DOMINOWANIE W GRAFACH

Magdalena Lemańska

Problem pięciu królowych (1850 r).

Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej?

Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru dominującego” o mocy 5.

G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków, |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi.

Zbiór DV(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D.

Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominuje y,jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x.

Otwarte sąsiedztwo wierzchołka v: NG(v) – zbiór wszystkich wierzchołków połączonych krawędzią z v;

Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v: NG[v]= NG(v) {v} Otwarte sąsiedztwo zbioru X V: NG(X) =UvX NG(v); Domknięte sąsiedztwo zbioru: NG[X]=NG(X)X.

Jest kilka sposobów zdefiniowania zbioru dominującego, każdy z nich ilustruje różne aspekty pojęcia dominowania.

dG(u,v) – odległość między u i v - długość najkrótszej (u-v)- ścieżki w G

Zbiór DV(G) wierzchołków grafu G=(V,E) jest zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i) dla każdego wierzchołka v V-D istnieje wierzchołek u D taki, że v jest sąsiedni do u;

(ii) dla każdego wierzchołka v V-D, dG(v,D) 1;

(iii) NG[D]=V;

(iv) dla każdego wierzchołka v V-D, |NG(v)D| 1, czyli każdy wierzchołek v V-D jest sąsiedni do przynajmniej jednego wierzchołka z D;

(v) dla każdego wierzchołka v V, |NG[v] D| 1.

Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D’ D też jestdominujący.

Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D” D jest dominujący w G.

Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D” D nie jest dominujący.

Twierdzenie 1. Zbiór dominujący D jest minimalnym zbioremdominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołkau D zachodzi jeden z dwóch warunków:a) u jest izolowany w D;b) istnieje v V-D, dla którego NG(v) D = {u}.

Niech D - zbiór dominujący i niech u D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli NG[v] D = {u}.

Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : NG[v] D = {u} }.

u PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnymsąsiadem.

Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylkowtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

Twierdzenie 2. Każdy spójny graf G rzędu co najmniej dwaposiada zbiór dominujący D, którego dopełnienie V-D też jestzbiorem dominującym.

Twierdzenie 3. Jeśli G jest grafem bez wierzchołków izolowanych,to dopełnienie V-D każdego minimalnego zbioru dominującego Djest zbiorem dominującym w G.

Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamyliczbą dominowania grafu G i oznaczamy (G).

Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu G i oznaczamy (G).

(G)=3 (G)=5

Ograniczenia na liczbę dominowania.

Twierdzenie 4 (Ore) Jeśli graf G nie ma wierzchołkówizolowanych, to (G) n/2.

Twierdzenie 5. Dla grafu G bez wierzchołków izolowanych,rzędu n, gdzie n jest parzyste, (G) = n/2 wtedy i tylko wtedy, gdy składowymi grafu G są cykl C4 albo korona HK1 dla dowolnego grafu spójnego H.

Korona dwóch grafów G1 i G2 jest to graf G = G1 G2 powstały z jednej kopii G1 oraz |V(G1)| kopii G2 gdzie i-ty wierzchołek G1

jest sąsiedni do każdego wierzchołka w i-tej kopii G2.

W szczególności, G = H K1 jest grafem powstałym z kopii H

gdzie do każdego wierzchołka v V(H) dodajemy nowy wierzchołek v’ i krawędź wiszącą vv’.

Twierdzenie 6. Dla każdego grafu G, (G) n - (G).

Podział krawędzi uv w grafie G otrzymujemy przez usunięciekrawędzi uv, dodanie nowego wierzchołka w oraz dodaniekrawędzi uw i vw.

Ranny pająk jest to graf powstały przez podział co najwyżejt-1 krawędzi gwiazdy K1,t dla t 0.

Twierdzenie 7. Dla każdego drzewa T, (T) = n - (T) wtedyi tylko wtedy, gdy T jest rannym pająkiem.

Twierdzenie 8. Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanychoraz diam(G) 3, to (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G.

