Obwody rozgałęzione prądu stałego

prof. dr hab. inż. Tadeusz NIEDZIELA

Kartkówka

Nazwisko, imię (nr. grupy)

1. Napisz wzory na zamianę układu rezystorów z gwiazdy w trójkąt.

2. Napisz wzory na zamianę układu rezystorów z trójkąta na gwiazdę .

3. Napisz wzory na dzielnik prądu.

Metody rozwiązywania obwodów rozgałęzionych prądu stałego: - metoda klasyczna (zad. 5.3) - metoda przekształcenia sieci (zad. 5.1) - metoda superpozycji (zad. 5.2) -metoda potencjałów węzłowych (zad. 5.6, 5.7, 5.9) -metoda superpozycji [z metodą oczkową (5.10a, c)]

[z metodą węzłową (5.10b, c)] - metoda z zastosowaniem twierdzenia Thevenina (zad. 5.12, 5.14) - metoda z zastosowaniem twierdzenie Thevenina i z metodą węzłową (zad. 5.11) - metoda z zastosowaniem twierdzenia Nortona (zad. 5.13)

METODA KLASYCZNA

Zadanie 1 Oblicz wartości prądów gałęziowych (I1, I2, I3) w danym obwodzie stosując

metodą klasyczną (równań prądowych wg. I prawa Kirchhoffa oraz równań prądowych wg. II prawa Kirchhoffa).

Dane: R1 = 6 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, E = 36V

Dla obwodu zawierającego v węzłów można napisać, zgodnie z I prawem Kirchhoffa v-1 równań niezależnych => 2-1 = 1

Dla obwodu zawierającego b gałęzi można napisać, zgodnie z II prawem Kirchhoffa b-(v-1) równań niezależnych => 3-1 = 2

1 2 3

2 2 1 1

1 1 3 3

0

0

0

I I I

R I I R E

R I I R E

1 2 3

1 1 2 2 3

1 1 2 3 3

0

0

0

I I I

R I R I I E

R I I R I E

1 2

1 3

1 1 1

0

0

R R

R R

1

2

3

I

I

I

0

E

E

1 1 1

6 2 0

6 0 3

1

2

3

I

I

I

0

36

36

1 1 1

6 2 0

6 0 3

2 0

0 3

6 0

6 3

6 2

6 0

0 1 1

36 2 0

36 0 3

36 0

36 3

36 2

36 0

11

1805

36I A

W

W

=

· =

W = = 1 +1 -1=1·6+1·18-1·(-12)=6+18+12=36

= 1 -1 =108-1·(-72) = 180W1 =

·

1 0 1

6 36 0

6 36 3

36 0

36 3

6 36

6 36

W2 = =1 -1 =108-1·(0) = 108

22

1083

36I A

W

W

1 1 0

6 2 36

6 0 36

2 36

0 36

6 36

6 36

33

722

36A

WI

W

W3 = =1 +1 =2·36 = 72

METODA PRZEKSZTALCENIA SIECI Zadanie 2

Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6) w danym obwodzie posługując się metodą przekształcania sieci (z zamianą źródeł).

Dane: R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 3 Ω, E1 = 12V, E2 = 6V

1

I I I I

I I

I II I III

I IIf

IcIa

Ib

Ie

Id

 

2 12 2 1043 3 3 3

A

10

3A

2 6 2 823 3 3 3

A

1 212 1 2

3

93 3 9

3

R RR R R

R

2 323 2 3

1

93 3 9

3

R RR R R

R

3 131 3 1

2

93 3 9

3

R RR R R

R

Dla węzła 3 z I prawa Kirchoffa I’ + I’’ - IŹR1 = 0, IŹR1 = 4A

I’’ = - I’+4 =

I’’ =

Dla węzła 2 z I prawa Kirchoffa - I’ + I’’’ - IŹR2 = 0, IŹR2 = 2A

I’’’ = 2+I’ =

Przy zamianie λ na ∆ mają zastosowanie następujące ogólne wzory „rezystancyjne”:

