EGE Matem tetr tyt2 · 2016-12-15 · дый урок нацелен на конкретный...

УДК 373.167.1:51 12+ББК 22.1я72 Я11

ISBN 978-5-09-038819-1 © Издательство «Просвещение», 2016 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2016 © Художественное оформление. Федеральный институт педагогических измерений, 2016 Все права защищены

Учебное пособие «Я сдам ЕГЭ! Модульный курс. Математика. Рабочая тетрадь. Базовый уровень» подготовлено при научно-мето-дическом сопровождении Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Настоящее издание предназначено для эффективной подготовки учащихся 10—11 классов к решению заданий базового уровня ЕГЭ по математике. Пособие может использоваться в учебном процессе в качестве дополнения к основному учебно-методическому комплекту по предмету и стать основой для внеурочных самостоятельных и фа-культативных занятий по подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

3Предисловие

Рабочая тетрадь состоит из четырёх модулей: «Базовые навыки», «Алгебра», «Функции» и «Геометрия». Задания в каждом модуле делятся на сдвоенные уроки по различным темам и наряду с основным блоком задач содержат задачи на повторение по другим темам. Каж-дый урок нацелен на конкретный результат и содержит достаточное количество заданий для качественной подготовки.

Чистовое решение задач в рабочей тетради не требуется. В ней выделены рабочие поля в клетку, которые предназначены для записи краткого чернового решения задачи с целью по-лучения ответа. Запись этого решения не оценивается. Как и в ЕГЭ по математике, проверка заданий с кратким ответом производится только по ответу.

Большинство задач рабочей тетради аналогично реальным заданиям ЕГЭ по математике и адаптировано под их формат. Ответом к таким задачам является целое число или конечная десятичная дробь. Поэтому запись ответа в бланке решения может содержать только цифры, запятую, знак «минус». Каждый символ записывается в отдельную клеточку. Никакие дру-гие символы, в том числе единицы измерения, не записываются. Проверка ответов реально-го экзамена осуществляется компьютером после сканирования бланка ответов и сопоставле-ния результатов сканирования с правильными ответами. Поэтому цифры в бланке ответов следует писать разборчиво (с тем, чтобы, например, 1 и 7 или 8 и В распознавались коррек-тно). При наличии дополнительных символов ответ распознаётся как неправильный. Если

результатом решения задачи явилась обыкновенная дробь, например –18

, то перед записью

ответа в бланк её нужно обратить в десятичную, т. е. в ответе написать –0,125, использовав для записи каждого символа отдельную клеточку (в данном случае — ровно 6 клеточек). От-вет, зафиксированный в иной форме, будет распознан как неправильный.

Исключение по формату ответа составляет часть заданий по теме «Неравенства». В таких заданиях в рабочую тетрадь нужно записать полный ответ (множество решений неравенства).

Систематические занятия по рабочей тетради (даже в случае существенных пробелов в зна-ниях при начале работы с ней) дают возможность сформировать устойчивые навыки решения основных типов задач, необходимых для применения в реальных жизненных ситуациях и успешной сдачи ЕГЭ по математике. Такие навыки позволят успешно преодолеть минималь-ный порог на ЕГЭ по математике базового уровня и получить аттестат о полном (общем) сред нем образовании.

Залогом успешной работы по пособию является систематическая работа в течение всего учебного года.

Для итогового контроля в конце пособия отдельным блоком даются диагностические рабо-ты ко всем модулям (одна или две — в зависимости от числа часов, отведённых на освоение модуля).

Рабочая тетрадь предназначена как для использования в учебном процессе в сочетании с любым основным учебно-методическим комплектом, так и для внеурочных занятий по под-готовке к ЕГЭ.

Материалы настоящего пособия подготовлены С. А. Шестаковым, И. В. Ященко и Е. А. Кук-сой в соответствии с концепцией, разработанной И. В. Ященко и С. А. Шестаковым. Отдельная благодарность А. В. Каплиеву, М. Э. Коваленко, Т. В. Корзун и М. В. Цветкову за внимательное чтение рукописи.

4МОДУЛЬ «БAЗОВЫЕ НАВЫКИ»

Чтение данных, представленных в видеграфиков, диаграмм и таблиц

Домашняя (зачётная) работа 1

1. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в ми-нуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси орди-нат — крутящий момент в ньютонах на метр. Чтобы автомобиль начал движе-ние, крутящий момент должен быть не менее 60 Н · м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточ-но, чтобы автомобиль начал движение?

Ответ:

2. На диаграмме показана среднемесяч-ная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 г. По горизонта-ли указываются номера месяцев, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную темпера-туру в 2003 г. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

3. На рисунке жирными точками пока-зана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 г. По горизон-тали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны олова в дол-ларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую(в долларах США за тонну) цену оло-ва на момент закрытия торгов за дан-ный период.

Ответ:

5 4. На диаграмме показана среднемесяч-ная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 г. По горизонтали указываются номера месяцев, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесяч-ную температуру во второй половине 1999 г. Ответ дайте в градусах Цель-сия.

Ответ:

5. На графике показано изменение давле-ния в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графи-ку, сколько минут прошло от запуска турбины до момента, когда давление в первый раз достигло наибольшего зна-чения.

Ответ:

6. На рисунке показано изменение среднесуточной температуры в г. Омске в период с 14 по 27 января 1974 г. На оси абсцисс откладываются числа месяца, на оси орди-нат — температура в градусах Цельсия. Определите по графику, какой была наи-большая среднесуточная температура в период с 14 по 21 января 1974 г. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

6 7. На рисунке представлено изменение бирже-вой стоимости акций нефтедобывающей компании в первые две недели сентября. По оси ординат откладывается стоимость одной акции в рублях, а по оси абсцисс —числа сентября. 3 сентября бизнесмен при-обрёл 10 акций этой компании, 10 сентября он продал 6 из них, а 12 сентября продал остальные 4. Сколько рублей потерял биз-несмен в результате этих операций?

Ответ:

8. Жюри поставило командам следующие оценки за конкурсы:

Команда Баллыза первый конкурс

Баллыза второй конкурс

Баллыза третий конкурс

А 26 43 15

Б 22 48 17

В 25 39 22

Г 29 40 16

Для каждой команды баллы по всем конкурсам суммируются, и победителем счита-ется команда, набравшая в сумме наибольшее количество баллов. На сколько баллов обогнала команда В команду, занявшую четвёртое место?

Ответ:

Задачи на повторение

1. Найдите среднее арифметическое чисел 7 и 5.

Ответ:

2. Найдите среднее арифметическое чисел 7, 6 и 5.

Ответ:

3. Найдите среднее арифметическое чисел 1, 2, 21 и 22.

Ответ:

7Домашняя (зачётная) работа 2

1. На рисунке жирными точками показано количество опасных гидрометеорологиче-ских явлений в Российской Федерации с 1996 по 2011 г. По горизонтали указы-вается год, по вертикали — количество явлений. Сколько лет в указанный период ежегодное количество опасных явлений не превышало 240?

Ответ:

2. На рисунке жирными точками пока-зана температура в Москве 13 августа 2015 г., измеряемая каждые три часа. По горизонтали указывается время в часах, прошедшее с начала суток, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки со-единены отрезками. Определите разни-цу между наибольшей и наименьшей измеренной температурой в Москве 13 августа 2015 г. Ответ дайте в гра-дусах Цельсия.

Ответ:

3. На диаграмме показана частотность (частота употребления) двенадцати наиболее упо-требляемых букв русского алфавита в процентах. Первое место по частотности за-нимает буква «о». У скольких букв частотность больше 4, но меньше 7 процентов?

Ответ:

8 4. На рисунке показано, как меняется тем-пература двигателя при его разогреве. По горизонтали указывается время в минутах, прошедшее с начала разогрева двигателя, по вертикали — его температура в граду-сах Цельсия. Когда температура двигателя достигает определённого значения, включа-ется вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает падать. Сколько минут температура двигателя была больше 60 �C?

Ответ:

5. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха вг. Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жир-ные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

6. На рисунке представлено изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первые две недели мая. По вертикальной оси откладывается стоимость одной акции в рублях, по горизонтальной оси — числа мая. В первую неделю мая бизнесмен купил 20 акций, а потом продал их на второй неделе. Какую наибольшую прибыль он мог получить? Ответ дайте в рублях.

Ответ:

9 7. На игре жюри поставило следующие оценки командам за конкурсы:

Команда Баллыза первый конкурс

Баллыза второй конкурс

Баллыза третий конкурс

А 26 43 15

Б 22 48 17

В 25 39 22

Г 29 40 16

Для каждой команды баллы по всем конкурсам суммируются, и победителем счита-ется команда, набравшая в сумме наибольшее количество баллов. Сколько в сумме баллов у команды-победителя?

Ответ:

8. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия)в г. Хабаровске по результатам многолетних наблюдений. По горизонтали указывают-ся месяцы, а по вертикали — температура в градусах Цельсия. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда среднемесячная температура в Хабаровске была отрица-тельной.

Ответ:


1. Найдите значение выражения 1232 – 232. Ответ:

2. Найдите значение выражения 23 42 34

,,

. Ответ:

10 3. Найдите значение выражения 23 4 0 234

2 34 234, ,,

��

. Ответ:

Анализ и сопоставление данных,представленных в виде графиков,диаграмм и таблицДомашняя (зачётная) работа 3

1. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикаль-ной оси — крутящий момент в ньютонах на метр.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу числа оборотов в минуту характеристику крутящего момента.

Интервал Характеристика

А) 0—1500 об./минБ) 2000—3000 об./минВ) 3000—4000 об./минГ) 4000—6000 об./мин

1) при увеличении числа оборотов крутящий момент па-дает2) при увеличении числа оборотов самый быстрый рост крутящего момента3) крутящий момент не превышает 20 Н · м на всём ин-тервале4) крутящий момент не меняется на всём интервале

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ: А Б В Г

2. На графике изображена зависимость тем-пературы от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На гори-зонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия.Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу времени характе-ристику температуры.

11Интервал ХарактеристикаА) 0—1 минБ) 3—4 минВ) 5—6 минГ) 7—9 мин

1) температура росла, и её прирост составил менее 10 �С2) температура росла и на этом интервале достигла 60 �С3) самый быстрый рост температуры4) температура падала



3. На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и по-сле его выступления в вольных упражнени-ях. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси — частота пульса в ударах в минуту.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характе-ристику пульса гимнаста на этом интервале.

Интервал ХарактеристикаА) 2—3 минБ) 3—4 минВ) 4—5 минГ) 5—7 мин

1) частота пульса снижалась на всём интервале2) частота пульса достигла максимума за всё время вы-ступления и после него3) частота пульса сначала падала, а затем росла4) частота пульса росла на всём интервале



4. На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомоби-ля по городу от времени. На вертикаль-ной оси отмечена скорость в километ-рах в час, на горизонтальной — время в секундах, прошедшее с начала движе-ния автомобиля.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характе-ристику движения автомобиля на этом интервале.


А) 30—60 сБ) 60—90 сВ) 90—120 сГ) 120—150 с

1) автомобиль не увеличивал скорость на всём интервале и некоторое время ехал с постоянной скоростью2) скорость автомобиля постоянно уменьшалась3) автомобиль сделал остановку на 15 с4) скорость автомобиля достигла максимума за всё время движения



12 5. На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в метрах в секунду, на горизонтальной оси — время в секундах, прошедшее с начала погружения.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характе-ристику погружения батискафа на этом интервале.

Интервал ХарактеристикаА) 0—60 сБ) 60—120 сВ) 120—180 сГ) 180—240 с

1) в течение 30 с батискаф не двигался2) скорость погружения постоянно росла3) скорость погружения не меньше 0,3 м/с на всём интервале4) скорость погружения не больше 0,1 м/с на всём интервале



6. На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый календарный месяц 2013 г. в городском роддоме. По горизонтали указываются меся-цы, по вертикали — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности). Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику рождаемости в этот период.

Период Характеристика

А) январь—мартБ) апрель—июньВ) июль—сентябрьГ) октябрь—декабрь

1) рождаемость мальчиков падала быстрее всего2) в каждый месяц периода количество родившихся девочек и мальчиков различалось не более чем на 53) в каждом месяце периода мальчиков рождалось больше, чем девочек4) рождаемость девочек была минимальной

13В таблице под каждой буквой укажите соответст-вующий номер.

7. На рисунке точками изображено потребление воды городской ТЭЦ на протяжении суток. По горизонтали указываются часы суток, по вертикали — потребление воды за прошедший час в кубометрах. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику потребления воды данной ТЭЦ в течение этого периода.


А) ночь (с 0 до 6 ч)Б) утро (с 6 до 12 ч)В) день (с 12 до 18 ч)Г) вечер (с 18 до 24 ч)

1) потребление воды падало в течение всего периода2) потребление воды в течение всего периода было меньше 20 кубометров в час3) потребление воды выросло более чем втрое в течение всего периода4) потребление воды сначала росло, а потом падало

В таблице под каждой буквой укажите соответст-вующий номер.

8. В таблице указаны доходы и расходы фирмы за 5 месяцев.

МесяцДоход,тыс. р.

Расход,тыс. р.

МартАпрельМайИюньИюль

13512510512585

1151201158575

Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику доходов и расходов.

Период ХарактеристикаА) апрельБ) майВ) июньГ) июль

1) расход в этом месяце превысил доход2) наименьший расход в период с апреля по июль3) доход в этом месяце больше, чем в предыдущем4) расход в этом месяце больше, чем в предыдущем





14 Задачи на повторение

1. Найдите значение выражения 0 663 3,,

.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 3 35

35

: .

Ответ:


: , .

Ответ:


1. На графике изображена зависимость крутя-щего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в ньютонах на метр.

Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу числа оборотовв минуту характеристику крутящего мо-мента.



1) при увеличении числа оборотов самый быстрый рост крутящего момента2) при увеличении числа оборотов крутящий момент не меняется3) при увеличении числа оборотов крутящий момент ра-стёт, но не превышает 20 Н · м4) при увеличении числа оборотов крутящий момент па-дает



2. На графике изображена зависимость тем-пературы от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На гори-зонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу времени характе-ристику температуры.

15Интервал ХарактеристикаА) 0—1 минБ) 4—7 минВ) 7—8 минГ) 9—10 мин

1) самое быстрое падение температуры2) температура росла и на всём интервале была выше 60 �C3) самый быстрый рост температуры4) самое медленное падение температуры


3. На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с начала выступления гимнаста, а на вертикальной оси — частота пульса в ударах в минуту.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику пульса гимнаста на этом интервале.


А) 1—2 минБ) 2—3 минВ) 4—5 минГ) 5—6 мин

1) частота пульса достигла максимума за всё время высту-пления и после него2) частота пульса падала на всём интервале3) наибольший рост частоты пульса4) частота пульса росла на всём интервале и была не ниже 110 ударов в минуту


4. На рисунке изображён годовой объём добычи угля в России открытым спо-собом в период с 2001 по 2010 г. По горизонтали указывается год, по вер-тикали — объём добычи угля в мил-лионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соот-ветствие каждому из указанных пери-одов времени характеристику добычи угля.


А) 2001—2003 гг.Б) 2003—2005 гг.В) 2005—2007 гг.Г) 2007—2009 гг.

1) в течение периода объёмы добычи сначала росли, а затем стали падать2) годовой объём добычи в каждый год составлял больше 175 млн т, но меньше 200 млн т3) период содержит год, в который объём добычи угля был минимальным4) объём добычи в этот период рос с каждым годом





16 5. На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомо-биля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в километрах в час, на горизонтальной оси — время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля.

Пользуясь графиком, поставьте в соот-ветствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.


А) 0—30 сБ) 60—90 сВ) 90—120 сГ) 120—150 с

1) скорость автомобиля сначала увеличивалась, а потом умень-шалась2) автомобиль больше 15 с ехал с постоянной скоростью3) автомобиль сделал остановку длительностью 15 с4) скорость автомобиля увеличивалась на всём интервале


6. На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от вре-мени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в километрах в час, на го-ризонтальной оси — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характе-ристику движения автобуса на этом интервале.


А) 4—8 минБ) 8—12 минВ) 12—16 минГ) 16—20 мин

1) автобус не увеличивал скорость на всём интервале2) автобус ни разу не сбрасывал скорость3) автобус сделал остановку длительностью 2 мин4) на всём интервале скорость не больше 40 км/ч, а также была остановка длительностью ровно 1 мин

В таблице под каждой буквой ука-жите соответствующий номер.


7. На рисунке точками показаны объё-мы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По го-ризонтали указываются месяцы, по вертикали — количество проданных обогревателей. Для наглядности точ-ки соединены линией.


17Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику продаж обогревателей.


А) зимаБ) веснаВ) летоГ) осень

1) ежемесячный объём продаж был меньше 40 штук в течение всего периода2) ежемесячный объём продаж достиг максимума3) падение объёма продаж более чем на 60 штук за период4) ежемесячный объём продаж рос, но был меньше 120 штук



8. На рисунке точками изображён прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 г. По горизонтали указывается год, по вертикали — прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику прироста населения Китая.

Период ХарактеристикаА) 2004—2006 гг.Б) 2006—2007 гг.В) 2008—2011 гг.Г) 2011—2012 гг.

1) прирост населения оставался выше 0,55 %2) прирост населения увеличился3) прирост населения достиг минимума4) наибольшее падение прироста населения за год



9. На рисунке точками изображена среднесуточная температура воздуха в г. Челябин-ске в апреле 2012 г. По горизонтали указывается число месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

18

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-мени характеристику изменения температуры.


А) 1—7 апреляБ) 8—14 апреляВ) 15—21 апреляГ) 22—28 апреля

1) во второй половине недели температура снижалась2) 4 дня в неделю температура принимала одно и то же зна-чение3) температура достигла месячного максимума4) температура не снижалась в течение недели




1. Найдите значение выражения 0 123 456123 0 456

,,Ч

Ч.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 1 23 45 6123 0 456

, ,,

ЧЧ

.Ответ:

3. Найдите значение выражения 1 23 45 612 3 4 56

, ,, ,

ЧЧ

.Ответ:

19Арифметические действия с целыми числами


1. Найдите значение выражения 542 – (–58).

Ответ:

2. Найдите значение выражения –345 – (–34).

Ответ:

3. Найдите значение выражения 234 � 42 + 234 � 58.

Ответ:

4. Найдите значение выражения 765 � 89 – 665 � 89.

Ответ:

5. Найдите значение выражения 765 � 1001 – 765.

Ответ:


Ответ:

20 7. Найдите значение выражения 621 � 21 + 21 � 379.

Ответ:


Ответ:

9. Найдите значение выражения 542 � 8765 – 8755 � 542 – 10 � 42.

Ответ:

10. Найдите значение выражения 697 � 4963 – 4973 � 697 + 10 � 97.

Ответ:


1. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас-стояние прошёл человек, если l = 40 см, n = 2000? Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисля-ется по формуле S = 2(ab + ac + bc). Найдите площадь поверхности прямоугольно-го параллелепипеда с рёбрами 1, 5 и 50.

Ответ:

21 3. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = abc, где a, b и c — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите a, если V = 2280, b = 12 и c = 10.

Ответ:





4. Найдите значение выражения (5642 – 1362) : 700.

Ответ:


Ответ:

6. Найдите значение выражения (352 – 672) : (662 – 342).

Ответ:

22 7. 7. Найдите значение выражения (987 + 983)2 – 4 � 987 � 983.

Ответ:

8. Найдите значение выражения (148 – 152)2 + 4 � 148 � 152.

Ответ:

9. Найдите значение выражения 821 � 829 – 8252.

Ответ:

10. Найдите значение выражения 7772 – 770 � 784.

Ответ:


1. Один киловатт-час электроэнергии стоит 3 р. 80 к. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 12 625 кВт · ч, а 1 декабря — 12 802 кВт · ч. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

Ответ:

2. Скидка для пенсионеров в продовольственном магазине составляет 4% от стоимости товара. Сколько заплатит пенсионер за пакет молока стоимостью 60 р.? Ответ дайте в рублях.

Ответ:

3. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глу-бина равны соответственно 20 м, 10 м и 1,2 м. Для облицовки дна и стен бассейна

23решено приобрести плитку по цене 400 р. за квадратный метр. Сколько рублей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополнительно планируется выложить прямоугольную дорожку шириной 1 м из той же плитки?

Ответ:

Арифметические действия с дробямиДомашняя (зачётная) работа 7

1. Найдите значение выражения 0,34 � 99 + 0,34.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 24 0 2424 24

2 2– ( , ),

.

Ответ:

3. Найдите значение выражения 0,67 � 49 + 6,7 � 5,1.

Ответ:

4. Найдите значение выражения 15,34 � 68 – 15,34 � 168.

Ответ:


67

: . Ответ:

24 6. Найдите значение выражения 7 79

97

� . Ответ:


23

58

–( ) � .

Ответ:


1645

– ,( ) : .

Ответ:

9. Найдите значение выражения 1,2 : 0,6 � 1,5.

Ответ:

10. Найдите значение выражения 11

241

15–

.

Ответ:


1. Теорему синусов можно записать в виде a bsin sina b= , где a и b — стороны треуголь-

ника, а a и b — углы треугольника, лежащие против a и b соответственно. Поль-

зуясь этой формулой, найдите a, если b = 15, sin a =2

25 и sin b =

13

.

Ответ:

25 2. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

R a=

2sin a, где a — сторона треугольника, а a — противолежащий a угол. Пользуясь

этой формулой, найдите a, если R = 21,6 и sin a =5

12.

Ответ:

3. Площадь треугольника со сторонами a, b, c можно найти по формуле Герона

S p p a p b p c= ( – ) ( – ) ( – ) , где p a b c=

+ +2

. Найдите площадь треугольника, если

длины его сторон равны 25, 51, 74.

Ответ:



, : + .

Ответ:

2. Найдите значение выражения 7,2 + 2,64 : 2,4.

Ответ:


, ,,

+ . Ответ:


+ � , . Ответ:

26 5. Найдите значение выражения 26

51345

79

: � . Ответ:


32

76� : . Ответ:


13

27

: +( ). Ответ:


67

34

: –( ). Ответ:


170

– ,( ) : .

Ответ:


34

2 26–( ) � .

Ответ:


1. На счету Сашиного мобильного теле-фона было 130 р., а после разговора с Верой осталось 94 р. Сколько минут длился разговор с Верой, если 1 мин разговора стоит 1 р. 20 к.?

Ответ:

27 2. Летом килограмм огурцов стоит 60 р. Мама купила 2 кг 300 г огурцов. Сколько рублей сдачи она должна по-лучить с 500 р.?

Ответ:

3. В школе № 1 уроки начинаются в 8 : 30, каждый урок длится 45 мин, все переме-ны, кроме одной, длятся 10 мин, а перемена между вторым и третьим уроками — 20 мин. Через сколько минут прозвенит ближайший звонок с урока, если часы по-казывают 13 : 00 и это учебный день?

Ответ:

Арифметические действия со степенямиДомашняя (зачётная) работа 9

1. Найдите значение выражения 1031 � 1034 : 1062.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 613 : 661 � 650.

Ответ:

3. Найдите значение выражения (74)13 : 750.

Ответ:


Ответ:

28 5. Найдите значение выражения 351 : 1550 � 552.

Ответ:

6. Найдите значение выражения 3615 : 914 : 415.

Ответ:

7. Найдите значение выражения 427 : 512 : 425 � 514.

Ответ:

8. Найдите значение выражения 6–11 : 3618 � 649.

Ответ:

9. Найдите значение выражения 4–13 : 56–15 � 14–14.

Ответ:


39 13

28

� –

.

Ответ:


1. Площадь треугольника вычисляется по формуле S bc=12

sin a, где b и c — стороны

треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь

треугольника, если b = 18, c = 25 и sin a =1

30.

29Ответ:

2. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S abcR

=4

, где a, b и c — сторо-

ны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника, если a = 10, b = 17,

c = 21 и R =858

.

Ответ:

3. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S d d=12 1 2 sin a, где d1 и

d2 — диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой

формулой, найдите площадь четырёхугольника, если d1 = 44, d2 = 33, a sin a =5

12.

Ответ:


1. Найдите значение выражения 551 : 1549 � 350.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 67 : 36 : 25.

Ответ:

3. Найдите значение выражения 512 : 824 : 511 � 825.

Ответ:

30 4. Найдите значение выражения 33 : (1,5)7 � (1,5)5.

Ответ:

5. Найдите значение выражения (496)3 : (77)5.

Ответ:

6. Найдите значение выражения 3–11 � 7–12 : 21–12.

Ответ:


Ответ:

8. Найдите значение выражения 21–21 : 7–22 : 3–23.

Ответ:

9. Найдите значение выражения 710 : 7–5 : 738 � 725.

Ответ:

10. Найдите значение выражения 412 : 13–32 : 411 : 1331.

Ответ:

31Задачи на повторение

3. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

R a=

2sin a, где a — сторона треугольника, а a — противолежащий ей угол. Пользу-

ясь этой формулой, найдите радиус R, если a = 10,5 и sin .a =2134

Ответ:

Перевод (конвертация) единиц измеренийДомашняя (зачётная) работа 11

1. Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сан-тиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа санти-метров.

Ответ:

2. Скорость автомобиля на автостраде равна 108 км/ч. Сколько метров проезжает ав-томобиль за секунду?

Ответ:

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисля-

ется по формуле r a b c=

+ – ,2

где a

и b — катеты треугольника, а c — гипотенуза. Пользуясь этой форму-лой, найдите c, если a = 20, b = 99 и r = 9.

Ответ:

2. Длина медианы mc, проведённой к стороне c треугольника со сторона-ми a, b и c, вычисляется по форму-

ле mca b c

=2 2

2

2 2 2+ – . Найдите ме-

диану mc, если a = 4, b = 7, c = 9.

Ответ:

32 3. Средняя скорость бегуна на дистанции 200 м составила 24 км/ч. За сколько секунд он пробежал эти 200 м?

Ответ:

4. Велосипедист проезжает 10 м за 3 с. Чему равна скорость велосипедиста в киломе-трах в час?

Ответ:

5. В некоторых странах размер брюк указывается в дюймах, а его значение равно дли-не пояса. Жительница такой страны носит брюки 25 размера. Чему равна длина пояса этих брюк в сантиметрах, если один дюйм равен 2,54 см?

Ответ:

6. Практическое наблюдение в биологическом классе длилось 3 сут. 6 ч 45 мин. Сколь-ко часов длилось наблюдение?

Ответ:

7. Самолёт летит на высоте 11 712 м. Выразите высоту полёта в футах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

Ответ:

8. Длина транзистора составляет 0,5 � 10–7 м. Выразите эту величину в миллиметрах.

Ответ:

33 9. В одном пуде 16,4 кг. Сколько килограммов весит трёхпудовая гиря?

Ответ:

10. В одной сотке 100 м2. Выразите в квадратных километрах площадь дачного участка в 6 соток.

Ответ:


1. Найдите значение выражения23

1 98 4� , .+

Ответ:

2. Найдите значение выражения (0,6 + 1,15) � 13,2.

Ответ:

3. Найдите значение выражения 3,2 � 6,6 + 0,68.

Ответ:


1. Вадим купил английский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в ми-лях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 57 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1,6 км. Ответ округлите до целого числа.

Ответ:

34 2. Рост жирафа 12 футов 5 дюймов. Выразите его в метрах, если 1 фут равен 0,305 м, 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа метров.

Ответ:

3. В обменном пункте 1 крона стоит 2 р. 40 к. Туристы обменяли рубли на кроны и купили 7 магнитов по цене 16 крон за штуку. Во сколько рублей обошлась им эта покупка?

Ответ:

4. По старому английскому рецепту для приготовления кекса на 7 человек требуется 0,105 фунта ванильного сахара. Сколько граммов ванильного сахара согласно этому рецепту нужно взять, чтобы приготовить кекс на 10 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

Ответ:

5. Расстояние между двумя железнодорожными станциями равно 0,4 · 10–8 млрд км. Сколько километров между этими станциями?

Ответ:

6. Принтер напечатал 302 страницы за 20 мин 8 с. Сколько страниц печатает этот принтер за минуту?

Ответ:

7. Слон и мартышка мерили удава в попугаях. Оказалось, что длина удава — 38 по-пугаев. Сколько метров в одном попугае, если длина удава 1,9 м?

Ответ:

35 8. Радиус автомобильных покрышек указывается в дюймах. Чему равен радиус по-крышки в дюймах, если её диаметр равен 76,2 см, а один дюйм равен 2,54 см?

Ответ:

9. Атмосферное давление 4 апреля составляло 760 мм ртутного столба. Выразите ат-мосферное давление в паскалях, если в 1 мм ртутного столба 133,3 паскаля.

Ответ:

10. При стандартном атмосферном давлении для нагревания 1 г воды на 1 �C требуется 1 калория теплоты. Сколько джоулей требуется при стандартном атмосферном дав-лении для нагревания 500 г воды на 10 �C, если в 1 калории 4,1868 Дж?

Ответ:


1. Найдите значение выражения

5 55

5 6

8Ч

.

Ответ:


2 22

9 19

30Ч .

Ответ:


2 510

31 29

30Ч .

Ответ:

36 Сравнение величин, прикидка и оценка,соответствия между величинами и их значениямиДомашняя (зачётная) работа 13

1. Венера совершает полный оборот вокруг Солнца за время, равное … . (Выберите наи-более подходящее значение.)1) 744 ч2) 224,7 суток3) 1440 мин4) 15 суток Ответ:

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждо-му элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величина Возможное значениеА) масса футбольного мячаБ) масса дождевой каплиВ) масса взрослого бегемотаГ) масса телевизора

1) 10 кг2) 3,4 т3) 21 мг4) 750 г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её воз-можного значения.


3. Укажите событие, вероятность которого наибольшая.1) Увидеть шаровую молнию.2) Получить у кондуктора счастливый билет.3) В очереди стоять за человеком женского пола.4) Поймать в реке дельфина.

Ответ:


Величина Возможное значениеА) масса алюминиевой столовой ложкиБ) масса грузовой машиныВ) масса котаГ) масса дождевой капли

1) 11 т2) 35 г3) 19 мг4) 8,5 кг



5. На столе лежит нераспечатанная пачка бумаги для принтера. Её толщина … . (Вы-берите наиболее подходящее значение.)1) 5 мм2) 5 см3) 5 м4) 5 км Ответ:

37 6. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждо-му элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величина Возможное значениеА) масса кухонного холодильникаБ) масса трамваяВ) масса новорождённого ребёнкаГ) масса карандаша

1) 3600 г2) 14 г3) 18 т4) 52 кг



7. В кассе магазина лежит купюра достоинством в 50 р. Её ширина … . (Выберите наи-более подходящее значение.)1) 3 м2) 65 мм3) 2 мм4) 75 см Ответ:


Величина Возможное значениеА) масса мобильного телефонаБ) масса одной ягоды клубникиВ) масса взрослого слонаГ) масса курицы

1) 13,5 г2) 5 т3) 4 кг4) 110 г




1. Найдите значение выражения 5,5 � 4,4 – 3,3.

Ответ:

2. Найдите значение выражения 3,12 : 2,6 – 0,8.

Ответ:

3. Найдите значение выражения 1,56 : 1,3 – 1,4.

Ответ:

38 Домашняя (зачётная) работа 14

1. В океанариуме живёт белая акула, длина которой составляет … . (Выберите наиболее подходящее значение.)1) 50 м2) 0,9 км3) 4,5 м4) 2 см Ответ:


Величина Возможное значениеА) толщина волосаБ) рост новорождённого ребёнкаВ) длина футбольного поляГ) длина экватора

1) 40 000 км2) 55 см3) 0,1 мм4) 105 м



3. По улице идёт человек. Его масса … . (Выберите наиболее подходящее значение.)1) 80 мг2) 80 г3) 80 кг4) 80 т Ответ:


Величина Возможное значениеА) высота горы ЭверестБ) длина реки ВолгиВ) ширина окнаГ) диаметр монеты

1) 3530 км2) 130 см3) 25 мм4) 8848 м



5. В зоопарке живёт взрослый чёрный носорог. Его масса … . (Выберите наиболее под-ходящее значение.)1) 35 т2) 150 кг3) 900 г4) 2,1 т Ответ:


Величина Возможное значениеА) рост новорождённого ребёнкаБ) длина реки ЕнисейВ) толщина лезвия бритвыГ) высота горы Эльбрус

1) 4300 км2) 52 см3) 5642 м4) 0,078 мм

39В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её воз-можного значения.


