Dynamika morza FALE --- Wyklad 1 - University of Gdańsk · 2015-04-10 · Wprowadzenie Podstawowe...

WprowadzeniePodstawowe wiadomościZagadnienie brzegowe

Wyznaczanie potencjału prędkości

Dynamika morza FALE — Wykład 1

Stanisław Massel 1,2 Gabriela Grusza2

1Instytut Oceanologii PANZakład Dynamiki Morza

2Instytut Oceanografii UGZakład Oceanografii Fizycznej

11 października 2005 roku

Massel, Grusza FALE — Wykład 1



Plan wykładówZalecana literatura

Główne zagadnienia - plan wykładów

Natura ruchu falowego

Typy fal

Charakterystyki pola falowego

Matematyczny opis ruchu falowego (teoria liniowa, Stokesa,knoidalna)

Generacja fal wiatrowych

Spektralne właściwości fal

Statystyczne właściwości fal

Transformacja fal w strefie brzegowej morza

Pomiary i symulacje falowania





Zalecana literatura

1 Massel, S. R. (1996): Ocean Surface Waves; their Physicsand Prediction. Volume 11, Advanced Series on OceanEngineering. Singapore — New Jersey — London — Hong Kong:World Scientific, 491

2 Massel, S. R. (1999): Fluid Mechanics for MarineEcologists. Berlin: Springer Verlag, 565

3 Massel, S. R. (1989): Hydrodynamics of Coastal Zones.Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 336

4 Druet, Cz. (2000): Dynamika morza. WydawnictwoUniwersytetu Gdańskiego, Gdańskie Towarzystwo Naukowe, 288

5 Massel, S. R., editor (1992): Poradnik hydrotechnika.Gdańsk: Wydawnictwo Morskie, 338




Definicja fali wodnejPodstawowe pojęciaPodział fal wodnych

Definicja fali wodnej

• Fala stanowi odkształcenie powierzchni swobodnejprzemieszczające się z jednego punktu ośrodka (akwenu,basenu) w inny. Na przykład po wrzuceniu do wody kamieniaodkształcenie rozchodzi się wokół punktu, w którym kamieńuderzył o powierzchnię (fala kołowa).

• Istotą ruchu falowego jest fakt, iż przemieszcza sięodkształcenie, natomiast nie przemieszcza się masa wody.Przykład: korek wrzucony do wody przemieszcza się wpłaszczyźnie pionowej (góra–dół), a nie w kierunku propagacjifali (w przybliżeniu).





Podstawowe pojęcia

Poziom spokoju — poziom powierzchni morza w warunkach brakufalowania.

Poziom falowania — miejsce geometryczne środków orbitelementów powierzchniowych przy ruchu falowym.

Grzbiet (szczyt) fali — najwyższy punkt profilu fali względempoziomu spokoju.

Dolina (dno) fali — najniższy punkt profilu fali względem poziomuspokoju.

Linia grzbietów — linia utworzona przez grzbiety fali.

Promień fali — kierunek prostopadły do linii grzbietu w każdympunkcie. Wyznacza on linię, do której jest stycznywektor propagacji (w każdym punkcie).





Długość fali, L — odległość między sąsiednimi grzbietami fali.

Okres fali, T — czas, jaki upływa pomiędzy przejściami przezwybrany profil dwóch kolejnych grzbietów fali.

Wysokość fali, H — pionowa odległość między grzbietem a doliną.

Amplituda fali, a — pionowa odległość między grzbietem lubdoliną a poziomem spokoju; dla fal sinusoidalnychjest to połowa wysokości fali.

Wychylenie powierzchni swobodnej, ζ (η, ξ) — funkcjawychylenia powierzchni swobodnej.

h, (d) — funkcja powierzchni dna.





Częstotliwość, f

f =1T[Hz] (1)

Częstotliwość kołowa, (częstość kołowa, pulsacja), ω

ω =2πT[rad/s] (2)

Liczba falowa, k

k =2πL[m−1] (3)





Prędkość fazowa, C — prędkość ruchu powierzchni falowej wkierunku promienia fali.

C =LT=ω

k(4)

Stromość fali, δ — stosunek wysokości fali do jej długości.

δ =HL

(5)





Typ fali Mechanizm generacji OkresKapilarne Napięcie powierzchniowe < 10−1sWiatrowe Naprężenia wiatrowe, grawitacja 0.1–25s (30s)(Swell) (Fale wiatrowe) (15–30s)

Podgrawitacyjne Grupy fal 25s–5minSejsze Zmienność wiatru 2–40minTsunami Trzęsienia Ziemi, 10min–2h

wybuchy wulkanówPływy Oddziaływanie Ziemi, 12–24h

Księżyca i SłońcaWezbrania Zmienność ciśnienia 1–3dnisztormowe





Fala długa (płytkowodna) —

Lh> 10 ( lub 20)

Fala średnich głębokości —

2 <Lh< 10 ( lub 20)

Fala krótka (głębokowodna) —

Lh< 2





Fale grawitacyjne

1 krótki okres — 0.1− 25s (30s),2 na głębokiej wodzie wpływ falowania powierzchniowegozaznacza się tylko w niewielkiej warstwie,

3 ruch w kierunku poziomym i pionowym jest tego samegorzędu,

4 przyspieszenia w pionie są znaczne, rzędu g ,5 przyspieszenie Coriolissa jest pomijalnie małe ze względu nakrótki okres,

6 ruch jest niestacjonarny ( ∂∂t 6= 0),7 Masa nie przemieszcza się razem z kształtem !!! (teorialiniowa).





