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EL METODO DIAGONALEN

TEORIA DE CONJUNTOS Y METAMATEMATICA

Gerold Stahl

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El método diagonal es un tipo de demostración formalque puede visualizarseen gráficosque tienen algode diagonal(pe-ro sin relación específica con geometría). Sólo algunos autoresque lo usan, lo visualizanexplícitamente. Otros no salende la de-mostración formal y dejan a la imaginacióndel lector la tarea decrearseuna representacióngráfica.

El análisis comparativode este procedimiento será el temadel presente trabajo; a través de un esquema general se señalarácómo funciona y se darán algunos ejemplos de su aplicación, to-mados de la teoría de conjuntos (donde fue usado por primeravez) y de la metamatemática.

El esquema general del método diagonalpuede subdividir-se en tres etapas. Las primeras dos son comunes a todas las apli-caciones del procedimiento. Respecto a la tercera etapa, en cam-bio, hay una bifurcación; existen demostracionesen que se usa eltipo a y otras en que se usa el tipo b del esquemaen cuestión.

Etapa 1: Se forma una secuenciavertical,los miembrosdeesta secuencia son a su vez secuenciashorizontales de objetoscualesquiera.En los casosque se verán aquí se trabaja con enume-rablemente infInitas secuenciashorizontales, donde cada una estáformada a su vez de enumerablemente infmitos miembros(la ex-tensión a un tipo de infmito mayor no presenta dificultades).Es-ta secuencia de secuenciasconstituye un tipo de cuadrado que seprolonga al infmito (enumerable).

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Etapa 2: Observamosque en esta representación está im-plícitamente contenida (entre muchasotras) una secuenciadiago-nal que consta del primer miembro de la primera secuenciahori-zontal, del segundo miembro de la segunda secuenciahorizontal,etc. al infinito.

Esta secuencia diagonal puede modificarsegraciasa una reglaquese introduce especialmente. Por ejemplo (teniendo como miem-bros de la secuencia diagonal números naturales o números rea-les) se introduce la regla: multiplique por 3. Tenemos así por unlado la secuenciadiagonal original y por otro la secuencia diago-nal modificada (el triple del primer miembro de la secuenciadia-gonal original, el triple del segundo miembro, ...). La secuenciadiagonal original fIgura implícitamente en el cuadrado, comoquedó indicado; de la ubicación de la secuencia modificada nosocuparemosenseguida.

Etapa 3a: En esta alternativase demuestraque cada miem-

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bro de la secuenciamodificada es diferente del miembro corres-pondiente de la secuencia original (este caso se presentaría ennuestro ejemplo, si todos los números de la secuenciaoriginalfue-ran diferentes de O). De este modo la secuencia modificada nocoincide con ninguna secuencia horizontal de la representacióngráfica, porque se diferencia de la primera secuenciahorizontalpor lo menos en el primer miembro, de la segunda por lo menosen el segundo miembro, etc. Si el n-ésimomiembro de la n-ésimasecuencia horizontal se llama "miembro diagonal", se puede de-cir que la secuencia modificada se diferencia de cada secuenciahorizontal por lo menos en el miembro diagonal respectivo (yque por lo tanto no figuraentre las secuenciashorizontales).

Etapa 3b: Aquí (a diferencia de la etapa 3a), la secuenciamodificada coincide con una secuencia horizontal (supongamoscon la q-ésima). Pero, ahora, su miembro diagonal (su q-ésimomiembro) tiene que cumplir simultáneamentecon las condicionesde la secuenciadiagonaloriginaly también con las de la secuenciamodificada, pues esta última se presenta ahora en forma horizon-tal y su miembro diagonalpertenece simultáneamentea las dos se-cuencias.

Este es el esquemageneralen sus tres etapas. Enseguidasedarán tres ejemplosde su aplicación.Dos correspondenal tipo a yson la demostración de du Bois Reymond y Cantor de la no-enu-merabilidad de los números reales entre Oy 1 y la demostraciónde Kleene de que una función g explícitamente señalada no esefectivamente calculable. El tercer ejemplocorrespondeal tipo b;es la demostración de Godel de la incompletitud.

La no-enumerabilidad de los números reales entre Oy 1(O excluido, 1 incluido) significaque hay más números realesen-tre Oy 1 que números naturales en total (teniendo ambosconjun-tos infInitoselementos). Para demostraresto se utilizará en un pa-so previo el conocido resultado de que cada número real mayorque Otiene una y una sola representacióndecimalinfmita (detrásde la coma una secuenciaenumerablementeinfmita de cifrasdeci-males, sin que a partir de un lugar detenninado todas las cifrasala derecha sean O;así, en vez de 0,5 y 1 tendríamos 0,49, o sea0,499 ..., Y0,9, o sea 0,999 ..., respectivamente).Considerándose

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sólo los realesx tales que O<x ~ 0,9, todas sus representacionesdecimalesinfmitas comienzan con "O,"; para simplificarsuprimi-mos estos dos signos, de modo que estamos frente a secuenciasenumerables de cifras decimales(o, si se prefiere, frente a secuen-cias enumerables de números enteros entre Oy 9, ambos inclui-dos).