7. В ремонтное депо приехал троллейбус, масса которого составляет … . (Выберите наи-более подходящее значение.)1) 10,3 т2) 8650 г3) 500 кг4) 350 т Ответ:


Величина Возможное значениеА) диаметр монетыБ) рост жирафаВ) высота Эйфелевой башниГ) радиус Земли

1) 6400 км2) 324 м3) 23 мм4) 6 м




1. На графике изображена зависимость крутя-щего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в ньютонах на метр.

Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу числа оборотов в минуту характеристику крутящего мо-мента.



1) при увеличении числа оборотов самый быстрый рост крутящего момента2) крутящий момент не превышает 20 Н · м на всём интервале3) при увеличении числа оборотов крутящий момент не меняется4) при увеличении числа оборотов крутящий момент падает


2. На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от вре-мени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в километрах в час, на го-ризонтальной оси — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.


40

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характе-ристику движения автобуса на этом интервале.

Интервал ХарактеристикаА) 0—4 минБ) 4—8 минВ) 8—12 минГ) 12—16 мин

1) была сделана остановка длительностью ровно 1 мин2) скорость автобуса достигла максимума за всё время движения3) 2 мин автобус двигался с постоянной скоростью4) была сделана остановка длительностью 2 мин


3. На рисунке показано изменение стоимости акций компании в период с 1 по 12 сентября 2012 г. По горизонтали указывается число месяца, по вертикали — стоимость акции в рублях. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных интервалов времени ха-рактеристику изменения стоимости акций.

Период ХарактеристикаА) 1—3 сентябряБ) 4—6 сентябряВ) 7—9 сентябряГ) 10—12 сентября

1) цена акции ежедневно падала2) цена достигла двухнедельного максимума3) цена акции ежедневно росла4) цена акции не превосходила 300 р.


Практические арифметические задачис текстовым условиемДомашняя (зачётная) работа 15

1. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно 1,2 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно, чтобы сварить варенье из 8 кг яблок?

Ответ:



412. В пачке 500 листов бумаги. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наи-меньшее количество пачек бумаги потребуется офису на 8 недель?

Ответ:

3. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 14 дней. Упаковка содержит 8 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее коли-чество упаковок потребуется на весь курс лечения?

Ответ:

4. Для лакировки рекреации размером 10�10 м понадобилось ровно 2 банки лака. Какое наименьшее число банок лака нужно для лакировки зала размером15�30 м?

Ответ:

5. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глу-бина равны соответственно 25 м, 12 м и 2 м. Для облицовки дна и стен бассейна решено приобрести плитку по цене 500 р. за квадратный метр. Сколько рублей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополнительно планируется выложить прямоугольную дорожку шириной 1 м из той же плитки?

Ответ:

6. Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она совершила 44 по-ездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 760 р., а разовая поездка 22 р.?

Ответ:

42 7. Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 л бензина 30 р. Средний расход бен-зина на 100 км составляет 9 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за месяц?

Ответ:

8. На счету Машиного мобильного телефона было 66 р., а после разговора с Леной осталось 39 р. Сколько минут длился разговор с Леной, если 1 мин разговора стоит 2 р. 25 к.?

Ответ:

9. В киоске «Роспечать» один номер еженедельного журнала «Репортаж» стоит 27 р., а полугодовая подписка на этот журнал стоит 550 р. За полгода выходит в свет 25 журналов. Сколько рублей сэкономит Петя за полгода, если вместо покупки жур-нала в киоске оформит на него подписку?

Ответ:

10. На день рождения принято дарить букет из нечётного числа цветов. Розы стоят 40 р. за штуку. У Вити есть 900 р. Из какого наибольшего числа роз он может купить букет Вике на день рождения?

Ответ:


1. Укажите событие, вероятность которого наименьшая.1) Увидеть в лесу лису.2) Увидеть в лесу сороку.3) Увидеть в лесу динозавра.4) Увидеть в лесу ящерицу.В ответе укажите номер правильного варианта.

Ответ:

432. Укажите событие, вероятность которого наибольшая.1) Увидеть на улице человека.2) Увидеть на улице кошку.3) Увидеть на улице собаку.4) Увидеть на улице бегемота.В ответе укажите номер правильного варианта. Ответ:

3. Укажите событие, вероятность которого наименьшая.1) Увидеть на улице человека.2) Увидеть на улице кошку.3) Увидеть на улице собаку.4) Увидеть на улице бегемота.В ответе укажите номер правильного варианта. Ответ:


1. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 32 544 кВт � ч, а 1 де-кабря — 32 726 кВт � ч. Сколько рублей нужно заплатить за элект-роэнергию за ноябрь, если 1 кВт � ч электроэнергии стоит 3 р. 60 к.?

Ответ:

2. В супермаркете проходит ре-кламная акция: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три шоколадки (одна шоколад-ка в подарок). Шоколадка стоит 35 р. Какое наибольшее число шоколадок можно получить на 200 р.? Ответ:

3. Для приготовления маринада для огурцов на 1 л воды требу-ется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 10 г. Какое наи-меньшее число пакетиков нужно хозяйке для приготовления 8 л маринада? Ответ:

4. Каждый день во время конфе-ренции расходуется 70 пакети-ков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продаётся в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно на все дни конференции? Ответ:

5. Больному прописано лекарство,которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. Упаковка содержит 10 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее ко-личество упаковок потребуется на весь курс лечения? Ответ:

44 6. Подготовка книги к печати стоит 30 тыс. р. Печать одного экземп-ляра стоит 30 р. Сеть книжных магазинов покупает эту книгу у издательства по 70 р. за экзем-пляр. При каком наименьшем тираже книги издательство ока-жется не в убытке? Ответ:

7. Бассейн имеет форму прямо-угольного параллелепипеда. Его длина, ширина и глубина рав-ны соответственно 18 м, 12 м и 1,4 м. Для облицовки дна и стен бассейна решено приобре-сти плитку по цене 300 р. за квадратный метр. Сколько руб-лей будет стоить покупка, если по периметру бассейна дополни-тельно планируется выложить прямоугольную дорожку шири-ной 1 м из той же плитки? Ответ:

8. Даша купила месячный про-ездной билет на автобус. За ме-сяц она совершила 52 поездки. Сколько рублей она сэкономи-ла, если проездной билет стоит 840 р., а разовая поездка 18 р.? Ответ:

9. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 р. и попросил за-лить полный бак бензина. Цена бензина 31 р. 20 к. Клиент по-лучил 1 р. 60 к. сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак? Ответ:

10. Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость од-ного SMS-сообщения 1 р. 30 к. Перед отправкой сообщений на счету у Маши было 30 р. Сколь-ко рублей останется у Маши на счету после отправки всех сооб-щений? Ответ:


1. Укажите событие, вероятность которого наибольшая.1) Увидеть в лесу бронтозавра.2) Увидеть в лесу стегозавра.3) Увидеть в лесу ихтиозавра.4) Увидеть в лесу ящерицу.

В ответе укажите номер правильного варианта.

Ответ:

452. Укажите событие, вероятность которого наибольшая.1) Увидеть шаровую молнию.2) Получить у кондуктора счастливый билет.3) В очереди стоять за человеком женского пола.4) Поймать в пустыне дельфина.

В ответе укажите номер правильного варианта. Ответ:

3. Укажите событие, вероятность которого наименьшая.1) Увидеть шаровую молнию.2) Получить у кондуктора счастливый билет.3) В очереди стоять за человеком женского пола.4) Поймать в пустыне дельфина.

В ответе укажите номер правильного варианта. Ответ:

Практические арифметические задачис текстовым условием. Оптимальный выборДомашняя (зачётная) работа 17

1. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 500 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.

Автомобиль Топливо Расход топлива(л на 100 км)

Арендная плата(р. за сутки)

А Дизельное 7 4000

Б Бензин 10 3500

В Газ 14 3500

Помимо аренды, клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного топлива 25 р. за литр, цена бензина 35 р. за литр, а цена газа 20 р. за литр. Сколько рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?

Ответ:

2. Строительный подрядчик планирует купить 20 т облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.

Поставщик Цена кирпича(р. за штуку)

Стоимостьдоставки (р.) Специальные условия

А 52 9000 Нет

Б 55 8000Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 150 000 р.

В 64 6500 Доставка со скидкой 50 %, если сумма заказа превышает 220 000 р.

46 Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Ответ:

3. В трёх салонах сотовой связи один и тот же смартфон продаётся в кредит на разных условиях. Условия приведены в таблице.

Салон Стоимостьсмартфона (р.)

Первоначальный взнос

(% от стоимости)

Сроккредита

(мес.)

Суммаежемесячногоплатежа (р.)

«Эпсилон» 5500 25 12 470

«Дельта» 6200 30 12 440

«Омикрон» 6700 20 6 950

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом пере-платы). В ответ запишите эту сумму в рублях.

Ответ:

4. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах ука-зывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в до-ход мебельного салона.

Фирма-производитель Процент от выручки,поступающий в доход салона Примечания

«Альфа» 7 % Изделия ценойдо 15 000 р.

«Альфа» 2 % Изделия ценойсвыше 15 000 р.

«Бета» 3,5 % Все изделия

«Омикрон» 6 % Все изделия

47В прейскуранте приведены цены на четыре гардероба. Определите, продажа какого из них наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого гардероба.

Фирма-производитель Изделие Цена

«Альфа» Гардероб «Анисья» 13 000 р.

«Альфа» Гардероб «Власта» 22 200 р.

«Бета» Гардероб «Инга» 17 000 р.

«Омикрон» Гардероб «Леокадия» 14 500 р.

Ответ:

5. Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей без-опасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг R

вычисляется по формуле R S C F Q D= + + + +3 2 2 250

. В таблице даны показатели трёх мо-

делей автомобилей.

Модельавтомобиля Безопасность Комфорт Функциональ-

ность Качество Дизайн

А 3 3 2 3 3

Б 3 1 4 4 4

В 5 3 1 5 2

Найдите наивысший рейтинг автомобиля из представленных в таблице моделей.

Ответ:

6. На соревнованиях по прыжкам в воду судьи выставили оценки от 0 до 10 трём спорт- сменам. Результаты приведены в таблице.

Номерспортсмена

Сложностьпрыжков

Iсудья

IIсудья

IIIсудья

IVсудья

Vсудья

VIсудья

VIIсудья

1 7 8,4 7,0 7,7 6,3 7,7 8,2 6,8

2 9,5 6,2 5,6 6,6 7,5 6,3 7,2 6,5

3 8 8,5 7,9 7,2 7,6 5,8 7,5 6,4

Итоговый балл вычисляется следующим образом: две наибольшие и две наименьшие оценки отбрасываются, а три оставшиеся складываются и умножаются на коэффи-

48 циент сложности. В ответе укажите в порядке возрастания номера спортсменов, ито-говый балл которых больше 170, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

7. В таблице даны результаты олимпиад по математике и обществознанию в 10 «А» классе.

Номер ученика Балл по математике Балл по обществознанию

1 49 58

2 72 74

3 53 93

4 77 68

5 31 58

6 66 33

7 85 32

8 57 91

9 83 80

Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олим-пиадам больше 140 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 75 баллов. В ответе укажите в порядке возрастания номера учащихся 10 «А», набравших меньше 75 баллов по математике и получивших похвальные грамоты, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

8. Для того чтобы связать свитер, хозяйке нужно 900 г шерстяной пряжи красного цвета. Можно купить красную пряжу по цене 70 р. за 50 г, а можно купить не-окрашенную пряжу по цене 50 р. за 50 г и окрасить её. Один пакетик краски стоит 50 р. и рассчитан на окраску 300 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В от-вете напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

Ответ:

49 9. Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1500 р. Автомобиль расходует 14 л бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 41 р. за литр. Сколько рублей придётся запла-тить за наиболее дешёвую поездку на троих?

Ответ:

10. Витя решил посетить парк аттракционов. Сведения о билетах на аттракционы пред-ставлены в таблице. Некоторые билеты позволяют посетить сразу два аттракциона.

Номербилета Аттракционы Стоимость (р.)

1 Колесо обозрения, автодром 400

2 Комната страха, комната смеха 500

3 Комната смеха 300

4 Автодром, комната смеха 400

5 Колесо обозрения 300

6 Автодром 150

Пользуясь таблицей, подберите билеты так, чтобы Витя посетил все четыре аттрак-циона: колесо обозрения, комнату страха, комнату смеха, автодром, а суммарная стоимость билетов не превышала 1000 р. В ответе укажите в порядке возрастания какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополни-тельных символов.

Ответ:


1. Решите уравнение 2x2 – 9x – 5 = 0. Если уравнение имеет более одного корня,в ответе запишите больший из корней.

Ответ:

50 2. Решите уравнение 8x + 25 = (x + 4)2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:

3. Решите уравнение 13

13

2 1x = . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе за-

пишите меньший из корней.

Ответ:


1. В трёх салонах сотовой связи один и тот же смартфон продаётся в кредит на разных условиях. Условия приведены в таблице.

Салон Стоимостьсмартфона (р.)

Первоначальныйвзнос

(в % от стоимости)

Сроккредита

(мес.)

Суммаежемесячногоплатежа (р.)

«Эпсилон» 6000 15 12 460

«Дельта» 6050 25 6 820

«Омикрон» 6250 25 12 405

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом пере-платы). В ответе запишите эту сумму в рублях.

Ответ:

51 2. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах ука-зывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в до-ход мебельного салона.

Фирма-производитель Процент от выручки,поступающий в доход салона Примечания

«Альфа» 6,5 % Изделия ценойдо 15 000 р.

«Альфа» 2,5 % Изделия ценойсвыше 15 000 р.

«Бета» 3,5 % Все изделия

«Омикрон» 5 % Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре буфета. Определите, продажа какогобуфета наиболее выгодна для салона. В ответе запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого буфета.

Фирма-производитель Изделие Цена

«Альфа» Буфет «Амвросий» 13 500 р.

«Альфа» Буфет «Болеслав» 20 500 р.

«Бета» Буфет «Вячеслав» 17 500 р.

«Омикрон» Буфет «Мир» 15 000 р.

Ответ:

3. Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей без-опасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг R

вычисляется по формуле R S C F Q D= + + + +3 2 2 250

. В таблице даны показатели трёх мо-

делей автомобилей.

Модельавтомобиля Безопасность Комфорт Функциональ-

ность Качество Дизайн

А 1 2 2 3 2

Б 1 3 1 4 1

В 3 1 2 4 1

Найдите наивысший рейтинг автомобиля из представленных в таблице моделей.

Ответ:

52

4. На соревнованиях по прыжкам в воду судьи выставили оценки от 0 до 10 трём спорт-сменам. Результаты приведены в таблице.

Номерспортсмена

Сложностьпрыжков

Iсудья

IIсудья

IIIсудья

IVсудья

Vсудья

VIсудья

VIIсудья

1 9 6,4 7,2 5,7 6,6 6,0 7,5 5,8

2 8,5 6,4 6,6 6,2 5,8 6,9 7,6 6,1

3 7 8,2 8,7 8,6 6,9 7,7 6,2 6,3

Итоговый балл вычисляется следующим образом: две наибольшие и две наименьшие оценки отбрасываются, а три оставшиеся складываются и умножаются на коэффи-циент сложности. В ответе укажите в порядке возрастания номера спортсменов, ито-говый балл которых больше 160, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

5. В таблице даны результаты олимпиад по физике и биологии в 10 «А» классе.

Номер ученика Балл по физике Балл по биологии

1 40 63

2 61 66

3 36 75

4 74 46

5 34 50

6 97 73

7 63 82

8 39 45

9 57 89

Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олим-пиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 65 баллов. В ответе укажите в порядке возрастания номера учащихся 10 «А», набравших мень-ше 65 баллов по физике и получивших похвальные грамоты, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

53

6. При строительстве дома фирма использует один из типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 т природного камня и 8 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 т щебня и 60 мешков цемента. Тонна камня стоит 1700 р., щебень стоит 660 р. за тонну, а мешок цемента стоит 240 р. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наи-более дешёвый вариант?

Ответ:

7. Турист подбирает экскурсии. Сведения об экскурсиях представлены в таблице.

Номер экскурсии Посещаемые объекты Стоимость (р.)

1 Парк 250

2 Загородный дворец, музей живописи 200

3 Загородный дворец, крепость 300

4 Крепость 250

5 Музей живописи, парк 350

6 Загородный дворец 200

Пользуясь таблицей, подберите набор экскурсий так, чтобы турист посетил четыре объекта: крепость, загородный дворец, парк и музей живописи, а суммарная сто-имость экскурсий не превышала 700 р. В ответе укажите в порядке возрастания какой-нибудь один набор номеров экскурсий без пробелов, запятых и других допол-нительных символов.

Ответ:

8. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план Абонентская плата Плата за 1 мин разговора

Повременный Нет 0,6 р.

Комбинированный 170 р. за 360 мин 0,4 р. (сверх 360 мин в месяц)

Безлимитный 250 р. в месяц Нет

Абонент предполагает, что общая длительность разговоров составит 500 мин в ме-сяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей

54 должен будет заплатить абонент за месяц, если общая длительность разговоров дей-ствительно будет равна 500 мин?

Ответ:

9. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг мясорубок на основе ко-эффициента ценности, равного 0,01 средней цены P (в рублях), показателей функ-циональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг R вычисляется по формуле R = 4(2F + 2Q + D) – 0,01P. В таблице даны цены и показатели четырёх моделей мясорубок.

Модельмясорубки Цена мясорубки, р. Функциональность Качество Дизайн

А 2500 1 1 3

Б 3400 1 2 3

В 4200 1 5 4

Г 3300 1 2 4

Найдите наивысший рейтинг мясорубки из представленных в таблице моделей.

Ответ:

10. При строительстве дома фирма использует один из типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 10 т природного камня и 9 меш-ков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 8 т щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1520 р., щебень стоит 780 р. за тонну, а мешок цемента стоит 260 р. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наи-более дешёвый вариант?

Ответ:



x + 23x + 2 · 8–x при x = 6.

Ответ:

55 2. Найдите значение выражения

x · 64x – 5 · 363 – 2x при x = 8.

Ответ:


x : 22x + 3 · 4x – 2 при x = 64.

Ответ:

Практические задачи с текстовым условиемна проценты


1. В июне 1 кг помидоров стоил 80 р. В июле помидоры подешевели на 15 %. Сколько рублей стал стоить 1 кг помидоров после снижения цены в июле?

Ответ:

2. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. Заработная плата Павла Сер-геевича составляет 21 000 р. Сколько рублей он получит после удержания налога на доходы?

Ответ:

3. 15 % вклада составляют 4500 р. Сколько рублей составляет вклад?

Ответ:

4. Цена на товар была повышена на 10 % и составила 462 р. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Ответ:

56 5. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Гавриловна получила 10 440 р. Чему равна заработная плата Марии Гавриловны? Ответ дайте в рублях.

Ответ:

6. В октябре 1 кг мандаринов стоил 80 р., в ноябре мандарины подешевели на 25 %, а в декабре ещё на 10 %. Сколько рублей стал стоить 1 кг мандаринов после сни-жения цены в декабре?

Ответ:

7. В феврале товар стоил 70 000 р. В мае цену на товар подняли на 6 %, а в августе снизили на 6 %. Сколько рублей стал стоить товар после снижения цены в августе?

Ответ:

8. Тарелка стоит 60 р. Какое наибольшее число таких тарелок можно будет купить на 500 р. во время распродажи, когда скидка составляет 15 %?

Ответ:

9. Брюки стоят 3000 р., а рубашка — 1200 р. На сколько процентов рубашка дешевле брюк?

Ответ:

10. Пять одинаковых рубашек стоят столько же, сколько девять одинаковых футболок. На сколько процентов одна рубашка дороже одной футболки?

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f(x) = log5x. Найдите значение функции f(x) в точке x = 5.

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции f(x) = log0,25x. В какой точке функция f(x) принимает значение, равное –1?

Ответ:

3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

А) yx

= 3 Б) y = x3 В) y = 3x Г) y = log3 x



1. Цена на товар была снижена на 13 % и составила 1218 р. Сколько рублей стоил товар до снижения цены?

Ответ:

2. До снижения цен товар стоил 2800 р., а после снижения стал стоить 2324 р. На сколько процентов была снижена цена товара?

Ответ:

58 3. Стоимость покупки с учётом шестипроцентной скидки по дисконтной карте соста-вила 1316 р. Сколько рублей пришлось бы заплатить за покупку при отсутствии дисконтной карты?

Ответ:

4. Себестоимость микрочипа снизилась в 2,5 раза. На сколько процентов снизилась се-бестоимость?

Ответ:

5. В 2013 г. в городском квартале проживало 30 000 человек. В 2014 г. в результате строительства новых домов число жителей выросло на 7 %, а в 2015 г. выросло на 6 % по сравнению с 2014 г. Сколько человек стало проживать в квартале в 2015 г.?

Ответ:

6. В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9 % дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?

Ответ:

7. Семь рубашек дороже куртки на 5 %. На сколько процентов шесть рубашек дешевле куртки?

Ответ:

8. Семья состоит из трёх человек: мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зар-плата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 118 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 7 %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Ответ:

59 9. Цена музыкального центра в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же чис-ло процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена музыкального центра, если выставленный на продажу за 10 000 р., он через два года был продан за 7225 р.

Ответ:

10. Пётр, Джамал, Григорий и Артур учредили компанию с уставным капиталом 300 000 р. Пётр внёс 17 % уставного капитала, Джамал — 48 000 р., Григорий — 0,14 уставного капитала, а оставшуюся часть уставного капитала внёс Артур. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Сколько рублей от прибыли в 500 000 р. причитается Артуру?

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f (x) = loga x. Найдите значение функции f (x) в точке x = 1.

Ответ:

2. Установите соответствие между функци-ями и их графиками.

А) y = log3x Б) y x= log13

В) y x= log12

Ответ: А Б В

3. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.1) Функция f (x) = loga x принимает каждое отрицательное значение один раз при 0 < a < 1.

60 2) Функция f (x) = logb x принимает каждое положительное значение один раз при b > 1.3) При c > 0 функция f (x) = logc x не принимает значение 0.

Ответ:

Задачи с логической составляющей.Следствия


1. Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 г. отдыхали в Анапе, а некоторые — в Туапсе. Все сотрудники, которые отдыхали в Туапсе, не отдыхали в Анапе. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 г. отдыхал в Анапе, то он отдыхал и в Туапсе.2) Среди сотрудников этой фирмы, которые не отдыхали в Туапсе летом 2014 г., есть хотя бы один, который отдыхал в Анапе.3) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 г. отдыхал и в Ана-пе, и в Туапсе.4) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 г. в Анапе.

В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

2. В зоомагазине в один из аквариумов запустили 25 рыбок. Длина каждой рыбки больше 3 см, но не превышает 8 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) В этом аквариуме нет рыбки длиной 9 см.2) Длина каждой рыбки больше 8 см.3) Семь рыбок в этом аквариуме короче 3 см.4) Разница в длине любых двух рыбок не больше 5 см.


Ответ:

3. Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Барбос, живущий в будке возле дома, обязательно лает. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если Барбос молчит, значит, кошка по забору не идёт.2) Если Барбос не лает, значит, по забору идёт кошка.3) Если по забору пойдёт белая кошка, Барбос будет лаять.4) Если по забору идёт чёрная кошка, Барбос не лает.


Ответ:

61 4. В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 13 этажей.2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.3) Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты.4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не более 12 этажей.


Ответ:

5. В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.2) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно хо-дит на кружок по математике.4) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.


Ответ:

6. Повар испёк 40 печений, из них 10 штук он посыпал корицей, а 20 он посыпал сахаром. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Найдётся 20 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.2) Найдётся 10 печений, которые ничем не посыпаны.3) Если печенье посыпано сахаром, то оно посыпано и корицей.4) Не может оказаться больше 10 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.


Ответ:

7. Фирма приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже магнитофона, а доска дешевле магнитофона и дешевле стола. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Доска — самая дешёвая из покупок.2) Принтер дороже доски.3) Принтер и доска стоят одинаково.4) Магнитофон дешевле доски.


Ответ:

8. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что носорог тяжелее льва, мед-ведь легче носорога, а рысь легче льва. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

62 1) Медведь тяжелее носорога.2) Рысь тяжелее носорога.3) Носорог самый тяжёлый из всех этих животных.4) Рысь легче носорога.


Ответ:


1. На клетчатой бумаге с размером клетки 2 � 2 изображён квадрат ABCD. Найдите его площадь.

Ответ:

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 3 � 3 изображён параллелограмм ABCD. Найдите его площадь.

Ответ:

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 4 � 4 изображён треугольник ABC. Найдите его площадь.

Ответ:


1. Хозяйка к празднику купила морс, мороженое, печенье и рыбу. Мороженое стоило дороже печенья, но дешевле рыбы, морс стоил дешевле мороженого. Выберите ут-верждения, которые верны при указанных условиях.1) Морс стоил дешевле рыбы.2) Среди указанных четырёх покупок есть три, стоимость которых одинакова.3) Рыба — самая дорогая из покупок.4) За морс заплатили больше, чем за мороженое.

63В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

2. В доме Мити больше этажей, чем в доме Маши, в доме Лены меньше этажей, чем в доме Маши, а в доме Толи больше этажей, чем в Ленином доме. Выберите утверж-дения, которые верны при указанных условиях.1) В доме Мити больше этажей, чем в Ленином доме.2) В доме Маши меньше этажей, чем в доме Лены.3) Дом Лены самый малоэтажный среди перечисленных четырёх.4) Среди этих четырёх домов есть три с одинаковым количеством этажей.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

3. Маша младше Алисы, но старше Кати. Лена не младше Кати. Выберите утвержде-ния, которые верны при указанных условиях.1) Алиса и Маша одного возраста.2) Среди указанных четырёх человек нет никого младше Кати.3) Алиса старше Кати.4) Алиса и Катя одного возраста.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

4. Среди тех, кто зарегистрирован в «ВКонтакте», есть школьники из Казани. Среди школьников из Казани есть те, кто зарегистрирован в «Одноклассниках». Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.1) Все школьники из Казани не зарегистрированы ни в «ВКонтакте», ни в «Одно-классниках».2) Среди школьников из Казани есть те, кто зарегистрирован в «ВКонтакте».3) Среди школьников из Казани нет тех, кто зарегистрирован в «ВКонтакте».4) Хотя бы один из пользователей «Одноклассников» является школьником из Ка-зани.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

5. Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды горо-да N. Оказалось, что рост каждого из волейболистов этой команды больше 190 см и меньше 215 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.1) В волейбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 220 см.2) Разница в росте любых двух игроков волейбольной команды города N составляет более 25 см.3) В волейбольной команде города N нет игроков с ростом 189 см.4) Рост любого волейболиста этой команды меньше 215 см.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

64 6. В посёлке городского типа всего 26 жилых домов. Высота каждого дома меньше 24 м, но не меньше 5 м. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.1) Разница в высоте любых двух жилых домов посёлка больше 6 м.2) В посёлке есть жилой дом высотой 24 м.3) В посёлке нет жилого дома высотой 4 м.4) Высота любого жилого дома в посёлке не меньше 3 м.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

7. В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт. Выберите утвержде-ния, которые верны при приведённом условии.1) Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 6 этажей.2) Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 6 этажей.3) Если в доме больше 7 этажей, то в нём есть лифт.4) Если в доме больше 8 этажей, то в нём нет лифта.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

8. Хозяйка к празднику купила торт, персики, сок и мясную нарезку. Торт стоил до-роже персиков, но дешевле мясной нарезки, сок стоил дешевле торта. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.1) Мясная нарезка — самая дорогая из покупок.2) Персики стоили дешевле мясной нарезки.3) Торт — самая дешёвая из покупок.4) За сок заплатили больше, чем за мясную нарезку.В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:



А) y = –3x Б) y = –13

x В) y = 13

x



65 2. На рисунках изображены графики функций вида y = ax + b. Установите соответ-ствие между знаками коэффициентов a и b и графиками функций.

А) a < 0, b < 0 Б) a < 0, b > 0 В) a > 0, b > 0



3. На рисунке изображён график функции y = ax + b. С помощью рисунка опреде-лите значение а.

Ответ:

Задачи с логической составляющей.ДелимостьДомашняя (зачётная) работа 23

1. Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма ква-дратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

2. Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

66 3. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 6 и делится на 90. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

4. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 5 и на 9 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В от-вете укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

5. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:


Ответ:

7. Вычеркните в числе 89 767 581 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Ответ:

8. Найдите пятизначное число, кратное 18, соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:


3. Найдите угловой коэффициент прямой, изображённой на рисунке.

Ответ:


1. Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 0, но меньше 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

2. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получи-ли второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1638. Приведите ровно один пример такого числа.

1. Найдите угловой коэффициент пря-мой, изображённой на рисунке.

Ответ:


Ответ:

68Ответ:


Ответ:

4. Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами:· сумма цифр числа A делится на 12;· сумма цифр числа A + 6 делится на 12.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

5. Найдите пятизначное число, кратное 22, соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

6. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 5 и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева которого является суммой двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

69 7. Найдите четырёхзначное число, кратное 36, произведение цифр которого больше 12, но меньше 18. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:

8. Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4 и на 15 да-ёт равные ненулевые остатки и первая цифра справа которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ:



Ответ:


Ответ:

70 3. Найдите угловой коэффициент прямой, изображённой на рисунке.

Ответ:

Текстовые арифметические задачис логической составляющейДомашняя (зачётная) работа 25

1. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейны-ми разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 6, 8 и 12. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Ответ:

2. В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 33 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 4 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Ответ:

71 3. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во вто-ром — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

Ответ:

4. Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 225 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Ответ:

5. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б равно 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Ответ:

6. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4500 р., а за каждый следующий метр будет пла-тить на 900 р. больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 м?

Ответ:

72 7. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 13 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Ответ:

8. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 16 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

Ответ:


На рисунке изображены график функции и каса-тельные, проведённые к нему в точках с абсцис-сами A, B, C и D.

1. Определите по графику, в какой из то-чек, A или D, значение производной больше.1) A 2) D

Ответ:

2. Определите по графику, в какой из точек, B или C, значение производной меньше.1) B 2) C

Ответ:

3. Определите по графику, в какой из отмеченных точек значение производной больше.1) A 2) B 3) C 4) D

Ответ:


1. Список заданий викторины состоял из 30 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 6 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 45 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Ответ:

73 2. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б равно 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Ответ:

3. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас-пилить палку по красным линиям, получится 13 кусков, если по жёлтым — 9 ку-сков, а если по зелёным — 15 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Ответ:

4. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:· за 2 золотых монеты получить 3 медные и одну серебряную;· за 8 медных монет получить 3 золотые и одну серебряную.

У Марии были только медные монеты. После нескольких посещений обменного пун-кта медных монет у неё стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 се-ребряных. На сколько уменьшилось количество медных монет у Марии?

Ответ:

5. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 15 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Ответ:

74 6. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

Ответ:

7. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейны-ми разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 6, 12 и 22. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Ответ:

8. В корзине лежат чёрные и белые шары, всего их 25 штук. Известно, что среди лю-бых 18 шаров есть хотя бы один белый, а среди любых 9 — хотя бы один чёрный. Сколько в ящике чёрных шаров?

Ответ:


1. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точ-ках с абсциссами A, B, C и D. В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каж-дой точке значение производной функции в ней.

Точка Значение производной

А) A 1) 23

Б) B 2) –12

В) C 3) –113

Г) D 4) 123

В таблице под каждой буквой укажите соответст-вующий номер. Ответ:

А Б В Г

75 2. На рисунке изображён график y = f �(x) — производной функции f (x), определённой на интервале(–8; 4). Найдите значение производной функции y = f(x) в точке –5.

Ответ:

3. На рисунке изображён график y = f �(x) — производной функции f (x), определённой на интервале(–9; 3). Определите точки, в которых касательная к графику производной функции y = f(x) параллельна прямой y = –x – 4 или совпадает с ней.1) –4 2) –3 3) 1 4) 2

В ответе укажите в порядке возраста-ния номера выбранных точек без за-пятых и пробелов.

