Elektra
description
Transcript of Elektra
-
Odpowiedzi do pyta z podstaw elektrodynamiki.EiT sem. 2
29 wrzenia 2013
1 Pytania szczegowe
1. Prawo si Lorentza dla adunkw punktowych: Sia Lorentza opisujeoddziaywanie pola magnetycznego na poruszajc si czstk o niezero-wym aduknu elektrycznym . Na kad czstk o adunku q , poruszjcsi z prdkoci ~v, w polu magnetycznym o indukcji ~B, dziaa sia ~FLwyraajca si wzorem:
~FL = q(E + ~v ~B) (1)
Sia ta jest zawsze skierowana prostopadle do wektorw ~v i pola magne-tycznego ~B. Sia Lorentza jest rwna zeru, kiedy adunek jest nieruchomybd porusza si rwnolegle do kierunku wektora pola magnetycznego. Si-a ta powoduje zakrzywienie toru czsteczki, ale nie wpywa na wartoprdkoci.
2. Prawo si Lorentza dla adunkw rozoonych w sposb cigy:W przypadku gdy wystpuj tylko pola magnetyczne uzyskujemy.
d~F = ( ~Js ~B)dV (2)
Jeli wystpuj pola elektryczne i magnetyczne to siy sumujemy i najbar-dzej oglny zapis przyjmuje posta:
d~F = ( ~E + ~Js ~B)dV (3)
Oczywicie aby uzyska warto siy cakowitej naley zsumowa poszcze-glne wartoci.
~F =
V
( ~E + ~Js ~B)dV (4)
~J-gsto powierzchniowa prdu-gsto adunku
1
-
3. Prawa tworzce rwnania Maxwella w postaci rniczkowej:
1) ~D = V ; (5)
2) ~E = ~B
t; (6)
3) ~B = 0; (7)
4) ~H = ~J + ~D
t(8)
1. Prawo Gaussa dla elektrycznoci2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Fradaya3. Prawo Gaussa dla magnetyczmu4. Prawo Amperea rozszerzone przez Maxwella.
Oznaczenia:~E-natenie pola ektrycznego, [V/m]~H-natenie pola magnetycznego, [A/m]~D-indukcja pola elektrycznego, [C/m]~B-indukcja pola magnetycznego, [T]~J-gsto prdu przewodzenia, [A/m2]
4. Rwnania Maxwella w postaci zespolonej:(operator rniczkowy zastpujemy czynnikiem j)
1) ~B = 0( ~J + j ~D) (9)
2) ~E = j ~B (10)3) ~D = (11)4) ~B = 0 (12)
1) Prawo Ampera rozszerzone przez Maxwella2) Prawo Faradaya dla indukcji3) Prawo Gaussa dla elektrycznoci4) Prawo Gaussa dla magnetyzmu
Rwnania materiaowe:~D = 0 (13)
~E = 0 ~H (14)
2
-
5. Wektor indukcji w materiale, w ktrym wystpuj elektryczneefekty polaryzacyjneObecno efektu polaryzcaji powoduje powstanie dodatkowych adunkwi prdw polaryzacyjnych. adunki i prdy wprowadza si do rwna Ma-xwella. Powoduje to zmian definicji wektora indukcji elektrycznej:
~D = 0 ~E + ~P = 0(1 + Y ) ~E (15)
gdzie Y to podatno elektryczna zalena od czstotliwoci. Wprowadzasi rwnie pojcie przenikalnoci elektrycznej materiau
d = 0(1 + Y )[F/m] (16)
6. Definicja orodkw: niejednorodnego i liniowegoOrodek niejednorodny to orodek, ktry nie wykazuje jednakowych wa-ciwoci (np. przewodnictwa elektrycznego) w kadym maym obszarzeobjtoci danej substancji w skali makroskopowej.Orodek liniowy to taki orodek, ktrego dany parametr (np przenikal-no, przewodno) nie zaley od nate pl.
7. Definicja wektora indukcji magnetycznej w materiale, w ktrymwystpuj efekty magnetyzacyjneW materiaach pod wpywem przyoonego pola magnetycznego powstajmagnetyczne momenty dipolowe, ktre s rdem pola magnetycznego.Wprowadza si pojcie gstoci prdu magnetycznego. Uwzgldniajc tenprd mona nie zmienia rwna Maxwella, o ile wprowadzi si definicjprzenikalnoci magnetycznej orodka.