Para aplicar ahora el procedimiento diagonal,supongamosque tenemos enumerablemente infmitas secuenciasde este tipo yformemos con ellas una secuencia vertical. Disponemos así delcuadrado de la primera etapa:

al,l' al,2' al,3'

a2,1' a2,2' a2,3'

an,2' ., an,n'

La secuencia diagonal (original) sería ahora: al l' a22,a3,3' oo. La secuenciamodificadase forma segúnla siguienteregla:si el miembro de la secuencia original es "1", el miembro corres-pondiente de la secuenciamodificada es "2", si el miembro de lasecuencia original es diferente de "1", el miembro correspondien-te de la secuenciamodificadaes "1". Todo eso está en plenoacuerdo con la segundaetapa.

Debido a la regla, cada miembro de la secuenciamodifica-da es diferente del miembro correspondiente de la original, demodo que la secuencia modificada no coincide con ninguna se-cuencia horizontal. Con esto termina la etapa 3a y también laaplicacióndel método diagonal. .

Lo que se ha demostrado es que el número real coaespon-

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diente a la secuencia modificada es diferente de todos aquellosreales que corresponden a las secuenciashorizontales. Teniendoasí un conjunto enumerable de números realesx con O<x ~ 1existen siempre reales y con O <Y ~ 1 que son diferentes de to-dos los x. Ningún conjunto enumerable es capaz de contener to-dos los reales entre Oy 1; siempre hay reales en la mismacondi-ción que no pertenecen al conjunto.

La demostración de K1eenese sitúa en el campo de los nú-meros naturales (O, 1, 2, etc.) y de las funciones sobre los núme-ros naturales. Consideremos aquellas funciones uniposicionales(de un argumento) que son efectivamente calculables,o sea, paralas que existe siempre un procedimiento mecánico que permitecalcular, en un número fInito de pasos, el valor de la función(y =j{x)) para un valor del argumento dado (x).

Un análisisde la calculabilidadefectiva y de sus conexio-nes con la recursividad no se necesita aquí para tratar la aplica-ción del método diagonal. Basta señalar que para cada procedi-miento mecánico y, por lo tanto, para cada función efectivamen-te calculable se puede formular una regla de computación efecti-va, por ejemplo en idioma castellano. Una regla de este tipo tie-ne la forma: hágaseesto, luegoesto otro, luego ...

Supongamos que podemos aprovecharestas reglas(el nú-mero de letras que figuran en ellas y con el mismo número de le-tras el orden alfabético) para ordenar las funcionesuniposiciona-les efectivamente calculables,comenzando con la O-ésima(la quefigura en lugar O). Tendríamos así: fo' f1, f2, etc. Se puede de-mostrar (basándose en las posibles combinacionesde un númerofinito de letras) que hay enumerablemente infinitas funcionesdeeste tipo, mientras que hay más que enumerablemente infinitasfunciones uniposicionales sobre los números naturales. Con estoya quedó demostrado que hay funciones uniposicionalesque noson efectivamente calculables. Lo que nos interesa aquí es algomás específIco: queremos señalar una determinada (llamémosla"g"), y para esto recurrimosal procedimiento diagonal.

La secuenciaverticalde la primera etapa tiene que ver conlas enumerablemente infmitas funciones uniposicionalesefectiva-mente calculablesen el orden recién establecido.Sin embargo,no

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nos interesan las funciones propiamente tales (como lo) sino lassecuenciasenumerables de sus valores(como10(0),10(1),10(2), .oo.).De este modo obtenemos la siguiente representación:

10(0), 10(1), 10(2),

11(0), 11(1), 11(2),

. , f (n),n

La secuenciadiagonaloriginalsería:

10(0),11(1),12(2),. . . , In(n), . . .La secuenciamodificadase forma segúnla regla: súmese 1 al (x).xSería entonces:

10(0) + 1,/1(1) + 1,/2(2) + 1,...Cada miembro de la secuencia modificada es diferente del

miembro correspondiente de la secuencia original; por 10tanto, lasecuencia modificada no coincide con ninguna secuencia horizon-tal. Con esto termina la aplicación del método diagonal.

La secuencia modificada también corresponde a una fun-ción uniposicional sobre los números naturales, pues tenemos:

g(x)= I (x) + 1x

Así tenemos con g un ejemplo de una función uniposicionalqueno es efectivamente calculable,1porque no coincide con ningunafunción de la lista de las efectivamentecalculables.

De la demostración de Godel se indicará sólo aquella par-te donde se construye una expresión que afirma(indirectamente)

1 La calculabilidad efectiva de g falla, porque, dado x, no existe siempreun procedimiento mecánico para determinar Ix' o sea, no se puede determi-nar siempre mecánicamente si una supuesta regla de computación efectivaea en verdad efectiva.