Ответ:

Понятие вероятности. Практические задачина вычисление вероятностейДомашняя (зачётная) работа 27

1. Найдите вероятность того, что при подбрасывании кубика вы-падет чётное число очков.

Ответ:

2. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадет ровно одна решка.

Ответ:

3. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игро-вые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 26 шахматистов, среди которых 5 участников из России, в том числе Кирилл Черно-усов. Найдите вероятность того, что в первом туре Кирилл Черноусов будет играть с каким-либо шахматистом из России.

Ответ:

76 4. В среднем из 900 шариковых ру-чек 45 ручек не пишут. Найдите вероятность того, что взятая на-угад ручка будет писать.

Ответ:

5. В таксомоторной фирме в дан-ный момент свободно 12 машин: 1 чёрная, 3 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из ма-шин, случайно оказавшаяся бли-же всего к заказчику. Найдите вероятность того, что эта маши-на будет жёлтого цвета.

Ответ:

6. В группе по английскому языку учатся 10 школьников: Андрей, Тамила, Керим, Милана, Расул, Оля, Артур, Серёжа, Руслан и Толя. В начале урока учительни-ца произвольным образом выби-рает ученика, чтобы он отвечал домашнее задание у доски. Най-дите вероятность того, что к до-ске пойдёт девочка. Ответ:

7. На соревнования по метанию ядра приехали 6 спортсменов из Ита-лии, 3 спортсмена из Германии и 3 спортсмена из России. Порядок выступлений определяется жере-бьёвкой. Найдите вероятность то-го, что третьим будет выступать спортсмен из Германии.

Ответ:

8. Конкурс исполнителей прово-дится 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 30 выступлений, остальные распределены поров-ну между оставшимися днями. Порядок выступлений определя-ется жеребьёвкой. Какова веро-ятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ:

9. Катя и Настя бросают кубик по одному разу. Выигрывает та де-вочка, у которой выпало больше очков. Ничья, если очков поров-ну. Первой бросила Катя, у неё выпало 4 очка. Найдите вероят-ность того, что Настя проиграет.

Ответ:

7710. На турнир по настольному тен-нису прибыло 26 участников, в том числе близнецы Алан и Со-слан. Для проведения жеребьёв-ки первого тура участников слу-чайным образом разбивают на две группы по 13 человек. Како-ва вероятность того, что Алан и Сослан окажутся в одной группе? Ответ:


На рисунке изображён график функции y = f (x), определённой на интервале (–1; 13). С помощью рисунка выполните следующие за-дания:

1. Определите количество точек с целы-ми координатами, в которых произво-дная функции положительна.

Ответ:

2. Определите количество точек с целы-ми координатами, в которых произво-дная функции отрицательна.

Ответ:

3. Определите количество точек с це-лыми координатами, в которых производная функции равна 0.

Ответ:


1. Дима, Тёма, Вова и Серёжа бросили жребий — кому идти в магазин. Найдите ве-роятность того, что в магазин должен будет идти Вова.

Ответ:

2. В салоне междугороднего автобуса 4 места в начале салона и 5 мест в конце салона удобны для пассажиров высокого роста, а остальные места неудобны. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что при случайном выборе места пасса-жиру К. достанется удобное место, если всего в автобусе 45 мест.

Ответ:

3. В соревнованиях по метанию копья участвуют 12 спортсменов из Болгарии, 13 — из Белоруссии, 11 — из Боснии и Герцеговины и 14 — из Бельгии. Порядок выступле-

78 ния спортсменов определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Болгарии.

Ответ:

4. В фирме по прокату автомобилей в данный момент свободно 12 машин: 3 чёрные, 3 белые и 6 красных. У заказчика нет предпочтений по цвету автомобиля, и ему предоставили автомобиль, оказавшийся ближе других на стоянке. Найдите вероят-ность того, что этот автомобиль — белый.

Ответ:

5. В среднем из каждых 2000 батареек 60 неисправны. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка окажется неисправной.

Ответ:

6. Из 3200 семян укропа в среднем 160 семян не прорастают. Найдите вероятность того, что случайно выбранное семя укропа прорастёт.

Ответ:

7. На экзамене 50 вопросов, Игорь не знает ответ на 10 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся вопрос, на который он знает ответ.

Ответ:

8. Вероятность того, что спичка не загорится с первого раза, равна 0,16. Дима не глядя берёт одну спичку из коробка. Найдите вероятность того, что эта спичка загорится с первого раза.

Ответ:

79 9. На тарелке лежат одинаковые на вид круассаны: 8 с клубникой, 16 с карамелью и 6 с шоколадом. Петя наугад выбирает один круассан. Найдите вероятность того, что он окажется с шоколадом.

Ответ:

10. В спортивном зале 100 шкафчиков в раздевалке; у 54 брелок на ключе жёлтый, а у остальных — красный. Найдите вероятность того, что случайному посетителю вы-дадут ключ с красным брелоком.

Ответ:


На рисунке изображён график y = f �(x) — производной функции f(x), определённой на ин-тервале (–15; 2). С помощью рисунка выполните следующие задания:

1. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–10; –6].

Ответ:

2. Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–10; –4].

Ответ:

3. Найдите количество экстремумов функции f(x), принадлежащих отрезку [–4; 1].

Ответ:

80 МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»

Формулы сокращённого умножения.Преобразование рациональных алгебраических выражений


1. Найдите значение выражения (7x – 2)2 – 49x2 – 3 при x = 100.

Ответ:

2. Найдите значение выражения (6m + 5)2 – 36m2 – 59m + 5 при m = 321.

Ответ:

3. Найдите значение выражения (5c – 6) (5c + 6) – (5c – 6)2 при c = 13.

Ответ:

4. Найдите значение выражения (4d – 3) (4d + 3) – (4d + 3)2 при d = 50.

Ответ:

5. Найдите значение выражения (50b + 9)2 – (50b – 9)2 при b = 50.

Ответ:

816. Найдите значение выражения a a

a

46 14

34� –

при a = 5.

Ответ:


a

12 29

15� –

– при a = 0,1.

Ответ:


a

– –

–

26 37

62� при a = 0,02.

Ответ:


a ba b

++

, если ab

= .4

Ответ:

10. Найдите значение выражения a aa a

2 36 16

16

– ––

( )( )+ при a = 0,6.

Ответ:


1. Боковая сторона равнобедренного тре-угольника равна 5. Из точки, взятой на основании этого треугольника, про-ведены две прямые, параллельные бо-ковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Ответ:

2. В треугольнике ABC проведена биссек-триса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. От-вет дайте в градусах.

Ответ:

3. Площадь треугольника ABC равна 18, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапе-ции ABED.

Ответ:


1. Найдите значение выражения b3 : b9 � b5 при b = 0,2.

Ответ:

2. Найдите значение выражения (3a3)3 : (3a8) при a = 110.

Ответ:

3. Найдите значение выражения (2m6)4 : (2m5)5 при m = 50.

Ответ:

834. Найдите значение выражения (2b)4 : b10 � b7 при b = 6.

Ответ:

5. Найдите значение выражения 7x � (7x12)3 : (7x9)4 при x = 97.

Ответ:


17 2

b bb b

– – ––

( ) ( ) ++ при b = 43,2.

Ответ:


19 20a a a

a a+ �

�

–

– при a = 70.

Ответ:

8. Найдите значение выражения 7 33a ba b

+–

, если aa b+ =

34

.

Ответ:


27 2

aaa

aa

– ––

–( ) ( )+

+ при a = 10.

Ответ:

84 10. Найдите значение выражения b bbb

bb

2 36 14 826

26

– – ––

–( ) ( ) +++ при b = 321.

Ответ:


1. Площадь прямоугольного треугольни-ка равна 90. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет.

Ответ:

2. Найдите острый угол между биссек-трисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. В треугольнике ABC угол C равен 90�,

sin .A = 74

Найдите синус внешнего

угла при вершине B.

Ответ:

Арифметические действия с корнямии иррациональными выражениями


1. Найдите значение выражения 116 802 2– .

Ответ:

852. Найдите значение выражения 6 2 3 6 2 3– .( ) +( ) Ответ:


70

2( ). Ответ:


0 24

, ,

,.� Ответ:


4 19

3

3. Ответ:

6. Найдите значение выражения 0 49 0 73 , , .� Ответ:

7. Найдите значение выражения 36 363 6� . Ответ:

8. Найдите значение выражения 70,62 � 490,19. Ответ:


316� . Ответ:


27

67, .� � Ответ:


1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Угол ADC параллелограмма ABCD ра-вен 132�. Углы DAC и DCA относят-ся как 3 : 5. Найдите угол DCA. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. В параллелограмме ABCD косинус уг-

ла A равен 1

5. Найдите tg B.

Ответ:


1. Найдите значение выражения aa

5 6

3 6

,

, при a = 6.

Ответ:


a

4 8 3 6

6 4

, ,

,� при a = 4.

Ответ:

3. Найдите значение выражения b b27

67

2

� ( ) при b = 7.

Ответ:

4. Найдите значение выражения b

b

916

2

18

( ) при b = 12.

Ответ:


113

6

2d d( ) + при d = 3.

Ответ:

6. Найдите значение выражения b1,2 (b0,4)2 при b = 11.

Ответ:


a a

a a

4 12

3 при a = 0,1.

Ответ:


b b

b b

3 12

21 28��

при b = 4.

Ответ:


6 5 5 3 6x

x

x

xx+ +– – при x = 6.

Ответ:


b b

b b

5 5

2 9 275

�

� ,( ) при b =

23

.

Ответ:


1. В параллелограмме ABCD синус угла

A равен 13

, AB = 1, AD = 6. Найдите большую высоту параллелограмма.

Ответ:

2. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в граду-сах.

Ответ:

88 3. Площадь параллелограмма ABCD рав-на 109. Найдите площадь параллело-грамма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного па-раллелограмма.

Ответ:

Основные формулы тригонометрии.Вычисление значений тригонометрическихвыражений


1. Найдите значение выражения 16 sin 120� � cos 150�.

Ответ:


43

cos sin .p p�

Ответ:

3. Найдите значение выражения 6 tg 225� � sin (–390�).

Ответ:


176

tg tgp p� .

Ответ:

5. Найдите значение выражения 6 tg 210� � cos (–330�) � sin 630�.

Ответ:


70sin cos

sin.� � �

� Ответ:


cossin (– )

.��

Ответ:

8. Найдите значение выражения 4 sin (–750�). Ответ:


sincos cos

.��

Ответ:

10. Найдите значение выражения sin sin .2 241 49

4� �+ Ответ:


1. Угол между диагоналями прямоуголь-ника равен 50�. Найдите больший угол между диагональю и стороной прямо-угольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. На стороне AD квадрата ABCD взята точка E так, что AE : ED = 1 : 4. Найдите тангенс угла AEC.

Ответ:

90 3. Стороны прямоугольника равны 4 и

4 3. Найдите меньший угол между диагоналями прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Найдите 39 cos a, если sin a =5

13 и p a p

2< < .

Ответ:

2. Найдите 26 sin a, если cos a =1213

и 32

2p a p< < .

Ответ:

3. Найдите 17 cos a, если sin –a =8

17 и p a p< < 3

2.

Ответ:

4. Найдите 100 sin a, если cos –a =7

25 и

p a p2

< < .

Ответ:

915. Найдите значение выражения 5 + 6 ctg2 a � sin2 a, если cos – .a =1

6

Ответ:

6. Найдите 6 32

sin ,p a+( ) если sin a = –0,6 и a p pО ( )232

; . Ответ:

7. Найдите значение выражения 4 cos2 a, если tg =a 7.

Ответ:

8. Найдите значение выражения 7 sin2 a, если tg =a 6.

Ответ:

9. Найдите 10 cos a, если tg =a 2 6 и 3 72

p a p< < . Ответ:

9210. Найдите 8 sin a, если tg a = 0,75 и – –p a p< <

2. Ответ:


1. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоуголь-ника со сторонами 1 и 9.

Ответ:

2. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от неё до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 16. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Ответ:

3. Диагонали ромба относятся как 2 : 5. Периметр ромба равен 29. Найдите высоту ромба.

Ответ:

Понятие и свойства степени с действительным показателем. Вычисление значенийпоказательных выражений


1. Найдите значение выражения 11 1111 2 11� – .

Ответ:

932. Найдите значение выражения 10 33( )–

.

Ответ:


7

6

6 1–.

Ответ:


12

7 7

7 2

�–

.

Ответ:


– .( ) +

Ответ:


5

5

6( ) .

Ответ:


6

6

3 7( ) .

Ответ:


13

13 1

13 1

+

–. Ответ:

9. Найдите значение выражения 11 111 11 1 11– .� + Ответ:

10. Найдите значение выражения 5 5 54 2 1 1 2 3 2 1– – – .� :

Ответ:


1. Высота трапеции равна 3, площадь равна 39. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

2. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 35. Боковые стороны рав-ны 15. Найдите синус острого угла трапеции.

Ответ:

3. В трапеции ABCD (AD — большее ос-нование) диагональ AC перпендику-лярна стороне CD, стороны AB и BC равны, угол CAD равен 30�. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Найдите значение выражения x x x+ +5 252 1 � – при x = 7.

Ответ:

2. Найдите значение выражения x x x� �7 492 3 2– – при x = 4.

Ответ:

3. Найдите значение выражения b 22 2( ) при b = 2.

Ответ:


b

52 5

12

( ) при b = 0,5.

Ответ:


b

7 7

7 8

+

+ при b = 0,2.

Ответ:

6. Найдите значение выражения b 3 23 2

+( ) –

при b = 0,4.

Ответ:

96 7. Найдите значение выражения x x x+ +6 362 1 : при x = 5.

Ответ:

8. Найдите значение выражения x x x: 5 252 1 1+ � – при x = 25.

Ответ:

9. Найдите значение выражения f x

f x

–

–,7

6( )( ) если f(x) = 5x.

Ответ:

10. Найдите значение выражения g x g x g x x– , – , ( ) .7 7 5 25( ) ( )� если =

Ответ:


1. Средняя линия трапеции равна 21, а меньшее основание равно 13. Найдите большее основание трапеции.

Ответ:

2. Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 25, один из углов ра-вен 45�. Найдите высоту трапеции.

Ответ:

973. Биссектрисы углов A и B при боко-вой стороне AB трапеции ABCD пере-секаются в точке F. Найдите AB, если AF = 40, BF = 9.

Ответ:

Понятие логарифма. Свойства логарифмов. Вычисление значений логарифмическихвыражений


1. Найдите значение выражения log6 0,3 + log6 120.

Ответ:

2. Найдите значение выражения lg 2 – lg 0,2. Ответ:

3. Найдите значение выражения 17 11 112�

log . Ответ:

4. Найдите значение выражения 49 73log .

Ответ:

5. Найдите значение выражения log16 8.

Ответ:

98 6. Найдите значение выражения 7 56 56log log( ) .

Ответ:

7. Найдите значение выражения log .17

49

Ответ:


6

Ответ:

9. Найдите значение выражения log

log.7

7

12111

Ответ:

10. Найдите значение выражения log

log.36

6

55

Ответ:


1. Радиус окружности равен 19. Найдите величину острого вписанного угла, опираю-

щегося на хорду, равную 19 2. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

992. Окружность с центром O касается сторон угла с вершиной C, величина которого равна 50�, в точках A и B. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Вершина A выпуклого четырёхугольника ABCD является центром окружности, про-ходящей через точки B, C и D. Найдите угол BAD, если углы ABC и ADC равны соответственно 64� и 42�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Найдите loga (a2b), если loga b = 6. Ответ:

2. Найдите log ,aba

2 если loga b = –3. Ответ:

3. Найдите loga (ab2), если log .b a =13

Ответ:

4. Найдите log , log .a bab

a2 1

7если = Ответ:

5. Найдите loga (a2b3), если loga b = –3. Ответ:

1006. Найдите log ,a

a

b

4

3 если loga b = 2. Ответ:

7. Найдите log ,aa

b9 если logb a = 6. Ответ:

8. Найдите значение выражения log ,a b a( ) если log .b a =19

Ответ:

9. Найдите значение выражения log ,aab

10 если loga b = 11.

Ответ:

10. Найдите значение выражения log , log – .a ba b a4 35 13

если =

Ответ:


1. Площадь круга равна 64p

. Найдите длину его окружности.

Ответ:

1012. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы

которых равны 29 25

p pи .

Ответ:

3. Найдите хорду, на которую опирается угол 120�, вписанный в окружность радиу -

са 9 3.

Ответ:

Вычисления и преобразования по данным формулам. Подготовительные задачи


1. В таксомоторной фирме стоимость поездки длительностью меньше 10 мин составляет 199 р. Если поездка длится 10 мин или более, то её стоимость (в рублях) рассчиты-вается по формуле C = 199 + 14(t – 10), где t — длительность поездки, выраженная в минутах (t � 10). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 17-минутной поездки. Ответ укажите в рублях.

Ответ:

2. Работа постоянного тока (Дж) вычисляется по формуле A = I2Rt, где I — сила то-ка (А), R — сопротивление (Ом), t — время (с). Пользуясь этой формулой, найдите работу A, если t = 150 c, I = 2 А и R = 3 Ом. Ответ дайте в джоулях.

Ответ:

102 3. Количество теплоты (Дж), полученное однородным телом при нагревании, вычисля-

ется по формуле Q = cm (t2 – t1), где c — удельная теплоёмкость Джкг К�( ), m — мас-

са тела (кг), t1 — начальная температура тела (К), а t2 — конечная температура тела (К). Пользуясь этой формулой, найдите количество теплоты Q, если t2 = 1342 К,

c = 700 Джкг К�

, m = 0,3 кг и t1 = 1282 К. Ответ дайте в джоулях.

Ответ:

4. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по фор-

муле r a b c=

+ – ,2

где a и b — катеты треугольника, а c — гипотенуза. Пользуясь

этой формулой, найдите c, если a = 60, b = 91 и r = 21.

Ответ:

5. Сумма углов правильного выпуклого многоугольника вычисляется по формуле

е ( )= n – ,2 p где n — количество углов многоугольника. Пользуясь этой формулой,

найдите n, если е = 202p.

Ответ:


sin ,a где b и c — стороны

треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величи-ну sin a, если b = 52, c = 6 и S = 78.

Ответ:

7. Теорему косинусов можно записать в виде cos ,–g =a b c

ab

2 2 2

2+ где a, b и c — стороны

треугольника, а g — угол между сторонами a и b. Пользуясь этой формулой, най-дите величину cos g, если a = 10, b = 12 и c = 14.

Ответ:

1038. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S d d=12 1 2 sin ,a где d1 и


формулой, найдите площадь S, если d1 = 88, d2 = 33, a sin .a =5

12

Ответ:


1. Угол A четырёхугольника ABCD, впи-санного в окружность, равен 126�. Найдите угол C этого четырёхуголь-ника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Два угла вписанного в окружность че-тырёхугольника равны 40� и 83�. Най-дите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 70�, угол CAD равен 64�. Найдите угол ABC. От-вет дайте в градусах.

Ответ:



=4

, где a, b и c — сто-

роны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пользуясь этой формулой, найдите S, если a = 10, b = 17, c = 21 и R =858

.

Ответ:

2. Второй закон Ньютона можно записать в виде F = ma, где F — сила (Н), действую-щая на тело, m — масса тела (кг), a — ускорение, с которым движется тело (м/с2). Найдите массу тела m, если F = 282 Н и a = 47 м/с2. Ответ дайте в килограммах.

Ответ:

104 3. Среднее геометрическое трёх чисел a, b и c вычисляется по формуле g abc= 3 . Вы-числите среднее геометрическое чисел 3, 6, 12.

Ответ:

4. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле Sd d

= 1 2

2

sin,

a где d1 и


формулой, найдите диагональ d1, если d2 = 21, sin ,a =2

27 а S =

283

.

Ответ:

5. Длина биссектрисы lc, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c,

вычисляется по формуле l ab a b cc a b=

1 2 2

++( )( )– . Найдите биссектрису lc, если

a = 6, b = 8 и c = 7.

Ответ:

6. Среднее гармоническое трёх чисел a, b и c вычисляется по формуле h a b c=

1 1 1

3

1+ +ж

из

ц

шч

–

.

Найдите среднее гармоническое чисел 1

151

16, и

117

.

Ответ:


sin ,a где b и c — стороны

треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите пло-

щадь S, если b = 18, c = 25 и sin .a =1

30

Ответ:

1058. Мощность постоянного тока (Вт) вычисляется по формуле P UR

=2, где U — напря-

жение (В), R — сопротивление (Ом). Пользуясь этой формулой, найдите мощность P, если R = 12 Ом и U = 102 В. Ответ дайте в ваттах.

Ответ:


1. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке M. Найдите BM, если CM = 17.

Ответ:

2. К окружности, вписанной в треуголь-ник ABC, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольников равны 10, 28, 78. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ:

3. Найдите радиус окружности, описан-ной около равностороннего треуголь-ника, если радиус окружности, впи-санной в этот треугольник, равен 15.

Ответ:

Вычисления и преобразования по данным формулам. Более сложные задачи


1. Расстояние от линзы до предмета d1 и расстояние от линзы до изображения d2 свя-заны соотношением 1 1 1

1d d f+ =2

, , где f — главное фокусное расстояние линзы. Най-

дите f, если известно, что при расстоянии от линзы до предмета, равном 70 см, расстояние от линзы до изображения этого предмета равно 30 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

106 2. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = –5t2. До дождя время падения камушков составляло 1,4 с. На какую минималь-ную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 с?

Ответ:

3. Модель для демонстрации адиабатического сжатия представляет сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом между объёмом и давлением выполняется зависи-мость pV1,4 = const. Изначально объём газа равен 8 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса вы-держивает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма возможно сжать газ. Ответ дайте в литрах.

Ответ:

4. При температуре 0 �C рельс имеет длину l0 = 10 м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм. При возрастании температуры будет происходить те-пловое расширение рельса и его длина будет меняться по закону l (t�) = l0 (1 + a � t�), где a = 1,2 � 10–5 (�C)–1 — коэффициент теплового расширения, t� — температура (�C). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

5. При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минималь-на в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет поло-жительной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления равна

P m gvL

=2

– ,( ) где m — масса воды, v — скорость движения ведёрка, L — длина

верёвки, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения. С какой минимальной ско-

107ростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина верёв-ки равна 1,6 м? Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ:

6. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 11t –– 5t2 (м), где t — время, измеряемое в секундах. Сколько секунд мяч будет нахо-диться на высоте более трёх метров?

Ответ:

7. Сила тока в цепи I (А) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электро-

прибора по закону Ома: I UR

= , где U — напряжение (В), R — сопротивление элек-

троприбора (Ом). В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 8 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Ответ:

8. Начальная скорость v0 движущегося с постоянным ускорением тела равна 15 м/с. Ускорение тела a равно 13 м/с2. С какой скоростью (м/с) будет двигаться тело в мо-мент времени t = 9 c, если скорость движения тела при равноускоренном движении вычисляется по формуле v = v0 + a � t? Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ:


1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1� изображён угол. Найдите тангенс это-го угла.

108

Ответ:

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Ответ:

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён треугольник. Найдите ра-диус описанной около него окружности.

Ответ:


1. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоско-сти, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней

точке сила давления равна P m gvL

=2

– ,( ) где m — масса воды (кг), v — скорость

движения ведёрка (м/с), L — длина верёвки (м), g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, что-бы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,625 м? Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ:

1092. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к го-ризонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в систе -ме координат, связанной с машиной, описывается формулой y = ax2 + bx, где

a = –1

100 м–1, b =

710

— постоянные параметры, x — смещение камня по горизонта-

ли (м), y — высота камня над землёй (м). На каком наибольшем расстоянии от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 м? Ответ дайте в метрах.

Ответ:

3. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,8 + 12t –– 5t2, где h — высота (м), t — время (с), прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 м?

Ответ:

4. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больц-мана, согласно которому мощность излучения нагретого тела (Вт) вычисляется по

формуле P ST= s 4, где s = 5,7 � 10–8 Вт

м2К4 — постоянная, S — площадь поверхности

тела (м2), T — температура тела (К). Известно, что некоторая звезда имеет площадь

поверхности S =1

641020� м2, а излучаемая ею мощность P не менее 2,28 � 1025 Вт.

Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в граду-сах Кельвина.

Ответ:

110 5. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории ис-пользуется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 35 см. Рассто-яние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 35 до 60 см, а рас-стояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 240 до 280 см. Изображение на

экране будет чётким, если выполнено соотношение 1 1 1

1 2d d f+ = . Укажите, на каком

наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

6. Перед отправкой тепловоз издал гудок частотой f0 = 190 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гуд-

ка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f v fvc

( ) ,–

=1

где

c — скорость звука в воздухе (м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сиг-налы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог раз-личить сигналы по тону, а c = 300 м/с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ:

7. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l (км) с постоянным ускорением a (км/ч2), вычисляется по формуле

v la= 2 . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомо-биль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ:

1118. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

m t mtT( ) = 0 2�

�, где m0 — начальная масса изотопа (мкг), t — время (ч), прошедшее

от начала распада, T — период полураспада (ч). В лаборатории получили вещест-во, содержащее m0 = 80 мкг изотопа натрия-24, период полураспада которого T = 15 ч. В течение скольких часов масса изотопа натрия-24 будет не меньше 10 мкг?

Ответ:


1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.

112

Ответ:

Линейные и квадратные уравнения



513

5x = .

Ответ:


717

7x = .

Ответ:

3. Решите уравнение (5x – 3)2 = (5x + 2)2.

Ответ:

4. Решите уравнение (4x + 5)2 = (4x – 7)2.

Ответ:

5. Решите уравнение x2 – 17 = (x – 17)2.

Ответ:

6. Решите уравнение x2 + 11 = (x + 11)2.

Ответ:

1137. Решите уравнение 5 44

4 55

x x+ += .

Ответ:


5 66

x x– – .=

Ответ:

9. Решите уравнение x2 = (x – 7)2.

Ответ:

10. Решите уравнение x2 = (x + 9)2.

Ответ:


1. Найдите диагональ прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 4), (6; 1).

Ответ:

2. Точки O(0; 0), A(16; 0), B(15; 4), C(1; 4) являются вершинами трапе-ции. Найдите длину её средней линии.

Ответ:

3. Прямая a проходит через точки с ко-ординатами (0; 5) и (–1; 0). Прямая b проходит через точку с координата-ми (0; –10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Ответ:


1. Решите уравнение 2x2 + 19x + 9 == 0. Если уравнение имеет более од-ного корня, в ответе запишите боль-ший из корней.

Ответ:

114

4. Решите уравнение (x + 8)2 = 32x.

Ответ:

5. Решите уравнение (x – 7)2 = –28x.

Ответ:

6. Решите уравнение 4x2 + 11x – 3 == 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:

7. Решите уравнение 3x2 – 8x – 3 == 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:


18

2 1x = . Если

уравнение имеет более одного кор-ня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:


14

2 12x = . Если


Ответ:

2. Решите уравнение 2x2 + 15x – 8 == 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:

3. Решите уравнение 2x2 + 7x + 6 = = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:


19

2 11x = . Если

уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:


3. Найдите ординату центра окружно-сти, описанной около прямоуголь-ника, вершины которого имеют координаты соответственно (4; 5), (4; –3), (–2; –3), (–2; 5).

Ответ:

Дробно-рациональные уравнения


1. Решите уравнение 3 1x

= – .

Ответ:

2. Решите уравнение – .7 2x

=

Ответ:

1. Найдите площадь параллелограм-ма, вершины которого имеют ко-ординаты (1; 7), (10; 8), (10; 10), (1; 9).

Ответ:

2. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Ответ:

116 3. Решите уравнение 5 22 5

1xx

++ = – .

Ответ:


6xx

++ = .

Ответ:


3x x+ = .

Ответ:


7x x+ = .

Ответ:


15

120x x

+ = .

Ответ:


15

0 2x x

– , .=

Ответ:


0 02x + = , .

Ответ:


0 05x + = , .

Ответ:


1. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Най-дите высоту l этого столба, если наименьшая вы-сота h1 перил равна 0,8 м, а наибольшая h2 равна 1,6 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. В угол с вершиной С, равный 77�, вписана окруж-ность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 м и 30 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забо-ром на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в мет-рах.

Ответ:



44x

x+

+= . Если

уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из кор-ней.

Ответ:

118 2. Решите уравнение 66

66x

x–

– .= Если

уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из кор-ней.

Ответ:

3. Решите уравнение xx

xx

– – .23 8

28 3+ +=

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:

4. Решите уравнение xx

xx

++

++

75 11

711 5

= .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ:

5. Решите уравнение x xx

=7 36

7++

. Ес-

ли уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:


162 1x –

.= Если


Ответ:


122 1x –

.= Если


Ответ:

1198. Решите уравнение 762 1x

x += . Если


Ответ:


1. В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 13, AC = 10. Найдите длину медианы BM.

Ответ:

2. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 70 м. Найдите длину забора, которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:


x x+= . Если


Ответ:


2 112 1x x+

= . Ес-

ли уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:

120 3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, меди-ана BM равна 8. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите длину стороны AB.

Ответ:

Простейшие иррациональные уравнения


1. Найдите корень уравнения

8 7 8– .x =

Ответ:


9 8 9– .x =

Ответ:


5 4 5+ x = .

Ответ:


7 6 7+ x = .

Ответ:


18 5 3– .x =

Ответ:


21 5 6– .x =

Ответ:

1217. Найдите корень уравнения 1

5 20 5

+ x= , .

Ответ:

8. Найдите корень уравнения1

37 817–

.x

=

Ответ:

9. Найдите корень уравнения1

10 40 25

–, .

x=

Ответ:

10. Найдите корень уравненияx

x103

–.=

Ответ:


1. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м � 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных мет-рах.

Ответ:

2. В угол с вершиной C, равный 80�, вписана окруж-ность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол OAB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

С B

O

A

122 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, РB = 61�, РD = 161�. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Решите уравнение 12 7 2x x+ = . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:

2. Решите уравнение 8 7– – .x x= Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

3. Решите уравнение x x+ 20 = . Ес-ли уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:

4. Решите уравнение x x+ 30 = – . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

1235. Решите уравнение x x2 16 3 4+ = – .Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:

6. Решите уравнение x2 144+ =

= 3x – 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе ука-жите произведение корней.

Ответ:

7. Решите уравнение 17 4 5+ +x x= .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:

8. Решите уравнение 19 6 4+ +x x= .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

9. Решите уравнение 5 1 5x x– – .=

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

124 10. Решите уравнение 10 3 2– – .x x=

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший изкорней.

Ответ:


1. Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 300 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно оградить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. Меньшее основание трапеции в 4 раза меньше её средней линии. Во сколько раз оно меньше большего основания трапеции?

Ответ:

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALB равен 70�, угол ACL равен 40�. Найдите угол CAB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

125Простейшие показательные уравнения


1. Решите уравнение 76 – x = 49.

Ответ:

2. Решите уравнение 815 – x = 64x.

Ответ:


+ x = .

Ответ:


+ x = .

Ответ:


9

81( ) + x

= .

Ответ:


7

49( ) + x

= .

Ответ:

7. Решите уравнение 4x � 5x = 400.

Ответ:

8. Решите уравнение 73x – 2 � 7x – 1 = 7.

Ответ:


1 2( )x

= , .

Ответ:

126 10. Решите уравнение 5x � 4–x = 0,8.

Ответ:


1. Найдите угол между скрещивающи-мися рёбрами правильной треугольной пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Площадь полной поверхности правиль-ной треугольной пирамиды в 7 раз больше площади её основания. Во сколько раз площадь полной поверх-ности этой пирамиды больше площади боковой грани?

Ответ:

3. Найдите угол между плоскостью бо-ковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания, если площадь основания пирамиды вдвое меньше площади её боковой по-верхности. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Решите уравнение 6x – 4 = 63x + 2.

Ответ:

2. Решите уравнение 812 – x = 8x – 8.

Ответ:

3. Решите уравнение 5x – 7 = 25x – 14.

Ответ:

4. Решите уравнение 79 – x = 49x.

