Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej,

PWN Warszawa- -Kraków 1995.

♦ Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów

wartościowych, WIG Press Warszawa 1998.

♦ Fabozzi F.J., Rynki obligacji – analiza i strategie, WIG Press, Warszawa 2000.

♦ Fabozzi F.J., Fong G.; Zarządzanie portfelem inwestycji przynoszących stały

dochód, PWN, Warszawa 2000

♦ R.A.Haugen, Teoria nowoczesnego inwestowania , WIG Press, Warszawa 1996.

♦ Hull J.; Kontrakty terminowe i opcje – wprowadzenie, WIG Press Warszawa

1997

♦ Jackowicz K.; Zarządzanie ryzykiem stopy procentowej, PWN, Warszawa 1999

3

♦ A.Janicki, A.Izydorczyk, Komputerowe metody w modelowaniu

stochastycznym, WNT Warszawa 2001.

♦ Johnson H.; Ocena projektów inwestycyjnych – Maksymalizacja wartości

projektów inwestycyjnych, Wydawnictwo K.E.Liber s.c. Warszawa 2000.

♦ W.Jurek, Konstrukcja i analiza portfela papierów wartościowych o zmiennym

dochodzie, Wyd. AE, Poznań 2001.

♦ J.J.Murphy, Analiza techniczna, WIG Press, Warszawa 1995.

♦ Piasecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo

Naukowe AE, Poznań 2005.

♦ Piasecki K. Modele matematyki finansowej, Wydawnictwo Naukowe PWN ,

Warszawa 2007.

4

♦ Smaga E.; Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków 1999.

♦ Sobczyk M.; Matematyka finansowa, Placet, Warszawa 1997

♦ Sobczyk K.: Stochastyczne równania różniczkowe. WNT Warszawa, 1996.

♦ Tarczyński W., Zwolankowski M.: Inżynieria finansowa instrumenty, strategie,

zarządzanie ryzykiem. Agencja Wydawnictwa Placet Warszawa, 1999.

♦ Tarczyński W.; Rynki kapitałowe, Placet Warszawa 1997

♦ Tarczyński W.,Zwolankowski M. Inżynieria finansowa, Placet Warszawa 1999.

5

♦ Tarczyński W. Fundamentalny portfel papierów wartościowych, PWE,

Warszawa 2002.

♦ Tarczyński W., Mojsiewicz M. Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa 2001.

♦ Weron A., Weron R.,: Inżynieria finansowa WNT Warszawa, 1998.

6

Arytmetyka finansowa

I.1. Model aprecjacji kapitału

Każdy rynek finansowy jest charakteryzowany przez zachodzący na nim

ustalony proces przyrostu wartości (aprecjacji) kapitału.

przedziału analizy kapitałowej.

uniwersalną jednostką pomiaru czasu =

rok identyfikowany

z długością okresu obrachunkowego

7

Przykład: Jeśli za Ustawą o Rachunkowości przyjmiemy, że jeden rok liczy

365 dni, to wtedy jeden dzień identyfikować będziemy z ułamkiem , okres

na przykład 8 dni z ułamkiem , zaś okres 1 miesiąca z ułamkiem .

Pod pojęciem kapitału rozumiemy tą część posiadanych środków

finansowych, która podlega procesowi aprecjacji, to jest wynikającemu z

zewnętrznych warunków gospodarowania procesowi przyrostu wartości.

instrument finansowy o wartości nominalnej C w momencie 0t .

C wartość początkowa

przychody, należności, inne aktywa, wydatki, zobowiązania, inne

pasywa.

8

9

tCs , wartość przyszła

Postać analityczna

tCtCs ,

czynnik aprecjacji ,1,0: T niemalejąca funkcja spełniającą

warunek

10 .

Przykład: Jeśli proces aprecjacji kapitału polega na 20% przyroście rocznym

wartości początkowej kapitału, to wtedy wartość przyszła jest opisana za

pomocą tożsamości

. .

10

RTCt ,0, , strumień finansowy

Przykład : Kwotę 1000zł dostępną za trzy miesiące zapisujemy jako

strumień .

