Czytanie zadań tekstowych

Wersja z dnia: 08.11.2010 http//matematyka.strefa.pl Czytanie zadań tekstowych ze zrozumieniem — strona 1 Jak rozwiązywać zadania z matematyki? Na czym polega czytanie ze zrozumieniem? Opracowanie wyjaśnia pojęcia najczęściej występujące w zadaniach tekstowych w szkole podstawowej i gimnazjum. To jest darmowy e-book (opracowanie pdf). Download go.

Jak nauczyć się rozwiązywania zadań tekstowych

z matematyki?

Przedmowa

Prawie w każdym dziale matematyki występują zadania tekstowe, i o dziwo, nawet te łatwe nastręczają często

problemów z ich rozwiązaniem. Główną przyczyną takiego stanu rzeczy, jest to, że po przeczytaniu zadania nie

wiadomo jak go ruszyć, a co dopiero mówić o jego rozwiązywaniu. Zadaniem tego opracowania jest nauczenie

takiego stylu czytania zadań tekstowych, by od razu wiedzieć jak go zacząć rozwiązywać. Oczywiście by to

osiągnąć, trzeba wcześniej znać pojęcia najczęściej powtarzające się w treści różnych zadań np.: kwadrat licz-

by, sześcian liczby, stanowi, wyraża się, to, o ileś większa lub mniejsza, ileś razy większa lub mniejsza itd. Jak

się już je ogarnie to zrozumienie przedstawionego tu sposobu czytania zadań tekstowych będzie banalne.

Spis tematów

1. Sformułowania pojawiające się w zadaniach tekstowych. ......................................................................... 2

2. Jak czytać treść zadania tekstowego? ......................................................................................................... 4

3. Schematy postępowania przy rozwiązywaniu zadań. ................................................................................. 7


Temat: Sformułowania pojawiające się w zadaniach tekstowych.

Na początek zapoznaj się z najczęściej występującymi sformułowaniami w zadaniach tekstowych:

a) kwadrat liczby — podnieś daną liczbę do potęgi drugiej, czyli pomnóż ją przez samą siebie.

Kwadrat liczby 8. Zapis: 8� = 64.

b) sześcian liczby — podnieś daną liczbę do potęgi trzeciej, czyli dwukrotne pomnóż ją przez samą siebie.

Sześcian liczby 8. Zapis: 8� = 512.

c) sformułowania:

— stanowi

— jest równy / jest równa / jest równe

— wyraża się / jest wyrażony / jest wyrażona / jest wyrażone

— ma

— to otrzymamy / to otrzymujemy / to otrzymaliśmy

zawsze zapisuj za pomocą znaku równości. Oto kilka przykładów:

Liczba � stanowi dwie trzecie liczby �. Zapis: � =�

��.

Kwadrat liczby � jest równy podwojonemu sześcianowi liczby �. Zapis: �� = 2��.

Objętość … wyraża się liczbą parzystą. Zapis: � = 2�, � ∈ �. Kasia ma 15 zł. Zapis: � = 15 �ł Dodając do liczby � liczbę 7 otrzymamy liczbę 10. Zapis: � + 7 = 10

Jeśli jesteś uczniem szkoły podstawowej i nie znasz jeszcze zapisu: � ∈ �, to na razie się tym nie przejmuj. Za-

pis ten obowiązkowo powinien być zrozumiały dopiero dla uczniów którzy ukończyli klasę III gimnazjum.

d) … o � więcej — do danej liczby dodaj liczbę �. Liczba � jest o 5 większa od liczby �. Zapis: � = � + 5.

e) … o � mniej — od danej liczby odejmij �. Pamiętaj jednak, że odejmowanie nie jest przemienne i działanie po-

legające na odjęciu od liczby � danej liczby nie będzie poprawne.

Zosia ma o 12 zł mniej niż jej brat Tomek. Zapis: � = – 12 zł.

f) � razy więcej — daną liczbę pomnóż przez liczbę �. Przemek ma dwa razy więcej płyt niż jego koleżanka Marta. Zapis: = 2� lub = 2 ∙�.

g) � razy mniej — daną liczbę podziel przez �. Ponieważ dzielenie nie jest przemienne, więc dzielenie � przez da-

ną liczbę da Ci błędny wynik. Należy tu również pamiętać, że liczba przez którą dzielisz nie może być równa 0,

bo nie istnieje wynik z dzielenia przez zero.