Ответ:


6166( )x

x–

– .=

Ответ:


113

––

.xx

= ( )

Ответ:

7. Решите уравнение 914 – x = 1114 – x.

Ответ:

8. Найдите корень уравнения 1715 – x = 2x – 15.

Ответ:

9. Решите уравнение 55 – x = 100 � 2x – 5.

Ответ:

10. Найдите корень уравнения 3x � 4x = 144x – 2.

Ответ:


1. Высота правильной треугольной пира-

миды равна 6. Апофема равна 4 3. Найдите сторону основания.

Ответ:

2. Боковая грань правильной треуголь-ной пирамиды образует с плоскостью основания угол, равный 30�. Найдите высоту пирамиды, если сторона осно-вания равна 6.

Ответ:

128 3. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 10, а высота её основания равна 12. Найдите высоту пирамиды.

Ответ:

Простейшие логарифмические уравнения


1. Решите уравнение log4 (8 – x) = 3.

Ответ:


Ответ:


Ответ:

4. Найдите корень уравнения log36 (x – 5) = 0,5.

Ответ:

5. Найдите корень уравнения log – – .13

7 3x( ) =

Ответ:


8 2x( ) =

Ответ:


7 2x( ) =

Ответ:

1298. Решите уравнение log5 – x 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

9. Решите уравнение log4 – x 36 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

10. Решите уравнение logx – 8 25 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:


1. В правильной четырёхугольной пира-

миде высота равна 3, а сторона осно-

вания равна 2. Найдите угол между

боковым ребром и основанием. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. В правильной шестиугольной пирами-де высота равна 3, а сторона основания равна 2. Найдите угол между боковой гранью и основанием. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. В правильной четырёхугольной пира-миде все рёбра равны. Найдите угол между боковым ребром и основанием. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Найдите корень уравнения log5 (x + 12) = log9 (x + 12).

Ответ:

2. Решите уравнение log7 (x + 18) = log7 (3x + 8).

Ответ:

3. Решите уравнение log13 (5x – 16) = log13 x.

Ответ:

4. Решите уравнение log11 (x2 – 3x) = log11 (x2 – 36).

Ответ:

5. Найдите корень уравненияlog5 (22 – x) = log5 (2 – x) + 1.

Ответ:

6. Решите уравнениеlog2 x = –log0,5 (18 – x).

Ответ:

7. Найдите корень уравненияlog4 (3x + 4) = 0,5 � log2 (x + 10).

Ответ:

8. Найдите корень уравнения2 � log36 (2x – 7) = log6 (14 – x).

Ответ:

1319. Решите уравнениеlog8 (5 – x) = log5 (5 – x).

Ответ:

10. Решите уравнениеlog11 (x + 9) = log12 (x + 9).

Ответ:


1. Дана правильная четырёхугольная пи-рамида SABCD с вершиной S. Точ-ки K, L, M и N — середины рёбер AB, BC, SC и SA соответственно. Най-дите площадь четырёхугольника KLMN, если сторона основания пира-

миды равна 3 2, а боковое ребро рав-но 16.

Ответ:

2. Дана правильная четырёхугольная пи-рамида SABCD с вершиной S. Точка K — середина ребра SA. Найдите рас-стояние от точки K до прямой CD, если площадь сечения пирамиды пло-скостью KCD равна 27, а стороны ос-нования пирамиды равны 6.

Ответ:

3. Дана правильная четырёхугольная пи-рамида SABCD с вершиной S. Точки K и L — середины рёбер SA и SB со-ответственно. Точка O — точка пере-сечения диагоналей основания пира-миды. Высота пирамиды равна 15, а сторона основания равна 16. Най-дите площадь сечения, проходящего через точки O, K и L.

Ответ:

132 Простейшие тригонометрические уравнения


1. Решите уравнение cos px = 0. В ответе укажите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:

2. Решите уравнение cos px = 1. В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения.

Ответ:

3. Решите уравнение cos 2px = –1. В ответе укажите наибольший отрицательный ко-рень уравнения.

Ответ:

4. Решите уравнение sin .px4

0= В ответе укажите наименьший положительный корень

уравнения.

Ответ:

5. Решите уравнение sin px = 1. В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения.

Ответ:

1336. Решите уравнение sin – .px7

1= В ответе укажите наибольший отрицательный корень

уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение cos .px6

32

= В ответе укажите наименьший положительный ко-

рень уравнения.

Ответ:

8. Решите уравнение sin – .px18

32

= В ответе укажите наименьший положительный ко-


Ответ:

9. Решите уравнение cos – , .px12

0 5= В ответе укажите наибольший отрицательный ко-


Ответ:

10. Решите уравнение sin – , .px6

0 5= В ответе укажите наибольший отрицательный ко-


Ответ:


1. В основании пирамиды лежит прямо-угольник со сторонами 30 и 14. Боко-вые рёбра пирамиды равны 25. Най-дите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ:

2. В правильной шестиугольной пирамиде стороны основания уменьшили в 4 раза, а высоты боковых граней, проведённые к ним, не изменились. Во сколько раз уменьшилась площадь боковой поверх-ности пирамиды?

Ответ:

3. В основании пирамиды SABC ле-жит треугольник ABC, у которого АС = ВС = 5, АВ = 6. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости осно-вания и равно 3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ:


1. Решите уравнение tg =px8

0. В ответе укажите наибольший отрицательный корень

уравнения.

Ответ:


1. В ответе укажите наименьший положительный корень

уравнения.

Ответ:


1– . В ответе укажите наибольший отрицательный корень

уравнения.

Ответ:



уравнения.

Ответ:



уравнения.

Ответ:

6. Решите уравнение tg =px

24

1


уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение tg =px

12

1


уравнения.

Ответ:

136 8. Решите уравнение ctg =px8


уравнения.

Ответ:

9. Решите уравнение ctg =px16

1. В ответе укажите наибольший отрицательный корень

уравнения.

Ответ:

10. Решите уравнение ctg =px32

1– . В ответе укажите наименьший положительный ко-


Ответ:


1. Найдите боковое ребро правильной тре-угольной пирамиды, зная, что оно со-ставляет с плоскостью основания

угол 30�, а объём пирамиды равен 6 3.

Ответ:

2. Найдите объём правильной треуголь-

ной пирамиды с боковым ребром 3 2, если боковое ребро составляет с при-лежащей стороной основания угол 60�.

Ответ:

1373. В основании пирамиды лежит прямо-угольный треугольник с катетами 6 и 8. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45�. Найдите объём пирамиды.

Ответ:

Неравенства. Общие сведения о неравенствах. Метод интервалов


1. Маша сказала, что написанное на доске неравенство имеет менее 8 целочисленных решений, а Даша — что менее 9. Учитель ответил, что права только одна из них. Сколько целочисленных решений имеет это неравенство?

Ответ:

2. Маша сказала, что написанное на доске неравенство имеет менее 9 целочисленных решений, Даша — что менее 8, а Глаша — что менее 7. Учитель ответил, что права только одна из них. Сколько целочисленных решений имеет это неравенство?

Ответ:

3. Перед хоккейным матчем Витя сказал, что будет заброшено не менее 12 шайб, а Ваня — что не более 10. Сколько шайб было заброшено, если и Витя, и Ваня ошиб-лись?

Ответ:

4. Определите, сколько шайб было заброшено в ворота команды «Рубин», если авто-голов не было и из следующих четырёх утверждений о результате матча хоккейных команд «Рубин» и «Алмаз» три истинны, а одно нет:

1) выиграл «Алмаз»; 2) матч закончился вничью; 3) в матче было заброшено

11 шайб; 4) «Рубин» забросил больше

4 шайб.

Ответ:

138 5. Определите, сколько шайб было заброшено в ворота команды «Запад», если авто-голов не было и из следующих пяти утверждений о результате матча хоккейных команд «Восток» и «Запад» четыре истинны, а одно нет:

1) выиграл «Восток»; 2) выиграл «Запад»; 3) «Восток» забросил больше

4 шайб; 4) «Запад» забросил больше

3 шайб; 5) в матче было заброшено

10 шайб.

Ответ:

6. Из пяти следующих утверждений о результатах матча (автоголов не было) хоккей-ных команд «Угольник» и «Циркуль» три истинны, а два нет:

1) выиграл «Угольник»; 2) «Циркуль» забросил 6 шайб; 3) матч закончился вничью; 4) всего в матче было заброшено

15 шайб; 5) выиграл «Циркуль».

Определите, с каким счётом за-кончился матч, и укажите побе-дителя (в том случае, если матч завершился победой одной из ко-манд).

7. Определите, сколько шайб было заброшено в ворота команды «Каштангенс», если автоголов не было и из следующих шести утверждений о результате матча хоккей-ных команд «Апельсинус» и «Каштангенс» четыре истинны, а два нет:

1) выиграл «Каштангенс»; 2) выиграл «Апельсинус»; 3) матч закончился вничью; 4) в матче было заброшено

12 шайб; 5) «Каштангенс» забросил боль-ше 4 шайб; 6) «Апельсинус» забросил боль-ше 6 шайб.

Ответ:

8. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если из следующих четырёх утверждений о нём истинно только одно:

1) сумма углов многоугольника меньше 500�;

2) сумма углов многоугольника меньше 600�; 3) сумма углов многоугольника меньше 700�; 4) сумма углов многоугольника меньше 800�.

Ответ:

1399. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если из следующих четырёх утверждений о нём истинны ровно два: 1) сумма углов многоугольника меньше 400�; 2) сумма углов многоугольника меньше 600�; 3) сумма углов многоугольника меньше 800�; 4) сумма углов многоугольника меньше 1000�.

Ответ:

10. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если из следующих четырёх утверждений о нём истинны только три: 1) сумма углов многоугольника меньше 300�; 2) сумма углов многоугольника меньше 500�; 3) сумма углов многоугольника меньше 700�; 4) сумма углов многоугольника меньше 900�.

Ответ:


1. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, в основании которой ле-жит равнобедренный треугольник АВС

и АС = ВС = 23. Найдите косинус угла А1ВС1, если боковое ребро АА1 и

сторона основания АВ равны 2.

Ответ:

2. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, рёбра основания которой вдвое больше боковых рёбер. Найдите тангенс угла ВС1 А1.

Ответ:

3. Дана наклонная призма ABCA1B1C1, в основании которой лежит правильный треугольник АВС. Проекция точки А1 на плоскость АВС лежит на середине высоты АН треугольника АВС. Най-дите тангенс угла между плоскостя-ми АВС и АВ1С1, если боковое ребро равно 5, а высота призмы равна 3.

Ответ:


1. Найдите множество решений некоторого неравенства, если из трёх следующих утверждений два истинны, а одно нет: 1) множеством решений этого неравенства является интервал (–7; 10); 2) множеством решений этого неравенства является интервал (–8; 11); 3) число 10 является решением этого неравенства.

2. Найдите целое число a, если из двух следующих утверждений верно только одно:

1) a < –17; 2) a < –18.

Ответ:

3. Какие целые значения может принимать переменная a, если из двух следующих утверждений верно только одно:

1) a � (–5; 6); 2) a � (–7; 7)?

4. Какие целые значения может принимать переменная a, если из двух следующих утверждений верно только одно:

1) – – ;113

1 119

a 2) – – ?

112

1 117

a

5. Укажите номера тех неравенств, которые не имеют положительных решений:

1) (x – 3)2 (x + 2) 0; 2) x2 – 8x + 16 0; 3) 11x3 + 7x2 + 13x 0; 4) x2 + 432x – 4321 < 0; 5) x2 – x + 432 0.

В ответе запишите в порядке возрастания номе-ра правильных ответов без пробелов, запятых и других символов. Ответ:

1416. Укажите номер верного утверждения. Неравенство 13(x – 5)(x – 6) � 6(x – 5)(x – 6):

1) не имеет решений; 2) справедливо только при x = 5 или x = 6; 3) справедливо при любом действи-тельном x; 4) справедливо при всех x � [5; 6]; 5) справедливо при всех x � (–∞; 5] � [6; +∞). Ответ:

7. Укажите номер верного утверждения. Система неравенств

x

x x� 21

15 10 4 013 10

,– – :>

мно

1) не имеет решений; 2) не имеет положительных решений; 3) не имеет отрицательных решений; 4) имеет и отрицательные, и положи-тельные решения; 5) выполняется при любом действительном x. Ответ:

8. Укажите номер верного утверждения.

Система неравенств x xx

3 22 3 04

+ +мно

< ,– :�

1) не имеет решений; 2) имеет только отрицательные реше-ния; 3) имеет только положительные реше-ния; 4) имеет и отрицательные, и положи-тельные решения; 5) выполняется при любом действительном x. Ответ:


Неравенство 7

86

8x x– –< :

1) не имеет решений; 2) справедливо при всех x � 8; 3) справедливо при любом действи-тельном x; 4) справедливо только при x > 8; 5) справедливо только при x < 8. Ответ:

10. Решите неравенство (x – 6)(x + 2)2 � 0.

142 11. Решите неравенство (x + 1)(x + 2)3(x + 5)4(x + 6)5 � 0.

12. Решите неравенство (x2 – 5x + 4)(x + 2)2 � 0.


1. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, в основании которой ле-жит треугольник АВС с прямым углом С. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точку С1 перпендикулярно ребру АВ, если катеты основания равны 12 и 16, а высота призмы равна 5.

Ответ:

2. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки А1, С1 и середины рёбер АВ и ВС, если стороны основания равны 6, а бо-

ковое ребро равно 372

.

Ответ:

3. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник АВС с прямым углом С. Найдите площадь сечения призмы пло-скостью, проходящей через точки А, В

и С1, если катеты основания равны 2 3

и 2 6 , а высота призмы равна 17 .

Ответ:

143Линейные неравенства Домашняя (зачётная) работа 57

5. Решите неравенство 4(3x – 4) – 3(4x – 3) � 1 – 5x.

6. Найдите наименьшее целое решение неравенства 3x + 4 > –5(3 + x) – x.

Ответ:

7. Укажите множество решений неравенства 8x – 8 > 7x + 6.

1) (–∞; 14) 2) (14; +∞)3) (–2; +∞) 4) (–∞; –2)

Ответ:

8. Укажите множество решений неравенства 3 – x � 3x + 5.

Ответ:

9. Какие из чисел являются реше-ниями неравенства

4(2 – x) + 15 > 3 + 6x?

1) –8 2) 1 3) 2 4) 4

В ответе укажите номера выбран-ных ответов в порядке возраста-ния без запятых, пробелов и дру-гих дополнительных символов.

1. Решите неравенство 5x > 20. 2. Решите неравенство –7x � 49.

3. Решите неравенство 21 + 3x � 0. 4. Решите неравенство 3x – 8 � 8x – 3.

Ответ:

144 Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений, отмеченных на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

Неравенство Множество решений

А) 6x + 12 � 0

Б) 6 – 15x � 0

В) 3x – 12 � 9x

Г) 6x – 6 � –9x


1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB = 6, AD = 6, AA1 = 2. Найдите косинус угла между прямыми ВС1 и CD1.

Ответ:

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 биссектриса угла DBD1 пересекает ребро DD1 в точке Е. Най-дите угол AED, если DE : ED1 = 1 : 2,

AB = 2 , а ВВ1 = 3. Ответ дайте в

градусах.

Ответ:

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1D1 и BA1C1. В ответе запишите косинус этого угла, умноженный на 6.

Ответ:


1. При каких значениях a выражение 2a + 7 принимает только отрицатель-ные значения?

1) a > –27 2) a > –

72

3) a < –27 4) a < –

72 Ответ:

10.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой со-ответствующий номер решения.


1452. При каких значениях x значение вы-ражения 4x + 8 меньше значения вы-ражения 6x – 6?

1) x < 7 2) x > 7 3) x < –1 4) x > –1

Ответ:

3. На каком рисунке изображено множество решений неравенства –9 + 5x < 6 – 4(x – 3)?

Ответ:

4. Укажите решение неравенства 1 � 2x + 5 � 29.

1) [–2; +∞) 2) [–12; 2] 3) [–2; 12] 4) 12

Ответ:

5. Укажите множество решений системы неравенств x

x<

>9

8 0,

– .мно

Ответ:

6. Укажите множество решений системы неравенств – ,

– .9 3 0

2 3 10+м

но

xx

<< –

Ответ:

7. Укажите множество решений системы неравенств ––

8 2 015 3 6

+мно

xx�

�,

– .

1) (–7; 4) 2) [–4; 7] 3) (–∞; –7] � [4; +∞) 4) [–7; 4]

Ответ:

146 8. Решите двойное неравенство 5x – 4 � 5 – 4x � 4 – 5x.

9. Каждое из четырёх неравенств в правом столбце получено после преобразований од-ного из неравенств в левом столбце. Установите соответствие между неравенствами.


А) 2x – 10 � 0Б) 2 + 10x � 0В) 3x – 12 � 5x – 22Г) 5(x + 2) � 8 – 5x

1) x � –0,2 2) x � –0,23) x � 54) x � 5

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

10. Каждое из четырёх неравенств в правом столбце получено после преобразований од-ного из неравенств или системы неравенств в левом столбце. Установите соответствие между неравенствами.


А) x

x––

4 32 5 12

< ,<

мно

Б) –2 < 4x + 26 < 34

В) 3x – 12 � 23 – 2x

Г) 3 17 115 2 13

xx

+мно

> ,<–

1) x < 7

2) –2 < x < 7

3) x > –2

4) –7 < x < 2





1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 рав-на 29, ребро AA1 равно 21. Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, С и С1.

Ответ:

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка K делит реб-ро СС1 в отношении 2 : 1, считая от вершины С. Найдите площадь сече-ния, проходящего через точки A1, В1 и K, если AB = 7, AD = 4, AA1 = 9.

Ответ:

3. В правильной четырёхугольной приз-ме ABCDA1B1C1D1 боковое ребро AA1

равно 2 6 , а сторона основания рав-на 4. Найдите площадь сечения приз-мы плоскостью, проходящей через точ-ки А, В1 и D1.

Ответ:

Квадратные неравенства


1. Укажите множество решений неравенства x2 > 25.

Ответ:

2. Укажите множество решений неравенства x2 � 81.

Ответ:

148 3. Укажите множество решений неравенства x2 – 64 > 0.

1) (–∞; +∞) 2) (–8; 8)3) (–∞; –8) � (8; +∞)4) нет решений

Ответ:

4. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) x2 + 78 > 0 2) x2 – 78 < 0 3) x2 + 78 < 0 4) x2 – 78 > 0

Ответ:

5. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) x2 – 56 > 0 2) x2 + 56 > 0 3) x2 – 56 < 0 4) x2 + 56 < 0

Ответ:

6. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке.

1) x2 – 9 > 0 2) x2 + 9 > 0 3) x2 – 9 < 0 4) x2 + 9 < 0

Ответ:

7. Укажите множество решений неравенства 5x – x2 � 0.

Ответ:


1) x2 – 2x > 0 2) x2 + 2x < 0 3) x2 + 2x > 0 4) x2 – 2x < 0

Ответ:

9. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств ре-шений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множества-ми их решений.


А) x2 + 36 > 0Б) x2 – 6x � 0В) x2 – 36 > 0Г) x2 + 6 � 0

1) (–∞; +∞)2) [0; 6] 3) (–∞; –6) � (6; +∞)4) нет решений

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств ре-шений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множества-ми их решений.


А) 7x – x2 < 0Б) (x + 7)2 � 0В) x2 – 49 � 0Г) x2 + 7 > 0

1) (–∞; +∞)2) (–∞; 0) � (7; +∞) 3) [–7; 7]4) {–7}



10.




1. Сумма длин всех рёбер куба рав-на 36. Найдите площадь его по-верхности.

Ответ:

2. Каждая грань параллелепипеда представляет собой ромб с диагона-лями 3 и 4. Найдите площадь по-верхности этого параллелепипеда.

Ответ:

3. На рисунке изображена прямая призма. Найдите площадь её полной поверхности, если все двугранные углы прямые, а числа на рисунке означают длины соответствующих рёбер.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравенства 64x2 > 36.

Ответ:

2. Укажите множество решений неравенства 49x2 � 9.

Ответ:

1513. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x2 + 9x + 20 � 0?

Ответ:


1) x2 – 5x + 13 > 0 2) x2 – 5x – 13 > 0 3) x2 – 5x – 13 < 0 4) x2 – 5x + 13 < 0

Ответ:


1) x2 + x – 56 � 0 2) x2 – x – 56 � 0 3) x2 + x + 56 � 0 4) x2 – x + 56 � 0

Ответ:

6. Укажите множество решений не-равенства x2 – 12x + 32 � 0.

1) (–∞; 4) � (8; +∞) 2) [4; 8]3) [4; +∞) 4) (–∞; 8]

Ответ:

152 7. Укажите множество решений не-равенства x2 + 2x > 63.

1) (–∞; 7) 2) (–9; +∞)3) (–∞; –9) � (7; +∞) 4) (–9; 7)

Ответ:

8. Укажите неравенства, решением которых является любое число. В ответ запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) x2 + x + 89 > 0 2) x2 + 16x + 64 � 03) x2 – 9x + 14 < 0 4) x2 – 4x + 72 � 0 Ответ:



А) x2 + 2x – 24 > 0Б) x2 + 5x – 24 < 0В) x2 + 5x + 24 < 0Г) x2 – 2x – 24 > 0

1) нет решений2) (–∞; –4) � (6; +∞) 3) (–8; 3) 4) (–∞; –6) � (4; +∞)

10. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств реше-ний в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.


А) x2 – 11x + 18 � 0Б) x2 + 9x + 18 � 0В) x2 + 7x – 18 > 0Г) x2 – 3x – 18 < 0

1) (–∞; 2] � [9; +∞)2) (–∞; –9) � (2; +∞) 3) [–6; –3] 4) (–3; 6)

Впишите в приведённую в от-вете таблицу под каждой бук-вой соответствующий номер решения.


Впишите в приведённую в от-вете таблицу под каждой бук-вой соответствующий номер решения.


153


1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Пло-щадь её боковой поверхности рав-на 288. Найдите объём призмы.

Ответ:

2. Найдите объём многогранника, вер-шинами которого являются точки А, B, C, A1, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

Ответ:

3. На рисунке изображена прямая призма. Найдите её объём, если все двугранные углы прямые, а числа на рисунке означают длины соответствующих рёбер.

Ответ:


1. Решите неравенство 3x2 – 8x � 0. 2. Решите неравенство 49x2 – 16 � 0.

154

9. Решите двойное неравенство 4x2 – 5x – 14 � 3x2 – 5x + 2 � 4x2 – 5x – 7.

Решите систему неравенств x xx

2 7 6 00 7 4 2

+ +–

��

,, , .

мно

3. Решите неравенство 42

64� x . 4. Решите неравенство 7

445

2x x� .

10.

5. Решите неравенство x2 – 17x + 16 � 0.

6. Решите неравенство 5x2 + 9x – 2 < 0.

7. Решите неравенство 6x2 + x – 15 > 0.

8. Решите неравенство (5x – 4)2 � (4x – 5)2.


1. Шар пересечён плоскостью на расстоя-

нии 5 2 от центра. Найдите диаметр шара, если радиус сечения равен рас-стоянию от сечения до центра.

Ответ:

2. Куб вписан в шар. Найдите ребро куба,

если радиус шара равен 7 3 .

Ответ:

3. Шар пересечён двумя параллельны-ми плоскостями так, что расстояние от центра шара до первой плоскости равно 9, а до второй 3. Найдите ради-ус первого сечения, если известно, что радиус второго в 3 раза больше.

Ответ:


1. Найдите наибольшее целое решение

неравенства 49

4 49

x < .

2. Решите неравенство x + 4(0,6x – 4) � 1 + 3(0,8x – 3).

3. Решите неравенство 11x � 4x2. 4. Решите неравенство 49 < 36x2.

156

7. Решите систему неравенств 5 4 3 3 4 5 8 9

24

42

35

53

( ) ( ) ,

.

x x xx x x x

+ – + +

+ ++ + + +

�

�

мнп

оп

8. Решите систему неравенств 316 9

2

2

x xx> ,

.<

мно

9. Решите систему неравенств 4 5 1 04 7 3 0

2

2

x xx x

– +– +

��

,.

мно

5. Решите неравенство 2x2 – 101x + 50 < 0.

6. Решите неравенство 3x + 2 � 5x2 – 9x + 6 � 13x – 2.

157 Даны неравенства: x2 + 0,5x � 10,5 (1) и 3,5 > x2 + 2,5x (2).

а) Решите неравенство (1). б) Решите неравенство (2).

в) Найдите все решения неравенства (1), не являющиеся решениями нера-венства (2).


1. Площадь поверхности шара равна 36. Найдите площадь большого круга ша-ра.

Ответ:

2. В куб объёмом 12p вписан шар. Найди-

те объём шара.

Ответ:

3. Шар пересечён плоскостью так, что радиус сечения в пять раз меньше ра-диуса шара. Найдите длину окружно-сти большого круга шара, если длина окружности сечения равна 13.

Ответ:

Простейшие дробно-рациональные неравенства


1. Укажите неравенство, множество решений которого совпадает с множеством решений неравен-

ства 14

0x +

> .

1) x < 4 2) x < 14

3) x > –4 4) x > –14

Ответ:

10.

158 2. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке.

1) 12

0x –

> 2) 12

0x –

<

3) 12

0x +

> 4) 1

20

x + <

Ответ:

3. Найдите множество решений неравенства x

x––

58

0< .

1) (–∞; 5) 2) (8; +∞) 3) (5; 8) 4) (–∞; 5) � (8; +∞)

Ответ:

4. Определите, какие числа являются решениями неравенства 6

3 90

x –� .

1) 4 2) 3 3) –4 4) 10

В ответе укажите выбранные номера в порядке возрастания без запятых, пробелов и прочих символов.

Ответ:

5. Найдите множество решений неравенства x

x––

13

0< .

Ответ:

1596. Укажите неравенство, множеством решений которого является (–∞; 2] � (6; +∞).

1)xx

––

26

0< 2)xx

––

26

0> 3)xx

––

26 0� 4)

xx

––

26

0�

Ответ:

7. Найдите множество решений неравенства xx

+ 17

0–

� .

1) (–7; 1] 2) [–1; 7) 3) (–∞; –1] � (7; +∞)4) (–∞; –7) � [1; +∞)

Ответ:

8. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.


А) 12

0x –

� 1) 2 � x < 9

Б) xx

––

92

0� 2) 2 < x � 9

В) xx

––

29

0� 3) x > 2

Г) 19

0x –

� 4) x < 9

9. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств ре-шений, изображённых на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.


А) ( – )–

xx

18

20>

Б)xx

––

18

0<

В)( – )

–xx

18

2

0�

Г) xx

––

18

0�

Впишите в приведённую в отве-те таблицу под каждой буквой со-ответствующий номер решения.




160

Решите систему неравенств 19

4 2520

2 5 0x

x–

,

– .

>

<

мнп

оп


1. Найдите радиус основания цилиндра, диагональ осевого сечения и высота которого равны соответственно 13 и 5.

Ответ:

2. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите диагональ этого се-чения, если площадь основания ци-линдра равна 32p.

Ответ:

3. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания — 25. Найдите площадь се-чения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 7 от неё.

Ответ:

Решите неравенство 4

2 30

x + � . 11. Решите неравенство 9

9 42 0x –

< . 10.

12.


1. Укажите неравенство, множество решений которого совпадает с множеством решений


21

x +< .

1)1

20

x + < 2)1

20

x +> 3)

xx + 2

1> 4)xx

––

82

0>

Ответ:

2. Найдите множество решений неравенства 5

31

x ––> .

Ответ:


неравенства xx

xx

++ +

43

23

>–

.

1) 23

0x +

< 2) 2 13

0xx

+–

< 3) –113

0x +

< 4) 13

0x –

<

Ответ:



31

4x x+ +> .

1)1

3 40

( )( )x x+ +< 2)

13 4

0( )( )x x+ +

> 3)1

30

x +> 4)

14

0x +

<

Ответ:

162

5. Найдите множество решений неравенства 3

22

1x x+<

–.

1) (–2; 1) � (7; +∞) 2) (–∞; –2) � (1; 7) 3) (–∞; –2) � (1; +∞) 4) (–2; 1)

Ответ:

6. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств ре-шений, изображённых на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.


А)1

71

– x>

Б)1

71

– x<

В)1

71

––

x>

Г) 17

1– x

< –





А) –9

6xx+ � 1) [–1; 3) � [4; +∞)

Б) 43x

x–

� 2) (–∞; –6) � {–3}

В) –9

6xx+ � 3) (–∞; –1] � (3; 4]

Г) 43x

x–

� 4) (–6; +∞)

8. Решите неравенство 43 4

53 4x x+ +� . 9. Решите неравенство 2

4 33

3 4x x– –> .

Решите неравенство 5

24

2x x x x( – ) ( – )> . 11. Решите неравенство

34

1x –

� .10.




1. Цилиндр вписан в шар так, что ради-ус шара равен высоте цилиндра. Най-дите радиус основания цилиндра, если

радиус шара равен 8 3.

Ответ:

2. Длина окружности основания цилин-дра равна 12, высота равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилин-дра.

Ответ:

3. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите радиус цилиндра, если площадь боковой поверхности ци-линдра 196p.

Ответ:

Простейшие показательные неравенства



1) 5x < 0 2) 5x < 1 3) 5x > 1 4) 5x > 0

Ответ:

2. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) 3x � 1 2) 3x � 1 3) 3x � 0 4) 3x � 0

Ответ:

3. Решите неравенство 7x < 1.

1) (–∞; 1) 2) (–∞; 0) 3) (1; +∞) 4) (0; +∞)

Ответ:

4. Решите неравенство 4x � 4.

1) [1; +∞) 2) [4; +∞) 3) (–∞; 4] 4) (–∞; 1]

Ответ:


3жиз

цшч

x

> .

1) (–∞; 1) 2) (1; +∞)3) (–∞; –1) 4) (–1; +∞)

Ответ:

6. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

А) 5x � 5 Б) 15

15

жиз

цшч

x

� В) 15

5жиз

цшч

x

� Г) 515

x �

1) [1; +∞) 2) [–1; +∞) 3) (–∞; 1] 4) (–∞; –1]


7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 3x < 1?

Ответ:

8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 5x � 5?

Ответ:

9. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 17

7жиз

цшч

x

� ?

Ответ:


166 Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

А) 12

2жиз

цшч

x

� Б) 12

12

жиз

цшч

x

� В) 2x � 2 Г) 212

x �



1. Образующая конуса наклонена к пло-скости основания под углом 30�. Най-дите образующую, если высота конуса равна 3.

Ответ:

2. Площадь основания конуса равна 16p, площадь осевого сечения — 12. Най-дите высоту конуса.

Ответ:

3. Осевым сечением конуса является пря-моугольный треугольник площадью 36. Найдите высоту конуса.

Ответ:


1. Решите неравенство 2x > 16.

1) (–∞; 8) 2) (–∞; 4) 3) (4; +∞) 4) (8; +∞)

Ответ:


25x � .

1) (–∞; –2] 2) [–2; +∞) 3) (–∞; 2] 4) [2; +∞)

Ответ:

10.


167


А) 319

x � Б) 13

19

жиз

цшч

x

� В) 3x � 9 Г) 13

9жиз

цшч

x

�

1) [–2; +∞) 2) [2; +∞) 3) (–∞; 2] 4) (–∞; –2]


6. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 7x � 49?

Ответ:

7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 4 164

x > ?

Ответ:


16жиз

цшч

x

� ?

Ответ:


127

жиз

цшч

x

� .

1) (–∞; 9] 2) (–∞; 3]3) [3; +∞) 4) [9; +∞)

Ответ:

4. Решите неравенство 8x > 2.

1) 13; +ж

из

цшч 2) –; 1

3жиз

цшч

3) (3; +∞) 4) (–∞; 3)

Ответ:


168 9. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 25x � 5?

Ответ:

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

А) 12

32жиз

цшч

x

< Б) 12

132

жиз

цшч

x

< В) 2x < 32 Г) 2 132

x <



1. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если ра-диус его основания увеличится в 5 раз, а образующая увеличится в 3 раза?

Ответ:

2. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Найдите высоту конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 24p.