113 1 13

1 1 1 1 1 3 1 4

3 9 9 9R R R

113

92,25

4R

122 12 2

1 1 1 1 1 4

9 3 9R R R 122

92,25

4R

236 23 6

1 1 1 1 1 4

9 3 9R R R 236

92,25

4R

11

1

4ŹR

EI

RA

22

2

62

3ŹR

EI

RA

=>

=>

=>

RZ = R113 + R112 + R236 = 2,25 + 2,25 + 2,25 = 6,75 Ω

UŹR1 = IŹR1·R113 = 4·2,25 = 9V

UŹR2 = IŹR2·R122 = 2·2,25 = 4,5V

UŹR = UŹR1-UŹR2 = 9 – 4,5 = 4,5V

Korzystamy z r-ń na dzielnik prądu

1

1 13

13

1 13

3 10 10 5

3 9 3 12 6

9 10 152,5

3 9 3 6

IIb

IIa

RI I

R R

RI I

R

A

AR

12

12 2

2

12 2

9 8 62

9 3 3 3

3 8 2

9 3 3 3

IIIc

IIId

RI I A

R R

RI I A

R R

23

23 6

9 2 30,5

9 3 3 6I

e

RI I A

R R

6

23 6

3 2 1

3 9 3 6I

f

RI I A

R R

Zakładamy zwroty prądówI3, I5, I1

I4, I2, I6

3

5 2 91,5

6 3 6b dI I I A

(Przez rezystor R3 płynie prąd Ib oraz Id)

5

2 1 3 10,5

3 6 6 2d fI I I A

1 14 2,5 1,5aŹR

I I I A

4

5 11

6 6b fI I I A

(Przez rezystor R5 płynie prąd Id oraz If)

(Przez rezystor R4 płynie prąd Ib oraz If)

I2 = Ic – Iźr2 = 2-2 = 0

I6 = Ie = 0,5A

Rozwiązanie zadania

METODA SUPERPOZYCJI Zadanie 3

Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym

obwodzie stosując metodę superpozycji.

Dane: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8

= 36V, IŹR = 12A

I rozwiązanie- rozwieramy źródło prądowe IŹR

- zwieramy źródło napięciowe E8

- obliczamy wszystkie prądy gałęziowe

I’ – Prąd w gałęziach dla I rozwiązania

' ' 71 5

1 5

183

6

EI I A

R R

2 4

24 2 4 2 4 2 4

11 1 1 11 1

R R

R R R R R R R

2 4

2 424

2 42 4

011

R RR R

RR R R R

' 73

3 6

182

3 6

EI A

R R

=> I’3 = -2A

Gałąź 8 nie stanowi żadnego oporu, stąd prąd I’8 = I’3 = -2A, ponieważ w gałęzi 8 płynie cały prąd I’3

stąd w gałęzi drugiej i czwartej nie płynie żaden prąd.

I’2 = 0 A , I’4 = 0 A

I’7 + I’3 - I’1 = 0

I’7 = I’1 - I’3 = 3 – (-2) = 5A

I’6 = - I’3 = -(-2) = 2A

W związku z powyższym prądy w gałęziach 1-8 dla I rozwiązania wynoszą odpowiednio:

I’1 = 3A, I’2 = 0, I’3 = -2A, I’4 = 0, I’5 = 3A, I’6 = 2A, I’7 = 5A, I’8 = -2A

II rozwiązanie

Rozwieramy źródło prądowe IŹR, zwieramy źródło napięciowe E7

'' '' 84 2

2 4

366

6

EI I A

R R

'' 83

3 6

364

9

EI A

R R

=> I’’2 = -6A

I’’6 = -I’’3 = -4A, I7’’ = -I3

’’ = -4A, I’’1 = I’’5 = 0

I’’8 + I’’2 = I’’3 I’’8 = I’’3 - I’’2 = 4-(-6)=10A

Stąd prądy w gałęziach dla II rozwiązania wynoszą odpowiednio:

I’’1 = 0, I’’2 = -6A, I’’3 = 4A, I’’4 = 6A, I’’5 = 0, I’’6 = -4A, I’’7 = -4A, I’’8 = 10A

III rozwiązanie

Zwieramy źródła napięciowe E7 i E8

Korzystamy z wzorów na dzielnik prądu

''' 51

1 5

''' 15

1 5

512 10

1 5

1 1212 2

1 5 6

ŹR

ŹR

RI I A

R R

RI I A

R R

''' 42

4 2

''' 24

4 2

412 8

4 2

212 4

4 2

ŹR

ŹR

RI I A

R R

RI I A

R R

''' 63

3 6

612 8

3 6ŹR

RI I A

R R

''' 36

3 6

312 4

3 6ŹR

RI I A

R R

I’’’7 = I’’’5 + I’’’6 = -2 + 4 = 2A

I’’’4 - I’’’6 - I’’’8 = 0

I’’’8 = I’’’4 - I’’’6 = 4 – 4 = 0

Stąd prądy gałęziowe dla 3 rozwiązania

I’’’1 = 10A, I’’’2 = 8A, I’’’3 = 8A, I’’’4 = 4A, I’’’5 = -2A, I’’’6 = 4A, I’’’7 = 2A, I’’’8 = 0

Wyniki końcowe ( superpozycja rozwiązań)