W skarbonce Ani jest trzy razy mniej monet niż w skarbonce Darka. Zapis: A = D : 3 lub D = 3A.

Dopuszczalny jest też zapis za pomocą kreski ułamkowej: � =�

�

Zauważ, że skoro Ania ma 3 razy mniej monet niż Darek, to Darek ma od niej 3 razy więcej monet.

Wniosek: Dzielenie możesz zastąpić mnożeniem, pod warunkiem, że nie będziesz dzielić przez 0.

h) suma — wynik dodawania

i) składniki — liczby które do siebie dodajesz


j) iloczyn — wynik mnożenia

k) czynniki — liczby które mnożysz przez siebie

l) różnica — wynik odejmowania

m) odjemna — liczba w odejmowaniu stojąca przed znakiem minus

n) odjemnik — liczba w odejmowaniu stojąca między znakiem minus a znakiem równości

o) iloraz — wynik dzielenia

p) dzielna — liczba w dzieleniu stojąca przed dwukropkiem (lub w liczniku ułamka zwykłego)

r) dzielnik — liczba w dzieleniu stojąca między dwukropkiem (lub w mianowniku ułamka zwykłego) a znakiem

równości, ale pod warunkiem, że reszta z dzielenia wyjdzie równa zero.

Jeśli reszta z dzielenia nie jest równa zero, to o liczbie stojącej za dwukropkiem, mówimy, że jest to liczba przez którą dzielimy liczbę stojącą przed dwukropkiem.

Przypominam, że liczby możesz do siebie dodawać lub od siebie odejmować tylko wtedy, gdy mają te same jednostki

lub gdy nie mają ich wcale. Innymi słowy nie możesz wykonać np. takich działań:

a) 12 kg + 4 szt.

b) 70 g − 2 szt.

c) 50 szt. −10 cm

[Pisząc skrótem słowo sztuk / sztuki / sztuka należy na końcu postawić kropkę.]

W matematyce zamiast słowa jednostka możesz używać słowa miano. Liczbę z dołączoną do niej jednostką zwie się

wówczas liczbą mianowaną, zaś każdą liczbę bez jednostki liczbą niemianowaną.


Temat: Jak czytać treść zadania tekstowego?

Aby rozwiązać zadanie tekstowe, musisz:

1. Tekst czytać fragmentami, ale nie dalej niż do najbliższego przecinka lub kropki.

Zobacz to na przykładzie zadania:

Jacek ma w skarbonce 12 zł, a jego siostra Marysia o 5 zł więcej. Ile złotych ma Marysia?

Fragment 1: Jacek ma w skarbonce 12 zł.

Fragment 2: Jego siostra Marysia ma o 5 zł więcej.

2. Na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadnąć co oznaczyć zmiennymi.

Rozpatrując przykładowe zadanie z punktu 1, widzisz, że w pytaniu jest mowa tylko o pieniądzach Marysi. Za-

tem do rozwiązania zadania należy posłużyć się zmienną, oznaczającą wartość zgromadzonych przez Marysię

pieniędzy.

3. Oznaczenie zmiennych dobierać intuicyjnie np.:

c — liczba chłopców,

d — liczba dziewczyn,

b — objętość beczki,

w — liczba większa,

m — liczba mniejsza,

A — wiek Agnieszki,

B — wiek Beaty, itp.

W przypadku zadania z punktu 1, do oznaczenia zmiennej możesz zastosować dużą literę M.

Niewiadomych w matematyce nie musisz oznaczać przez: x, y, z. Zamiast nich możesz użyć dużych liter: A, B, C,

D, … lub małych: a, b, c, d, …, ale pod warunkiem, że wcześniej wyjaśnisz co one w danym zadaniu oznaczają.

Tylko małe litery: x, y, z czasami nie wymagają objaśnień.