Ответ:

3. Образующая конуса наклонена к ос-нованию под углом 60�. Найдите пло-щадь полной поверхности конуса, если площадь основания равна 41.

Ответ:

10.


169Простейшие логарифмические неравенства



А) log2x < 1 Б) log2x < 0 В) log2x > 1 Г) log2x > 0

1) (0; 1) 2) (2; +∞) 3) (0; 2) 4) (1; +∞)


6. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log8x � 0?

Ответ:

1. Решите неравенство log3x � 0.

1) [1; +∞) 2) [3; +∞)3) (0; 1] 4) (0; 3]

Ответ:

2. Решите неравенство log7x > 1.

1) (0; 7) 2) (7; +∞) 3) (0; 1) 4) (1; +∞)]

Ответ:


1) [1; +∞) 2) (0; 1]3) [0; 1] 4) (–∞; 1]

Ответ:

4. Решите неравенство log3x < 1.

1) (1; 3) 2) (3; +∞)3) (0; 3) 4) (–∞; 3)

Ответ:


170 7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log4x > 1?

Ответ:


Ответ:

9. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log6x < 1?

Ответ:

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

А) log3x � 0 Б) log3x � 1 В) log3x � 0 Г) log3x � 1



1. Найдите радиус основания цилиндра, объём которого равен 192p, а высо-та — 3.

Ответ:

10.


1712. Площадь основания цилиндра рав-на 13, высота — 5. Найдите объём цилиндра.

Ответ:

3. В цилиндре проведено сечение, парал-лельное основаниям и делящее высоту на два отрезка длиной 5 и 2, считая от верхнего основания. Найдите объём верхнего отсечённого цилиндра, если объём всего цилиндра равен 49.

Ответ:



А) log 13

1x � Б) log3x � –1 В) log –13

1x � Г) log3x � 1

1) (0; 3] 2) 0 13

;жиз

щыъ

3) 13; +й

лкцшч 4) [3; +∞)


3. Решите неравенство log –12

5x � .

1) (0; 32] 2) (0; 10]3) [10; +∞) 4) [32; +∞)

Ответ:

4. Решите неравенство log813

x � .

1) [0; 2] 2) (0; 2]3) (–∞; 2] 4) [2; +∞)

Ответ:


1) [0; 4] 2) [0; 2]3) (0; 2] 4) (0; 4]

Ответ:

2. Решите неравенство log 15

0x < .

1) (0; 1) 2) (0; 5)3) (1; +∞) 4) (5; +∞)

Ответ:


172


Ответ:

7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log 13

0x � ?

Ответ:

8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log –15

2x � ?

Ответ:

9. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log1614

x > ?

Ответ:

173 Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

А) log –15

1x < Б) log5x < –1 В) log 15

1x < Г) log5x < 1



1. Во сколько раз увеличится объём ко-нуса, если радиус его основания уве-личится в 1,2 раза, а высота останется прежней?

Ответ:

2. Осевым сечением конуса является рав-нобедренный прямоугольный треуголь-ник, площадь которого равна 81. Най-дите объём V конуса. В ответе укажи-

те Vp

.

Ответ:

3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём ша-ра равен 28. Найдите объём конуса.

Ответ:

10.


174МОДУЛЬ «ФУНКЦИИ»

Функция. График функции.Возрастание, убывание, точки максимума,минимума, наибольшие, наименьшие значения функции. Чтение графиков функций


На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–5; 12).

С помощью рисунка ответьте на следующие вопросы.

1. Найдите значение функции f(x) в точке x = 5. Ответ:

2. Определите количество точек, в которых функ-ция f(x) принимает значение, равное 1. Ответ:

3. Укажите наибольшую из абсцисс точек, в кото-рых функция f(x) принимает значение 0. Ответ:

4. Каково наибольшее значение функции f(x)? Ответ:

5. Каково наименьшее значение функ ции f(x) на отрезке [–2; 1]? Ответ:

6. В какой точке на отрезке [4; 10] значение функ-ции f(x) наибольшее? Ответ:

7. На рисунке отмечено 8 точек: A, B, C, D, E, F, G и H. В какой из них функция f(x) принимает значение, равное –2:

1) C; 2) D; 3) E; 4) F; 5) G; 6) H? Ответ:

8. На рисунке отмечено 8 точек: A, B, C, D, E, F, G и H. В какой из них значение функции f(x) наибольшее:

1) A; 2) B; 3) C; 4) D; 5) E; 6) F? Ответ:

1759. На рисунке отмечено 8 точек: A, B, C, D, E, F, G и H. В скольких из них значение функ-ции f(x) больше 2,5? Ответ:

10. На рисунке отмечено 8 точек: A, B, C, D, E, F, G и H. В каких из них функция f(x) принима-ет отрицательные значения? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов:

1) C; 2) D; 3) E; 4) F; 5) G; 6) H. Ответ:


1. Радиус основания первого конуса в 2 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая перво-го конуса в 3 раза больше, чем обра-зующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности второго конуса, если площадь боковой поверхности первого равна 12?

Ответ: 2. Цилиндр описан около правильной

треугольной призмы, сторона основа-ния и высота которой равны соответ-

ственно 2 3 и 1p

. Найдите площадь

боковой поверхности цилиндра.

Ответ:

3. Найдите площадь боковой поверхно-сти цилиндра, вписанного в правиль-ную шестиугольную призму, сторона

основания которой равна 2 3 , а высо-

та равна 3p

.

Ответ:




176 1. В скольких точках функция f(x) принимает значение, равное 1?

Ответ:

2. Каково наименьшее значение функ-ции f(x)?

Ответ:

3. В какой точке функция f(x) прини-мает наибольшее значение?

Ответ:

4. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. В скольких из них значение функции f(x) боль-ше 2?

Ответ:

5. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. Какие из них являются точками экс-тремума функции f(x)? Запиши-те номера правильных ответов в порядке возрастания без пробе-лов, запятых и других символов.1) B; 2) C; 3) D; 4) G; 5) H; 6) I.

Ответ:

6. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. Какие из них являются точками максимума функции f(x)? Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.1) A; 2) B; 3) C; 4) E; 5) G; 6) I.

Ответ:

7. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. Какие из них являются точками ми-нимума функции f(x)? Запиши-те номера правильных ответов в порядке возрастания без пробе-лов, запятых и других символов.1) A; 2) B; 3) D; 4) F; 5) G; 6) H.

Ответ:

8. На рисунке отмечено 9 точек. На каких из перечисленных ниже от-резков функция f(x) монотонна? Запишите номера правильных отве-тов в порядке возрастания без про-белов, запятых и других символов. 1) [A; B]; 2) [B; E]; 3) [E; F]; 4) [F; G]; 5) [G; I].

Ответ:

9. На рисунке отмечено 9 точек. На каких из перечисленных ниже от-резков функция f(x) убывает? Запи-шите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов. 1) [G; H]; 2) [E; F]; 3) [A; B]; 4) [B; C]; 5) [C; D].

Ответ:

10. На рисунке отмечено 9 точек. На каких из перечисленных ниже от-резков функция f(x) возрастает? За-пишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробе-лов, запятых и других символов. 1) [A; B]; 2) [B; C]; 3) [D; E]; 4) [F; G]; 5) [H; I].

Ответ:


1. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 3 : 4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная ос-нованию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоско-

стью, равен 277

. Ответ:

1772. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости до-

стигает 12

высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Най-

дите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

Ответ:

3. Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 18. Найдите объём треугольной пирамиды АВСА1.

Ответ:

Графики тригонометрических функцийДомашняя (зачётная) работа 71

1. На рисунке изображён график функции y = sin x.

а) Определите по графику значение sin p. Ответ:

б) Определите по графику значение sin .–p2( ) Ответ:

в) Определите по графику значение sin .–p6( ) Ответ:

г) Определите по графику, в каких из перечис-ленных точек значение функции y = sin x отри-цательно. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) 32p 2) –

32p 3) p

2 4) –

p2

Ответ:

178 д) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) На отрезке – ;56

56

p pйл

щы функция y = sin x убывает.

2) Число 4p является периодом функции y = sin x.

3) Функция y = sin x принимает значение 1 в точках вида pk2

, где k О Z.

4) Функция y = sin x принимает все значения из отрезка [–1; 0].

Ответ:

е) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.1) Число 8p является периодом функции y = sin x.2) Число p не является периодом функции y = sin x.3) Число 3p является периодом функции y = sin x.

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции y = cos x.

а) Определите по графику значение cos p. Ответ:

б) Определите по графику значение cos – .p2( ) Ответ:

в) Определите по графику значение cos – .p3( ) Ответ:

г) Определите по графику, в каких из перечисленных точек значение функции y = cos x отрицательно. Запишите номера правильных ответов в порядке возраста-ния без пробелов, запятых и других символов.

1) p 2) –p 3) 2p 4) –2p Ответ:

д) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) На отрезке p p3

23

;йл

щы функция y = cos x возрастает.

2) Число 5p является периодом функции y = cos x.

3) Функция y = cos x принимает значение 0 в точках вида p p2

+ k, где k О Z.

4) Функция y = cos x принимает все значения из отрезка [0; p].

Ответ:

179 е) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) Число p2

является периодом функции y = cos x.

2) Число 4p является периодом функции y = cos x.3) Число 7p является периодом функции y = cos x.

Ответ:


1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и CD. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и BD. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1С1 и BD. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции y = tg x.

а) Определите по графику значение tg p4

. Ответ:

б) Определите по графику значение tg 34p. Ответ:

в) Определите по графику значение tg 2p. Ответ:

г) Укажите отрезки, на которых функция y = tg x возрастает. Запишите номера пра-вильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) – ; – ;54p pй

лщы 2) – ; – ;3

4 4p pй

лщы 3) 0

4; ;pй

лщы 4) 199

1002p p; .й

лщы

Ответ:

д) Какие из следующих чисел не являются периодом функции y = tg x? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) p4

; 2) p; 3) 32p; 4) 15p. Ответ:

е) В каких из следующих точек значение функции y = tg x отрицательно? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) –2p; 2) – ;p4

3) 56p; 4) 5

4p. Ответ:

1812. На рисунке изображён график функции y = sin x.

а) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) На отрезке – ; –15

732

p pйл

щы

функция y = sin x возрастает.

2) Число 32p является периодом функции y = sin x.

3) Функция y = sin x хотя бы в одной точке принимает значение 1,33.4) График функции y = sin x симметричен относительно начала координат.

Ответ:

б) Определите по графику, в каких из перечисленных точек значение функции y = sin x равно 0. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) –32p 2) –p 3) 5

2p 4) 3p Ответ:

3. На рисунке изображён график функции y = cos x.

а) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) На отрезке – ;23 3p pй

лщы функция y = cos x возрастает.

2) Число 7p является периодом функции y = cos x.

3) На отрезке p p3

23

;йл

щы функция y = cos x убывает.

4) График функции y = cos x симметричен относительно оси ординат.

Ответ:

б) Определите по графику, в каких из перечисленных точек значение функции y = cos x не равно 0. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) –52p 2) –p 3) 7

2p 4) 2p Ответ:


1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BD1 и AC. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BD1 и DC1. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1С1 и CB1. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

График показательной функции


1. На рисунке изображён график функ-ции f(x) = 3x.

а) Найдите значение функции f(x) в точке x = 0.

Ответ:

б) Найдите значение функции f(x) в точке x = 2.

Ответ:

183в) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 3?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 13

?

Ответ:

д) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.1) Функция f(x) принимает каждое отрицательное значение ровно один раз.2) Значение функции f(x) в некоторой точке равно 128.3) Функция f(x) возрастает на отрезке [9; 10].

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции

f xx

( ) .= 13( )

а) Найдите значение функции f(x) в точке x = –1.

Ответ:


Ответ:

в) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 9?

Ответ:

г) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.1) Функция f(x) принимает каждое положительное значение ровно один раз.2) Значение функции f(x) в некоторой точке равно –2.3) Функция f(x) возрастает на отрезке [–10; –7].

Ответ: 3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

А) yx

= 13( ) Б) y x

= –3

В) y = x2 Г) yx

= –1



1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AВ1 и C1С. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВС1 и АD. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми В1D1 и АD. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f(x) = ax.


Ответ:


Ответ:

185в) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 2?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 1?

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции f(x) = ax.а) Найдите значение функции f(x) в точке x = 0.

Ответ:

б) Найдите значение функции f(x) в точке x = –6.

Ответ:

в) В какой точке функция f(x) принимает зна-чение, равное 3?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) принимает зна-чение, равное 1?

Ответ:


А) yx

= 13( ) Б) y = 3x В) y = 0,1x


4. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.1) Функция f(x) = bx убывает на отрезке [0; 2] при 0 < b < 1.2) Функция f(x) = bx убывает на отрезке [–2; 0] при 0 < b < 1.3) Функция f(x) = bx убывает на отрезке [0; 2] при b > 1.

Ответ:


1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1В и В1С. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1В и В1D1. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1В и АD1. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

График логарифмической функции


1. На рисунке изображён график функ-ции f(x) = log2 x.


Ответ:

187б) Найдите значение функции f(x) в точке x = 2.

Ответ:

в) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 0?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное 2?

Ответ:

д) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) Функция f(x) не принимает значение 0.2) Значение функции f(x) в некоторой точке равно 10.3) Функция f(x) убывает на отрезке [2; 3].

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции f x x( ) log .= 13


Ответ:


Ответ:

в) В какой точке функция f(x) прини-мает значение, равное 0?

Ответ:

г) Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) Функция f(x) не принимает отрицательных значений.

2) Значение функции f(x) в некоторой точке равно – .12

3) Функция f(x) возрастает на отрезке 12

1; .йл

щы

Ответ:

188 3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

А) y = log3 x Б) y = 3x В) yx

= –3 Г) y x

=3




1 415

34

+ + .

Ответ:

2. Найдите значение выражения (13,6 – 4,6) 3,1.

Ответ:


1 98 4 , .+

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f(x) = loga x.


Ответ:

189б) Найдите значение функции f(x) в точке x = 9.

Ответ:

в) В какой точке функция f(x) прини-мает значение, равное 0?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) прини-мает значение, равное 2?

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции f(x) = loga x.


Ответ:


Ответ:

в) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное –2?

Ответ:

г) В какой точке функция f(x) принимает значение, равное –6?

Ответ:


А) y = log0,2 x Б) y x= log13

В) y = log3 x Ответ: А Б В

4. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.

1) Функция f(x) = logb x убывает на отрезке [5; 8] при b > 1.2) Функция f(x) = logb x убывает на отрезке [5; 8] при 0 < b < 1.

3) Функция f(x) = logb x убывает на отрезке 18

12

;йл

щы при b > 1.

Ответ:



170

– , .( ) :

Ответ:

2. Найдите значение выражения 1,2 : 0,6 1,5.

Ответ:


34

2 26– .( )

Ответ:

Прямая. Угловой коэффициент прямой.График линейной функции


1. На рисунке изображён график функции y = 1,5x + 2.а) Определите значение функции в нуле.

Ответ:

б) Определите значение функции при x = 2.

Ответ:

в) При каком значении x функция принимает значение –4?

Ответ:

1912. На рисунке изображён график функции y = ax + b.а) Найдите y(2).

Ответ:

б) При каком значении x функция принимает значение 3?

Ответ:

в) Найдите b. Ответ:

г) Найдите a. Ответ:

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их за-дают. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

1) y x=25

2+ 2) y x= –25

2+ 3) y x=25

2– Ответ: А Б В

4. Найдите угловые коэффициенты прямых, изображённых на рисунке.

а) Ответ:

б) Ответ:

в) Ответ:

г) Ответ:


1. На счету Сашиного мобильного телефона было 130 р., а после разговора с Верой осталось 94 р. Сколько минут длился разговор с Верой, если минута разговора стоит 1 р. 20 к.?

Ответ:

2. Выпускники 11 «Б» класса покупают букеты цветов для последнего звонка: из пяти роз каждому учителю и из семи роз классному руководителю и директору. Они со-бираются подарить цветы 18 учителям (включая директора и классного руководите-ля), розы покупаются по оптовой цене 25 р. за штуку. Сколько рублей выпускники потратят на все розы?

Ответ:

3. В спортивном лагере по настольному теннису каждый день ломается или теряется 8 теннисных шариков. Смена в лагере длится 18 дней. Шарики продают упаковками по 10 штук. Какое наименьшее количество упаковок шариков нужно на одну смену?

Ответ:


1. На рисунке изображены 5 прямых.Установите соответствие между прямыми и их угловыми коэффициентами.

Прямая Угловой коэффициентАБВГД

1) 12) 33) 54) –15) –26) –37) 0,58) 0,259) –0,25

В таблице под каждой буквой впишите соответствующий номер углового коэф-фициента.

Ответ: А Б В Г Д

1932. На рисунке изображены 4 прямые вида y = –x + b. Установите соответствие между прямыми и значениями b.

Прямая Коэффициент bАБВГ

1) –32) –23) –14) 05) 16) 27) 38) 49) 5

В таблице под каждой буквой впишите соответствующий номер значения b.


3. C помощью рисунка определите, как выра-жается значение углового коэффициента а прямой через величины, указанные на ри-сунке.1) x0 2) y0 3) x1 4) y1

5) –d 6) dc

7) –dc

8) y

x1

0

9) –cd

10) y

x

y

x1

0

0

1– 11) d

x0

12) – dx0

Ответ:

4. На рисунках изображены графики функций вида y = ax + b. Установите соответ-ствие между знаками коэффициентов a и b и графиками функций.А) a < 0, b < 0 Б) a < 0, b > 0 В) a > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер рисунка.



1. Летом килограмм клубники стоит 90 р. Мама купила 1 кг 500 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 1000 р.?

Ответ:

2. В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В лагере 163 человека. Сколько килограммовых пачек сахара достаточно на неделю?

Ответ:

3. В доме, в котором живёт Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже (включая первый) по четыре квартиры. Маша живёт в квартире № 130. В каком подъезде живёт Маша?

Ответ:

Понятие касательной к графику функции. Связь между знаком углового коэффициента касательной и монотонностью функции.Связь между угловым коэффициентомкасательной и точками экстремума функции


1. На рисунке изображён график убываю-щей функции y = f(x) и проведена каса-тельная к нему в точке с абсциссой x0. Чему равен угловой коэффициент этой касательной:

1) y y

x x1 0

1 0

–

–; 2)

y y

x x0 1

0 1

–

–; 3)

y y

x x1 0

0 1

–

–; 4)

y y

x x0 1

1 0

–

–?

В ответе укажите в порядке возрастания номера подходящих выражений без запя-тых, пробелов и иных символов.

Ответ:

1952. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Выберите верное утверждение. 1) Угловой коэффициент касатель-ной положителен. 2) Угловой коэффициент касатель-ной отрицателен. 3) Угловой коэффициент касатель-ной равен 0.

Ответ:


Выберите верное утверждение.1) Угловой коэффициент касатель-ной положителен.2) Угловой коэффициент касатель-ной отрицателен.3) Угловой коэффициент касатель-ной равен 0.

Ответ:


Выберите верное утверждение.1) Угловой коэффициент касатель-ной больше 1.2) Угловой коэффициент касатель-ной меньше 1.

Ответ:


Выберите верное утверждение.1) Угловой коэффициент касатель-ной больше 1.2) Угловой коэффициент касатель-ной меньше 1.

Ответ:

196 6. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.Выберите верное утверждение.1) Угловой коэффициент касатель-ной больше –1.2) Угловой коэффициент касатель-ной меньше –1.

Ответ:

7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.Выберите верное утверждение.1) Угловой коэффициент касатель-ной больше –1.2) Угловой коэффициент касатель-ной меньше –1.

Ответ:


1. Решите уравнение 5 (0,5x – 5) = 6 (0,6x – 6).

Ответ:


1950

29100

309x x x+ + = .

Ответ:

3. Найдите больший корень уравнения 1 110

0 05x x

– , .+ =

Ответ:


1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Най-дите значение углового коэффици-ента этой касательной.

Ответ:


Ответ:


Ответ:


Ответ:

198 5. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательные к нему в точках с абсциссами А, В и С.

Установите соответствие между прямыми и утверждениями:

1) угловой коэффициент отрицателен;2) угловой коэффициент равен 0;3) угловой коэффициент положителен.

В таблице под каждым именем прямой ука-жите номер верного утверждения.

Ответ: m n k

6. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательные, проведённые к не-му в точках с абсциссами А, В, С и D. Ответьте на вопросы, укажите в порядке возрастания номера правильных ответов без запятых, пробелов и иных символов.

а) В каких точках угловые коэффициен-ты касательных положительны:

1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

б) В каких точках угловые коэффициен-ты касательных отрицательны:

1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

в) В какой точке угловой коэффициент касательной больше:

1) А; 2) В?

Ответ:

г) В какой точке угловой коэффи-циент касательной меньше:1) С; 2) D?

Ответ:

д) В каких точках угловые коэффи-циенты касательных больше 1:1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

е) В каких точках угловые коэффи-циенты касательных меньше –1:1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

ж) В какой точке угловой коэффи-циент касательной наибольший:1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

199з) В какой точке угловой коэффициент касательной наименьший:1) А; 2) В; 3) С; 4) D?

Ответ:

7. На рисунке изображены график функ-ции y = f(x) и касательные, проведён-ные к нему в точках с абсциссами А, В, С и D.

С помощью рисунка определите, какие из этих точек являются точками экстре-мума функции f(x):1) А; 2) В; 3) С; 4) D.

Укажите в порядке возрастания номера правильных ответов без запятых, пробе-лов и иных символов.

Ответ:


1. Решите уравнение 3 (0,3x + 3) = 2 (0,2x + 2).

Ответ:


2950

170x x+ = .

Ответ:

3. Найдите больший корень уравнения 1 15

0 3x x

++ = , .

Ответ:

200 Понятие производной. Производнаякак угловой коэффициент касательнойДомашняя (зачётная) работа 81

1. На рисунке изображён график функции y = x2 и касательная к нему в точке с абсциссой –2. Опре-делите по графику значение произ-водной в точке с абсциссой –2.

Ответ:

3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Най-дите значение производной функ-ции f(x) в точке x0.

Ответ:


Ответ:


Ответ:

201 5. На рисунке изображены график функ-ции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ:

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точ-ках с абсциссами A, B, C и D. С помощью рисунка выполните следующие задания:

6. Определите по графику, какого знака производная в точке A: 1) отрицатель-ная; 2) 0; 3) положительная.

Ответ:

7. Определите по графику, какого знака производная в точке B: 1) отрицатель-ная; 2) 0; 3) положительная.

Ответ:

8. Определите по графику, какого зна-ка производная в точке C: 1) отри-цательная; 2) 0; 3) положительная.

Ответ:

9. Определите по графику, какого зна-ка производная в точке D: 1) отри-цательная; 2) 0; 3) положительная.

Ответ:

10. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точ-ки –2, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции наи-большее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:


1. Найдите 44% от 400 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. В июле 1 кг яблок стоил 60 р. В августе яблоки подешевели на 35%. Сколько рублей стал стоить 1 кг яблок после снижения цены в августе?

Ответ:

3. Если бы в куске сыра не было дырок, он весил бы 700 г. Сколько граммов весит этот кусок, если суммарный объём дырок составляет 20% объёма всего куска?

Ответ:


На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–11; 3). С помощью рисунка выполните следующие задания:

1. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции па-раллельна прямой y = –1 или совпа-дает с ней.

Ответ:

2. Найдите количество точек, принадле-жащих отрезку [–5; 2], в которых ка-сательная к графику функции парал-лельна прямой y = –4 или совпадает с ней.

Ответ:

На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–4; 10). С помощью рисунка выполните следующие задания:

3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику y = f(x) парал-лельна прямой y = 7 или совпадает с ней.

Ответ:

4. Найдите количество точек, принадле-жащих отрезку [–2,5; 5,5], в которых касательная к графику y = f(x) парал-лельна прямой y = –2 или совпадает с ней.

Ответ:

2035. Найдите количество точек, в кото-рых касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = x или со-впадает с ней.

Ответ:

6. Найдите количество точек, принад-лежащих отрезку [–1; 6], в которых касательная к графику y = f(x) па-раллельна прямой y = –3x или со-впадает с ней.

Ответ:

На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–4; 10). С помощью рисунка выполните следующие задания:

7. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) парал-лельна прямой y = 4x или совпадает с ней.

Ответ:

8. Укажите точку, в которой касатель-ная к графику y = f(x) параллельна прямой y = –5x или совпадает с ней: 1) –3; 2) –1; 3) 3; 4) таких точек нет.

Ответ:

9. На рисунке изображён график функции y = x2. Определите по ри-сунку количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = –2x или совпадает с ней.

Ответ:

10. На рисунке изображён график функции y = x3. Определите по ри-сунку количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 3x или со-впадает с ней.

Ответ:


1. Найдите 12% от 2400 р. Ответ дайте в рублях.

Ответ:

2. Рубашка стоит 450 р. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит рубашка во время распродажи?

Ответ:

3. Набор из восьми одинаковых по стоимости карандашей подорожал на 8%. На сколь-ко процентов подорожал один такой карандаш?

Ответ:

Чтение свойств производной функциипо графику этой функции.Чтение свойств графика функциипо графику производной этой функции


На рисунке изображён график функ-ции y = f(x). На оси абсцисс отмечены одиннадцать точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. С помощью ри-сунка ответьте на следующие вопросы:

1. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Ответ:

2. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Ответ:

На рисунке (см. с. 205) изображён график функции y = f(x), определённой на ин-тервале (–2; 10). С помощью рисунка выполните следующие задания:

3. Определите количество точек с целыми абсциссами, в которых производная функции положительна.

Ответ:

2054. Определите количество точек с целы-ми абсциссами, в которых производ-ная функции отрицательна.

Ответ:

5. Определите количество точек с целы-ми абсциссами, в которых производ-ная функции равна 0.

Ответ:


6. Найдите количество решений уравне-ния f’(x) = 0 на отрезке [–6; 2].

Ответ:

7. Найдите количество решений уравне-ния f’(x) = 0 на отрезке [–4; 4].

Ответ:


8. Определите количество точек с целы-ми абсциссами, в которых производ-ная функции положительна на отрез-ке [1; 7].

Ответ:

9. Определите количество точек с целы-ми абсциссами, в которых производ-ная функции отрицательна на отрез-ке [1; 7].

Ответ:

10. Определите количество точек с целыми абсциссами, в которых производная функции равна 0 на отрезке [1; 7].

Ответ:



311

3x = .

Ответ:


15

0 1x x

– , .=

Ответ:


33x

x+

+= . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

запишите меньший из корней.

Ответ:


На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–10; 3). С помощью рисунка ответьте на следующие вопросы:

1. В какой точке отрезка [–7; 1] функ-ция f(x) принимает наименьшее значе-ние?

Ответ:

2. В какой точке отрезка [–2; 2] функ-ция f(x) принимает наибольшее значе-ние?

Ответ:

3. В какой точке отрезка [–2; 2] функ-ция f(x) принимает наименьшее значе-ние?

Ответ:

2074. В какой точке отрезка [–9; –6] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Ответ:

5. В какой точке отрезка [–9; –6] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ:

На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–13; 8).

С помощью рисунка выполните следующие задания:

6. Найдите количество точек максимума функции f(x).

Ответ:

7. Найдите количество точек минимума функции f(x).

Ответ:

8. Найдите количество экстремумов функции f(x).

Ответ:

9. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функ-ции f(x), определённой на интерва-ле (–8; 5). Укажите точку, значение производной в которой наибольшее: 1) –6; 2) –4; 3) 0.

Ответ:

10. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функ-ции f(x), определённой на интер-вале (–2; 11). Укажите точку, зна-чение производной в которой наи-большее: 1) 1; 2) 5; 3) 7.

Ответ:


1. Найдите корень уравнения (2 + x)3 = (2 – x)3.

Ответ:

2. Решите уравнение 8 14x x

= . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе ука-

жите меньший из них.

Ответ:

3. Решите уравнение x3 = x2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе ука-жите меньший из них.

Ответ:

209МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»

ТреугольникДомашняя (зачётная) работа 85

1. В треугольнике ABC угол C равен 16�, стороны AC и BC равны. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 120�. Найди-те внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Один из внешних углов треугольни-ка равен 90�. Углы треугольника, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1 : 4. Найдите наиболь-ший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. В треугольнике ABC угол A равен 90�, угол C равен 2�. На продолжении сто-роны AB за точку B отложен отре-зок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. В треугольнике ABC угол B равен 23�, угол C равен 41�, AD — биссектриса, E — точка на стороне AB, такая, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. В треугольнике ABC угол A равен 60�, угол B равен 80�. Биссектрисы AD, BE и CF пересекаются в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

210 7. Средняя линия DE треугольника ABC параллельна стороне AB. Площадь треугольника CDE равна 14. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ:

8. В треугольнике со сторонами 16 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Ответ:

9. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треуголь-ника, равен 150�. Боковая сторона треугольника равна 16. Найдите пло-щадь этого треугольника.

Ответ:

10. Периметр треугольника равен 36, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника.

Ответ:



Ответ:


13

– , .( ) �

Ответ:

3. Найдите значение выражения 109 602 2– .

Ответ:

211Домашняя (зачётная) работа 861. В треугольнике ABC угол C равен 90�,

CH — высота, угол A равен 44�. Най-дите угол BCH. Ответ дайте в граду-сах.

Ответ:

2. Гипотенуза прямоугольного треуголь-ника равна 43. Один из его катетов

равен 9 5. Найдите другой катет.

Ответ:

3. Найдите площадь прямоугольного тре-угольника, если его катет и гипотену-за равны соответственно 7 и 25.

Ответ:

4. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведён-ными из вершины прямого угла, ра-вен 32�. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


угол A равен 60�, BC = 28 3. Найди-те AB.

Ответ:


AC = 9, BC = 19. Найдите cos A.

Ответ:


AB = 8,5, tg =A 158

. Найдите AC.

Ответ:

8. В треугольнике ABC угол C равен 90�, косинус внешнего угла при вершине A

равен – ,1910

AB = 4. Найдите BC.

Ответ:

212 9. В треугольнике ABC угол C равен 90�, AB = 25, sin A = 0,6. Найдите высо-ту CH.

Ответ:

10. В треугольнике ABC угол C равен 90�, CH — высота, BC = 13, BH = 12. Найдите tg A.

Ответ:



sin cossin

� � ��

. Ответ:

2. Найдите tg b, если cos b =1

17 и b ppО ( )3

22; .

Ответ:

3. Найдите значение выражения g xg x

( – )( – )

79

, если g(x) = 9x.

Ответ:

ПараллелограммДомашняя (зачётная) работа 87

1. Найдите острый угол параллелограм-ма, если его тупой угол равен 132�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Один угол параллелограмма больше другого на 30�. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2133. Сумма двух углов параллелограмма равна 224�. Найдите один из остав-шихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. Диагональ параллелограмма образу-ет с двумя его сторонами углы 51� и 46�. Найдите меньший угол паралле-лограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Два угла параллелограмма относятся как 6 : 9. Найдите меньший угол па-раллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Сумма трёх углов параллелограмма равна 303�. Найдите больший угол параллелограмма.

Ответ:

7. В параллелограмме ABCD диаго-наль AC в два раза больше сторо-ны CD. Угол между диагоналями па-раллелограмма равен 75�. Найдите угол ACD.

Ответ:

8. В параллелограмме ABCD косинус уг-

ла A равен 2 65

. Найдите sin B.

Ответ:

9. Биссектриса угла A параллелограм-ма ABCD пересекает сторону CD в точ-ке E, угол AEC равен 150�. Найдите больший угол параллелограмма.

Ответ:

10. Биссектриса угла A параллелограм-ма ABCD пересекает прямую BC в точ-ке E, угол AEC равен 154�. Найдите больший угол параллелограмма.

Ответ:


1. Найдите 44% от 400 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. Только 94% из 27 500 выпускников города правильно решили задачу на проценты. Сколько человек пра-вильно решило эту задачу?

Ответ:

3. Пачка сливочного масла стоит 60 р. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей запла-тит пенсионер за пачку масла?

Ответ:

Домашняя (зачётная) работа 881. В параллелограмме ABCD синус уг-

ла C равен 310

, AD = 20. Найдите вы-соту, опущенную на сторону AB.

