (1942).

Uzupełnił ja Helmholtz w roku 1947. Mówi ona, że suma wszystkich rodzajów energii w układzie

zamkniętym pozostaje stała. Po opublikowaniu teorii Einsteina Henri Poincare sformułował ja w

1908 roku w nieco przekorny sposób: „Istnieje coś, co jest stałe w układzie zamkniętym”.

Ale co to jest to „coś”? Jest ono stałe w układzie zamkniętym, tzn. nie wymieniającym materii z

otoczeniem. Jest funkcja stanu, bo jej różniczka w układzie zamkniętym jest równa 0. Nie jest to

praca, bo praca nie jest funkcja stanu, ale ma z pracą i energią coś wspólnego. Przyjęto nazywać to

„coś” energia wewnętrzną i oznaczać symbolem U.

Współcześnie I zasadę termodynamiki zapisujemy w postaci:

dU = dQ + dW,

a więc przyrost energii wewnętrznej jest sumą przyrostu ciepła i pracy wykonanej nad układem. W

tej postaci nie można jeszcze wykazać, że różniczka energii wewnętrznej jest różniczką zupełną,

ale wykażemy to w toku dalszego wykładu.

I. zasada termodynamiki była badana na gruncie biologii jeszcze przed jej precyzyjnym

sformułowaniem. Już w roku 1777 Lavoisier zastanawiał się nad związkiem ilości wydzielanego

przez zwierzą ciepła z ciepłem uzyskanym przy spalaniu pożywienia w trakcie oddychania. W kilka

lat później Lavoisier i Laplace przeprowadzili pierwsze ilościowe badania kalorymetryczne na

świnkach morskich. Potwierdziły one w pełni stosowalność zasady zachowania energii również w

44


układach biologicznych. Od tego czasu badania takie prowadzone są z zastosowaniem coraz

doskonalszej aparatury.

Samorzutność procesów II.. zzaassaaddaa tteerrmmooddyynnaammiikkii nniiee ookkrreeśśllaa kkiieerruunnkkuu pprrzzeeppłłyywwuu eenneerrggiiii.. DDooppuusszzcczzaa wwiięęcc mmoożżlliiwwoośśćć

zzaajjśścciiaa zzaarróówwnnoo::

ooggrrzzeewwaanniiaa ssiięę cciiaałłaa zziimmnniieejjsszzeeggoo kkoosszztteemm ssttyyggnniięęcciiaa ggoorrąącceeggoo,, jjaakk ii

ooggrrzzeewwaanniiee ssiięę cciiaałłaa ggoorrąącceeggoo kkoosszztteemm ddaallsszzeeggoo oozziięębbiiaanniiaa ssiięę cciiaałłaa zziimmnneeggoo

jjeeżżeellii ttyyllkkoo iilloośśćć eenneerrggiiii ppoobbrraanneejj rróówwnnaa jjeesstt iilloośśccii eenneerrggiiii ooddddaanneejj..

ZZ ddoośśwwiiaaddcczzeenniiaa wwyynniikkaa jjeeddnnaakk,, żżee ww pprraakkttyyccee pprroocceessyy bbiieecc mmooggąą ttyyllkkoo ww jjeeddnnyymm

kkiieerruunnkkuu.. PPrroocceess ww ppeełłnnii ooddwwrraaccaallnnyy jjeesstt ttyyllkkoo mmooddeelleemm tteeoorreettyycczznnyymm.. AAllee ssttooppiieeńń

nniieeooddwwrraaccaallnnoośśccii pprroocceessuu bbyywwaa rróóżżnnyy.. NNpp.. ddoobbrree wwaahhaaddłłoo mmoożżee wwaahhaaćć ssiięę bbaarrddzzoo ddłłuuggoo ppoo

kkaażżddyymm kkoolleejjnnyymm wwaahhnniięęcciiuu wwrraaccaajjąącc pprraakkttyycczznniiee ddoo tteeggoo ssaammeeggoo ppoołłoożżeenniiaa.. AA jjeeddnnaakk ii oonnoo

rroozzpprraasszzaa eenneerrggiięę ii ppoo ppeewwnnyymm cczzaassiiee zzaattrrzzyymmaa ssiięę..

ZZ oobbsseerrwwaaccjjii wwiieemmyy,, żżee ww nniieeooddwwrraaccaallnnoośśćć pprroocceessóóww „„zzaapplląąttaannee”” jjeesstt cciieeppłłoo.. AAllee cciieeppłłoo nniiee jjeesstt

ffuunnkkccjjąą ssttaannuu.. PPrrzzeeppłłyyww cciieeppłłaa ooddbbyywwaa ssiięę zzggooddnniiee zz ggrraaddiieenntteemm tteemmppeerraattuurryy.. MMoożżnnaa wwiięęcc

pprrzzyyppuusszzcczzaaćć żżee zz nniieeooddwwrraaccaallnnoośścciiąą pprroocceessuu ww jjaakkiiśś ssppoossóóbb mmuussii bbyyćć zzwwiiąązzaannaa tteemmppeerraattuurraa

uukkłłaadduu.. OOkkaazzaałłoo ssiięę,, żżee rróóżżnniicczzkkaa cciieeppłłaa zzrreedduukkoowwaanneeggoo

dST

dQ≡

zzwwaannaa rróóżżnniicczzkkąą eennttrrooppiiii jjeesstt ttąą ppoosszzuukkiiwwaannąą mmiiaarrąą ooddwwrraaccaallnnoośśccii pprroocceessuu..

IIII.. zzaassaaddaa tteerrmmooddyynnaammiikkii mmóówwii,, żżee rróóżżnniicczzkkaa eennttrrooppiiii nniiee mmoożżee bbyyćć uujjeemmnnaa.. OOzznnaacczzaa ttoo,, żżee

eennttrrooppiiaa nniiee mmoożżee mmaalleećć.. WW pprroocceessaacchh ooddwwrraaccaallnnyycchh eennttrrooppiiaa nniiee uulleeggaa zzmmiiaanniiee ((ddSS == 00)),, aa ww

pprroocceessaacchh nniieeooddwwrraaccaallnnyycchh eennttrrooppiiaa rroośśnniiee ((ddssSS >> 00))..

DDeeffiinniiccjjęę rróóżżnniicczzkkii eennttrrooppiiii mmoożżnnaa ttaakk pprrzzeekksszzttaałłcciićć,, aabbyy wwyyzznnaacczzyyćć rróóżżnniicczzkkęę cciieeppłłaa

.. TdSdQ =

RRóóżżnniicczzkkęę ttąą mmoożżnnaa tteerraazz wwssttaawwiićć ddoo rróówwnnaanniiaa II.. zzaassaaddyy tteerrmmooddyynnaammiikkii::

dWTdSdWdQdU +=+=

PPoozzoossttaajjee jjeesszzcczzee pprroobblleemm rróóżżnniicczzkkii pprraaccyy.. ZZ II.. zzaassaaddyy tteerrmmooddyynnaammiikkii wwyynniikkaa,, żżee mmuussiimmyy

uuwwzzggllęęddnniićć wwsszzyyssttkkiiee rrooddzzaajjee pprraaccyy jjaakkiiee mmoożżee uukkłłaadd wwyykkoonnyywwaaćć lluubb jjaakkiiee mmooggąą bbyyćć nnaadd uukkłłaaddeemm

wwyykkoonnyywwaannee.. WW pprrzzyyppaaddkkuu ooggóóllnnyymm rróóżżnniicczzkkęę pprraaccyy mmoożżnnaa pprrzzeeddssttaawwiićć jjaakkoo::

∑=n

iidrFdW

ggddzziiee:: FF –– wwssppóółłcczzyynnnniikk pprraaccyy

55


rr –– wwssppóółłrrzzęęddnnaa pprraaccyy..

NNaalleeżżyy tteerraazz ddllaa kkaażżddeeggoo rrooddzzaajjuu pprraaccyy ookkrreeśślliićć wwssppóółłcczzyynnnniikk ii wwssppóółłrrzzęęddnnąą pprraaccyy.. ZZ ppuunnkkttuu

wwiiddzzeenniiaa bbiiooffiizzyykkii iinntteerreessoowwaaćć nnaass bbęęddzziiee::

pprraaccaa oobbjjęęttoośścciioowwaa:: pdVdWV −= ,, ggddzziiee wwssppóółłcczzyynnnniikkiieemm pprraaccyy jjeesstt cciiśśnniieenniiee aa

wwssppóółłrrzzęęddnnąą pprraaccyy oobbjjęęttoośśćć

pprraaccaa mmiięęśśnniioowwaa:: FdldWl = ,, FF –– ssiiłłaa mmeecchhaanniicczznnaa,, ll –– ddłłuuggoośśćć mmiięęśśnniiaa lluubb

wwłłóókknnaa mmiięęśśnniioowweeggoo

pprraaccaa cchheemmiicczznnaa:: dndWn µ= ,, µµ -- ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy,, nn –– lliicczzbbaa mmoollii

pprraaccaa jjoonnoowwaa:: dqdWq ψ= ,, ψψ -- ppootteennccjjaałł eelleekkttrryycczznnyy,, qq -- łłaadduunneekk

TTaakk wwiięęcc jjeeżżeellii ttrraannssppoorrttoowwaannee jjeesstt mm rróóżżnnyycchh ssuubbssttaannccjjii,, ttoo rróóżżnniicczzkkęę pprraaccyy pprrzzeeddssttaawwiićć mmoożżnnaa ww

ppoossttaaccii::

∑∑ µ+ψ++−=+++=m

iim

nqlV dndqFdlpdVdWdWdWdWdWi

zzwwaanneejj rróówwnnaanniieemm GGiibbbbssaa.. RRóówwnnaanniiee ttoo mmoożżnnaa rroozzsszzeerrzzaaćć lluubb sskkrraaccaaćć ww zzaalleeżżnnoośśccii oodd

ooppiissyywwaanneeggoo uukkłłaadduu..