4. Wykonywać w sposób poprawny, opis słowny do każdej użytej zmiennej (niewiadomej). Przykłady:

Opis błędny Opis poprawny

g — gruszki g — waga gruszek

M — pieniądze Marysi M — wartość pieniędzy Marysi

K — Kasia K — wiek Kasi

w — słoik większy w — objętość słoika większego

c — chłopcy c — liczba chłopców

a — bok kwadratu a — długość boku kwadratu

h — wysokość trójkąta h — długość wysokości trójkąta

[Powyższe objaśnienia nie są zdaniami, więc na końcu nie musisz stawiać kropki i pierwszego słowa rozpoczynać wielką literą.]

Uwaga. Sformułowania długość wysokości trójkąta od jakiegoś czasu coraz rzadziej się używa, gdyż wielu

uczniom utrudnia ono rozumienie czytanego zadania.

Wyjaśnijmy sobie teraz dlaczego opisy słowne z lewej kolumny nie są poprawne. Gdyby g oznaczało gruszkę,

to mielibyśmy na myśli owoc (jako sztukę), a nie jego wagę. Gdybyśmy przez M oznaczyli pieniądze Marysi, to

mielibyśmy na myśli banknoty i monety (jako sztuki), a nie ich wartość. Używając zaś sformułowania liczba

pieniędzy Marysi mielibyśmy na myśli ilość banknotów i monet.


Uwaga. Niektórzy matematycy uważają sformułowanie liczba pieniędzy za równoważne sformułowaniu war-

tość pieniędzy.

Uwaga. Bok kwadratu to tylko odcinek. W związku z tym, nie może być on traktowany jako zmienna. Zmienną

natomiast, może być jego długość.

Osobom które nie pamiętają, przypominam, że odcinek prostej o końcach w punktach A i B, należy oznaczać

w następujący sposób: � ��, zaś jego długość: |� ��| albo jedną z liter: a, b, c, d, e, … albo za pomocą liczby mia-

nowanej1.

Uwaga. Oznaczenie � �� jest bardziej precyzyjne niż AB, gdyż podkreśla, że chodzi o odcinek prostej, a nie

o odcinek krzywej. Należy jednak pamiętać, że prosta jest szczególnym przypadkiem krzywej i dlatego

oznaczenie odcinka prostej przez AB jest również poprawne.

5. W miarę możliwości czynić założenia, nawet jeśli są oczywiste, ale tylko na te zmienne, które trzeba będzie

wyliczyć np.

c — liczba chłopców, założenie: c ≥ 0, bo chłopców nie może być mniej niż zero

d — liczba dziewczyn, założenie: d ≥ 0, bo dziewczyn nie może być mniej niż zero

b — objętość beczki, założenie: b ≥ 0, bo objętość beczki nie może być liczbą ujemną

w — liczba większa, założenie: w > m, bo liczba większa musi być większa od liczby mniejszej

m — liczba mniejsza, założenie: m < w, bo liczba mniejsza musi być mniejsza od liczby większej

A — wiek Agnieszki, założenie: A > 0, bo wiek osoby musi być liczbą dodatnią

B — wiek Beaty, założenie: B > 0, bo wiek osoby musi być liczbą dodatnią

Jeżeli na podstawie treści zadania, wnioskujesz, że zmienna np. b może być dowolną liczbą, to w założeniach

pisz: b ∈ R i czytaj „b należy do zbioru liczb rzeczywistych.” lub pomiń dane założenie.

W przypadku zadania z punktu 1, założenie powinno wyglądać następująco: M ≥ 5 zł. Bierze się ono stąd, że

Jacek najmniej może posiadać 0 zł (choć z treści zadania wiesz ile pieniędzy on ma). Skoro Marysia ma o 5 zł

więcej niż Jacek, więc musi mieć przynajmniej 5 zł. W praktyce robienie założeń czyni się tylko w bardziej

skomplikowanych zadaniach. W tak banalnych jak to, gdzie od razu widać ile pieniędzy ma Marysia, robienie

założeń można sobie darować.

Pamiętaj. Robienie założeń nie jest konieczne. Założenia robisz głównie po to, by zmniejszyć prawdopodo-

bieństwo popełnienia błędu w obliczeniach. Jeśli otrzymany wynik nie wyjdzie Ci zgodny z poczynio-

nymi założeniami, to musisz poszukać błędu w obliczeniach lub odrzucić któreś z otrzymanych roz-

wiązań.

