Elektrycznoœæ i magnetyzm - ujk.edu.pl · Literatura 1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands,...
Transcript of Elektrycznoœæ i magnetyzm - ujk.edu.pl · Literatura 1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands,...
Elektryczność i magnetyzm
II rok, III semestr
Czas trwania: wykład 60 godz., ćwiczenia 60 godz.
Zaliczenie przedmiotu – zaliczenie ćwiczeń + min.30 pkt:
egzamin testowy 25 pkt
egzamin ustny 25 pkt
Prowadzący: dr Jacek Semaniak
Literatura
1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Elektryczność i magnetyzm. Elektrodynamika. Tom 2.1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001
2. E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1975
3. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, Tom 2 cz. 2, PWN
Program wykładu - 11. Pola skalarne i wektorowe. Podstawy rachunku różniczkowego i całkowego pól
wektorowych.Wielkości charakteryzujące pola wektorowe. Iloczyn skalarny i wektorowy. Pochodne pól. Operator ∇. Operacje algebraiczne z operatorem ∇. Całki wektorowe. Strumień pola wektorowego. Krążenie pola wektorowego. Pola bezwirowe i bezźródłowe.
2. Elektrostatyka. Opis wektorowy pola elektrostatycznego.Ładunek elektryczny. Prawo zachowania ładunku. Prawo Coulomba. Zasada superpozycji. Pole elektryczne. Wektor natężenia pola elektrostatycznego. Linie pola. Dipol elektryczny. Momenty dipolowe cząsteczek.
3. Prawo Gaussa i jego zastosowania.Strumień pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Różniczkowa postać prawa Gaussa. Pole ładunku kulistego, liniowego, warstwy naładowanej (pole pomiędzy dwoma warstwami). Równowaga w polu elektrostatycznym. Trwałość atomów.
4. Potencjał elektryczny.Praca w polu elektrostatycznym. Zachowawczość pola elektrostatycznego. Potencjał i różnica potencjałów. Energia ładunku punktowego. Energia elektrostatyczna ładunków.
Program wykładu - 25. Pole elektrostatyczne w obecności przewodników.
Przewodniki w polu elektrostatycznym. Pojemność przewodnika. Rozkład ładunku w przewodnikach. Wnęki i ostrza. Metoda obrazów: ładunek punktowy w obecności płaszczyzny i kuli przewodzącej. Kondensator. Łączenie kondensatorów. Pole elektryczne kondensatora. Energia kondensatora.
6. Dielektryki.Mechanizm polaryzacji dielektryków. Stała dielektryczna. Wektor polaryzacji. Równania elektrostatyki dla pól z dielektrykami. Pola i siły w dielektrykach. Dielektryki polarne iniepolarne.
7. Prąd elektryczny.Natężenie i gęstość prądu. Klasyczny model przewodnictwa elektrycznego dla metali. Równanie ciągłości, pierwsze prawo Kirchoffa. Opór elektryczny. Prawo Ohma. CiepłoJoule’a. Łączenie oporów. Siła elektromotoryczna. Drugie prawo Kirchoffa. Obwody elektryczne. Ładowanie kondensatora przez opór.
8. Elementy teorii pasmowej ciał stałych.Założenia kwantowej teorii gazu elektronowego. Pasmowa teoria ciała stałych. Przewodniki, izolatory, półprzewodniki. Kontaktowa różnica potencjałów. Termoemisja, Zjawiska termoelektryczne: Seebecka, Thompsona i Peltiera.
Program wykładu - 3
9. Prąd elektryczny w elektrolitach i gazach.Dysocjacja. Przewodnictwo elektryczne elektrolitów. Prawa elektrolizy. Czynniki jonizujące. Prądy elektryczne w atmosferze. Pole elektryczne wokół przewodnika prostoliniowego - zasada działania detektorów gazowych.
10. Pole magnetyczne.Siła Lorentza. Indukcja magnetyczna. Zjawisko Halla. Siła elektrodynamiczna. DoświadczenieOersteda. Prawo Biota-Savarta. Prawo Ampere’a. Pole magnetyczne przewodnika prostoliniowego, kołowego i solenoidu. Prądy atomowe. Dipol magnetyczny. Prawo Gaussa. Potencjał wektorowy. Względność pól elektrycznego i magnetycznego.
11. Indukcja elektromagnetyczna.Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Energia pola magnetycznego. Obwody LC. Prąd zmienny. Równania Maxwella. Prędkość światła.
12. Pole magnetyczne w materii.Siły działające na dipol w zewnętrznym polu magnetycznym. Energia dipola. Diamagnetyzm. Paramagnetyzm. Podatność magnetyczna. Ferromagnetyzm.
Pole wektorowe i skalarne
Pole wielkości fizycznej A: przestrzeń lub cześć przestrzeni, w której każdemu punktowi przyporządkowana jest określona wielkość fizyczna A.
Tzn.
