Ekstrema funkcji kwadratowej

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

EKSTREMA FUNKCJI KWADRATOWEJPo wyrzuceniu ze szkoy pochodnych, funkcja kwadratowa staa sie tematem przewodnimwszystkich zadan na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie dosc prosta zadania tego typusprowadzaja sie do wyznaczenia najmniejszej/najwiekszej wartosci funkcji kwadratowej napewnym przedziale. Mozliwe konfiguracje sa nastepujace.

a) Jezeli szukamy wartosci najwiekszej, ramiona paraboli sa skierowane w d i wierz-choek jest zawarty w rozwazanym przedziale,

x

y

a b x

y

a bxwyw

xw

yw

to wartosc najwieksza jest osiagana w wierzchoku, to znaczy

fmax = f (xw) = yw dla (xw, yw) =(b

2a,4a

).

b) Jezeli szukamy wartosci najmniejszej, ramiona paraboli sa skierowane do gry i wierz-choek jest zawarty w rozwazanym przedziale, to wartosc najmniejsza jest osiaganaw wierzchoku.

c) W kazdej innej sytuacji, wartosc najwieksza/najmniejsza jest osiagana w jednym zkoncw przedziau. W ktrym? trzeba policzyc wartosci w obu koncach i je porw-nac.

x

y

a b x

y

a b

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Znajdzmy najmniejsza wartosc funkcji

f (x) = 2x2 4x+ 7na przedziale 1, 0.Poniewaz xw = 1 6 1, 0, wartosc ta jest przyjmowana w jednym z koncwprzedziau. Mamy

f (1) = 13 > f (0) = 7.Zatem najmniejsza wartosc to f (0) = 7.

Wazna jest dziedzina!

W zadaniach na ekstrema bardzo wazne (i czesto kopotliwe) jest wyznaczenie przedziau,na ktrym szukamy ekstremum. Oglna zasada jest taka, ze gdy wyznaczymy juz wzrfunkcji f (x), ktrej mamy znalezc ekstremum, to musimy ustalic jakie sa mozliwe wartosciargumentu x. Jak to zrobic? to zalezy od rodzaju i tresci zadania: jezeli x jest dugosciajakiegos odcinka to x > 0, jezeli x = sin to x 1, 1, jezeli x = 2t to x (0,+) itd.

Sprbujmy znalezc najwieksze mozliwe pole prostokata o obwodzie 4.Jezeli oznaczymy boki prostokata przez a i 2 a, to szukamy najwiekszej mozliwejwartosci wyrazenia a(2 a). Na jakim przedziale? boki prostokata nie moga bycujemne, wiec a (0, 2). atwo policzyc, ze maksymalne pole mamy dla kwadratuo boku 1.

Z krawedzi dachu podrzucono kamien, ktry po 2 sekundach spad na ziemie. Wy-sokosc, na jakiej znajdowa sie kamien nad ziemia po upywie t sekund od chwilijego podrzucenia, opisuje funkcja h(t) = 5t2 + 5t+ 10. Na jaka najwieksza wyso-kosc wznis sie ten kamien?Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h(t) na takim, jak zmienia sieczas, czyli dla t 0, 2.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!



TIPS & TRICKS

1Czesto pojawiajacy sie motyw to zozenie funkcji kwadratowej z inna funkcja.

Jaka jest najmniejsza mozliwa wartosc wyrazenia sin2 x+ 4 sin x 7?Podstawiajac t = sin x mamy zwyka funkcje kwadratowa t2 + 4t 7. Na jakimprzedziale szukamy jej wartosci najmniejszej? na takim, jakie sa mozliwe war-tosci wyrazenia t = sin x, czyli na przedziale 1, 1. W tym przypadku wartoscnajmniejsza otrzymujemy w koncu przedziau t = sin x = 1.

2Przedzia, na ktrym szukamy wartosci najmniejszej/najwiekszej moze byc nieskonczony(tzw. niewasciwy), to znaczy jeden lub oba jego konce moga byc rwne . W takiej sytu-acji wartosc najmniejsza lub najwieksza istnieje tylko dla a > 0 i a < 0 odpowiednio.