PPrrzzyykkłaadd::ł RRoozzwwaażżmmyy qquuaassiiooddwwrraaccaallnnyy pprroocceess kkuurrcczzeenniiaa ssiięę wwłłóókknnaa mmiięęśśnniioowweeggoo.. EEnneerrggiiaa tteeggoo pprroocceessuu ppoocchhooddzzii zz pprroocceessóóww ttrraannssppoorrttuu.. PPrroocceess jjeesstt ccyykklliicczznnyy.. NNaappiisszzmmyy rróówwnnaanniiee II.. zzaassaaddyy tteerrmmooddyynnaammiikkii ww ffoorrmmiiee ccaałłkkoowweejj::

∫∑∫∫∫∫∫ µ+ψ++−=m

iidndqFdlpdVTdSdU

PPoonniieewwaażż ww uukkłłaaddzziiee nniiee mmaa zzmmiiaannyy oobbjjęęttoośśccii,, ddVV == 00,, aannii rruucchhuu łłaadduunnkkóóww,, ddqq == 00,, aa ppoonnaaddttoo pprroocceess mmaa bbyyćć ooddwwrraaccaallnnyy,, ddSS == 00,, wwiięęcc 33 cczzłłoonnyy tteeggoo rróówwnnaanniiaa zzeerruujjąą ssiięę::

∫∑∫∫ µ+=m

iidnFdldU

PPoonniieewwaażż UU jjeesstt ffuunnkkccjjąą ssttaannuu,, wwiięęcc ccaałłkkaa ppoo ddrrooddzzee zzaammkknniięętteejj jjeesstt rróówwnnaa 00:: 0dU =∫ ..

OOssttaatteecczznniiee mmaammyy wwiięęcc::

0dnFdlm

ii =µ+ ∫∑∫ ,, cczzyyllii

0dnFdlm

ii =µ+ ∫∑∫ ..

ZZ uuzzyysskkaanneejj zzaalleeżżnnoośśccii wwiiddaaćć wwyyrraaźźnniiee,, żżee aabbyy mmooggłłaa bbyyćć wwyykkoonnaannaa jjaakkaakkoollwwiieekk pprraaccaa mmiięęśśnniioowwaa mmuussii uulleecc zzmmiiaanniiee ssttęężżeenniiee cchhoocciiaażż jjeeddnneejj ssuubbssttaannccjjii..

Inne użyteczne funkcje stanu PPoozzaa eenneerrggiiąą wweewwnnęęttrrzznnąą uukkłłaadduu iissttnniieejjee jjeesszzcczzee kkiillkkaa iinnnnyycchh,, bbaarrddzzoo uużżyytteecczznnyycchh ffuunnkkccjjii

ssttaannuu zzwwiiąązzaannyycchh zz pprrzzeemmiiaannaammii eenneerrggeettyycczznnyymmii.. NNaalleeżżąą ddoo nniicchh::

eennttaallppiiaa ((HH)) ddeeffiinniioowwaannaa zzaalleeżżnnoośścciiaa:: HH == UU ++ ppVV

66


eenneerrggiiaa sswwoobbooddnnaa ((FF)) zzwwaannaa ttaakkżżee ffuunnkkccjjaa HHeellmmhhoollttzzaa ddeeffiinniioowwaannaa wwzzoorreemm:: FF == UU –– TTSS

eennttaallppiiaa sswwoobbooddnnaa ((GG)) zzwwaannaa ttaakkżżee ffuunnkkccjjąą GGiibbbbssaa:: GG == HH –– TTSS == UU ++ ppVV -- TTSS

IIcchh zznnaacczzeenniiee ddllaa ooppiissuu pprroocceessóóww cchheemmiicczznnyycchh ii bbiioocchheemmiicczznnyycchh ppoozznnaammyy sszzcczzeeggóółłoowwoo ww

nnaassttęęppnnyycchh eettaappaacchh wwyykkłłaadduu..

Potencjał chemiczny OOmmaawwiiaajjąącc pprraaccęę ww uukkłłaaddaacchh tteerrmmooddyynnaammiicczznnyycchh ssttwwiieerrddzziilliiśśmmyy,, żżee jjeeddnnąą zz jjeejj rrooddzzaajjóóww

jjeesstt pprraaccaa cchheemmiicczznnaa zzwwiiąązzaannaa zzee zzmmiiaannąą lliicczzbbyy mmoollii ppoosszzcczzeeggóóllnnyycchh ssuubbssttaannccjjii ww uukkłłaaddzziiee..

WWssppóółłcczzyynnnniikkiieemm pprraaccyy cchheemmiicczznneejj jjeesstt wwiieellkkoośśćć zzwwaannaa ppootteennccjjaałłeemm cchheemmiicczznnyymm,, µµ.. SSpprróóbbuujjmmyy

tteerraazz ppoowwiiąązzaaćć ttąą wwiieellkkoośśćć zz ppoozznnaannyymmii ddoottyycchhcczzaass ffuunnkkccjjaammii ssttaannuu..

RRoozzwwaażżmmyy uukkłłaadd tteerrmmooddyynnaammiicczznnyy,, ww kkttóórryymm mmoożżlliiwwee ssąą ttyyllkkoo 22 rrooddzzaajjee pprraaccyy:: pprraaccaa

oobbjjęęttoośścciioowwaa ii pprraaccaa cchheemmiicczznnaa.. DDllaa ttaakkiieeggoo uukkłłaadduu II.. zzaassaaddaa tteerrmmooddyynnaammiikkii pprrzzyyjjmmuujjee ppoossttaaćć::

∑≠

µ+µ+−=ij

jjii dndnpdVTdSdU

JJeeżżeellii zzaałłoożżyymmyy,, żżee ww uukkłłaaddzziiee nniiee zzmmiieenniiaa ssiięę eennttrrooppiiaa,, ddSS == 00,, oobbjjęęttoośśćć,, ddVV == 00,, oorraazz lliicczzbbaa mmoollii

ssuubbssttaannccjjii iinnnnyycchh nniiżż ii ttoo rróówwnnaanniiee uupprroośśccii ssiięę ddoo ppoossttaaccii::

iidndU µ=

AA wwiieecc ww uukkłłaaddzziiee ttaakkiimm zzmmiiaannaa lliicczzbbyy mmoollii ii--tteejj ssuubbssttaannccjjii,, ddnnii,, zzwwiiąązzaannaa jjeesstt bbeezzppoośśrreeddnniioo zzee

zzmmiiaannąą eenneerrggiiii wweewwnnęęttrrzznneejj uukkłłaadduu.. PPoozzwwaallaa ttoo zzddeeffiinniioowwaaćć ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy ii--tteejj ssuubbssttaannccjjii

jjaakkoo::

'n,V,Si

i nU⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ

cczzyyllii jjaakkoo ppoocchhooddnnąą eenneerrggiiii wweewwnnęęttrrzznneejj ppoo zzmmiiaanniiee lliicczzbbyy mmoollii ii--tteejj ssuubbssttaannccjjii pprrzzyy ssttaałłeejj eennttrrooppiiii,,

oobbjjęęttoośśccii ii lliicczzbbiiee mmoollii ppoozzoossttaałłyycchh ssuubbssttaannccjjii oobbeeccnnyycchh ww uukkłłaaddzziiee..