Każdemu punktowi (x,y,z) przestrzeni przypisujemy wielkość (mogącą zmieniać się w czasie t), którą traktujemy jako funkcję zmiennych x, y, z i t.
Ar
funkcja wektorowa pole wektorowe⇒A funkcja skalarna pole skalarne⇒
Prawa fizyczne zapisane w postaci równań, których obie strony sąskalarami lub wektorami nie zależą od wyboru układu odniesienia.
Pole skalarne
Np. pole temperatury – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość skalarna T(x,y,z,t)
T1T3T2
y
Temperatura we wszystkich punktach na powierzchni oznaczonej Ti jest taka sama (krzywa ciągła pokazuje przecięcie tej powierzchni z płaszczyzną z=0 – obrazek znany z map pogody)
x
Pole wektoroweNp. pole prędkości – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość wektorowa V(x,y,z,t)
V1
V2
V3
V4V5
Pole prędkości w wirze wodnym. Wektor prędkości zmienia się w zależności od punktu w wirze i czasu.
Pole wektorowerr
Np. pole grawitacyjne – z każdym punktem przestrzeni związana jest wielkość wektorowa – natężenie pola grawitacyjnego E(x,y,z,t)
MM mmFF11
22
FF22
11
→→ →→
rr1212→→
E4
E3E2
E1
Ei MMasa M wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Pole to opisywane jest w każdym punkcie (x,y,z) wielkością wektorową – natężeniem pola grawitacyjnego .E
Linie pola
Pole wektorowe można przedstawić jako zbiór „strzałek” ilustrujących wartość pola wektorowego w punktach, z których zaczepione są strzałki.
Lub
W postaci linii stycznych w każdym punkcie do kierunku wektora pola przy założeniu, że gęstość linii jest proporcjonalna do natężenia pola.
Podstawowe działania na wektorach -dodawanie
aabb
aa
bbcc kajaiaa zyx
rrrr ++=
kbjbibb zyxrrrr
++=
BB( ) ( ) ( )kbajbaibabac zzyyxx
rrrrrr +++++=+=
Podstawowe działania na wektorach -odejmowanie
kbjbibb zyxrrrr
++=
aabb
aabb
cc--bb
BBkajaiaa zyxrrrr ++=
( ) ( ) ( )kbajbaibabac zzyyxxrrrrrr −+−+−=−=
Podstawowe działania na wektorach –mnożenie wektora przez skalar (n)
aa
bb
kajaiaa zyxr ++=
rrr
knajnainaanb zyxrrrrr
++==BB
Podstawowe działania na wektorach – iloczyn wektorowy
aa××b
zyx
zyx
bbbaaakji
ba
rrr
rr =×
αsin|| abba =×rrBB
bbαα
b
aa
Podstawowe działania na wektorach – iloczyn skalarny
AA
aa
bb
αα
αcosabba =⋅rr
zzyyxx babababa ++=⋅rr
Pochodna pola skalarnego
A(x,y,z,t) – wielkość skalarna
tA
∂∂
zmiana pola A w czasie
∂∂
∂∂
∂∂
zA
yA
xA ,, zmiana pola A związana z położeniem
Czy może być traktowane jako wektor?
∂∂
∂∂
∂∂
zA
yA
xA ,,
Operator nabla ∇
y
A1
A2
∆R
x
z
Rozpatrzmy dwa punkty skalarnego pola wektorowego odległe o małe ∆R, w których wartość pola wektorowego wynosi A1 i A2(np. temperatury T1 i T2).
12 AAA −=∆ Nie zależy od układu odniesienia
W dowolnym układzie odniesienia: zzAy
yAx
xAA ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
=∆
zzyyxx babababa ++=⋅rr
RAA ∆⋅∇=∆
kzAj
yAi
xAA
rrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
kzjyixRrrrr
∆+∆+∆=∆
Różnica wielkości skalarnej pomiędzy dwoma punktami jest iloczynem skalarnym gradientu tej wielkości i wektora przesunięcia.
operator wektorowy∇
kz
jy
ix
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Operacje z operatorem nabla ∇A – pole skalarne
kzAj
yAi
xAA
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Tworzenie wektora
( )zyx A,A,AA =r
pole wektorowe
zA
yA
xAA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇rr
dywergencja pola A (div A)
Iloczyn skalarny
Iloczyn wektorowy
zyx AAAzyx
kji
A∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
rrr
rrrotacja pola A (rot A)
Wielkości charakteryzujące pola wektorowe.Strumień pola wektorowego.
da
S
V
AA
Jaki jest „przepływ” (strumień) pola wektorowego przez element powierzchniowy ?da
αcos⋅⋅=⋅=Φ daAadAd rr
Całkowity „przepływ” (strumień) pola wektorowego przez zamkniętą powierzchnię S:
ndaad ⋅= rr
∫ ⋅=ΦS
adA rrwektor powierzchniowy o wartości równej powierzchni elementu powierzchniowego da (np.dxdy, dydz) skierowany na zewnątrz prostopadle do tej powierzchni
Suma strumieni
S
Sa
SbSab
n2n1
A
∫ ∫ ⋅+⋅=Φa abS S
danAdanA 11rrrr
∫ ∫ ⋅+⋅=Φb abS S
danAdanA 22rrrr
∫∫ ⋅−=⋅⇒−=abab SS
danAdanAnn 2121rrrrrr
ba Φ+Φ=Φstąd
Strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest sumie strumieni wypływających ze wszystkich części, na które została ona podzielona
∑Φ=Φi
i
Jaki jest całkowity strumień wypływający z kostki?