I1 = I’1 + I’’1 + I’’’1 = 3 + 0 + 10 = 13A,

I2 = I’2 + I’’2 + I’’’2 = 0 - 6 + 8 = 2A,

I3 = I’3 + I’’3 + I’’’3 = -2 + 4 + 8 = 10A,

I4 = I’4 + I’’4 + I’’’4 = 0 + 6 + 4 = 10A,

I5 = I’5 + I’’5 + I’’’5 = 3 + 0 - 2 = 1A,

I6 = I’6 + I’’6 + I’’’6 = 2 – 4 + 4 = 2A,

I7 = I’7 + I’’7 + I’’’7 = 5 – 5 + 2 = 3A,

I8 = I’8 + I’’8 + I’’’8 = -2 + 10 + 0 = 8A

METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH

Równanie macierzowe obliczania prądów oczkowych

R · I = E

R – macierz rezystancji własnych i wzajemnych,I – macierz prądów oczkowych,E – macierz napięć źródłowych oczkowych.

11 12 1 01 11

21 22 2 02 22

1 2 0

. . .

. . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . .

n

n

n n nn n nn

R R R I E

R R R I E

R R R I E

gdzie: n- liczba oczek liniowo niezależnychI01 – prąd oczka 1-szego

EKK – napięcie źródłowe k-tego oczka jest równa sumie napięć źródłowych

należących do tego oczka.

RKK – rezystancja własna k-tego oczka jest równa sumie rezystancji

wszystkich gałęzi należących do tego oczka. Rezystancje własne oczek przyjmujemy zawsze ze znakiem (+).

RKL – rezystancja wzajemna oczka k-tego z oczkiem l-tym jest równa

rezystancji gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-tego.

Znak rezystancji wzajemnej zależy od zwrotów prądów oczkowych w gałęzi wspólnej. Jeżeli zwroty prądów oczkowych są jednakowe to przyjmujemy znak (+) rezystancji wzajemnej. Natomiast jeżeli zwroty prądów oczkowych są przeciwne to znak rezystancji wzajemnej przyjmujemy (-).

Zadanie 4

Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym

obwodzie stosując metodę oczkową.

Dane: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω,

R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8 = 36V,

IŹR = 12A

1. etap – „Przenieść” występujące w obwodzie „samoistne” źródła prądowe, a następnie sprowadzić wszystkie gałęzie do postaci napięciowej.

2. etap – Obliczyć prądy oczkowe a następnie prądy gałęziowe.

UŹR5 = R5·IŹR = 5·12 = 60V,

UŹR6 = R6·IŹR = 6·12 = 72V,

UŹR4 = R4·IŹR = 4·12 = 48V.