Jaka jest najmniejsza wartosc funkcji

f (x) = x4 2x2 + 4?Podstawiajac t = x2 mamy funkcje kwadratowa

f (t) = t2 2t+ 4.Na jakim przedziale szukamy wartosci najmniejszej? na takim, jakie wartosciprzyjmuje t = x2, czyli na 0,+). Poniewaz wierzchoek paraboli znajduje siew tym przedziale, wartosc najmniejsza otrzymamy dla x2 = tw = 1.

3Przypomnijmy, ze wierzchoek paraboli znajduje sie dokadnie w poowie miedzy pierwiast-kami:

xw =x1 + x2

2,

a wartosc funkcji w wierzchoku to po prostu f (xw). Wasnosci te bywaja bardzo uzytecznew przypadku zadan na ekstrema.

Jaki moze byc najwiekszy iloczyn dwch liczb dodatnich o sumie 4?Szukamy najwiekszej wartosci funkcji

f (a) = a(4 a)na przedziale (0, 4) (bo a > 0 i b = 4 a > 0). Wartosc ta to dokadnie wartosc wwierzchoku 0+42 = 2, czyli 2 2 = 4.



4

Napisalismy, ze jezeli ekstremum jest w jednym z koncw przedziau to trzeba policzyc war-tosci funkcji w obu koncach i porwnac otrzymane wartosci. Tak naprawde mozna atwoprzewidziec, w ktrym koncu przedziau bedzie wieksza/mniejsza wartosc. Powiedzmy,ze a > 0. Funkcja kwadratowa rosnie gdy argument oddala sie od wierzchoka oraz wy-kres funkcji jest symetryczny wzgledem pionowej prostej przechodzacej przez wierzchoekparaboli. Zatem wartosci funkcji sa tym wieksze im dalej jestesmy od wierzchoka.

Wyznaczmy wartosc najwieksza funkcji f (x) =

3(x 1)(x + 3) na przedziale97, 97.Jak juz wiemy wierzchoek paraboli bedacej wykresem tej funkcji jest w punkcie

xw =1 3

2= 1.

Poniewaz dalej jest do wierzchoka od prawego konca przedziau, wasnie w nimbedzie wartosc najwieksza funkcji i jest ona rwna

fmax = f (97) =

3 96 100 = 9600

3.

Dokadnie tak samo jest w przypadku paraboli z ramionami skierowanymi w d, tylko zetym razem mwimy o wartosci najmniejszej.

5Bardzo uzyteczna obserwacja jest fakt, ze ekstrema funkcji f (x) sa dokadnie w tych samychpunktach, co ekstrema funkcji a f (x), gdzie a > 0. Jezeli dopuscimy tez a < 0, to trzebauwazac, bo w tej sytuacji minima zamieniaja sie na maksima i na odwrt.

Jakie jest minimalne aczne pole powierzchni dwch kul, ktrych promienie r1 i r2speniaja warunek r1 + r2 = 2?Szukamy wartosci najmniejszej funkcji

f (r1) = 4pir21 + 4pir22 = 4pi(r

21 + (2 r1)2) = 8pi(r21 2r1 + 2),

na przedziale (0, 2). Zgodnie z poczyniona uwaga wystarczy zajmowac sie wyra-zeniem w nawiasie, a na koniec przemnozyc otrzymany wynik przez czynnik 8pi.W tym przykadzie najmniejsza wartosc otrzymamy dla r1 = r2 = 1.

6

Uoglnienie poprzedniej uwagi: jezeli g jest funkcja rosnaca (i ciaga jak ktos nie wie coto znaczy, to niech sie nie przejmuje, szkolne funkcje takie sa), to ekstrema funkcji g( f (x))sa w tych samych punktach co ekstrema funkcji f (x). Funkcje a f (x) z poprzedniej uwagidostajemy biorac g(x) = ax dla a > 0.