W szkole średniej dowiesz się, że rozwiązując równanie, możesz dostać nawet nieskończenie wiele jego rozwiązań. Przykładem równania mającego

dwa różne rozwiązania, jest np.: �� = 9. Zobacz, że obie liczby: � = 3 i � = −3, są jego rozwiązaniem: �−3� ∙ �−3� = 9 oraz 3 ∙ 3 = 9.

W niektórych zadaniach konieczne jest robienie założeń, gdyż mogą wyeliminować nawet wszystkie znalezione rozwiązania danego równania. Nie

można więc ich lekceważyć.

6. Na podstawie przeczytanych fragmentów ułożyć stosowne równania lub nierówności.

Jeśli w zadaniu przy liczbach występują jednostki, to warto je pisać także w obliczeniach. Dzięki temu możesz

uniknąć np. takiego błędu, że od 7 szt. odejmiesz 5 kg. W przypadku zadania z punktu 1, należy ułożyć równa-

nie:

� = 12 zł + 5 zł

7. Zweryfikować poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania.

8. Rozwiązać ułożone równania lub nierówności dowolną metodą.

9. Otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać w ramki.

1 Liczba mianowana — liczba z dołączoną do niej jednostką.


� = 17 zł

Przy bardzo długich zadaniach znacznie to ułatwia odnajdowanie potrzebnych danych.

10. Sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami.

W przypadku zadania z punktu 1, było założenie: M ≥ 5 zł, wynik: M = 17 zł, co jest oczywiście zgodne

z poczynionym założeniem.

11. Udzielić odpowiedź, gdy w treści zadania było zadane pytanie.

12. Wykonać sprawdzenia otrzymanych wyników.


Temat: Schematy postępowania przy rozwiązywaniu zadań.

Rozpatrz teraz przykładowe zadania, ale zamiast je rozwiązywać dokładnie, zrób tylko schemat ich rozwiązania. Ce-

lem tego opracowania nie jest bowiem poznanie metod rozwiązywania2 zadań tekstowych, lecz nauczenie się czyta-

nia tekstu ze zrozumieniem i prawidłowe postępowanie przy jego rozwiązywaniu na podstawie ustalonych wytycz-

nych, dotyczących prawie wszystkich zadań z jakim można się spotkać w szkole podstawowej i gimnazjum.

Zadanie 1:

Oblicz długość przekątnej prostokąta, którego długości boków różnią się o 2 cm, a obwód wynosi 20 cm.

1. Czytaj tekst fragmentami.

Fragment 1: Długości boków prostokąta różnią się o 2 cm.

Wniosek: Odejmując od długości boku dłuższego, długość boku krótszego, otrzymasz 2 cm. Gdyby odej-

mowanie wykonać odwrotnie, to wyszłoby nie 2 cm, lecz −2 cm.

Odejmowanie nie jest przemienne.

Fragment 2: Obwód prostokąta wynosi 20 cm.

Wniosek: Suma3 długości wszystkich boków jest równa 20 cm.

2. Odgadujesz co należy oznaczyć zmiennymi (niewiadomymi).

Najłatwiej to robić czytając pytanie zadane w treści zadania lub w razie jego braku — tekst za słowem oblicz.

W niektórych zadaniach to jednak nie wystarcza i trzeba przeczytać cały tekst.

W zadaniu jest mowa o przekątnej prostokąta oraz o różnicy długości jego boków. Zatem trzeba zastoso-

wać 3 zmienne, z których jedna będzie oznaczać:

— długość przekątnej prostokąta

— długość dłuższego boku

— długość krótszego boku

Nie musisz stosować zmiennej do oznaczenia obwodu ów prostokąta, gdyż obwód to wynik dodawania dłu-

gości wszystkich boków danego wielokąta (w tym przypadku prostokąta), a długości boków są już oznaczo-

ne zmiennymi.

3. Dobierasz intuicyjnie oznaczenie zmiennych.

Dla potrzeb tego zadania, zastosuj oznaczenia: �, �, �.