JJeeżżeellii ddoo ooppiissuu uukkłłaadduu cchhcceemmyy uużżyyćć eennttaallppiiii zzaammiiaasstt eenneerrggiiii wweewwnnęęttrrzznneejj,, ttoo mmuussiimmyy

nnaajjppiieerrww oobblliicczzyyćć jjeejj rróóżżnniicczzkkęę zzuuppeełłnnąą::

VdppdVdUdH ++=

aa nnaassttęęppnniiee wwyyzznnaacczzyyćć rróóżżnniicczzkkęę eenneerrggiiii wweewwnnęęttrrzznneejj::

VdppdVdHdU −−=

kkttóórrąą tteerraazz mmoożżnnaa ppooddssttaawwiićć ddoo rróówwnnaanniiaa II.. zzaassaaddyy tteerrmmooddyynnaammiikkii::

∑≠

µ+µ+−=−−ij

jjii dndnpdVTdSVdppdVdH

PPoo uupprroosszzcczzeenniiuu wwyyrraazzóóww ppooddoobbnnyycchh oottrrzzyymmuujjeemmyy::

77


∑≠

µ+µ+−=ij

jjii dndnVdpTdSdH

JJeeżżeellii zzaałłoożżyymmyy,, żżee ww uukkłłaaddzziiee nniiee zzmmiieenniiaa ssiięę eennttrrooppiiaa,, ddSS == 00,, cciiśśnniieenniiee,, ddpp == 00,, ii lliicczzbbaa mmoollii

ssuubbssttaannccjjii iinnnnyycchh nniiżż ii,, ttoo oottrrzzyymmaammyy::

iidndH µ=

PPoozzwwaallaa ttoo zzddeeffiinniioowwaaćć ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy jjaakkoo::

'n,p,Si

i nH⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ

AA wwiięęcc ww uukkłłaaddzziiee oo ssttaałłeejj eennttrrooppiiii ii ssttaałłyymm cciiśśnniieenniiuu ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy ssuubbssttaannccjjii ii jjeesstt

ppoocchhooddnnąą eennttaallppiiii ppoo lliicczzbbiiee mmoollii tteejj ssuubbssttaannccjjii.. JJeesstt ttoo pprrzzyy ttyymm tteenn ssaamm ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy,, ccoo

wwee wwzzoorrzzee ppoopprrzzeeddnniimm,, ttyyllkkoo ddllaa uukkłłaadduu ww kkttóórryymm ssttaałłee ssąą iinnnnee ppaarraammeettrryy..

WW uukkłłaaddaacchh tteerrmmooddyynnaammiicczznnyycchh ssppoottyykkaannyycchh ww pprraakkttyyccee cchheemmiicczznneejj cczzyy bbiiooffiizzyycczznneejj

uuttrrzzyymmaanniiee ssttaałłoośśccii eennttrrooppiiii jjeesstt pprraakkttyycczznniiee nniieemmoożżlliiwwee.. DDllaatteeggoo ppoosszzuukkiiwwaannoo ttaakkiicchh ddeeffiinniiccjjii

ppootteennccjjaałłuu cchheemmiicczznneeggoo,, ww kkttóórryycchh wwaarruunneekk tteenn nniiee mmuussiiaałłbbyy bbyyćć ssppeełłnniioonnyy.. SSkkuuppmmyy nnaasszząą uuwwaaggęę

zz kkoolleeii nnaa eenneerrggiiii sswwoobbooddnneejj.. JJeejj rróóżżnniicczzkkaa zzuuppeełłnnaa mmaa ppoossttaaćć::

SdTTdSdUdF −−=

SSttoossuujjąącc ppoossttęęppoowwaanniiee aannaallooggiicczznnee jjaakk ddllaa eennttaallppiiii oottrrzzyymmaammyy rróówwnnaanniiee::

∑≠

µ+µ+−−=ij

jjii dndnpdVSdTdF

JJeeżżeellii zzaałłoożżyymmyy,, żżee ww uukkłłaaddzziiee nniiee zzmmiieenniiaa ssiięę tteemmppeerraattuurraa,, ddTT == 00,, oobbjjęęttoośśćć,, ddVV == 00,, ii lliicczzbbaa mmoollii

ssuubbssttaannccjjii iinnnnyycchh nniiżż ii,, ttoo oottrrzzyymmaammyy::

iidndF µ=

PPoozzwwaallaa ttoo zzddeeffiinniioowwaaćć ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy jjaakkoo::

'n,V,Ti

i nF⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ

AAnnaallooggiicczznnee ppoossttęęppoowwaanniiee zz eennttaallppiiąą sswwoobbooddnnąą pprroowwaaddzzii ddoo ddeeffiinniiccjjii::

'n,p,Ti

i nG⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=µ

TTaakk wwiięęcc ww zzaalleeżżnnoośśccii oodd ssttaannuu uukkłłaadduu rróóżżnnee ffuunnkkccjjee ssttaannuu ddeeffiinniiuujjąą ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy

uukkłłaadduu.. PPoonniieewwaażż ww uukkłłaaddaacchh bbiioollooggiicczznnyycchh mmaammyy nnaajjcczzęęśścciieejj ddoo cczzyynniieenniiaa zzee ssttaałłąą tteemmppeerraattuurraa ii

ssttaałłyymm cciiśśnniieenniieemm,, wwiięęcc kkoorrzzyyssttaaćć bbęęddzziieemmyy zz oossttaattnniieejj zz wwyypprroowwaaddzzoonnyycchh ddeeffiinniiccjjii..

MMoożżnnaa wwyykkaazzaaćć,, żżee ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy uukkłłaadduu zzaalleeżżyy oodd tteemmppeerraattuurryy ii ssttęężżeenniiaa ((lliicczzbbyy

mmoollii)) ssuubbssttaannccjjii.. ZZaalleeżżnnoośśćć ttaa mmaa ppoossttaaćć::

88


lluubb i0ii nlnRT+µ=µ i

0ii clnRT+µ=µ

ggddzziiee:: µµ00 –– ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy pprrzzyy jjeeddnnoossttkkoowwyymm ssttęężżeenniiuu lluubb lliicczzbbiiee mmoollii

Równowaga chemiczna UUkkłłaadd zznnaajjdduujjee ssiięę ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii cchheemmiicczznneejj,, ggddyy pprrzzeebbiieeggaajjąą ww nniimm ttyyllkkoo pprroocceessyy

ooddwwrraaccaallnnee,, aa lliicczzbbaa mmoollii wwsszzyyssttkkiicchh ssuubbssttaannccjjii ((lluubb iicchh ssttęężżeenniiee)) nniiee uulleeggaa zzmmiiaanniiee ww cczzaassiiee.. JJaakk

jjuużż wwiieemmyy,, tteerrmmooddyynnaammiicczznnyymm wwaarruunnkkiieemm ooddwwrraaccaallnnoośśccii pprroocceessuu jjeesstt zzeerroowwaa wwaarrttoośśćć rróóżżnniicczzkkii

eennttrrooppiiii,, ddSS == 00..

ZZ wwaarruunnkkuu ssttaałłoośśccii sskkłłaadduu ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii wwyynniikkaa,, żżee bbrraakk jjeesstt ww nniimm ssiiłł nnaappęęddoowwyycchh

pprroowwaaddzząąccyycchh ddoo zzmmiiaannyy sskkłłaadduu.. SSiiłłąą nnaappęęddoowwąą zzmmiiaannyy ssttęężżeenniiaa ddaanneejj ssuubbssttaannccjjii jjeesstt jjeejj ppootteennccjjaałł

cchheemmiicczznnyy.. WWyynniikkaa ssttąądd wwpprroosstt,, żżee ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii ppootteennccjjaałłyy cchheemmiicczznnee wwsszzyyssttkkiicchh

ssuubbssttaannccjjii ssąą rróówwnnee zzeerroo.. PPaammiięęttaajjąącc,, żżee ppootteennccjjaałł cchheemmiicczznnyy ii--tteejj ssuubbssttaannccjjii jjeesstt ppoocchhooddnnąą eennttaallppiiii

sswwoobbooddnneejj ppoo ssttęężżeenniiuu tteejj ssuubbssttaannccjjii ddoocchhooddzziimmyy ddoo wwnniioosskkuu,, żżee ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii eennttaallppiiaa

sswwoobbooddnnaa uukkłłaadduu oossiiąąggaa mmiinniimmuumm.. JJeeżżeellii eennttaallppiiaa jjeesstt wwiięękksszzaa nniiżż ttoo mmiinniimmuumm,, ttoo uukkłłaadd zznnaajjdduujjee

ssiięę ppoozzaa ssttaanneemm rróówwnnoowwaaggii ii bbęęddzziiee zzmmiieenniiaałł sswwóójj sskkłłaadd ddąążżąącc ddoo mmiinniimmuumm eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj..

WWyynniikkaa ssttąądd cciieekkaawwyy wwnniioosseekk:: rreeaakkccjjee cchheemmiicczznnee ww wwaarruunnkkaacchh iizzootteerrmmiicczznnoo--iizzoobbaarryycczznnyycchh

pprrzzeebbiieeggaajjąą ssaammoorrzzuuttnniiee ww kkiieerruunnkkuu oobbnniiżżeenniiaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj.. Rozważmy odwracalną reakcję

chemiczną:

A + B <==> C + D

PPrrzzeebbiieegg tteejj rreeaakkccjjii nnaajjwwyyggooddnniieejj jjeesstt śślleeddzziićć wwpprroowwaaddzzaajjąącc ppoojjęęcciiee wwssppóółłrrzzęęddnneejj rreeaakkccjjii,, ξξ.. GGddyy ww

uukkłłaaddzziiee zznnaajjdduujjąą ssiięę wwyyłłąącczznniiee ssuubbssttrraattyy ξξ == 00,, aa ggddyy rreeaakkccjjaa pprrzzeebbiieeggnniiee ccaałłkkoowwiicciiee ii ww uukkłłaaddzziiee

bbęęddąą wwyyłłąącczznniiee pprroodduukkttyy ξξ == 11.. WWpprroowwaaddźźmmyy jjeesszzcczzee jjeeddnnoo ppoojjęęcciiee:: zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj,,