Wsrd prostokatw, ktrych boki speniaja warunek a+ 2b = 5 znajdz prostokat onajkrtszej przekatnej.Ze twierdzenia Pitagorasa, musimy znalezc najmniejsza wartosc funkcji

d(b) =a2 + b2 =

(5 2b)2 + b2 =

5b2 20b+ 25.

na przedziale b (0, 52) (bo a > 0). Poniewaz pierwiastek jest funkcja rosnaca, namocy poczynionej uwagi, wystarczy patrzec na parabole pod pierwiastkiem. Maona wierzchoek w punkcie b = 2 i wasnie dla takiego prostokata otrzymamynajkrtsza przekatna.

abd

7

Jaka jest rznica miedzy minimum/maksimum, a wartoscia najmniejsza/najwieksza? ty-powy dylemat kazdego, kto rozpoczyna przygode z ekstremami. Minima/maksima sa lokal-ne, czyli sa wasnoscia funkcji na pewnym maym przedziale mozna myslec, ze sa to dokii grki na wykresie. Oczywiscie takich dokw/grek moze byc duzo i nie musza one miecnic wsplnego z wartoscia najmniejsza/najwieksza.

Wystarczy wziac pierwszy z brzegu wykres kawaka wielomianu stopnia 3, zebyzobaczyc, ze funkcja moze miec i maksimum i minimum, ale nie sa to wartoscinajwieksza/najmniejsza.

-5 -1 +1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

Dobrze znane wykresy sinusa/cosinusa pokazuja, ze grek/dokw moze byc bar-dzo duzo.



8

Wprawdzie wyzej jest przykad, ze minimum/maksimum nie musi dawac wartosci naj-mniejszej/najwiekszej funkcji, ale jest to prawie prawda; dla porzadnych funkcji (wszystkichszkolnych), wartosc najmniejsza (jezeli istnieje) jest zawsze jednym z minimw lub warto-scia funkcji w koncu przedziau. Podobnie jest z wartoscia najwieksza jest to jedno z mak-simw lub wartosc w koncu przedziau. Tak wasnie szuka sie tych wartosci przy pomocypochodnych.

Wyznaczmy wartosci najwieksza i najmniejsza funkcji

f (x) =

x2 2x+ 2 dla x 2, 0)x2 2x+ 2 dla x 0, 3)x2 8x+ 20 dla x 3, 5.

Mozemy sobie myslec, ze mamy trzy sklejone ze soba kawaki parabol. Parabolesa sklejone, bo w obu punktach x = 0 i x = 3 wzory z prawej i lewej strony sie zesoba zgadzaja (funkcja jest ciaga). Wierzchoki parabol sa w punktach1, 1, 4, wiecliczymy wartosci funkcji w tych punktach oraz w czterech koncach przedziaw naktrych okreslone sa parabole.

f (1) = 3, f (1) = 1, f (4) = 4,f (2) = 2, f (0) = 2, f (3) = 5, f (5) = 5.

Wartosc najwieksza to najwieksza z tych liczb, czyli f (3) = f (5) = 5, a wartoscnajmniejsza to najmniejsza z nich f (1) = 1.

Terminem ekstrema zwykle okresla sie zarwno minima/maksima jak i wartosc najwiek-sza/najmniejsza.

9W przypadku funkcji kwadratowej uzywanie pochodnych w zasadzie nic nie daje po pro-stu na nowo wyprowadzamy wzr na wierzchoek paraboli.

Znajdzmy (uzywajac pochodnej) ekstremum funkcji kwadratowej f (x) = ax2 +bx+ c, gdzie a 6= 0.Liczymy pochodna

f (x) = 2ax+ b = 2a(x+

b2a

).

Widac teraz, ze pochodna zmienia znak w punkcie x = b2a , wiec jest w tym punk-cie ekstrem. Jego rodzaj zalezy od znaku a.


Ekstrema funkcji kwadratowej

Documents

Transcript of Ekstrema funkcji kwadratowej