Twierdzenie 9. Jeśli (Gd) 3, to diam(G) 2.

Obwód grafu G, ozn. g(G) jest to długość najkrótszego cyklu w G (jeśli graf posiada cykl).

Twierdzenie 10. Dla każdego grafu G,(a) jeśli g(G) 5, to (G) (G),(b) jeśli g(G) 6, to (G) 2((G)-1).

Zbiory niezależne.

Niech i(G) oznacza moc najmniejszego maksymalnego zbioru niezależnego w grafie G;

0 – moc największego zbioru niezależnego w G.

Drzewo T ma zbiory maksymalne niezależne o trzech rozmiarach.

i(T)=3 0(T)=5

Twierdzenie 11. Niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący.

Zbiory dominujące.

Drzewo T ma zbiory minimalne dominujące o czterech rozmiarach.

(T)=2 (T)=5

Wniosek: Każdy zbiór maksymalny niezależny jest zbiorem dominującym.

Twierdzenie 12. Każdy zbiór maksymalny niezależny w G jestminimalnym zbiorem dominującym w G.

Wniosek: Dla każdego grafu G, (G) i(G) 0(G) (G).

Zbiory nienadmierne.

Możemy powiedzieć, że zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy:(*) dla każdego wierzchołka v D, istnieje wierzchołek w V-(D-{v}), który nie jest dominowany przez D-{v}.

Warunek (*) można wyrazić w języku „prywatnych sąsiadów”.

PN[4,D]={1,2,3,4} PN[6,D]={6} PN[7,D]={7}

PN[v,D]=NG[v]-NG[D-{v}]

W warunku (*) wierzchołek w musi być prywatnym sąsiadem wierzchołka v w odniesieniu do D (możliwe jest w=v).

(**) zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v D, PN[v,D] ,czyli każdy wierzchołek v D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

Jeśli jest spełniony warunek (**), to mówimy, że zbiór D jest zbiorem nienadmiernym.

Twierdzenie 13. Zbiór dominujący D jest minimalny dominującywtedy i tylko wtedy, gdy jest dominujący i nienadmierny.

Rozważmy maksymalne zbiory nienadmierne w grafie G.

Zbiór nienadmierny S jest maksymalny nienadmierny, jeśli dla każdego wierzchołka u V-S, zbiór S {u} nie jest nienadmierny, czyli istnieje przynajmniej jeden wierzchołek w S {u}, który nie ma prywatnego sąsiada.

W takim razie, nienadmierny zbiór S jest maksymalny nienadmierny, jeśli zachodzi następujący warunek:

(***) dla każdego wierzchołka w V-S istnieje wierzchołekv S {w}, dla którego PN[v, S {w}] = .

Moc najmniejszego zbioru maksymalnego nienadmiernego w G oznaczamy ir(G) i nazywamy liczbą nienadmierności.

Moc największego zbioru nienadmiernego w G oznaczamyIR(G) i nazywamy górną liczbą nienadmierności.

Na czerwono zaznaczone są zbiory maksymalne nienadmierne.

ir(G)=2 IR(G)=3

Twierdzenie 14. Każdy zbiór minimalny dominujący w G jestzbiorem maksymalnym nienadmiernym w G.

Twierdzenie 15. Dla każdego grafu G, ir(G) (G) i(G) 0(G) (G) IR(G) .

ir(G)=4 (G)=5

Twierdzenie 16. Dla każdego grafu G, (G)/2 < ir(G) (G) 2ir(G)-1.

Twierdzenie 17. Dla każdego grafu G, IR(G) n - (G).

Inne rodzaje dominowania.

Oprócz dominowania, rozważa się dodatkowe własności zbiorów wierzchołków, rozważając własności podgrafów indukowanych przez te zbiory.

Dominowanie spójne (Sampathkumar, Walikar, 1979)

Zbiór dominujący D nazywamy zbiorem spójnie dominującym, jeśli D jest dominujący i G[D] jest spójny.