∆∆GG rróówwnnee zz ddeeffiinniiccjjii::

p,T

GG ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂

∂≡∆

NNaalleeżżyy zzwwrróócciićć uuwwaaggęę nnaa nniieeccoo mmyylląąccyy ssyymmbbooll zzmmiiaannyy eennttaallppiiii

sswwoobbooddnneejj.. WWbbrreeww ffoorrmmiiee zzaappiissuu nniiee jjeesstt ttoo rróóżżnniiccaa eennttaallppiiii

sswwoobbooddnneejj mmiięęddzzyy ddwwoommaa ssttaannaammii,, aallee ppoocchhooddnnaa,, cczzyyllii sszzyybbkkoośśćć

zzmmiiaann eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj.. TTaa wwłłaaśśnniiee wwiieellkkoośśćć ddeeccyydduujjee oo

kkiieerruunnkkuu pprrzzeebbiieegguu rreeaakkccjjii::

współrzędna reakcji, ξ 0 1

enta

lpia

swob

odna

, G

∆G < 0 ∆G > 0

∆G = 0 ∆∆GG << 00 –– pprrzzeebbiieegg ssppoonnttaanniicczznnyy:: pprrzzyybbyywwaa pprroodduukkttóóww

∆∆GG == 00 –– ssttaann rróówwnnoowwaaggii

99


∆∆GG >> 00 –– rreeaakkccjjaa pprrzzeebbiieeggaa ssppoonnttaanniicczznniiee,, aallee ww ooddwwrroottnnyymm kkiieerruunnkkuu

PPrrzzeebbiieegg rreeaakkccjjii mmoożżnnaa tteeżż pprrzzeeddssttaawwiićć ggrraaffiicczznniiee ww ffoorrmmiiee wwyykkrreessuu wwaarrttoośśccii eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj

uukkłłaadduu,, GG,, ww ffuunnkkccjjii wwssppóółłrrzzęęddnneejj rreeaakkccjjii,, ξξ,, jjaakk nnaa rryyssuunnkkuu ppoowwyyżżeejj..

NNaa ggrruunncciiee cchheemmiiii ffiizzyycczznneejj mmoożżnnaa wwyypprroowwaaddzziićć zzaalleeżżnnoośśćć zzmmiiaann eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj oodd ssttęężżeeńń

ssuubbssttrraattóóww ii pprroodduukkttóóww::

BA

DC0

cccclnRTGG⋅⋅

+∆=∆

ggddzziiee:: ∆∆GG00 –– ssttaannddaarrddoowwaa zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj,, cczzyyllii ddllaa jjeeddnnoossttkkoowwyycchh ssttęężżeeńń ssuubbssttrraattóóww ii

pprroodduukkttóóww..

PPoonniieewwaażż ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii ∆∆GG == 00,, wwiięęcc::

'B

'A

'D

'C0

cccclnRTG⋅⋅

−=∆

ggddzziiee:: ccii’’ –– ssttęężżeenniiee ii--tteejj ssuubbssttaannccjjii ww ssttaanniiee rróówwnnoowwaaggii.. JJeeżżeellii wwpprroowwaaddzziimmyy tteerraazz ppoojjęęcciiee ssttaałłeejj

rróówwnnoowwaaggii,, KK,, zzddeeffiinniioowwaanneejj jjaakkoo::

'B

'A

'D

'C

ccccK⋅⋅

=

to otrzymamy znane zależności:

ii KlnRTG0 −=∆ KlnRTcccclnRTG

BA

DC −⋅⋅

=∆

Drugie z tych równań nosi nazwę izotermy van’t Hoffa i może być zastosowane do wyznaczania

wartości ∆G0 i K.

Należy bardzo wyraźnie zwrócić uwagę, że o kierunku przebiegu reakcji decyduje ∆∆GG,, aa nniiee

∆∆GG00,, cczzyyllii zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj pprrzzyy aakkttuuaallnnyycchh ssttęężżeenniiaacchh ssuubbssttrraattóóww ii pprroodduukkttóóww.. JJeesstt ttoo

sszzcczzeeggóóllnniiee wwaażżnnee ww uukkłłaaddaacchh bbiioollooggiicczznnyycchh,, ww kkttóórryycchh ssttęężżeenniiaa nniieekkttóórryycchh ssuubbssttrraattóóww lluubb

pprroodduukkttóóww mmooggąą bbyyćć uuttrrzzyymmyywwaannee nnaa ssttaałłyymm ppoozziioommiiee zzddeeccyyddoowwaanniiee rróóżżnnyymm nniiżż iinnnnyycchh

ssuubbssttaannccjjii bbiioorrąąccyycchh uuddzziiaałł ww rreeaakkccjjii..

PPrrzzyykkłaadd::ł PPrroocceessoowwii pprrzzeemmiiaannyy gglluukkoozzyy ww 22 cczząąsstteecczzkkii kkwwaassuu mmlleekkoowweeggoo ((rreeaakkccjjaa gglliikkoolliizzyy)) CC66HH1122OO66 ==>> 22CC33HH66OO33

ooddppoowwiiaaddaa ssttaannddaarrddoowwaa zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj rróówwnnaa ∆∆GG00 == --113388 kkJJ//mmooll.. WW kkoommóórrccee ssttęężżeenniiaa gglluukkoozzyy ii kkwwaassuu mmlleekkoowweeggoo ssąą ddoossyyćć śścciiśśllee rreegguulloowwaannee ii uuttrrzzyymmuujjąą ssiięę nnaa ppoozziioommiiee 00,,000055 MM ddllaa gglluukkoozzyy ii 00,,000011 MM ddllaa kkwwaassuu mmlleekkoowweeggoo.. PPoo pprroossttyycchh pprrzzeelliicczzeenniiaacchh wwyynniikkaa,, żżee zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj tteejj rreeaakkccjjii ww wwaarruunnkkaacchh wwnnęęttrrzzaa kkoommóórrkkii wwyynnoossii ∆∆GG == --115599 kkJJ//mmooll.. TTaakk wwiięęcc rreeaakkccjjaa ttaa pprrzzeebbiieeggaa ww ttyycchh wwaarruunnkkaacchh ssppoonnttaanniicczznniiee ii mmoożżee bbyyćć źźrróóddłłeemm eenneerrggiiii ddllaa kkoommóórrkkii.. NNiieekkttóórree bbaakktteerriiee zzddoollnnee ssąą ddoo wwiiąązzaanniiaa ggaazzoowweeggoo aazzoottuu ii uuttlleenniiaanniiaa ggoo ddoo jjoonnóóww aazzoottaannoowwyycchh::

1100


22NN22 ++ 55OO22 ++ 22HH22OO ==== 44HH++ ++ 44NNOO33--

SSttaannddaarrddoowwaa zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj tteejj rreeaakkccjjii wwyynnoossii ∆∆GG00 == ++77,,77 kkJJ//mmooll.. TTaakk wwiięęcc ww wwaarruunnkkaacchh ssttaannddaarrddoowwyycchh rreeaakkccjjaa ttaa nniiee mmoożżee zzaacchhooddzziićć ssaammoorrzzuuttnniiee.. JJeeddnnaakkżżee ww kkoommóórrccee ttyycchh bbaakktteerriiii ssttęężżeenniiee jjoonnóóww aazzoottaannoowwyycchh wwyynnoossii ookk.. 1100--44 MM,, ppHH ≈≈ 77,, aa cciiśśnniieenniiaa ppaarrccjjaallnnee ttlleennuu ii aazzoottuu wwyynnoosszząą ooddppoowwiieeddnniioo 220000 ii 880000 hhPP.. WW ttyycchh wwaarruunnkkaacchh zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj wwyynnoossii ∆∆GG == --3322,,66 kkJJ//mmooll.. TTaakk wwiięęcc rreeaakkccjjaa mmoożżee pprrzzeebbiieeggaaćć ssppoonnttaanniicczznniiee,, oo iillee ttyyllkkoo oobbeeccnnee ssąą ooddppoowwiieeddnniiee kkaattaalliizzaattoorryy ((eennzzyymmyy)).. RRóówwnniieeżż ww pprrzzyyppaaddkkuu hhyyddrroolliizzyy AATTPP ddoo AADDPP ii ffoossffoorraannuu bbęęddąącceejj ppooddssttaawwoowwyymm źźrróóddłłeemm eenneerrggiiii ww kkoommóórrccee zznnaacczzeenniiee wwaarruunnkkóóww llookkaallnnyycchh jjeesstt kklluucczzoowwee.. SSttaannddaarrddoowwaa zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj tteejj rreeaakkccjjii wwyynnoossii ∆∆GG00 == --55,,44,, kkJJ//mmooll.. MMoożżee wwiięęcc oonnaa pprrzzeebbiieeggaaćć ssaammoorrzzuuttnniiee jjeeddnnaakk nniiee mmoożżee bbyyćć źźrróóddłłeemm eenneerrggiiii.. WW wwaarruunnkkaacchh wwnnęęttrrzzaa kkoommóórrkkii zzmmiiaannaa eennttaallppiiii sswwoobbooddnneejj jjeesstt pprraawwiiee 1100 rraazzyy wwiięękksszzaa,, ∆∆GG == --4477,,77 kkJJ//mmooll,, ccoo uuzzaassaaddnniiaa zznnaacczzeenniiee tteejj rreeaakkccjjii jjaakkoo źźrróóddłłaa eenneerrggiiii..