4. Wykonaj w sposób poprawny opis słowny do każdej użytej zmiennej.

� — długość przekątnej prostokąta

� — długość dłuższego boku prostokąta

� — długość krótszego boku prostokąta

Jeśli w zadaniu jest mowa tylko o jednej figurze, to w objaśnieniach nie musisz dopisywać jakiej figury tyczą się

ów zmienne. W przypadku tego zadania, poprawne są także objaśnienia:

� — długość przekątnej

� — długość dłuższego boku

� — długość krótszego boku

2 Metody rozwiązywania zadań tekstowych możesz poznać w oddzielnych opracowaniach. 3 Suma — wynik dodawania.


5. Robisz założenia, ale tylko na te zmienne, które będziesz wyliczać.

� > 0, � > �. Teoria matematyczna mówi, że długość odcinka, czyli także przekątnej prostokąta może być równa 0. Nie

mniej jednak, w tym zadaniu wiesz, że obwód prostokąta wynosi 20 cm, czyli długość przekątnej nie może być

równa 0. Stąd właśnie masz założenie, że � > 0, a nie � ≥ 0.

Ciekawostka. Odcinek to prostokąt o wysokości 0. W takim prostokącie długość przekątnej jest równa długości dłuższego boku, obwód także jest równy długości dłuż-

szego boku, zaś pole powierzchni wynosi 0. Zatem, nawet w takim niecodziennym przypadku prostokąta, jeśli długość obwodu jest większa od zera, to i długość prze-

kątnej też musi być większa od zera.

Zauważ, że długość przekątnej prostokąta może wynosić 0 tylko wtedy, gdy długości wszystkich jego boków są równe 0. Innymi słowy, punkt, to szczególny przypadek

prostokąta. Tak mówi teoria matematyczna o której się nie wspomina na lekcjach matematyki w szkole. Głównym powodem jest to, żeby nie mącić zbyt przesadnie

uczniom w głowach. Są ważniejsze sprawy do przedstawienia na lekcji, niż zajmowanie się figurami o szczególnych długościach boków.

6. Na podstawie przeczytanych fragmentów, układasz stosowne równania lub nierówności.

Fragment 1: � − � = 2 cm

Fragment 2: 2� + 2� = 20 cm lub � + � + � + � = 20 cm lub 2�� + �� = 20 cm.

Zauważ, że w zadaniu chodzi o wyliczenie �, a nie � i �. Musisz zatem ułożyć jeszcze jedno równanie, które

pozwoli nam wyliczyć szukaną wartość zmiennej �. Fragment 3: �� + �� = �� (na podstawie tw. Pitagorasa

4)

7. Weryfikujesz poprawność ułożonych równań z treścią zadania.

Zwracasz uwagę na to, czy:

— słowo różnica zostało zastąpione działaniem odejmowania

— równanie pierwsze zostało napisane z wykorzystaniem zmiennych z punktu 3-ciego

— kolejność odejmowanych liczb jest poprawna

— wzór na obwód prostokąta został napisany przy użyciu zmiennych wymienionych w punkcie 3-cim

— wzór na obwód prostokąta został napisany poprawnie

— poprawnie zostało napisane twierdzenie Pitagorasa.

8. Rozwiązujesz ułożone równania dowolną metodą.

9. Otrzymane wyniki bierzesz w ramki.

10. Sprawdzasz, czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi w punkcie 5-tym założeniami.

11. Udzielasz odpowiedzi, choć w tym zadaniu to nie jest konieczne — w treści zadania nie było pytania.

12. Sprawdzasz poprawność otrzymanych wyników, wstawiając je do ułożonych równań w punkcie 6-tym.

Jeśli we wszystkich 3-ch równaniach otrzymasz, że strona lewa równa się prawej, to obliczenia są poprawnie

wykonane, a rozwiązywanie zadania dobiegło końca. Jeśli nie, to trzeba poszukać błędu w obliczeniach i je po-

prawić.

Prześledź teraz kolejne etapy rozwiązywania zadań tekstowych, ale już bez ich wypunktowywania.

4 Twierdzenie Pitagorasa jest omówione w oddzielnym opracowaniu.


Zadanie 2:

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, którego długość podstawy i wysokości

opuszczonej na tę podstawę wynoszą po 8 cm.

Oznaczenia:

� — promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym

� — długość podstawy trójkąta równoramiennego

ℎ — długość wysokości trójkąta równoramiennego

— pole trójkąta o podstawie � i wysokości ℎ

� — długość ramienia trójkąta o podstawie � i wysokości ℎ

Dane: Szukane: Założenia:

� = 8 cm � = ? � > 0

ℎ = 8 cm

Szkic rozwiązania:

=�

��ℎ ��

��

�

+ ℎ� = �� =�∙��

��

= 32 cm� �� = 80 cm� � = 5 cm — zgodność z założeniem: � > 0.