~B = 0(1 + M ) ~H = ~H (17)
Gdzie = 0(1+M ) a M jest podatnoci magnetyczn, H przyoonympolem magnetycznym
8. Warunki brzegowe przy powierzchni idealnego przewodnikaDla idealnego przewodnika mamy:1. Wewntrz materiau nie ma pola elektrycznego ( =, = 0)2. Dla przypadku dynamicznego (/t 6= 0) nie moe wic by pola ma-gnetycznego (w przypadku statycznym moe by)3. Prd moe pyn tylko po powierzchni a adunki gromadz si na po-wierzchni.Konsekwencje:
~D2 ~n ~D1 ~n = s (18)~n ~E2 = ~n ~E1 (19)~B2 ~n = ~B1 ~n (20)
3
-
~n ~H2 ~n ~H1 = ~Js (21)
Poniewa orodek pierwszy jest idealny to otrzymujemy ostatecznie zale-noci:
~D2 ~n = s (22)~n ~E2 = 0 (23)~B2 ~n = 0 (24)
~n ~H2 = ~Js (25)
9. Rwnanie Poytinga w postaci cakowej V
~E ~Jdv+
S
( ~E ~H) ~ds+
V
( ~H ~B
t+ ~E
~D
t)dv = 0
(26)
Dygresja: Przepraszam, ale caka po powierzchni S przy iloczynie wekto-rowym powinna by zamknita (z kkiem) ale za choler nie mogem tegoznale w Latexie. Koniec dygresji :)Omwienie:-Pierwsza caka-opisuje gsto mocy traconych na elementarnych objto-ciach dv.-druga caka-wynikajca z rwnania (~( ~E ~H)) opisuje zgodnie z zasadzachowania energii moc wnikacjc lub uciekajc z objtoci dv.-caka trzecia-reprezentuje moc magazynowan w poluOglnie rzecz biorc: Cakowita moc pola elektromagnetycznego wycho-dzca z objtoci V rwna jest ubytkowi w czasie z wypadkowej energiinaadowanych czsteczek oraz energii zmagazynowanej w polu elektrycz-nym i magnetycznym.~E-natenie pola ektrycznego, [V/m]~H-natenie pola magnetycznego, [A/m]~D-indukcja pola elektrycznego, [C/m]~B-indukcja pola magnetycznego, [T]~J-gsto prdu przewodzenia, [A/m2]
10. Rnica potencjaw elektrostatycznychRnica potencjaw jest prac (dodatni lub ujemn), jak naley wyko-na, aby przesun adunek jednostkowy z punktu (1) do (2).
(UE(2) UE(1)) = U =
21
~E ~dl = Wq
(27)
4
-
11. Prawo Biota-SavartaPrawo to okrela wielko i kierunek wektora indukcji magnetycznej ~B wdowolnym punkcie P pola magnetycznego, wytworzonego przez prd elek-tryczny I pyncy w przewodniku. Warto liczbowa elementu indukcji dB,wytworzonej przez nieskoczenie may element przewodnika ~dl jest wprostproporcjonalna do natenia prdu I w nim pyncego, jego dugoci orazsinusa kta utworzonego przez kierunki elementu przewodnika ~dl i wersora~ir wskazujcego punkt, w ktrym wyznaczane jest to pole, a odwrotnieproporcjonalne do kwadratu odlegoci r od elementu przewodnika z pr-dem do punktu P.
~dB =I ~dl ~ir
4pir2(28)
12. Granice stosowanie przyblienia quasistatycznego. Kiedy stosu-jemy model o staych rozoonych?Genralnie zakada si, e warunek jest speniony, gdy wymiary fizyczneukadu s duo mniejsze od wiartki dugoci fali.
l 4
(29)
Jeeli ten warunek nie jest speniony, niezbedne jest podejcie polowe.
W przypadku, kiedy tylko jeden wymiar nie jest speniony, stosujemy mo-del obwodu o staych rozoonych.
2 Pytania opisowe
13. Podaj wzr w postaci cakowej i omw rwnanie cigoci V
~JdV = t
V
dV. (30)
Dywergencja gstoci prdu jest rwna prdkoci zmniejszania si gstociadunku .
Wzr powyszy mona tumaczy w nastpujcy sposb rnice w g-stoci prdu wypywajcego z pewnej objtoci powoduj zmniejszania sigstoci adunku w tej objtoci.
Mwic prociej: rdem prdu s poruszajce si adunki.