Termodynamika procesów nieodwracalnych Klasyczna termodynamika opisuje w pełni jedynie procesy odwracalne, a więc takie, w

których dS = 0. Badanie procesów nieodwracalnych, zwłaszcza w układach otwartych, ograniczało

się do niedawna do analizy występujących w nich stanów równowagi. Bowiem w stanach

równowagi dS = 0. Ponadto, w stanach równowagi nie dochodzi do zmian stężeń lub ilości

substancji, a więc w pewnym sensie stan równowagi tworzy układ „zamknięty”.

Układy biologiczne nie znajdują się w stanie równowagi termodynamicznej i są zawsze układami

otwartymi:

wymieniają materię z otoczeniem

produkują entropię

Do układów takich opis klasyczny jest nieprzydatny. Ale nie jest to cecha charakterystyczna

układów ożywionych. Również martwe układy znajdujące się z dala od stanu równowagi nie dają

się opisać na gruncie termodynamiki klasycznej.

Układy otwarte Pierwszej udanej próby wyjścia poza opis stanów równowagowych dokonano dla układów

otwartych. Rozważmy zmiany entropii w układzie otwartym. Całkowitą szybkość zmian entropii

układu dS/dt można opisać równaniem:

dtdS

dtdS

dtdS ie +=

gdzie: Se – entropia wymieniana z otoczeniem,

Si – entropia produkowana przez układ.

Drugi z członów powyższego równania, dSi/dt, opisujący szybkość produkcji entropii w układzie

oznacza się często symbolem σ. Wtedy równanie przyjmuje postać:

σ+=dt

dSdtdS e

1111


Do opisu wymiany entropii z otoczeniem wygodnie jest użyć pojęcia strumienia. W fizyce, chemii

fizycznej i biofizyce strumień J definiujemy jako:

ilość materii lub energii przechodząca w jednostce czasu przez jednostkę

powierzchni prostopadłą do kierunku strumienia.

Warunkiem istnienia strumienia jest występowanie w układzie różnicy jakiegoś potencjału

termodynamicznego, x. Wymianę entropii z otoczeniem można opisać jako strumień entropii:

xJ

dtdS Se

∂∂

−=

Ostatecznie równanie opisujące zmiany entropii w układzie otwartym przyjmie więc postać:

σ+∂∂

−=xJ

dtdS S

Stan stacjonarny Wielkością determinującą stan układu jest przy tym szybkość produkcji entropii σ. Z II. zasady

termodynamiki wynika, że σ nie może być mniejsze od 0. Jeżeli σ = 0, to mamy do czynienia z

równowagą termodynamiczną, stanem nieciekawym z punktu widzenia biofizyki. Gdy σ > 0 w

układzie biegnie samorzutnie jakiś proces i wytwarzana jest entropia. Z punktu widzenia biofizyki

interesujący jest pewien przypadek szczególny procesów samorzutnych w układach otwartych:

przypadek, gdy cała produkowana w układzie entropia σ opuszcza układ w postaci strumienia

entropii:

SJx

∂σ =

∂

Podstawiając ten warunek do powyższego równania dochodzimy do zależności: dS/dt = 0. Taki

stan układu nazywamy stanem stacjonarnym: układ produkuje entropię (biegnie proces

samorzutny), lecz jego entropia nie wzrasta.

Okazuje się, że wiele układów ożywionych można z dobrym przybliżeniem traktować jako układy

stacjonarne. Dla termodynamicznego opisu takich układów musimy jeszcze określić siłę

napędzającą strumień entropii, x, oraz zaproponować sposób wyznaczania szybkości produkcji

entropii w układzie, σ.

Entropia układu jest typowa funkcją wewnętrzną. Wartości funkcji tego typu określone są

przez zmienne zewnętrzne (dające się wyznaczyć z pomiaru) jedynie w stanie równowagi. Również

jedynie w stanie równowagi entropia jest funkcja stanu i tylko wtedy posiada różniczkę zupełną.

Jednakże my z definicji rozpatrujemy układ nie znajdujący się w stanie równowagi. Wygląda to na

ślepą uliczkę.

1122


Przez dłuższy czas poszukiwano wyjścia z tego problemu. Udało się je znaleźć dzięki podziałowi

układu na podukłady tak małe, że każdy z nich można potraktować jako lokalnie znajdujący się w

stanie równowagi. Podejście takie jest możliwe, gdy układ jako całość znajduje się w pobliżu stanu

równowagi. Można wtedy wykazać, że produkcja entropii σ musi spełniać równanie:

∑=

=σ⋅n

1iiixJT

gdzie: Ji – i-ty strumień

xi – siła napędowa i-tego strumienia

Okazuje się więc, że podejście takie wyjaśnia od razu dwie sprawy: wielkość produkcji entropii w

stanie stacjonarnym i siły napędowe strumienia entropii wypływającego z układu: siłami tymi są

siły napędowe innych strumieni obecnych w układzie.

Wyrażenie Tσ zwane jest funkcją dyssypacji. Określa ona zużycie energii w układzie, czyli jak

szybko układ przekształca użyteczne formy energii w zdegenerowaną, bezużyteczną energię

cieplną i przekazuje ją (dyssypuje) do otoczenia.

Siły napędowe i strumienie Ponieważ pojęcie strumienia obecnie jest kluczowe przy opisie układów nieodwracalnych,

poświęćmy trochę uwagi siłom napędowym typowych strumieni występujących w układach

biofizycznych. Tabela 0-1 zawiera zestaw takich sił napędowych i odpowiadających im strumieni.

Tabela 0-1 Strumienie i odpowiadające im siły napędowe

Siła napędowa Strumień

różnica potencjału elektrycznego prąd elektryczny

różnica ciśnień hydrostatycznych przepływ cieczy

różnica potencjału chemicznego dyfuzja cząsteczek obojętnych

różnica potencjału elektrochemicznego ruch jonów

Dla izolowanych strumieni wielkość strumienia, J, jest proporcjonalna do wartości siły

napędowej x:

LxJ =

W takich strumieniach kierunek przepływu musi być zgodny z kierunkiem siły napędowej.

Okazuje się jednak, że w rzeczywistych układach mamy często do czynienia ze strumieniami

sprzężonymi, czyli takimi gdzie strumień zależy od kilku sił napędowych.

ddllaa ii oodd 11 ddoo nn ( ni1i x,,x,,xfJ KK= )

1133


W przypadku strumieni sprzężonych niektóre strumienie mogą płynąć „pod prąd” odpowiadających

im sił napędowych o ile napędzają je inne strumienie.

Pojawia się teraz problem, jaka jest postać funkcji f(x1,..,xn) w powyższym równaniu. Jak

dotychczas przyjmuje się najczęściej, że jest to zależność liniowa:

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

xLxLxLJ

xLxLxLJxLxLxLJ

+++=

+++=+++=

L

M

L

L

Taki układ równań można zapisać w zapisie macierzowym w dużo bardziej zwartej formie jako:

LXJ =

gdzie: J – kolumnowa macierz strumieni

L – kwadratowa macierz współczynników

X – kolumnowa macierz sił napędowych

Ponadto, w 1931 roku Onsager wykazał, że Lij = Lji, czyli że macierz współczynników jest

macierzą symetryczną.

Siłę sprzężenia pomiędzy strumieniami opisuje wielkość:

jjii

ijij LL

Lq =

zwana stopniem sprzężenia. Gdy qij = 0, czyli Lij = 0, mamy do czynienia z brakiem sprzężenia

strumieni i oraz j. Gdy qij = 1 mamy do czynienia ze sprzężeniem całkowitym.

Przykład 1. Rozważmy układ składający się z dwóch roztworów tej samej substancji o różnych, lecz niedużych stężeniach. Roztwory te znajdują się w dwóch różnych częściach naczynia rozdzielonych błoną (rys. obok). W układzie występują dwie siły napędowe: i) różnica potencjału chemicznego substancji rozpuszczonej wynikająca z różnicy stężeń, oraz ii) różnica ciśnienia hydrostatycznego. Przy niskich stężeniach roztworu potencjał chemiczny rozpuszczalnika jest praktycznie jednakowy w obu częściach układu. Tak więc w układzie pojawić się powinny dwa strumienie: JD - strumień dyfuzyjny substancji oraz JV - strumień objętościowy roztworu. Potencjał chemiczny substancji rozpuszczonej wynosi: clnRT=µ .. RRóóżżnniiccaa ppootteennccjjaałłuu cchheemmiicczznneeggoo,, ∆∆µµ,, ddaannaa jjeesstt wwiięęcc wwzzoorreemm::

2

121 c

clnRTclnRTclnRT =−=µ∆

Zakładając występowanie sprzężenia pomiędzy strumieniami otrzymujemy zależności:

JJVV

JJDD

cc11 >> cc22

pLLJpLLJ

VVDVV

DVDDD

∆+µ∆=∆+µ∆=

gdzie: LDD – współczynnik dyfuzji substancji w błonie LVV – współczynnik filtracji błony (przepuszczalność hydrauliczna)