Odpowiedź: Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o podstawie i wysokości po 8 cm, wynosi 5 cm.

Sprawdzenie:

…

Zadanie 3:

Suma dwóch liczb wynosi 16. Jeżeli jedną z nich zwiększymy trzykrotnie, a drugą zmniejszymy o połowę, to ich su-

ma zwiększy się o 7. Jakie to liczby?

Oznaczenia:

� — pierwsza liczba

� — druga liczba

Fragmenty jakimi trzeba czytać to zadanie:

Fragment 1: Suma dwóch liczb wynosi 16. � + � = 16

Fragment 2: Jedną z tych liczb zwiększamy trzykrotnie. 3�

Fragment 3: Drugą z tych liczb zmniejszamy o połowę. �

��

Fragment 4: Suma tych liczb zwiększy się o 7. 3� +�

�� = 16 + 7��

��


� + � = 16 � = ? � > 0, � > 0

3� +�

�� = 23 � = ?

Rozwiązanie:

… [Zadania w których trzeba ułożyć dwa równania z dwiema zmiennymi, najszybciej się rozwiązuje stosując tzw. układy równań — są one omówione

w osobnym opracowaniu.]

Odpowiedź: Szukane liczby to … i … .

Sprawdzenie:

…


Zadanie 4:

Na dwóch stacjach końcowych było razem 135 wagonów. W tym samym czasie gdy z pierwszej stacji na drugą

przetoczono 45 wagonów, to ze stacji drugiej na pierwszą przetoczono 36 wagonów i wówczas na pierwszej stacji

było 1,5 raza więcej wagonów niż na stacji drugiej. Ile na początku było wagonów na każdej z tych stacji?

Oznaczenia:

� — liczba wagonów na pierwszej stacji

� — liczba wagonów na drugiej stacji


Fragment 1: Na dwóch stacjach było razem 135 wagonów. + = 135

Fragment 2: Ze stacji pierwszej przetoczono na stację drugą 45 wagonów. − 45 → + 45

Fragment 3: Ze stacji drugiej przetoczono na stację pierwszą 36 wagonów. + 36 → − 36

Wnioski z fragmentów 2 i 3:

– Na stacji pierwszej najpierw ubyło 45 wagonów, a następnie przybyło 36. W rezultacie ubyło 9 wagonów. − 9

– Na stacji drugiej najpierw przybyło 45 wagonów, a następnie ubyło 36. W rezultacie przybyło 9 wagonów. + 9

Fragment 4: Po przetoczeniu wagonów, na pierwszej stacji było ich 1,5 raza więcej niż na stacji drugiej. � − 9� = 1,5� + 9�


� + � = 135 � = ? � > 0, � > 0

�� − 9� = 1,5�� + 9� � = ?

Rozwiązanie:



Odpowiedź: Początkowo na stacji pierwszej było … wagonów, zaś na stacji drugiej … .

Sprawdzenie:

…

Zadanie 5:

Obwód prostokąta jest równy 40 cm. Jeżeli krótszy bok zwiększymy o 4 cm, dłuższy skrócimy o 5 cm, to otrzymamy

kwadrat. Oblicz długości boków prostokąta.

Oznaczenia:

� — długość krótszego boku prostokąta



Fragment 1: Obwód prostokąta jest równy 40 cm. 2� + 2 = 40 cm

Fragment 2: Krótszy bok zwiększamy o 4 cm. � + 4 cm

Fragment 3: Dłuższy bok skracamy o 5 cm. − 5 cm

Fragment 4: Otrzymujemy kwadrat (czyli prostokąt o bokach tej samej długości). � + 4 cm = − 5 cm


2� + 2� = 40 cm � = ? � > 0, � > 0

� + 4 cm = � − 5 cm � = ?

Rozwiązanie:




Odpowiedź: Długości boków tego prostokąta wynoszą … cm i … cm.