14. Prawo Gaussa w postaci cakowej. Wzr i omwienieStrumie wektora indukcji elektrycznej, wypywajcy z dowolnej powierzch-ni zamknitej, rwny jest cakowitemu aduknowi zgromadzonemu we-wntrz tej powierzchni. Warto zaznaczy, e adunki umieszczone na ze-wntrz powierzchni maj wpyw tylko na rozkad pola, a nie na strumie
5
-
wypywajcy z tej powierzchni. S
~D ~ds = Q (31)
gdzie
Q =
V
dv (32)
PS.Przy pierwszej cace znw keczko, bo powierzchnia zamknita.
15. Posta cakowa i omwienie prawa rode magnetycznychPoniewa w przyrodzie nie wystpuj adunki magnetyczne, linie si polazawsze s liniami zamknitymi. Zatem cakowity strumie wychodzcy zdowolnej powierzchni zamknitej S bdzie rwny 0, gdy kada z linii pola,jeeli wchodzi w wyznaczony obszar, to rwnie z niego wychodzi.
S
~B ~dS = 0 (33)
PS. Caka rwnie po obszarze zamknitym.
16. Posta cakowa i interpretacja prawa FaradayaPrawo indukcji Faradaya mwi, e zmiana strumienia indukcji pola ma-gnetycznego przechodzcego przez obwd wytwarza w nim si elektromo-toryczn:
L
~E ~dl =
S
~B
t ~ds (34)
17. Uoglniona posta prawa AmpereaUoglnione prawo Amperea mwi, e rdem cyrkulacji wektora polamagnetycznego moe by nie tylko prd elektryczny (prd przewodzenia),ale rwnie zmiany w czasie wektora indukcji elektrycznej (tzw. prd prze-sunicia).
l
~H~dl =
S
( ~D
t+ ~J) ds (35)
Pierwszy skadnik w nawiasie przyjto nazywa prdem przesunicia (wprzeciwiestwie do prdu J, ktre jest prdem przewodzenia). Zjawiskoto zostao odkryte przez Maxwella i wprowadzone do pierwotnego prawaAmperea.
18. Dlaczego w idealnym przewodniku nie ma pola elektrycznego?Pod wpywem pola przyoonego do przewodnika nastpi polaryzacja a-dunkw i w efekcie powstanie pole zaindukowane E (zakaadamy, e a-dunki mog sie porusza). Wypadkowe pole to rnica pola przyoonegoi indukowanego przez zgromadzone adunki. Efekt-ruch adunkw w prze-wodniku bedzie trwa tak dugo, a wypadkowe pole wyniesie 0.
6
-
19. Na co moe zosta zamieniona moc dostarczona do naadowane-go orodka? Jakie s wtedy relacje fazowe pomidzy nateniempola a prdem?Energia moe zosta zamieniona na przyspieszenie czstek bd grzanieczstek.
pV = ~J ~E = wVt
(36)
Jeli pole E jest w fazie z prdem J, to gsto mocy p okrela straty naciepo (zjawisko Joulea). Jeli prd J nie jest w fazie z polem E, to energiajest gromadzona w orodku - na pojemnoci / indukcyjnoci.
20. Omw i uzasadnij sensowno wprowadzania pojcia napicia(rnicypotencjaw) w przypadku elektrostatykiRnica potencjaw ma sens pracy (dodatniej lub ujemnej) jak naleywykona, aby przesun adunek jednostkowy z punktu (1) do (2).
(UE(2) UE(1)) = U =
21
~E ~dl = Wq
(37)
Rnica potencjaw nie zaley od drogi, wzdu ktrej je liczymy (jestsens wprowadza pojcie rnicy potencjaw)Jeli rozwaamy pola, dla ktrych nie mona zaoy bezwirowoci, to po-jcie napicia nie ma sensu.
21. Porwnaj metody okrelania pl: elektrycznego i magnetycznegow oparciu o koncepcj potencjawW przypadku pola elektrostatycznego prowadzono potencja skalarny UE .Znajc potencja skalarny obliczamy natenie pola wykonujc operacjgradientu.
~E = UE (38)gdzie
UE =1
4pi
V
S(r)
RdV (39)
Dla staego pola magnetycznego mona wprowadzi potencja wektorowy
~B = ~A (40)gdzie
~A =
4pi
V
~J(r)R
dV (41)
UWAGA: punkty, gdzie umieszczone s rda s primowane, a punkty wktrych obliczamy wartoci, s bez primw.
7
-
22. Omw pojcia: rwnanie falowe i rwnanie HelmholtzaRwnanie falowe jest matematycznym rwnaniem rniczkowym czst-kowym rzdu drugiego, opisujce ruch falowy. Opisuje wychylenie fali wchwili t.