CtPV , wartość bieżąca strumienia finansowego Ct, to taka wartość

początkowa , której wartość przyszła w momencie przepływu strumienia t jest

równa wartości nominalnej C tego przepływu

CtCtPVs ,, .

11

Postać analityczna wartości bieżącej

tCtCCtPV 1

,

czynnik dyskonta 1;0,0: T

nierosnąca funkcja spełniającą warunek

10 .

dyskontowanie wartości kapitału.

Przykład: Wartość bieżącą zdefiniowaną przez wartość przyszłą opisaną w

poprzednim przykładzie wyznaczamy za pomocą zależności

12

relacja równoważności strumieni finansowych.

Dwa strumienie finansowe są równoważne wtedy i tylko wtedy,

gdy ich wartości bieżące są równe.

CtFV , wartość końcowa

Wartość przepływu CtFVT ,, równoważnego Ct,

CtPVCtFVTPV ,,, .

13

Postać analityczna

tCTtCCtFV 1

, ,

czynnik waloryzacji 1;0,0: T nierosnąca funkcją spełniającą warunek

1T .

waloryzacja wartości kapitału

Przykład :Śledzimy proces aprecjacji kapitału jedynie w ciągu najbliższego

roku obrachunkowego. Przedział analizy kapitałowej

.

14

- wartości przyszłe można określić jedynie za pomocą tożsamości (1.1) ;

wartości bieżące można określić jedynie za pomocą opisanych tożsamości

wartości końcowe można określić jedynie za pomocą opisanych tożsamości

dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy

jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione wartość przyszłą albo

wartość bieżącą albo wartość końcową.

15

I.2. Odsetki

odsetka jako koszt użytkowania kapitału.

cenę kapitału = ułamek jego wartości = koszt użytkowania przez jeden rok

stopa nominalna =ułamek dziesiętny

cena użytkowania przez okres kapitału o wartości nominalnej =

odsetka

ptCptCo , .

16

17

Przykład:

Odsetki za użytkowanie kapitału 100C w

przedziale obliczane są według stopy nominalnej 13,0p .

Odsetki są zapłatą za użytkowanie

wymienionego wyżej kapitału przez okres .

.

18

I.3. Struktura terminowa forward stóp procentowych

przedział analizy finansowej .

ciąg momentów czasowych n

iit 0, że spełniony jest warunek

Ttttt n 2100 .

jedyne momenty czasowe, kiedy zmienia się kapitał

względna prędkość przyrostu kapitału jest niezależna od wartości

początkowej tego kapitału.

19

proces aprecjacji kapitału o wartości początkowej

,

Przykład : Przebieg zmienności procesu aprecjacji kapitału

.

względną prędkość wzrostu wartości kapitału w

stopa procentowa=stopa forward=stopa terminowa

,

struktura terminowa forward

20

.

21

Przykład: Dla podanego już procesu aprecjacji kapitału wyznaczamy kolejne

stopy forward.

,

,

,

.

.

22

23

I.4.Oprocentowanie proste

dane

. .

wartość należna

Postać analityczna

.

24

wartość bieżąca sprzężona z wartością należną

.

Przykład : struktura terminowa

w przedziale jest .

25

Przykład: Dyskontujemy weksel o wartości wymagalny za osiem

miesięcy. .

26

I.5 Oprocentowanie złożone

dane

jedyne momenty kapitalizacji odsetek.

W wartość kapitału nie ulega zmianie.

okres kapitalizacji

1 iii ttt

Odsetki możemy skapitalizować jedynie na jeden z dwóch sposobów:

- na początku tego przedziału (kapitalizacja z

góry),

27

- na końcu tego przedziału (kapitalizacja z

dołu).

- oprocentowanie złożone,

I.5.1 Nieregularna struktura terminowa forward

1 ii tq

,

wartość kapitalizowana z góry

28

,

ii

i

itq

tt

110

1

*

**

29

Sprzężona wartość bieżąca

.

Przykład:

,

,

,

30

,

.

