Wstęp do teorii grafów. Drzewa.Izolda Gorgol

wyciąg z prezentacji (wykład III, 17.05.2007 r.)

Podstawowe klasy grafów

Kn - graf pełny o n wierzchołkach - każda para wierzchołków tworzy krawędź

On - graf pusty o n wierzchołkach - E(On) = ∅

Pn - ścieżka o n wierzchołkach - V (Pn) = {v1, v2, . . . , vn}, E(Pn) = {vivi+1 : i = 1, 2, . . . , n− 1}

Cn - cykl o n wierzchołkach - V (Cn) = {v1, v2, . . . , vn}, E(Cn) = {vivi+1 : i = 1, 2, . . . , n− 1} ∪ {v1vn}

Podstawowe klasy grafów - cd.

G - graf dwudzielny – graf, którego wierzchołki można podzielić na dwa niepuste podzbiory X i Y tak, że G[X] iG[Y ] są grafami pustymi

Kn,m - pełny graf dwudzielny – |X| = n, |Y | = m, każdy wierzchołek z X jest połączony ze wszystkimi wierzchołkamiz Y

graf k-regularny – z każdego wierzchołka wychodzi dokładnie k krawędzi

G - dopełnienie grafu G – V (G) = V (G); uv ∈ E(G) ⇐⇒ uv 6∈ E(G)

Izomorfizm grafów

Izomorfizm pomiędzy grafami G i H – bijekcja f : V (G) −→ V (H) taka, że uv ∈ E(G) ⇐⇒ f(u)f(v) ∈ E(H).

Jeżeli istnieje izomorfizm pomiędzy grafami G i H, to grafy te nazywamy izomorficznymi.

Jeżeli grafy G i H są izomorficzne, to |V (G)| = |V (H)| i |E(G)| = |E(H)|.Izomorfizm zachowuje też ciąg stopni wierzchołków i ogólnie strukturę grafu.

Spójność

G graf spójny – każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

składowa grafu – maksymalny w sensie zawierania podgraf spójny danego grafu

odległość między wierzchołkami u i v – długość najkrótszej ścieżki o końcach u i v; jeśli taka ścieżka nie istniejeprzyjmujemy, że odległość wynosi ∞

TW. Niech G będzie grafem o n wierzchołkach i k składowych spójności. Wówczasn− k 6 |E(G)| 6 (n−k)(n−k+1)

2 .

WN. Każdy graf o n wierzchołkach i więcej niż (n−1)(n−2)2 krawędziach jest spójny.

Drzewa

Drzewo – graf spójny bez cykli

Las – graf, w którym każda składowa spójności jest drzewem

Liść – wierzchołek o stopniu 1

Niektóre własności drzew

TW. W drzewie istnieje dokładnie jedna ścieżka łącząca dwa dowolne wierzchołki.

TW. Każde drzewo, które ma co najmniej dwa wierzchołki, ma co najmniej dwa liście.

TW. Drzewo o n wierzchołkach ma dokładnie n− 1 krawędzi.

Własności drzew - cd.

1

TWIERDZENIENastępujące warunki są równoważne dla grafu T

1. T jest drzewem;2. T nie zawiera cykli i ma n− 1 krawędzi;3. T jest spójny i ma n− 1 krawędzi;4. T jest minimalnie spójny, tzn. usunięcie dowolnej krawędzi rozspaja graf;5. każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną ścieżką;6. T jest maksymalnie acykliczny, tzn. dodanie dowolnej krawędzi powoduje powstanie cyklu.

Liczba drzew oznaczonych

TWIERDZENIE (Cayley)Jest nn−2 drzew na zbiorze wierzchołków {1, 2, . . . , n}.

Drzewa ukorzenione

Korzeń - jeden wyróżniony wierzchołek w drzewie

Jeżeli wierzchołki dwa leżą na jednej ścieżce o początku w korzeniu drzewa, to wierzchołek leżący bliżej korzenianazywamy przodkiem, a wierzchołek leżący dalej nazywamy potomkiem. Jeżeli odległość między tymi wierzchołkamiwynosi 1, to jest to odpowiednio rodzic i dziecko.

Drzewo m-arne - każdy rodzic ma co najwyżej m dzieci

Drzewo binarne - drzewo 2-arne

Regularne drzewo m-arne - każdy rodzic ma dokładnie m dzieci

Numer poziomu wierzchołka u - długość ścieżki od korzenia do wierzchołka u

Wysokość drzewa - największy numer poziomu wierzchołka

Pełne drzewo m-arne - regularne drzewo m-arne, w którym każdy liść ma ten sam poziom

Parametry dla drzew ukorzenionych

n - liczba wierzchołków drzewa m-arnego

minimalna liczba liści – 1 (ścieżka)

maksymalna liczba liści – bm(n−1)+1m c (pełne drzewo m-arne)

maksymalna wysokość drzewa – n− 1 (ścieżka)

minimalna wysokość drzewa – dlogm(n(m− 1) + 1)− 1e (pełne drzewo m-arne)

Drzewa poszukiwań

Dany jest zbiór (X, ρ) uporządkowany liniowo.

Drzewo poszukiwań - drzewo binarne, w którym wierzchołkami są elementy zbioru X, zaś krawędzie w drzewiewystępują w taki sposób, że na lewo od każdego wierzchołka są zawsze elementy wcześniejsze od niego względemporządku ρ, zaś na prawo późniejsze.

Szukamy drzewa o minimalnej wysokości|X| = n h = dlog2(n + 1)− 1e

2