(2 2
t2) ~E = 0 (42)
Takie samo rwnanie uzyskuje si dla wekora natenia pola magnetycz-nego
(2 2
t2) ~H = 0 (43)
Gdzie dla przykadu jednowymiarowego(fala rozchodzi si np w kierunkuosi z) rwnanie ma posta:
(2
z2
2
t2) ~E(z, t) = 0 (44)
Natomiast rozwizanie ma posta: ~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) +E0cos(t+ kz + )
Wykorzystujc amplitudy zespolone do powyszych rwna otrzymujemyrwnanie Helmholtza
(2 + 2){~E
~H
}= 0 (45)
23. Omw sens fizyczny rwnania falowego na przykadzie rozwi-zania dla przypadku jednej zmiennejW przypadku jednej zmiennej rwnanie falowe dla pola elektrycznego maposta:
(2
z2
2
t2) ~E(z, t) = 0 (46)
a rozwizanie ma posta
~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) + ~E0cos(t+ kz + ) (47)
gdzie k2 = 2Powierzchnia staej fazy to paszczyzna (Az +B(t)=C) std nazwa falapaska.
Zaburzenie poruszajce si w kierunku +z powinno mie posta f(t, z) =f(at bz). Rozwizaniem rwnania falowego jest powysze rwnanie. Za-lenoc ta opisuje poruszajce sie w kierunku +z (pierwszy czynnik) oraz-z (drugi czynnik) fale pola E.
Takie same zalenoci opisuj fale pola magnetycznego (oba pola wyst-puj jednoczenie i maj tak sam zmienno czasowo-przestrzenn).
8
-
24. Zdefiniuj wektor falowy i omw jego zwizek z podstawowymiparametrami ruchu falowegoWektor ~k = k~iz nazywamy wektorem falowym. Jest on zgodny z kierun-kiem ruchu paszczyzny staej fazy (kierunkiem propagacji)Rozwamy czynnik harmoniczny cos(t kz + +)Liczb k nazywamy liczb falow. Ma ona sens wspczynnika fazy dlaruchu falowego i mwi o szybkoci zmian fazy. Jako e funkcja cosinusjest okresowa mona wprowadzi pojcie dugosi fali a wic odlegocipomidzy dwoma punktami o takiej samej fazie. Naley w tym miejscupoda wan zaleno
k =2pi
(48)
A std mona poda inne wane parametry czce wektor falowy z pa-ramtrami ruchu falowego.
=2pi
k(49)
Alek =
(50)
oraz = 2pif (51)
Std mona wyznaczy dowolne zalenoci pomidzy parametrami np.
vf =
k(52)
25. Zdefiniuj pojcie polaryzacji fali i omw rodzaje polaryzacji falipaskiej wykorzystujc pojcie wspczynnika eliptycznociMwic o polaryzacji fali elektromagnetycznej mamy na myli zachowaniesi wektora natenia pola elektrycznego (magnetycznego), obserwowanew kierunku wektora rozchodzenia si fali. Innymi sowy jest to kierunekwzajemnie prostopadych pl. Oznacza to, e wektor pola elektryczne-go(magnetycznego) bdzie drga tylko w jednej paszczynie.
Wykonujc odpowiednie przeksztacenia na rwnaniach:
~Ex(z, t) = ~Ex0cos(t kz + x) (53)~Ey(z, t) = ~Ey0cos(t kz + y) (54)
otrzymujemy rwnanie krzywej drugiego stopnia:
x2 2xycos+ y2 sin2 = 0 (55)
Uwzgldniajc fakt,e kt moe zmienia si od 0 do 2pi moemy uzyskaprost, elips lub koo.
9
-
Jeli = 0 to uzyskujemy prost. Mwimy wtedy o polaryzacji linio-wej. Prosta moe by nachylona wzgldem paszczyzny odniesieniapod dowolnym ktem.
Jeli przesunicie fazy pomidzy skadowymi wektora E wynosi =pi2 i obie skadowe maj tak sam amplitud Ex0 = Ey0 to koniecwektora E porusza si po okrgu. Mwimy wwczas o polaryzacjikoowej. Ruch moe by zgodny lub przeciwny do wskazwek zegara.Mwimy odpowiednio: polaryzacja prawoskrtna (+) lub lewoskrtna(-). Patrzymy w kierunku propagacji fali.