Sprawdzenie:

…

Zadanie 6:

Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest o 5 mniejsza od cyfry jedności. Wyznacz tę liczbę dwucyfrową, wiedząc, że

jest ona 3 razy większa od sumy cyfr tej liczby.

Oznaczenia:

� — cyfra dziesiątek

� — cyfra jedności


Fragment 1: Cyfra dziesiątek jest o 5 mniejsza od cyfry jedności. = � − 5

Fragment 2: Wyznacz liczbę dwucyfrową. 10 + �

Fragment 3: Liczba dwucyfrowa jest 3 razy większa od sumy cyfr tej liczby. 10 + � = 3� + ��

[Dlaczego liczba dwucyfrowa została zapisana w postaci: 10 + � znajdziesz w opracowaniu dotyczącym układów równań.]


� = � − 5 � = ? � ≥ 1, � ≥ 6

10� + � = 3�� + �� = ?

Rozwiązanie:



Odpowiedź: Szukana liczba to … .

Sprawdzenie:

…

Komentarz do zadania.

Weź przykładowo liczbę 543 i zapisz ją w postaci:

543 = 500 + 40 + 3 = 5 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 3 ∙ 1

Jeśli cyfry tej liczby oznaczę kolejno przez: �, �, �, to powyższą liczbę będę mógł zapisać następująco:

5�

4�

3��

= 5�

∙ 100��

+ 4�

∙ 10��

+ 3��

∙ 1 �

= 100� + 10� + �.

Analogicznie, liczbę dwucyfrową o cyfrach � i �, może zapisać w postaci: 10� + �, zaś liczbę czterocyfrową:

1000! + 100� + 10� + �, gdzie ! oznacza cyfrę tysięcy.

Założenie, że � ≥ 1 bierze się stąd, że � jest pierwszą cyfrą (patrząc od lewej strony) w szukanej liczbie dwucyfro-

wej. Jak wiadomo, gdyby w liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek była równa 0, to mielibyśmy do czynienia z liczbą

z jednocyfrową. Skoro cyfra dziesiątek jest o 5 mniejsza od cyfry jedności, to cyfra jedności musi być przynajmniej

o 5 większa od cyfry dziesiątek, czyli być równa przynajmniej 6.


Zadanie 7:

Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat ojciec i syn będą mieć razem 100 lat. Ile lat ma obecnie oj-

ciec, a ile syn?

Oznaczenia:

! — wiek taty (ojca)

� — wiek syna


Fragment 1: 10 lat temu, ojciec był 4 razy starszy od syna. − 10 = 4�� − 10�

Fragment 2: Za 10 lat, ojciec i syn będą mieć razem 100 lat. � + 10� + �� + 10� = 100 [W tym przypadku nawiasy są zbyteczne.]


! − 10 = 4�� − 10� ! = ? ! > 0, � > 0

�! + 10� + �� + 10� = 100 � = ?

Rozwiązanie:



Odpowiedź: Obecnie ojciec ma … lat, zaś syn … .

Sprawdzenie:

…

Zadanie 8:

Dany jest kwadrat i prostokąt o równych polach oraz odcinek x. Oblicz długość odcinka x oraz obwody tych czwo-

rokątów, jeżeli wiesz, że bok kwadratu jest o 2 cm krótszy, jeden bok prostokąta o 6 cm dłuższy, a drugi o 6 cm

krótszy od długości danego odcinka x.

Oznaczenia:

— pole powierzchni kwadratu

� — pole powierzchni prostokąta

� — długość boku kwadratu


" — długość krótszego boku prostokąta


Fragment 1: Kwadrat i prostokąt mają równe pola. �� = ��

Fragment 2: Bok kwadratu jest o 2 cm krótszy od odcinka �. � = � − 2

Fragment 3: Jeden z boków prostokąta jest dłuższy o 6 cm od odcinka �. � = � + 6

Fragment 4: Drugi z boków prostokąta jest o 6 cm krótszy od odcinka �. � = � − 6


= � � = ? � ≥ 6, � ≥ 4, � ≥ 12, " ≥ 0.

� = � − 2 4� = ?

� = � + 6 2� + 2" = ?

" = � − 6


Rozwiązanie:

#��

= ��∙�

�� = �"

�� − 2�$%&%'�

�= �� + 6�$%&%'

�

�� − 6�$%&%'�

[Aby szybko wyliczyć � z powyższego równania, należy posłużyć się tzw. wzorami skróconego mnożenia. Są one omówione w osobnym opracowaniu.]