1144


LDV – współczynnik ultrafiltracji lub osmozy Z faktu występowania sprzężeń pomiędzy strumieniami wynika istnienie dwóch ciekawych zjawisk: ultrafiltracji – przepływu substancji pod wpływem różnicy ciśnienia hydrostatycznego oraz osmozy – przepływu rozpuszczalnika pod wpływem różnicy stężenia substancji rozpuszczonej. Przykład 2. Rozważmy układ otwarty, do którego może wnikać z otoczenia substancję M. Wewnątrz układu substancja ta przekształcana jest z szybkością v w substancję N. Substancja N może dyfundować do otoczenia. Ponadto przez granicę układu może dyfundować substancja O, z która nic się w układzie nie dzieje. Strumienie poszczególnych substancji nie są ze sobą sprzężone i można je opisać zależnościami:

OOOO

NNNN

MMMM

LJLJLJ

µ∆=µ∆=µ∆= JM

JN

JO

M N

WW ssttaanniiee ssttaaccjjoonnaarrnnyymm iilloośśćć ppoosszzcczzeeggóóllnnyycchh ssuubbssttaannccjjii ww uukkłłaaddzziiee nniiee uulleeggaa zzmmiiaanniiee,, ccoo mmoożżeemmyy zzaappiissaaćć jjaakkoo::

0Jdt

dn

0vJdt

dn

0vJdt

dn

OO

NN

MM

==

=+=

=−=

Z dwóch pierwszych równań wynika, że strumień substancji M wpływający do układu równy jest co do wartości strumieniowi substancji N wypływającemu z układu, a oba te strumienie równe są liczbowo szybkości powstawania substancji N. Z ostatniego równania wynika ponadto, że strumień substancji O jest zerowy. Podstawiając wyrażenia na strumienie otrzymujemy:

0L0vL0vL

OOO

NNN

MMM

=µ∆=+µ∆=−µ∆

Można teraz wyznaczyć różnice potencjałów chemicznych poszczególnych substancji w stanie stacjonarnym:

( )

( )( ) 0

Lv

Lv

sO

NNsN

MMsM

=µ∆

−=µ∆

=µ∆

Tak więc różnice potencjałów chemicznych substancji M i N zależą od szybkości przemiany i od współczynników dyfuzji poszczególnych substancji. Potencjał chemiczny substancji O jest identyczny w układzie i w otoczeniu.

Przykład 3. Rozważmy teraz jak będzie wyglądał stan stacjonarny takiego samego układu, jeżeli pomiędzy strumieniami substancji M i O występuje sprzężenie.

1155

JM

JN

JO

M N

OOOMOMO

NNNN

OOMMMMM

LLJLJ

LLJ

µ∆+µ∆=µ∆=

µ∆+µ∆=

WW ssttaanniiee ssttaaccjjoonnaarrnnyymm iilloośśćć ppoosszzcczzeeggóóllnnyycchh ssuubbssttaannccjjii ww uukkłłaaddzziiee nniiee uulleeggaa zzmmiiaanniiee,, ccoo mmoożżeemmyy zzaappiissaaćć jjaakkoo::


0Jdt

dn

0vJdt

dn

0vJdt

dn

OO

NN

MM

==

=+=

=−=

NNaa uuwwaaggęę zzaassłłuugguujjee ffaakktt,, żżee wwyyssttęęppoowwaanniiee sspprrzzęężżeenniiaa nniiee mmaa wwppłłyywwuu nnaa wwaarrttoośśćć ii kkiieerruunneekk ssttrruummiieennii.. WWyyzznnaacczzmmyy tteerraazz rróóżżnniiccee ppootteennccjjaałłóóww cchheemmiicczznnyycchh ppoosszzcczzeeggóóllnnyycchh ssuubbssttaannccjjii ww ssttaanniiee ssttaaccjjoonnaarrnnyymm::

( )

( )

( )

OO

2OM

MM

OO

OM

sO

NNsN

OO

2OM

MM

sM

LLL

vLL

Lv

LLL

v

−−=µ∆

−=µ∆

−=µ∆

RRzzuuccaa ssiięę ww oocczzyy,, żżee ww uukkłłaaddzziiee zzee sspprrzzęężżeenniieemm ssttrruummiieennii wwyyssttęęppuujjee rróóżżnniiccaa ppootteennccjjaałłuu cchheemmiicczznneeggoo ssuubbssttaannccjjii OO ii ttoo ppoommiimmoo zzeerroowweeggoo ssttrruummiieenniiaa tteejj ssuubbssttaannccjjii.. RRóóżżnniiccaa ppootteennccjjaałłuu cchheemmiicczznneeggoo ssuubbssttaannccjjii NN nniiee uulleeggłłaa zzmmiiaanniiee,, aa ssuubbssttaannccjjii MM uulleeggłłaa zzwwiięękksszzeenniiuu ((mmnniieejjsszzyy mmiiaannoowwnniikk uułłaammkkaa))..

Entropia w stanie stacjonarnym Przypomnijmy: stan stacjonarny to stan układu niezmienny w czasie, w którym układ

produkuje entropię w tempie σ, ale entropia układu nie ulega zmianie: dS/dt = 0. Można wykazać,

że stan taki jest możliwy tylko wtedy, gdy strumienie i siły są stałe w czasie:

0t

xtJ ii =

∂∂

=∂∂

Przy czym niektóre z nich mogą być równe 0, a reszta przyjmuje niezerowe, chociaż stałe wartości.

W zależności od liczby niezerowych strumieni mamy stany stacjonarne odpowiednich rzędów:

rząd 0 : wszystkie strumienie zanikają, σ = 0 czyli układ nie wytwarza entropii, równowaga

termodynamiczna,

rząd > 0: dodatnia szybkość produkcji entropii.

Na przełomie lat 50 i 60 XXw. Prigogine wykazał, że w stanie stacjonarnym układu

produkcja entropii osiąga minimum lokalne. Oznacza to m.in., że układ samorzutnie wraca do stanu

stacjonarnego po niewielkich odchyleniach.

Poprawność tego wniosku ograniczona jest tylko do najbliższego otoczenia minimum. Wynika to z

kilku istotnych powodów:

definicja funkcji dyssypacji w podanej powyżej formie jest poprawna jedynie dla stanów

niezbyt odległych od stanu równowagi. Jaka jest postać tej funkcji w znacznej odległości od

stanu równowagi nie zostało w przypadku ogólnym wykazane.

1166


przyjęliśmy liniową definicję funkcji sprzęgającej strumienie. Jest to opis poprawny jedynie

w najbliższym otoczeniu stanu równowagi.

w skomplikowanych układach występować może wiele stanów stacjonarnych, w tym niektóre

blisko siebie. Znaczne wychylenie z jednego z takich stanów może doprowadzić do tego, że

układ znajdzie się w obszarze „przyciągania” innego stanu stacjonarnego.

Pozostaje jednak prawdą, że każdy stan stacjonarny posiada swego rodzaju strefę bezpieczeństwa.

Jeżeli na skutek oddziaływania zewnętrznych czynników zakłócających układ zostanie wytrącony

ze stanu stacjonarnego, ale nie przekroczy granic tej strefy, to będzie samorzutnie starał się

powrócić do stanu stacjonarnego. Im większa jest ta strefa, tym stabilniejszy (mniej wrażliwy na

zkłócenia) jest stan stacjonarny.

1177


POMIARY KALORYMETRYCZNE

Wstęp Pomiary kalorymetryczne to jedyna technika badawcza pozwalająca na bezpośrednie

wyznaczenie wielkości termodynamicznych. Wszystkie inne techniki, np. spektroskopowe, są

metodami pośrednimi: wyznaczanie wielkości termodynamicznych możliwe jest tylko dla układów

spełniających określone, czasami bardzo trudne do spełnienia, warunki. Pomiary kalorymetryczne

dokonywać można przy tym bezpośrednio w warunkach równowagi bez potrzeby izolacji

substratów lub produktów.

Dzięki rozwojowi technik instrumentalnych i komputeryzacji aparatury współczesne

kalorymetry są w stanie wyznaczyć ilość wydzielanego lub pobieranego ciepła z dokładnością do

1 µJ.

Izotermiczne miareczkowanie kalorymetryczne Z punktu widzenia biofizyki najważniejszą techniką kalorymetryczną jest izotermiczne

miareczkowanie kalorymetryczne, ITC (ang. Isotermal Titration Calorymetry). Na podstawie

wyników uzyskanych w trakcie pojedynczej serii pomiarów można wyznaczyć:

- ∆H - zmianę entalpii molowej związanej z badanym oddziaływaniem

- K – stałą tworzenia kompleksu

- n – współczynnik opisujący stechiometrię oddziaływania

Pomiędzy wielkościami termodynamicznymi opisującymi badane oddziaływanie zachodzą przy

tym następujące zależności:

KlnRTSTHG −=∆−∆=∆

Ponieważ wielkości ∆H i K wyznaczane są niezależnie z danych doświadczalnych, więc można

również obliczyć ∆G i ∆S.

Wykonując pomiary w dwóch różnych temperaturach można ponadto wyznaczyć

pojemność cieplną (molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, ∆Cp):

1

2

12

12

12p

TTln

SSTT

HHC ∆−∆=

−∆−∆

=∆

BBuuddoowwaa aappaarraattuu Układ pomiarowy składa się z dwóch naczynek umieszczonych we wspólnej osłonie

cieplnej. Naczynka mają pojemność 0,5÷1,5 ml. Osłona termiczna jest chłodzona do temperatury

1188


niższej niż zadana temperatura doświadczenia T0, więc dla

utrzymania zadanej temperatury naczynek należy je podgrzewać.