Moc najmniejszego zbioru spójnie dominującego w G nazywamy liczbą dominowania spójnego grafu G i oznaczamyc (G).

Każdy zbiór spójnie dominujący jest dominujący, więc dlakażdego grafu spójnego G mamy (G) c (G).

Twierdzenie 18. W każdym grafie spójnym G istnieje zbiór spójnie dominujący S taki, że |S| 20(G) – 1.

Wniosek: Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 20(G) – 1.

Twierdzenie 19. (Duchet, Meyniel) Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 3 (G)-2.

Lemat 20. Jeśli w grafie spójnym G istnieje najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest zbiorem niezależnym,to ir(G) = (G) = i(G).

Twierdzenie 21. Jeśli G jest spójny, to ir(G) c (G) 3ir (G)- 2.

Wniosek: Jeśli G jest spójny, to c (G) 3i (G)- 2.

Nierówności są najlepsze z możliwych. Przedstawimy przykłady, dla których zachodzą równości.

Twierdzenie 22. Jeśli G jest grafem, który nie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafów indukowanych, to ir(G) = (G) = i(G).

A-L- graf

Przykład 1. Dla dowolnej liczby naturalnej p rozważmy graf G=C3p. W takim grafie c (C3p) = 3p-2. Zbiór D, do którego należy co trzeci wierzchołek cyklu jest niezależnym zbiorem nienadmiernym i dominującym, |D|=p. Widać, że taki graf niezawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafu indukowanego, więcir(C3p) = (C3p) = i(C3p)= p.

Przykład 2. Dla dowolnych liczb naturalnych s i t rozważmy graf Hotrzymany przez utożsamienie ze sobą jednego z wierzchołków każdego z cykli C3s,C3t . W takim grafie jest 3(s+t)-1 wierzchołków oraz c (H) = 3(s+t)-5.

W grafie tym znajdziemy najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest również zbiorem niezależnym (do zbioru tego musi należeć wierzchołek powstały przez utożsamienie), wiec zgodnie z lematem 20 mamy ir(H) = (H) = i(H) = s + t – 1.

Na rysunku jest przedstawiony graf G, dla którego s = t = 2, a wierzchołek v z jednego cyklu jest utożsamiony z wierzchołkiem u z drugiego. Widać, ze ilość wierzchołków w tym grafie n = 11; c (G) =3(2 + 2) - 5 = 7; ir(G) = (G) = i(G) = 2 + 2 - 1 = 3.

Z łańcucha dominowania oraz z tego, że c (G) 20(G) – 1 wynika również, że c (G) 2 (G) – 1 oraz c (G) 2IR(G) – 1 Ograniczenia te sa najlepsze z możliwych. Na przykład w cyklu C5 mamy 0 (C5) = (C5) = IR(C5) = 2; c (C5) = 3.

Dla każdego grafu spójnego G istnieje drzewo spinające T grafu Gtakie, że c (G) = c (T) = n(G) – n1(T), gdzie n1 oznacza ilość wierzchołków końcowych w T. Drzewo to ma największą z możliwychilość wierzchołków końcowych.

(Sampathkumar, Walikar) Dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c (H) c (G).

Twierdzenie 23. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami zachodzi równość c (G) + (G) = n, gdzie (G) oznaczanajwiększą ilość wierzchołków końcowych w drzewie spinającym grafu G.

Twierdzenie 24. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami i największym stopniem wierzchołka (G) zachodzi nierówność c (G) n - (G).

W roku 1956 E.A. Nordhaus oraz J.W. Gaddum znaleźli ograniczenia dla sumy i iloczynu liczb chromatycznych grafu G i jego dopełnienia Gd:

(G)+ (Gd) n+1, n (G)(Gd) (n+1)(n+1)/4

Podobnych ograniczeń szuka się również dla różnych liczb dominowania.