Ответ:

2. Периметр параллелограмма равен 74, а одна из его сторон равна 13. Най-дите длину второй стороны параллело-грамма.

Ответ:

3. Периметр параллелограмма равен 106. Одна сторона параллелограмма на 17 больше другой. Найдите большую сто-рону параллелограмма.

Ответ:

4. Биссектриса тупого угла параллело-грамма делит противоположную сторо-ну в отношении 3 : 7, считая от вер-шины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его пе-риметр равен 65.

Ответ:

5. Биссектриса угла B параллелограм-ма ABCD пересекает сторону AD в точке E. Найдите периметр паралле-лограмма, если AE = 6, ED = 13.

Ответ:

2156. Стороны параллелограмма равны 42 и 84. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 63. Найдите высо-ту, опущенную на вторую сторону па-раллелограмма.

Ответ:

7. Площадь параллелограмма равна 130, две его стороны равны 10 и 30. Най-дите большую высоту этого параллело-грамма.

Ответ:

8. Площадь параллелограмма ABCD рав-на 68. Точка E — середина сторо-ны CD. Найдите площадь треугольни-ка ADE.

Ответ:

9. На стороне BC параллелограмма ABCD отметили точку K. Найдите площадь параллелограмма, если площадь тре-угольника AKD равна 26.

Ответ:

10. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит проти-воположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 4. Найдите его большую сторону.

Ответ:


1. Цена на товар была снижена на 10% и составила 2700 р. Сколько рублей стоил товар до снижения цены?

Ответ:

2. Цена на товар была повышена на 10% и составила 462 р. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Ответ:

216 3. 15% вклада составляют 4500 р. Сколько рублей составляет вклад?

Ответ:

Прямоугольник, квадрат, ромб


1. Диагональ прямоугольника вдвое боль-ше одной из его сторон. Найдите мень-ший из углов, которые образует диа-гональ со сторонами прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Диагонали параллелограмма ABCD пе-ресекаются в точке O и равны между собой. Угол AOD равен 140�. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. В ромбе ABCD угол ACD равен 40�. Найдите угол ABC. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

4. Одна из диагоналей ромба равна сто-роне. Найдите меньший угол ромба. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Сумма двух углов ромба равна 200�. Найдите меньший угол ромба.

Ответ:

6. Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 22�. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали этого прямоугольника. От-вет дайте в градусах.

Ответ:

2177. Угол между высотами ромба, прове-дёнными из вершины тупого угла, ра-вен 40�. Найдите больший угол ромба.

Ответ:

8. На стороне AD квадрата ABCD взята точка E так, что AE : ED = 1 : 3. Найдите тангенс угла ECD.

Ответ:

9. На стороне CD квадрата ABCD взята точка E так, что CE : ED = 1 : 4. Прямая AE пересекает прямую BC в точке K. Найдите тангенс угла AKB.

Ответ:

10. Одна из сторон прямоугольника в два раза меньше его диагонали. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали этого прямоугольника. От-вет дайте в градусах.

Ответ:


1. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 240 р. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Ответ:

2. В сентябре 1 кг слив стоил 60 р. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

Ответ:

3. 2400 человек составляют 4% населения города. Сколько в городе жителей?

Ответ:


1. Найдите сторону квадрата, диагональ

которого равна 7 2.

Ответ:

2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 7.

Ответ:

3. Расстояние от вершины квадрата до середины стороны, не содержащей эту вершину, равно 5. Найдите площадь квадрата.

Ответ:

4. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 55. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Ответ:

5. Периметр прямоугольника равен 100, а площадь 264. Найдите большую сто-рону прямоугольника.

Ответ:

6. Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 20, соединены отрезками. Най-дите периметр образовавшегося четы-рёхугольника.

Ответ:

7. Найдите большую диагональ ромба,

сторона которого равна 15 3, а острый угол равен 60�.

Ответ:

8. Площадь ромба равна 225. Одна из его диагоналей в 2 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Ответ:

2199. Диагонали ромба равны 10 и 6. Най-дите его площадь.

Ответ:

10. Высота AH ромба ABCD делит сторо-ну CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите длину высоты AH.

Ответ:

Задачи на повторение1. В сентябре 1 кг винограда стоил 50 р., в октябре виноград подорожал на 20%, а

в ноябре ещё на 40%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Ответ:

2. В июле завод выпустил 800 приборов. В августе производство снизилось на 15%, а в сентябре — ещё на 15%. Сколько приборов завод выпустил в сентябре?

Ответ:

3. В феврале товар стоил 70 000 р. В мае цену на товар подняли на 6%, а в августе снизили на 6%. Сколько рублей стоил товар после снижения цены в августе?

Ответ:

ТрапецияДомашняя (зачётная) работа 91

1. Основание трапеции равно 3, высота равна 14, а площадь равна 84. Най-дите второе основание трапеции.

Ответ:

2. Найдите высоту трапеции, если пло-щадь трапеции равна 40, а сумма длин оснований равна 16.

Ответ:

220 3. Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 22, а её боковые стороны равны 5. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

4. Основания трапеции равны 11 и 17, боковая сторона, равная 6, образу-ет с одним из оснований трапеции угол 150�. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

5. Основания трапеции равны 3 и 9, бо-ковая сторона равна 6. Площадь тра-пеции равна 18. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной бо-ковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Основания прямоугольной трапеции равны 18 и 20, а её площадь равна 38. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 23. Высота трапеции рав-на 33. Найдите тангенс острого угла.

Ответ:

8. Чему равен больший угол равнобед-ренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 64�? Ответ дайте в градусах.

Ответ:

9. Найдите угол при меньшем основании равнобедренной трапеции, если сумма двух её углов равна 130�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

10. Точка M является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь тре-угольника MCD равна 17.

Ответ:


1. Брюки стоят 3000 р., а рубашка — 1200 р. На сколько процентов рубашка дешевле брюк?

Ответ:

2. Брюки стоят 3000 р., а рубашка — 1200 р. На сколько процентов брюки дороже рубашки?

Ответ:

3. Себестоимость изделия снизилась в 1,25 раза. На сколько процентов снизилась се-бестоимость?

Ответ:


1. Периметр трапеции равен 36, а сумма непараллельных сторон равна 18. Най-дите среднюю линию трапеции.

Ответ:

2. Средняя линия трапеции равна 53, а одно из её оснований больше друго-го на 30. Найдите большее основание трапеции.

Ответ:

3. Основания трапеции равны 12 и 28. Найдите длину отрезка, параллель-ного основаниям и делящего боковую сторону трапеции в отношении 1 : 3, считая от меньшего основания.

Ответ:

222 4. Основания трапеции равны 9 и 19. Найдите больший из отрезков, на ко-торые делит среднюю линию этой тра-пеции одна из её диагоналей.

Ответ:

5. В равнобедренной трапеции основания равны 19 и 35, острый угол равен 60�. Найдите её периметр.

Ответ:

6. В равнобедренной трапеции большее основание равно 36, боковая сторона равна 16, угол между ними 60�. Най-дите меньшее основание.

Ответ:

7. Биссектрисы углов A и B при боко-вой стороне AB трапеции ABCD пере-секаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 8.

Ответ:

8. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BAD пря-мой, AB = 12, BС = СD = 13, BC < AD. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

9. Перпендикуляр, опущенный из вер-шины тупого угла на большее основа-ние равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 20 и 14. Найдите среднюю линию этой тра-пеции.

Ответ:

10. Основания трапеции равны 26 и 72. Найдите отрезок, соединяющий сере-дины диагоналей трапеции.

Ответ:


1. Шесть килограммов огурцов стоят столько же, сколько пять килограммов помидо-ров. На сколько процентов один килограмм помидоров дороже одного килограмма огурцов?

Ответ:

223

2. Пять одинаковых рубашек стоят столько же, сколько девять одинаковых футболок. На сколько процентов одна рубашка дороже одной футболки?

Ответ:

3. Килограмм груш дороже килограмма яблок на 25%. На сколько процентов кило-грамм яблок дешевле килограмма груш?

Ответ:

Окружность и круг


1. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опи-

рающегося на хорду, равную 3 . От-вет дайте в градусах.

Ответ:

2. Точки A1, A2, A3, …, A8 делят окруж-ность на равные дуги. Найдите вели-чину угла A1A7A3. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

224 3. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 6 : 11. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

4. Отрезки AC и BD — диаметры окруж-ности с центром O. Угол AOD равен 24�. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Отрезки AB и BC являются соответ-ственно диаметром и хордой окружно-сти с центром O. Найдите угол AOC, если угол OCB равен 40�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Через точки A и B окружности с цен-тром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 94�. Най-дите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. Найдите угол ACO, если его сторо-на CA касается окружности, сто-рона CO пересекает окружность в точке B, O — центр окружности и меньшая дуга AB окружности рав-на 5�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

8. Найдите угол ACO, если его сторо-на CA касается окружности, сторо-на CO пересекает окружность в точ-ках B и D, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключён-ная внутри этого угла, равна 140�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2259. Угол ACB равен 35�. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 100�. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

10. Отрезки AB и AC являются хордами окружности с центром O. Найдите угол BAC, если известно, что он явля-ется острым и что углы ABO и ACO равны соответственно 26� и 28�.

Ответ:

Задачи на повторение1. Найдите значение выражения (4462 – 5542) : 1000.

Ответ:


Ответ:


, ,, ,

.��

Ответ:


1. Длина окружности равна 16 p. Най-дите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Ответ:

226 2. Площадь сектора круга радиуса 11 равна 33. Найдите длину его дуги.

Ответ:

3. Найдите площадь кольца, ограничен-ного концентрическими окружностя-

ми, радиусы которых равны 2 1

p pи .

Ответ:

4. Найдите расстояние от центра окруж-ности, радиус которой равен 13, до её хорды, длина которой равна 10.

Ответ:

5. Отрезки AB и CD являются хорда-ми окружности. Найдите длину хор-ды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

Ответ:

6. В прямоугольнике ABCD сторона AB меньше стороны BC. Окружность с центром в вершине A и радиусом AB отсекает от прямоугольника сектор площади 9. Найдите площадь остав-шейся части прямоугольника, если

BC = 10 p.

Ответ:

7. Прямоугольник и круг имеют равные площади. Стороны прямоугольника равны 3p и 75. Найдите радиус круга.

Ответ:

8. Найдите хорду, на которую опирается угол 120�, вписанный в окружность

радиуса 19 3.

Ответ:

2279. Хорды AB и CD окружности пересе-каются в точке M. Найдите MA, если MB = 10, MC = 8, MD = 5.

Ответ:

10. Из одной точки окружности проведены две перпендикулярные друг другу хор-ды. Расстояния от центра окружности до этих хорд равны 8 и 14. Найдите длину меньшей из этих хорд.

Ответ:



Ответ:


Ответ:


, ,, ,

.��

Ответ:

Вписанные и описанные окружности


1. Угол A четырёхугольника ABCD, впи-санного в окружность, равен 96�. Най-дите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

228 2. Сторона AB тупоугольного треугольни-ка ABC равна радиусу описанной око-ло него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Найдите угол при основании вписан-ного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стя-гивает дугу в 100�. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

4. Угол B треугольника ABC равен 50�. Найдите угол OAC, где O — центр описанной окружности треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Два угла вписанного в окружность че-тырёхугольника равны 14� и 27�. Най-дите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Стороны четырёхугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описан-ной окружности, градусные величины которых равны соответственно 81�, 87�, 54�, 138�. Найдите угол B этого четы-рёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градус-ные величины которых относятся со-ответственно как 2 : 3 : 7 : 24. Най-дите угол A четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

8. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75�, угол CAD равен 35�. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2299. В окружность вписан четырёхуголь-ник ABCD. Найдите угол BAD, если углы ACD и ADB равны соответствен-но 72� и 48�. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

10. Точка касания боковой стороны равно-бедренного треугольника и вписанной в этот треугольник окружности делит бо-ковую сторону в отношении 5 : 8, счи-тая от вершины основания треугольни-ка. Во сколько раз боковая сторона это-го треугольника больше его основания?

Ответ:



6 7 7x + = .

Ответ:


4 5 5x + = .

Ответ:

3. Решите уравнение 4 5x x+ = . Если

уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:


1. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 44.

Ответ:

2. Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60�. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Ответ:

230 3. Около окружности, радиус которой ра-

вен 32 2, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Ответ:

4. Найдите площадь прямоугольной тра-пеции, боковые стороны которой рав-ны 8 и 12, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Ответ:

5. Боковые стороны равнобедренного тре-угольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окруж-ности этого треугольника.

Ответ:

6. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 56. Найдите высоту этого треугольника.

Ответ:

7. Катеты равнобедренного прямоуголь-

ного треугольника равны 6 3 2+ . Найдите радиус окружности, вписан-ной в этот треугольник.

Ответ:

8. Окружность, вписанная в треуголь-ник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках M, K и P соответственно. Найдите периметр треугольника ABC, если AР = 5, BМ = 7, CK = 8.

Ответ:

9. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 5. Най-дите среднюю линию трапеции.

Ответ:

10. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 13, а высота, проведённая к основа-нию, равна 18. Найдите площадь тре-угольника.

Ответ:



7 3– .x =

Ответ:


7 6 7– .x =

Ответ:

3. Решите уравнение 6 5– – .x x= Если

уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из корней.

Ответ:

Геометрия на клетчатой бумагеДомашняя (зачётная) работа 97

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Ответ:

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён угол. Найдите его градус-ную величину.

Ответ:

3. Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC.

Ответ:

232 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён угол AOC. Найдите гра-дусную величину этого угла.

Ответ:

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Ответ:

6. На клетчатой бумаге с размером клетки 10 10� изображён четырёхугольник ABCD. Найдите его периметр.

Ответ:

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 2 2� изображена трапеция ABCD. Най-дите длину её средней линии.

Ответ:

8. На клетчатой бумаге с размером клетки 5 5� изображён треугольник ABC. Най-дите радиус описанной около него окружности.

Ответ:

2339. На клетчатой бумаге с размером клетки 2 2� изображён квадрат ABCD. Найди-те радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Ответ:

10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 � 1 изображён равносторонний треуголь-ник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Ответ:


1. Найдите корень уравнения 7 8 8x + = .

Ответ:

2. Решите уравнение 7 8x x+ = . Ес-

ли уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:

3. Решите уравнение 2 3x x+ = . Ес-

ли уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Ответ:


1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён треугольник. Най-дите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён прямоугольник. Най-дите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён ромб. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

2355. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён квадрат. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см � 1 см изображён треугольник. Най-дите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

236 9. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 4. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ:

10. На клетчатой бумаге изображён круг площадью 52. Найдите площадь закрашенного сектора.

Ответ:


1. Решите уравнение(2x + 7)2 = (2x – 1)2.

Ответ:


17

2 9x = . Если урав-

нение имеет более одного корня, в от-вете запишите меньший из корней.

Ответ:


=8 25

8++

. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

запишите меньший из корней.

Ответ:

Простейшие задачи в координатахДомашняя (зачётная) работа 99

1. Через точку (5; 6) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату её точки пересечения с осью Oy.

Ответ:

2. Найдите ординату точки, симметричной точке A(5; 3) относительно начала коорди-нат.

Ответ:

3. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(2; 1).

Ответ:

4. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(–6; 3) и B(10; –3).

Ответ:

5. Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединяющего точ-ки A(–3; 5) и B(3; 4).

Ответ:

6. Прямая a проходит через точки с ко-ординатами (0; 4) и (1; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; 8) и параллельна прямой a. Най-дите абсциссу точки пересечения пря-мой b с осью Ox.

Ответ:

238 7. Точки O(0; 0), B(8; 2), A(10; 8) и C являются верши-нами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Ответ:

8. Точки O(0; 0), A(12; –12), B(12; 4), C(0; 16) являются вершинами четы-рёхугольника. Найдите абсциссу точ-ки P пересечения его диагоналей.

Ответ:

9. Найдите ординату точки пересече-ния прямой, заданной уравнением 15x – 8y = –16, с осью Oy.

Ответ:

10. Найдите ординату точки пересече-ния прямых, заданных уравнениями 22x + 17y = –15 и y = –x.

Ответ:

Задачи на повторение1. Найдите значение выражения (2242 – 2762) : 500.

Ответ:


Ответ:

3. Найдите значение выражения (98 � 72 + 28 � 98) : 49.

Ответ:


1. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 6), (10; 6), (3; 8).

Ответ:

2. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют коорди-наты (1; 3), (4; 3), (5; 5).

Ответ:

3. Найдите площадь четырёхугольни-ка, вершины которого имеют коор-динаты (2; 0), (10; 4), (8; 8), (0; 4).

Ответ:

4. Найдите площадь трапеции, вер-шины которой имеют координаты (1; 1), (2; 5), (8; 5), (3; 1).

Ответ:

5. Найдите площадь прямоугольной тра-пеции, вершины которой имеют ко-ординаты (1; 1), (10; 1), (7; 9), (1; 9).

Ответ:

240 6. Найдите площадь параллелограмма, вершины кото-рого имеют координаты (3; 7), (8; 5), (8; 7), (3; 9).

Ответ:

7. Найдите площадь четырёхугольни-ка, вершины которого имеют коор-динаты (2; 2), (8; 4), (10; 10), (4; 8).

Ответ:

8. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоско-сти.

Ответ:

9. Найдите радиус окружности, описан-ной около треугольника, вершины которого имеют координаты (24; 0), (0; –10), (24; –10).

Ответ:

10. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника, вершины которого имеют координаты соответственно (7; 10), (7; 2), (1; 2), (1; 10).

Ответ:


1. Найдите значение выражения(461 + 457)2 – 4 � 461 � 457. Ответ:


1025 � 1043 : 1064. Ответ:


837 : 874 � 839. Ответ:

Повторение и обобщение. Практические и прикладные задачипо планиметрии в ЕГЭ по математике


1. От столба высотой 13 м к дому натянут провод, ко-торый крепится на высоте 5 м от земли (см. рису-нок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2. Наклонная крыша установлена на трёх вертикаль-ных опорах, основания которых расположены на од-ной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рисунок). Высота ма-лой опоры 2,2 м, а большой — 2,7 м. Найдите вы-соту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

242 3. Участок земли под строительство дома отдыха имеет форму прямоугольника, сторо-ны которого равны 1300 м и 1800 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно оградить забором. Найдите длину этого за-бора. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

4. Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. рисунок). Кухня име-ет размеры 3 м � 3 м, санузел — 2 м � 1,5 м, длина комнаты 4 м. Найдите площадь коридора. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:

5. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м � 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:

6. Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 50 дюймам, а высота экра-на — 30 дюймам. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в дюймах.

Ответ:

7. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикаль-ным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил рав-на 0,6 м, а наибольшая высота h2 равна 2 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

2438. Найдите меньший из углов, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00. Ответ дайте в градусах.

Ответ:



27 27

2 2– ( , ),

.

Ответ:


35 64

2 2– ( , ),

.

Ответ:


2 1 527

13

14

– .( ) �

Ответ:


1. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 300 м. Чему равно расстояние между точками A и B, если на карте оно составляет 13 см? Ответ дайте в километрах.

Ответ:

244 2. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на рас-стоянии 1,5 м от уличного фонаря. При этом длина

тени человека равна 0,6 м. Определите высоту фонаря. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от про-ектора. На каком наименьшем расстоянии от проек-тора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

4. На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 14,7 м2. Точные из-мерения показали, что ширина комнаты равна 3,25 м, а длина — 4,4 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от значения, указанного на плане?

Ответ:

5. Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 25 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 150 м2 (см. рису-нок), причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь оставшейся части участка каждого садовода? Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:

2456. Парковка имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 250 м и 150 м. Найдите длину за-бора, которым нужно огородить парковку, преду-смотрев проезд шириной 8 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ:

7. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 24 м и 20 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Най-дите общую длину забора в метрах.

Ответ:

8. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м � 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:


1. Найдите значение выражения 5–9 � 526 : 519.

Ответ:


Ответ:

246 3. Найдите значение выражения 567 0 5675 67 56 7

��

,, ,

.

Ответ:

Повторение и обобщение. Задачи по планиме-трии на вычисление в ЕГЭ по математике


1. Площадь прямоугольника 60, одна сторона 12. Най-дите диагональ прямоугольника.

Ответ:

2. Одна из диагоналей ромба равна 16, а его площадь равна 240. Найдите сторону ромба.

Ответ:

3. В параллелограмме диагонали являются биссектри-сами его углов и равны 24 и 70. Найдите периметр параллелограмма.

Ответ:

4. В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен 120�. Найдите большую боковую сторону.

Ответ:

2475. В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 5, а другое — 13. Высота тра-пеции равна 8. Найдите тангенс острого угла трапеции.

Ответ:

6. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 1

10 длины

окружности. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что РAOB = 60�. Длина меньшей дуги AB равна 25. Найдите длину большей дуги.

Ответ:

8. В равнобедренном треугольнике ABС основание AC = 24, tg A = 0,75. Найдите пло-щадь треугольника ABС.

Ответ:



65 562 2– .

Ответ:


82 182 2– .

Ответ:


73 482 2– .

Ответ:


1. В треугольнике ABC угол B равен 120�. Медиана BM делит угол B пополам,

AM = 4 3 . Найдите AB.

Ответ:

2. Найдите угол DAC правильного девятиугольника ABCDEFGHI. Ответ дайте в граду-сах.

Ответ:

2493. В треугольнике ABC AB = BC = 26, AC = 20. Найдите тангенс угла BAC.

Ответ:

4. В угол с вершиной C, равный 68�, вписана окружность с центром O, которая каса-ется сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно так, что BM : AB = 2 : 5, а BK : BC = 5 : 7. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK?

Ответ:

6. В треугольнике ABC угол при вершине С равен 45�,

AC B= =12 235

, sin . Найдите AB.

Ответ:

250 7. Стороны параллелограмма равны 18 и 15. Высота, проведённая к меньшей стороне параллелограмма, равна 12. Найдите высоту, проведённую к большей стороне парал-лелограмма.

Ответ:

8. В трапеции ABCD основания AD и BC равны 7 и 4 соответственно. Площадь трапе-ции равна 44. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ:



7

9 18

6

� .

Ответ:


49 493 6� .

Ответ:


14

b

b b при b = 5.

Ответ:

251Призма, её элементы. Прямая призма.Правильная призма. Правильная треугольная призма


1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 6, а диагональ боковой грани равна 10. Найдите сторону осно-вания призмы.

Ответ:

2. Точка K — середина ребра AB правиль-ной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите высоту призмы, если A1K = = 13, BC = 10.

Ответ:

3. Точка M — середина ребра CC1 правиль-ной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите высоту призмы, если BM = = 10, AB = 6.

Ответ:

4. Точка K — середина ребра AC правиль-ной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите сторону основания призмы, если известно, что она в полтора раза больше высоты призмы и что A1K == 10.

Ответ:

5. Основанием прямой треугольной при-змы является прямоугольный треу-гольник с катетами 3 и 4, высота при-змы равна 12. Найдите большую из диагоналей боковых граней призмы.

Ответ:

6. В основаниях наклонной призмы ABCA1B1C1 лежат правильные тре-угольники ABC и A1B1C1. Найдите си-нус угла наклона бокового ребра к пло-скости основания, если высота призмы равна 3, а боковое ребро равно 10.

Ответ:

252 7. Дана наклонная призма ABCDA1B1C1D1. Найдите тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, если боковое ребро рав-

но 26, а высота призмы равна 5.

Ответ:

8. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите угол ACA1, если боковое ребро BB1 равно 10, а высота одного из оснований равна 15. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

9. Точка M1 — середина ребра B1C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите косинус угла AM1A1, если боковое ребро BB1 рав-

но 2 7, а сторона основания рав-

на 4 3.

Ответ:

10. В основании прямой треугольной при-змы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC с прямым углом C, H1 — осно-вание высоты другого основания, про-ведённой из вершины C1. Найдите тангенс угла C1CH1, если боковое ре-бро CC1 равно 24, а катеты основания равны 7 и 24.

Ответ:



Ответ:


Ответ:


Ответ:


1. Основанием прямой треугольной при-змы является треугольник, два угла которого равны 59� и 60�. Найдите больший из углов между плоскостями боковых граней призмы. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Основанием прямой треугольной при-змы ABCA1B1C1 является прямоуголь-ный треугольник ABC с гипотенузой AC, равной 2. Найдите угол между плоскостями граней ABB1A1 и ACC1A1 призмы, если AB = 1. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Основанием прямой треугольной при-змы ABCA1B1C1 является прямоуголь-ный треугольник ABC с гипотенузой AC. Найдите угол между плоскостями граней ABB1A1 и ACC1A1 призмы,

если AB = 1, BC = 3. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. Найдите угол между прямой, содержа-щей диагональ боковой грани прямой треугольной призмы, и плоскостью ос-нования призмы, если известно, что все рёбра призмы равны. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Основанием прямой треугольной при-змы ABCA1B1C1 является прямоуголь-ный треугольник ABC с гипотенузой BC, равной 4. Найдите угол между прямой A1K и плоскостью основания призмы, если K — середина BC, а вы-сота призмы равна 2. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 6. Дана наклонная призма ABCA1B1C1.

Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВВ1, если в основании призмы лежит правильный треугольник ABC

со стороной 9 2, АА1 = 4 и �BAA1 == �CAA1 = 45�.

Ответ:

254 7. Дана наклонная призма ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит квадрат АВСD. Проекция точ-ки А1 на плоскость АВС лежит на пря-мой АС. Найдите расстояние от точки А до прямой СС1, если боковое ребро равно 5, высота призмы равна 3, а сто-

рона основания равна 2.

Ответ:

8. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите расстояние меж-ду прямыми ВВ1 и А1С1, если все рёбра

призмы равны 4 3.

Ответ:

9. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите расстояние от точки В1 до прямой АС, если сторона

основания равна 4 3., а боковое ребро равно 8.

Ответ:

10. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей че-рез точки А1, В и С1, если стороны ос-нования равны 2, а боковое ребро рав-

но 6.

Ответ:

. Задачи на повторение


Ответ:


Ответ:

3. Найдите значение выражения log .,0 04125

Ответ:

255Параллелепипед, его элементы.Прямоугольный параллелепипед. Куб


1. Диагональ грани куба равна 2 6. Найдите диагональ куба.

Ответ:

2. Диагональ куба равна 6. Найдите диагональ грани куба.

Ответ:

3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 и 3, а его диагональ равна 7. Найдите высоту параллелепипеда.

Ответ:

4. Площади граней прямоугольного па-раллелепипеда равны 15, 18 и 30. Найдите длину наибольшего ребра па-раллелепипеда.

Ответ:

5. Диагонали граней прямоугольного па-

раллелепипеда равны 3 5, 2 10 и

13. Найдите длину диагонали этого параллелепипеда.

Ответ:

6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 рав-

на 10, а боковое ребро ВВ1 равно 19,. Найдите синус угла BD1D.

Ответ:

7. Найдите угол СD1В прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у ко-

торого AB = 3, AD = 2, AA1 = 3. От-вет дайте в градусах.

Ответ:

256 8. Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 5, AD = 12, AA1 = 13. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рё-бер: AB = 7, AD = 3, AA1 = 6. Найди-те синус угла между прямыми СВ1 и АD1.

Ответ:

10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер

AB = 6, AD = 3, AA1 = 91. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1.

Ответ:


1. Найдите значение выражения 7 272log .+

Ответ:

2. Найдите значение выражения 7 72 2log .+

Ответ:


Ответ:


1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и C1C. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

2572. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, в котором РBAD = 70�. Найдите угол между прямыми B1D1 и BC. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

3. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD. Высота призмы равна диагона-ли основания. Найдите угол между прямой D1B и плоскостью основания призмы. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. Основанием прямоугольного паралле-лепипеда ABCDA1B1C1D1 является ква-драт ABCD со стороной, равной 1. Диагональ параллелепипеда равна 2. Найдите угол между плоскостью осно-вания параллелепипеда и прямой, со-держащей его диагональ. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором CD = 5, BD1 = 10. Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ADD1A1. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

6. Два ребра прямоугольного параллеле-пипеда, выходящие из одной верши-ны, равны 4 и 8. Диагональ парал-лелепипеда равна 9. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ:

7. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит прямоу-гольник АВСD, АВ = 45, ВС = 24. Найдите расстояние от точки А1 до прямой СС1, если высота параллеле-пипеда равна 20, а боковое ребро рав-но 34.

Ответ:

258 8. Дан прямоугольный параллелепи-пед ABCDA1B1C1D1. Найдите расстоя-ние от точки В1 до прямой DD1, если AB = 12, AD = 5, AA1 = 11.

Ответ:

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 24, AD = 7, AA1 = 24. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, A1 и C.

Ответ:

10. В правильной четырёхугольной при-зме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 8, а диагональ АС1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки В, В1 и D.

Ответ:


1. Найдите значение выражения loglog

.7

49

1313

Ответ:


Ответ:

3. Найдите значение выражения log4 log5 25.

Ответ:

Площадь поверхности призмы. Объём призмыДомашняя (зачётная) работа 109

1. Сторона основания правильной тре-угольной призмы равна 6, а площадь боковой поверхности призмы равна 72. Найдите боковое ребро призмы.

Ответ:

2592. Сторона основания правильной тре-угольной призмы равна 8, а диагональ боковой грани равна 10. Найдите пло-щадь боковой поверхности призмы.

Ответ:

3. Точка K — середина ребра AB правиль-ной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите площадь боковой поверхно-сти призмы, если A1K = 10, CC1 = 8.

Ответ:

4. Точка M — середина ребра CC1 пра-вильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если BM = 5, AA1 = 8.

Ответ:

5. Высота основания правильной тре-

угольной призмы равна 5 3, а боковое ребро равно 5. Найдите площадь боко-вой поверхности призмы.

Ответ:

6. Сторона основания правильной тре-угольной призмы равна 6, а высота

призмы равна 3. Найдите объём при-змы.

Ответ:

7. Основанием призмы является тре-угольник, две стороны которого равны 4 и 6, а угол между этими сторонами равен 150�. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

Ответ:

8. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 8, а гипотенуза равна 10. Боковое ребро призмы равно меньшему катету основания. Найдите объём призмы.

Ответ:

260 9. Найдите объём прямой треугольной

призмы, все рёбра которой равны 2 3.

Ответ:

10. Рёбра прямоугольного параллелепипе-да равны 2, 3, 5. Найдите площадь его поверхности.

Ответ:



sin cossin

.� ��

Ответ:


2 2(cos – sin )cos

.� ��

Ответ:


2 2(sin – cos )cos

.� ��

Ответ:


1. Высота основания правильной тре-

угольной призмы равна 4 3, а диаго-наль боковой грани равна 10. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ:

2612. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катета-ми 6 и 8, высота призмы равна гипо-тенузе основания. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Ответ:

3. Найдите площадь поверхности куба, ребро которого равно 2.

Ответ:

4. Найдите площадь поверхности куба,

диагональ которого равна 3 3.

Ответ:

5. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10, а одна из сторон основания равна 8. Найдите площадь поверхности этого параллеле-пипеда, если его боковое ребро рав-но 2.

Ответ:

6. Боковое ребро наклонной призмы рав-но 4 и образует с плоскостью её осно-вания угол 30�. Найдите объём призмы, если площадь её основания равна 6.

Ответ:

7. Найдите объём куба, диагональ грани

которого равна 4 2.

Ответ:

8. Найдите объём прямоугольного парал-лелепипеда, рёбра которого равны 2, 3 и 4.

Ответ:

9. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 5, а одна из сторон основания равна 4. Найдите объём этого параллелепипеда, если его боковое ребро равно 3.

Ответ:

262 10. Основанием параллелепипеда является ромб со стороной 10 и острым углом 45�. Одно из боковых рёбер па-раллелепипеда составляет с плоско-стью этого основания угол 30� и рав-

но 2 2. Найдите объём параллелепи-педа.

Ответ:



sin coscos

.� ��

Ответ:


2 2(cos – sin )sin

.� ��

Ответ:

3. Найдите значение выражения sin – cossin

.2 244 44

2 2� �

�

Ответ:

Пирамида, её элементы.Правильная пирамида, её элементы.Правильная треугольная пирамида


1. Апофема правильной треугольной пи-рамиды равна 3, а боковое ребро равно 5. Найдите сторону основания пирами-ды.