Podczas całego doświadczenia oba naczynka są utrzymywane w

równowadze termicznej, ∆T = 0, w zadanej temperaturze. Jedno z

naczynek spełnia przy tym rolę naczynka odniesienia, a drugie

naczynka pomiarowego. W obu naczynkach znajdują się

jednakowe objętości tego samego rozpuszczalnika. W naczynku

pomiarowym znajduje się ponadto jeden ze składników

oddziaływującego układu (składnik A). Do naczynka

pomiarowego dodawany jest niewielkimi porcjami roztwór

drugiego składnika, B, w takim samym rozpuszczalniku.

T = T0 T = T0∆T = 0

PPrrzzeebbiieegg ppoommiiaarruu Podstawą metody jest pomiar ilości energii cieplnej w jednostce czasu (mocy) jaką należy

dostarczyć do naczyńka pomiarowego, aby zachować zerową różnicę temperatur pomiędzy obu

naczynkami. Moc tą wyraża się najczęściej w µW, chociaż µcal/s są również w użyciu.

Właściwy pomiar rozpoczyna się, gdy do naczynka pomiarowego dodajemy w postaci serii

wstrzyknięć niewielkie, 5 ÷ 25 µl, porcje roztworu drugiego składnika. Całkowita objętość

dodawanego roztworu wynosi zwykle 50 ÷ 250 µl.

Dodanie drugiego składnika powoduje zachodzenie analizowanego oddziaływania i zmianę entalpii

układu. Gdy oddziaływanie ma charakter egzotermiczny, to do naczynka pomiarowego dla

zachowania zadanej temperatury wystarczy dostarczyć mniej ciepła niż do naczynka

referencyjnego. W przypadku oddziaływań endotermicznych sytuacja jest odwrotna.

W obu naczyńkach znajdują się bardzo czułe termopary włączone w układ regulacyjny sprzężenia

zwrotnego. Taki układ potrafi wykryć różnice temperatury rzędu 10-4 deg i dostosować ilość ciepła

dostarczanego do obydwu naczyniek tak, aby tę różnicę wyeliminować. Energia dostarczana jest do

układu w postaci krótkich impulsów prądu, po ok. 20 µJ każdy. Moc dostarczana do każdego z

naczyniek regulowana jest częstością impulsów, a nie ich energią jednostkową.

Zawartość naczyńka pomiarowego jest mieszana dla przyśpieszenia oddziaływania obu

składników. Jako mieszadła używa się często igły strzykawki dozującej roztwór składnika B. W

przypadku typowych oddziaływań fizykochemicznych wystarcza zwykle ok. 10 s, aby układ

przeszedł do nowego stanu równowagi. W układach biofizycznych w których składnikami są

makrocząsteczki potrzeba na to ok. 1 min. Zwykle po kilku minutach wprowadzamy kolejną porcję

1199


roztworu składnika B i proces się powtarza. W miarę jak zmienia się stopień przereagowania

(obsadzenia dla makrocząsteczek) zmianie ulega również efekt cieplny związany z pojedynczym

nastrzykiem roztworu.

Typowe doświadczenie ITC trwa zwykle od 1 do 2 godzin. W tym czasie dokonuje się od

kilkunastu do dwudziestu kilku nastrzyków i związanych z nimi pomiarów ciepła oddziaływania.

Surowe wyniki pomiarów przedstawia się w postaci zależności różnicy mocy dostarczonej do

obydwu naczynek w funkcji czasu. Ilość ciepła niezbędnego dla zrównoważenia układu po każdym

kolejnym nastrzyku oblicza się całkując powierzchnię pod pikiem.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 5 10 15 20 25

Czas [min]

Moc

P(t)

[ µW

]

PPoommiiaarryy kkoonnttrroollnnee Współczesne kalorymetry izotermiczne są na tyle czułe, że dla uzyskania poprawnych

wyników należy uwzględnić efekty cieplne związane ze zmianą stężeń reagentów podczas

miareczkowania. Aby wyznaczyć te tzw. ciepła rozcieńczania należy wykonać dwie dodatkowe

serie pomiarów.

Dla wyznaczenia ciepła rozcieńczania składnika A do naczyńka pomiarowego dodajemy

rozpuszczalnik bez składnika B w takich samych porcjach jak podczas właściwego

miareczkowania. Ponieważ stopień rozcieńczania składnika A jest niewielki (rzędu 1,01) zdarza się

często, że ciepło rozcieńczania jest praktycznie takie samo we wszystkich etatach miareczkowania.

Można wtedy obliczyć średnie ciepło rozcieńczania składnika A.

Stopień rozcieńczania składnika B jest z reguły duży i wynosi ok. 100 na początku miareczkowania

spadając do ok. 10 w końcowych etapach. Powoduje to, że ciepło rozcieńczania tego składnika jest

2200


zwykle znaczne i zmienia się systematycznie podczas miareczkowania. Dlatego też wyznaczamy to

ciepło dla każdego etapu miareczkowania podczas serii pomiarów w której dodajemy roztwór

składnika B do naczyńka pomiarowego zawierającego tylko rozpuszczalnik (bez składnika A).

Porcje dodawanego roztworu jak i objętość rozpuszczalnika na początku pomiaru powinny być

identyczne jak podczas właściwego miareczkowania.

OOpprraaccoowwaanniiee wwyynniikkóóww Po zgromadzeniu wszystkich danych surowe wyniki przelicza się na wielkości molowe:

molową zmianę entalpii i stosunek moli obydwu składników. Dane te wystarczają do wyznaczenia

∆H, K oraz n.

Załóżmy, że składniki oddziałują ze sobą zgodnie z równaniem:

A + nB == C

Roztwór składnika A o stężeniu [A] moli/litr i objętości V znajduje się w naczyńku pomiarowym, a

składnik B dodawany jest jako roztwór w tym samym rozpuszczalniku w porcjach o jednakowej

objętości v. Wprowadźmy ponadto pojęcie stopnia obsadzenia cząsteczek substancji A

definiowanego wzorem:

[ ][ ]AAf b≡

Stopień obsadzenia mówi jaka część cząsteczek A zaangażowana jest w danych warunkach w

oddziaływanie z cząsteczkami B. Wartość stopnia obsadzenia waha się od 0 (cały składnik A w

formie wolnej) do 1 (cały składnik A obsadzony cząsteczkami składnika B). Korzystając z tej

wielkości można obliczyć stężenie formy związanej [A]b i wolnej [A]f:

[ ] ]A[fA b = [ ] ( ) ]A[f1A f −=

Przyjmując, że z jedną cząsteczką A oddziaływać może n cząsteczek B można wyznaczyć stężenie

formy związanej i wolnej składnika B:

[ ] ]A[nf]A[nB bb == f iB [B ] nf[A]= −

gdzie: [Bi] - ogólne stężenie składnika B po i-tym nastrzyku.

W badaniach biofizycznych stosuje się zwykle zamiast termodynamicznej stałej równowagi tzw.

stałą tworzenia kompleksu. Jest ona równa:

[ ]

[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]( )b

if f

A f[A]KA B 1 f A B nf A

= =− −

Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy:

[ ] [ ] [ ] [ ]2i iK B fK B nfK A nf K A f− − + =

2211


Porządkując człony równania i dzieląc je przez nK[A] otrzymujemy:

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]

i i2 B B1f 1 fn A nK A n A

⎧ ⎫⎪ ⎪− + + + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

0

czyli równanie kwadratowe ze względu na f. Jeden z jego pierwiastków jest zawsze większy od 1 i

nie ma sensu fizycznego, ale drugi pozwala na obliczenie współczynnika obsadzenia:

[ ][ ]

i2 4 Bf X X

n A= − −

gdzie: [ ][ ] [ ]

iB 1X 1n A nK A

= + +

Ilość energii cieplnej produkowana lub pobierana przez układ podczas pojedynczego aktu

miareczkowania, Qi, zależy od różnicy entalpii produktów i substratów, ∆H, oraz przyrostu liczby

moli substancji B która związała się z substancją A, (∆nB)b:

( )bBi nHQ ∆∆=

Ten przyrost liczby moli można wyznaczyć zgodnie ze wzorem:

( ) [ ] [ ]VAfnVBn bbB ∆=∆=∆

gdzie: ∆f – przyrost stopnia obsadzenia po i-tym miareczkowaniu,

czyli ostatecznie:

[ ] HVAfnQi ∆⋅∆=

Podstawiając do tego wzoru wartości fi i fi-1 z równania kwadratowego otrzymujemy:

[ ] ( )1iii ff2

HVAnQ −−∆

=

Teraz można wyznaczyć ∆Hi, czyli zmianę entalpii molowej w i-tym miareczkowaniu. Jest ona

równa ilości ciepła Qi podzielonego przez ogólny przyrost liczby moli składnika B:

(*) [ ]0i

B

ii Bv

Qn

QH =∆

=∆

gdzie: v – objętość roztworu składnika B dodawana podczas jednego miareczkowania

[B]0 – stężenie dodawanego roztworu

Z drugiej strony wartość Qi dla i-tego miareczkowania wyznaczyć można z danych

doświadczalnych:

( )∫∆+

−=tt

tii qdttPQ

gdzie: qi – aktualne ciepło rozcieńczania.