We wszystkich pozostaych przypadkach mamy do czynienia z po-laryzacj eliptyczn (warunki: istniej obie skadowe Ex0 i Ey0, zarnica faz jest rna od zera). Wprowadza si wwczas wspczynnikeliptycznoci AR = |AA
||BB|
3 Wyprowadzenia
26. Zaleno midzy gstoci powierzchniow prdu, a prdkociporuszajcego si adunku objtociowego, rozoonego w sposbcigyObjto elementu
dV = A dl (56)adunek wewntrz elementu
dQ = V dV (57)
Z definicji gstoci powierzchniowej prdu
Js =I
A=
dQdt
A=
dQ
A dt (58)
Wprowadzajc dt = dlv
Js =dQ
A dlv=
dQ
A dl v =dQ
dVv = v v (59)
Zapisujc wektorowo:~Js = v ~v (60)
27. Wzr na oporno prostopadocianu o dugoci l i przekrojupoprzecznym S wykonanego z matriau i przewodnoci waciwejZ prawa Ohma
~J = ~E (61)
10
-
Rozkad jest cigy, wic:
I = J S = E S (62)oraz
U = E l (63)Obliczamy stosunek U/I. Bdzie to oporno:
U
I=
E l E S =
l
S = l
S= R (64)
gdzie = 1/ to oporno waciwa
28. Wychodzc z obwodowego prawa Amperea dla amplitud zespo-lonych wprowad pojcie zespolonej przenikalnoci elektrycznejWychodzc z oglnego prawa Amperea:
~H = ~J + ~D
t= ~E +
~E
t(65)
W dziedzinie amplitud zespolonych pochodne czasowe zamieniamy naczynnik j
~H = ~J + j ~D = ~E + j ~E = j(+ j
) ~E (66)
Wielko wystpujca w nawiasie to zespolona przenikalno elektrycznaoznaczana jako cZespolona przenikalno elektryczna moe wic by zapisana jako:
c = 0r j
(67)
29. Korzystajc z rwna Maxwella wyznacz zwizek pomidzy ska-dowymi normalnymi wektora indukcji B i natenia pola magne-tycznego H na granicy dwch orodkw. Sformuuj zaoeniaZakadamy, e granica pomidzy orodkami jest bezwymiarowa (niesko-czenie cienka). W przekroju granicznym mog wic istnie tylko prdylub adunki powierzchniowe. Granic otaczamy walcem. Stosujemy pra-wo rde dla powierzchni takiego walca. Wybieramy przy tym skadowenormalne do tej granicy.
S
~B ~dS = 0 (68)
PS. Caka z kkiem.
Rozpisujemy cak po powierzchni zamknitej:
S( ~B2 ~n ~B1 ~n) +
SB
~Bb ~nbdS = 0 (69)
11
-
Dymy do 0 z wysokoci walca, wic caka po powierzchni bocznej dydo 0. Jako, eS jest rne od 0 otrzymujemy:
~B2 ~n = ~B1 ~n (70)
Skadowe normalne wektora indukcji magnetycznej maj przejcie cigena granicy dwch orodkw czyli:
znajc dugo skadowej normalnej wektora B w jednym o. znamyjej dugo przy granicy w drugim orodku
jeli znamy parametry orodkw moemy okreli dugo skadowejnormalnej wektora natenia pola magnetycznego.
B2n = B1n (71)
oraz2 H2n = 1 H1n (72)
Std:H2n =
12H1n =
1r2r
H1n (73)
30. Wyprowad rwnania Laplacea i PoissonaZ elektrostatyki znane jest rwnanie:
~E =
(74)
ale rwanie~E = UE (75)
std wynika, e2 UE =
(76)
Jest to rwnanie Poissona.Jeeli w obszarze nie ma adunku ( = 0) to uzyskujemy rwnanie Lapla-cea.
2 UE = 0 (77)
31. Wychodzc z rozwizania rwnania falowego (przypadek jedno-wymiarowy) wyprowad wzr na prdko fazow fali paskiejRozwaania bd dotyczyy rozchodzenia si fali w kierunku +z.
~E(z, t) = ~E0+cos(t kz + +) (78)
oraz k2 = 2Okrelamy prdko przesuwania si powierzchni staej fazy
= t kz + + = const (79)
12
-
Rwnanie rniczkujemy obustronnie
d = dt kdz = 0 (80)
Rozwaajc tylko rodkowe skadniki rwnania otrzymujemy
vf =dz
dt=
k=
1
(81)
W prni prdko ta rwna jest prdkoci wiata.
13