R11 = R1+R5 = 1+5 = 6,

R22 = R4+R2 = 4+2 = 6,

R33 = R3+R2+R4+R6+R5+R1= 3+2+4+6+5+1 = 21

R12 = R21 = 0,

R31 = R13 = -(R1+R5) = -(1+5) = -6,

R23 = R32 = -(R4+R2) = -(4+2) = -6,

E11 = E7+UŹ5 = 18+60 = 78V,

E22 = UŹ4 – E8 = 48-36 = 12V,

E33 = - (UŹ4 + UŹ6 + UŹ5) = - (48+72+60) = -180

01

02

03

6 0 6 78

0 6 6 12

6 6 21 180

I

I

I

6 0 66 6 0 6

0 6 6 6 66 21 6 6

6 6 21

6 6 21 6 6 216 6 90 216 540 216 324 108 3

W

1

78 0 66 6 12 6

12 6 6 78 6 78 6 21 36 6 12 6 6 1806 21 180 6

180 6 21

78 90 6 ( 72 1080) 7020 6 (1080) 7020 6048 972 108 9

W

R·I0 = E

W = 108·3

W1 = 108·9

101

108 93

108 3

WI A

W

2

6 78 612 6 0 6 0 12

0 12 6 6 78 6180 21 6 21 6 180

6 180 21

6 12 21 6 180 78 (36) 6 (6 12) 4968 2808 432 2592 108 24

W

202

108 248

108 3

WI A

W

3

6 0 786 12 0 6

0 6 12 6 78 6 6 180 6 12 78 366 180 6 6

6 6 180

6( 1008 72) 2808 6048 2808 108 30

W

303

108 3010

108 3

WI A

W

Prądy gałęziowe wyrażamy przez prądy oczkowe

I1 = I01 – I03 = 3-(-10) = 13A,

I2 = -(I03 – I02)= -[-10-(-8)]) = 2A,

I3 = -I03 =-(-10) = 10A,

I4 + I2 = Iżr => I4 = 12 – I2 = 12 – 2 = 10A,

I1 – I5 – Iżr = 0 => I5 = I1 – 12 = 13 – 12 = 1A,

I’4 = - I2 = -2A,

I’6 = I03 = -10A,

I’5 = I01 – I03 = 3 – (-10) = 3 + 10 = 13A,

I’6 = - I03 = -10A,

I7 + I3 = I1, Z I prawa Kirchhoffa

I7 = I1 - I3 = 13 - 10 = 3A,

I8 = I3 - I2 = 10 - 2 = 8, Z I prawa Kirchhoffa

I4 - I6 - I8 = 0,

I6 = I4 – I8 = 10 – 8 = 2A

Zadanie 5

Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6) w danym obwodzie

stosując metodę oczkową.

Dane: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 3 Ω, E1 = 12V, E2 = 6V,

R·I0 = E

R11 = R1+R3 + R4= 3 + 3 + 3 = 9 Ω,

R22 = R2+R5 + R3= 3 + 3 + 3 = 9 Ω,

R33 = R4+R5 + R6= 3 + 3 + 3 = 9 Ω

R12 = R21= -R3 = - 3 Ω,

R13 = R31= -R4 = - 3 Ω,

R23 = R32= -R5 = - 3 Ω

E11 = E1 = 12V,

E22 = -E2 = -6V,

E33 = 0

11 12 13 01 11

21 22 23 02 22

31 32 33 03 33

01

02

03

9 3 3 12

3 9 3 6

3 3 9 0

R R R I E

R R R I E

R R R I E

I

I

I

9 3 39 3 9 3 3 9

3 9 3 9 3 33 9 3 9 3 3

3 3 9

9 81 9 3 ( 27 9) 3 (9 27) 9 72 108 108 648 216 27 16

W

1

12 3 39 3 6 3 6 9

6 9 3 12 3 33 9 0 9 0 3

0 3 9

12 81 9 3 ( 54) 3 (18) 864 162 54 864 216 648 27 24

W

101

27 241,5

27 16

WI A

W

2

9 12 36 3 3 3 3 6

3 6 3 9 12 30 9 3 9 3 0

3 0 9

9 54 12 ( 27 9) 3 ( 18) 486 432 54 0

W

202

00

27 16

WI A

W

3

9 3 129 6 3 6 3 9

3 9 6 9 3 123 0 3 0 3 3

3 3 0

9 18 3 ( 18) 12 (9 27) 162 54 432 216 27 8

W

303

27 80,5

27 16

WI A

W

Prądy gałęziowe wyrażamy przez prądy oczkowe

I1 = I01 = 1,5A,

I2 = I02 = 0A,

I3 = I01 – I02 = 1,5 - 0 = 1,5A,

I4 = I02 – I03 = 0 – 0,5 = -0,5A,

I5 = I01 – I03 = 1,5 – 0,5 = 1,0A,

I6 = I03 = 0,5A

METODA POTENCJALÓW WĘZLOWYCH

(metoda węzłowa)Równanie macierzowe obliczania potencjałów węzłowych

Y · V = IŹR

Y – macierz admitancji własnych i wzajemnych,V – macierz potencjałów węzłowych,IŹR – macierz prądów źródłowych.

11 12 1 01 1

21 22 2 02 2

1 2 0

. . .

. . .

.. . . . . . .

.. . . . . . .

.. . . . . . .