Teoria liniowa — brak transportu masy





Obraz rzeczywisty




LinearyzacjaWarunek Cauchy-Poissona

Zagadnienie brzegowe

• Zagadnienie falowe jest szczególnym przypadkiem zagadnieniabrzegowego dla równań różniczkowych cząstkowych.• Definiuje się warunki brzegowe na powierzchni swobodnej:

warunek kinematyczny,warunek dynamiczny;

oraz na dnie:warunek kinematyczny.

• Dodatkowo można definiować boczne warunki brzegowe orazwarunek wytłumienia.





• Zakłada się, że ciecz jest nieściśliwa i ruch jest bezwirowy. Zbezwirowości wynika potencjalność ruchu.{

rotu = ∇× u = 0divu = ∇ · u = 0 =⇒ u = −gradφ

divgradφ = 0(6)

• Zakłada się, że jest spełnione równanie Eulera (płynnieściśliwy i nielepki):

d~udt= −1

ρ∇p + ~g (7)

• Wewnątrz obszaru spełnione jest równanie Laplace’a dlapotencjału prędkości:

∆φ = 0 (8)





Warunek kinematyczny

Funkcja powierzchni w przestrzeni (funkcja powierzchniswobodnej), zależna od czasu:

F (~r , t) = F (x , y , z , t) (9)

Powierzchnia jest utworzona przez jedne i te same elementy,dzięki czemu można zapisać:

dFdt=∂F∂t+ ~u · ∇F = 0 (10)

Warunki brzegowe często zapisuje się za pomocą potencjałuprędkości φ (~u = −gradφ).





Warunek kinematyczny na dnie, z = −h(x , y)

Powierzchnia dna:

F (x , y , z , t) = z + h(x , y) (11)

dFdt= u

∂h∂x+ v

∂h∂y+ w = 0 (12)

Stosując definicję: ~u = (u, v ,w) = −(∂φ∂x ,∂φ∂y ,∂φ∂z ), można

zapisać:∂φ

∂z= −∂φ

∂x∂h∂x− ∂φ

∂y∂h∂y

(13)





Warunek kinematyczny na powierzchni swobodnej, z = ζ(x , y , t)

Powierzchnia swobodna morza:

F (x , y , z , t) = z − ζ(x , y , z , t) (14)

dFdt= −∂ζ

∂t− u ∂ζ

∂x+ v

∂ζ

∂y+ w = 0 (15)

Stosując definicję potencjału prędkości φ otrzymujemy:

∂φ

∂z= −∂ζ

∂t+∂φ

∂x∂ζ

∂x+∂φ

∂y∂ζ

∂y= 0 (16)

∂φ

∂z= −∂ζ

∂t+ (∇hφ) · (∇hζ) (17)





Warunek dynamiczny na powierzchni swobodnej, z = ζ(x , y , t)

Warunek definiuje się w oparciu o równanie Bernoulliego:

−∂φ∂t+12(∇φ)2 + p

ρ+ gz = 0 (18)

Warunek dynamiczny otrzymuje się zakładając, że z = ζ orazp = 0 (ciśnienie atmosferyczne w punkcie P(x , y , z , t) napowierzchni musi być równe ciśnieniu wody w tym punkcie):

−∂φ∂t+12

[(∂φ

∂x

)2+(∂φ

∂y

)2+(∂φ

∂z

)2]+ gζ = 0 (19)





Linearyzacja warunków brzegowychW celu rozwiązania zagadnienia brzegowego często wykorzystujesię tzw. zlinearyzowane warunki brzegowe.Założenia linearyzacji:

1 amplituda fali dużo mniejsza od jej długości a� L,2 pochodne przestrzenne wzniesień powierzchni swobodnej sąpomijalnie małe,

3 człony nieliniowe są pomijalnie małe,

4 dno jest płaskie h(x , y) = const,





5

ψ(z)|z=ζ = ψ(0) + ζ∂ψ(0)∂z+ζ2

2!∂2ψ(0)∂z2

+ . . .︸︷︷︸pomijalnie małe

(20)

Stąd zamiast wyznaczać warunki na z = ζ(x , y , z), wyznaczasię je na z = 0.





