Dowodzenie własności stopu -...
22
Dowodzenie własności stopu Kryterium liczników iteracji Kryterium malejących wielkości
Transcript of Dowodzenie własności stopu -...
Dowodzenie własności stopu
Kryterium liczników iteracji Kryterium malejących wielkości
Załóżmy, że dany jest algorytm:
M:{
l=c;
while(p)do
{
K;
l=l+1;
}
}
Dobieramy teraz dwie wielkości: takie, że l<= oraz takie, które wyjaśnia zależność między wartościami zmiennych w chwili sprawdzania warunku (niezmiennika) p.
Kryterium liczników iteracji
Jeżeli:1) i >=l jest w algorytmie M niezmiennikiem instrukcji
iteracyjnej „while” przy warunku początkowym ,2)K ma własność stopu względem i p,to M oraz „while(p)do K” mają własność stopu względem .
zmienna l jest licznikiem iteracji, służy do obliczania liczby wykonań instrukcji iterowanej K
Przykład 3.
void dzielenie1 (int x,y)
{ //1: 0<=x i 0<y
int q,r;
q=0;
r=x;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
!!
M:{
l=c;
while(p)do
{
K;
l=l+1;
}
}
Zmienna q pełni rolę licznika iteracji.
void dzielenie1 (int x,y)
{ //1: 0<=x i 0<y
int q,r;
q=0;
r=x;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
M:{
l=c;
while(p)do
{
K;
l=l+1;
}
}
Określmy : x/y oraz : x=q*y+r i r>=0 i 0<y.
Pokażemy, że i q<=x/y jest niezmiennikiem instrukcji iteracyjnej.
Przy wejściu do instrukcji mamy: q=0, r=x, x>=0, y>0, czyli zachodzi i q<=x/y oraz r>=y.
Wtedy dostajemy nowe wartości: q’=q+1 i r’=r-y.
void dzielenie1 (int x,y)
{ //1: 0<=x i 0<y
int q,r;
q=0;
r=x;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
M:{
l=c;
while(p)do
{
K;
l=l+1;
}
}
: x/y oraz : x=q*y+r i r>=0 i 0<y.
Łatwo pokazać, że te nowe zmienne spełniają warunek , a nierówność q<=x/y wynika z , bo:
Ćwiczenie!
x=q*y+r, y>0 q=x/y-r/y, y>0(r>=0,y>0)
q<=x/y
Stosując teraz kryterium liczników iteracji wnioskujemy, że algorytm ma własność stopu względem 1. Ponadto nierówność q<=x/y podaje ograniczenie na liczbę wykonywanych iteracji.
Załóżmy, że dany jest algorytm:
M:{
i=w+1;
while(p)do
{
i=w;
K;
}
}
Dobieramy teraz trzy wielkości: i oraz w będące liczbami całkowitymi i takie, które wyjaśnia zależność między wartościami zmiennych w chwili sprawdzania warunku (niezmiennika) p.
Kryterium malejących wielkościJeżeli:1) i i>w, i w>=0 jest w algorytmie M niezmiennikiem
instrukcji iteracyjnej „while” przy warunku początkowym ,2)K ma własność stopu względem i p,to M oraz „while(p)do K” mają własność stopu względem .
Metodę malejących wielkości stosuje się, gdy w algorytmie zwiększanie
wartości następuje w sposób nieregularny, czyli niekoniecznie o 1.
Zamiast szacować wzrost rozpatruje się jednak te wielkości, które
zmniejszają swoje wartości w trakcie wykonywania algorytmu i dla których
istnieją wartości ograniczające je z dołu.
Przykład 4.void dzielenie2 (int x,y)
{ //2: 0<=x i 0<y
int q,r; int i;
q=0;
r=x; i=r+1;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1; i=r;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
M:{
i=w+1;
while(p)do
{
i=w;
K;
}
}
Zmienna r pełni rolę w. Wprowadzamy też pomocniczą zmienną i.
void dzielenie2 (int x,y)
{ //2: 0<=x i 0<y
int q,r; int i;
q=0;
r=x; i=r+1;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1; i=r;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
M:{
i=w+1;
while(p)do
{
i=w;
K;
}
}
Ustalamy : y>0 i (i=r+1 ∨ i=r+y).
Przy wejściu do instrukcji „while” warunek jest spełniony, bo i=r+1.
void dzielenie2 (int x,y)
{ //2: 0<=x i 0<y
int q,r; int i;
q=0;
r=x; i=r+1;
while(y<=r) //p: x=q*y+r i 0<=r i 0<y
{
q=q+1; i=r;
r=r-y;
};
} //: x=q*y+r i 0<=r<y.
M:{
i=w+1;
while(p)do
{
i=w;
K;
}
}
: y>0 i (i=r+1 ∨ i=r+y).
Warunek zachowuje się przy każdym wykonaniu instrukcji
iterowanej, bo jeśli i’ i r’ są nowymi wartościami, to i’=r oraz
r’=r-y, czyli i’=r’+y.
Zatem jest niezmiennikiem iteracji.
Ponieważ r>=0, to cały warunek i r<i , i r>=0 jest niezmiennikiem iteracji.Na podstawie kryterium malejących wielkości mamy własność stopu względem 2.
Klasyfikować równania rekurencyjne możemy ze względu na:
Sposób, w jaki połączone są wyrazy,
Rodzaj współczynników,
Ilość użytych wyrazów poprzednich.
Typ rekurencji Przykład
I rzędu liniowe
nieliniowe
II rzędu liniowenielinioweo zmiennych współczynnikach
p-tego rzędu
pełnego rzędu
połówkowe
111
1 1
nan
nn
a
naa
1)1(
2
21
221
21
nnn
nnnn
nnn
annaa
aaaa
aaa
naa
aaaana
aaafa
nn
nnn
pnnnn
2
1221
21 ),,,(
rozwiązania
dokładne
pierwszego
rzędu
liniowe
wyższych
rzędów
jednorodne
niejednorodne
oszacowania
asymptotyczne
podstawianie
iteracje
rekurencja
uniwersalne
Przykład.
Schemat postępowania
(a)
Komentarz:
Rozwiązanie jawne rekurencji (7) jest zdeterminowane przez warunki początkowe, z których wyznaczamy współczynniki kombinacji liniowej opisującej ogół rozwiązań.
Mając tę samą zależność rekurencyjną i zmieniając tylko warunki początkowe, możemy zmienić charakter rozwiązania, uzyskując ciąg stały, wykładniczy lub naprzemienny.