Ogólnie zagadnienia typu Nordhausa-Gadduma polegają na znalezieniu podobnych ograniczeń dla sumy i iloczynu pewnego niezmiennika grafu G i tego samego niezmiennika dopełnienia Gd grafu G. Hedetniemi i Laskar znaleźli górne ograniczenie dla sumy liczb spójnego dominowania dla grafu G i jego dopełnienia.

Twierdzenie 25. Jeśli G i jego dopełnienie Gd są spójne, toc (G)+ c (Gd) n+1.

Twierdzenie 26. Dla każdego drzewa T z co najmniej dwoma wierzchołkami, różnego od gwiazdy, mamy c (T)+ c (Td) n.

Dominowanie wypukłe i słabo wypukłe.(prof. Topp)

Zbiór XV jest wypukły w G, jeśli wszystkie wierzchołkikażdej najkrótszej (x-y)-ścieżki należą do X dla każdychx,y należących do zbioru X.

Zbiór XV nazywamy słabo wypukłym w G, jeśli dla każdychdwóch wierzchołków x,y należących do zbioru X istnieje najkrótsza (x-y)-ścieżka, której wierzchołki należą do X.

Liczba dominowania słabo wypukłego w G, oznaczanawcon(G), jest to moc najmniejszego zbioru słabo wypukłego dominującego w G, natomiast liczba dominowania wypukłego w G, oznaczana con(G), jest to moc najmniejszego zbioru wypukłego w G.

Dominowanie spójne: dla każdych dwóch wierzchołków u,vnależących do zbioru dominującego D, istnieje (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D;

Dominowanie słabo wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,vnależących do zbioru dominującego D, istnieje najkrótsza (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D;

Dominowanie wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,vnależących do zbioru dominującego D, wierzchołki ze wszystkich najkrótszych (u-v)- ścieżek należą do D.

Obserwacja 28: Dla każdego grafu spójnego G jest (G) c(G) wcon(G) con(G).

Twierdzenie29 Dla dowolnych k,r N, r 3, istnieje graf G taki,że c(G) - wcon(G) = r oraz con(G) - c(G) = con(G) - wcon(G) =k.

Twierdzenie 30 Każda z różnic con(G) - 0 oraz con(G) - może być dowolnie duża.

Twierdzenie 31 Jeśli G jest spójny, nie posiada wierzchołków końcowych oraz nie istnieje w G cykl indukowany długości mniejszej niż 6, to con(G) = n.

Lemat 27 Dla każdej liczby naturalnej n 7 i dla każdejliczby naturalnej k, 7 k n, istnieje graf G rzędu ntaki, że con(G)= wcon(G) = k.

Hipoteza Vizinga: Dla każdych dwóch grafów G, H jest (G) (H) (G H )

Twierdzenie 32 (Canoy, Garces) Zbiór D V(G H ) jest wypukły w G H wtedy i tylko wtedy, gdy D=DG DH, gdzieDG jest wypukły w G i DH jest wypukły w H.

Twierdzenie 33 Jeśli D jest dominujący w G H, to DG jest dominujący w G i DH jest dominujący w H.

Twierdzenie 34 Dla dowolnych grafów spójnych G i H jest con(G) con(H) con(G H).

Niech G H będzie iloczynem kartezjańskim grafów spójnych G i H. Dla zbioru D V(G H ) oznaczmy:DG = {u V(G): (u,v) D dla pewnego v V(H)};DH = {u V(H): (u,v) D dla pewnego v V(G)}.

Dominowanie słabo spójne

(Dunbar, Grossman, Hedetniemi, Hatting, 1997)

Podgraf słabo indukowany przez D V(G) - graf G[D]w=(NG[D],Ew); e Ew jeśli e ma przynajmniej jeden koniec w D;

D V(G) – zbiór słabo spójny dominujący, jeśli D jest

dominujący oraz G[D]w (<D>w) jest spójny;

Liczba dominowania słabo spójnego grafu G, ozn. w(G)-

moc najmniejszego zbioru słabo spójnego dominującego w G.

G[D]w = (NG[D], Ew)

Równości między liczbami dominowania.