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su propia indemostrabilidad,pues únicamente en esta parte se usael método diagonal. Necesitaremoslos siguientesresultados pre-vios para la demostración, que al igual que la anterior hace refe-rencia a la teoría de los números naturales (aquí simplemente"TN"): Una expresión bien formada (significativa)de TN en quefigura una o más veces"x" como único simbolo de variablelibre,será llamada "expresión de clase". Las enumerablemente infmi-tas expresiones de clasepueden ordenarsey la n-ésimase expresa-rá en forma abreviada por "A (x)". A partir de "A (x)" puedenn nformarse frases como "A (O)" "A ( 1)" etc. al colocarse "O"n ' n ' , ,"1 ", etc. en lugar de "x" en todas las partes de "An(x)" en que"x" se presenta. Con esto disponemos de la representación de laprimera etapa:

Ao(O), Ao(1), Ao(2),

At(O), At(1), At(2),

, An(n),

La secuencia diagonal (original) es:

Ao(O), Al (1), A2(2), . . . , An(n), . . .La secuencia modificada se forma colocando el miembro corres-

pondiente de la secuencia original entre paréntesis y poniendo"Nod" delante. Así tenemos:

Nod(Ao(0»,Nod(AI(1»,Nod(A2(2»,. . .En todo esto "Nod(B)" significa:"B" no es demostrableen TN.

Aparentemente "Nod(B)" no pertenece a la clase de las expre-

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siones bien formadas de TN sino sólo a una claseen que se hablasobre expresiones como "B". Sin embargo, veremos enseguidaque existe una técnica especial para construir las expresionescon"Nod" de tal manera que ellas figuren entre las expresionesbienformadas de TN. Además se lograrála siguientecorrespondencia:Si "B" no es demostrable en TN, entonces tenemos "Nod(B)", ysi es demostrabletenemos la negaciónde "Nod(B)".

Para explicar la técnica mencionada hay que señalar algu-nos resultados metamatemáticos. Por de pronto, se puede estable-cer una correspondenciabiunívoca entre las expresionesbien for-madas de TN por un lado y una subc1asede los números natura-les por otro. Los elementos de esta subc1asese llaman "númerosde Godel" de las expresiones correspondientes.Naturalmente en-tre las expresiones bien formadas de TN hay muchas que se refie-ren a los números de G6del y, con esto, se refieren indirectamen-te (a través de estos números) a expresiones. O sea, tenemos ex-presionesde TN que hablan indirectamente sobre expresionesdeTN (informándonos, por ejemplo, que tal expresión es más cortaque tal otra). La técnica mencionada puede desarrollarsemucho;de este modo podemos tener una expresión bien formada de TN"Nod(B)" que afirma indirectamente que "B", también una ex-presión bien formada de TN, es indemostrable. Así "Nod(B)" esverdad si, y sólo si, "B" cumple con la condición de la no-demos-trabilidad. Todo esto se logra construyendo paralelamente,es de-cir en total analogía, las definicionesque se refieren a expresio-nes (por ejemplo, "ser expresión indemostrable") y las defini-ciones que se refieren a los números de G6del correspondientes.

Las expresiones "Nod(Ao(O»", "Nod(A1(1»", etc. de lasecuencia diagonal modificada son del tipo arriba mencionado ytambién lo es "Nod(Ax(x»". Esta última fórmula es una expre-sión de clase, pues tiene un solo símbolo de variable,que es "x".Por ser expresión de clase, debe figurar en la lista de las enumera-blemente infmitas expresiones de clase. Supongamosque fuera laq-ésima. La secuencia diagonal modificada coincideentonces conuna secuencia horizontal determinada, con la q-ésima. Estamosasí en plena etapa 3b. El q-ésimo miembro de la secuenciaconsi-derada es el miembro diagonal y tiene que cumplir tanto con las

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condiciones de la secuenciadiagonaloriginal(a que pertenece porser miembro diagonal) como también con las de la secuenciamo-dificada (a que pertenece por ser miembro de la q-ésimasecuenciahorizontal). Es, así, por un lado "A (q)" Ypor otro "Nod(A (q)",lo que significaque ambas fórmulasqson abreviaturas de la riusmaexpresión. "Nod(A (q))" afirma que "A (q)" es indemostrable,pero al mismo tiem~o coincide con "A (~)" (en el sentido de serabreviatura de la misma expresión). Tinemos, por lo tanto, unaexpresión bien formada de TN que dice que ella misma es inde-mostrable y que sirvede base para la demostraciónde Godel.

En general puede ser interesante analizarun método fruc-tífero, especiahnente si tiene aplicacionesen camposno muy cer-canos unos a otros. Además,existe la posibilidadde que un análi-sis detallado de un método más o menos ampliamenteusado, co-mo el diagonal, nos indique, a la larga,nuevasaplicacionestal vezen campostodavía más distantes.

BIBLIOGRAFIA

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