Ответ:

2632. Высота правильной треугольной пира-миды равна 3, а высота основания пи-рамиды равна 6. Найдите боковое ре-бро пирамиды.

Ответ:

3. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 13, а высота ос-нования пирамиды равна 18. Найдите высоту пирамиды.

Ответ:

4. Высота правильной треугольной пира-миды равна 12, а апофема пирамиды равна 13. Найдите высоту основания пирамиды.

Ответ:

5. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 4, а сторона ос-нования пирамиды равна 6. Найдите высоту пирамиды.

Ответ:

6. Высота правильной треугольной пи-рамиды втрое меньше стороны осно-вания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пира-миды. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, высота равна 5. Найдите угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

8. Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной пи-рамиды равен 5. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани этой пирамиды и плоскостью её основания.

Ответ:

264 9. Высота основания правильной тре-угольной пирамиды составляет три четверти высоты пирамиды. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Ответ:

10. Одна из биссектрис основания пра-вильной треугольной пирамиды рав-на 12, а высота пирамиды равна 24. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пира-миды.

Ответ:


1. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если из следующих четырёх утверждений о нём истинны все четыре:

1) сумма углов многоугольника больше 400�; 2) сумма углов многоугольника больше 500�; 3) сумма углов многоугольника меньше 600�; 4) сумма углов многоугольника меньше 700�.

Ответ:

2. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если среди следующих четырёх утверждений о нём нет ни одного истинного:

1) сумма углов многоугольника меньше 600�; 2) сумма углов многоугольника меньше 700�; 3) сумма углов многоугольника больше 800�; 4) сумма углов многоугольника больше 900�.

Ответ:

3. Какие из следующих неравенств имеют только положительные решения:

1) 7 33

9 0x x

+ – > ; 2) ( ) ;xx

+

–

317

20� 3) 1

9 3 45 20

x x– –> ; 4) 15

3 5 2

85 3x x x+ –

> – ?

265В ответе запишите в порядке возрастания номера правильных ответов без пробелов, запятых и других символов.

Ответ:


1. Высота правильной треугольной пира-миды равна 6, а высота основания пи-рамиды равна 9. Найдите угол накло-на бокового ребра пирамиды к плоскости её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 8, а высота осно-вания пирамиды равна 6. Найдите угол наклона бокового ребра пирами-ды к плоскости её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 20, а одна из биссектрис основания пирамиды рав-на 15. Найдите угол между прямой, содержащей боковое ребро пирмиды, и плоскостью её основания. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

4. Апофема правильной треугольной пи-рамиды равна 2, а высота основания равна 3. Найдите угол между плоско-стью боковой грани пирамиды и пло-скостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

266 5. Высота правильной треугольной пира-миды равна 5, а высота основания пи-рамиды равна 15. Найдите угол меж-ду плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Высота правильной треугольной пира-миды равна 6, а сторона основания пирамиды равна 12. Найдите угол между плоскостью боковой грани пи-рамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

7. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды равно 4, а сторона ос-нования пирамиды равна 6. Найдите угол между прямой, содержащей бо-ковое ребро пирамиды, и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

8. Высота правильной треугольной пи-рамиды равна 8, а высота основания пирамиды равна 12. Найдите угол на-клона бокового ребра к плоскости ос-нования. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

9. Боковое ребро правильной треуголь-ной пирамиды образует угол 45� с плоскостью основания. Найдите высо-ту пирамиды, если сторона основания равна 15.

Ответ:

10. Боковая грань правильной треуголь-ной пирамиды образует с плоскостью основания угол, равный 60�. Найдите сторону основания, если высота пира-

миды равна 10 3.

Ответ:


1. Какое из следующих неравенств имеет только отрицательные решения:

1) 5 33

2 0x x

+ + < ; 2) ( – )xx

313

20

+� ; 3) 1

5 3 45 20

x x– –< ; 4) 12

2 3 4

75 3x x x+ –

< – ?

Ответ:


Неравенство ( )( )x xx

2 121 1111

0– +–

> :

1) не имеет решений;2) справедливо при всех x, отличных от –11 и 11;3) справедливо при любом действитель-ном x;4) справедливо при всех x, отличных от –11;5) справедливо при всех x, отличных от 11.

Ответ:


Неравенство 2 7

4

2 15

42 2

x

x

x

x

–

–

–

–> :

1) не имеет решений;2) справедливо при всех x, отличных от –2 и 2;3) справедливо при любом действитель-ном x;4) справедливо при всех x (–2; 2);5) справедливо при всех x (–; –2) � (2; +).

Ответ:

268 Правильная четырёхугольная пирамида.Правильная шестиугольная пирамидаДомашняя (зачётная) работа 113

1. Апофема правильной четырёхуголь-ной пирамиды равна 6, а боковое ре-бро равно 10. Найдите сторону основа-ния пирамиды.

Ответ:

2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, а апофема пирами-ды равна 5. Найдите сторону основа-ния пирамиды.

Ответ:

3. Сторона основания правильной четы-рёхугольной пирамиды равна 16, а апофема пирамиды равна 10. Найдите высоту пирамиды.

Ответ:

4. Диагональ основания правильной че-тырёхугольной пирамиды равна 10, а боковое ребро равно 13. Найдите вы-соту пирамиды.

Ответ:

5. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12, а сторона основа-ния равна 5. Найдите боковое ребро пирамиды.

Ответ:

6. В правильной четырёхугольной пира-миде SABCD все рёбра равны. Найди-те угол между ребром основания и бо-ковым ребром, выходящими из одной вершины. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2697. В правильной четырёхугольной пира-миде диагональ основания равна боко-вому ребру. Найдите угол наклона бо-кового ребра к основанию. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

8. В правильной четырёхугольной пира-миде все рёбра равны. Найдите угол между боковыми рёбрами, не принад-лежащими одной грани. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

9. В правильной четырёхугольной пира-

миде высота равна 3, а боковые рёбра равны 2. Найдите угол между боковы-ми рёбрами, не принадлежащими од-ной грани. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

10. В правильной четырёхугольной пира-миде апофема равна 2, а боковое реб-

ро равно 6. Найдите угол между бо-ковой гранью и основанием. Ответ дайте в градусах.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравенства 2x – 8 � 4x + 6. 1) [–7; +) 2) (–; –7] 3) [1; +) 4) (–; 1]

Ответ:

2. Укажите множество решений неравенства –3 – x < 4x + 7. 1) (–; –0,8) 2) (–2; +) 3) (–; –2) 4) (–0,8; +)

Ответ:

3. Укажите множество решений неравенства 2 + x � 5x – 8.

270Ответ:


1. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро равно 12. Найдите угол между пря-мой, содержащей боковое ребро пира-миды, и плоскостью основания пира-миды. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Боковое ребро правильной четырёх-угольной пирамиды равно 4 и равно стороне основания пирамиды. Найдите угол между прямой, содержащей боко-вое ребро пирамиды, и плоскостью ос-нования пирамиды. Ответ дайте в гра-дусах.

Ответ:

3. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основа-ния равна 8. Найдите угол между пло-скостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 14 и равна стороне основания пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани пи-рамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

5. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 6 и равна стороне ос-нования пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани пи-рамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2716. Найдите расстояние между прямыми AC и NM, где точки N и M — середи-ны боковых рёбер SB и SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, если высота пирамиды равна 7.

Ответ:

7. Найдите сторону основания правиль-ной четырёхугольной пирамиды, ес-ли высота этой пирамиды равна 12, а апофема равна 15.

Ответ:

8. Найдите площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью SAC, если высота SH пи-

рамиды равна 3 2, а сторона основа-ния равна 7.

Ответ:

9. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBD правильной четырёх-угольной пирамиды SABCD с верши-ной S, если площадь основания пира-миды равна 98.

Ответ:

10. Найдите площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, где S — вершина пирамиды, плоско-стью SAC, если боковые рёбра пира-миды равны 17, а диагональ основа-ния BD равна 16.

Ответ:


1. При каких значениях x значение вы- ражения 6x + 9 меньше значения вы- ражения 9x – 3? 1) x > –2 2) x < 4 3) x < –2 4) x > 4

Ответ:

272 2. На каком из рисунков изображено решение неравенства –9 + 10(–2x + 9) < –7?

Ответ:

3. Укажите множество решений системы неравенств – + <

– < –35 5 0

6 3 3x

x,

.мно

Ответ:

Пирамиды. Площади и объёмыДомашняя (зачётная) работа 115

1. Апофема правильной треугольной пи-рамиды равна 8, а боковое ребро равно 10. Найдите площадь боковой поверх-ности пирамиды.

Ответ:

2. Высота правильной треугольной пира-миды равна 1, а сторона основания равна 6. Найдите площадь боковой по-верхности пирамиды.

Ответ:

3. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основа-ния равна 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ:

2734. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а апофема пирами-ды равна 10. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ:

5. Боковое ребро правильной шестиуголь-ной пирамиды равно 13, а сторона ос-нования пирамиды равна 10. Найдите площадь боковой поверхности пирами-ды.

Ответ:

6. Найдите S — площадь поверхности те-траэдра, если все его рёбра равны 5. В

ответе запишите S

3.

Ответ:

7. Рёбра тетраэдра равны 4. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.

Ответ:

8. Боковое ребро правильной четырёх-угольной пирамиды образует с пло-скостью основания угол 60�. Найдите площадь основания пирамиды, если боковое ребро равно 10.

Ответ:

9. Найдите площадь боковой поверхно-сти правильной четырёхугольной пи-рамиды, сторона основания которой равна 16, а высота равна 6.

Ответ:

10. Найдите площадь поверхности пра-вильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 4.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравен- ства x2 – 36 > 0. 1) (–; +) 2) (–; –6) � (6; +) 3) (–6; 6) 4) нет решений

Ответ:

2. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) x2 – 43 > 0 2) x2 + 43 > 0 3) x2 – 43 < 0 4) x2 + 43 < 0

Ответ:

3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.Неравенство Множество решений

А) x2 – 4 > 0 1) (0; 4)Б) 4x – x2 > 0 2) (–; –2) � (2; +)В) x2 – 16 � 0 3) [–4; 4]Г) x2 + 16 > 0 4) (–; +)




1. Сторона основания правильной тре-угольной пирамиды равна 6, а высота

пирамиды равна 3. Найдите объём пирамиды.

Ответ:

2752. Объём данной треугольной пирамиды равен 60. Найдите объём пирамиды, вершиной которой является вершина данной пирамиды, а вершинами осно-вания служат середины сторон основа-ния данной пирамиды.

Ответ:

3. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 13, а высота пирами-ды равна 12. Найдите объём пирами-ды.

Ответ:

4. Диагональ основания правильной че-тырёхугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите объём пирамиды.

Ответ:

5. Сторона основания правильной шести-угольной пирамиды равна 2, а боковое

ребро пирамиды равно 19. Найдите объём пирамиды.

Ответ:

6. Основанием пирамиды является пря-моугольник со сторонами 9 и 7, её объём равен 105. Найдите высоту этой пирамиды.

Ответ:

7. Найдите объём правильной треуголь-ной пирамиды, стороны основания ко-

торой равны 5, а высота равна 4 3.

Ответ:

8. Найдите высоту правильной треуголь-ной пирамиды, стороны основания ко-

торой равны 2, а объём равен 3 3.

Ответ:

276 9. Найдите объём пирамиды, высота ко-торой равна 8, а основание — прямо-угольник со сторонами 2 и 6.

Ответ:

10. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 9. Найдите объём пирами-ды, если её высота равна 2.

Ответ:


1. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) x2 – 2x – 65 < 0 2) x2 – 2x – 65 > 0 3) x2 – 2x + 65 < 0 4) x2 – 2x + 65 > 0

Ответ:

2. Укажите множество решений неравен- ства x2 + x > 56. 1) (–; 8) 2) (–7; +) 3) (–; –8) � (7; +) 4) (–7; 8)

Ответ:

3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.Неравенство Множество решенийА) x2 – 16 � 0 1) [2; 8]Б) x2 – 8x + 16 > 0 2) (–; 4) � (4; +)В) x2 – 10x + 16 � 0 3) (–8; 2)Г) x2 + 6x – 16 < 0 4) (–; –4] � [4; +) Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

277Ответ:

А Б В Г

Сфера и шар, их элементы. Площадь сферы и объём шара


1. Шар пересечён плоскостью на рассто-янии 4 от центра. Найдите радиус се-чения, если радиус шара равен 5.

Ответ:

2. Шар пересечён плоскостью на расстоя-нии 12 от центра. Найдите радиус ша-ра, если радиус сечения равен 5.

Ответ:

3. Шар диаметром 26 пересечён плоско-стью. Найдите расстояние от этого сечения до центра шара, если радиус сечения равен 12.

Ответ:

4. Через середину радиуса шара проведе-на перпендикулярная ему плоскость. Найдите радиус шара, если длина

окружности сечения равна 4 3p .

Ответ:

5. Через середину радиуса шара проведе-на перпендикулярная ему плоскость. Найдите радиус шара, если площадь сечения равна 243p.

Ответ:

278 6. Куб вписан в шар. Найдите радиус

шара, если ребро куба равно 10 3.

Ответ:

7. Шар вписан в куб. Найдите радиус шара, если диагональ куба рав-

на 14 3.

Ответ:

8. Шар пересечён плоскостью так, что радиус сечения в 5 раз меньше ради-уса шара. Найдите радиус шара, если площадь сечения равна 4p.

Ответ:

9. Шар пересечён двумя параллельными плоскостями так, что расстояние от центра шара до первой плоскости рав-

но 5p , а до второй —

12p . Найдите дли-

ну окружности второго сечения шара, если длина окружности первого сече-ния равна 24.

Ответ:

10. Шар пересечён двумя параллельны-ми плоскостями так, что расстояние от центра шара до первой плоскости равно 5. Найдите расстояние до вто-рой плоскости, если площадь первого сечения шара равна 225p, а площадь второго равна 81p.

Ответ:


1. Решите двойное неравенство 2x – 3 � 5x – 2 � 3 – 2x.

Ответ:

2792. Решите двойное неравенство 6x – 5 � 6 – 5x � 5 – 6x.

Ответ:

3. Решите двойное неравенство 1,7x – 2,6 < 0,7x – 0,6 � 2,7x – 1,6.

Ответ:


1. Площадь большого круга шара рав-на 7. Найдите площадь поверхности шара.

Ответ:

2. Шар пересечён плоскостью так, что радиус сечения в 3 раза меньше ради-уса шара. Найдите площадь сечения, если площадь поверхности шара равна 72.

Ответ:

3. Во сколько раз уменьшится объём шара, если его радиус уменьшить в 2 раза?

Ответ:

4. Два чугунных шара диаметрами 373 и 3 переплавили в один. Найдите диа-метр нового шара.

Ответ:

280 5. Бетонный шар весит 1,3 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бето-на?

Ответ:

6. Биллиардный шарик весит 640 г. Сколько граммов будет весить шар вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?

Ответ:

7. Прямоугольный параллелепипед опи-сан около сферы радиуса 2. Найдите его объём.

Ответ:

8. Объём прямоугольного параллелепипе-да, описанного около сферы, равен 27. Найдите радиус сферы.

Ответ:

9. Шар, объём которого равен 9p, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ответ:

10. У шарообразной капсулы из свинца площадь поверхности внутренней сфе-ры капсулы равна 16p см2, а площадь поверхности внешней сферы равна 144p см2. Найдите толщину капсулы в сантиметрах, если известно, что внеш-няя и внутренняя сферы концентриче-ские.

Ответ:


1. Решите систему неравенств 4 9 9 41 7 51

x xx+ +м

но

��

,, .

Ответ:

2812. Решите систему неравенств – , , ,

, , .0 7 2 1

2 1 0 7x

x�

<мно

Ответ:

3. Решите систему неравенств 53

0 6 16

0 7 0 56

x x

x

< +

>

мнп

оп

, ,

, – , .

Ответ:

Цилиндр, его элементы.Площадь поверхности цилиндраДомашняя (зачётная) работа 119

1. Найдите высоту цилиндра, диагональ осевого сечения и радиус основания которого равны соответственно 17 и 4.

Ответ:

2. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите площадь этого сече-ния, если площадь основания цилин-дра равна 13p.

Ответ:

282 3. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите площадь основания цилиндра, если диагональ осевого се-

чения равна 8

p.

Ответ:

4. Площадь сечения цилиндра плоско-стью, отстоящей от оси цилиндра на расстояние, равное 4, равна 36. Най-дите высоту цилиндра, если радиус основания равен 5.

Ответ:

5. Плоскость, параллельная оси цилин-дра, пересекает цилиндр так, что в сечении получается квадрат. Найдите высоту цилиндра, если расстояние от этого сечения до оси цилиндра равно 12, а радиус основания равен 13.

Ответ:

6. На окружностях обоих оснований ци-линдра выбрано по точке, расстояние между которыми равно 13. Найдите расстояние от этого отрезка до оси цилиндра, если высота цилиндра рав-на 5, а радиус основания равен 10.

Ответ:

7. На окружностях обоих оснований ци-линдра выбрано по точке. Найдите расстояние между этими точками, ес-ли расстояние от прямой, проходящей через эти точки, до оси цилиндра рав-но 5, высота цилиндра равна 7, а ра-диус основания равен 13.

Ответ:

8. Точка, лежащая на окружности верх-него основания цилиндра, соединена с точкой, лежащей на окружности ниж-него основания. Угол между радиуса-ми, проведёнными в эти точки, равен 60�. Найдите угол между проведённой прямой и осью цилиндра, если радиус цилиндра равен его высоте. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

2839. Точка, лежащая на окружности верх-него основания цилиндра, соединена с точкой, лежащей на окружности ниж-него основания. Угол между радиуса-ми, проведёнными в эти точки, равен 60�. Найдите длину отрезка, соединя-ющего выбранные точки, если радиус

и высота цилиндра равны 3 2.

Ответ:

10. Точки A и B лежат на окружности одного, а точки C и D на окружно-сти другого основания цилиндра, при этом ABCD — квадрат. Найдите сторо-ну квадрата, если известно, что радиус основания цилиндра равен 2, а высо-та — 4.

Ответ:


1. Укажите неравенство, решением которого является каждое из чисел –7; –6; 8; 6.

1) xx

+ 73

0–

� 2) xx

– 73

0+

� 3) xx

–+

54

0� 4) xx

+ 59

0–

�

Ответ:


1) xx

––

34

0< 2) ( – )

–xx

34

2

0< 3) xx

––

34

0� 4) ( – )

–xx

34

2

0� Ответ:

284 3. Укажите множество решений неравенства ( )( – )

–x x

x+ 2 4

30� .

1) (–2; 3) � (4; +) 2) [–2; 3) � [4; +)3) (–; –4) � (–3; 2) 4) (–; –4] � (–3; 2]

Ответ:

Домашняя (зачётная) работа 1201. Площадь боковой поверхности цилин-

дра равна 36, высота равна 3. Найдите длину окружности основания цилиндра.

Ответ:

2. Площадь боковой поверхности цилин-дра равна 72p, а высота — 6. Найдите диаметр основания.

Ответ:

3. Площадь боковой поверхности ци-линдра равна 35p, а площадь основа-ния — 25p. Найдите высоту цилиндра.

Ответ:

4. Площадь полной поверхности цилин-дра равна 132p, а радиус основания — 6. Найдите высоту цилиндра.

Ответ:

5. Площадь полной поверхности цилин-дра равна 18p, а высота — 8. Найдите радиус основания цилиндра.

Ответ:

2856. Площадь боковой поверхности цилин-дра равна 27p. Найдите площадь осе-вого сечения цилиндра.

Ответ:

7. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой по-верхности цилиндра равна 36p.

Ответ:

8. Площадь боковой поверхности цилин-дра равна 60p, а диагональ осевого сечения равна 13. Найдите радиус ци-линдра, если известно, что он боль-ше 5.

Ответ:

9. Шар вписан в цилиндр. Площадь боко-вой поверхности цилиндра равна 154. Найдите площадь поверхности шара.

Ответ:

10. Цилиндр описан около шара, площадь поверхности которого равна 24. Най-дите площадь полной поверхности ци-линдра.

Ответ:


1. Укажите неравенство, множество решений которого совпадает с множеством реше-

ний неравенства 1

212x +

< .

1) xx

++

<12

0 2) x

x +<

20 3)

xx

++

>12

0 4) x

x +>

20

Ответ:

286 2. Укажите множество решений неравенства xx

x+

+15

1–

.�

1) {–1} � [6; +) 2) (–; –1) � (–1; +)3) (–; –1] � (5; 6] 4) [–1; 5) � [6; +)

Ответ:


1) 1

21

x –< 2)

12

1x +

< 3) 1

21

x –> 4)

12

1x +

> Ответ:

Конус, его элементы.Площадь поверхности конусаДомашняя (зачётная) работа 121

1. Образующая конуса равна 10, а его высота равна 8. Найдите диаметр ос-нования конуса.

Ответ:

2. Образующая конуса равна 15, а диа-метр его основания равен 18. Найдите высоту конуса.

Ответ:

3. Высота конуса равна 12, а диаметр его основания равен 10. Найдите образую-щую конуса.

Ответ:

2874. Высота конуса равна 12, а длина окружности его основания равна 10p. Найдите образующую конуса.

Ответ:

5. Высота конуса равна 5, а его образую-щая равна 13. Найдите периметр осе-вого сечения конуса.

Ответ:

6. Образующая конуса равна 13, а радиус его основания равен 12. Найдите пло-щадь осевого сечения конуса.

Ответ:

7. Высота конуса равна 8, а площадь осе-вого сечения конуса равна 48. Найдите образующую конуса.

Ответ:

8. Образующая конуса равна 10, а длина окружности его основания равна 16p. Найдите площадь осевого сечения ко-нуса.

Ответ:

9. Высота конуса равна 15, а образую-щая — 17. Найдите диаметр основа-ния конуса.

Ответ:

10. Образующая конуса длины 8 на-клонена к плоскости основания под углом 30�. Найдите высоту конуса.

Ответ:

Задачи на повторение1. Укажите множество решений неравенства 9x > 9.

1) (1; +) 2) (0; +) 3) (–; 1) 4) (–; 0)

Ответ:

288 2. Укажите множество решений неравенства 16

1( )x

> .

1) (–; 0) 2) (–; 1) 3) (1; +) 4) (0; +)

Ответ:


4( )x

� . ?

Ответ:


1. Образующая конуса равна 12, а его высота равна 6. Найдите угол при вер-шине осевого сечения конуса. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Образующая конуса равна 8 и равна диаметру его основания. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Высота конуса равна 11, а диаметр его основания равен 22. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. От-вет дайте в градусах.

Ответ:

4. Образующая конуса равна 6, а длина окружности его основания равна 12p. Найдите угол при вершине осевого се-чения конуса.

Ответ:

2895. Высота конуса равна 6, а длина окруж-ности его основания равна 12p. Най-дите угол при вершине осевого сече-ния конуса. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Образующая конуса равна 6, а длина окружности его основания равна 10. Найдите площадь боковой поверхно-сти конуса.

Ответ:

7. Площадь боковой поверхности конуса равна 20p, а площадь его основания равна 16p. Найдите образующую кону-са.

Ответ:

8. Площадь боковой поверхности конуса равна 15p, а площадь его полной по-верхности равна 24p. Найдите образу-ющую конуса.

Ответ:

9. Площадь боковой поверхности конуса равна 54, длина окружности основа-ния равна 18. Найдите образующую конуса.

Ответ:

10. Цилиндр и конус имеют общие осно-вание и высоту. Высота цилиндра рав-на радиусу основания. Площадь боко-вой поверхности цилиндра равна 9 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравенства 7x � 49.1) (–; 2] 2) (–; –2] 3) [–2; +) 4) [2; +)

Ответ:

290 2. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 0,1x > 100?

Ответ:

3. Укажите множество решений неравенства 16x � 8.

1) – ; 34

жиз

щыъ

2) – ; 43

жиз

щыъ

3) 43

; +йлк

цшч 4)

34

; +йлк

цшч

Ответ:

Объём цилиндра и объём конуса


1. Найдите объём V цилиндра, радиус ос-нования которого равен 7, а высота

равна 2. В ответе укажите Vp

.

Ответ:

2. Объём цилиндра равен 72, а высота равна 9. Найдите площадь основания цилиндра.

Ответ:

3. Осевое сечение цилиндра является квадратом. Найдите высоту цилиндра, если его объём равен 250p.

Ответ:

4. Прямоугольный параллелепипед опи-сан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2 и 7 соот-ветственно. Найдите объём параллеле-пипеда.

Ответ:

2915. Прямоугольный параллелепипед опи-сан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объём параллелепи-педа равен 320. Найдите высоту ци-линдра.

Ответ:

6. Правильная треугольная призма впи-сана в цилиндр. Найдите объём при-

змы, если объём цилиндра равен 8p 3.

Ответ: 7. Вокруг цилиндра описана правильная

треугольная призма. Найдите объём призмы, если объём цилиндра ра-

вен 5p 3.

Ответ:

8. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 28. Найдите объём цилин-дра.

Ответ: 9. В цилиндре проведено сечение, парал-

лельное основаниям и делящее высоту на два отрезка длиной 15 и 5, считая от верхнего основания. Во сколько раз объём большего отсечённого цилиндра больше объёма меньшего отсечённого цилиндра?

Ответ:

10. В цилиндре проведено сечение, парал-лельное основаниям и делящее высоту на два отрезка длиной 3 и 1, считая от верхнего основания. Найдите объём цилиндра, если объём меньшего отсе-чённого цилиндра равен 5.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравенства log6 x � 0.1) [6; +) 2) (0; 6] 3) (0; 1] 4) [1; +)

Ответ:

292 2. Укажите множество решений неравенства log5 x � 1.1) [0; 5] 2) (–; 5] 3) [0; 1] 4) (0; 5]

Ответ:

3. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log2 x � 1?

Ответ:


1. Найдите объём V конуса, радиус осно-вания которого равен 5, а высота рав-

на 6. В ответе укажите Vp

.

Ответ:

2. Найдите объём V конуса, радиус осно-вания которого равен 5, а образую-

щая — 13. В ответе укажите Vp

.

Ответ:

3. Во сколько раз увеличится объём ко-нуса, если радиус его основания уве-личится в 3 раза, а высота уменьшит-ся в 1,5 раза?

Ответ:

4. В сосуде, имеющем форму конуса,

уровень жидкости достигает 23

высо-

ты. Объём сосуда 270 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Ответ:

2935. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный тре-угольник, площадь которого равна 36. Найдите объём V конуса. В ответе ука-

жите Vp

.

Ответ:

6. Равносторонний треугольник вращает-ся вокруг своей стороны, равной 6. Найдите объём V полученного тела

вращения. В ответе укажите Vp

.

Ответ:

7. Прямоугольный треугольник с катета-ми 20 и 15 вращается вокруг гипоте-нузы. Найдите объём V полученного

тела вращения. В ответе укажите Vp

.

Ответ:

8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём ко-нуса равен 5. Найдите объём шара.

Ответ:

9. Длина образующей конуса равна 5, а длина окружности основания — 6p. Найдите объём V конуса. В ответе ука-

жите Vp

.

Ответ:

10. Образующая конуса равна 13 и состав-ляет с плоскостью основания угол, си-

нус которого равен 1213

. Найдите объ-

ём V конуса. В ответе укажите Vp

.

Ответ:


1. Укажите множество решений неравенства log2 x � 6.1) [36; +) 2) [64; +) 3) (0; 36] 4) (0; 64]

Ответ:

2. Укажите множество решений неравенства log – .13

4x <

1) (81; +) 2) (64; +) 3) (0; 81) 4) (0; 64)

Ответ:

3. На каком рисунке изображено множество решений неравенства log ?16

12

x �

Ответ:

Изменение площади и объёма фигурыпри изменении её элементовДомашняя (зачётная) работа 125

1. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности куба, если все его рёбра уменьшить в 1,5 раза?

Ответ:

2. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильного тетраэ-дра, если все его рёбра уменьшить в 1,6 раза?

Ответ: 3. Во сколько раз уменьшится площадь

поверхности правильной четырёх-угольной пирамиды, если все её рёбра уменьшить в 1,4 раза?

Ответ:

2954. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности шара, если радиус шара уменьшить в 2,5 раза?

Ответ:

5. Даны два шара с радиусами 14 и 7. Во сколько раз площадь поверхности меньшего шара меньше площади по-верхности большего?

Ответ:

6. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в 2 раза вы-ше второй, а вторая втрое шире пер-вой. Во сколько раз площадь боковой поверхности второй кружки больше площади боковой поверхности первой?

Ответ:

7. Цилиндр описан около шара, площадь поверхности которого равна 54. Най-дите площадь поверхности цилиндра.

Ответ:

8. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соот-ветственно 5 и 12, а второго — 2 и 6. Во сколько раз площадь боковой по-верхности второго конуса больше пло-щади боковой поверхности первого?

Ответ:

9. Правильная треугольная призма впи-сана в цилиндр, радиус основания и

высота которого равны 3 и 2 соот-ветственно. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ:

10. Найдите площадь боковой поверхно-сти правильной шестиугольной при-змы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 3, а высота равна 5.

Ответ:

296 Задачи на повторениеНа рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–5; 12).


1. Каково наименьшее значение функции f(x)? Ответ:

2. В какой точке на отрезке [–3; 3] значение функции f(x) наибольшее?

Ответ:

3. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. В скольких из них зна-чение функции f(x) больше 2?

Ответ:


1. Даны два шара с радиусами 5 и 15. Во сколько раз объём первого шара мень-ше объёма второго?

Ответ:

2. В бак цилиндрической формы налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке под-нялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сан-тиметрах, зная, что в одном литре 1000 см3.

Ответ:

3. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне 90 см. На каком уровне окажется вода, если её пере-лить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

2974. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в 2 раза ни-же второй, а вторая — втрое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

Ответ:

5. В сосуде, имеющем форму конуса,

уровень жидкости достигает 13

высо-

ты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нуж-но долить, чтобы наполнить сосуд до-верху?

Ответ:

6. Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а высота первого кону-са в 5 раза больше, чем высота второ-го. Чему равен объём первого конуса, если объём второго равен 18?

Ответ:

7. Конус и цилиндр имеют общее осно-вание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 144.

Ответ:

8. Найдите объём многогранника, вер-шинами которого являются точки B, C, A1, B1, C1 прямоугольного паралле-лепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, AD = 3, AA1 = 5.

Ответ:

9. Площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго в 16 раз. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго шара?

Ответ:

10. Площадь поверхности первого куба меньше площади поверхности второ-го куба в 9 раз. Во сколько раз объём первого куба меньше объёма второго куба?

Ответ:




1. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. Какие из них являются точками максимума функции f(x)? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) A; 2) B; 3) C; 4) D; 5) H; 6) I.

Ответ:

2. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и T. На каких из перечислен-ных ниже отрезках функция f(x) монотонна? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) [A; B]; 2) [B; C]; 3) [D; E]; 4) [E; F]; 5) [F; H]; 6) [G; I].

Ответ:

3. На рисунке отмечено 9 точек: A, B, C, D, E, F, G, H и I. Какие из них принадле-жат промежуткам возрастания функции f(x)? Запишите номера правильных ответов в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов.

1) B; 2) C; 3) D; 4) E; 5) F; 6) H.

Ответ:

Повторение и обобщение. Практические и прикладные задачи по стереометрии в ЕГЭ по математикеДомашняя (зачётная) работа 127

1. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

Ответ:

2992. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает тетраэдр на два многогран-ника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Ответ:

3. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько рёбер у получившегося многогранни-

ка (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ответ:

4. К правильной треугольной призме с ребром основания 1 приклеили правильную тре-угольную пирамиду с ребром основания 1 так, что грани оснований совпали. Сколь-ко рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изобра-жены)?