2222


Doświadczalne wartości Qi można również przeliczyć na zmiany entalpii molowej:

[ ]0i

B

ii Bv

Qn

QH =∆

=∆

Dla każdego aktu miareczkowania można obliczyć stosunek di liczby moli składnika B do liczby

moli składnika A:

[ ][ ]AB

nnd

A

Bi ==

i wykonać wykres zależności ∆Hi od di:

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

00 0,5 1 1,5 2 2,5

d = nB/nA

∆H 0

[kJ/

mol

]

Otrzymamy charakterystyczny wykres sigmoidalny. Punkty tego wykresu leżą na krzywej opisanej

równaniem (*). Należy teraz tak dobrać wartości parametrów n, K i ∆H aby krzywa była jak

najlepiej dopasowana do punktów doświadczalnych.

Praktyka pokazała, że najbardziej wiarygodne oszacowanie wartości parametrów n, K i ∆H

uzyskuje się, gdy iloczyn K×[A] znajduje się w przedziale od 10 do 100. Np. gdy spodziewamy się,

że stała tworzenia kompleksu będzie miała wartość ok. 1×106 M-1 powinniśmy stosować stężenie

składnika A w przedziale od 10 do 100 µM.

Stężenie roztworu składnika B, objętość tego roztworu dodawaną w pojedynczym miareczkowaniu

oraz liczbę etapów miareczkowania dobiera się tak, aby pod koniec serii pomiarów di wynosił ok.

2.

Kalorymetria skaningowa Drugą istotną z punktu widzenia biofizyki techniką kalorymetryczną jest różnicowa

kalorymetria skaningowa znana pod skrótem DSC (ang. Differential Scanning Calorimetry). W

metodzie tej dokonuje się pomiaru ilości ciepła niezbędnego dla ogrzania próbki. Pozwala ona

2233


zmierzyć zmiany molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu, Cp, w funkcji temperatury.

Jeżeli w układzie w określonym przedziale temperatury zachodzi proces przemiany fazowej

wydzielający lub pobierający ciepło, to wartość Cp ulegnie gwałtownej zmianie. Technika DSC

pozwala ustalić temperaturę tego przejścia fazowego, Tm, oraz ocenić związane z nim parametry

termodynamiczne: ∆H i Cp. Na gruncie biofizyki interesują nas przede wszystkim przemiany

pseudofazowe związane ze zmianami w strukturze biopolimerów (białka i kwasy nukleinowe) lub

układów supramolekularnych (błony lipidowe).

BBuuddoowwaa aappaarraattuu Układ pomiarowy składa się z dwóch naczynek

umieszczonych we wspólnej osłonie termicznej. Do obydwu

naczynek doprowadzane jest ciepło ze wspólnego grzejnika

(czerwony) powodującego powolny wzrost temperatury obu

naczynek w czasie. Podczas całego doświadczenia oba naczyńka

są utrzymywane w równowadze termicznej dzięki pracy

dodatkowych grzejników (brązowe). Temperatura obu naczyniek

jest kontrolowana przez czułe termometry, a praca grzejników sterowana jest przez elektroniczny

układ kontrolny.

T = f(t) T = f(t)∆T = 0

Jedno z naczynek spełnia rolę naczynka odniesienia, a drugie naczynka pomiarowego. W obu

naczynkach znajdują się jednakowe objętości tego samego roztworu (buforu). W naczynku

pomiarowym znajduje się ponadto badana substancja lub mieszanina oddziałujących z sobą

substancji.

PPrrzzeebbiieegg ppoommiiaarruu Po napełnieniu naczynek odpowiednimi roztworami doprowadza się je do równowagi

termicznej w zadanej temperaturze początkowej. Właściwy pomiar odbywa się podczas powolnego

ogrzewania układu z zadaną z góry szybkością τ (zwykle ok. 1°/min). Jeżeli w naczynku

pomiarowym nie zachodzą żadne przemiany fazowe ani zmiany konformacyjne, to i tak należy do

niego dostarczać nieco większą moc cieplną (ilość ciepła w jednostce czasu), gdyż znajduje się w

nim rozpuszczona substancja badana i potrzeba dodatkowej energii, aby doprowadzić ją do żądanej

temperatury. Ta dodatkowa ilość energii pozwala wyznaczyć ciepło molowe badanej substancji, Cp,

zgodnie ze wzorem:

nPCp τ

∆=

2244


gdzie: ∆P – różnica pomiędzy mocą dostarczaną do naczynka pomiarowego i naczynka odniesienia

τ - szybkość zmian temperatury w stopniach na jednostkę czasu

n- liczba moli badanej substancji w naczynku pomiarowym

Zwykle wraz ze wzrostem temperatury wartość Cp nieznacznie wzrasta (czarna linia na rysunku

poniżej).

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Temperatura [C]

Cp [k

J/m

ol/d

eg]

Jeżeli w określonej temperaturze rozpoczyna się jakiś proces pochłaniający lub

wydzielający ciepło, to wartość Cp zmienia się gwałtownie. W przypadku procesów

endotermicznych takich jak denaturacja białka lub „topnienie” DNA do dalszego ogrzewania

układu potrzeba będzie więcej ciepła, więc wartość Cp zacznie gwałtownie wzrastać wraz ze

wzrostem temperatury. Wzrost ten osiągnie maksymalną wartość w temperaturze, w której

przemianie ulega najwięcej cząsteczek. Przy dalszym wzroście temperatury ilość cząsteczek

ulegająca przemianie maleje i wartość Cp wraca prawie do początkowej wartości (linia niebieska).

Entalpia przemiany równa jest przy tym polu pomiędzy krzywą a aproksymowaną linią zmiany Cp.

Przy pomocy techniki DSC badać można nie tylko stabilność termiczną biopolimeru, np.

białka, ale również wpływ na nią liganda tworzącego kompleks z badanym biopolimerem. Można

również wyznaczyć entalpię kompleksowania ligandu. W tym celu należy wykonać dwa niezależne

pomiary: jeden dla samego biopolimeru i drugi dla kompleksu (linia czerwona na rysunku

powyżej). Ponieważ wiązanie ligandu z biopolimerem zachodzi jedynie wtedy, gdy procesowi temu

towarzyszy obniżenie entalpii swobodnej, więc stabilność termiczna kompleksu jest zwykle

większa niż samego biopolimeru (Tmc > Tm). Entalpię wiązania można wyznaczyć z porównania

entalpii przemiany kompleksu z entalpią przemiany samego biopolimeru.

2255


WWyymmaaggaanniiaa ii ooggrraanniicczzeenniiaa Aby otrzymać wiarygodne wyniki pomiarów wielkości termodynamicznych układ badany

techniką DSC musi spełniać szereg wymagań:

i) przemiana musi mieć charakter odwracalny. Występowanie jakichkolwiek procesów

nieodwracalnych komplikuje analizę wyników. Niestety, procesy całkowicie odwracalne są

w biofizyce rzadkością. Problem ten można rozwiązać lub ominąć dobierając odpowiednio

szybki wzrost temperatury układu tak, aby zwykle powolne procesy nieodwracalne nie

zdążyły zajść w znaczącym stopniu.

ii) z drugiej strony szybkość wzrostu temperatury musi być na tyle powolna, aby układ

zawsze znajdował się w stanie równowagi termodynamicznej

iii) proces przemiany powinien być czystym procesem jednoetapowym. Jeżeli przemiana

jest kilkuetapowa i występują stany pośrednie, to analiza wyników jest dużo bardziej

skomplikowana i wymaga dodatkowych założeń.

Jeżeli chcemy wyznaczyć techniką DSC entalpię wiązania ligandu, to pojawiają się jeszcze

dodatkowe wymagania:

iv) stężenie ligandu musi być na tyle duże, aby praktycznie wszystkie cząsteczki

biopolimeru występowały w formie kompleksu

v) ligand nie powinien tworzyć kompleksu z biopolimerem po przemianie (denaturacji).

Jeżeli takie zjawisko zachodzi, to wyznaczona entalpia wiązania jest zaniżona.

Nawet jeżeli wszystkie powyższe wymagania są spełnione pojawić się mogą jeszcze dodatkowe

ograniczenia wiarygodnego stosowania techniki DSC do wyznaczania entalpii wiązania. Ma to

miejsce w szczególności, gdy porównujemy powinowactwo różnych ligandów do biopolimeru i

ligandy te w różnym stopniu stabilizują biopolimer (duże różnice w wartościach Tmc). Wtedy każda

entalpia wiązania wyznaczana jest w innej temperaturze. Aby móc porównać wyniki uzyskane dla

różnych ligandów należy je ekstrapolować do stałej temperatury, zwykle 25°C. Taka odległa

ekstrapolacja może być źródłem znacznych niedokładności.

2266

ERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH · termodynamika jest niezależna od poziomu naszej wiedzy o...

Documents

Transcript of ERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH · termodynamika jest niezależna od poziomu naszej wiedzy o...