.

31

.

wartość kapitalizowana z dołu

,

iiii tptt 110 1***

32

sprzężona wartość bieżąca

.

33

Przykład

,

,

,

,

.

34

.

35

.

Przykład:

.

.

stopa kapitalizacji z dołu jest naturalną ceną kapitału

36

„Jeśli cenę kapitału wyraża struktura terminowa forward

stóp kapitalizacji z dołu, to jaką postać powinna

przyjąć opisująca te same ceny struktura terminowa forward

stóp kapitalizacji z góry?”

. .

Przykład :

.

,

37

,

,

.

.

Przykład :

38

.

39

.

40

5.2 Regularna struktura terminowa forward

qt,

1 tq

wartość kapitalizowaną z góry

.

wartość bieżącą sprzężona z wartością kapitalizowana z góry

41

.

Przykład :

.

42

.

43

wartość kapitalizowana z dołu

,

wartość bieżącą sprzężona z wartością kapitalizowana z dołu

.

struktura terminowej stóp kapitalizacji z dołu r qt, wyznacza regularną

strukturę terminową stóp kapitalizacji z góry *, qt

44

.

45

Przykład:

.

.

Przykład: struktura terminowa stóp kapitalizacji z góry wyznaczona przez

opisaną w strukturę terminową jest reprezentowana przez parę

46

.

I.6. Arytmeryka handlowa

Wartość należna i wartości skapitalizowane wyznaczone dla przypadku

regularnej struktury terminowej forward stanowią podstawę teoretyczną działu

matematyki finansowej nazywanego arytmetyką handlową.

47

Kredyt kupiecki odroczony termin płatności za oferowany towar.

Sprzedający towar oferuje go po cenie c~ i

godzi się na przyjęcie zapłaty gotówką po okresie t od daty wydania

towaru. Okres t nazywamy okresem odroczenia płatności.

Z drugiej strony sprzedawca zachęca do

natychmiastowej zapłaty udzielając w dniu zakupu względnego upustu

cenowego o wartości 0~1 s . Upust taki nazywamy skonto.

48

W tej sytuacji model nie przeterminowanej

zapłaty za towar możemy przedstawić jako funkcję RtRz ,0:~

daną przy pomocy zależności

1

,,~~1,0~

0~~1,~~

tsttcss

ttc

tcstcz .

funkcja wypłat jest identyczna z wartością kapitalizowaną z góry, gdzie stopa

procentowa jest równa 1~ ts .

49

koszt kredytu ustala się jako stopę procentową p~ przy założeniu, że odsetki

są kapitalizowane z dołu.

cpttcss ~~,,~~1* .

ctpcs ~~1~~1 ,

t

s

ts

sp

~

~1

~~ .

50

Przykład 6.1: Sprzedawca godzi się na przyjęcie zapłaty gotówką po okresie

51 t od daty wydania towaru. Z drugiej strony sprzedawca zachęca do

natychmiastowej zapłaty udzielając w dniu zakupu względnego upustu

cenowego o wartości 03,0~ s . Koszt kredytu kupieckiego wynosi wtedy

221,0

03,01

03,0~

365

51

p

.

51

I.7. Arytmetyka inwestycyjna

1Z Koszt użytkowania kapitału jest opisany przy pomocy stałej stopy

forward równej stopie nominalnej ;

2Z Długość okresu kapitalizacji jest stała i wynosi t ;

3Z Jednostką miary czasu jest długość okresu kapitalizacji to jest 1t :

[Z4] Istnieje ryzyko stopy procentowej, to jest wartość stopy nominalnej może

w przyszłości może ulec zmianie.

52

proces aprecjacji kapitału

,

- – stopa nominalna równa stopie wzrostu wartości kapitału;

- - wartość kapitału w momencie czasowym ;

- - wartość początkowa kapitału.

53

wartość przyszła

.

wartość bieżąca sprzężona z wartością przyszłą

.

wartość końcowa sprzężona z wartością przyszłą

.

Przykład: stopa wzrostu . w przedziale .

,

54

,

.