Ответ:

300 5. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Ответ:

6. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите пло-щадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

7. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см без одной грани, нужно покрасить сна-ружи со всех сторон. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

3018. Аквариум объёмом 105 л имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Высота ак-вариума равна 50 см, а ширина — 70 см. Найдите глубину аквариума. Ответ дайте в сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Ответ:

9. Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рисунок), необходимо полно-стью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 4 м, длины стен дома равны 10 м и 15 м. Найдите, сколько рубероида нужно для покрытия этой кры-ши, если скаты крыши равны. Ответ дайте в ква-дратных метрах.

Ответ:

10. Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной му-зейной копии этой пирамиды равна 52,5 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:


1. Определите по графику значение sin – .56p( ) Ответ:

302 2. Определите по графику значение cos .–23p( )

Ответ:

3. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.1) Если sin x = 0, то cos x = 1.2) Если cos x = 1, то sin x = 0.3) Если sin x = 1, то cos x = 0.4) Если cos x = 0, то sin x = 1.

Ответ:


1. Однородный шар диаметром 8 см имеет массу 192 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 6 см? Ответ дайте в граммах.

Ответ:

2. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в два раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз площадь боковой поверхности второй кружки больше площади боковой поверхности первой?

Ответ:

3033. Чтобы приготовить торт цилиндрической формы, Света использует 0,7 кг муки. Сколько муки нужно взять Свете, чтобы сделать торт той же формы, но в полтора раза выше и в два раза шире? Ответ дайте в килограммах.

Ответ:

4. Объём бака цилиндрической формы равен 6 л, а площадь его основания 120 см2. Чему равна высота этого бака (в см)? Ответ дайте в сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 см3.

Ответ:

5. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне 90 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

6. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 15 л воды. После полного погруже-ния детали в воду уровень воды в баке поднялся в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 см3.

Ответ:

304

7. В бак цилиндрической формы налито 12 л воды. После полного погружения детали в воду уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дай-те в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 см3.

Ответ:

8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 13

высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы на-полнить сосуд доверху?

Ответ:

9. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости до-

стигает 23

высоты. Объём сосуда 270 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Ответ:



А) y = sin x Б) y = tg x В) y = cos x

В таблице под каждой буквой впишите соответствующий номер.


2. Установите соответствие между функциями и их графиками. А) y = cos x Б) y = tg x В) y = sin x



306 3. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов.1) График функции y = tg x симметричен относительно оси абсцисс.2) График функции y = tg x симметричен относительно оси ординат.3) График функции y = tg x симметричен относительно начала координат.4) График функции y = tg x симметричен относительно прямой y = x.

Ответ:

Повторение и обобщение. Задачи по стереометрии на вычисление в ЕГЭ по математике


1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 6, а площадь поверхности параллелепипеда равна 72. Найдите объём этого параллелепипеда.

Ответ:

2. Дан куб, площадь поверхности которого равна 96. Найдите объём этого куба.

Ответ:

3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3. Объём этой призмы равен 12. Найдите гипотенузу треугольника в основании призмы, если её высота равна 2.

Ответ:

3074. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6, объём равен

72 3 . Найдите AC1.

Ответ:

5. Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а объём равен 32.

Ответ:

6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Ответ:

7. Дан шар радиуса 3

3 p . Найдите его объём.

Ответ:

8. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 10 и 9, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилин-дра больше площади боковой поверхности второго?

Ответ:

308 9. Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 12. Сечение, парал-лельное оси цилиндра, имеет площадь 96. Найдите расстояние, на которое это сече-ние удалено от оси цилиндра.

Ответ:

10. Объём конуса равен 18p, а радиус его основания равен 3. Найдите высоту конуса.

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f(x) = 4x. Найдите значе-ние функции f(x) в точке x = 1.

Ответ:

2. На рисунке изображён график функ-

ции f xx

( ) = 15( ) . В какой точке функ-

ция f(x) принимает значение 1?

Ответ:


А) y = x2 + 2 Б) yx

=2 В) y = 2x Г) y

x

= 12( )




1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 и диагонали боковых

граней AB1 и AD1 равны соответственно 5, 133 и 61. Найдите длину диагонали AC1.

Ответ:

2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6, а объём

этой призмы равен 36 3. Найдите высоту призмы ABCA1B1C1.

Ответ:

3. Найдите объём правильного тетраэдра, сторона которого равна 6 2.

Ответ:

310 4. Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего шара?

Ответ:

5. Объём шара равен 36

2p. Найдите длину окружности сечения шара плоскостью, про-

ходящей через его центр.

Ответ:

6. Образующая цилиндра равна 2, а его объём равен 8p . Найдите длину окружности

основания.

Ответ:

7. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответ-ственно 5 и 12, а второго — 2 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Ответ:

3118. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 3 : 4, считая от его вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если

объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 277

.

Ответ:


1. На рисунке изображён график функции f(x) = ax. Найдите значение функции f(x) в точке x = 0.

Ответ:


А) y = 2x Б) yx

= 13( ) В) y = 0,5x



3. Выберите верные утверждения. Запишите номера правильных ответов в порядке воз-растания без пробелов, запятых и других символов. 1) Функция f(x) = ax принимает каждое отрицательное значение один раз при 0 < a < 1.2) Функция f(x) = bx принимает каждое положительное значение один раз при b > 1.3) При c > 0 значение функции f(x) = cx в некоторой точке равно 0.

Ответ:

312 Диагностические работы

Диагностическая работа 1

Вариант 1

1. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Ниж-нем Новгороде каждый день с 16 по 31 июля 2010 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линиями. Определите по рисунку наименьшую среднесуточную тем-пературу за данный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ:

2. На графике изображена зависимость кру-тящего момента двигателя от числа оборо-тов в минуту. На горизонтальной оси от-мечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в ньютонах на метр. Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу числа оборотов в минуту характеристику крутящего момен-та.

ИнтервалА) 0—500 об./минБ) 1000—2500 об./минВ) 2500—4000 об./минГ) 4000—6000 об./мин

Характеристика1) при увеличении числа оборотов крутящий момент не меняется2) при увеличении числа оборотов крутящий момент уменьшается3) при увеличении числа оборотов самый быстрый рост крутящего момента4) при увеличении числа оборотов крутящий момент не превышает 20 Н · м




Ответ:


170

– :, .( )

Ответ:

5. Найдите значение выражения (512)3 : 537.

Ответ:

6. Расстояние между двумя городами равно 0,543 · 10–3 млн км. Сколько километров между этими городами?

Ответ:

7. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каж-дому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столб-ца.ВеличинаА) площадь трёхкомнатной квартирыБ) площадь футбольного поляВ) площадь территории РоссииГ) площадь купюры достоинством 100 р.

Возможное значение1) 0,7 га2) 100 м2

3) 97,5 см2

4) 17,1 млн км2



Вариант 2

1. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиме-трах. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков за данный период. Ответ дайте в миллиме-трах.

314

Ответ:

2. На графике изображена зависимость темпе-ратуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На гори-зонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия.Пользуясь графиком, поставьте в соответ-ствие каждому интервалу времени характе-ристику температуры.

ИнтервалА) 0—1 минБ) 2—3 минВ) 4—6 минГ) 7—9 мин

Характеристика1) температура росла и на всём интервале была выше 60 �C2) температура падала3) самый быстрый рост температуры4) температура находилась в пределах от 40 до 50 �C




Ответ:


56

– , .( ) �

Ответ:

3155. Найдите значение выражения (496)3 : (77)5.

Ответ:

6. Расстояние между двумя городами равно 0,345 · 10–4 млн км. Сколько километров между этими городами?

Ответ:


ВеличинаА) площадь волейбольной площадкиБ) площадь альбомного листаВ) площадь письменного столаГ) площадь города Москвы

Возможное значение1) 162 м2

2) 600 см2

3) 2511 км2

4) 1,2 м2




Вариант 1

1. Пакетик сока стоит 14 р. 50 к. Какое наибольшее количество пакетиков сока мож-но купить на 80 р.?

Ответ: 2. Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчи-

ков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Номер переводчика Языки Стоимость услуг

(р. в день)

1 Французский, английский 6100

2 Французский, немецкий 5800

3 Французский 2850

4 Испанский 3900

5 Английский, испанский 7100

6 Немецкий 2000

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют всеми четырьмя языками: английским, немецким, испанским и француз-

316 ским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 р. в день. В ответе укажите в порядке возрастания какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

3. Пять рубашек дешевле куртки на 25 %. На сколько процентов семь рубашек до-роже куртки?

Ответ:

4. Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.1) Если Шарик не лает, значит, по забору идёт кошка.2) Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт.3) Если по забору идёт чёрная кошка, Шарик не лает.4) Если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять.В ответе запишите в порядке возрастания номера выбранных утверждений без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

5. Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ: 6. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если

распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 ку-сков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Ответ:

7. В ящике находятся чёрные и белые носки, причём чёрных в 7 раз больше, чем бе-лых. Из ящика случайным образом достали один носок. Найдите вероятность, что он будет белым.

Ответ:

Вариант 21. Пакетик сока стоит 13 р. 50 к. Какое наибольшее количество пакетиков сока мож-

но купить на 100 р.?

Ответ:

3172. Турист подбирает экскурсии. Сведения об экскурсиях представлены в таблице.

Номер экскурсии Посещаемые объекты Стоимость, р.

1 Загородный дворец 350

2 Загородный дворец, музей живописи 400

3 Парк, крепость 300

4 Загородный дворец, парк 200

5 Крепость 200

6 Музей живописи 150

Пользуясь таблицей, подберите набор экскурсий так, чтобы турист посетил четыре объекта: крепость, загородный дворец, парк и музей живописи, а суммарная стои-мость экскурсий не превышала 650 р. В ответе укажите в порядке возрастания ка-кой-нибудь один набор номеров экскурсий без пробелов, запятых и других дополни-тельных символов.

Ответ:

3. Восемь рубашек дороже куртки на 28%. На сколько процентов шесть рубашек де-шевле куртки?

Ответ: 4. Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, собака Жучка, живущая в будке возле

дома, обязательно лает. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.1) Если Жучка не лает, значит, по забору идёт кошка.2) Если Жучка молчит, значит, кошка по забору не идёт.3) Если по забору идёт сиамская кошка, Жучка не лает.4) Если по забору пойдёт кошка Муся, Жучка будет лаять.В ответе запишите в порядке возрастания номера выбранных утверждений без про-белов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:

5. Вычеркните в числе 35 242 345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Ответ:

318 6. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:· за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную;· за 6 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменно-го пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появи-лось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Ответ:

7. В ящике находятся чёрные и белые носки, причём белых в 4 раза меньше, чем чёрных. Из ящика случайным образом достали один носок. Найдите вероятность, что он будет чёрным.

Ответ:


Вариант 1


( – ) ––

9 1002 13 10

13 10+( ) при a = 3,45.

Ответ:

2. Выполните действия ( – ) ( ).4 3 2 4 3 2+ Ответ:

3. Найдите значение выражения a

a

6 6

7 6

,

, при a = 0,8.

Ответ:


sinsin sin

.°° °�

Ответ:


sin ,p a+( ) если sin a = –0,8 и a ppО ( )32

2; .

Ответ:

6. Найдите значение выражения 62x – 1 � 36x � x при x =1

18.

Ответ:

7. Вычислите значение выражения log32 16.

Ответ:

8. Найдите значение выражения log ,aa

b5 если loga b = 3.

Ответ:

9. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S a b c r=

( ) ,+ +2

где a, b и c — стороны треугольника, а r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пользуясь этой формулой, найдите b, если a = 16, c = 17, S = 120 и r =245

.

Ответ:

10. Некая компания продаёт свою продукцию по цене p = 500 р. за единицу, пере-менные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 р., постоянные расходы предприятия f = 700 000 р. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия вычисляется по формуле p(q) = q (p – v) – f в рублях. Опре-

320 делите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при кото-ром месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500 000 р.

Ответ:

Вариант 2


( – ) ––

36 252 16 5

16 5+( ) при a = 36,7.

Ответ:

2. Выполните действия ( – ) ( ).7 2 3 7 2 3+

Ответ:

3. Найдите значение выражения a

a

7 4

8 4

,

, при a = 0,4. Ответ:


sinsin sin

.°° °�

Ответ:

5. Найдите зачение выражения 4 52

sin ,p a+( ) если sin a = –0,6 и a p pО ( ); .32

Ответ:

3216. Найдите значение выражения 72x – 1 � 49x � x при x =1

14.

Ответ:

7. Вычислите значение выражения log4 8. Ответ:

8. Найдите зачение выражения log ,aa

b3 если

loga b = 5. Ответ:


=4

, где a, b и c — сто-

роны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пользуясь этой формулой, найдите b, если a = 9, c = 41, S = 180 и R =412

.

Ответ:

10. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больц-мана, согласно которому мощность излучения нагретого тела (Вт) вычисляется по

формуле P ST= s 4, где s = 5,7 � 10–8 Вт

м К2 4 — постоянная, S — площадь поверхно-

сти тела (м2), T — температура тела (К). Известно, что площадь поверхности звезды

S =1

4321021� м2, а излучаемая ею мощность P не менее 1,71 � 1026 Вт. Определите

наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Ответ:

322 Диагностическая работа 4

Вариант 1

1. Найдите корень уравнения x2 + 9 = (x + 9)2.

Ответ:

2. Решите уравнение 2x2 – 9x – 5 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ:

3. Найдите корень уравнения xx

+ �55

9–

.= Ответ:


= + 5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе за-

пишите меньший из корней.

Ответ:

5. Найдите корень уравнения 6 5 6– .x = Ответ:

6. Решите уравнение 7 6+ x x= . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

укажите меньший из них.

Ответ:

3237. Найдите корень уравнения 86 – x = 64. Ответ:

8. Найдите корень уравнения 89 – x = 64x. Ответ:

9. Найдите корень уравнения log25 (x – 4) = 0,5. Ответ:

10. Найдите корень уравнения log5 (x2 + 2x) = log5 (x

2 + 10).

Ответ:

11*. Решите уравнение cos px = 0. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:

12*. Решите уравнение tg .px3

3= В ответе запишите наименьший положительный ко-рень уравнения.

Ответ:

Вариант 2

1. Найдите корень уравнения x2 + 14 = (x + 14)2. Ответ:

324 2. Решите уравнение 5x2 – 9x – 2 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Ответ:

3. Найдите корень уравнения xx

+ �66

3–

.= Ответ:


= + 6. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе ука-

жите меньший из них.

Ответ:

5. Найдите корень уравнения 9 8 9– .x = Ответ:

6. Решите уравнение 6 5+ x x= . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

укажите меньший из них.

Ответ:

7. Найдите корень уравнения 97 – x = 81. Ответ:

325 8. Найдите корень уравнения 69 – x = 36x. Ответ:

9. Найдите корень уравнения log49 (x – 6) = 0,5. Ответ:


log8 (x2 + 4x) = log8 (x

2 + 12). Ответ:

11*. Решите уравнение sin px = 0. В ответе укажите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:

12*. Решите уравнение ctg .px3

3= В ответе укажите наименьший положительный ко-

рень.

Ответ:


Вариант 1

1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и мно-жествами их решений.Неравенство Множество решенийА) (x – 2)2(x – 6) < 0 1) (–; 2) � (2; 6)Б) (x – 2)(x – 6) < 0 2) (2; 6)

В) ( )

–xx

–<

62

2

0 3) (–; 2)

Г) xx

––

26

0> 4) (–; 2) � (6; +)

326 Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий но-мер решения.


2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решенийА) x2 + 7x + 12 � 0 1) [3; 4]Б) x2 – 11x – 12 � 0 2) [–1; 12]В) x2 + 11x – 12 � 0 3) (–; –4] � [–3; +)Г) x2 – 7x + 12 � 0 4) (–; –12] � [1; +)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий но-мер решения.


3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений, изображённых на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.


А) x2 – 14x – 15 � 0

Б) x2 + 8x + 15 � 0

В) x2 + 8x + 15 � 0

Г) x2 – 14x – 15 � 0

327Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер реше-ния.

4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решений

А) 16

16( )x

� 1) [–1; +)

Б) 16

16( )x

� 2) [1; +)

В) 616

x � 3) (–; 1]

Г) 616

x � 4) (–; –1]

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер реше-ния.

5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решений

А) log8 x < –1 1) 018

;( )Б) log8 x > –1 2) (8; +)

В) log8 x < 1 3) 18

; +( )Г) log8 x > 1 4) (0; 8)

Ответ:

А Б В Г






А) log7 x � 1

Б) log7 x � 1

В) log7 x � –1

Г) log7 x � –1



7. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.


А) xx

––

15

0< 1) (–; 5)

Б) 1

5 10

( – )( – )x x> 2) (1; +)

В) 5–x + 7 > 25 3) (1; 5)

Г) log4 x > 0 4) (–; 1) � (5; +)

329Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий но-мер решения.



Неравенство Множество решенийА) 22–x > 22 1) (0; 1)

Б) 1

10

x x( – )> 2) (–; –1)

В) x

x – 10< 3) (–; 0) � (1; +)

Г) log2 x > 0 4) (1; +)





А) 13 2 1169

– x >

Б) x2 – 4x + 3 > 0

В) log2 (x – 1) < 1

Г) x

x

–

( – )

1

32 0>



Вариант 2

1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решенийА) (x – 1)2(x – 5) > 0 1) (–; 1) � (5; +)

Б) ( – )

–xx

51

2

0> 2) (1; 5)

В) xx

––

15

0> 3) (1; 5) � (5; +)

Г) (x – 1)(x – 5) < 0 4) (5; +)



2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений, изображённых на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.Неравенство Множество решений

А) (x – 1)2(x – 3) < 0

Б) (x – 1)(x – 3) > 0

В) xx

––

13

0<

Г) ( – )

–xx

31

2

0>

331Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий но-мер решения.


3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решенийА) x2 + 10x + 24 � 0 1) (–; 4] � [6; +)Б) x2 – 10x – 24 � 0 2) [–6; –4]В) x2 – 10x + 24 � 0 3) (–; –12] � [2; +)Г) x2 + 10x – 24 � 0 4) [–2; 12]



4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решенийА) 0,25x � 16 1) (–; 2]Б) 4x � 16 2) [2; +)В) 4x � 16 3) [–2; +)Г) 0,25x � 16 4) (–; –2]



332 5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений, изображённых на числовой оси, в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.Неравенство Множество решений

А) 0,4x � 0,4

Б) 2,5x � 0,4

В) 2,5x � 0,4

Г) 2,5x � 2,5



6. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из множеств решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и множе-ствами их решений.Неравенство Множество решенийА) log3 x < 3 1) (27; +)

Б) log3 x > –3 2) 1

27; +( )

В) log3 x > 3 3) 01

27;( )

Г) log3 x < –3 4) (0; 27)





А) 515

–x < 1) (1; 2)

Б) ( – )

–xx

21

2

0< 2) (1; +)

В) (x – 1)(x – 2) < 0 3) (–; 1)Г) log2 x > 1 4) (2; +)





А) xx

––

32

0< 1) (–; 2) � (3; +)

Б) log3 x > 1 2) (–; 2)

В) 1

2 30

( – )( – )x x> 3) (3; +)

Г) 31–x + 3 > 31 4) (2; 3)




334 Неравенство Множество решений

А) (x – 3)(x – 5) > 0

Б) x

x

–

( – )

5

32 0<

В) log2 (x – 3) < 1

Г) 10 1 1100

– x + <



Вариант 1

1. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках, убывает на проме-жутке [1; 2]? Укажите номер рисунка.

Ответ:

Ответ:

А Б В Г

3352. На рисунке изображён график функции y = f(x), заданной на промежутке [–5; 5]. Укажите все значения х, для которых выполняется неравен-ство 2 � f(x) < 7.

1) [–1; 1]2) [–1; 0) � (0; 1]3) [–5; 2] � [2; 5]4) [–5; 5]

Ответ:

3. На рисунке изображён график функции y = kcos x. Найдите значение k.

Ответ:

4. График какой из функций изображён на рисунке?

1) y = 2cos x2) y = –2cos x3) y = 2sin x4) y = –2sin x

Ответ:

5. На одном из рисунков изображён график функции y = 3–x. Укажите номер этого рисунка.

Ответ:

336 6. График какой из функций изображён на рисунке?

1) y = 4–x 2) y = 3–x

3) y = 4x 4) y = 3x

Ответ:

7. На одном из рисунков изображён график функции y = log2 (x – 4). Укажите номер этого рисунка.

Ответ:

8. График какой из функций изображён на ри-сунке?1) y = log0,5 (x – 6)2) y = log5 (x + 6)3) y = log5 (x – 6)4) y = log0,5 (x + 6)

Ответ:

337Вариант 2

1. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках, возрастает на про-межутке [–1; 1]?

В ответе укажите номер рисунка.

Ответ:

2. На рисунке изображён график функции y = f(x), заданной на промежутке [–4; 4]. Укажите все зна-чения х, для которых выполняется неравенство 2 � f(x) < 6.

1) [–2; 2]2) [–2; 0) � (0; 2]3) [–4; 2] � [2; 4]4) [–4; 4]

Ответ:

338 3. На рисунке изображён график функции y = kcos x. Найдите значение k.

Ответ:


1) y = 5sin x2) y = –5sin x3) y = 5cos x4) y = –5cos x

Ответ:

5. На одном из рисунков изображён график функции y = 3x. Укажите номер этого ри-сунка.

Ответ:


1) y = 4–x 2) y = 3–x

3) y = 4x 4) y = 3x

Ответ:

3397. На одном из рисунков изображён график функции y = log4 (x – 4). Укажите номер этого рисунка.

Ответ:

8. График какой из функций изображён на ри-сунке?

1) y x= log ( – )13

5

2) y x= log ( )13

5+

3) y = log3 (x – 5)4) y = log3 (x + 5)

Ответ:


Вариант 1

1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с аб-сциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ:

340 2. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с аб-сциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ:

3. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–9; 8). Найдите точку минимума функции f(x).

Ответ:

4. На рисунке изображён график диффе-ренцируемой функции y = f(x) и от-мечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Ответ:

5. На рисунке изображён график функ-ции y = f(x), определённой на ин-тервале (–9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функ-ции f(x) равна 0.

Ответ:

3416. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–8; 4). В какой точке отрез-ка [–2; 3] функция f(x) принимает наимень-шее значение?

Ответ:

7. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принад-лежащих отрезку [–2; 18].

Ответ:

Вариант 2

1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ:

342 2. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Най-дите значение производной функ-ции f(x) в точке x0.

Ответ:

3. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–3; 8). Найдите точку максимума функции f(x).

Ответ:

4. На рисунке изображён график диф-ференцируемой функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси аб-сцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производ-ная функции f(x) отрицательна?

Ответ:

5. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–5; 9). Найдите количе-ство точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ:

6. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–2; 9). В какой точке отрез-ка [2; 8] функция f(x) принимает наимень-шее значение?

Ответ:

3437. На рисунке изображён график y = f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (–3; 19). Найдите количество точек минимума функции f(x), принад-лежащих отрезку [–2; 18].

Ответ:


Вариант 1

1. Даны два смежных угла. Биссектри-са первого из них образует угол 43� с общей стороной этих углов. Найдите величину второго из данных смежных углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его кате-тов равен 15 см, а гипотенуза равна 17 см. Ответ дайте в квадратных сан-тиметрах.

Ответ:

3. В треугольнике ABC угол C — прямой, BC = 21,

sin .BAC =78

Найдите AB.

Ответ:

344 4. Расстояния от точки пересечения диа-гоналей прямоугольника до двух его сторон равны 3 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

5. Биссектрисы углов A и D параллело-грамма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 13 см. Ответ дайте в сан-тиметрах. Единицу измерения в ответе не пишите.

Ответ:

6. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, а боковая сторона рав-на 5. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

7. На клетчатой бумаге с размером клет-ки 1 � 1 изображён треугольник. Най-дите его площадь.

Ответ:

Вариант 2

1. Даны два смежных угла, один из ко-торых равен 34�. Найдите угол между биссектрисой второго из данных углов и их общей стороной. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его кате-тов равен 12 см, а гипотенуза равна 20 см. Ответ дайте в квадратных сан-тиметрах.

Ответ:

3453. В треугольнике ABC угол A — прямой, AC = 12, cos ACB = 0,3. Найдите BC.

Ответ:

4. Расстояния от точки пересечения диа-гоналей прямоугольника до двух его сторон равны 4 см и 5 см. Найдите площадь прямоугольника. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:

5. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограм-ма, если BK = 7 см, CK = 8 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

6. Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 11, а боковая сторона рав-на 5. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

7. На клетчатой бумаге с размером клет-ки 1 � 1 изображён треугольник. Най-дите его площадь.

Ответ:

346 Диагностическая работа 9

Вариант 1

1. Цилиндр и конус имеют общие основа-ние и высоту. Найдите объём цилин-дра, если объём конуса равен 30.

Ответ:

2. Сколько нужно взять металлических шариков радиуса 3, чтобы расплавив их, отлить шар радиуса 12?

Ответ:

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AA1 и BC1. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

4. В правильной шестиугольной пирами-де SABCDEF, сторона основания

ABCDEF равна 3. Найдите расстоя-ние от точки A до плоскости SCF.

Ответ:

5. Медиана основания правильной тре-угольной пирамиды равна 3, а высо-та пирамиды равна 2. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Диагональ основания правильной че-тырёхугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна 1. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

347Вариант 2

1. Цилиндр и конус имеют общие основа-ние и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 30.

Ответ:

2. Сколько нужно взять металлических шариков радиуса 2, чтобы, расплавив их, отлить шар радиуса 6?

Ответ:

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми BA1 и DC1. Ответ дай-те в градусах.

Ответ:

4. В правильной шестиугольной пирами-де SABCDEF сторона основания

ABCDEF равна 3. Найдите расстоя-ние от точки A до плоскости SBE.

Ответ:

5. Биссектриса основания правильной треугольной пирамиды равна 3, а бо-ковое ребро равно 4. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

6. Сторона основания правильной четы-рёхугольной пирамиды равна 2, а вы-сота пирамиды равна 1. Найдите угол между плоскостью боковой грани пи-рамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

348 СОДЕРЖАНИЕ

МОДУЛЬ «БAЗОВЫЕ НАВЫКИ»

Чтение данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц ........... 4Анализ и сопоставление данных, представленных в виде графиков, диаграмми таблиц ..................................................................................................... 10Арифметические действия с целыми числами ................................................ 19Арифметические действия с дробями ............................................................ 23Арифметические действия со степенями ....................................................... 27Перевод (конвертация) единиц измерений ..................................................... 31Сравнение величин, прикидка и оценка, соответствия между величинамии их значениями ......................................................................................... 36Практические арифметические задачи с текстовым условием ......................... 40Практические арифметические задачи с текстовым условием. Оптимальныйвыбор ......................................................................................................... 45Практические задачи с текстовым условием на проценты .............................. 55Задачи с логической составляющей. Следствия .............................................. 60Задачи с логической составляющей. Делимость ............................................. 65Текстовые арифметические задачи с логической составляющей ...................... 70Понятие вероятности. Практические задачи на вычисление вероятностей ....... 75

МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»Формулы сокращённого умножения. Преобразование рациональных алгебраических выражений .......................................................................... 80Арифметические действия с корнями и иррациональными выражениями ....... 84Основные формулы тригонометрии. Вычисление значений тригономе-трических выражений ................................................................................. 88Понятия и свойства степени с действительным показателем. Вычисление зназначений показательных выражений ....................................................... 92Понятие логарифма. Свойства логарифмов. Вычисление значений логарифмических выражений ....................................................................... 97Вычисления и преобразования по данным формулам. Подготовительные задачи ........................................................................................................ 101Вычисления и преобразования по данным формулам. Более сложные задачи ........................................................................................................ 105Линейные и квадратные уравнения .............................................................. 112Дробно-рациональные уравнения .................................................................. 115Простейшие иррациональные уравнения ....................................................... 120Простейшие показательные уравнения .......................................................... 125Простейшие логарифмические уравнения ...................................................... 128Простейшие тригонометрические уравнения .................................................. 132Неравенства. Общие сведения о неравенствах. Метод интервалов .................... 137Линейные неравенства ................................................................................. 143Квадратные неравенства ............................................................................... 147Простейшие дробно-рациональные неравенства .............................................. 157Простейшие показательные неравенства ........................................................ 164Простейшие логарифмические неравенства .................................................... 169

МОДУЛЬ «ФУНКЦИИ»Функция. График функции. Возрастание, убывание, точки максимума, минимума, наибольшие, наименьшие значения функции. Чтение графиков функций ..................................................................................................... 174

349Графики тригонометрических функций ......................................................... 177График показательной функции ................................................................... 182График логарифмической функции ............................................................... 186Прямая. Угловой коэффициент прямой. График линейной функции ............... 190Понятие касательной к графику функции. Связь между знаком угловогокоэффициента касательной и монотонностью функции. Связь между угло-вым коэффициентом касательной и точками экстремума функции .................. 194Понятие производной. Производная как угловой коэффициент касательной ..... Чтение свойств производной функции по графику этой функции. Чтение свойств графика функции по графику производной этой функции .................. 204

МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»Треугольник ................................................................................................ 209Параллелограмм .......................................................................................... 212Прямоугольник, квадрат, ромб ..................................................................... 216Трапеция .................................................................................................... 219Окружность и круг ..................................................................................... 223Вписанные и описанные окружности ............................................................ 227Геометрия на клетчатой бумаге .................................................................... 231Простейшие задачи в координатах ............................................................... 237Повторение и обобщение. Практические и прикладные задачи по планиметрии в ЕГЭ по математике .......................................................... 241Повторение и обобщение. Задачи по планиметрии на вычисление в ЕГЭпо математике ............................................................................................. 246Призма, её элементы. Прямая призма. Правильная призма. Правильнаятреугольная призма ..................................................................................... 251Параллелепипед, его элементы. Прямоугольный параллелепипед. Куб ............ 255Площадь поверхности призмы. Объём призмы .............................................. 258Пирамида, её элементы. Правильная пирамида, её элементы. Правильнаятреугольная пирамида ................................................................................. 262Правильная четырёхугольная пирамида. Правильная шестиугольная пирамида .................................................................................................... 268Пирамиды. Площади и объёмы .................................................................... 272Сфера и шар, их элементы. Площадь сферы и объём шара ............................ 277Цилиндр, его элементы. Площадь поверхности цилиндра .............................. 281Конус, его элементы. Площадь поверхности конуса ....................................... 286Объём цилиндра и объём конуса .................................................................. 290Изменение площади и объёма фигуры при изменении её элементов ............... 294Повторение и обобщение. Практические и прикладные задачи по стереометрии в ЕГЭ по математике .......................................................... 297Повторение и обобщение. Задачи по стереометрии на вычисление в ЕГЭ по математике ............................................................................................. 306

Диагностические работы .................................................................... 312

У ч е б н о е и з д а н и е

Я сдам ЕГЭ!

Модульный курсМатематика

Рабочая тетрадь

Учебное пособие для общеобразовательных организаций

Базовый уровень

Руководитель издательского проекта, главный редактор О. Г. КотлярЗаведующий редакцией математики и информатики Т. А. Бурмистрова

Заместитель заведующего редакцией математики и информатики Т. Ю. АкимоваКоординатор проекта М. А. Ефремова

Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, А. С. ПетровскаяРедакторы Т. Г. Войлокова, И. В. Рекман

Дизайн А. Г. БушинаКомпьютерная графика О. Ю. Тупикиной, Н. А. Артемьевой, С. А. Крутикова

Компьютерная вёрстка и техническое редактирование Т. А. Поповой, О. В. Храбровой, Е. С. Юровой, О. А. Федотовой, О. С. ИвановойКорректоры Е. А. Воеводина, В. П. Костылева

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 29.09.15. Формат 84 � 1081/16. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookCSanPin.

Печать офсетная. Уч.-изд. л. 00,00. Тираж 40 000 экз. Заказ № .

Акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано по заказу ОАО «ПолиграфТрейд» в филиале «Смоленский полиграфический комбинат»ОАО «Издательство «Высшая школа». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

Тел.: +7(4812) 31-11-96. Факс: +7(4812) 31-31-70. E-mail: [email protected] http://www.smolpk.ru

ДЛЯ ЗАМЕТОК

EGE Matem tetr tyt2 · 2016-12-15 · дый урок нацелен на конкретный...

Documents

Transcript of EGE Matem tetr tyt2 · 2016-12-15 · дый урок нацелен на конкретный...