…

� = 10 — zgodność z założeniem: � ≥ 6.

� = 8 cm, � = 16 cm, " = 4 cm — zgodność z założeniami: � ≥ 4, � ≥ 12, " ≥ 0.

4� = 32 cm 2� + 2" = 40 cm .

Odpowiedź: Odcinek � ma długość 10 cm. Obwód kwadratu wynosi 32 cm, zaś prostokąta 40 cm.

Sprawdzenie:

…


Wiesz, że długość dowolnego odcinka nie może być mniejsza od 0 (musi być równa 0 lub większa od niego). Zatem,

aby odcinek o długości " nie był mniejszy od zera, to odcinek � musi mieć długość przynajmniej 6 cm. Skoro już

wiesz, że � ≥ 6 cm, to długość odcinka � musi wynosić przynajmniej 12 cm, zaś długość odcinka � przynajmniej 4

cm.

Zadanie 9:

Jeżeli od kwadratu pewnej liczby odejmiemy kwadrat sumy tej liczby i liczby 3, to otrzymamy 27. Jaka to liczba?

Oznaczenia:

� — szukana liczba


Fragment 1: Od kwadratu pewnej liczby odejmiemy … �� − …

Fragment 2: … kwadrat sumy tej liczby i liczby 3. �� + 3��

Fragment 3: Otrzymamy liczbę 27. … = 27


�� − �� + 3�� = 27 � = ? � ∈ �

Rozwiązanie:

[Aby szybko wyliczyć � z powyższego równania, należy posłużyć się tzw. wzorami skróconego mnożenia. Są one omówione w osobnym opracowaniu.]

Odpowiedź: Szukaną liczbą jest −6.

Sprawdzenie:

�−6�� − �−6 + 3�$%%&%%'��

�

$%%&%%'�

= 27

36 − 9$&'��

= 27

27 = 27


Zadanie 10:

Dwanaście litrów benzyny wystarczy na przejechanie samochodem 200 km. Ile litrów benzyny trzeba jeszcze do-

kupić, żeby paliwa starczyło na przejechanie 360 km?

Oznaczenia:

� — liczba litrów paliwa jaką samochód wypali po przejechaniu 360 km

� — liczba litrów paliwa jaką trzeba dokupić, aby przejechać dystans 360 km


Fragment 1: Samochód spala 12 l / 200 km. ��

��

Fragment 2: Paliwa ma wystarczyć na przejechanie 360 km.

��


��

�� =

�

�� = ? � > 12, � > 0

� = � − 12 l [Skoro samochód spala 12 litrów na 200 km, to na przejechanie 360 km na pewno będzie

potrzebować więcej niż 12 litrów.]

Rozwiązanie:

… [Rozwiązywanie równania zwanego proporcją, zostało omówione w osobnym opracowaniu. Jest ono także pokrótce omówione w opracowaniu

dotyczącym układów równań.]

� = 21,6 l — zgodność z założeniem: � > 12

� = 9,6 l — zgodność z założeniem: � > 0

Odpowiedź: Aby przejechać odległość 360 km, należy dokupić 9,6 litra paliwa.

Sprawdzenie:

…


Istnieją inne sposoby rozwiązania tego zadania. Jednym z nich jest zauważenie, że różnica pomiędzy liczbą 360 km

a 200 km wynosi 160 km. Wystarczy zatem obliczyć ile litrów paliwa samochód zużyje na dystansie 160 km:

12 l

200 km=�

160 km

co szybciej da oczekiwany wynik 9,6 litra paliwa.

Sumując. Aby przegryźć treść zadania, najważniejsze jest czytanie go odpowiednimi fragmentami. Nie bez znacze-

nia jest także intuicyjne oznaczenie zmiennej i jej poprawny opis. Przy rozwiązywaniu zadań tekstowych nigdy nie

wolno zapomnieć o odpowiedzi na postawione pytanie (chyba, że go nie było). Na wszelkiego rodzaju egzaminach,

za brak odpowiedzi można stracić sporo punktów.

Czytanie zadań tekstowych

Documents

Transcript of Czytanie zadań tekstowych