(x,y,z) (x+∆x,y,z)
(x,y+∆y,z)
(x,y,z+∆z)
CC’
n n
∆x
∆y
∆z
1 Cx2
3
45
6
∫−=Φ dydzCx10, →∆∆ yxzyCx ∆∆−=Φ )1(1 bo
zyCx ∆∆−=Φ )2(2
podobnie
xx
CCC xxx ∆
∂∂
+= )1()2(ale, dla dostatecznie małych ∆x
zyxx
Cx ∆∆∆∂
∂=Φ+Φ 21
stąd
zyxy
Cy ∆∆∆∂
∂=Φ+Φ 43
zyxz
Cz ∆∆∆∂
∂=Φ+Φ 65
constCyx =⇒→∆r
0,
∫−
∆∆∆
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=⋅61
zyxz
Cy
Cx
CadC zyxrr
Twierdzenie Gaussa_wprowadzenie∆
Twierdzenie Gaussa
( )∫ ∆⋅∇=⋅kostkiS
VCadC_
rrrr Dywergencja wektora C w danym punkcie jest strumieniem (wypływem) na jednostkę objętości w otoczeniu tego punktu
Ponieważ całkowity strumień z danego obszaru równy jest sumie strumieni z każde z jego części, więc:
∫ ∫ ⋅∇=⋅S V
dVCadCrrrr
Twierdzenie GaussaCałka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią, z dywergencji tego wektora
Krążenie pola wektorowego
++
++
Kierunek krążenia
Γ
Cds
C – pole wektorowe
Całkę krzywoliniową wzdłuż krzywej zamkniętej Γ ze składowej stycznej wektora C nazywamy
krążeniem pola wektorowego C po krzywej Γ :
∫Γ
⋅ sdC rr
Suma krążeń
(1)
(2)
Γ1 Γ2
Γa
Γab
Γb
ds1
ds2
Kierunek krążenia taki sam w obu pętlach:∫∫∫
ΓΓΓ
⋅+⋅=⋅aba
sdCsdCsdC 11
rrrrrr
∫∫∫ΓΓΓ
⋅+⋅=⋅abb
sdCsdCsdC 22
rrrrrr
∫∫ΓΓ
⋅−=⋅abab
sdCsdC 21rrrr
ale
∫∫∫ΓΓΓ
⋅+⋅=⋅21
sdCsdCsdC rrrrrrstąd
∑ ∫∫ΓΓ
⋅=⋅i i
sdCsdC rrrr
Krążenie po obwodzie kwadratu
(x,y) (x+∆x,y)
(x,y +∆y)
C
C
Cx
Cy
y
x
1
2
3
4
constCyx =⇒→∆∆r
0,
( ) ( ) ( ) ( ) yCxCyCxCsdC yxyxkwobw
∆−∆−∆+∆=⋅∫ 4321_
rr
( ) ( ) yy
CCC xxx ∆
∂∂
+= 13
( ) ( ) xx
CCC y
yy ∆∂
∂+= 24 ( ) aCsdC
kwobwz∆×∇=⋅∫
_
rrrr
yxy
Cx
CsdC
kwobw
xy ∆∆
∂
∂−
∂
∂=⋅∫
_
rr
Twierdzenie StokesaC
ds
n
Crr
×∇
( ) danCsdCS
∫ ∫Γ
⋅×∇=⋅ rrrrr
Krążenie C wzdłuż krzywej Γ jest całką powierzchniową składowej normalnej rotacji C.
Pola bezwirowe
(1)
(2)
a
b
Cϕ – pole skalarne
( ) ( ) ∫ ⋅∇=−)2(
)1(
12 sdrϕϕϕ pole potencjalne
( ) 0=∇×∇ ϕr( ) ( ) ∫ =⋅∇⇒=
petla
sd 012 rϕ stąd (zawsze)
odwrotnie
⇒=×∇ 0Crr
ϕϕ ∇=Cr
:istnieje
powierzchnia S
pętla Γ
Crr
×∇
n
Pola bezźródłowe
( )∫ =⋅×∇⇒→ΓS
danC 00 rrr
z tw. Gaussa
( ) ( )∫ ∫ =×∇⋅∇=⋅×∇S V
dVCdanC 0rrrrrr
zatem
( ) 0=×∇⋅∇ Crrr