. . .

n ŹR

n ŹR

n n nn n ŹRn

IY Y Y V

IY Y Y V

IY Y Y V

Y – macierz admitancji własnych i wzajemnych jest macierzą kwadratową symetryczną, na głównej przekątnej występują admitancje własne węzłów ze znakiem (+), poza główną przekątną admitancje wzajemne węzłów ze znakiem (-).

YKK – admitancja własna k-tego węzła jest równa sumie admitancji gałęzi

zbiegającej się w k-tym węźle. Admitancje własne przyjmujemy ze znakiem (+).

YKL – admitancja k-tego węzła z węzłem l-tym jest równa sumie admitancji

wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio węzeł l-ty z l-tym. Admitancje wzajemne przyjmujemy ze znakiem (-).

V – macierz potencjałów węzłowych jest macierzą kolumnową o liczbie wierszy n, równej liczbie węzłów liniowo niezależnych.

IŹR – macierz prądów źródłowych wypadkowych jest macierzą kolumnową o

liczbie wierszy n, równej liczbie węzłów liniowo niezależnych.

IŹR – prąd źródłowy wypadkowy dla k-tego węzła jest równy sumie iloczynów

admitancji gałęzi i napięć źródłowych gałęzi należących do k-tego węzła EY

Zadanie 6Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym

obwodzie stosując metodę potencjałów węzłowych.

Dane: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω,

R5 = 5 Ω, R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8 =36V,

IŹR = 12A.

1 etap – „Przenieść” źródła napięciowe występujące w gałęziach bezrezystancyjnych.

2 etap – „Sprowadzić” wszystkie gałęzie do postaci prądowej.

3 etap – Rozwiązać przekształcony obwód tzn. obliczyć prądy gałęziowe.

G·V = IŹR

G – macierz konduktancji własnych i wzajemnych,V – macierz potencjałów węzłowych,IŹR – macierz prądów źródłowych.

111 5

1 1 1 1 5 1 6

1 5 5 5G

R R

224 2

1 1 1 1 1 2 3

4 2 4 4G

R R

2 4

1 1 1 1 3

2 9 4R R

3 2 4 6

1 1 1 1 1 1 1 1 15 5

3 2 4 6 12 4R R R R

G12 = G21 = 0,

G13 = G31 = 0,

G23 = G32 =

G33 =

71

1

1812 6

1ŹW ŹR

EI I A

R

82

2

3612 12 18 30

2ŹW ŹR

EI I A

R

8 7 83

3 3 2

36 18 3612 6 18 24

3 3 2ŹW

E E EI A

R R R

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 2

ŹW

ŹW

ŹW

G G G V I

G G G V I

G G G V I

1

2

3

60 0

5 63 3

0 304 4

243 50

4 4

V

V

V

60 0

53 3 6 3 5 3 3 6 15 9 9

04 4 5 4 4 4 4 5 16 16 5 43 5

04 4

W

9

5 4W

1

6 0 0

3 3 3 5 3 3 15 9 36 930 6 6

4 4 4 4 4 4 16 16 16 43 5

244 4

W

11

9 5 45

4 9

WV V

W

2

60 0

3 3530 0

3 6 6 30 5 34 40 30 6 245 54 5 5 4 4

24 05 4 40 244

6 78 9 13

5 4 5

W

22

9 13 5 452

5 9

WV V

W

3

60 6

53 6 3 3 6 72 90 3 9

0 30 24 304 5 4 4 5 4 4 53

0 244

W

33

3 9 5 412

5 9

WV V

W

' 2 32

2

4020

2

V VI A

R

V2 – V3 = 52 – 12 = 40V

I2 = I2 – IŹR2 = 2

Gałąź 2

Prąd płynie od potencjału wyższego do niższego

2 8 32

2

( ) 52 36 12 52 48 42

2 2 2

V E VI A

R

Gałąź 1

7 11

1

18 513

1

E VI A

R

Gałąź 3

3 8 73

3

( ) (12 36) 1810

3

V E EI A

R

I7 + I3 – I1 = 0,

I7 = I1 – I3 = 13 – 10 = 3A

I2 – I3 + I8 = 0,

I8 = I3 – I2 = 10 – 2 = 8A

12 – I2 – I4 = 0,

I4 = 12 – I2 = 12 – 2 = 10A

1 05

5

5 01

5

V VI A

R

I6 + I5 = I7

I6 = I7 – I5 = 3 – 1 = 2A lub 3 06

6

12 02

6

V VI A

R