Zlinearyzowane warunki brzegowe

Kinematyczny na dnie∂φ

∂z= 0 z = −h (21)

Kinematyczny na powierzchni

∂φ

∂z= −∂ζ

∂tz = 0 (22)

Dynamiczny na powierzchni

∂φ

∂t= gζ z = 0 (23)





Warunek Cauchy-Poissona na z = 0

Wyznaczenie ζ z warunku dynamicznego (23):

ζ =1g∂φ

∂t(24)

Podstawienie ζ do warunku kinematycznego na powierzchni(22):

∂φ

∂z= − 1g∂2φ

∂t2(25)

g∂φ

∂z+∂2φ

∂t2= 0 z = 0 (26)




Funkcje hiperboliczneFunkcja potencjałuPrędkości i przyspieszenia w ruchu falowym


• Zakładamy, że równanie Laplace’a da się rozwiązać metodąrozdzielenia zmiennych. Szukamy rozwiązania w postaci:

φ = U(x , y)P(z)f (t) (27)

• Poszukuje się rozwiązania równania:(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U(x , y)P(z)f (t) = 0 (28)





Rozwiązanie — zależność potencjału od głębokości

• Funkcja zależna od zmiennej z :

P(z) = D cosh k(z + h) (29)

gdzie:

D =iagω

1cosh kh





FUNKCJE HIPERBOLICZNE

sinh x =ex − e−x

2, cosh x =

ex + e−x

2

tgh x =ex − e−x

ex + e−x, ctgh x =

ex + e−x

ex − e−x

1 Dzięki temu, ze funkcje hiperboliczne zostały zdefiniowane zapomocą funkcji wykładniczej, w prosty sposób można jerozszerzyć na liczby zespolone.

2 Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne — są tofunkcje polowe.





Granice funkcji hiperbolicznych

x →∞ =⇒

sinh x → ∞cosh x → ∞tgh x → 1

x → 0 =⇒ ex = 1+ xe−x = 1− x =⇒

sinh x → xcosh x → 1tgh x → x





Rozwiązanie — zależność potencjału od czasu

• Funkcja zależna od czasu:

f (t) = βe−iωt (30)

β — stała.





• Ogólny wzór potencjału przy znajomości funkcji P(z) i f (t):

φ = iaω

kcosh k(z + h)cosh kh

U(x , y)e−i(ωt−θ) (31)

θ — stałe.

• Wychylenie powierzchni swobodnej:

ζ(x , y , t) = aU(x , y)e−i(ωt−θ) (32)





• Funkcja U zależny od zmiennych przestrzennych. Wyznaczasię ją przy założeniu nieskończonego kanału falowego(U = U(x)):

U(x) = Ae ikx + Be−ikx (33)

A,B — stałe.

• Nie potrafimy znaleźć ogólnego wzoru na U(x), ponieważ niejesteśmy w stanie określić stałych A i B. Możemy jednakrozważyć przypadki szczególne.





A = 1, B = 0 =⇒ U(x) = e ikx

φ = iaω

kcosh k(z + h)sinh kh

e i(kx−ωt−θ) (34)

Część rzeczywista potencjału:

φ = aω


sin (kx − ωt − θ) (35)

Część rzeczywista wychylenia powierzchni swobodnej:

ζ = a cos (kx − ωt − θ) (36)

Fala biegnąca w kierunku rosnących wartości x





A = 0, B = 1 =⇒ U(x) = e−ikx

φ = iaω


e i(−kx−ωt−θ) (37)


φ = aω


sin (−kx − ωt − θ) (38)


ζ = a cos (−kx − ωt − θ) (39)

Fala biegnąca w kierunku malejących wartości x





A = B = 12 =⇒ U(x) =12

(e ikx + e−ikx

)= cos kx

φ = iaω


cos kxe−i(ωt−θ) (40)


φ = aω


cos kx sin (ωt − θ) (41)


ζ = a cos kx cos (ωt − θ) (42)

Fala stojąca





A = −B = 12i =⇒ U(x) =12

(e ikx − e−ikx

)= sin kx

φ = iaω


sin kxe−i(ωt−θ) (43)


φ = aω


sin kx sin (ωt − θ) (44)


ζ = a sin kx cos (ωt − θ) (45)

Fala stojąca





Znając potencjał prędkości można wyznaczyć:

Wychylenie powierzchni swobodnej (ze zlinearyzowanegowarunku dynamicznego na powierzchni):

ζ =1g∂φ

∂t|z=0 (46)

Składowe prędkości ruchu orbitalnego elementów płynu:

u = −∂φ∂x= −aω cosh k(z + h)

sinh khcos (kx − ωt − θ) (47)

w = −∂φ∂z= −aω sinh k(z + h)

sinh khsin (kx − ωt − θ) (48)





Przyspieszenia:

ax =∂u∂t= aω2

cosh k(z + h)sinh kh

sin (kx − ωt − θ) (49)

az =∂w∂t= −aω2 sinh k(z + h)

sinh khcos (kx − ωt − θ) (50)

Tory ruchu elementów płynu:

ξ =∫udt, η =

∫vdt (51)


Dynamika morza FALE --- Wyklad 1 - University of Gdańsk · 2015-04-10 · Wprowadzenie Podstawowe...

Documents

Transcript of Dynamika morza FALE --- Wyklad 1 - University of Gdańsk · 2015-04-10 · Wprowadzenie Podstawowe...